高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值

3
【备用例2】 已知函数f(x)=1- 1 x . (1)证明:函数f(x)在定义域上是增函数;
(1)证明:因为 f(x)=1- 1 x , 所以 1-x≥0,所以 x≤1.所以函数的定义域为(-∞,1], 设 x1<x2≤1,则
f(x1)-f(x2)=1- 1 x1 -(1- 1 x2 )= 1 x2 - 1 x1 =
7
7
4.(最值的应用)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数
a的值是
.
答案:±2
5.(最值)函数f(x)在[-2,+∞)上的图象如图所示,则函数的最小值为
;最
大值为
.
答案:不存在 3
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 图象法求最值
【例 1】
已知函数
f(x)=
2 x
,
1 x2 1 x1 1 x2 1 x1 = 1 x2 1 x1
1 x2 1 x1 =
x1 x2
1 x2 1 x1 1 x2 1 x1
因为 x1<x2≤1,所以 1 x2 ≥0, 1 x1 >0,x1-x2<0,所以 f(x1)-f(x2)<0,所以 f(x1)<f(x2).
3 2a, a 1, 综上,f(x)min= 2 a2, 1 a 1,
3 2a,a 1.
方法技巧 二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上的最值情况如下:
(1)当 a>0 时,
a.若- b ≤m,则函数 f(x)在区间[m,n]上是增函数,此时 f(x)min=f(m),f(x)max=f(n); 2a
①对于任意的x∈I,都有f(x) ≤ M;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M
.
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 高点的 探究:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?
纵 坐标.
答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否 则不是.
即时训练 2-1:已知函数 f(x)= 1 . x2
(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性,并证明;
解:(1)f(x) 在[3,5]上为减函数, 证明:任取 x1,x2∈[3,5],且 x1<x2,
所以
f(x1)-f( x2)=
1 x1
2
-
1 x2
2
=
x1
x2 x1
2 x2
2
,
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0,
(2)若将函数“f(x)=3x2-12x+5”变为“f(x)=x2-2ax+2”,则函数在[-1,1]上的最小值 如何?
解:(2)f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,其图象开口向上, 对称轴为x=a, ①a<-1时,f(x)在[-1,1]上单调递增, f(x)min=f(-1)=3+2a; ②-1≤a≤1时,f(x)min=f(a)=2-a2, ③a>1 时,f(x)在[-1,1]上单调递减, f(x)min=f(1)=3-2a,
4
2
法二 因为令 t= 13 4x (t≥0),则 x= 13 t 2 ,所以 y= 13 t 2 -1-t=- t 2 -t+
4
2
2
11 =- 1 (t+1)2+6. 22
因为 t≥0,所以 y=- 1 (t+1)2+6 在[0,+∞)上为减函数, 2
所以当 t=0 时,y 有最大值 11 . 2
即时训练1-1:作出函数y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断是否存在最大 值和最小值.
解:当 x≥2,即 x-2≥0 时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x- 1 )2- 9 ; 24
当 x<2,即 x-2<0 时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x- 1 )2+ 9 . 24
又因为 x1,x2∈[3,5],所以(x1-2)(x2-2)>0,所以 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2);
x1
x2 x1
2 x2
2
>0,
所以 f(x)在[3,5]上是减函数.
(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值.
解:(2)因为 f(x)在[3,5]上是减函数, 所以 f(x)在[3,5]上的最大值为 f(3)=1, f(x)在[3,5]上的最小值为 f(5)= 1 .
2.最小值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x) ≥ M;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M
.
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 低 点的 纵坐标.
自我检测
1.(最小值)函数y=-x2+2x-1在[0,3]上的最小值为( B)
第二课时 函数的最大(小)值
课标要求:1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求一些简单函数的最 大值或最小值.3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应 用.
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】
导入 如图所示是某市房管局公布的2013年10月～2014年9月该市房价走势 图:
b.若 m<- b <n,则函数 f(x)在 x=- b 处取得最小值 f(- b ),f(x)的最大值是 f(m)与
2a
2a
2a
f(n)中较大的一个;
c.若- b ≥n,则函数 f(x)在区间[m,n]上是减函数,此时 f(x)max=f(m),f(x)min=f(n). 2a
(2)当 a<0 时,
所以函数 f(x)=1- 1 x 在定义域(-∞,1]上是增函数.
(2)求函数f(x)在[-3,0]上的最大值与最小值; (3)求函数的值域.
(2)解:由(1)知函数 f(x)在(-∞,1]上是增函数, 所以函数 f(x)在[-3,0]上是增函数, 因此函数 f(x)=1- 1 x 在[-3,0]上有最小值 f(-3)=-1,最大值 f(0)=0. (3)解:由(1) 知函数的定义域为(-∞,1], 且函数 f(x)=1- 1 x 在定义域上是增函数, 所以 f(x)≤f(1)=1, 即函数 f(x)的值域为(-∞,1].
即时训练 3-1:求函数 y=2x-1- 13 4x 的最大值.
法一 函数的定义域为(-∞, 13 ]. 4
因为 2x-1 在(-∞, 13 ]上单调递增, 13 4x 在(-∞, 13 ]上单调递减,
4
4
所以 y=2x-1- 13 4x 在(-∞, 13 ]上为增函数. 4
所以当 x= 13 时,y 有最大值 11 .
【备用设例f(3x】)=x2-4tx+5t2在区间[t-1,t+1]上的最大值是M(t),最小值是m(t),试求M(t) 与m(t)的解析式.
解:因为f(x)=x2-4tx+5t2=(x-2t)2+t2. 所以函数f(x)的对称轴方程是x=2t. ①当2t≤t-1,即t≤-1时,函数f(x)在[t-1,t+1]上单调递增, 所以M(t)=f(t+1)=2t2-2t+1, m(t)=f(t-1)=2t2+2t+1. ②当t-1<2t<t+1,且f(t-1)<f(t+1), 即-1<t<0时, f(x)在x=2t处取最小值,即m(t)=t2, 此时函数的最大值为M(t)=f(t+1)=2t2-2t+1.
函数
f(x)=
x2
,
1 2
x
1
,1
x
2,
1,
求
f(x)的最大值、最小
值.
x
解:如图所示,当- 1 ≤x≤1 时, 2
由 f(x)=x2 得 f(x)最大值为 f(1)=1,最小值为 f(0)=0;
当 1<x≤2 时,由 f(x)= 1 得 f(2)≤f(x)<f(1),即 1 ≤f(x)<1.
(A)0
(B)-4
(C)-1wk.baidu.com(D)以上都不对 2.(最大值)函数f(x)=3-x2的最大值为( A) (A)3 (B)2
(C)0 (D)4
3.(最值)函数 f(x)= 1 在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( B )
x 1
(A) 1 ,1 (B)1, 1 (C) 1 ,1 (D)1, 1
5
5
(2)[0,3]; (3)[-1,1].
解:(2)函数f(x)=3(x-2)2-7的图象如图所示, 由图可知,函数f(x)在[0,2)上递减, 在[2,3]上递增,并且f(0)=5, f(2)=-7,f(3)=-4, 所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=5, f(x)min=f(2)=-7. (3)由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递减, f(x)max=f(-1)=20, f(x)min=f(1)=-4.
变式探究:(1)若本例函数解析式不变,求此函数在[0,a]上的最大值和最小值;
解:(1)由题意知a>0,f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7, 故此函数的对称轴为x=2, 当0<a<2时,f(x)min=f(a)=3a2-12a+5, f(x)max=f(0)=5, 当2≤a<4时,f(x)min=f(2)=-7, f(x)max=f(0)=5, 当a≥4时,f(x)min=f(2)=-7, f(x)max=f(a)=3a2-12a+5.
题型三 二次函数的最值 【例3】 已知函数f(x)=3x2-12x+5,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最 大值和最小值. (1)x∈R;
解:f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7. (1)当x∈R时,f(x)=3(x-2)2-7≥-7, 当x=2时,等号成立. 即函数f(x)的最小值为-7,无最大值.
a.若- b ≤m,则函数 f(x)在区间[m,n]上是减函数,此时 f(x)min=f(n),f(x)max=f(m). 2a
b.若 m<- b <n,则函数 f(x)在 x=- b 处取得最大值
2a
2a
f(- b ),f(x)的最小值是 f(m),f(n)中较小的一个. 2a
c.若- b ≥n,则函数 f(x)在[m,n]上是增函数,此时 f(x)max=f(n),f(x)min=f(m). 2a
2x1 1 x1 1
2x2 1 = x2 1
x1
x1 x2
1 x2
1
,
因为-1<x1<x2⇒ x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,
所以 f(x1)-f(x2)<0⇒ f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.
想一想 1:从导入图中能否得出2013年10月～2014年9月房价的最大值? (在2014年5月,房价达到最大值,约为27 000元) 想一想 2:从导入图中能否得出2013年10月～2014年9月房价的最小值? (在2013年12月,房价达到最小值,约为25 400元)
知识探究
1.最大值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
解:(2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增, 所以 f(x)的最小值为 f(2)= 2 2 1 = 5 ,
21 3 最大值 f(4)= 2 4 1 = 9 .
41 5
方法技巧 (1)由函数单调性结合函数图象找出最高(低)点的纵坐标即为函数的 最大(小)值. (2)分段函数的最大(小)值是函数整体上的最大(小)值.
x
2
综上 f(x)max=1,f(x)min=0.
题型二 单调性法求最值
【例2】 已知函数f(x)= 2 x 1 . (1)判断函数在区间(-1,+∞x ) 上1 的单调性,并用定义证明你的结论;
解:(1)f(x) 在(-1,+∞)上为增函数,证明如下: 任取-1<x1<x2 ,
则
f(x1)-f(x 2)=
x
, 0
,
x2 2x 1, x 0, .
(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间;
(2)根据函数的图象求出函数的最小值.
解:(1)函数的图象如图所示. 由图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和[0,+∞),无递减区间. (2)由函数图象可知, 函数的最小值为f(0)=-1.
方法技巧 利用图象求函数最值的方法:①画出函数y=f(x)的图象; ②观察图象,找出图象的最高点和最低点; ③写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.
所以
y=
x
x
1 2
2
1 2 2
9 4
,x 9, 4
x
2, 2.
画出该分段函数的图 象,如图.
由图象可知,函数 y=|x-2|(x+1)在(-∞, 1 ],[2,+∞)上是增函数;在[ 1 ,2]上是减函数.
2
2
观察函数图象,可知 函数不存在最大值,也不存在最小值.
【备用例 1】
已知