Ch2_2插值余项与误差估计
等距节点分段二次插值的误差估计
(x xn )
当点
x
与插值节点
{xi
}n i0
互不相同时，构造以
t
为新自变量的函数
g(t) f (t) (t) k(x)n1 (t)
g(t) 在区间[a, b] 上的 n 2 个互异零点： x 、{xi}in0
当 g(t) 充分光滑时， g (n1) (t) 在开区间(a, b) 内至少存在一个零点ξ
特别的取 =Pn span 1, x, x2 ,, xn , 即
Pn (x ) (x ) a0 a1x a2x 2 an x n , ai R , 0 i n
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5
4 . 存在惟一性
分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确 定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组
f (x)
0 m3 m2
f (m) (x)
插值余项： Rn (x) f (x) (x)
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7
误差估计(续1)
分析： Rn (xi ) f (xi ) (xi ) 0, i 0,1, 2, , n
Rn (x) f (x) (x) k(x)n1(x) n1(x) (x x0 )(x x1)
0ik 0 i k 1
Lk (x) Lk1(x) A (x x0 )( x x1)(x xk1)
Lk
li (
(x) x)
(
k
f (xi )li (x)
i0
(x x0 )(x x1)(x xi x0 )(xi x1)(xi
计量经济学ch2 双变量模型：系数估计
9
28
10
29
需求量
消平 费均 者需 数求 量量
46 47 48 49 50 51 7 48
45 46 47 48
5 46
42 44 46 48
5 44
38 42 44 46 47
6 42
39 40 42 43
5 40
35 37 38 39 42 43 7 38
34 36 38 40
5 36
32 33 34 35 36 37 7 34
五、案例6：通货膨胀率和设备利用率
理论分析（当产能利用率超过95%以上,代 表设备使用率接近全部,通货膨胀的压力将 随产能无法应付而急速升高)
数据表7-4 散点图 估计和结果 结论的经济意义
案例6：通货膨胀率和设备利用率
设备利用率是指每年度设备实际使用时间 占计划用时的百分比。是指设备的使用效 率。是反映设备工作状态及生产效率的技 术经济指标。
反向拍卖反向拍卖也叫拍买，常用于政府 采购、工程采购等。由采购方提供希望得 到的产品的信息、需要服务的要求和可以 承受的价格定位，由卖家之间以竞争方式 决定最终产品提供商和服务供应商，从而 使采购方以最优的性能价格比实现购买。
定向拍卖这是一种为特定的拍卖标的物而 设计的拍卖方式，有意竞买者必须符合卖 家所提出的相关条件，才可成为竞买人参 与竞价
密封递价拍卖 称招标式拍卖。由买主在规定的时 间内将密封的报价单（也称标书）递交拍卖人， 由拍卖人选择买主。这种拍卖方式，和上述两种 方式相比较，有以下两个特点：一是除价格条件 外，还可能有其他交易条件需要考虑：二是可以 采取公开开标方式，也可以采取不公开开标方式。 拍卖大型设施或数量较大的库存物资或政府罚没 物资时，可能采用这种方式。
拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 3.1 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。
找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （3.1）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。
3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。
二次插值算法
二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间搜索极小点的一种方法。
它属于曲线拟合方法的畴。
一、基本原理在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。
如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。
这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。
假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。
利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式（1）式中、、为待定系数。
图1根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得（2）为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即（3）解式(3)即求得插值函数的极小点（4）式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得:（5）（6）将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式：（7）把取作区间的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为的近似极小值点。
上述求极值点的方法称为三点二次插值法。
为便于计算，可将式(7)改写为（8）式中：（9）（10）二、迭代过程及算法框图(1)确定初始插值结点通常取初始搜索区间的两端点及中点为，，。
计算函数值，，，构成三个初始插值结点、、。
(2)计算二次插值函数极小点按式(8)计算，并将记作点，计算。
若本步骤为对初始搜索区间的第一次插值或点仍为初始给定点时，则进行下一步(3);否则转步骤(4)(3)缩短搜索区间缩短搜索区间的原则是：比较函数值、，取其小者所对应的点作为新的点，并以此点左右两邻点分别取作新的和，构成缩短后的新搜索区间。
计量方法与误差理论CH2
测量误差及最佳使用条件：
中介源对称作用于两个通道，它自身的系统误差在测量结果中可以很 好地抵消，关键是如何消除随差的影响？ 中介源与标准及被测信号间比对检测装置的“同步”的原则
中介源所介入的两通道在测量时间上（或对相关其它自变量，如长度单位等）完全同步。 这时中介源的误差和不稳定性同时相等地作用在这两个测量通道和测量结果中，在数据处理 中可完全抵消。这是中介源法的最佳使用条件。
Ex Es A Ex Ex Ex
误差关系
E E A A x s E E A E A A x s s
E A E s s
利用微差法可以达到很高的精 度，即使测量精度不高。
E E A A x s E E A E x s s
仪表误差被大大 的缩小了
基本计量法（绝对计量法）:
通过对有关基本量的计量，以确定被计量量值的计量 方法。（实质属间接计量法）
定义计量法：
根据量的单位定义计量该量的方法。适合基本单位和导出 单位。
如伏特基准，可以用饱和惠斯顿标准电池，也可以利用约瑟夫森效 应来复现。 最有代表性的是根据欧姆定律中电阻和电压及电流之间的关系
主要应用场合
重合法比对测量中，不易实现重合条件的场合 P117 fig5-7-4
使用重合法对两个信号比对测量， 这两个信号间的重合条件不易高精度实现时（如 两比对对象的刻度值大小太接近时就会发生这种情况），中介源的引入可以形成分别对这 两个信号的新的重合条件使测量在更有利的情况下高精度实现。
标 准 信 号 重 合 点 检 测 中 介 源 重 合 点 检 测 被 测 信 号
调换计量法：
先将被计量物体与已知量A进行比较，使之平衡；然后，将被计量物体 放在已知量A的地方，再与已知量B进行比较，再次平衡。两次计量中指 示读数相同，则被计量值为
代数插值算法与误差估计
代数插值算法与误差估计1. 线性插值与抛物插值线性插值 当n=1时：已知 xk, xk+1；yk, y k+1， 求线性插值多项式 101()L x a a x =+ 使得：1()k k L x y =且111()k k L x y ++=.可见，1()L x 是过(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的一条直线。
()111()k kk k k ky y L x y x x x x ++-=+-- 点斜式11111()k kk k k k k kx x x x L x y y x x x x ++++--=+-- 两点式令()11k k k k x x l x x x ++-=-，()11kk k kx x l x x x ++-=-则：()()111()k k k k L x l x y l x y ++=+称()k l x 及()1k l x +为一次插值基函数，或线性插值基函数。
注意：基函数 ()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩抛物线插值 当n=2时：已知xk-1，xk, xk+1；yk-1, yk, y k+1， 求二次插值多项式 2()L x 使得：211()k k L x y --=，2()k k L x y =，211()k k L x y ++=。
可见，2()L x 是过11(,)k k x y --，(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的抛物线。
利用基函数法构造()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩ i , j = k-1, k, k+1 因此构造()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x +---+--=-- ()()()()()1111k k k k k k k x x x x l x x x x x -+-+--=--()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x -++-+--=-- 此时：()()()21111()k k k k k k L x l x y l x y l x y --++=++称()1k l x -，()k l x 及()1k l x +为二次插值基函数，或抛物插值基函数。
两点三次埃尔米特插值余项证明
两点三次埃尔米特插值余项证明《两点三次埃尔米特插值余项证明》1. 概述在数值分析中，插值是一种常用的数值计算方法，用于在已知数据点之间估算未知数据点的值。
而埃尔米特插值则是一种特殊的插值方法，可以通过已知点的函数值以及导数值来构造插值多项式，进而进行函数值的估算。
2. 两点三次埃尔米特插值在插值问题中，特别是在微积分和数值分析中，两点三次埃尔米特插值是一种常见且重要的技术。
它通过两个数据点的函数值和导数值，构造出一个三次多项式，可以更加准确地近似原始函数，并且可以保持更高的导数连续性。
这种方法在实际问题中具有很强的适用性，尤其是在需要对曲线进行平滑插值的情况下。
3. 余项证明在使用插值方法进行数据估算时，余项是一个重要的概念。
它代表了插值多项式与原函数之间的差距，可以用来评估插值的准确性和可靠性。
对于两点三次埃尔米特插值而言，余项的证明是一项关键的工作，它可以帮助我们理解插值多项式的误差情况，进而指导我们对插值结果的使用和解释。
4. 个人观点和理解作为一种高级的数值计算方法，两点三次埃尔米特插值在实际问题中的应用非常广泛，尤其是在科学计算和工程领域。
通过对余项的详细证明和分析，我们可以更加深入地理解插值方法的原理和实际效果，进而更加灵活地应用这一技术解决实际问题。
5. 总结两点三次埃尔米特插值作为一种高级的插值方法，通过对已知点的函数值和导数值进行合理的处理，可以构造出一个更加精确的插值多项式，用于估算未知点的函数值。
在实际应用中，我们需要充分理解余项的证明和分析，以便更好地评估插值结果的准确性和可靠性。
通过以上文章内容的布局和深度处理，可以详细解释和讨论所提及的主题，从而全面了解和深入了解其背后的知识和原理。
6. 余项证明的数学推导在两点三次埃尔米特插值中，我们需要构造出一个三次多项式，以满足已知数据点的函数值和导数值。
设两个已知点为(x0, y0)和(x1, y1)，以及它们各自的一阶导数值y'0和y'1。
线性插值与二次插值公式ppt课件
MATLAB计算程序
1
x=0:.6:1.8; y=erf(x);
0 .8
x=x';y=y';
A=[ones(4,1) x x.^2 x.^3]; 0.6
p=A\y;
0 .4
a0=p(1);a1=p(2); 0 .2
a2=p(3);a3=p(4);
t=0:.2:2;
0
0
0 .5
1
1 .5
2
u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;
plot(x,y,'o',t,u)
12
拉格朗日插值的基函数构造法
n=1 线性插值问题 x
x0
x1
已知函数表 f(x)
y0
y1
求满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的线性插值多项式 L1(x)
由过两点直线方程,得
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
化为等价形式
L1( x)
当 x∈(0.5, 1)时
Erf ( x) 1 [( x 0.5) 0.8427 (1 x) 0.5205] 1 0.5
当 x∈(1, 1.5)时
Erf ( x) 1 [( x 1) 0.9661 (1.5 x) 0.8427] 1.5 1
3
实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有 的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进 一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到 一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规 律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似 函数。
Ch2插值法
Ch2. 插值法§1. 插值问题引例 矿井中某处的瓦斯浓度y 与该处距地面的距离x 有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(,)(0,1,2,,10)= i i x y i ，根据这些数据完成下列工作：(1)寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度。
第一个问题可归结为“已知函数在n x x x ,,,10⋅⋅⋅处的值，求函数在区间[]n x x ,0内其它点处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。
但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。
解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系)(x f ，由)(x f 求井下600米处的瓦斯浓度。
定义 设)(x f y =在[]b a ,中1+n 个点n x x x <⋅⋅⋅<<10处的值)(i i x f y =为已知，现根据上述数据构造一个简单函数)(x p ，使i i y x p =)(，这种问题称为插值问题。
i x x p x f ),(),(,i i y x p =)(分别称为被插值函数、插值函数、插值节点和插值条件。
若)(x p 为多项式，则此问题称为多项式插值或代数插值。
定理1 在插值节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅处，取给定值n y y y ,,,10⋅⋅⋅，且次数不高于n 的插值多项式是存在且唯一的。
证 令n n x a x a a x p +⋅⋅⋅++=10)(，则根据插值条件i i y x p =)(有下列等式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++==+⋅⋅⋅++=n n n n n n nn nn yx a x a a x p y x a x a a x p y x a x a a x p 10111101000100)()()( （关于i a 的1+n 阶线性方程组）， 其系数行列式是范德蒙（V andermonde ）行列式()011111100≠-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏≥>≥j i n j innnnn x xx x x x x x D 。
Ch2(2)牛顿插值法
于是
f (0.596) N 4 (0.596) 0.63192,
17
截断误差
R4 ( x ) f [ x0 , , x5 ] 5 (0.596) 3.63 10 9.
差商具有如下性质(请同学们自证)：
(1) f ( x )的k阶差商f [ x0 , x1 , , xk 1 , xk ]可由函数值 f ( x0 ), f ( x1 ), , f ( xk )的线性组合表示, 且
6
f [ x0 Hale Waihona Puke x1 ,, xk 1 , xk ]
f ( xi ) i 0 ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xk )
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多 由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ), , ( x x0 )( x x1 )( x xn 1 )
共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
f [ x0 , x1 ,, xk ]
f
(k )
( ) k!
用余项的 相等证明
7
差商的计算方法(表格法):
xk x0 x1 x2 x3 x4
f ( xk ) 一阶均差 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] f [ x3 , x4 ]
二阶均差
三阶均差
四阶均差
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 2 , x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]
二次插值法计算公式
二次插值法计算公式二次插值法，又称为拉格朗日插值法，是一种用于在给定的一组数据点（x，y）中估计中间数据点的方法。
它是基于插值多项式的概念，通过一系列已知数据点的多项式来逼近未知数据点。
在计算机科学和数学领域广泛使用。
二次插值的计算公式如下：假设已知数据点的集合为{(x0, y0)，(x1, y1)，...，(xn, yn)}，其中xi为已知的x坐标，yi为对应的y值。
现在需要根据这些已知数据点来估计一个给定的x值的y值。
首先，我们需要定义二次插值多项式：P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + ... + yn * Ln(x)其中，Li(x)为拉格朗日基函数，具体形式如下：Li(x) = (x - x0) * (x - x1) * ... * (x - xi-1) * (x - xi+1) * ... * (x - xn) / ((xi - x0) * (xi - x1) * ... * (xi - xi-1) * (xi - xi+1) * ... * (xi - xn))通过以上公式就可以计算出给定的x值的y值。
但是上述的计算公式并不是直接使用的，一般会做一部分优化，以减少计算量和提高计算精度。
以下是一种通常使用的优化方法：1.首先，将已知数据点按照x值的大小进行排序。
2.然后，计算每个点对应的Li(x)的值，并将其保存起来。
3. 对于给定的x值，找到它在已知数据点中的位置，即找到第i个点，使得xi <= x < xi+14.根据上述信息，可以计算出P(x)的值。
这种方法的计算复杂度为O(n)，其中n为已知数据点的数量。
由于只需要计算一次P(x)，后续的估计可以直接使用P(x)的计算结果，因此相对高效。
需要注意的是，当数据点相距较远或者分布不均匀时，二次插值法可能会出现较大的误差。
在这种情况下，可以考虑使用其他插值方法，如三次插值法或样条插值法，以提高估计的精度。
数值分析 Cht2 插值法
其 中 l 0 ( x )和 l1 ( x )也 是 线 性 插 值 多 项 式 ，并 满 足 l 0 ( x 0 ) 1， l 0 ( x 1 ) 0， l1 ( x 0 ) 0， l1 ( x 1 ) 1, 称 为 线 性 插 值 基 函 数.
几何图示
再 考 察 n 2时 , 假 定 给 定插 值 节 点x 0 , x 1 , x 2， 要 求 二 次 插 值多 项 式L2 ( x )， 满 足 L2 ( x 0 ) y 0 , L2 ( x 1 ) y1 , L2 ( x 2 ) y 2 .
由 l k ( x k ) 1得 到 Ak , 于 是 , lk ( x )
从 而 得 到 在 n 1个 节 点 x 0 , x 1 , , x n 上 的 n 1个 n 次 拉 格 朗 日 基 函 数 l 0 ( x ), l1 ( x ), , l n ( x ).
也就是 , lk ( x ) ( x x 0 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) ( x k x 0 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n )
(x x
j0
n
j
),
(2.14)
若 max | f ( n 1 ) ( x ) | M n 1 , 则
a xb
| Rn ( x ) |
M n1 ( n 1)!
| n 1 ( x ) |,
(2.16)
当 n 1时 , 线性插值余项 R1 ( x ) 1 2 f ( ) 2 ( x ) 1 2 f ( )( x x 0 )( x x1 ),
4-5讲：ch2-2Newton插值
第二节 Newton插值法
Newton插值法的基本思路 Newton插值法的构造 均差以及Newton插值多项式
差分以及Newton前插、后插公式
一、牛顿插值公式的基本思路
构造多项式: N n ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) ... an ( x x0 )...( x xn1 )
f ( x5 ) f [ x4 , x5 ]
f [ x 3 , x 4 , x 5 ] f [ x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ] f [ x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ]
牛顿插值公式
例2.2
给出f ( x )的函数表, 求4次牛顿 插值多项式，并由此计 f (0.596)的近似值。 算 出均差表. 解析 首先根据给定函数表造
当x x2时， N n ( x 2 ) a 0 a1 ( x 2 x 0 ) a 2 ( x 2 x 0 )( x 2 x1 ) f 2
a2
f2 f0 x 2 x0
f1 f 0 x1 x0
x 2 x1
牛顿插值多项式的构造
引入记号：
f [ x1 ] f [ x0 ] f k f [ xk ] f [ x0 , x1 ] x1 x0 f2 f0 f [ x 0 , x 2 ] f [ x 0 , x1 ] x 2 x0 f [ x 0 , x1 , x 2 ] x 2 x1
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ]( x x1 )
f [ x , x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x2 ) f [ x , x0 , x1 ,, xn1 ] f [ x0 , x1 ,, xn ] f [ x , x0 ,, xn ]( x xn )
2 插值法 计算方法课件及实验 教学课件
xk1 )( x xk1 )( x xk 1 )( xk xk 1 )( xk
xn ) xn
)
称为基本插值多项式.
2.2 Lagrange插值-Lagrange插值多项式
Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
n k0
yk
( x x0 ) ( xk x0 )
故可设 Rn( x) K ( x)n1( x)
其中 K ( x) 待定,
对于 [a,b] 上异于 xi的任意一点 x xi 作辅助函数
F (t ) f (t) Pn (t ) K ( x) n1 (t )
则F(t)满足：
(1) F ( x) F ( xi ) 0 (i 0,1,, n)
L1(x) l0 (x) y0 l1(x) y1
显然， l0 (x)及l1 (x)也是线性插值多项式，在节 点x0,x1上满足条件：
l0(x0)=1 , l0(x1)=0. l1(x0)=0 , l1(x1)=1.
即
1 lk (x j ) 0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
于是
F (n1) ( ) 0
f (n1) ( ) K ( x)(n 1)! 0
f (n1) ( )
K(x) (n 1)!
从而定理得证.
例2 估计例1中的截断误差
f ( x) x
解
R1 ( x)
f
" (
2!
)
2
(x)
1 8
32
(
x
x0
)(x
x1
)
[x0 , x1 ]
max R1 (115)
中科院数值分析-肖良CH2
第二章
插值法
14/93
L2(x) = yk−1lk−1(x) + yk lk (x) + yk+1lk+1(x) lk−1(x), lk (x), lk+1(x) 的求法 lk−1(x) 有两个根 xk , xk+1， lk−1(x) = A(x − xk )(x − xk+1)，A 待定。
. . .
1 (xi −x0 )···(xi −xi−1 )(xi −xi+1 )···(xi −xn ) (x−x )···(x−x −1 )(x−xi+1 )···(x−xn ) = (xi−x00)···(xi−xii− 1 )(xi −xi+1 )···(xi −xn )
y
−y
k + x x−x −x yk +1
由两点式，L1(x) 是两个线性函数
x−xk+1 xk −xk+1 , lk +1 (x)
=
x−xk xk+1 −xk
的线性组合，系数是 yk 和 yk+1。
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第二章
插值法
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n a + a x + · · · + a x 0 1 0 n 0 = y0 a + a x + · · · + a xn = y 0 1 1 n 1 1 ··· a + a x + · · · + a xn = y
拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。
找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。
插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。
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一、插值余项
2.2 .3 插值多项式中的误差
从上节可知 , y f ( x )的 Lagrange 插值
Ln ( x )
yl
j0
n
j j
( x)
满足
但
Ln ( xi ) f ( xi )
x [a, b]
i 0 ,1, , n L n ( x ) f ( x ) 不会完全成立
K ( x)
f
( n 1)
( ) f
( n 1)
( n 1)! ( ) ( n 1)!
所以
R n ( x ) K ( x ) n 1 ( x )
n 1 ( x )
称 R n ( x )为插值多项式 Pn ( x )的余项 ( 截断误差 )
定理1. 设 f ( x )在区间 [ a , b ]上 n 1阶可微
0.0167
0.330365.
由（2.17）,其截断误差
R1 ( x) M2 2
1 2
( x x0 )( x x1 ) ,
1 2 f ( )( x x0 )( x x1 ),
其中
Байду номын сангаас
R1 ( x)
f ( )2 ( x)
M 2 max f ( x) max sin x sin x1 0.3335,
x0 x x1 x0 x x1
于是
R1 (0.3367) sin 0.3367 L1 (0.3367)
1 2
0.3335 0.0167 0.0033
5
0.92 10 .
用抛物插值计算，由公式（2.5）得
sin 0.3367 y0 ( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) y2 y1 ( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
( n 1 )
( t ) Pn
( t ) K ( x ) n 1 ( t ) ( ) K ( x ) n 1 ( )
( n 1 )
( n 1)
( n 1) ( ) f
f
( n 1 )
( ) Pn
( n 1 )
( n 1)
( ) K ( x ) ( n 1)! 0
k 1 k
yk 1 yk
（点斜式），
y2 0.352274.
用线性插值计算，取 x0 0.32, x1 0.34, 由公式（2.1）
sin 0.3367 L1 (0.3367)
y y1 y0 x1 x0 (0.3367 x0 )
0.314567
0.01892 0.02
注意 t 与 x 的区分
(t ) f (t ) Pn (t ) K ( x ) n 1 (t )
( x ) f ( x ) Pn ( x ) K ( x ) n 1 ( x ) 0
也可令 ( t ) R ( x ) n 1 ( t ) R (t ) n 1 ( x )
4 4
0.333487 0.551110 0.0008
4
0.0004
0.352274
0.330374.
这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，
这说明查表时用二次插值精度已相当高了.
由（2.18）, 截断误差限
R2 ( x) M3 6 ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) ,
f
(n 1)
( )
( n 1 )!
1 ( n 1 )!
n1( x)
M n1N n1
例1: 在上节例 1 .中 , 若 f ( x ) x , 三个节点为 144 ,169 , 225
试估计用 Lagrange 线性和二次插值做 截断误差 . f ( 175 )近似值的
解:
设 R1 ( x )为 Lagrange 线性插值的余项 R 2 ( x )为二次 Lagrange 插值的余项
f ( x )
1 2 x
f ( x )
1 4
3 2
x
f ( x )
3 8
5 2
x
M 2 max | f ( x )| f ( 169 )| 1 .14 10 4 | 169 x 225 M 3 max | f ( x )| f ( 144 )| 1 .51 10 6 | 144 x 225
(11 . 25 10 )(11 . 25 11 ) (12 10 )(12 11 )
2 . 420426
在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可 得误差估计式
R 2 (11 . 25 ) M3 3! | (11 . 25 10 )(11 . 25 11 )(11 . 25 12 ) | 0 . 00007
其中 n 1 ( x )
(x x ) ,
i i0
n
( a , b ) , 且依赖于 x .
设
M n 1 max | f
a xb
(n 1)
( x )|
n
N n 1 | n 1 ( x )|| ( x x i )|
i0
则
| R n ( x )|
( x x0 )( x x1 ) ( x x )( x x )
2 0 2 1 L2 ( x) yk 1lk 1 ( x) yk lk ( x) yk 1lk 1 ( x)
（2.5）
L2 (0.3367)
0.314567 3.89 10 0.7689 10 0.0008
实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.
N 2 2 ( x )| ( 175 169 )( 175 225 )| 300 | | N 3 3 ( x )| ( 175 144 )( 175 169 )( 175 225 )| 9300 | |
| R 1 ( x )| | R 2 ( x )|
其中
M 3 max f ( x) cos x0 0.828,
x0 x x2
于是
R2 ( x)
1 6
f ( )( x x0 )( x x1 )( x x2 ),
[ x0 , x2 ]
（2.18）
R2 (0.3367) sin 0.3367 L2 (0.3367)
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
假设在区间 [ a , b ]上 f ( x )的插值多项式为
Pn ( x )
令
显然在插值节点为
R n ( x ) f ( x ) Pn ( x ) x i ( i 0 ,1, , n )上
R n ( x i ) f ( x i ) Pn ( x i ) 0 , i 0 ,1, , n 因此 R n ( x ) 在[ a , b ]上至少有 n 1个零点
(11 . 25 11 )(11 . 25 12 ) (10 11 )(10 12 ) 2 . 302585 2 . 484907
ln11.25L2(11.25)
(11 . 25 10 )(11 . 25 12 ) (11 10 )(11 12 )
2 . 397895
且 ( x i ) f ( x i ) Pn ( x i ) K ( x ) n 1 ( x i ) R n ( x i ) K ( x ) n 1 ( x i ) 0
i 0 ,1, , n
因此 , 若令 x x i , (t ) 在区间 [ a , b ]上至少有 n 2 个零点 , 即
1 2! 1 3!
M 2N2
1 2 1 6
1 . 14 10
4
300 1 .71 10
2
M 3N3
1 . 51 10
6
9300
2 . 35 10
3
从以上分析可知
, 在求
175 时 误差更小
用 Lagrange 二次插值比线性插值的
例2 已知
sin 0.32 0.314567, sin 0.34 0.333487,
( x) 0 ,
( x i ) 0 , i 0 ,1, 2 , , n
由于 Pn ( x ) 和 n 1 ( x )为多项式 , 因此若 f ( x )可微 , 则 (t )也可微
根据Rolle定理, (t )在区间 ( a , b )上有至少
再由Rolle定理, (t )在区间 ( a , b )上有至少 依此类推
在区间 ( a , b )内至少有一个点
n 1个零点 n 个零点
, 使得 (t )的 n 1阶导数为零
( t ) f ( t ) Pn (t ) K ( x ) n 1 ( t )
( n 1 )
( n 1) ( ) 0
由于 因此
( n 1 ) ( t ) f
1 6
0.828 0.0167 0.033 0.0233
0.178 10 .
6
例 给定函数表
x
10
11
12
13
lnx
2.302585
2.397895
2.484907
2.564949
用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差.