等差数列经典例题百度文库(1)
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A． B． C． D．
16．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 ，已知 ， ，且满足 （ ），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人
A．225B．255C．365D．465
17．在等差数列 的中，若 ，则 等于（）
A．25B．11C．10D．9
18．在数列 中， ，且 ，则其通项公式为 （）
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，故等差数列 是递减数列，即 ，故A正确；
又 ，所以 ，故C不正确；
又因为等差数列 是单调递减数列，且 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式 ，及 ，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
【详解】
得 ，
∴ ，
即数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
∴ ，
∴ ，得 ，由二次函数的性质得数列 为递增数列，
所以易知ABD正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.
30．ABD
【分析】
先根据题意可知前9项的和最小，判断出 正确；根据题意可知数列为递减数列，则 ，又 ，进而可知 ，判断出 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知 ， ，故 正确.
【分析】
直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和
【详解】
解：当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以 ，
是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，
故选：B
17．D
【分析】
利用等差数列的性质直接求解．
【详解】
因为 ， ，
故选：D．
18．D
【分析】
先由 得出 ，再由累加法计算出 ，进而求出 .
22．题目文件丢失！
23．题目文件丢失！
24． 是等差数列，公差为d，前项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
25．在数列 中，若 为常数 ，则称 为“等方差数列” 下列对“等方差数列”的判断正确的是（）
A．若 是等差数列，则 是等方差数列
B． 是等方差数列
C．若 是等方差数列，则 为常数 也是等方差数列
【详解】
由等差数列的性质可得 ，
所以 ，解得： ，
故选：A
5．C
【分析】
利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】
{an}为等差数列，
S3＝12，即 ，解得 .
由 ，所以数列的公差 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
6．A
【详解】
由 .故选A.
7．C
【分析】
首先根据 得到 ，设 ，再利用裂项求和即可得到答案.
【详解】
当 时， ，
当 时， .
检验 ，所以 .
设 ，前 项和为 ，
则 .
故选：C
8．B
【分析】
由题得出 ，则 ，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
由 得 ，则 ，
解得 ， ， ，
，对称轴为 ，开口向上，
当 时， 最小.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列 是关于 的二次函数，当 与 异号时， 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当 与 同号时， 在 取最值.
A．0B．1C．2D．3
12．已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （）
A．121B．161C．141D．151
13．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为（）
A． B． C． D．
14．设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （）
A．15B．20C．25D．30
15．已知等差数列 的公差 为正数， 为常数，则 （）
则 ，则 ，
则这5个数依次是5，9，13，17，21.
故选：C
20．C
【分析】
由题设求得等差数列 的公差 ，即可求得结果.
【详解】
， ，
， 公差 ，
，
故选：C.
二、多选题
21．无
22．无
23．无
24．ABD
【分析】
结合等差数列的性质、前 项和公式，及题中的条件，可选出答案.
【详解】
由 ，可得 ，故B正确；
A． B． C． D．
8．设等差数列 的前 项和为 ， 且 ，则当 取最小值时， 的值为（）
A． B． C． D． 或 9．题目文件丢失！
10．已知等差数列 ，其前 项的和为 ， ，则 （）
A．24B．36C．48D．64
11．已知数列 的前 项和为 ，且 ，现有如下说法：
① ；② ；③ .
则正确的个数为（）
4．等差数列 中，已知 ，则 （）
A．13B．14C．15D．16
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（）
A．8B．10C．12D．14
6．已知数列 是等差数列，其前 项和为 ，若 ，则 （）
A．16B．-16
C．4D．-4
7．已知数列 的前 项和 满足 ，则数列 的前10项的和为（）
【详解】
根据题意可知数列为递增数列， ， ，
前9项的和最小，故 正确；
，故 正确；
，故 正确；
，
，
，故 不正确.
故选： .
【点睛】
本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
【详解】
在等差数列 中，设公差为 ，由 ， .
故选：A
2．A
【分析】
设项数为2n，由题意可得 ，及 可求解．
【详解】
设等差数列 的项数为2n，
末项比首项大 ，
， ，
．
由 ，可得 ， ，
即项数是8，
故选：A.
3．C
【分析】
先求得 ，然后求得 .
【详解】
依题意 ，所以 .
故选：C
4．A
【分析】
利用等差数列的性质可得 ，代入已知式子即可求解.
9．无
10．B
【分析】
利用等差数列的性质进行化简，由此求得 的值.
【详解】
由等差数列的性质，可得 ，则
故选：B
11．D
【分析】
由 得到 ，再分n为奇数和偶数得到 ， ，然后再联立递推逐项判断.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
联立得： ，
所以 ，
故 ，
从而 ，
， ，
则 ，故 ，
，
，
故①②③正确.
故选：D
25．BCD
【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.
【详解】
对于A，若 是等差数列，如 ，
则 不是常数，故 不是等方差数列，故A错误；
对于B，数列 中， 是常数，
是等方差数列，故B正确；
对于C，数列 中的项列举出来是， ， ， ， ， ， ，
数列 中的项列举出来是， ， ， ， ，
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则由已知可得 ，
所以
故选：B
15．A
【分析】
由已知等式分别求出数列的前三项，由 列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．
【详解】
， ,
令 ，则 ，解得
令 ，则 ，即 ，若 ，则 ，与已知矛盾，故解得
等差数列， ，即 ，解得
则公差 ，所以 .
故选：A
16．B
【详解】
由已知得： ,
结合等差数列的性质可知， ,该等差数列是单调递减的数列，
∴A正确，B错误，D正确，
,等价于 ,即 ,等价于 ，即 ,
这在已知条件中是没有的，故C错误.
故选:AD.
【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.
27．AD
【分析】
利用 求出数列的通项公式，可对A，B，D进行判断，对 进行配方可对C进行判断
，将这k个式子累加得 ， ， ， k为常数 是等方差数列，故C正确；
对于D， 是等差数列， ，则设
是等方差数列， 是常数，故 ，故 ，所以 ， 是常数，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.
26．AD
【分析】
由已知得到 ,进而得到 ,从而对ABD作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为 ，可知不一定成立，从而判定C错误.
A． B． C． D．
29．已知数列 满足： ，当 时， ，则关于数列 说法正确的是（）
A． B．数列 为递增数列
C．数列 为周期数列D．
30．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等差数列选择题
1．A
【分析】
利用等差数列的性质结合已知解得 ，进一步求得 ．
12．B
【分析】
由条件可得 ，然后 ，算出即可.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即
所以
故选：B
13．C
【分析】
由等差数列前 项和公式以及等差数列的性质可求得 ，再由等差数列的公式即可求得公差.
【详解】
解： ，
，
又 ，
，
.
故选：C．
14．B
【分析】
设出数列 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到 ，然后代入求和公式即可求解
【详解】
解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， 满足上式，
所以 ，
由于 ，所以数列 为首项为 ，公差为2的等差数列，
因为公差大于零，所以 为单调递增数列，所以A，D正确，B错误，
由于 ，而 ，所以当 或 时， 取最小值，且最小值为 ，所以C错误，
故选：AD
【点睛】
此题考查 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n项和的最值问题，属于基础题
D．若 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
26．已知无穷等差数列 的前n项和为 ， ，且 ，则（）
A．在数列 中， 最大B．在数列 中， 或 最大
C． D．当 时，
27．已知数列 的前n项和为 则下列说法正确的是（）
A． 为等差数列B．
C． 最小值为 D． 为单调递增数列
28．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（）
一、等差数列选择题
1．已知等差数列 满足 ， ，则 （）
A．10B．9C．8D．7
2．数列 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大 ，则该数列的项数是（）
A．8B．4C．12D．16
3．等差数列 中， ，公差 ，则 =（）
A．200B．100C．90D．80
【详解】
解： ，
，
化简得： ，
两边同时除以 并整理得：
，Hale Waihona Puke Baidu
即 ， ， ，…， ，
将上述 个式子相加得：
… … ，
即 ，
，
又 也满足上式，
，
.
故选：D.
【点睛】
易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现 ，要注意检验首项是否符合.
19．C
【分析】
根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字.
【详解】
在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，
A． B．
C． D．
19．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）
A．3、8、13、18、23B．4、8、12、16、20
C．5、9、13、17、21D．6、10、14、18、22
20．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （）
A．11B．12C．23D．24
二、多选题21．题目文件丢失！
28．AC
【分析】
利用等差数列 的前 项和公式、通项公式列出方程组，求出 ， ，由此能求出 与 ．
【详解】
等差数列 的前 项和为 ． ， ，
，
解得 ， ，
．
故选：AC．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
29．ABD
【分析】
由已知递推式可得数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
16．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 ，已知 ， ，且满足 （ ），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人
A．225B．255C．365D．465
17．在等差数列 的中，若 ，则 等于（）
A．25B．11C．10D．9
18．在数列 中， ，且 ，则其通项公式为 （）
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，故等差数列 是递减数列，即 ，故A正确；
又 ，所以 ，故C不正确；
又因为等差数列 是单调递减数列，且 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式 ，及 ，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
【详解】
得 ，
∴ ，
即数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
∴ ，
∴ ，得 ，由二次函数的性质得数列 为递增数列，
所以易知ABD正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.
30．ABD
【分析】
先根据题意可知前9项的和最小，判断出 正确；根据题意可知数列为递减数列，则 ，又 ，进而可知 ，判断出 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知 ， ，故 正确.
【分析】
直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和
【详解】
解：当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以 ，
是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，
故选：B
17．D
【分析】
利用等差数列的性质直接求解．
【详解】
因为 ， ，
故选：D．
18．D
【分析】
先由 得出 ，再由累加法计算出 ，进而求出 .
22．题目文件丢失！
23．题目文件丢失！
24． 是等差数列，公差为d，前项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
25．在数列 中，若 为常数 ，则称 为“等方差数列” 下列对“等方差数列”的判断正确的是（）
A．若 是等差数列，则 是等方差数列
B． 是等方差数列
C．若 是等方差数列，则 为常数 也是等方差数列
【详解】
由等差数列的性质可得 ，
所以 ，解得： ，
故选：A
5．C
【分析】
利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】
{an}为等差数列，
S3＝12，即 ，解得 .
由 ，所以数列的公差 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
6．A
【详解】
由 .故选A.
7．C
【分析】
首先根据 得到 ，设 ，再利用裂项求和即可得到答案.
【详解】
当 时， ，
当 时， .
检验 ，所以 .
设 ，前 项和为 ，
则 .
故选：C
8．B
【分析】
由题得出 ，则 ，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
由 得 ，则 ，
解得 ， ， ，
，对称轴为 ，开口向上，
当 时， 最小.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列 是关于 的二次函数，当 与 异号时， 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当 与 同号时， 在 取最值.
A．0B．1C．2D．3
12．已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （）
A．121B．161C．141D．151
13．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为（）
A． B． C． D．
14．设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （）
A．15B．20C．25D．30
15．已知等差数列 的公差 为正数， 为常数，则 （）
则 ，则 ，
则这5个数依次是5，9，13，17，21.
故选：C
20．C
【分析】
由题设求得等差数列 的公差 ，即可求得结果.
【详解】
， ，
， 公差 ，
，
故选：C.
二、多选题
21．无
22．无
23．无
24．ABD
【分析】
结合等差数列的性质、前 项和公式，及题中的条件，可选出答案.
【详解】
由 ，可得 ，故B正确；
A． B． C． D．
8．设等差数列 的前 项和为 ， 且 ，则当 取最小值时， 的值为（）
A． B． C． D． 或 9．题目文件丢失！
10．已知等差数列 ，其前 项的和为 ， ，则 （）
A．24B．36C．48D．64
11．已知数列 的前 项和为 ，且 ，现有如下说法：
① ；② ；③ .
则正确的个数为（）
4．等差数列 中，已知 ，则 （）
A．13B．14C．15D．16
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（）
A．8B．10C．12D．14
6．已知数列 是等差数列，其前 项和为 ，若 ，则 （）
A．16B．-16
C．4D．-4
7．已知数列 的前 项和 满足 ，则数列 的前10项的和为（）
【详解】
根据题意可知数列为递增数列， ， ，
前9项的和最小，故 正确；
，故 正确；
，故 正确；
，
，
，故 不正确.
故选： .
【点睛】
本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
【详解】
在等差数列 中，设公差为 ，由 ， .
故选：A
2．A
【分析】
设项数为2n，由题意可得 ，及 可求解．
【详解】
设等差数列 的项数为2n，
末项比首项大 ，
， ，
．
由 ，可得 ， ，
即项数是8，
故选：A.
3．C
【分析】
先求得 ，然后求得 .
【详解】
依题意 ，所以 .
故选：C
4．A
【分析】
利用等差数列的性质可得 ，代入已知式子即可求解.
9．无
10．B
【分析】
利用等差数列的性质进行化简，由此求得 的值.
【详解】
由等差数列的性质，可得 ，则
故选：B
11．D
【分析】
由 得到 ，再分n为奇数和偶数得到 ， ，然后再联立递推逐项判断.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
联立得： ，
所以 ，
故 ，
从而 ，
， ，
则 ，故 ，
，
，
故①②③正确.
故选：D
25．BCD
【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.
【详解】
对于A，若 是等差数列，如 ，
则 不是常数，故 不是等方差数列，故A错误；
对于B，数列 中， 是常数，
是等方差数列，故B正确；
对于C，数列 中的项列举出来是， ， ， ， ， ， ，
数列 中的项列举出来是， ， ， ， ，
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则由已知可得 ，
所以
故选：B
15．A
【分析】
由已知等式分别求出数列的前三项，由 列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．
【详解】
， ,
令 ，则 ，解得
令 ，则 ，即 ，若 ，则 ，与已知矛盾，故解得
等差数列， ，即 ，解得
则公差 ，所以 .
故选：A
16．B
【详解】
由已知得： ,
结合等差数列的性质可知， ,该等差数列是单调递减的数列，
∴A正确，B错误，D正确，
,等价于 ,即 ,等价于 ，即 ,
这在已知条件中是没有的，故C错误.
故选:AD.
【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.
27．AD
【分析】
利用 求出数列的通项公式，可对A，B，D进行判断，对 进行配方可对C进行判断
，将这k个式子累加得 ， ， ， k为常数 是等方差数列，故C正确；
对于D， 是等差数列， ，则设
是等方差数列， 是常数，故 ，故 ，所以 ， 是常数，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.
26．AD
【分析】
由已知得到 ,进而得到 ,从而对ABD作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为 ，可知不一定成立，从而判定C错误.
A． B． C． D．
29．已知数列 满足： ，当 时， ，则关于数列 说法正确的是（）
A． B．数列 为递增数列
C．数列 为周期数列D．
30．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等差数列选择题
1．A
【分析】
利用等差数列的性质结合已知解得 ，进一步求得 ．
12．B
【分析】
由条件可得 ，然后 ，算出即可.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即
所以
故选：B
13．C
【分析】
由等差数列前 项和公式以及等差数列的性质可求得 ，再由等差数列的公式即可求得公差.
【详解】
解： ，
，
又 ，
，
.
故选：C．
14．B
【分析】
设出数列 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到 ，然后代入求和公式即可求解
【详解】
解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， 满足上式，
所以 ，
由于 ，所以数列 为首项为 ，公差为2的等差数列，
因为公差大于零，所以 为单调递增数列，所以A，D正确，B错误，
由于 ，而 ，所以当 或 时， 取最小值，且最小值为 ，所以C错误，
故选：AD
【点睛】
此题考查 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n项和的最值问题，属于基础题
D．若 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
26．已知无穷等差数列 的前n项和为 ， ，且 ，则（）
A．在数列 中， 最大B．在数列 中， 或 最大
C． D．当 时，
27．已知数列 的前n项和为 则下列说法正确的是（）
A． 为等差数列B．
C． 最小值为 D． 为单调递增数列
28．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（）
一、等差数列选择题
1．已知等差数列 满足 ， ，则 （）
A．10B．9C．8D．7
2．数列 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大 ，则该数列的项数是（）
A．8B．4C．12D．16
3．等差数列 中， ，公差 ，则 =（）
A．200B．100C．90D．80
【详解】
解： ，
，
化简得： ，
两边同时除以 并整理得：
，Hale Waihona Puke Baidu
即 ， ， ，…， ，
将上述 个式子相加得：
… … ，
即 ，
，
又 也满足上式，
，
.
故选：D.
【点睛】
易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现 ，要注意检验首项是否符合.
19．C
【分析】
根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字.
【详解】
在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，
A． B．
C． D．
19．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）
A．3、8、13、18、23B．4、8、12、16、20
C．5、9、13、17、21D．6、10、14、18、22
20．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （）
A．11B．12C．23D．24
二、多选题21．题目文件丢失！
28．AC
【分析】
利用等差数列 的前 项和公式、通项公式列出方程组，求出 ， ，由此能求出 与 ．
【详解】
等差数列 的前 项和为 ． ， ，
，
解得 ， ，
．
故选：AC．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
29．ABD
【分析】
由已知递推式可得数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.