高中数学必修4公开课课件1.3 三角函数的诱导公式(一)
1.3三角函数的诱导公式课件(公开课)省优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
作业
课本习题1.3A组2,3
1.3三角函数旳诱导公式
三角函数旳诱导公式（第一课时）
学习目的 :
（1）了解识记诱导公式（二、三、四）； （2）了解和掌握公式旳内涵及构造特征，会 初步利用诱导公式求三角函数旳值； （3）会进行简朴三角函数式旳化简和证明。
一.复习回忆
任意角三角函数旳定义
设α是一种任意角，它旳终边与单位圆交于点P(x，y)，
3sin 1300 sin140 sin 40 0.6428
4
cos
79 6
cos
5
6
cos
6
3 2
例2 化简
cos180 • sin 360 sin 180 • cos 180 .
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
2sin3 cos 2 tan
练习：利用定义和公式一求下列角旳三个三角
函数值：
(1)30 (2)750 （3）210
(4) - 30
360 2 30
180 30
观察所画旳图并思索： ①（１）与（２）旳角旳终边有什么关系？
②（１）与（３）旳角旳终边有什么关系？
③（１）与（４）旳角旳终边有什么关系？
问题探究
相等
1.终边相同旳角旳同一三角函数值有什么关系?
3
4
3
4
3
4
3
2
1.3三角函数的诱导公式-课件(人教A版必修4)
cos 60°)sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.
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新课标 ·数学 必修4
学教法分析
思想方法
1．对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化
为正角的三角函数，若化了以后的正角大于 360°，再利用诱
学方案设计
导公式一，化为 0°到 360°间的角的三角函数．若这时角是
●教学建议
思想方法
1．三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，
学方案设计因此，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、直线 y＝x、
原点等的对称性出发研究诱导公式，是一个自然的思路．利
当堂双基
用单位圆的对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐
前自主导学
标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式(数)
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思想方法
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当堂双基 课时作
学教法分析 学方案设计 前自主导学 堂互动探究
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思想方法
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当堂双基 课时作
学教法分析 学方案设计 前自主导学 堂互动探究
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思想方法
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当堂双基 课时作
90°到 180°间的角，再利用 180°－α 的诱导公式化为 0°～90°当堂双基
前自主导学间的角的三角函数；若这时角是 180°～270°间的角，则用 180° ＋α 的诱导公式化为 0°～90°间的角的三角函数；若这时角是
270°～360°间的角，则利用 360°－α 的诱导公式化为 0°～90°
学教法分析
1.3《三角函数的诱导公式》课件
因 为s in 公 式4 s in 2 2
cos
公 式5 s in
2
sin( ) cos 2 cos( ) sin 2
诱导公式（六）
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
α k 2π(k Z), α, α π 的三角函数值，等于α 的 同名函数值，前面加上 一 个把α看成锐角时原函 数 值的符号。
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin(2k ) sin ， cos(2k ) cos ， tan( 2k ) tan 。
2 2 3 3 cos( ) sin cos( ) sin 2 2 共同点：遇到 / 2 a 时候
函数名改变,函数名前面的+、-符号与前面的括号 里面角在第几象限来确定。
※记忆方法：
奇变偶不变，符号看象限．
说明：
奇偶指的是
k
2 符号指的是前面三角函数的符号(由象限决定)
-1
• 如上图我观察到的东东是如下：
• 第一：ɑ和πɑ的角的终边关于y轴对称
• 第二：所以这两个角的终边与单位圆的焦点 p＇ 和p两个点关于y轴对称
• 第三：这个两个点的横坐标互为相反数，纵坐标 相同
1.3三角函数的诱导公式(一) 课件(人教A版必修4)
知识点 2 化简三角函数式或证明三角恒等式 tan2π－αsin－2π－αcos6π－α 【例 2】 求证： ＝－tan α. cosα－πsin5π－α 思路点拨： 运用诱导公式把各三角函数都转化为 α 的三角函数值．
自学导引 1．公式一是说，2kπ＋α(k∈Z)与 α 的三角函数值______ 相等 ，即 终边相同的角的三角函数值相等， 应用公式一可以将任意角的三角 函数化为______ [0,2π) 的三角函数．
sin α；cos(π＋α)＝ － cos α ； 2．公式二：sin(π＋α)＝－ ______ ______ tan α tan(π＋α)＝______. 公式三：sin(－α)＝________ －sin α ；cos(－α)＝________ cos α ； －tan α tan(－α)＝________. sin α ；cos(π－α)＝－cos α； 公式四：sin(π－α)＝______ tan(π－α)＝ ______. － tan α
π π 解：存在 α＝4，β＝6使等式同时成立．理由如下：
π sin3π－α＝ 2cos －β， sin α＝ 2sin β， 2 由 得 3cos α＝ 2cos β， 3cos－α＝－ 2cosπ＋β， 1 2 2 2 两式平方相加得 sin α＋3cos α＝2，得到 sin α＝2，即 sin α＝ π π 2 π π π ± 2 .因为 α∈ －2，2 ，所以 α＝4或 α＝－4.将 α＝4代入 3cos α＝ 3 π π 2cos β，得 cos β＝ 2 ，由于 β∈(0，π)，所以 β＝6.将 α＝－4代入 1 sin α＝ 2sin β，得 sin β＝－2，由于 β∈(0，π)，这样的角 β 不存 π π 在．综上可知，存在 α＝4，β＝6使等式同时成立．
高中人教版数学必修4课件：1.3公式二、公式三和公式四
诱导公式解决一些三角函数的化简、求值、 算素养.
证明问题．(难点)
自主 预习 探新 知
1．诱导公式二 终边关系
图示
角 π＋α 与角 α 的终边 关于 原点 对称
公式
sin(π＋α)＝ －sin α ， cos(π＋α)＝ －cos α ，
思考：(1)诱导公式中角 α 只能是锐角吗？ (2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
[提示] (1)诱导公式中角 α 可以是任意角，要注意正切函数中要 求 α≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
1．下列说法中正确的是( ) A．公式二～四对任意角α都成立 B．由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β) C．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C D．以上说法均错误
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－31，α为第四象限角
→
求sinα－75°
→ 用sin180°＋α＝－sin α求值
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝sin
(2)化简：
1＋2sin 290°cos 430° sin 250°＋cos 790° .
[解]
(1)原式＝－sisninπ＋α－αs－in cαos－αcsoins
α α
＝－－sinsiαnα－s－incαos－αscions αα＝－1.
(2)原式＝
1＋2sin360°－70°cos360°＋70° sin180°＋70°＋cos720°＋70°
1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)
π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求
1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四
2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x
高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(一)
3
3
42 8
2.已知cos(α -75°)=- 1 ,且α 为第四象限角,求
3
sin(105°+α )的值. 【解题指南】由于105°+α =180°+(α -75°),故欲求 sin(105°+α ),需利用条件求出sin(α -75°).该三角函 数式只需用平方关系即可求得.
【解析】因为cos(α-75°)=- <1 0,且α为
(3)注意“1”的应用:1=sin2α +cos2α =tan .
4
【拓展延伸】三角函数式化简的思路以及含有kπ ±α 形式的处理方法 (1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α 的三角函 数转化. (2)含有kπ ±α 形式的化简时需对k分是偶数还是奇数 来确定选用的公式.
【变式训练】化简 scio n s(( 4 4 ))scio ns(2 5( ))cso in s2 2(( 3 )).
sin(2m )cos［2m 1 ］ sin［2m 1 ］cos(2m )
sin()cos( ) sin(cos) 1. sin( )cos sincos
k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),
原式sin［s2im n(2m 2］ c)cooss［ (2m 2m 1)］
提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决 问题的关键.
【补偿训练】1.已知 sin(－)＝1，
3
2
求cos2(α - )·sin ( 2 ＋ ) 的值.
3
3
【解析】cos2()sin(2＋ )
33
＝cos2[－(－)]sin[－(－)]
3
3
高中数学人教版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(共27张PPT)
2
2
cos x
1
1
2
3.
2
2
4.已知 cos( x) 3 , x ( ,2 ),
5
则tanx等于（ D ）
A. 3
B. 4
C. 3
D.
4
3
4
3
解析 cos( x) cos x 3 ,
cos x 3 0.
5
5
x ( , 3 ).
锐角的三角函数值有何关系呢？
数学探究
给定一个角α
(1)角π＋α的终边与角α的终边有什么关系?
它们的三角函数值之间有什么关系?
关于原点对称
sin(π＋α) = －sinα
cos(π＋α) = －cosα 公式二
y
P(x,y)
tan(π＋α) = tanα
π +α α
O
x
作用：第三象限角→锐角.
P(－x, － y)
数学应用
例1 利用公式求下列三角函数值：
(1) c os11
=
2 2
;(2) sin 10
=
3 2
;
4
(3)tan 480 =
3
3
;(4) sin 17 =
1 2
;
6
小结
利用诱导公式把任意角的三角函数转化 为锐角函数的一般步骤:
“负化正，正化主，主化锐。”
学习目标
1. 识记诱导公式； 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征， 会初步运用诱导公式求三角函数的值， 并进行简单三角函数式的化简和证明。
重、难点：
函数名称与正负号的正确判断。
人教版高中数学必修四 1.3 第一课时 诱导公式(一)
三角函数的诱导公式第一课时诱导公式(一)预习课本P23～25，思考并完成以下问题(1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？(2)诱导公式的内容是什么？(3)诱导公式1～4有哪些结构特征？[新知初探]1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称． 如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α. cos(π－α)＝－cos_α. tan(π－α)＝－tan_α.4．α＋k ·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角α是任意角．( )(2)公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( ) (3)公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝π2不成立．( )答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知cos(π＋θ)＝36，则cos θ＝( ) A ．36 B ．－36 C ．336D ．－336答案：B3．若sin(π＋α)＝13，则sin α等于( )A ．13B ．－13C ．3D ．－3答案：B4．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________. 答案：－4[典例] 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6.[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. (3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°； (2)sin4π3·cos 19π6·tan 21π4. 解：(1)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°) ＝cos 60°sin 30°＋tan 135° ＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°) ＝cos 60°sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.(2)原式＝sin 4π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋7π6·tan ⎝⎛⎭⎫4π＋5π4 ＝sin4π3·cos 7π6·tan 5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6·tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·tan π4＝⎛ ⎝⎭-×⎛ ⎝⎭-×1＝34.[典例] 化简：(1)－α＋α－α；(2)＋αα－－180°－α－α－. [解] (1)－α＋α－α＝cos α＋αsin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝×360°＋α×360°－α°＋α－°＋α＝sin α－α－cos α·sin α＝cos α－cos α＝－1.[活学活用] 化简下列各式： (1)α＋2α＋α＋3－α－；(2)k π－αk －－α]k ＋＋αk π＋α(k ∈Z)．解：(1)原式＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝tan 2 αtan α＝tan α .(2)当k ＝2n (n ∈Z)时， 原式＝n π－αn －－α]n ＋＋αn π＋α＝－α－π－α＋αα＝－sin α－cos α－sin α·cos α＝－1； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时， 原式＝n ＋－αn ＋1－－α]n ＋1＋＋αn ＋＋α]＝－ααsin α＋α＝sin α·cos αsin α－cos α＝－1.综上，原式＝－1.[[解] 因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求： (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6的值； (2)sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫13π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. (2)sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2⎝⎭＝23. 2．[变条件]若将本例中条件“cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33”改为“sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝33，α∈⎝⎛⎭⎫2π3，7π6”，则结论如何？解：因为α∈⎝⎛⎭⎫2π3，7π6，则α－π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π. cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝ 1－13＝63. 3．[变条件，变设问]tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α. 解：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π6＋α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.层级一 学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A ．12B ．－12C ．－32D ．32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C ．55 D ．255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A ．13B ．－13C ．233D ．－233解析：选B ∵tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则α＋＋＋α－α－cos＋α的值等于( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)] ＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ， ∴原式＝＋α－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. (2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. (3)tan 37π6＝tan ⎝⎛⎭⎫6π＋π6＝tan π6＝33. 10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin α－2＋sin －α－3cos α－3cos －α－cos －π－αcos α－4的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故α－＋－α－α－－α－－π－αα－＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二 应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称， ∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr .4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎡⎦⎤n ＋－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤n －－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤n ＋－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤n －－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：－sin 495°＋－的值是________．解析：原式＝°＋225°°＋135°－°＋360°＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝°＋45°°－45°－°＋30°＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f x －－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简 (1)－θ－θ－θ－cos θ＋θ；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)． 解：(1)原式＝－θ－θ－θ－cos θ＋θ＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°) ＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋θ＋1－θ－＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2－θ－的值．解：由1＋θ＋720°1－θ－360°＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2－θ－＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.。
人教版高中数学必修四教材用书第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第一课时 三角函数的诱导公式(一
．三角函数的诱导公式第一课时三角函数的诱导公式(一)[提出问题]问题：锐角α的终边与π＋α角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角α与π＋α呢？提示：无论α是锐角还是任意角，π＋α与α的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交点关于原点对称．问题：任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系．提示：α与－α的终边关于轴对称，它们与单位圆的交点与关于轴对称，设的坐标为(，)，则的坐标为(，－)．(－α)＝－＝－α，(－α)＝＝α，(－α)＝－＝－α.问题：任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系．提示：α与π－α的终边关于轴对称，如图所示，设(，)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为′(－，)，，′关于轴对称，由三角函数定义知，(π－α)＝＝α，(π－α)＝－＝－α，(π－α)＝＝－α.[导入新知]．诱导公式二＋π角()α与角原点的终边关于α对称．如图所示．＋(π公式：()α)α－＝.＋(π.)αα－＝＋π(αα).＝．诱导公式三()角－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．－(公式：.α())－α＝－(α＝).α)(－α.＝α－．诱导公式四()角π－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．(π公式：()－αα＝.)α(π－)＝α.－α－)(π.＝α－[化解疑难]对诱导公式一～四的理解()公式两边的三角函数名称应一致．()符号由将α看成锐角时α所在象限的三角函数值的符号决定．但应注意，将α看成锐角只是为了公式记忆的方便，事实上α可以是任意角.[例]()(－°)；() °；().[解]()(－°)＝－°＝－(×°＋°)＝－°＝－(°－°)＝－°＝－；。
1.3第1课时 三角函数的诱导公式二、三、四 课件(共25张PPT)删减版文库素材
∴当 α 是第一象限角时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos
α＝－ 1－sin2α＝－2 3 2；当 α 是第二象限角时，cos(5π
＋α)＝－cos α＝
1－sin2α＝2
3
2 .
(2)cos(76π＋α)＝cos(π＋π6＋α)
＝－cos(π6＋α)＝－
3 3.
栏目 导引
第一章 三角函数
第一章 三角函数
1．3 三角函数的诱导公式 第1课时 三角函数的诱导公式二、三、四
第一章 三角函数
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
诱导公式二～四 的推导方法
―理―解→
诱导公式一～ 四的作用
―掌―握→
诱导公式并 能运用公式
重点难点 重点：初步运用诱导公式二、三、四求三角函 数值． 难点：利用诱导公式进行一般的三角关系式的化简和证明．
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)法一：cos(－361π)＝cos316π
＝cos(4π＋76π)＝cos(π＋π6)＝－cosπ6＝－
3 2.
法二：cos(－316π)＝cos(－6π＋56π)
＝cos(π－π6)＝－cosπ6＝－
3 2.
(3)tan(－765°)＝－tan 765°＝－tan(45°＋2×360°)
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝2
3
2 .
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 解决条件求值问题的策略： (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间 的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行 变形向已知式转化．
高中数学课件 1.3三角函数的诱导公式(一)
例1.利用公式求下列三角函数值： 11 （1） cos225º； （2） sin ; 3
（4）cos -2040o
cos(180 ) sin( 360 ) . 例2. 化简： sin( 180 ) cos(180 )
例3. 把下列三角函数化为锐角三角函数： 11 17 (1)sin ; (2)sin( ); 10 3 (3) cos(51015'); (4) cos(24012 ').
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
1.5
P1
1
P
T
0.5
O
-2 -1
M1
-0.5 -1
M
1
A
2
-1.5
T1
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
例4. 判断下列三角函数的奇偶性： ⑴ f(x)=1-cosx； ⑵ g(x)=x-sinx.
课堂小结：
公式一： sin( 2k ) sin
sin( ) sin cos( 2k ) cos (k Z ) cos( ) cos tan( ) tan tan( 2k ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式一 ~ 四可用下面的话来概括：
2k (k Z ), , 的三角函数值， 等于角的同名函数值，前面加上一个把
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一)课件 新人教A版必修4
【解析( jiě xī)】1.选B.sin2(π-α)-cos(π+α)cos(-α)+1
=sin2α+cos2α+1=2.
2.(1)原式
cos tan tan
tan .
sin
(2)当k为偶数时，原式 sin 2 cos 4
33
sin( ) cos( )
3
3
sin cos 3 33 4
6
6
【解析】因为(yīcons(w5èi) ) cos[ ( )] cos( ) 3 ,
所以
6
6
6
3
又因为si(ny2ī(n56wèi))
1
cos2
(
5 6
)
1
(
3)2 2. 33
所以 cos( ) cos[( )] cos( ) 3 .
6
6
6
3
sin2 (5 ) cos( )
6
6
2 3 2 3. 33 3
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【拓展提升】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称 及有关(yǒuguān)运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转 化.
第二十二页，共43页。
第二十六页，共43页。
当k为奇数( jī shù)时，s原in 式2 cos( 4)
3
3
sin( )cos(2 )
3
3
sin cos 3 . 3 34
第二十七页，共43页。
【拓展提升】三角函数式化简的常用方法
(1)依据(yījù)所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化
人教版高中数学3三角函数诱导公式(一)(共18张PPT)教育课件
（公式二）
0~2π
（公式四）
0~π
锐角
课后活动
• P29 2 ，3 • 完成P15“新知导学”的预习
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事 看开了 ，就 会有 个好 心情。 让聚 散离 合犹 如月 缺月 圆那样 寻常 ，
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
公式四
s in ( ) s in c o s ( ) c o s ta n ( ) ta n
注意
• 1.公式中
可以是任意角。
• 2.注意角度制下的公式。
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
解题一般步骤
（公式三）
（公式一）
（公式二）
负角
正角 k 2 0~2π
（公式四）
0~π
锐角
例题
例2 化简：sci n o 1 s8 1 0 8 c s 0io n1 s38 6 00 ．
1.诱导公式
小结
函数名不变，符号看象限
2.做题规律
（公式三）
负角
（公式一）
正角 k 2
钝角→锐角
公式一
诱导公式 公式二
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式三
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x
诱导公式（二）
sin( ) sin, cos( ) cos, tan( ) tan.
y
诱导公式（三）
P1(x, y) sin( ) sin ,
O
x cos( ) cos,
P3 (x, y)
tan( ) tan.
y
P4 (x, y)
O
诱导公式（四）
P1(x, y) sin( ) sin, cos( ) cos,
任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的三 角函数
用公式二或四
0～2 的角的
三角函数
例2.化简 cos180 sin 360 sin 180cos180 .
解： sin 180 sin 180 sin180 sin sin,
cos180 cos 180
（公式三）
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan .
（公式四）
讨论：观察四组公式，如何用一句话来概括？它们的作用 是什么？
k 2(k Z), , 的三角函数值，等
于α的同名函数值，前面加上一个把α看成 锐角时原函数值的符号.
函数名不变，符号看象限.
sin( k 2) sin ; cos( k 2) cos ; tan( k 2) tan .
答：作用是把求任意角的三角函数值转化为求0 ～ 2
范围内的角的三角函数值.
思考2: 给定一个角α. （1）角π-α、π+α的终边与角α的终边有什么关 系？它们的三角函数之间有什么关系？ （2）角-α的终边与角α的终边有什么关系？它们的 三角函数之间有什么关系？in 16 sin(5 )= (sin ) 3 ;
3
3
3
32
(4)cos2 040 cos 2 040 cos6360 120 cos120
cos180 60 cos 60 1 .
2
讨论:你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐角三角函 数的步骤吗？
x
tan( ) tan.
提升总结：
sin( 2k) sin (k Z)， cos( 2k) cos (k Z)， tan( 2k) tan (k Z).
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan .
（公式一）
（公式二）
sin() sin ， cos() cos ， tan() tan.
－的终边
＋的终边
y
r =1
α
O
α的终边
P1(x, y)
x A(1,0)
－的终边
y
角α的终边与单位圆的交点坐标
为P1(x,y).
P1(x, y) 角 的终边与单位圆的交点 P2
O
x 的坐标为 x, y
．
P2
由三角函数的定义得：
sin y, cos x,
tan y ,
x
sin( ) y, cos( ) x, tan( ) y .
2.作用: 将任意角的三角函数转化为锐角三角函数解决.
悲观的人虽生犹死，乐观的人永生不老。 ——拜伦
cos180 cos,
所以
原式
cos sin
sin cos
1.
1.将下列三角函数转化为锐角三角函数：
1 cos 13
9
cos 4
9
3sin( )
5
2sin 1
sin1
4cos706
sin
5
cos 706
2.利用公式求下列三角函数值：
1 cos 420
1 2
2sin( 7 )
作用是把任意角的三角函数，转化成锐角的三角函数.
例1.利用公式求下列三角函数值：
(1) cos 225;
(2)sin 11 ; 3
(3) sin( 16 ); 3
(4)cos2 040.
解：
搞清用哪一组公式
(1) cos 225 cos 180 45 cos 45 2 ;
2
(2) sin 11 sin(4 ) sin 3 ;
1.3 三角函数的诱导公式（一）
1.理解四组诱导公式及其探究思路; (难点） 2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值; （重点） 3.利用四组诱导公式会进行简单的化简与证明.（重点）
思考1: 前面学习的诱导公式（一）的内容是什么？它的 作用是什么？
答：诱导公式（一）： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
6
1 2
3sin1320 3 4 cos( 79 ) 3
2
6
2
3.化简
1sin 180cos sin 180
sin2 cos
2sin3 cos2 tan
sin4
3 sin(1440 ) cos( 1080)
cos(180 ) sin( 180)
1
1.三角函数诱导公式的推导过程,可以这样记忆和理解: “函数名不变，符号看象限”.