数学建模之灰色预测模型

、灰色预测模型

简介(P372)

特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。

优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整 性和可靠性低的问题。

缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。

1、GM(1,1)预测模型

GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ① 销售额预测

② 交通事故次数的预测

③ 某地区火灾发生次数的预测

④ 灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预 报。(百度文库)

⑤ 基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析(下载的文档) ⑥ 网络舆情危机预警(下载的文档) 1.2步骤

① 级比检验与判断 由原始数据列|x (。)=(x (0

)(1),x (0

)(2)，川,x (0

)(n))|计算得序列的级比为

光滑比为

若序列满足

(k)二若序列的级比欽k)

€ ，则可用Ml 作令人满意的GM(1,1)建模。

则序列为准光滑序列

否则，选取常数c 对序列£［做如下平移变换

序列y (0)

的级比

② 对原始数据竺作一次累加得

建立模型:

③ 构造数据矩阵B 及数据向量丫

其中：|z ⑴(k) =0.5x ⑴(k) +0.5x ⑴(k —1),k =2,3，川

,n. ④ 由

一？

T

j T

u?=

=(B T

B )B T

Y

求得估计值固=也=

⑤ 由微分方程(1)得生成序列预测值为

则模型还原值为

⑥ 精度检验和预测 残差

相对误差

相对误差精度等级表

级比偏差

若P(k) <0.2则可认为达到一般要求；若 P(k) <0.1，则可认为达到较高要求。

经过验证，给出相应预测预报。

2、新陈代谢模型

灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移 相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信 息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。

与GM(1,1)模型相比，既能充分发挥传统 GM(1,1)模型仅利用少量数据，就能 获得较高预测精度的优点，又能反映出数据的变化趋势，从而使预测结果的精度 获得更进一步的提高。局限性在于该模型适合预测具有较强指数规律的序列 ，只

能描述单调变化的过程。 2.1模型的应用

① 深圳货运量预测；(下载文档)

② 天津市城市人均住宅建筑面积及非农业户籍人口总数预测(下载文档)； ③ 网络舆情危机预警(下载文档)。 2.2步骤

① 建立新陈代谢数据序列

原始数据列|x (°)=(x (0

)(1),x (0

)(2)，川,x (°)(n))|，用最新信息|x (0)

(n +1)|替换最初数 据 x (°)(1)，即得到新陈代谢数据序列 y (。)=(x (°)(2)，川,x (0

)(n),x (0

)(n + 1)) ② 后续步骤同GM(1,1)模型

③ 用②计算出的最新结果再次替换最初信息 此

U+0.5a 丿

(k),

x (0) (2)得到新序列重复步骤②，以

类推，将计算结果制表并分析。

3、波形预测

波形预测，是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时，可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化以便进行决策。从本质上来看，波形预测是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。

3.1模型的应用

①区域降水量预测(下载文档)

②运量需求不平衡航线下客流量预测(下载文档)

③网络舆情危机预警(下载文档)

3.2步骤

①求出序列折线

由原始数据列x = (x(1),x(2)川|,x(n))得出序列X的k段折线图形为

序列X的折线为

②选取等高线

令b max = max{x(k)",Cr min = min {x(k)}则有

s - 1

--- (▽ . . Y =

min max min) s max'

s

如果冈的i段折线上有已等高点，则坐标为(i+#1°h°)。

③等高点的计算

解方程伸丫得到折线冈与丫的交点|x(0)(i)|=|(x：,x(x；))(i=1,2，川)|，即丫等高点

④|x(0) (i)|构成等高时刻序列，求出各等高时刻序列的GM(1,1)预测。

⑤得出波形预测画出波形图，并分析

4、Verhulst 模型

Verhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即 S 型过程。常用于人口预 测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。(例如 B 题艾滋病疗法的评 价及治疗预测) 4.1步骤 ①模型的建立 对原始数据 |x (0^(x (0)(1),x (0)(2)JH,x (0)

(n))|作一次累加得 x ⑴=(x ⑴⑴,x ⑴(2)，川,x (1)(n)) =(X (0)(1，X (0)(1 +x (0) (2),卅,x (0) (1)+川 +x (0

)(n)). 令|z (1)(k)=0.5x (1)(k) +0.5x (1)(k_1),k=2,3,川，n,得辺的均值生成序列为 z ⑴=(z ⑴(2),z

(1 )

(3) ,|l(,z (1)

(

n)).

则得到灰色Verhulst 模型为

灰色Verhulst (2

)

②参数求解

构造数据矩阵B 及数据向量丫

_

-z (1)(2)(z (1 )(2)和

I-z ⑴(3) (z (1)(3))

(1)

2

丁⑵〕

x ((3)

L-z (1)(n) (z (1)(n))2J

=(B T

B )'B T

Y

求得估计值圄= ③解微分方程(2)得灰色Verhulst 模型的时间序列响应为

|?=

ax (0

(1) bx (0(1幵a?_? (0

(甘'

通过累减还原得

00)

(k “二炉乐“-小化).