Ch2_2插值余项与误差估计

k 1 k
yk 1 yk
（点斜式），
y2 0.352274.
用线性插值计算，取 x0 0.32, x1 0.34, 由公式（2.1）
sin 0.3367 L1 (0.3367)
y y1 y0 x1 x0 (0.3367 x0 )
0.314567
0.01892 0.02
解:
设 R1 ( x )为 Lagrange 线性插值的余项 R 2 ( x )为二次 Lagrange 插值的余项
f ( x )
1 2 x
f ( x )
1 4

3 2
x
f ( x )
3 8

5 2
x
M 2 max | f ( x )| f ( 169 )| 1 .14 10 4 | 169 x 225 M 3 max | f ( x )| f ( 144 )| 1 .51 10 6 | 144 x 225
且 ( x i ) f ( x i ) Pn ( x i ) K ( x ) n 1 ( x i ) R n ( x i ) K ( x ) n 1 ( x i ) 0
i 0 ,1, , n
因此 , 若令 x x i , (t ) 在区间 [ a , b ]上至少有 n 2 个零点 , 即
( x x0 )( x x1 ) ( x x )( x x )
2 0 2 1 L2 ( x) yk 1lk 1 ( x) yk lk ( x) yk 1lk 1 ( x)
（2.5）
L2 (0.3367)
0.314567 3.89 10 0.7689 10 0.0008
N 2 2 ( x )| ( 175 169 )( 175 225 )| 300 | | N 3 3 ( x )| ( 175 144 )( 175 169 )( 175 225 )| 9300 | |
| R 1 ( x )| | R 2 ( x )|
注意 t 与 x 的区分
(t ) f (t ) Pn (t ) K ( x ) n 1 (t )
( x ) f ( x ) Pn ( x ) K ( x ) n 1 ( x ) 0
也可令 ( t ) R ( x ) n 1 ( t ) R (t ) n 1 ( x )
0.0167
0.330365.
由（2.17）,其截断误差
R1 ( x) M2 2
1 2
( x x0 )( x x1 ) ,
1 2 f ( )( x x0 )( x x1 ),
其中
R1 ( x)
f ( )2 ( x)
M 2 max f ( x) max sin x sin x1 0.3335,
4 4
0.333487 0.551110 0.0008
4
0.0004
0.352274
0.330374.
这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，
这说明查表时用二次插值精度已相当高了.
由（2.18）, 截断误差限
R2 ( x) M3 6 ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) ,
设 其中
R n ( x ) K ( x ) n 1 ( x )
n 1 ( x ) ( x x 0 )( x x1 ) ( x x n )
K ( x )为待定函数
R n ( x ) f ( x ) Pn ( x ) K ( x ) n 1 ( x )
f ( x ) Pn ( x ) K ( x ) n 1 ( x ) 0 若引入辅助函数 则有
1 2! 1 3!
M 2N2

1 2 1 6
1 . 14 10
4
300 1 .71 10
2
M 3N3
1 . 51 10
6
9300
2 . 35 10
3
从以上分析可知
, 在求
175 时 误差更小
用 Lagrange 二次插值比线性插值的
例2 已知
sin 0.32 0.314567, sin 0.34 0.333487,
f
( n 1)
, Pn ( x )为 f ( x )在 [ a , b ]上的
n
n 次插值多项式 , 插值节点为 { x i } i 0 [ a , b ], 则 x [ a , b ], 有
Rn ( x )
( )
( n 1)!
n 1 ( x )
Lagrange型余项
(11 . 25 10 )(11 . 25 11 ) (12 10 )(12 11 )
2 . 420426
在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可 得误差估计式
R 2 (11 . 25 ) M3 3! | (11 . 25 10 )(11 . 25 11 )(11 . 25 12 ) | 0 . 00007
sin 0.36 0.352274,
用线性插值及抛物插值计算 sin 0.3367
的值并估计截断误差. 解
由题意, 取
x0 0.32, y0 0.314567,
L1 ( x ) yk
x1 0.34,
x2 0.36,
y1 x 0.333487, xk ) x (x
f
(n 1)
( )
( n 1 )!
1 ( n 1 )!
n1( x)

M n1N n1
例1: 在上节例 1 .中 , 若 f ( x ) x , 三个节点为 144 ,169 , 225
试估计用 Lagrange 线性和二次插值做 截断误差 . f ( 175 )近似值的
在区间 ( a , b )内至少有一个点
n 1个零点 n 个零点
, 使得 (t )的 n 1阶导数为零
( t ) f ( t ) Pn (t ) K ( x ) n 1 ( t )
( n 1 )
( n 1) ( ) 0
由于 因此
( n 1 ) ( t ) f
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
假设在区间 [ a , b ]上 f ( x )的插值多项式为
Pn ( x )
令
显然在插值节点为
R n ( x ) f ( x ) Pn ( x ) x i ( i 0 ,1, , n )上
R n ( x i ) f ( x i ) Pn ( x i ) 0 , i 0 ,1, , n 因此 R n ( x ) 在[ a , b ]上至少有 n 1个零点
x0 x x1 x0 x x1
于是
R1 (0.3367) sin 0.3367 L1 (0.3367)

1 2
0.3335 0.0167 0.0033
5
0.92 10 .
用抛物插值计算，由公式（2.5）得
sin 0.3367 y0 ( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) y2 y1 ( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )

1 6
0.828 0.0167 0.033 0.0233
0.178 10 .
6
例 给定函数表
x
10
11
12
13
lnx
2.302585
2.397895
2.484907
2.564949
用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差.
解 取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有
实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.
其中 n 1 ( x )
(x x ) ,
i i0
n
( a , b ) , 且依赖于 x .
设
M n 1 max | f
a xb
(n 1)
( x )|
n
N n 1 | n 1 ( x )|| ( x x i )|
i0
则
| R n ( x )|
其中
M 3 max f ( x) cos x0 0.828,
x0 x x2
于是
R2 ( x)
1 6
f ( )( x x0 )( x x1 )( x x2 ),
[ x0 , x2 ]
（2.18）
R2 (0.3367) sin 0.3367 L2 (0.3367)
K ( x)
f
( n 1)
( ) f
( n 1)
( n 1)! ( ) ( n 1)!
所以
R n ( x ) K (Байду номын сангаасx ) n 1 ( x )
n 1 ( x )
称 R n ( x )为插值多项式 Pn ( x )的余项 ( 截断误差 )
定理1. 设 f ( x )在区间 [ a , b ]上 n 1阶可微
§
一、插值余项
2.2 .3 插值多项式中的误差
从上节可知 , y f ( x )的 Lagrange 插值
Ln ( x )
yl
j0
n
j j
( x)
满足
但
Ln ( xi ) f ( xi )
x [a, b]
i 0 ,1, , n L n ( x ) f ( x ) 不会完全成立
( n 1 )
( t ) Pn
( t ) K ( x ) n 1 ( t ) ( ) K ( x ) n 1 ( )
( n 1 )
( n 1)
( n 1) ( ) f
f
( n 1 )
( ) Pn
( n 1 )
( n 1)
( ) K ( x ) ( n 1)! 0
( x) 0 ,
( x i ) 0 , i 0 ,1, 2 , , n
由于 Pn ( x ) 和 n 1 ( x )为多项式 , 因此若 f ( x )可微 , 则 (t )也可微
根据Rolle定理, (t )在区间 ( a , b )上有至少
再由Rolle定理, (t )在区间 ( a , b )上有至少 依此类推
(11 . 25 11 )(11 . 25 12 ) (10 11 )(10 12 ) 2 . 302585 2 . 484907
ln11.25L2(11.25)
(11 . 25 10 )(11 . 25 12 ) (11 10 )(11 12 )
2 . 397895