普通高校春季高考数学试卷(附答案)

普通高校春季高考数学试卷

一、填空题（本大题满分48分）

1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.

3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.

4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24

(

log )(3+=x

x f ，则方程4)(1

=-x f 的解=x __________.

6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 VAE ∆的面积是

4

1

，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________ (结果用反三角函数值表示).

7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞

→2

)

1(lim

n a n n _____________.

8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________个点.

（1） （2） （3） （4） （5）

9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别

只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第

_____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2. 12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a

必定是常数数列。然而在等比数列}{n a 中，对某

A

B

C V

E 。 。 。 。

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

。 。 。 第0行 1

第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……

些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数 列}{n a 的一个例子是____________. 二、填空题（本大题满分16分）

13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ） （A ）x y π2sin 21-= （B ）)3

2(sin π

π+

=x y （C ）x tg

y 2

π

= （D ）x x y ππcos sin =

14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题

①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.

上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④ 16．若21

++

=a

a p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）

（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p

三、解答题（本大题满分86分）

17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点

)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.

18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式

02

1

2<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.

19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.

某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？

(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的3

1

20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；

(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，

类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.

A

A 1

B 1

B C 1

C

M

N

P