地基极限承载力计算
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则认为土是相对可压缩的，此时，地基可能发生局部
剪切破坏或冲切破坏
地基土的刚度指标
Ir
c
G q tan
10.3斜向荷载下均质地基极限承载力计算
式中， G土的剪切模量
q地基中膨胀区平 压均 力超 ，在 一般可 基地以B下 /2深度处的土的自重压力
10.3斜向荷载下均质地基极限承载力计算
当荷载偏心时，若为条形基础，则用有效宽度 Be B2e 代替原来的宽度B，其中e为荷载的偏心距；若为条形 基础，则用有效宽度 Be B2eB ，有效长度 Le L2eL 来代替原来的宽度和原来的长度，其中，eL和eB分别长度 和宽度方向的偏心距；对于任意形状的基础，先将受 偏心荷载基础面积换算成受中心竖向荷载的有效面
10.1土体的极限平衡理论概述
式中 X和Z——体积力分量 屈服条件：
fmsin0
几何方程
x
vx x
正交流动法则
z
vz z
xz vzx
vz x
10.1土体的极限平衡理论概述
x
f x
x
m
f
z z m
f
m xzm
其中
2
m z x xz
1213ccot m1 213 1 4zx22x z
求解极限荷载的途径:一，根据极限平衡条件建立微分 方程，根据边界条件求出地基整体达到极限平衡时各 点的精确解。二，假定滑动面法，通过基础模型试验 的实际滑动面形状，简化为假定滑动面，然后按假定 滑动面上的极限平衡条件求解。
地基在极限荷载作用下发生剪切破坏的形式可分为整 体剪切破坏，局部剪切破坏，冲切剪切破坏。
10.2.均质地基极限承载力计算
梅耶霍夫公式既可用于浅基础，也可用于深基础，是 目前西欧各国常用的公式之一。
等代应力
0
,
分别表示作用在基础侧面上的合力及附
0
近土块的重力。
0 1 2 D f K 0s2 in K 2 0ta sn2 i n c2 o s
01 2D f 1 2 K 0si2 nK 0tas ni2 n
10.1土体的极限平衡理论概述
土体中塑性区内任一点的应力分量也可以用两个变量
及 确定
表达式
tan a
x
z
其中
tan b
x
z
1ctanln
2
c
1ctanln
2
c
10.1土体的极限平衡理论概述
42
b a X s2 is n i n c Z o c o s s
上式为双曲线型偏微方程，具有两组相交的特征线，可 用特征线法求数值解
10.2.6地基破坏形式对地基极限承载力的影响
前述地基极限承载力公式都是在地基发生整体剪切破 坏情况下得到的，即假定土是刚塑性体，剪切破坏前 不产生压缩。实际上，多数情况下土在剪切破坏过程 中会产生可观的压缩，甚至导致局部剪切破坏或冲切 破坏。
10.2.均质地基极限承载力计算
地基破坏形式的出现与基础上所加的荷载条件，基础
q u tc a tn a 2 4 n 2 e ta n 1 c • co 1 1 s s t i i e n n ta n 1
式中
qu 极限压应力
材料的内摩擦角
c 材料的粘聚力
10.2.均质地基极限承载力计算
这个解可应用到地基承载力的课题上。根据普朗特的
10.2.均质地基极限承载力计算
整体剪切破坏：其特征是在地基土中形成连续的滑动 面，土从基础两侧基础隆起，基础急剧下沉并侧倾破 坏。沉降与荷载的关系开始呈线性变化，当频临破坏 时出现明显的拐点。
局部剪切破坏：其特征是地基土中剪切破坏区域只发 生在基础下的局部范围内，并不形成延伸到地面的连 续滑动面，基础四周地面具有隆起迹象，但不出现明 显的倾斜或倒塌。沉降与荷载的关系一开始就呈现非 线性变化，且无明显的拐点。
10.2.均质地基极限承载力计算
10.2.1地基承载力的概念
地基承载力是指地基土单位面积上承受荷载的能力。 确定方法：载荷试验法，原位测试法，理论公式法 临塑荷载：当基础底面以下的地基土中将要出现而尚
未出现塑性变形区时，地基所能承受的最大荷载。 临界荷载：当地基土土中的塑性变形发展到一定阶段， 即塑性区达到某一深度，通常为相当于基础宽度的三 分之一或四分之一时，地基土所能承受的最大荷载。 极限荷载：当地基土中的塑性变形区充分发展并形成 连续贯通面的滑动面，地基土所能承受的最大荷载。 利用静载试验的p-s曲线可以直观地说明上述概念。
边界与水平面 未的 定夹 值角为
两种特殊情况
1）假定基地完全粗糙。
Nq
exp
3 2
tan
2cos245
2
10.2.均质地基极限承载力计算
Nc(Nq1)cot
N 12ckop2s1tan
2）假设基底完全光滑。将 代入太沙基课
题式，Nc与Nq 表达式与普朗特课题4 的2式相同，而
N 1.8(Nq1)tan
对于c1 c2 承载力系数按下式确定
N m k c 1 k c N k c * c N * c k c N * c 1 ( 1 N * 1 c k c ) N N * * c c 2 1 1 k c k N c N * c * c 1 1 N * c 1
10.4双层地基极限承载力计算
10.4.1 0 的层状粘土地基的极限承载力
公式
qu c1Nmq
式来自百度文库 c1 持力层土的不排水度剪指强标
q基础两侧土的超载 Nm 考虑层状影响的修载正力承系数； 与两层土的不排水度剪指强标的比值 kc c2 /c1,上层土的相对厚度础及形基状等因素有
10.4双层地基极限承载力计算
D基础的埋置深度
Nq,Nc 地基极限承载他 力们 系是 数土 ，的内函 摩数 擦角
10.2.3太沙基课题
太沙基将浅基础定义为埋深不大于宽度的基础。在推 导均匀地基上的条形基础受中心荷载作用下的极限承 载力时，太沙基把土作为有重力的介质，并作了如下 假设：
(1)基础底面粗糙
(2)基土是有重力的，但忽略地基土重力对滑移线 形状的影响。
冲切破坏：其特征是在地基土中不出现明显的连续滑 动面，而在基础四周发生竖向剪切破坏，使基础连续 刺入土中。荷载与沉降的关系成非线性变化，也无明 显的拐点。
10.2.均质地基极限承载力计算
10.2.2普朗特课题
1920年，普朗特根据塑性平衡的观点，研究了刚性体 压入较软的，均匀的，各向同性材料的过程假定地基 土的重放为零，导出了下式
10.2.均质地基极限承载力计算
(3)不考虑基底以上基础两侧土体抗剪强度的影响， 而用均布超载来代替。
根据上述假定，由弹性锲体的平衡条件，可以得到剪 切破坏的地基极限承载力公式
qu cNcqN q12BN
其中
N c ta c c n o o s i s s e n x 2 3 p 2 t
a 1 n si 1 n
N q cc o o s s e x 2 3p 2 ta tn a 4 n 5 2
10.2.均质地基极限承载力计算
式中
N 1 2tankp ccoo c sso s1
Nq,Nc,Nr 地基极限承载 其力 中系 ，数 弹， 性
10.2.均质地基极限承载力计算
10.2.5基础形状对地基极限承载力的影响
以上所讨论的公式都是针对条形基础的情况即平面课 题而言的，对于圆形和矩形基础的求解有着很大的困 难。不同的学者提出了一些半经验公式。大多数研究 者是对条形基础的承载力系数分别乘以形状因数，书 中272页给出了一些研究者建议的形状因数的表达式。
10.3斜向荷载下均质地基极限承载力计算
积，再换算成等面积的矩形基础 梅耶霍夫条形基础地基极限承载力公式
qu cNcqN c12q BNq
式中 Nc， q ， Nq合成承载力于 系土 数的 ，内 取 角和基础的于 埋偏 深心 比荷 ， Be载 对 B， 2e代 以B 替
汉森则建议将受中心竖向荷载情况下得到的承载力系 数分别乘以倾斜因子，其值可根据土的内摩擦角和荷 载倾斜角按书中276页的表查找。
的埋置深度，土的类别和密度等因素有关。在一定条
件下，主要取决于土的相对压缩性。魏西克建议用土
的刚度指标 I r 与土的临界刚度指标 I cr 进行比较，将土
分为相对不可压缩和相对可压缩的两大类型，并据此
来判别地基的破坏形式。若 Ir Icr ，则认为土是相对 不可压缩，此时地基发生整体剪切破坏；若 Ir Icr ，
p cu ；临界荷载为塑性变形阶段ab段中某一点相对应的
荷载。
第三阶段:破坏阶段（bc段）。在这一阶段，塑性区已 发展到连成一片，地基中形成连续的滑动面，只要荷 载稍有增加，沉降就急剧增加，地基土发生侧向挤
10.2.均质地基极限承载力计算
出，承压板周围地面大面隆起，最终发生整体破坏。
所以，地基极限承载力是指地基内部整体达到极限平 衡时的荷载，即极限荷载。在载荷试验的曲线上表现 为沉降急剧增大或很长时间不停止。将地基极限承载 力除以安全系数，可以作为地基的承载力特征值。
式中 冲剪系数
Nc 修正承载力系数
对于c1 c2 承载力系数按下式确定
Nm1kcNccNcc
10.4双层地基极限承载力计算
10.4.2有软弱下卧层时的地基极限承载力
公式 式中
q uq b 2 caH B1 H 2 1 H D kstB a1n 1 H qb 下卧软弱土层的极限承 载力，按下式确定
假设条件，上式适用于具有 c,的条形基础。
赖斯诺在普朗特的基础上，把基础两侧埋置深度内的 土以连续均布的超载来代替，得到基础有埋深时地基 极限承载力的表达式
qu 0DN qcNc
Nqexp tanta2n4.5 2
N cN q 1 co t
10.2.均质地基极限承载力计算
式中
0基础两侧土的加权重度
10.2.均质地基极限承载力计算
梅耶霍夫课题
太沙基理论的缺陷 1）忽略了覆土的抗剪强度 2）滑动面被假定与基础地面水平线相交为止，没有伸 延到地表面上去，这是与实际不符的。
梅耶霍夫的解决方式
他提出应该考虑到地基上的塑性平衡区随着基础的埋 深不同而扩展到最大可能的程度，并且应计及基础两 侧土的抗剪强度对承载力的影响。但是，这个课题存 在数学上的困难而无法得到严格的解答，最后，他用 简化的方法导出条形基础受中心荷载作用时均质地基 的极限承载力公式。
地基极限承载力计算
10.1 土体的极限平衡理论概述
极限平衡理论以钢塑性体模型为基础，刚塑性体的一 部分或全部在荷载作用下从静力平衡转向运动的临界 状态成为极限平衡态。
极限平衡状态理论是根据静力平衡条件和极限平衡条 件所建立起来的理论
基本方程：
平衡方程
x zx X x z z zx Z z x
2
B2
1 tan45
2 2
10.2.均质地基极限承载力计算
式中
N , N q , N c 梅耶霍夫承载力系数
等代自由面与水平成 面的 所夹角
对数螺线的中心角足 ，下 满列关系
3 4 2
PP 作用在AC面上的被动土压力
深基础，其它的一样，仅 N q 不同
N q1 c so 2 in se（ x 5 2 p ） ta n
式中 K0 静止土压力系数
土与基础侧面之间 摩的 擦外 角
10.2.均质地基极限承载力计算
梅耶霍夫公式
浅基础 其中
qucc N 0N q1 2BN 2 a B D f
aatan1 2K0Df tan
Nq
1 sinexp2 1sin sin2
tan
Nc Nq 1 cot
N
4PP
s
in
45
10.2.均质地基极限承载力计算
o
pcr p cu p
1
a
2b
3 载荷试验p-s曲线
10.2.均质地基极限承载力计算
第一阶段：压密变形阶段（oa段）。承压板上的荷载 比较小，荷载与沉降成直线关系，对应于直线段中点a
的 荷载为临塑荷载 pcr
第二阶段：塑性变形阶段（ab段）。承压板上荷载逐 渐增大，地基的变形与荷载之间不再成直线关系，说 明地基土除发生竖向压缩外，局部发生剪切破坏，因 而呈现塑性状态，对应于b点的荷载状态即为极限荷载
qb c2 N c2 1
DH
Nq2
1 2
2 BH
2
N c2 , N q2 , N 2 下卧软土层极限承载力 系数，由下卧层土
的内摩擦角按 0， Fs 0时的梅耶霍夫公式确定
剪切破坏或冲切破坏
地基土的刚度指标
Ir
c
G q tan
10.3斜向荷载下均质地基极限承载力计算
式中， G土的剪切模量
q地基中膨胀区平 压均 力超 ，在 一般可 基地以B下 /2深度处的土的自重压力
10.3斜向荷载下均质地基极限承载力计算
当荷载偏心时，若为条形基础，则用有效宽度 Be B2e 代替原来的宽度B，其中e为荷载的偏心距；若为条形 基础，则用有效宽度 Be B2eB ，有效长度 Le L2eL 来代替原来的宽度和原来的长度，其中，eL和eB分别长度 和宽度方向的偏心距；对于任意形状的基础，先将受 偏心荷载基础面积换算成受中心竖向荷载的有效面
10.1土体的极限平衡理论概述
式中 X和Z——体积力分量 屈服条件：
fmsin0
几何方程
x
vx x
正交流动法则
z
vz z
xz vzx
vz x
10.1土体的极限平衡理论概述
x
f x
x
m
f
z z m
f
m xzm
其中
2
m z x xz
1213ccot m1 213 1 4zx22x z
求解极限荷载的途径:一，根据极限平衡条件建立微分 方程，根据边界条件求出地基整体达到极限平衡时各 点的精确解。二，假定滑动面法，通过基础模型试验 的实际滑动面形状，简化为假定滑动面，然后按假定 滑动面上的极限平衡条件求解。
地基在极限荷载作用下发生剪切破坏的形式可分为整 体剪切破坏，局部剪切破坏，冲切剪切破坏。
10.2.均质地基极限承载力计算
梅耶霍夫公式既可用于浅基础，也可用于深基础，是 目前西欧各国常用的公式之一。
等代应力
0
,
分别表示作用在基础侧面上的合力及附
0
近土块的重力。
0 1 2 D f K 0s2 in K 2 0ta sn2 i n c2 o s
01 2D f 1 2 K 0si2 nK 0tas ni2 n
10.1土体的极限平衡理论概述
土体中塑性区内任一点的应力分量也可以用两个变量
及 确定
表达式
tan a
x
z
其中
tan b
x
z
1ctanln
2
c
1ctanln
2
c
10.1土体的极限平衡理论概述
42
b a X s2 is n i n c Z o c o s s
上式为双曲线型偏微方程，具有两组相交的特征线，可 用特征线法求数值解
10.2.6地基破坏形式对地基极限承载力的影响
前述地基极限承载力公式都是在地基发生整体剪切破 坏情况下得到的，即假定土是刚塑性体，剪切破坏前 不产生压缩。实际上，多数情况下土在剪切破坏过程 中会产生可观的压缩，甚至导致局部剪切破坏或冲切 破坏。
10.2.均质地基极限承载力计算
地基破坏形式的出现与基础上所加的荷载条件，基础
q u tc a tn a 2 4 n 2 e ta n 1 c • co 1 1 s s t i i e n n ta n 1
式中
qu 极限压应力
材料的内摩擦角
c 材料的粘聚力
10.2.均质地基极限承载力计算
这个解可应用到地基承载力的课题上。根据普朗特的
10.2.均质地基极限承载力计算
整体剪切破坏：其特征是在地基土中形成连续的滑动 面，土从基础两侧基础隆起，基础急剧下沉并侧倾破 坏。沉降与荷载的关系开始呈线性变化，当频临破坏 时出现明显的拐点。
局部剪切破坏：其特征是地基土中剪切破坏区域只发 生在基础下的局部范围内，并不形成延伸到地面的连 续滑动面，基础四周地面具有隆起迹象，但不出现明 显的倾斜或倒塌。沉降与荷载的关系一开始就呈现非 线性变化，且无明显的拐点。
10.2.均质地基极限承载力计算
10.2.1地基承载力的概念
地基承载力是指地基土单位面积上承受荷载的能力。 确定方法：载荷试验法，原位测试法，理论公式法 临塑荷载：当基础底面以下的地基土中将要出现而尚
未出现塑性变形区时，地基所能承受的最大荷载。 临界荷载：当地基土土中的塑性变形发展到一定阶段， 即塑性区达到某一深度，通常为相当于基础宽度的三 分之一或四分之一时，地基土所能承受的最大荷载。 极限荷载：当地基土中的塑性变形区充分发展并形成 连续贯通面的滑动面，地基土所能承受的最大荷载。 利用静载试验的p-s曲线可以直观地说明上述概念。
边界与水平面 未的 定夹 值角为
两种特殊情况
1）假定基地完全粗糙。
Nq
exp
3 2
tan
2cos245
2
10.2.均质地基极限承载力计算
Nc(Nq1)cot
N 12ckop2s1tan
2）假设基底完全光滑。将 代入太沙基课
题式，Nc与Nq 表达式与普朗特课题4 的2式相同，而
N 1.8(Nq1)tan
对于c1 c2 承载力系数按下式确定
N m k c 1 k c N k c * c N * c k c N * c 1 ( 1 N * 1 c k c ) N N * * c c 2 1 1 k c k N c N * c * c 1 1 N * c 1
10.4双层地基极限承载力计算
10.4.1 0 的层状粘土地基的极限承载力
公式
qu c1Nmq
式来自百度文库 c1 持力层土的不排水度剪指强标
q基础两侧土的超载 Nm 考虑层状影响的修载正力承系数； 与两层土的不排水度剪指强标的比值 kc c2 /c1,上层土的相对厚度础及形基状等因素有
10.4双层地基极限承载力计算
D基础的埋置深度
Nq,Nc 地基极限承载他 力们 系是 数土 ，的内函 摩数 擦角
10.2.3太沙基课题
太沙基将浅基础定义为埋深不大于宽度的基础。在推 导均匀地基上的条形基础受中心荷载作用下的极限承 载力时，太沙基把土作为有重力的介质，并作了如下 假设：
(1)基础底面粗糙
(2)基土是有重力的，但忽略地基土重力对滑移线 形状的影响。
冲切破坏：其特征是在地基土中不出现明显的连续滑 动面，而在基础四周发生竖向剪切破坏，使基础连续 刺入土中。荷载与沉降的关系成非线性变化，也无明 显的拐点。
10.2.均质地基极限承载力计算
10.2.2普朗特课题
1920年，普朗特根据塑性平衡的观点，研究了刚性体 压入较软的，均匀的，各向同性材料的过程假定地基 土的重放为零，导出了下式
10.2.均质地基极限承载力计算
(3)不考虑基底以上基础两侧土体抗剪强度的影响， 而用均布超载来代替。
根据上述假定，由弹性锲体的平衡条件，可以得到剪 切破坏的地基极限承载力公式
qu cNcqN q12BN
其中
N c ta c c n o o s i s s e n x 2 3 p 2 t
a 1 n si 1 n
N q cc o o s s e x 2 3p 2 ta tn a 4 n 5 2
10.2.均质地基极限承载力计算
式中
N 1 2tankp ccoo c sso s1
Nq,Nc,Nr 地基极限承载 其力 中系 ，数 弹， 性
10.2.均质地基极限承载力计算
10.2.5基础形状对地基极限承载力的影响
以上所讨论的公式都是针对条形基础的情况即平面课 题而言的，对于圆形和矩形基础的求解有着很大的困 难。不同的学者提出了一些半经验公式。大多数研究 者是对条形基础的承载力系数分别乘以形状因数，书 中272页给出了一些研究者建议的形状因数的表达式。
10.3斜向荷载下均质地基极限承载力计算
积，再换算成等面积的矩形基础 梅耶霍夫条形基础地基极限承载力公式
qu cNcqN c12q BNq
式中 Nc， q ， Nq合成承载力于 系土 数的 ，内 取 角和基础的于 埋偏 深心 比荷 ， Be载 对 B， 2e代 以B 替
汉森则建议将受中心竖向荷载情况下得到的承载力系 数分别乘以倾斜因子，其值可根据土的内摩擦角和荷 载倾斜角按书中276页的表查找。
的埋置深度，土的类别和密度等因素有关。在一定条
件下，主要取决于土的相对压缩性。魏西克建议用土
的刚度指标 I r 与土的临界刚度指标 I cr 进行比较，将土
分为相对不可压缩和相对可压缩的两大类型，并据此
来判别地基的破坏形式。若 Ir Icr ，则认为土是相对 不可压缩，此时地基发生整体剪切破坏；若 Ir Icr ，
p cu ；临界荷载为塑性变形阶段ab段中某一点相对应的
荷载。
第三阶段:破坏阶段（bc段）。在这一阶段，塑性区已 发展到连成一片，地基中形成连续的滑动面，只要荷 载稍有增加，沉降就急剧增加，地基土发生侧向挤
10.2.均质地基极限承载力计算
出，承压板周围地面大面隆起，最终发生整体破坏。
所以，地基极限承载力是指地基内部整体达到极限平 衡时的荷载，即极限荷载。在载荷试验的曲线上表现 为沉降急剧增大或很长时间不停止。将地基极限承载 力除以安全系数，可以作为地基的承载力特征值。
式中 冲剪系数
Nc 修正承载力系数
对于c1 c2 承载力系数按下式确定
Nm1kcNccNcc
10.4双层地基极限承载力计算
10.4.2有软弱下卧层时的地基极限承载力
公式 式中
q uq b 2 caH B1 H 2 1 H D kstB a1n 1 H qb 下卧软弱土层的极限承 载力，按下式确定
假设条件，上式适用于具有 c,的条形基础。
赖斯诺在普朗特的基础上，把基础两侧埋置深度内的 土以连续均布的超载来代替，得到基础有埋深时地基 极限承载力的表达式
qu 0DN qcNc
Nqexp tanta2n4.5 2
N cN q 1 co t
10.2.均质地基极限承载力计算
式中
0基础两侧土的加权重度
10.2.均质地基极限承载力计算
梅耶霍夫课题
太沙基理论的缺陷 1）忽略了覆土的抗剪强度 2）滑动面被假定与基础地面水平线相交为止，没有伸 延到地表面上去，这是与实际不符的。
梅耶霍夫的解决方式
他提出应该考虑到地基上的塑性平衡区随着基础的埋 深不同而扩展到最大可能的程度，并且应计及基础两 侧土的抗剪强度对承载力的影响。但是，这个课题存 在数学上的困难而无法得到严格的解答，最后，他用 简化的方法导出条形基础受中心荷载作用时均质地基 的极限承载力公式。
地基极限承载力计算
10.1 土体的极限平衡理论概述
极限平衡理论以钢塑性体模型为基础，刚塑性体的一 部分或全部在荷载作用下从静力平衡转向运动的临界 状态成为极限平衡态。
极限平衡状态理论是根据静力平衡条件和极限平衡条 件所建立起来的理论
基本方程：
平衡方程
x zx X x z z zx Z z x
2
B2
1 tan45
2 2
10.2.均质地基极限承载力计算
式中
N , N q , N c 梅耶霍夫承载力系数
等代自由面与水平成 面的 所夹角
对数螺线的中心角足 ，下 满列关系
3 4 2
PP 作用在AC面上的被动土压力
深基础，其它的一样，仅 N q 不同
N q1 c so 2 in se（ x 5 2 p ） ta n
式中 K0 静止土压力系数
土与基础侧面之间 摩的 擦外 角
10.2.均质地基极限承载力计算
梅耶霍夫公式
浅基础 其中
qucc N 0N q1 2BN 2 a B D f
aatan1 2K0Df tan
Nq
1 sinexp2 1sin sin2
tan
Nc Nq 1 cot
N
4PP
s
in
45
10.2.均质地基极限承载力计算
o
pcr p cu p
1
a
2b
3 载荷试验p-s曲线
10.2.均质地基极限承载力计算
第一阶段：压密变形阶段（oa段）。承压板上的荷载 比较小，荷载与沉降成直线关系，对应于直线段中点a
的 荷载为临塑荷载 pcr
第二阶段：塑性变形阶段（ab段）。承压板上荷载逐 渐增大，地基的变形与荷载之间不再成直线关系，说 明地基土除发生竖向压缩外，局部发生剪切破坏，因 而呈现塑性状态，对应于b点的荷载状态即为极限荷载
qb c2 N c2 1
DH
Nq2
1 2
2 BH
2
N c2 , N q2 , N 2 下卧软土层极限承载力 系数，由下卧层土
的内摩擦角按 0， Fs 0时的梅耶霍夫公式确定