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届上海初三数学各区一模压轴题汇总(15套全)

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2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴第25题精选30道-几何综合问题(解析版)

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴第25题精选30道-几何综合问题(解析版)

压轴第25题精选30道-几何综合问题（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（ ）A ．1或6秒B ．8.5秒C ．1或8.5秒D ．2或6秒【答案】C【分析】 设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，①612t <≤和①1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设A 灯旋转的时间为t 秒，A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒， B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，0182t ∴<≤-，即016t <≤，由题意，分以下三种情况：①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP ''，1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，解得1t =，符合题设；①如图，当612t <≤时，//AM BP ''，18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP ''，2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，解得8.5t =符合题设；①如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，解得1916t =>，不符题设，舍去；综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．2．如图，E 在线段BA 的延长线上，①EAD ＝①D ，①B ＝①D ，EF①HC ，连FH 交AD 于G ，①FGA 的余角比①DGH 大16°，K 为线段BC 上一点，连CG ，使①CKG ＝①CGK ，在①AGK内部有射线GM ，GM 平分①FGC ，则下列结论：①AD①BC ；①GK 平分①AGC ；①①E ＋①EAG ＋①HCK ＝180°；①①MGK 的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】根据平行线的判定定理得到AD①BC，故①正确；由平行线的性质得到①AGK=①CKG，等量代换得到①AGK=①CGK，求得GK平分①AGC；故①正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，根据平行线的性质和三角形外角的性质得到①E+①EAG+①HCK=180°；故①正确；根据题意列方程得到①FGA=①DGH=37°，设①AGM=α，①MGK=β，得到①AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：①①EAD=①D，①B=①D，①①EAD=①B，①AD①BC，故①正确；①①AGK=①CKG，①①CKG=①CGK，①①AGK=①CGK，①GK平分①AGC；故①正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，①EF①CH，①①EPQ=①CQP，①①EPQ=①E+①EAG，①①CQG=①E+①EAG，①AD①BC，①①HCK+①CQG=180°，①①E+①EAG+①HCK=180°；故①正确；①①FGA的余角比①DGH大16°，①90°-①FGA-①DGH=16°，①①FGA=①DGH，①90°-2①FGA=16°，①①FGA=①DGH=37°，设①AGM=α，①MGK=β，①①AGK=α+β，①GK平分①AGC，①①CGK=①AGK=α+β，①GM平分①FGC，①①FGM =①CGM ，①①FGA +①AGM =①MGK +①CGK ，①37°+α=β+α+β，①β=18.5°，①①MGK =18.5°，故①错误，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．3．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，8BC =．将矩形纸片沿GH 折叠，使点B 与D 重合．有下列语句：①四边形BGDH 是菱形；①74AG =；①7.5GH =；①60BGH ∠=︒．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 根据折叠的性质及矩形的性质可得BH =DH =GD =BG ，即可判定①正确；若设AG =x ，则BG =DG =8-x ，在Rt ①AGB 中由勾股定理建立方程可求得x ，即AG 的长，因此可判定①；连接BD ，利用菱形的面积相等，可求得GH 的长，从而可判定①；根据对①的判定可确定①ABG 是否为30°即可判定①．【详解】根据折叠的性质得：BH =DH ，BG =GD ，①BHG =①DHG ，①BGH =①DGH①四边形ABCD 是矩形①AD ①BC ，AD =BC =8，①A =90°①①DGH =①BHG①①DGH =①DHG①GD =DH①BH =DH =GD =BG①四边形BGDH 是菱形即①正确设AG =x ，则BG =GD =8-x在Rt ①AGB 中，由勾股定理建立方程得：2226(8)x x +=- 解得：74x = 即AG 的长74故①正确如图，连接BD在Rt ①ABD 中，由勾股定理得：10BD = ①12BD GH GD AB =，GD =AD -AG =725844-= ①12510624GH ⨯=⨯ ①GH =7.5故①正确①BG =GD =254 ①12AG BG ≠ ①①A =90°①①ABG ≠30°即①AGB ≠60°①①BGH =①DGH①①BGH +①DGH ≠120°从而①BGH ≠60°即①不正确故正确的有3个故选：C ．【点睛】本题是矩形的折叠问题，有一定的综合性质，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解决本题的前提．4．如图，正方形ABCD 中，P 为CD 边上任意一点，DE①AP 于点E ，点F 在AP 延长线上，且EF ＝AE ，连结DF 、CF ，①CDF 的平分线DG 交AF 于G ，连结BG ．给出以下结论：①DF＝DC ；①①DEG 是等腰直角三角形；①①AGB ＝45°；①DG+BG ．所有正确的结论是（ ）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①【答案】D【分析】 根据等腰三角形三线合一，得到AD ＝DF ，又根据正方形性质得AD ＝DC ，从而等量代换得，DF ＝DC ，即可判断①；设DAF DFA α∠=∠=，则1802ADF α∠=-，由902PDF ADF ADC α∠=∠-∠=-,推得1452FDG PDF α∠=∠=-，进一步得到=45DGE DFA FDG ∠=∠+∠，从而可判断①；在Rt ADE △和Rt ADP △中进行角等量代换，得到DAP EDP ∠=，再由AD DF =和角平分线两个条件，进行角之间的等量代换，结合DE AF ⊥，即可判断①；作BH ①AF ，分别在Rt BHG 和Rt DEG △中，进行边的转换，再根据BAH ADE ≅△△得到DG ，由AH GH AG +=，代入化简即可判断①．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，①AD DC =,90BAD ADC ∠=∠=，DE AF ⊥，EF AE =，①AD DF =，①DF DC =，①①正确；①AD DF =，①DAF DFA ∠=∠，设DAF DFA α∠=∠=，则1802ADF α∠=-，①902PDF ADF ADC α∠=∠-∠=-，①DG平分①CDF，①1452FDG PDFα∠=∠=-，①=45DGE DFA FDG∠=∠+∠，①①DEG是等腰直角三角形，①①正确；①四边形ABCD是正方形①90ADC∠=,①90ADE EDP∠+∠=,①DE AF⊥，①90ADE DAP∠+∠=，①DAP EDP∠=∠，①AD DF=，①DAP DFP∠=∠，①EDP DFP∠=∠，①CDF∠的平分线交AF于点G，①CDG FDG∠=∠，①EDP CDG DFP FDG ∠+∠=∠+∠，①EDG EGD∠=∠，又①DE AF⊥，①DEG△是等腰直角三角形．①①正确如下图：作BH①AF于H，①①AGB＝45°，①BG，①DEG△是等腰直角三角形，①DG=，①四边形ABCD是正方形①AB AD=，又①BH AF⊥,DE AP⊥，①90BHA AED∠=∠=，①90BAH EAD EAD ADE∠+∠=∠+∠=，①BAH ADE∠=∠，①BAH ADE≅△△，①AH DE=，①DG=，①AH GH AG+=，=，①DG BG+=，①①正确；①故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质等相关知识点，结合条件找见相关切入点是解题关键．5．如图，Rt①ACB中，①ACB=90°，①ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF①AD 交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①①APB=135°；①AD=PF+PH；①DH平分①CDE；①S四边形ABDE=74S①ABP；①S①APH=S①ADE，其中正确的结论有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．①正确．证明①ABP①①FBP，推出P A=PF，再证明①APH①①FPD，推出PH=PD即可解决问题．①错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．①错误，可以证明S四边形ABDE=2S①ABP．①正确．由DH①PE，利用等高模型解决问题即可．【详解】解：在①ABC中，A D、BE分别平分①BA C、①ABC，①①A +①B =90°，又①A D 、BE 分别平分①BA C 、①ABC ，①①BAD +①ABE =12（①A +①B ）=45°，①①APB =135°，故①正确．①①BPD =45°，又①PF ①AD ，①①FPB =90°+45°=135°，①①APB =①FPB ，又①①ABP =①FBP ，BP =BP ，①①ABP ①①FBP （ASA ），①①BAP =①BFP ，AB =FB ，P A =PF ，在①APH 和①FPD 中， APH FPD PA PFPAH PFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①APH ①①FPD （ASA ），①PH =PD ，①AD =AP +PD =PF +PH ．故①正确．①①ABP ①①FBP ，①APH ①①FPD ，①S ①APB =S ①FPB ，S ①APH =S ①FPD ，PH =PD ，①①HPD =90°，①①HDP =①DHP =45°=①BPD ，①HD ①EP ，①S ①EPH =S ①EPD ，①S ①APH =S ①AED ，故①正确，①S 四边形ABDE =S ①ABP +S ①AEP +S ①EPD +S ①PBD=S ①ABP +（S ①AEP +S ①EPH ）+S ①PBD=S ①ABP +S ①APH +S ①PBD=S ①ABP +S ①FPD +S ①PBD=S ①ABP +S ①FBP=2S ①ABP ，故①不正确．若DH 平分①CDE ，则①CDH =①EDH ，①①CDH=①CBE=①ABE，①①CDE=①ABC，①DE①AB，这个显然与条件矛盾，故①错误，故选B．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将①ADE沿AE对折至①AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①①ABG①①AFG；①BG=CG；①S①AGE=18；①①GAE=45°，其中正确的是（）A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①【答案】D【分析】根据正方形的性质得出AB=AD=DC=6，①B=①D=90°，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt①ABG①Rt①AFG，推出BG=FG，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt①ECG中，由勾股定理得出（6-x）2+42=（x+2）2，求出x=3，得出BG=GF=CG，由DE=2，得出GE=GF+EF=5，AF=AB=6，计算出S△AGE=15；根据全等得出①DAE=①F AE，①BAG=①F AG，即可得出△GAE.【详解】解：①四边形ABCD是正方形，①AB=AD=DC=6，①B=①D=90°，①CD=3DE，①DE=2，①①ADE沿AE折叠得到①AFE，①DE=EF=2，AD=AF，①D=①AFE=①AFG=90°，①AF=AB，①在Rt①ABG和Rt①AFG中AG AG AB AF ==⎧⎨⎩ ，①Rt ①ABG ①Rt ①AFG （HL ）．①①正确；①Rt ①ABG ①Rt ①AFG ，①BG =FG ，①AGB =①AGF ．设BG =x ，则CG =BC -BG =6-x ，GE =GF +EF =BG +DE =x +2．在Rt ①ECG 中，由勾股定理得：CG 2+CE 2=EG 2．①CG =6-x ，CE =4，EG =x +2，①（6-x ）2+42=（x +2）2，解得：x =3．①BG =GF =CG =3．①①正确；①BG =GF =CG =3，CD =3DE ，AB =AD =DC =6，DE =EF =2，①GE =GF +EF =5，AF =AB =6，①S △AGE =11561522GE AF ⨯=⨯⨯=， ①①错误；①①ADE 沿AE 折叠得到①AFE ，①①DAE ①①F AE ．①①DAE =①F AE ．①①ABG ①①AFG ，①①BAG =①F AG ．①①BAD =90°，①①EAG =①EAF +①GAF =12×90°=45°．①①正确．故选D ．【点睛】本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x =-+的图象交x 轴、y 轴于A 、B 两点，以AB 为边在直线右侧作正方形ABCD ，连接BD ，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交BD 于点E ，连接AE ．则下列说法中正确的是（ ）A．点D的坐标为(17,7)B．45EAF∠=︒C．点C的坐标为(12,17)D．AEF的周长为(14+【答案】C【分析】根据一次函数教师式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出BD的教师式，可得点E的坐标，可得出AF≠EF，则①EAF≠45°，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF利用全等转换为CF即可求出①AEF 的周长．【详解】解：①一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴与A、B两点，①当x=0，则y=12，故B（0，12），当y=0，则x=5，故A（5，0），①AO=5，BO=12，在Rt①AOB中，AB，故AB的长为13；过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示：①四边形ABCD是正方形，①①ABC =①BAD =90°，AB =DA =BC =CD ，①①OAB +①OBA =①OAB +①HAD =90°，①①OBA =①HAD ，在①OBA 和①HAD 中，AOB DHA OBA HAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①OBA ①①HAD （AAS ），①DH =AO =5，AH =BO =12，①OH =OA +AH =17，①点D 的坐标为（17，5），A 错误，不符合题意；①①CBN +①NCB =①CBN +①ABO =90°，①①NCB =①ABO ，在①CNB 和①BOA 中，NCB OBA CNB BOA CB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①CNB ①①BOA （AAS ），①BN =AO =5，CN =BO =12，又①CF ①x 轴，①CF =BO +BN =12+5=17，①C 的坐标为（12，17），C 正确，符合题意；设直线BD 的教师式为y =kx +b ，①17512k b b +=⎧⎨=⎩，解得：71712k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①直线BD 的教师式为71217y x =-+， ①OF =CN =12， ①AF =12-5=7，E 点的坐标为（12，12017）， ①EF =12017≠AF ， ①CF ①x 轴，①①EAF ≠45°，B 错误，不符合题意；在①CDE 和①ADE 中，CD AD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①CDE ①①ADE （SAS ），①AE =CE ，①AE +EF =CF =17，AF =OF -AO =12-5=7，①C ①AEF =AE +EF +AF =CF +AF =17+7=24，D 错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键．8．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，90BAF CAG ∠=∠=︒，AB AF =，AC AG =．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ．则下列结论：①BG CF =；①BG CF ⊥；①2BC AE =；①EF EG =，其中正确的有（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①【答案】D【分析】 证得①CAF ①①GAB （SAS ），从而推得①正确；利用①CAF ①①GAB 及三角形内角和与对顶角，可判断①正确；证明①AFM ①①BAD （AAS ），得出FM =AD ，①F AM =①ABD ，同理①ANG ①①CDA ，得出NG =AD ，则FM =NG ，证明①FME ①①GNE （AAS ）．可得出结论①，①正确．【详解】解：①①BAF =①CAG =90°，①①BAF +①BAC =①CAG +①BAC ，即①CAF =①GAB ，又①AB =AF ，AC =AG ，①①CAF ①①GAB （SAS ），①BG =CF ，故①正确；①①F AC ①①BAG ，①①FCA =①BGA ，又①BG 与AC 所交的对顶角相等，①BG 与FC 所交角等于①GAC ，即等于90°，①BG ①CF ，故①正确；过点F 作FM ①AE 于点M ，过点G 作GN ①AE 交AE 的延长线于点N ，①①FMA =①F AB =①ADB =90°，①①F AM +①BAD =90°，①F AM +①AFM =90°，①①BAD =①AFM ，又①AF =AB ，①①AFM ①①BAD （AAS ），①FM =AD ，①F AM =①ABD ，同理①ANG ①①CDA ，①NG =AD ，,AN CD =①FM =NG ，①FM ①AE ，NG ①AE ，①①FME =①ENG =90°，①①AEF =①NEG ，①①FME ①①GNE （AAS ）．①,EM EN = EF =EG ．故①正确．222,BD DC BC AM AN AM ME AE ∴+==+=+=故①正确故选：D ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，ABC ∆中，135ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，若6AD =，20BD =，则CD 的长为（ ）A．B ．C ．72 D ．4【答案】D【分析】 做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ,构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算．【详解】做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的轴对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ，如图：①,ACE BCF ∆∆是,ACD BCD ∆∆的对称三角形①6,20,AE AD BF BD CE CD CF ======,,,AEC ADC BFC BDC ACE ACD BCF BCD ∠=∠∠=∠=∠∠=∠①CD AB ⊥①90ADC BDC AEC BFC ∠=∠=∠=∠=︒又①135ACB ∠=︒①135ACE BCF ∠+∠=︒①36013513590ECF ∠=︒-︒-︒=︒①四边形CEGF 是正方形设CD CF GF CE GE x =====，在Rt GAB ∆ 中：222AG +BG AB =即：()()22262026x x +++= 解得：124,30x x ==-（舍） ①CD 的长为4．【点睛】 本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键． 10．如图，ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点D 在ABC 内部，且使得302ABD BAD α=∠-∠=︒．则ACD ∠的度数为（ ）A ．30α-︒B ．60α-︒C ．30D ．不能确定【答案】C【分析】 如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，证明ABD ACE ≅，得到ACE 为等腰三角形，再证明ADE 为等边三角形，推出DCE 为等腰三角形，由三角形外角的性质得出12ACD AED ∠=∠即可． 【详解】如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，在ABD △和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(),ABD ACE SAS ∴≅ABD BAD ∠=∠，∴ABD △为等腰三角形，∴ACE 为等腰三角形，CAE BAD ∠=∠，BAC α∠=，302BAD α-∠=︒，30302260,DAE BAC BAD CAEααα∴∠=∠-∠-∠⎛⎫⎛⎫=--︒--︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=︒ADE ∴为等边三角形，,DE AE CE ∴==∴DCE 为等腰三角形，延长CE 交AD 于F 点，(),,2222,116030,22AEF EAC ECA DEF ECD EDC AED AEF DEFACE DCEACE DCE ACD ACD AED ∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠=⨯︒=︒故选：C ．【点睛】 本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键．二、填空题11．如图，在等腰①ABC 中，AB=AC ，①BAC=120°，点D 是线段BC 上一点，①ADC=90°，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：①①APO=①ACO ；①①APO+①DCO=30°；①AC=AO+AP ；①PO=PC ，其中正确的有______．【答案】①①①①【分析】连接BO ，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出①APO =①ACO ，①APO +①DCO =30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出①POC =60°，再由等边三角的判定证明①OPC 是等边三角形，得出PC =PO ，①PCO =60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO +AP =AC ，即可得出结果．【详解】解：连接BO ，如图1所示：①AB=AC，AD①BC，①BO=CO，①①OBC=①OCB，又①OP=OC，①OP=OB，①①OBP=①OPB，又①在等腰①ABC中①BAC=120°，①①ABC=①ACB=30°，①①OBC+①OBP=①OCB+①ACO，①①OBP=①ACO，①①APO=①ACO，故①正确；又①①ABC=①PBO+①CBO=30°，①①APO+①DCO=30°，故①正确；①①PBC+①BPC+①BCP=180°，①PBC=30°，①①BPC+①BCP=150°，又①①BPC=①APO+①CPO，①BCP=①BCO+①PCO，①APO+①DCO=30°，①①OPC+①OCP=120°，又①①POC+①OPC+①OCP=180°，①①POC=60°，又①OP=OC，①①OPC是等边三角形，①PC=PO，①PCO=60°，故①正确；在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：①①BAC +①CAP =180°，①BAC =120°，①①CAP =60°，①①APE 是等边三角形，①AP =EP ，又①①OPC 是等边三角形，①OP =CP ，又①①APE =①APO +①OPE =60°，①CPO =①CPE +①OPE =60°，①①APO =①EPC ，在①APO 和①EPC 中，AP EP APO EPC OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①APO ①①EPC （SAS ），①AO =EC ，又①AC =AE +EC ，AE =AP ，①AO +AP =AC ，故①正确；故答案为：①①①①．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是________．【答案】【分析】取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH//CE，由三角形中位线定理可得PH//EC，可得点P在AH上，当BP①AH时，PB有最小值，即可求解．【详解】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO，①四边形ABCD是矩形，①AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB，①点E是AB中点，点H是CD中点，①CH＝AE＝DH＝BE＝4，①四边形AECH是平行四边形，①AH//CE，①点P是DF的中点，点H是CD的中点，①PH//EC，①点P在AH上，①当BP①AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，①AD＝DH＝CH＝BC＝4，①①DHA＝①DAH＝①CBH＝①CHB＝45°，AH＝BH＝①①AHB＝90°，①BP的最小值为故答案为【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．13．如图，在ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足2=，3AE BE=，CD AD过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．【答案】525【分析】连接AO ，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．【详解】如图，连接AO ，①CD =3AD ，①AD ：CD =1：3， ①13ADF CDF S S =△△，13ADO CDO S S =△△，3ABD CBD S S =△△， ①12CDF S =△，①4ADF S =△，16ACF S =△，①AF ①BC ，①16ABF ACF S S ==△△，①12ABD S =，①36CBD S =△，48ABC S =△，①AE =2BE ，①BE ：AE =1：2，①2AEC BEC S S =△△，2AEO BEO S S =△△，①32AEC S =△，16BEC S =△，①()2AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△，即22AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△， ①123COD COD BOC S S S +=△△△，即423COD BOC S S =△△， ①:3:2COD BOC S S =△△，①36BCD BOC COD S S S =+=△△△， ①1085COD S =△， ①S 四边形AEOD 108523255AEC COD S S =-=-=△△． 故答案为：525． 【点睛】 本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确把边之间的关系转化为面积之间的关系是解题的关键．14．已知①ABC 和①ADE 均为等腰直角三角形，①BAC=①DAE=90°，AB=6，AD=4，连接CE 、BE ，点F 和G 分别为DE 和BE 的中点，连接FG ，在①ADE 旋转过程中，当D 、E 、C 三点共线时，线段FG 的长为_______．【分析】分两种情况画出图形，如图1，连接BD ，证明①ADB ①①AEC ，求得①BDC =90°，在Rt ①BDC 中利用勾股定理求出BD 长度，最后利用三角形中位线性质求解FG 长度，如图2，同理可求出BD 的长，则可得出答案．【详解】解：如图1，连接BD ，①①BAD =90°-①BAE ，①CAE =90°-①BAE ，①①BAD =①CAE ．在①ADB 和①AEC 中，AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝①①ADB ①①AEC （SAS ）．①BD =CE ，①ADB =①AEC =135°，①①BDC =135°-45°=90°．①①ABC 和①ADE 均为等腰直角三角形，AB =6，AD =4，①DE =42，BC =62． 设BD =x ，则DC =42+x ，在Rt ①BDC 中，利用勾股定理BD 2+DC 2=BC 2，①x 2+（42+x ）2=72，解得x 1=-22-27（舍去），x 2=-22+27．①点F 、G 分别为DE 、BE 的中点，①FG =12BD =-2+7．如图2，同理，设BD =CE =a ，在Rt ①BDC 中，BD 2+CD 2=BC 2，①a 2+(a −42)2=72，解得a =22-27（舍去），a =22+27，①FG =12BD =2+7，故答案为：72±．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线性质，解题的关键是找到共顶点的全等三角形，从而得到直角三角形，运用勾股定理求解线段长度．15．如图， ABCD 中，AB //x 轴，12AB =．点A 的坐标为()2,8-，点D 的坐标为()6,8-，点B 在第四象限，点G 是AD 与y 轴的交点，点P 是CD 边上不与点C ，D 重合的一个动点，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将①PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，点P 的坐标为______．【答案】8)或(8) 【分析】 先求出直线AD 的教师式为24y x =--，则可求(0,4)G -，设(,8)P m ，则(,4)M m -，可求12PM =，8PN =，分两种情况讨论：当M '在x 轴负半轴时，由折叠可知12PM '=，在Rt ①M NP '中，由勾股定理可求M N '=Rt ①M OG '中，M G x '=，4OG =，可求M O '，所以x =855x ，则P ，8)；当M '在x 轴正半轴时，同理可得，x -x =(P 8)． 【详解】解：设AD 的直线教师式为y kx b =+，将(2,8)A -，(6,8)D -代入可得，2868k b k b +=-⎧⎨-+=⎩， 解得24k b =-⎧⎨=-⎩， 24y x ∴=--，(0,4)G ∴-，点P 是CD 边上，//CD x 轴，设(,8)P m ， //GM y 轴，(,4)M m ∴-，12PM ∴=，8PN =，当M '在x 轴负半轴时，如图，由折叠可知GM GM '=，PM PM '=，12PM '∴=，在Rt ①M NP '中，M N '在Rt ①M OG '中，M G x '=，4OG =，M O '∴=∴x = 解得855x，P ∴，8)； 当M '在x 轴正半轴时，如图，同理可得，x -+=解得x =(P ∴8)；综上所述：P 点坐标为8)或(8)，故答案为8)或(8)．【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．16．如图，矩形ABCD的边AB＝112，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______．【答案】2.5【分析】过点G作GH①AB于H，过点G作MN①AB，由“AAS”可证①GEH①①FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．【详解】解：如图，过点G作GH①AB于H，过点G作MN①AB，①四边形ABCD是矩形，AB＝112，BC＝3，①①B＝90°，CD＝112，AD＝3，①AE＝1，①BE＝92，①①GHE＝①A＝①GEF＝90°，①①GEH+①EGH＝90°，①GEH+①FEA＝90°，①①EGH ＝①FEA ，又①GE ＝EF ，①①GEH ①①EF A （AAS ），①GH ＝AE ＝1，①点G 在平行AB 且到AB 距离为1的直线MN 上运动，①当F 与D 重合时，CG 有最小值，此时AF ＝EH ＝3，①CG 2.5， 故答案为：2.5．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G 的运动轨迹是本题的关键．17．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合）且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．若CG ＝则四边形BCDG 的面积为 _____．【答案】【分析】过点C 作CM ①GB 于M ，CN ①GD 于N ，先证明①ABD 为等边三角形，AED DFB △≌△求得60BGD ∠=︒，证明①CBM ①①CDN ， 所以S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，CG 是NGB ∠的角平分线，进而求得CGM S △，根据S 四边形BCDG =S 四边形CMGN 即可求得四边形BCDG 的面积．【详解】如图，过点C 作CM ①GB 于M ，CN ①GD 于N ．四边形ABCD 是菱形AB AD DC BC ∴===，A BDC ∠=∠AB BD =AB BD DA ∴==ABC ∴是等边三角形60A ∴∠=︒60BDC A ∴∠=∠=︒BCD ∴△是等边三角形60BCD ∴∠=︒，BC CD =,AE DF AD BD ==∴AED DFB △≌△ADE DBF ∴∠=∠60BGE BDG FBD BDG ADE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒180********BGD BGE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒12060180BGD BCD ∴∠+∠=︒+︒=︒180CBM CDG ∴∠+∠=︒180CDG CDN ∠+∠=︒CDN CBM ∴∠=∠,CN DN CM BM ⊥⊥90CND CMB ∴∠=∠=︒又CD CB =CDN CBM ∴△≌△CN CM ∴=CG ∴是NGB ∠的角平分线1602CGM DGB ∴∠=∠=︒ 12CGM S GM CG ∴=⨯△ ①CBM ①①CDN ，S 四边形CMGN =CGM CDG BMC CGM CDG DNC S S S S S S ++=++=△△△△△△2S ①CMG ，①①CGM =60°，30MCG ∴∠=︒①GM =12CG ，CM ∴===①S 四边形CMGN =2S ①CMG =2×12×12CG 2，2CG =∴ S 四边形CMGN =故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，证明60CGM ∠=︒是解题的关键．18．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），连接AE ，BF 交于点P ，过点P 作PM①CD交BC 于M 点，PN①BC 交CD 于N 点，连接MN ，在运动过程中则下列结论：①①ABE①①BCF ；①AE ＝BF ；①AE①BF ；①线段MN 1．其中正确的结论有___．（填写正确的序号）【答案】①①①①【分析】由正方形的性质及F ，E 以相同的速度运动，利用SAS 证明①ABE ①①BCF ，得到AE =BF ，①BAE =①CBF ，再根据①CBF +①ABP =90°，可得①BAE +①ABP =90°，进而得到AE ①BF ，根据点P 在运动中保持①APB =90°，可得点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB 的中点为H ，连接CH 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，根据勾股定理，求出CH 的长度，再求出PH 的长度，即可求出线段CP 的最小值，根据矩形对角线相等即可得到MN ．【详解】解：①动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动，①DF =CE ，①四边形ABCD 是正方形，①AB =BC =CD =2，①ABC =①BCD =90°，①CF =BE ，①①ABE ①①BCF （SAS ），故①正确；①AE =BF ，①BAE =①CBF ，故①正确；①①CBF +①ABP =90°，①①BAE +①ABP =90°，①①APB =90°，即AE ①BF ，故①正确；①点P 在运动中始终保持①APB =90°，①点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，如图，设AB 的中点为H ，连接CH 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，在Rt ①BCH 中，CH①PH =12AB =1，①CP =CH -PH 1，①PM ①CD ，PN ①BC ，①四边形PMCN 是平行四边形，①①BCD =90°，①四边形PMCN 是矩形，①MN =CP 1，即线段MN 1，故①正确．故答案为：①①①①．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形、勾股定理等，解题的关键是证明①ABE ①①BCF ．19．如图，A 在正方形CDBG 的边BD 的延长线上，且知AD BD =，E 在CD 上，EF AE ⊥交BC 的延长线于点F ．有以下结论：①AE EF =①45EAB EFB ∠+∠=︒①BC CE CF =+①CF ．其中，正确的结论有______．（填序号）【答案】①①①【分析】根据正方形性质得到①CBD =45°，进而得到①F AB +①AFB =135°，根据三角形性质即可得到①EAB +①EFB =45°，判断①正确；连接BE ，先证明AE =BE ，得到①EAB =①EBA ，根据①EAB+①EFB=45°证明EF=EB，即可判断①正确；作EH①BF，得到BC= FC+2CH，根据①CHE为等腰直角三角形得到CE，即可得到BC=FC，即可判断①错误；证明BC=，根据BC=FC得到FC=，即可得到①正确．【详解】解：①四边形CDBG为正方形，①①CBD=1①DBG=45°，2①①F AB+①AFB=135°，即①EAF+①AFE+①EAB+①EFB=135°，①EF①AE，①①AEF=90°，①①EAF+①AFE=90°，①①EAB+①EFB=45°，故①正确；连接BE，①四边形CDBG为正方形，①DE①AB，①AD=BD，①AE=BE，①①EAB=①EBA，①①EAB+①EFB=45°，①EBD+①EBF=45°，①①EFB=①EBF，①EF=EB，①AE=EF，故①正确；作EH①BF，①BE=FE，①BH=FH，①BC=BH+CH=FH+CH=FC+2CH，①四边形CDBG为正方形，①DCG=45°，①①HCE=12①EH①BF，①CE，即CH =， ①BC = FC +2CH =FC，故①不正确；①①BCD =45°，①CDB =90°，①BC，①BC = FC，①FC)CE CD +，①FC=，故①正确．故答案为：①①①【点睛】本题考查了正方形的性质，线段的垂直平分线性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识，综合性较强，熟知正方形性质和等腰直角三角形三边数量关系，添加适当辅助线是解题关键．20．在综合实践课上，小明把边长为2cm 的正方形纸片沿着对角线AC 剪开，如图l 所示．然后固定纸片①ABC ，把纸片①ADC 沿AC 的方向平移得到①A′D′C′，连A′B ，D′B ，D′C ，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B 的最小值为 __．【答案】平行四边形【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ①CC ″于H ．求出BC ″，证明A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，可得结论．【详解】解：（1）如图2中，①A ′D ′=BC ，A ′D ′①BC ，①四边形A ′BCD ′是平行四边形，故答案为：平行四边形．（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ①CC ″于H ．①四边形ABCD 是正方形，①AB =BC =2，①ABC =90°，①AC AB①BJ ①AC ，①AJ =JC ，①BJ =12AC ①①BJC =①JCH =①H =90°，①四边形BHCJ 是矩形，①BJ =CJ ，①四边形BHCJ 是正方形，①BH =CH在Rt ①BHC ″中，BH HC ，①BC ''==①四边形A ′BCD ′是平行四边形，①A ′B =CD ′，①A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，①A ′B +BD①A ′B +D ′B 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．三、解答题21．ACB △和CDE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，将CDE △绕点D 旋转．（1）如图1，当点B 落在直线DE 上时，若26AC =，CE =BE 的长；（2）如图2，直线BD 、AE 交于点F ，再连接CF EF DF =+；（3）如图3，8AC =，4CD =，G 为ED 中点，连接AG ，BG ，以AG 直角边构造等腰Rt AHG ，过H 作HI AB ⊥交AB 于点I ，连接GI ，当HI 最小时，直接写出GI 的长度．【答案】（1）34，（2）证明见教师，（3）【分析】（1）作CF ①DB 于F ，根据勾股定理求出CF 和BF 即可；（2）将①CEF 绕点C 逆时针旋转90°，得到①CDM ，可证点M 在BD 上，再证①FCM 是等腰直角三角形即可；（3）作CN ①AB 于N ，作AF ①AC 交AN 延长线于F ，得出①GAC ①①HAF ，当点H 落在CF 上时，HI 最小，此时点I 与点N 重合，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）作CF ①DB 于F ，①90DCE ∠=︒，CE =CDE △都是等腰直角三角形，①20DE ，10DF CF EF ===，①点B 落在直线DE 上，26AC BC ==①24BF =，①34BE EF FB =+=；BE 的长为34．（2）将①CEF 绕点C 逆时针旋转90°，得到①CDM ，由（1）得，①CDB =①CEA ，①点M 在BD 上，CF =CM ，①FCM =90°，EF =DM ，FM =，①FM DM DF EF DF =+=+；EF DF =+．（3）作CN ①AB 于N ，作AF ①AC 交AN 延长线于F ，①ACB △是等腰直角三角形，①①ACF =45°，①AC =AF ，①①GAH =①CAF =90°，①①GAC =①HAF ，①AG =AH ，①①GAC ①①HAF ，①CG =FH ，①当点H 落在CF 上时，HI 最小，此时点I 与点N 重合，如图所示，①①GCA =①AFC =45°，①①GCI =90°，①8AC =，4CD =， ①IC =CG =IG =【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题关键是恰当作辅助线，构造全等三角形进行推理证明．22．教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形全等（填“一定”或“不一定”）．（2）[探究证明]阅读并补全证明已知：如图2，在ABC和DEF中，①B＝①E，AC＝DF，①C+①F＝180°（①C＜①F）．求证：AB＝DE．证明：在BC上取一点G，使AG＝AC．①AG＝AC，①①C＝．又①①C+①F＝180°，而①AGC+①AGB＝180°，①①AGB＝．①AC＝DF，①AG＝又①①ABC①DEF（AAS）．①AB＝DE．（3）[拓展应用]在ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连结DE，DE与BC边所在的直线交于点F．①当点D在线段BA上时，如图3所示，求证：DF＝EF．①过点D 作DH①BC 交直线BC 于点H ，若BC ＝4，CF ＝1，则BH ＝ （直接写出答案）．【答案】（1）不一定；（2）①AGC ，①F ，DF ， ①B ＝①E ；（3）①见详解；①1或3【分析】（1）根据SSA 可知两个三角形不一定全等；（2）在BC 上取一点G ，使AG ＝AC ，根据AAS 证明ABG ①DEF ，即可得到结论； （3）①过点D 作DG ①AC ，证明DGF ECF ≌，即可得到结论；①分两种情况：当点D 在线段AB 上时，过点E 作EO ①BC 交BC 的延长线于点O ；当点D 在BA 的延长线上时，过点E 作EO ①BC 交BC 的延长线于点O ，分别证明DHB EOC ≌，DHF EOF ≌，进而即可求解．【详解】解：（1）通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等，故答案是：不一定；（2）证明：在BC 上取一点G ，使AG ＝AC ．①AG ＝AC ，①①C ＝ ①AGC ．又①①C +①F ＝180°，而①AGC +①AGB ＝180°，①①AGB ＝ ①F ．①AC ＝DF ，①AG ＝ DF又①①B ＝①E ①ABG ①DEF （AAS ）．①AB ＝DE ．故答案是：①AGC ，①F ，DF ， ①B ＝①E ；（3）①过点D 作DG ①AC ，。

2024届上海初三一模数学各区25题解答压轴题

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图11上海市2024届初三一模数学分类汇编—25题解答压轴题【2024届·宝山区·初三一模·第25题】1.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图11，已知ABC 中，1AB AC ，D 是边AC 上一点，且BD AD ，过点C 作//CE AB ，并截取CE AD ，射线AE 与BD 的延长线交于点F ．（1）求证：2AF DF BF ；（2）设AD x ，DF y ，求y 与x 的函数关系式；（3）如果ADF 是直角三角形，求DF 的长．第25题图2备用图第25题图12.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知Rt ABC 中，90ACB ，3AC ，5AB ，点D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），点F 是边BC 上的一点，且满足CDF A ，过点C 作CE CD 交DF 的延长线于E ．（1）如图1，当//CE AB 时，求AD 的长；（2）如图2，联结BE ，设AD x ，BE y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）过点C 作射线BE 的垂线，垂足为H ，射线CH 与射线DE 交于点Q ，当CQE 是等腰三角形时，求AD 的长．图122图121 3.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ，6AD ，4AB ，BC AD ，ADC 的平分线交边BC 于点E ，点F 在线段DE 上，射线CF 与梯形ABCD 的边相交于点G ．（1）如图121 ，当4tan 3BCD 时，求BE 的长；（2）如图122 ，如果点G 在边AD 上，联结BG ，当4DG ，且CGB BAG ∽时，求sin BCD的值；（3）当F 是DE 中点，且1AG 时，求CD 的长．图14①图14②备用图4.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）①小题满分5分，第（2）②小题满分5分）如图14①，在Rt ABC 中，90ACB ，4tan 3ABC，点D 在边BC 的延长线上，联结AD ，点E 在线段AD 上，EBD DAC ．（1）求证：DBA DEC ∽；（2）点F 在边CA 的延长线上，DF 与BE 的延长线交于点M （如图14②）．①如果2AC AF ，且DEC 是以DC 为腰的等腰三角形，求tan FDC的值；②如果2DE CD，3EM ，:5:3FM DM ，求AF 的长．第25题图（本题满分4分）5.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，O 是Rt ABC 斜边AB 的中点，BH CO 交AC 于D ，垂足为H ，联结OD ．（1）求证：2BC AC CD ；（2）如果ODH 与ABC 相似，求其相似比；（3）如果:4:1BH DH ，求ADO 的大小．图11图12备用图6.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）①小题5分，第（2）②小题6分）如图11，在ABC 和ACD 中，90ACB CAD ，16BC ，15CD ，9DA ．（1）求证：B ACD ；（2）已知点M 为边BC 上一点（与点B 不重合），且MAN BAC ，AN 交CD 于点N ，交BC 的延长线于点E ．①如图12，设BM x ，CE y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；②当CEN 是等腰三角形时，求BM 的长．第25题图7.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：如图，在ABC 中，AB AC ，CAD ABC ，DC AC ，AD 与边BC 相交于点P ．（1）求证：212AB AD BC；（2）如果4sin 5ABC ，求:BP PC 的值；（3）如果BCD 是直角三角形，求ABC 的正切值．第25题图1第25题图2备用图8.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB ，4AD ，3DC ，7BC ．点P 在射线BA 上，点Q 在射线BC 上（点P 、点Q 均不与点B 重合），且PQ BQ ，联结DQ ，设BP x ，DQC 的面积为y ．（1）如图1所示，求sin B 的值；（2）如图2所示，点Q 在线段BC 上，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当DQC 是等腰三角形时，求BP 的长．第25题图1第25题图2备用图9.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）①小题5分，第（2）②小题5分）如图，在Rt ABC 中，90ACB ，以AC 、BC 为边在ABC 外部作等边三角形ACE 和等边三角形BCF ，且联结EF ．（1）如图1，联结AF 、EB ，求证：ECB ACF ≌；（2）如图2，延长AC 交线段EF 于点M ．①当点M 为线段EF 中点时，求ACBC的值；②请用直尺和圆规在直线AB 上方作等边三角形ABD （不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点M 在ABD 的内部时，求ACBC的取值范围．第25题图备用图备用图10.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（2）小题4分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上一点（点E 不与点B 、C 重合），过点A 作AF AE ，交边CD 的延长线于点F ，直线EF 分别交射线AC 、射线AD 于点M 、N ．（1）当点E 在边BC 上时，如果15ND AN ，求BAE 的余切值；（2）当点E 在边BC 延长线上时，设线段BE x ，y EN MF ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当3CE 时，求EMC 的面积．图1311.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）如图13，在矩形ABCD 中，2AB ，4BC ，E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BM DE ，垂足为点M ，联结CM ，设CE a （01a ）．（1）求证：DCE BME ∽；（2）CME 的大小是否是一个确定的值？如果是，求出CME 的正切值；如果不是，那么用含字母a的代数式表示CME 的正切值；（3）P 是边AD 上一动点（不与点A 、D 重合），联结PB 、PM ．随着点P 位置的变化，在PBM中除BPM 外的两个内角是否会有与CME 相等的角？如果有，请用含字母a 的代数式表示此时线段AP 的长；如果没有，请说明理由．第25题（1）图第25题（2）图第25题（3）图12.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在ABC 中，90ACB ，6AC ，8BC ．点D 、E 分别在边AB 、BC 上，联结ED ，将线段ED ，绕点E 按顺时针方向旋转90 得到线段EF ．（1）如图，当点E 与点C 重合，ED AB 时，AF 与ED 相交于点O ，求:AO OF 的值；（2）如果5AB BD （如图），当点A 、E 、F 在一条直线上时，求BE 的长；（3）如图，当DA DB ，2CE 时，联结AF ，求AFE 的正切值．第25题图第25题备用图13.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）在ABC 中，AC BC ．点D 是射线AC 上一点（不与A 、C 重合），点F 在线段BC 上，直线DF 交直线AB 于点E ，2CD CF CB ．（1）如图，如果点D 在AC 的延长线上．①求证：DE BD ；②联结CE ，如果//CE BD ，2CE ，求EF 的长．（2）如果:1:2DF DE ，求:AE EB 的值．第25题图备用图14.（本题满分14分）如图，在Rt ABC 中，90BAC，AB AC ，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点B 重合），以CD 为斜边在直线BC 上方作等腰直角三角形DEC ．（1）当点D 是边AB 的中点时，求sin DCB 的值；（2）联结AE ，点D 在边AB 上运动的过程中，EAC 的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出EAC 的大小；（3）设DE 与AC 的交点为G ，点P 是边BC 上的一点，且CPD CGD ，如果点P 到直线CD 的距离等于线段GE 的长度，求CDE 的面积．第25题图备用图15.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）如图，已知正方形ABCD ，点P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），点E 在DP 上，满足AE AB ，延长BE 交CD 于点F ．（1）求证：135BED ；（2）联结CE ．①当CE BF 时，求BP PC的值；②如果CEF 是以CE 为腰的等腰三角形，求FBC 的正切值．第25题图1备用图备用图16.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知ABC 中，2ABC C ，BG 平分ABC ，8AB ，163AG，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点（点D 不与点B 、C 重合)，且ADE ABC ，AD 、BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2）如图1，如果2BF CE ，求:BF GF 的值；（3）如果ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 的长．。

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2016~2017学年度上海市各区初三一模数学压轴题汇总（18+24+25）共15套整理廖老师宝山区一模压轴题18（宝山）如图，为直角的斜边上一点，交于，如果沿着翻折，D ABC D AB DE AB ^AC E AED D DE 恰好与重合，联结交于，如果，，那么A B CD BEF 8AC =1tan 2A =:___________.CF DF =图18图A24（宝山）如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点已知点232(0)2y ax x a =-+¹x A B 、y ,C .(4,0)A -（1）求抛物线与直线的函数解析式；AC （2）若点是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形的面积为，求关于的函数关(,)D m n OCDA S S m 系；（3）若点为抛物线上任意一点，点为轴上任意一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，E F x A C E F 、、、请直接写出满足条件的所有点的坐标.E 图24图25（宝山）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点以的E ABCD AD P Q 、B P 1/cm s 速度沿着折线运动到点时停止，点以的速度沿着运动到点时停止。

设BE ED DC --C Q 2/cm s BC C 同时出发秒时，的面积为，已知与的函数关系图像如图（2）（其中曲线为抛物线P Q 、t BPQ D 2ycm y t OG 的一部分，其余各部分均为线段）.（1）试根据图（2）求时，的面积关于的函数解析式；05t <£BPQ D y t （2）求出线段的长度；BC BE ED 、、（3）当为多少秒时，以为顶点的三角形和相似；t B P Q 、、ABE D （4）如图（3）过点作于，绕点按顺时针方向旋转一定角度，如果中的E EF BC ^F BEF D B BEF D E F 、对应点恰好和射线的交点在一条直线，求此时两点之间的距离. H I 、BE CD 、G C I 、图3图图2图图1图图25图崇明县一模压轴题18（崇明）如图，已知 中，，于点，点在上，且，联结，ABC ∆45ABC ∠=o AH BC ⊥H D AH DH CH =BD 将绕点旋转，得到（点、分别与点、对应），联结，当点落在上时，（不BHD V H EHF ∆B D E F AE F AC F 与重合）如果，，那么的长为；C 4BC =tan 3C =AE24（崇明）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点 ，与轴的正半轴交于点235y x bx c =-++y (0,3)A x (5,0)B ，点在线段上，且 ，联结、将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，过点作直D OB 1OD =AD AD D 90︒DE E 线轴，垂足为，交抛物线于点． l x ⊥H F （1）求这条抛物线的解析式；（2）联结，求的值；DF cot EDF ∠（3）点在直线上，且，求点的坐标．G l 45EDG ︒∠=G25（崇明）在中，，，，以为斜边向右侧作等腰直角，是ABC ∆90ACB ︒∠=3cot 2A =BC EBC ∆P 延长线上一点，联结，以为直角边向下方作等腰直角，交线段于点，联结． BE PC PC PCD ∆CD BE F BD （1）求证：；PC CECD BC=（2）若，的面积为，求关于的函数解析式，并写出定义域；PE x =BDP ∆y y x （3）当为等腰三角形时，求的长．BDF ∆PE奉贤区一模压轴题18（奉贤）如图3，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，点P 是边AD 上的一点，联结BP ，将△ABP 沿着BP 所在直线翻折得到△EBP ，点A 落在点E 处，边BE 与边CD 相交于点G ，如果CG=2DG ，那么DP 的长是______.24（奉贤）如图，在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线与x 轴相交于点A (-1,0)和点B ，与y 轴相2y x bx c =-++交于点C (0,3)，抛物线的顶点为点D ，联结AC 、BC 、DB 、DC .（1）求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）求证：△ACO ∽△DBC ；（3）如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，∠BCE=∠ACO ，求点E 的坐标。

2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-18题含详解

2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-18题含详解

专题2021年分类汇编-18题专题一图形的翻折【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）在△ABC中，AB＝，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E⊥AC时，则线段AA′的长为．2．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．3．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为．5．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为．6．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于．专题二图形的旋转【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝55（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为．2．（2020秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，tan B＝．将△ABC绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交于点F，那么BF＝．3．（2020秋•静安区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，tan B ＝23（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，A 'B '与边BC 相交于点D ，那么'CD A D 的值为．4．（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1∥AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D 的值为．5．（2020秋•宝山区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan ∠CAP ＝．6．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是△ABC 的角平分线，将Rt △ABC 绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，联结DE ，那么∠AED 的正切值为．专题三定义新图形【知识梳理】根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答【历年真题】1．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC3AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．2．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝．3．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．4．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝45，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．5．（2020秋•金山区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝12，CE＝GE，那么BD的长等于．6．(2020秋•黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．专题2021年分类汇编-18题专题一图形的翻折【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）在△ABC中，AB＝，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E⊥AC时，则线段AA′的长为2．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】画出相应的图形，结合图形通过作高构造直角三角形，求出AM＝BM＝4，进而求出AC，再利用相似三角形的性质和判定求出AE，根据对称在Rt△AEF中求出AF即可．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，在Rt△ABM中，∠B＝45°，AB＝，∴AM＝BM＝AB•sin∠B＝4，在Rt△ACM中，AM＝4，∠C＝60°，∴AC＝AM4=sin C sin60∠，又∵A′E⊥AC，∴∠A′EC＝90°，由折叠得∠AED＝∠A′ED＝12（180°﹣90°）＝45°，AA′⊥DE，∵∠AED＝45°＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴AE AD=AB DC，∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝12AB＝，833AE＝，在Rt△AEF中，AF＝EF＝AE•sin∠AED＝×2，∴AA′＝2AF＝，故答案为：．【点评】本题考查轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握轴对称、相似三角形的性质以及解直角三角形是解决问题的关键．2．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于655．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】首先根据题意得到EG ＝CG ，CE ⊥BD ，证明△CDF ∽△BCD 和△CDG ∽△BDC ，可计算CD 和CG 的长，再证明△EFD ∽△AED ，可得AE 的长．【解答】解：由折叠得：CE ⊥BD ，CG ＝EG ，∴∠DGF ＝90°，∴∠DFG +∠FDG ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADG +∠CDG ＝90°，∴∠CDG ＝∠DFG ，∵∠CDF ＝∠BCD ＝90°，∴△CDF ∽△BCD ，∴CD DF =BC CD，∵AB ＝4，DF ＝1，∴CD 1=4CD，∴CD ＝2，由勾股定理得：CF ＝221+2=5，BD 222+45，同理得：△CDG∽△BDC，∴CD CG=BD BCCG4，∴CG ＝455，∴CE＝2CG ＝85 5，∴EF＝CE﹣CF ＝855＝355，∵DF1=ED2，ED21==AD42，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴EF DF=AE DE ，即15=AE2，∴AE【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，利用相似三角形列比例式是本题的关键．3．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为2或40 17．【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】分两种情况画出图形，①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案；方法二：过点E作EH⊥BC于点H，设EH＝3a，BE＝5a，则BH＝4a，由BF的长列出方程，解方程求出a即可；②方法一如图2，当∠AB′F＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案．方法二：过点E作EG⊥BD于点G，设EG＝3a，BG＝4a，BE＝5a，得出9442a a+=，求出a的值则可得出答案．【解答】解：①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时．在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB 22226810AC BC +=+=，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ＝12BC ＝4，∵∠AFB '＝∠BFD ＝90°，∠ACB ＝90°，∴∠DFB ＝∠ACB ，又∵∠DBF ＝∠ABC ，∴△BDF ∽△BAC ，∴BF BD BC AB =，即4810BF =，解得：BF ＝165，设BE ＝B 'E ＝x ，则EF ＝165﹣x ，∵∠B ＝∠FB 'E ，∴sin ∠B ＝sin ∠FB 'E ，∴'AC EF AB B E =，∴166510x x-=，解得x ＝2．∴BE ＝2．方法二：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，设EH ＝3a ，BE ＝5a ，则BH ＝4a ，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴EF ＝3a ，∴BF ＝8a ＝BD •cos ∠B ＝4×45，∴a ＝25，∴BE ＝5a ＝2；②如图2中，当∠AB ′F ＝90°时，连接AD ，作EH ⊥AB ′交AB ′的延长线于H．∵AD ＝AD ，CD ＝DB ′，∴Rt △ADC ≌Rt △ADB ′（HL ），∴AC ＝AB ′＝6，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴∠B ＝∠DB 'E ，∵AB '⊥DB '，EH ⊥AH ，∴DB '∥EH ，∴∠DB 'E ＝∠B 'EH ，∴∠B ＝∠B 'EH ，∴sin ∠B ＝sin ∠B 'EH ，设BE ＝x ，则B 'H ＝35x ，EH ＝45x ，在Rt △AEH 中，AH 2+EH 2＝AE 2，∴22234(6)()(10)55x x x ++=-，解得x ＝4017，∴BE ＝4017．则BE 的长为2或4017．方法二：过点E 作EG ⊥BD 于点G ，设EG ＝3a ，BG ＝4a ，BE ＝5a ，∴DG ＝EG ×32＝92a ，∵DG +GB ＝DB ，∴9442a a +=，∴a ＝817，∴BE ＝4017．故答案为：2或4017．【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．5．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且BE ＝1，将△CBE 沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D 、F 、E 在同一直线上，则线段AE 的长为152+．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】根据矩形的性质得到AD ＝BC ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，根据折叠的性质得到CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，DC ＝DE ，证明△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，∵把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，∠CEB ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 中，DC ∥AB ，∴∠DCE ＝∠CEB ，∴∠CEF ＝∠DCE ，∴DC ＝DE ，设AE＝x，则AB＝CD＝DE＝x+1，∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AF DEEF AE=，∴11x xx+=，解得x＝152+或x＝152（舍去），∴AE＝12．故答案为：15 2．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．6．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于214．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】延长BC，AG交于点H，设BE＝3x，EC＝2x，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝5x，AD∥BC，由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF＝425y，FG＝AG﹣AF＝85y，即可求解．【解答】解：如图，延长BC，AG交于点H，∵BE：EC＝3：2，∴设BE＝3x，EC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5x，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝5x，∴DF＝2x，∵AD∥BC，∴△ADF∽△HEF，∴AD DF AFEH EF FH==，∴523x AFEH FH==，∴EH＝152x，AF＝23FH，∴CH＝EH﹣EC ＝x，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HCG，∴AD AGCH GH=，∴51011112x AGGHx==，∴设AG＝10y，GH＝11y，∴AH＝21y，∴AF＝215y×2＝425y，∴FG＝AG﹣AF＝85y，∴AF：FG＝21：4＝21 4，故答案为21 4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．专题二图形的旋转【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝5（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】分类讨论；平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据△AA′C为直角三角形，分两种情况：①当点B'在线段AC上时，△AA′C为直角三角形；②当点B'在线段AC的延长线上时，△AA′C为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点A与点B'的距离．【解答】解：分两种情况：①当点B '在线段AC 上时，△AA ′C 为直角三角形，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，sin A ＝5，∴BC ＝AB ×55＝10×55＝∴B 'C ＝AC =，∴AB '＝AC ﹣B 'C ＝②当点B '在线段AC 的延长线上时，△AA ′C 为直角三角形，同理可得，B 'C ＝AC ＝，∴AB '＝AC +B 'C ＝综上所述，点A 与点B '的距离为故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键．2．（2020秋•闵行区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝3，tan B ＝．将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF ＝3【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点F 作FG ⊥AC 于点G ，由旋转的性质得出∠B ＝∠D ，得出tan ∠B ＝tan ∠D ＝12FG GD =，由平行线的性质得出∠B ＝∠AFG ，设AG ＝x ，则FG ＝2x ，则2132x x =+，求出AG ＝1，则可得出答案．【解答】解：如图，过点F 作FG ⊥AC 于点G ，∵将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，∴∠B ＝∠D ，∴tan ∠B ＝tan ∠D ＝12FG GD =，∵∠ACB ＝∠FGA ＝90°，∴BC ∥FG ，∴∠B ＝∠AFG ，∴tan ∠B ＝tan ∠AFG ＝12AG FG =，设AG ＝x ，则FG ＝2x ，∴2132x x =+，解得x ＝1，∴AG ＝1，FG ＝2，∴AF 225FG AG +=∴BF ＝AB ﹣AF ＝35．故答案为：35【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．（2020秋•静安区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，tan B ＝23（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，A 'B '与边BC 相交于点D ，那么'CD A D【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，根据勾股定理和正切的定义得到AC ＝，BC ＝，根据三角形面积得到CE ＝6，再根据旋转的性质和相似三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，∵tan B ＝23，∴23AC BC =，设AC ＝2x ，则BC ＝3x ，在Rt △ABC 中，AB ＝13，解得x ＝AC ＝，BC ＝，S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •CE ，即12××312×13×CE ，解得CE ＝6，∵tan B ＝CE EB ＝23，∴EB ＝9，∵将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，∴∠B ＝∠B ′，AC ＝AC ′，∵CE ⊥AB ，∴AE ′＝AE ＝AB ﹣BE ＝13﹣9＝4，∴A ′B ＝AB ﹣A ′E ＝9﹣4＝5，∵∠A ′DB ＝∠CDB ′，∴△A ′DB ∽△B ′DC ，∴'CD A D ＝''CB A B ＝'CB A B ．．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．4．（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1∥AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D 的值为622．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠B 1AB ＝30°，由直角三角形的性质可求DB 1＝2DE ，DB ＝3﹣DE ，即可求解．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 1于E，∵∠B ＝45°，∠C ＝60°，∴∠CAB ＝75°，∵BB 1∥AC ，∴∠CAB ＝∠ABB 1＝75°，∵将△ABC 绕点A 旋转，∴AB ＝AB 1，∠AB 1C 1＝∠ABC ＝45°，∴∠AB 1B ＝∠ABB 1＝75°，∴∠B 1AB ＝30°，又∵DE ⊥AB 1，∠AB 1C 1＝45°，∴AD ＝2DE ，AE＝DE ，DE ＝B 1E ，∴AB 1DE +DE ＝AB ，DB 1DE ，∴DB ＝AB ﹣ADDE ﹣DE ，∴1BD B D622=，故答案为：2．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．5．（2020秋•宝山区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan ∠CAP﹣1．【考点】旋转的性质；解直角三角形；等腰直角三角形；三角形中位线定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】分两种情形：①当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．②当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA ＝DC 解决问题．【解答】解：如图1，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H．∵CE ＝EA ，CF ＝FB ，∴EF ∥AB ，∴∠EFC ＝∠ABC ＝45°，∵∠PAO ＝45°，∴∠PAO ＝∠OFH ，∵∠POA ＝∠FOH ，∴∠H ＝∠APO ，∵∠APC ＝90°，EA ＝EC ，∴PE ＝EA ＝EC ，∴∠EPA ＝∠EAP ＝∠BAH ，∴∠H ＝∠BAH ，∴BH ＝BA ，∵∠ADP ＝∠BDC ＝45°，∴∠ADB ＝90°，∴BD ⊥AH ，∴∠DBA ＝∠DBC ＝22.5°，∵∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∴A ，D ，C ，B 四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，AP=PD＝2a，∴PC＝a+2a，∴tan∠CAP＝22122a aCPAP+==；如图2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD ＝2 2 a，∴PC＝a ﹣22 a，∴tan∠CAP＝22122a aCPAP+==，∵点P在线段EF上，∴情形1，不满足条件，情形2满足条件，﹣1．【点评】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E处，联结DE，那么∠AED的正切值为3 7．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】设点C落在射线CD上的点C'处，由勾股定理可求AB＝5，由旋转的性质可得∠ACD＝∠AC'C＝45°＝∠DCB，∠EAB＝∠CAC'，由平行线分线段成比例可求AD的长，即可求解．【解答】解：如图，设点C落在射线CD上的点C'处，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∵将Rt△ABC绕点A旋转，∴∠ACD＝∠AC'C＝45°＝∠DCB，∠EAB＝∠CAC'，∴∠CAC'＝90°＝∠EAB，∴AC'∥BC，∴'34AD ACDB BC==，∴AD＝157，∴tan∠AED＝37 ADAE=，故答案为：3 7．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．专题三定义新图形【历年真题】1．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于414．【考点】相似图形；三角形中位线定理．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC AD＝32，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC Rt△AFC中AF＝=，∵AD＝32，E为AD中点，∴AE＝34，∴EF414 =．故答案为：41 4．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．2．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝或．【考点】相似图形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF，∵AB＝CD＝2，AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABE＝∠DCF＝60°，BE＝AB•cos60°＝1，CF＝CD•cos60°＝1，∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝6，∴AD＝EF＝6，DQ＝6﹣x，∵△BAQ∽△QDC，∴AB AQ=QD CD，∴x（6﹣x）＝4，解得x＝3±5，∴AQ＝3±5故答案为：5或3-5【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】先求出BD ＝8，CD ＝4，再求出MH ＝4，DH ＝2，设BE ＝x ，得出CE ＝12﹣x ，CF ＝3+x ，EH ＝10﹣x ，再判断出△EHM ∽△ECF ，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：如图，∵点D 是BC 上一点，BC ＝12，∴BD ：CD ＝2：1，∴BD ＝8，CD ＝4，过点M 作MH ∥AC 交CD 于H ，∴△DHM ∽△DCA ，∴MH DH =AC DM CD AD=，∴点M 是AD 的中点，∴AD ＝2DM ，∵AC ＝8，∴MH DH 1=842=，∴MH ＝4，DH ＝2，过点M 作MG ∥AB 交BD 于G ，同理得，BG ＝DG ＝4，∵AB ＝10，BC ＝12，AC ＝8，∴△ABC 的周长为10+12+8＝30，∵过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，∴CE +CF ＝15，设BE ＝x ，则CE ＝12﹣x ，∴CF ＝15﹣（12﹣x ）＝3+x ，EH ＝CE ﹣CH ＝CE ﹣（CD ﹣DH ）＝12﹣x ﹣2＝10﹣x ，∵MH ∥AC ，∴△EHM ∽△ECF ，∴MH EH =CF CE ，∴410-=3+12x x x-，∴x ＝2或x ＝9，当x ＝9时，CF ＝12＞AC ，点F 不在边AC 上，此种情况不符合题意，即BE ＝x ＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．4．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝12，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，sin ∠ADE ＝45，ED ＝5，如果△ECD 的面积是6，那么BC 的长是﹣6．【考点】解直角三角形；三角形的面积．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．解直角三角形求出BH ，CH 即可解决问题．【解答】解：如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝120°，∴∠ABH ＝180°﹣∠ABC ＝60°，∵AB ＝12，∠H ＝90°，∴BH ＝AB •cos60°＝6，AH ＝AB •sin60°＝，∵EF ⊥DF ，DE ＝5，∴sin ∠ADE ＝EF DE ＝45，∴EF ＝4，∴DF 3==，∵S △CDE ＝6，∴12•CD •EF ＝6，∴CD ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝6，∵tan C ＝EF AH CF CH =，∴4636CH=，∴CH ＝，∴BC ＝CH ﹣BH ＝6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．（2020秋•金山区期末）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，以点C 为直角顶点的Rt △DCE 的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若tan ∠CED＝12，CE ＝GE ，那么BD 的长等于2+【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点A 作AH ⊥CE 于H ．想办法证明AK ＝AC ，推出HK ＝CH ，推出AK ＝AD ＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AH ⊥CE 于H .∵tan ∠CED ＝12＝tan ∠BAC ，∴∠E ＝∠BAC ，∵CE ＝EG ，∴∠CGE ＝∠ECG ，∵∠BAC+∠GAK＝180°，∴∠E+∠GAK＝180°，∴∠AGE+∠AKE＝180°，∵∠AKE+∠AKC＝180°，∴∠AKC＝∠CGE，∴∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK＝2，∵AH⊥CK，∴KH＝CH，∵∠AHE＝∠DCK＝90°，∴AH∥CD，∴KA＝AD，∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB=∴BD＝AB+AD＝，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．6．(2020秋·黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5.一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为2:1或1:2或1:1．【考点】相似多边形的性质;矩形的性质，四手拉手模型【专题】图形的相似;推理能力.【分析】如图，设AB=a，AD=2.5a，AE=x，则DE=2.5a-x，利用相似多边形的性质，构建方程求解，另外两个矩形全等也符合题意．【解答】解:如图，设AB=a，AD=2.5a，,AE=x，则DE=2.5a-x.∵矩形ABFE∽矩形EDCF∴AE EF=EF DE∴=2.5x aa a x-整理得，x2-2.5xa+a2=0，解得x=2a或0.5a，∴矩形ABFE与矩形EDCF相似，相似比为2：1或1：2.当E，F分别是AD，BC的中点时，两个矩形全等，也符合题意，相似比为：1：1故答案为：2：1或1：2或1：1.【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程求解，属干电考常考题型。

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴题精选30道-锐角的三角比综合问题(解析版)

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴题精选30道-锐角的三角比综合问题(解析版)

压轴题精选30道-锐角的三角比综合问题（教师版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·黑龙江龙沙·二模）如图，在△ABC 中，AC ＝2，△CAB ＝45°，AD 为△CAB 的角平分线，若点E 、F 分别是AD 和AC 上的动点，则CE+EF 的最小值为（ ）A．1B C ．2 D ．3【答案】B【分析】过点C 作CG AB ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF AC ⊥，利用等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】解：过点C 作CG AB ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF AC ⊥，△AD 为△CAB 的角平分线，△EF EG =，△CE +EF 的最小值即为CE +EG 的最小值，当CG AB ⊥时，CE +EG 的值最小，△AC ＝2，△CAB ＝45°，△CG == 故答案为：B ．【点睛】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质等内容，掌握上述性质定理是解题的关键．2．（2021·四川南充·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，15AB =，20BC =，把边AB 沿对角线BD 平移，点'A ，'B 分别对应点A ，B ．给出下列结论：△顺次连接点'A ，'B ，C ，D 的图形是平行四边形；△点C 到它关于直线'AA 的对称点的距离为48；△''A C B C -的最大值为15；△''A C B C +的最小值为 ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断△，再利用等积法得出点C 到BD 的距离，从而对△做出判断，再根据三角形的三边关系判断△，如图，作D 关于AA '的对称点D ，DD '交AA '于,M 连接BD '，过D 作D N BC '⊥于,N 分别交,AM BD 于,,K H 证明D C ' 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解D C '，对△做出判断．【详解】解：由平移的性质可得AB //A B ''且AB =A B ''△四边形ABCD 为矩形△AB //CD ，AB =CD =15△A B ''//CD 且A B ''=CD△四边形A B ''CD 为平行四边形，故△正确在矩形ABCD 中，BD过A 作AM △BD ，CN △BD ，则AM =CN△S △ABD =12AB ·CD =12 BD ·AM△AM =CN =152025⨯=12 △点C 到AA '的距离为24△点C 到它关于直线AA '的对称点的距离为48△故△正确△A C B C A B ''''-≤△当,,A B C ''在一条直线时A C B C ''-最大，此时B '与D 重合△A C B C ''-的最大值=A B ''=15△故△正确，如图，作D 关于AA '的对称点D ，DD '交AA '于,M 连接BD '，过D 作D N BC '⊥于,N 分别交,AM BD 于,,K H则////,15,AB A B KH AB KH ''== KM 为D HD '的中位线， BD DD '⊥，15,D K HK '∴==由A B CD ''可得B C A D ''=，,B C A D A D ''''∴==,A C B C A C A D D C ''''''∴+=+= 此时最小，由△同理可得：12,DM D M '==153tan =,204DC HN DBC BC BN∠=== 设3,HN x = 则4,BN x =由勾股定理可得：22222,DD BD BD BN D N '''+==+()()222225243034,x x ∴+=++整理得：2251803010,x x +-= ()()575430,x x ∴-+= 解得：12743,55x x ==-（负根舍去）， 72171204,,55NC x D N '∴=-==D C '∴== △故△正确故选D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．3．（2021·黑龙江鹤岗·模拟预测）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：△2GF =；△OD =；△1tan 2CDE ∠=；△90ODF OCF ∠=∠=︒；△点D 到CF ．其中正确的结论是（ ）A ．△△△△B ．△△△△C ．△△△△D ．△△△△【答案】C【分析】由题意易得,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，△由三角形中位线可进行判断；△由△DOC 是等腰直角三角形可进行判断；△根据三角函数可进行求解；△根据题意可直接进行求解；△过点D 作DH △CF ，交CF 的延长线于点H ，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，AC BD ⊥，△点F 是DE 的中点， △1,//2OF BE OF BE =， △6OF =，4CE =，△12BE =，则8CD BC ==，△OF △BE ，△△DGF △△DCE ， △12DG GF CD CE ==， △2GF =，故△正确；△点G 是CD 的中点，△OG △CD ，△△ODC =45°，△△DOC 是等腰直角三角形，△OD =，故△正确；△CE =4，CD =8，△DCE =90°， △1tan 2CE CDE CD ∠==，故△正确； △1tan 12CDE ∠=≠， △45CDE ∠≠︒，△90ODF ∠≠︒，故△错误；过点D 作DH △CF ，交CF 的延长线于点H ，如图所示：△点F 是CD 的中点，△CF =DF ，△△CDE =△DCF ， △1tan tan 2CDE DCF ∠=∠=， 设DH x =，则2CH x =，在Rt △DHC 中，22464x x +=，解得：x =△DH =△正确； △正确的结论是△△△△；故选C ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．4．（2021·四川·广安中学九年级开学考试）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 为对角线AC 上与A ，C 不重合的一个动点，过点E 作EF AB ⊥于点F ，EG BC ⊥于点G ，连接,DE FG ．下列结论：△DE FG =；△DE FG ；△BFG ADE ∠=∠；△FG 的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 延长DE ，交FG 于点N ，交AB 于点M ，连接BE ，交FG 于点O ，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出DE BE =，再根据矩形的判定与性质可得BE FG =，由此可判断△；先根据三角形全等的性质可得ABE ADE ∠=∠，再根据矩形的性质可得OB OF =，然后根据等腰三角形的性质可得BFG ABE ∠=∠，由此可判断△；根据直角三角形的性质可得90ADE AMD ∠+∠=︒，从而可得90BFG AMD ∠+∠=︒，由此可判断△；先根据垂线段最短可得当DE AC ⊥时，DE 取得最小值，再解直角三角形可得DE 的最小值，从而可得FG 的最小值，由此可判断△．【详解】解：如图，延长DE ，交FG 于点N ，交AB 于点M ，连接BE ，交FG 于点O ，四边形ABCD 是正方形，4AB =，4,90,45AD AB ABC BAD BAE DAE ∴==∠=∠=︒∠=∠=︒，在ABE △和ADE 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ADE SAS ∴≅，,BE DE ABE ADE ∴=∠=∠，90,,ABC EF AB EG BC ∠=︒⊥⊥，∴四边形BFEG 是矩形，,BE FG OB OF ∴==，DE FG ∴=，即结论△正确；OB OF =，BFG ABE ∴∠=∠，BFG ADE ∴∠=∠，即结论△正确；90BAD ∠=︒，90ADE AMD ∴∠+∠=︒，90BFG AMD ∴∠+∠=︒，90FNM ∴∠=︒，即DE FG ，结论△正确；由垂线段最短可知，当DE AC ⊥时，DE 取得最小值，此时在Rt ADE △中，sin 4DE AD DAE =⋅∠== 又DE FG =，FG ∴的最小值与DE 的最小值相等，即为△错误；综上，正确的结论为△△△，共有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．5．（2021·黑龙江·二模）如图，四边形ABCD 中，BC//AD ，60,24A D AD BC ∠=∠=︒==，动点P 从点A 以每秒1个单位长度的速度向点D 运动，动点Q 也同时从点A 沿A B C D →→→的路线以每秒2个单位长度的速度向点D 运动，当点Q 到达点D 时，点P 也随之停止运动，设点P 运动的时间为t （单位：秒），DPQ 的面积为S ，当S =t 的值为（ ）A ．2或2B ．3或2C ．3D ．2【答案】D【分析】 分△点Q 在AB 边上，△点Q 在BC 边上，△点Q 在CD 边上三种情况进行讨论即可【详解】解：过点C 作CE △AD 于E 、点B 作BF △AD 于F ，△BC //AD ，△得到矩形AEFB 及直角△ABF ，△DCE ．△60A CDA ∠=∠=︒，△△ABF △△DCE ， △1()2DE AF AD BC ==-，AB =CD ； △24AD BC ==，△DE =AF =1，△=1cos60=2AB CD =÷△如图△，当点Q 在AB 边上运动时，01t ≤≤，作QE AD ⊥于点E ．211(4)22S DP QE t =⋅=-=+．当S =2t =+2t = △如图△，当点Q 在BC 边上运动时，12t <≤，作BF AD ⊥于点F ．11(4)22S DP BF t =⋅=-+当S =3t =（舍）； △如图△，当点Q 在CD 边上运动时，23t <≤，作QH AD ⊥于点H ．211(4))22S DP QH t t =⋅=--=+当S =t =t = 故选D ．【点睛】此题主要考查了四边形的动点问题，以及解一元二次方程，关键是注意分类讨论，不要漏解．6．（2021·浙江龙湾·二模）如图，六边形AEBCFD 是中心对称图形．点M ，N 在面积为8的正方形ABCD 的对角线上．若1BM DN ==，点E ，M 关于AB 对称，则四边形AGCH 的面积为（ ）A ．275B ．325C ．9215D ．9415【答案】B【分析】连AC 交B D 于O ，过M 作MK △BC 于K ，连结ME 交BA 于L ，FN 交CD 于R ，由正方形ABCD 面积为8，可求AD，BD =4,M 、E 关于AB 对称，可得EB =MB =1，可证△BEA △△BMC （SAS ），由三角函数BK =MK，KCMC四边形AGCH 为矩形，再证△MOC △△ACG，可求AG =，CG 【详解】解：连AC 交B D 于O ，过M 作MK △BC 于K ，连结ME 交BA 于L ，FN 交CD 于R ， △正方形ABCD 面积为8，△AD 2=8，AD△BD 为正方形对角线，△BD4,△M 、E 关于AB 对称，△EL =LM ，EB =MB =1，△EBA =△MBA =45°=△MBC ，在△BEA 和△BMC 中，BE BM EBA MBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BEA △△BMC （SAS ），△AE =MC ，△EAB =△MCB ，△BM =1，△BK =MK△KC =BC -BK△MC =△六边形AEBCFD 是中心对称图形． △△AND △△CMB ，△AEB △△CFD ， △△AND △△CMB △△AEB △△CFD ， 设CG 交AB 于W ，△△GAW =△BCW ，△AWG =△CWB ， △△AGW =△CBW =90°，△同理可证AH △CF ，△AHC =90°， △△BCM =△DCF ，△△GCH =△DCH +△GCD =△BCG +△GCD =△BCD =90°， △△AGC =△GCH =△AHC =90°， △四边形AGCH 为矩形， △AC △BD ，△△MOC =△AGC =90°， △△MCO =△ACG ， △△MOC △△AGC ，△=MO MC OC AG AC CG =即12AG CG，△AG =，CG△S 矩形AGCH =AG ·GC 325， 故选择B ．【点睛】本题考查正方形性质，中心对称图形性质，轴对称性质，三角形全等判定与性质，锐角三角函数应用，勾股定理应用，三角形相似判定与性质，矩形判定与性质，掌握正方形性质，中心对称图形性质，轴对称性质，三角形全等判定与性质，锐角三角函数应用，勾股定理应用，三角形相似判定与性质，矩形判定与性质．7．（2021·山东东营·二模）如图，在正方形ABCD 中，连接AC ，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 、AC 于点M ，N ，分别以M ，N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点H ，连结AH 并延长交BC 于点E ，再分别以A 、E 为圆心，以大于AE 长的一半为半径画弧，两弧交于点P ，Q ，作直线PQ ，分别交CD ，AC ，AB 于点F ，G ，L ，交CB 的延长线于点K ，连接GE ，下列结论：△22.5LKB ∠=︒；△//GE AB ； △tan KBCGF LB∠=； △CGECABS :S1:4=．其中正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】A 【分析】△在△AOL 和△BLK 中，根据三角形内角和定理，如图两个角对应相等，则第三个角△LKB =△BAC =22.5°；△根据线段中垂线定理证明△AEG =△EAG =22.5°=△BAE ，可得EG △AB ；△根据等量代换可得：△CGF =△BLK ，可作判断；△连接EL ，证明四边形ALEG 是菱形，根据EL ＞BL ，及相似三角形的性质可作判断． 【详解】解：△△四边形ABCD 是正方形，△△BAC=12△BAD=45°，由作图可知：AE平分△BAC，△△BAE=△CAE=22.5°，△PQ是AE的中垂线，△AE△PQ，△△AOL=90°，△△AOL=△LBK=90°，△ALO=△KLB，△△LKB=△BAE=22.5°；故△正确；△△OG是AE的中垂线，△AG=EG，△△AEG=△EAG=22.5°=△BAE，△EG△AB，故△正确；△△△LAO=△GAO，△AOL=△AOG=90°，△△ALO=△AGO，△△CGF=△AGO，△BLK=△ALO，△△CGF=△BLK，在Rt△BKL中，tan△CGF=tan△BLK=BK BL，故△正确；△连接EL，△AL=AG=EG，EG△AB，△四边形ALEG是菱形，△AL=EL=EG＞BL，△12 EGAB，△EG△AB，△△CEG△△CBA，△21()4CEG CBA S EG S AB ∆∆=≠， 故△不正确；本题正确的是：△△△， 故选：A ． 【点睛】本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，菱形的性质和判定，三角函数，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运用；是中考常考的选择题的压轴题．8．（2021·山东历下·三模）如图1，在Rt△ABC 中，△A ＝90°，BC ＝10cm ，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 以2cm/s 的速度沿B→A→C 运动，终点为C ，点Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图象如图2（曲线OM 和MN 均为抛物线的一部分），给出以下结论：△AC ＝6cm ；△曲线MN 的教师式为y ＝﹣45t 2＋285t （4≤t≤7）；△线段PQ；△若△PQC 与△ABC 相似，则t ＝407秒，其中正确的说法是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】A 【分析】△根据图2可知：P 走完AB 用了4秒，得248AB cm =⨯=，利用勾股定理得AC 的长；△当P 在AC 上时，47t ≤≤，利用同角的三角函数表示高PD 的长，利用三角形面积公式可得y 与t 的关系式；△当P 与A 重合时，PQ 最大，如图4，此时4t =，求出PQ 的长；△当P 在AC 上时，PQC ∆与ABC ∆，列比例式可得t 的值．【详解】解：△由图2可知：4t =时，485y =， 248AB cm ∴=⨯=，90A ∠=︒，BC 10cm =，6AC cm ∴=，故△正确；△当P 在AC 上时，如图3，过P 作PD BC ⊥于D ，此时：6872+=， △47t ≤≤，由题意得：2AB AP t +=，BQ t =，142PC t ∴=-，sin PD ABC PC BC∠==， ∴84142105PD t ==-， 4(142)5t PD -∴=， 2114(142)42822555BPQ t y S BQ PD t t t ∆-∴====-+，故△正确； △当P 与A 重合时，PQ 最大，如图4，此时4t =，4BQ ∴=，过Q 作GH AB ⊥于H ，sin QH AC B BQ BC∠==， ∴6410QH =， 125QH ∴=， 同理：165BH =，1624855AH ∴=-=，PQ ∴==∴线段PQ △不正确； △若PQC ∆与ABC ∆相似，点P 只有在线段AC 上， 分两种情况：142PC t =-，10QC t =-，)i 当CPQ CBA ∆∆∽，如图5，则PC CQCB AC=，∴14210106t t--=， 解得8t 不合题意．)ii 当PQC ABC ∆∆∽时，如图6，∴PC QC AC BC=， ∴14210610t t--=， 407t =； ∴若PQC ∆与ABC ∆相似，则407t =秒，故△正确； 其中正确的有：△△△， 故选：A ．【点睛】本题是动点问题的图象问题，此类问题比较复杂，考查了二次函数的关系式、三角形相似的性质和判定、勾股定理、三角函数，解题的关键是学会读懂函数图象信息，并构建直角三角形，利用三角形相似或三角函数列方程解决问题．9．（2021·广东深圳·中考真题）在正方形ABCD 中，2AB =，点E 是BC 边的中点，连接DE ，延长EC 至点F ，使得EF DE =，过点F 作FG DE ⊥，分别交CD 、AB 于N 、G 两点，连接CM 、EG 、EN ，下列正确的是：△1tan 2GFB ∠=；△MN NC =；△12CM EG =；△GBEM S =四边形 ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】解：△中由FG DE ⊥即可得到GFB EDC ∠=∠，再由正切等于对边比邻边即可求解； △中先证明DEC FEM △≌△得到EM=EC ，DM=FC ，再证明DMN FCN △≌△即可求解；△中先证明GE //CM ，得到CM CF EG EF ==即可求解；△中由1tan tan 2GB F EDC BF ∠=∠==得到12GB BF ==再由2GBE GBEM S S △四边形=即可求解． 【详解】解：△△FG DE ⊥，△△DMF =90°=△NCF ，且对顶角△MND =△CNF ， △△GFB =△EDC ，△ABCD 为正方形，E 是BC 的中点， △BC =CD ，△1tan tan 2EC GFB EDC CD ∠=∠==，△正确； △由△知MDN CFN ∠=∠，又=90ECD EMF ∠=∠，已知EF ED =，△DEC FEM △≌△(SAS )， △EM EC =， △DM FC =，△MDN CFN ∠=∠，MND CNF ∠=∠，DM FC =， △DMN FCN △≌△(AAS )， △MN NC =，故△正确； △△BE EC =，ME EC =， △BE =ME ，且△B =△GME =90°，GE 为Rt GBE 和Rt GME 的公共边， △Rt GBE Rt GME △≌△（HL ）， △BEG MEG ∠=∠， △ME EC =， △EMC ECM ∠=∠，由三角形外角定理可知：EMC ECM BED BEG MEG ∠+∠=∠=∠+∠， △GEB MCE ∠=∠， △//MC GE ， △CM CFEG EF=，△EF DE =，1CF EF EC =-=，△CM CF EG EF ===△错误；△由上述可知：1BE EC ==，1CF ，△1BF =， △1tan tan 2GB F EDC BF ∠=∠==，△12GB BF ==△1222GBE GBEM S S BE BG ==⋅⋅⋅=△四边形△正确．故选B ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．（2021·四川达州·中考真题）在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11A OB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（ ）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2D ．()201120212,2-【答案】C 【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题． 【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷=，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒ ，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22，()2020202020212,2A ∴，故选：C ． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．二、填空题 11．（2021·全国·九年级专题练习）将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE 、EG 、FG 为折痕，若顶点A 、C 、D 都落在点O 处，且点B 、O 、G 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．（1）EGBE的值为________．（2）若BEGF 的面积为________．【分析】（1）由折叠可得，E ，G 分别为AD ，CD 的中点，证明△BEG =90°，将EGBE 转化为AE AB，设CD =2a ，AD =2b ，在Rt △BCG 中，CG 2+BC 2=BG 2，可得a 2+（2b ）2=（3a ）2，则b a ，进而得出EGBE的值； （2）在△BCG 中，由勾股定理得出a 2+42=（3a ）2，解得a ，证明△EDG △△GCF ，得出比例线段ED DGCG CF=，求出CF ．则可求出EF ．由四边形面积公式可求出答案． 【详解】解：（1）△四边形ABCD 是矩形， △△A =△D =△C =90°，AB =CD ，AD =BC ， 由折叠的性质得：AE =OE =DE ，CG =OG =DG ， △ABE =△OBE ，△AEB =△OEB ，△DEG =△OEG ，△△BEG =180°÷2=90°，且E ，G 分别为AD ，CD 的中点， △tan △OBE =EGBE =tan △ABE =AE AB， 设CD =2a ，AD =2b ，则AB =2a =OB ，DG =OG =CG =a ，BG =3a ，BC =AD =2b ， 在Rt △BCG 中，CG 2+BC 2=BG 2， 即a 2+（2b ）2=（3a ）2， △b 2=2a 2，△b ，△ba=△11212222AD bEG AE b BE AB AB a a ⨯====⨯=（2）由（1）得：AB =2a =OB ，DG =OG =CG =a ，BG =3a ，BC =AD=△△C =90°，△Rt △BCG 中，CG 2+BC 2=BG 2，△a 2+（2=（3a ）2，△a =2或-2（舍），△DG =CG =2，△BG =OB +OG =4+2=6，由折叠可得△EGD =△EGO ，△OGF =△FGC ，△△EGF =90°，△△EGD +△FGC =90°，△△EGD +△DEG =90°，△△FGC =△DEG ，△△EDG =△GCF =90°，△△EDG △△GCF ， △ED DG CG CF =，2CF=， △CF，△FO△EF=△点B ，O ，G 在同一条直线上，△EF △BG ，△S 四边形EBFG =12×BG ×EF=162⨯⨯，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．12．（2021·浙江鹿城·二模）矩形ABCD 的面积记为1S 、正方形DEFG 的面积记为2S 、正方形FHMN 的面积记为3S ，它们的位置如图所示，点C 在FH 上，FG 交CD 于点P ，延长DE 交AB 于点K ，26AD AK ==，点B ，C ，M 在同一直线上，则23S S =_______；若123S S S +=，射线EP 交HM 于点Q ，则QM 的长为__________．【答案】14【分析】先推出△ADK =△GDP ，可得12AK PG AD DG ==，再证明DPG CPF ≌，然后证明12CH DE HM CE ==，HF =2CF =2DG ， 进而即可得23S S 的值；设DE =x ，则EC = FH =HM =2x ，DC ==，列出方程，求出x 的值，再证明12QH AK EH AD ==，进而即可得到QM 的长． 【详解】 解：△在矩形ABCD 、正方形DEFG 中，△ADC =△EDG =90°，△△ADK =△GDP ， △tan△ADK =tan△GDP ，即：12AK PG AD DG ==， △GP =1122DG FG =， △GP=FP ，△△DGP =△CFP =90°，△DPG =△CPF ，△DPG CPF ≌，△DG =CF ，△DE =DG =EF =CF ，即EC =2DE ，△点B，C ，M 在同一直线上，△△DCM =90°，△△DCE +△MCH =△MCH +△CMH ，△△DCE =△CMH ，即：tan△DCE =tan△CMH ， △12CH DE HM CE ==， △HM =HF =2CH ，△CF =CH ，△HF =2CF =2DG ， △222314S DG S FH ==． 设DE =x ，则EC = FH =HM =2x ，DC =，△123S S S +=，+x 2=4 x 2，解得：x x =0（舍去），△EH =x +2x =3x△PF 垂直平分EC ，△PE =PC ，△△PEC =△PCE =△PDG =△ADK ， △tan△PEC =tan△ADK ，即：12QH AK EH AD ==， △QH =12△Q M =HM-QH故答案是：14 【点睛】本题主要考查正方形的性质，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，通过锐角三角函数的定义，推出小正方形边长是大正方形边长的一半，是解题的关键． 13．（2021·浙江婺城·二模）有一种双层长方体垃圾桶AB ＝70cm ，BC ＝25cm ，CF ＝30cm ，侧面如图1所示，隔板EG 等分上下两层，下方内桶BCHG 绕底部轴（CF ）旋转开，若点H 恰好能卡在原来点G 的位置，则内桶边CH 的长度应设计为___；现将CH 调整为25cm ，打开最大角度时，点H 卡在隔板上，如图2所示，则可完全放入下方桶内的球体的直径不大于____．【答案】 21【分析】△ 由题意，EG 等分上下两层，BH BG =，勾股定理直接求解即可△过点G '作G I BH '⊥于点I ，交BG 于点J ，过点J 作JK BG '⊥于点K ，分别通过勾股定理和三角函数求出，,JK JB 继而求出sin JBK ∠，过点H 作HL ⊥BG '于点L ,交BG 于点N ，过G 作GM HL ⊥于点M ，通过证明JBK GHM ∠=∠，继而用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，求出ML ，即为球的直径大小【详解】△点H 恰好能卡在原G 点的位置1352BH BG AB ∴=== 25BC =CH ∴=故答案为：△如图：根据旋转，25BC BC '==，25C H CH '==,BH ∴=5GH ∴C H C B ''=45C BH '∴∠=︒45HBG '∴∠=︒过点G '作G I BH '⊥于点I ，交BG 于点J过点J 作JK BG '⊥于点K ，BI G I '===51tan 357HG HBG BG ∠===1tan 7IJ HBG BI ∴=∠⨯==G J IG IJ ''∴=-==1122BJG S JG BI BG JK '''=⨯=⨯△21535JG BI JK BG '⨯∴==='25BJ BI === 153sin 255JK JBK JB ∴∠=== 过点H 作HL ⊥BG '于点L ,交BG 于点N ，过G 作GM HL ⊥于点M90JBK BNL HNG GHM ∠+∠=∠+∠=︒又HNG BNL ∠=JBK GHM ∴∠=∠3sin 5GHM ∴∠=,4cos 5GHM ∠= 4cos 545HM GH GHM ∴=⋅∠=⨯= 25421ML HL HM ∴=-=-=∴球体的直径不大于21cm故答案为21．【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的实际应用，正确的添加辅助线是解题的关键．14．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，矩形ABCD 中，AD ，点E 在BC 边上，且AE=AD ，DF△AE 于点F ，连接DE ，BF ，BF 的延长线交DE 于点O ，交CD 于点G ．以下结论：△AF=DC ，△OF ：BF=CE ：CG ，△S △BCG △DFG ，△图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是____．【答案】△△【分析】通过证明△ABE 和△ADF 是等腰直角三角形，结合已知条件，可判断△正确；通过证明△DCE △△BCG ，得到2CE CG =△ABF △△ADE ，得到2BF DE =，再通过相似和三角形的外角性质，得到OE =12DE ，进而证得OF CE BF CG=，可判断△正确；证明△BEF △△FDG ，连接CF 后，可知BCF BEF S △△，结合图象，即可判断△不正确；通过图形中相似三角形超过6对，可判断△不正确，问题即可得解．【详解】△AE =AD ，AD =AB ，△AE ．在Rt△ABE 中，△ABE =90°，cos△BAE =AB AE，△cos△BAE =2AB AE = △△BAE =45°，即△ABE 是等腰直角三角形．△在矩形ABCD 中，△BAD =90°，△△DAF =45°．△DF △AE ，△△ADF=45°，即△ADF 是等腰直角三角形．△AD ．△AF =AB ．△在矩形ABCD 中，AB =CD ，△AF =CD ．故△正确；又△AF =AB ，△BAE =45°，△△ABF =67.5°．△△CBG =22.5°．又△AE =AD ，△DAE =45°，△△ADE =67.5°．△△CDE =22.5°．△△CBG =△CDE ．△△C=△C ，△△DCE △△BCG ． △CE DC CG BC=．△在矩形ABCD 中，BC =AD ，△CE CG = 在△ABF 和△ADE 中．△BAF =△DAE =45°，AF =AB ，AE =AD ，△△ABF △△ADE ．△BF AB DE AD == 在△ABF 和△OEF 中，△OEF ＝△ADE ＝67.5°＝△ABF ，△△AFB =△OFE ，△AFB =△ABF ，△△ABF △△OEF ，△OEF=△OFE ．△OE ＝OF ，△EOF =45°．又△△EOF =△DFO +△ODF =45°，△ODF =△ADE -△ADF =22.5°，△△ODF =△DFO ．△OF =OD ．△OE =OF =OD 12=DE ．△12OF DE CE BF BF CG=⋅== ．故△正确； 在△BEF 和△FDG 中, BE =FD ，△EBF =△DFG ，△BEF =△FDG=△ADC -△ADF =45°， △△BEF △△FDG ．连接CF ．又△ BC =AD ，△BCF BEF DFG BCG S S =△△△△＜ ．故△不正确；△△ABF △△ADE ，△ABF △△OEF ，△△ADE △△OEF ．在△BEF 和△BOE 中， △BEF =△BOE =45°，△EBF =△OBE ，△△BEF △△BOE ．在△BOE 和△DOG 中， △ODG =△OBE ，△BOE =△DOG ，△△BOE △△DOG ．△△BEF △△DOG ．又△△DCE △△BCG ，△图形中相似三角形超过6对，故△不正确．综上，正确的结论是△△．故答案为：△△．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，涉及了特殊角的三角函数值、三角形的外角性质、举反例等，是一道综合题．相似和全等是证明边的比例关系中最常用的方法．15．（2021·重庆实验外国语学校二模）如图，在菱形ABCD 中，△BAD ＝120°，2BC =+将菱形纸片翻折，使点B落在CD边上的点P处，折痕为MN，点M、N分别在边BC、AB 上，若PN△AB，则点N到边MP的距离为________．【分析】过点P作PE△BC于E，作MF△AB于F，作NH△BM于H，根据菱形的性质和翻折的性质，求点N到边MP的距离等于求点N到BM的距离NH，在Rt△NBH中求出NH即可．【详解】解：如图，过点P作PE△BC于E，过点M作MF△AB于F，过点N作NH△BM于H，NG△MP，△四边形ABCD为菱形，AB△CD，AD△BC，△BAD＝120°，△△ABC＝△DCE＝60°，又PE△BC，△△CPE＝30°，△PC＝2CE，PE，△翻折，△△NBM△△NPM，△NH＝NG，△BNM＝△PNM，BM＝MP，△B＝△NPM＝60°，△NP△BA，△△BNP＝90°，△△BNM＝△PNM＝45°，△△B＋△BNP＋△NPM＋△BMP＝360°，△△BMP＝150°，△△PME＝30°，△MP＝2PE＝，ME＝3CE，△BM＝PM＝，MC＝2CE，△BC＝2＋2CE＋，△CE＝1，△MB＝△MF＝MB×sin B＝＝3，BF＝MB×cos B＝△△FNM＝45°，FM△FN，△FN＝MF＝3，△BN＝BF＋FN3，△NH＝BN×sin B＝（3×sin60°△NG【点睛】此题主要考查四边形的综合性质求解，解题的关键是根据题意作出辅助线，利用菱形与三角函数的性质求解．16．（2021·山东庆云·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，△ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE△BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论：△若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2；△若△BDE＝△BAC，AB＝4，则CE＝158；△△ABD和△CBE一定相似；△若△A＝30°，△BCE＝90°，则DE_____．（填写所有正确结论的序号）【答案】△△△．【分析】△由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD＝BD，由BF＝CF，BD＝CD得DE 是BC的垂直平分线，得BE＝CE，再由勾股定理便可得结论，由此判断结论的正误；△证明△ABC△△DBE，求得BE，再证明DE△AB，得DE垂直平分BC，得CE＝BE，便可判断结论的正误；△证明△ABD＝△CBE，再证明BE与BC或BC与BE两边的比不一定等于AB与BD的比，便可判断结论正误；△先求出AC，进而得BD，再在Rt△BCE中，求得BE，进而由勾股定理求得结果，便可判断正误．【详解】解：△△△ABC＝90°，D为斜边AC的中点，△AD＝BD＝CD，△BF＝CF，△DE△BC，△BE＝CE，△BE△BD，△BD2+BE2＝DE2，△CE2+AD2＝DE2，故△正确；△△AB＝4，BC＝3，△AC5，△52BD AD CD，△△A＝△BDE，△ABC＝△DBE＝90°，△△ABC△△DBE，△AB BCDB BE，即4352BE=．△BE＝158，△AD＝BD，△△A＝△ABD，△△A＝△BDE，△△ABD＝△BDE，△DE△AB，△DE△BC，△BD＝CD，△DE 垂直平分BC ，△BE ＝CE ，△CE ＝158， 故△正确；△△△ABD 一定是等腰三角形，而△CBE 不一定是等腰三角形，△△ABD 和△CBE 不一定相似，故△错误；△△△A ＝30°，BC ＝3，△△A ＝△ABD ＝△CBE ＝30°，AC ＝2BC ＝6，△BD ＝132AC =， △BC ＝3，△BCE ＝90°，△BE ＝cos30BC ︒=△DE ==故△正确；故答案为：△△△．【点睛】本题是三角形的一个综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，考试的内容多，难度较大，关键是综合应用以上性质灵活解题．17．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，△MON ＝30°，点A 1在射线OM 上，过点A 1作A 1B 1△OM 交射线ON 于点B 1，将△A 1OB 1沿A 1B 1折叠得到△A 1A 2B 1，点A 2落在射线OM 上；过点A 2作A 2B 2△OM 交射线ON 于点B 2，将△A 2OB 2沿A 2B 2折叠得到△A 2A 3B 2，点A 2落在射线OM 上；…按此作法进行下去，在△MON 内部作射线OH ，分别与A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3，…，A n B n 交于点P 1，P 2，P 3，…P n ，又分别与A 2B 1，A 3B 2，A 4B 3，…，A n ＋1B n ，交于点Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n ．若点P 1为线段A 1B 1的中点，OA 1A n P n Q n A n ＋1的面积为___________________（用含有n 的式子表示）．【分析】先证明△OA 1P 1△△OA 2P 2，△OP 1B 1△△OP 2B 2，又点P 1为线段A 1B 1的中点，从而可得P 2为线段A 2B 2的中点，同理可证P 3、P 4、P n 依次为线段A 3B 3、A 4B 4、△A n B n 的中点．结合相似三角形的性质可得△P 1B 1Q 1的P 1B 1上的高与△P 2A 2O 1的A 2P 2上的高之比为1△2，所以△P 1B 1Q 1的P 1B 1上的高为1213A A ，同理可得△P 2B 2Q 2的P 2B 2上的高为2313A A △，从而1121PQ A A S 四边形＝112AB A S ∆﹣111P B Q S ∆，以此类推来求2232P Q A A S 四边形，从而找到四边形P An nQnAn S 的面积规律． 【详解】解：由折叠可知，OA 1＝A 1A 2由题意得：A 1B 1//A 2B 2，△△OA 1P 1△△OA 2P 2，△OP 1B 1△△OP 2B 2， △111222A P OA A P OA =＝12OP OP ＝1122P B P B= 12，又△点P 1为线段A 1B 1的中点，△A 1P 1＝P 1B 1，△A 2P 2＝P 2B 2，则点P 2为线段A 2B 2的中点，同理可证，P 3、P 4、△P n 依次为线段A 3B 3、A 4B 4、△A n B n 的中点．△A 1B 1//A 2B 2，△△P 1B 1Q 1△△P 2A 2O 1， △1122P B P A ＝1122A P P A ＝12， 则△P 1B 1Q 1的P 1B 1上的高与△P 2A 2O 1的A 2P 2上的高之比为1△2，△△P 1B 1Q 1的P 1B 1上的高为1213A A ，同理可得△P2B 2Q 2的P 2B 2上的高为2313A A ， ，由折叠可知A 2A 3＝A 3A 4＝△△MON ＝30°，△A 1B 1＝tan30°×OA 1＝1，△A 2B 2＝2，A 3B 3＝4， ，△1121PQ A A S 四边形＝112A B A S ∆﹣111P B Q S ∆ ＝121112A A A B ⋅﹣11121123A P A A ⋅＝1111222-⨯ 同理，2232P Q A A S 四边形＝223A B A S ∆﹣222P B Q S ∆ ＝232212A A A B ⋅﹣22231123A P A A ⋅＝11121223⨯-⨯⨯⨯1n n n n A P Q A S +四边形＝1n n n A B A S +∆﹣n n nP B Q S ∆＝1111212222223n n n n ----⨯-⨯⨯⨯22122(2)3n n n ----【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，解决本题的关键在根据图形的变化找到规律．18．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校一模）如图，在菱形ABCD 中，点F 是CD 的中点，BF 与AC 交于点E ，点N 在FB 上，CN 与AB 交于点M ，若tan FBC ∠=32AM DF =，BM =AE =__________．【分析】如图1中：过点F作FP△BC交BC的延长线于P．由tan FBC∠PFPB，可以假设PF，PB＝5k，在Rt△PFC中，根据CF2＝PF2＋PC2，构建方程求出k，再证明△FCP＝60°即可解决问题；【详解】解：如图1中：过点F作FP△BC交BC的延长线于P．△四边形ABCD是菱形，△AB＝BC＝CD，AB△CD，△点F是CD的中点，△DF＝CF＝12CD＝12AB，△3AM＝2DF，△设DF＝3a，AM＝2a，△CD＝AB＝6a，△BM＝AB−AM＝4a，△BM=4a．△a△CF BC△tan FBC∠=PF PB，△可以假设PF ，PB ＝5k ，在Rt △PFC 中，△CF 2＝PF 2＋PC 2，△2）2＋（5k 2， 整理得：282k 2−600k ＋3×225＝0，解得k ，△PF PC ＝5k△tan△FCP ＝PF PC △△PCF ＝60°，△AB △CD ，△△ABC ＝△FCP ＝60°，△四边形ABCD 是菱形，△AB ＝BC ，△△ABC 是等边三角形，△BC △CF △AB ，△△FCE △△BAE ， △12CF CE AB AE ==，△AE ＝23【点睛】本题考查相似三角形综合题，菱形的性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19．（2021·湖南长沙·九年级期中）如图，在正方形ABCD 中，2AB =．G 为对角线BD 的延长线上一点，E 为线段CD 的中点，BF AE ⊥，连接OF ．已知15DAG ∠=︒，下列说法正确的是______．（将正确答案的序号填写下来）△AG BD =；△BF =△13OP OA =；△13POF S =△；△若E 点为线段CD 上一动点，当AE EC CQ =+时，4AQ =．【答案】△△△【分析】根据正方形的性质与解直角三角形的方法逐个解题求解．△根据15DAG ∠=︒可得含60︒角的直角三角形AOG ，求出2AG AO =．△由90DAE BAF ∠+∠=︒，90BAF ABF ∠+∠=︒得BAF DAE ∠=∠，1tan tan 2DE AF BAF DAE AD BF ∠=∠===，通过解直角三角形求出BF 长度． △将:OP OA 转化为:OP OD ，通过ADP QBP ∆∆∽求解．△先通过:1:3OP OD =求出三角形OAP 的面积，再通过PF 与AP 的比值求出三角形POF 的面积．△设ED x =，2EC x =-，通过相似三角形与勾股定理求出x 的值从而求出AQ ．【详解】解：△15DAG ∠=︒，60GAO DAG DAO ∴∠=∠+∠=︒，30G ∴∠=︒，2AG AO =，2BD AO =，AG BD ∴=，∴△正确，符合题意．△E 为CD 中点，12DE CD ∴=， 90DAE BAF ∠+∠=︒，90BAF ABF ∠+∠=︒，BAF DAE ∴∠=∠，1tan tan 2DE AF BAF DAE AD BF ∴∠=∠===， 2BF AF ∴=，在Rt ABF 中，由勾股定理得：2AB ===，AF ∴=2BF AF = ∴△错误，不符合题意．△E 为CD 中点，//EC AB ，EC ∴为ABQ ∆的中位线，C 为BQ 中点，22BQ BC AD ∴==，//AD BQ ，ADP QBP ∴∆∆∽， ∴12DP AD BP QB ==， ∴12DP BD DP =-， 13DP BD ∴=，111236OP OD DP BD BD BD =-=-=， ∴116132OD OP OP OA OD OD ===， ∴△正确，符合题意．△2AB =，24BQ AB ==，AQ ∴=12AP AD PQ BQ ==，13AP AQ ∴=∴35AF AP =， ∴32155FP AP =-=， 即25POF AOP S S ∆∆=，13OP OA =， 11113343AOP AOD ABCD S S S ∆∆∴==⨯=正方形， 22515POF AOP S S ∆∆∴==， ∴△错误，不符合题意．△设ED x =，2EC x =-，则DE ADEC CQ =， 即22x x CQ =-，42x CQ x -∴=， 24242x x AE EC CQ x x x--∴=+=-+=， 在Rt ADE △中，由勾股定理得：AE∴24x x-解得x =或x =)．AE ∴ //AD BQ ， DAE BQA ∴∠=∠，1sin sin 2DE DAE BQA AE ∴∠=∠==， 24AQ AB ∴==，∴△正确，符合题意．故答案为：△△△．【点睛】本题考查正方形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形的性质与解直角三角形的方法．20．（2021·广东龙岗·九年级期末）如图，已知在菱形ABCD ，BC=9，△ABC=60°，点E 在BC 上，且BE=6，将ΔABE 沿AE 折叠得到ΔAB′E ，其中B′E 交CD 于点F ，则CF=____________．【答案】95【分析】过点A 作AG △BC 交BC 于G ，取HG 使HG =GE ，过H 作HM △AE 于H ，过F 作FN △BC 交BC 延长线于N ，通过直角三角形求出BG 、AE ，由三角形的面积求得HM ，再通过折叠求出CF ．【详解】解：过点A 作AG △BC 交BC 于G ，取HG 使HG =GE ，过H 作HM △AE 于H ，过F 作FN △BC 交BC 延长线于N ，△四边形ABCD 是菱形，△AB =BC =9，在Rt △ABG 中，△B =60°，△sinB =sin 60°=AG AB =，△AG △cosB =cos 60°=12BG AB =， △BG =12AB =92， △BE =6，△HE =2GE =2(BE -BG )=2×(962-)=3， 在Rt △AGE 中，AE = △S △AHE =12×HE ×AG =12×AE ×HM ，△1212HM ，解得，HM ， △HG =GE ，AG △HE ，△△AHE 是等腰三角形，△AH =AE ，△AHE =△HEA ，在Rt △AHM 中，AM， △AB △CD ，△△FCN =△B =60°，△FN CN =tan △折叠，△△AEB ′=△HEA ，在△AHE 中，△△HAE =180°-△HEA -△AHE =180°-2△HEA ，又△FEN =180°-△HEA -△AEB ′=180°-2△HEA ，△△HAE =△FEN，设CN =x ，FN ，△tan △FEC =tan △HAM =FN HM EN AM=，==， △910x =， △CN=910， FN， △CF 95=． 故答案为：95． 【点睛】本题考查了翻折求线段，综合利用了等腰三角形和直角三角形等性质以及三角函数关系求线段，综合难度较高．三、解答题21．（2021·山东·日照市新营中学三模）（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，点F 是AD 延长线上一点，且DF=BE ，求证：CE=CF ．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD ．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形ABCD 中，AD //BC （BC>AD ），90B ∠=︒，AB=BC=2AD ，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，求sin DEC ∠的值．【答案】（1）证明见教师；（2）证明见教师；（3【分析】 （1）利用正方形的性质证明△CBE △△CDF ，从而可得结论；（2）延长AD 至F ，使DF =BE ．连接CF ，利用（1）的结论，再证明△ECG △△FCG ，从而可得结论；（3）如图，延长,AD 过C 作CM AD ⊥于,M 在AM 的延长线上截取,MQ BE = 先证明四边形ABCM 是正方形，结合（1）（2）可得：,,CBE CMQ CDE CDQ ≌≌ 设,,BE x AB a == 再利用勾股定理可得：3,a x = 从而可得答案.【详解】证明（1）解：（1）在正方形ABCD 中，,90,CB CD B ADC =∠=∠=︒90,CDF ∴∠=︒90CB CD B CDF BE DF =⎧⎪∴∠=∠=︒⎨⎪=⎩△△CBE △△CDF ，△CE =CF ；（2）如图， 延长AD 至F ，使DF =BE ．连接CF ，由（1）知△CBE △△CDF ，。

上海各区初三中考一模压轴题(学生版)

上海各区初三中考一模压轴题(学生版)

1.已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2(a ＞0)与x 轴相交于A(-1,0)，B(3,0)两点，对称轴MN 与x 轴相交于点C ，顶点为点D ，且∠ADC 的正切值为21。

(1)求顶点D 的坐标；(2)求抛物线的表达式；(3)F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF ，若∠FAC=∠ADC ，求F 点的坐标.2.在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，E 是AB 边上一点，EF ⊥CE 交AD 于点F ，过点E 作∠AEH=∠BEC ，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N.(1)如图a ，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；(2)如图b ，当点H 在线段FD 上时，设BE=x ，DN=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域；(3)联结AC ，当△FHE 与△AEC 相似时，求线段DN 的长.3.如图，△AOB 的顶点A 、B 在二次函数23312++-=bx x y 的图像上，又点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，tan ∠ABO=1.⑴求此二次函数的解析式；（4分）⑵过点A 作AC ∥BO 交上述函数图象于点C ，点P 在上述函数图象上，当△POC 与△ABO 相似时，求点P 得坐标.（8分）4.如图a ，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CE 是斜边AB 上的中线，AB=10，tanA=34，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作PQ ⊥CB ，交CB 延长线于点Q ，设EP=x ，BQ=y.⑴求y 关于x 的函数关系式及定义域；（4分）⑵联结PB ，当PB 平分∠CPQ 时，求PE 的长；（4分）⑶过点B 作BF ⊥AB 交PQ 于F ，当△BEF 和△QBF 相似时，求x 的值.（6分）5.如图，梯形OABC ，BC ∥OA ，边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上，点B （3，4），AB=5.(1)求∠BAO 的正切值；(2)如果二次函数c bx x y ++=294的图像经过O 、A 两点，求这个二次函数的解析式并求图像顶点M 的坐标；(3)点Q 在x 轴上，以点Q 、点O 及（2）中的点M 位顶点的三角形与△ABO 相似，求点Q的坐标.6.把两块边长为4的等边三角板ABC 和DEF 先如图a 放置，使三角板DEF 的顶点D 与三角板ABC 的AC 边的中点重合，DF 经过点B ，射线DE 与射线AB 相交于点M ，接着把三角形版ABC 固定不动，将三角形板DEF 由图11-1所示的位置绕点D 按逆时针方向旋转，设旋转角为α.其中0°＜α＜90°，射线DF 与线段BC 相交于点N （如图b 所示）.(1)当0°＜α＜60°时，求AM·CN 的值.(2)当0°＜α＜60°时，设AM=x ，两块三角形板重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式并求定义域.(3)当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积.7.如图，已知点A （1,0）、B （3，0）、C （0,1）.(1)若二次函数图像经过点A 、C 和点D （2，31）三点，求这个二次函数的解析式.(2)求∠ACB 的正切值(3)若点E 在线段BC 上，且△ABE 与△ABC 相似，求出点E 的坐标.8.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是边AB上的一个动点，联结CP，过点B 作BD⊥CP，垂足为点D.(1)如图1，当CP经过△ABC的重心时，求证：△BCD∽△ABC.(2)如图2，若BC=2厘米，cotA=2，点P从点A向点B运动（不与A、B重合），点P的速度是5厘米/秒.设点P运动的时间为t秒，△BCD的面积为S平方厘米，求出S关于t的函数解析式，并写出它的定义域.(3)在第(2)小题的条件下，如果△PBC是以CP为腰的等腰三角形，求△BCD的面积.9.如图1，已知等边△ABC 的边长为6，点D 是边BC 上的一个动点，折叠△ABC ，使得点A 恰好与边BC 上的点D 重合，折痕为EF （点E 、F 分别在边AB 、AC 上）.(1)当AE ：AF=5:4时，求BD 的长；(2)当ED ⊥BC 时，求EFEB的值；(3)当以B 、E 、D 为顶点的三角形与△DEF 相似时，求BE 的长.10如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角边中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E.(1)判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论；(2)设PD=x ，AE=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；(3)是否存在这样的点P ，使△EAP 周长等于△PDC 的周长的2倍？若存在，请求出PD 的长；若不存在，请简要说明理由。

上海初三数学一模压轴题汇总各区题

上海初三数学一模压轴题汇总各区题

崇明23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ．（1）求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； （2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．崇明24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线243y x bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点（点P 、N （（（（第23题图） ABDE C GF（第24题图）（备用图）A崇明25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分） 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ． （1）如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出DFE ∠的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．金山23. （本题满分12分，每小题6分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC ＞BC ，CD 是Rt △ABC 的高，E 是AC的中点，ED 的延长线与CB 的延长线相交于点F ．（1）求证：DF 是BF 和CF 的比例中项；（2）在AB 上取一点G ，如果AE ：AC=AG ：AD ，求证：EG ：CF=ED ：DF ．金山24. （本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线23yax bx 与y 轴相交于点C ，与x 轴正半轴相交于点A ，OA OC ，与x 轴的另一个交点为B ，对称轴是直线1x ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（第25题图1）A BCDFEBD FECA（第25题图2） B DFECA（第25题图3）（2）抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ，求∠PMC 的正切值； （3）点Q 在y 轴上，且△BCQ 与△CMP 相似，求点Q 的坐标．金山25. （本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在△ABC 中，45,cos 5ABACB，P 是边AB 一点，以P 为圆心，PB 为半径的P 与边BC 的另一个交点为D ，联结PD 、AD ． （1）求△ABC 的面积；（2）设PB =x ，△APD 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD 是直角三角形，求PB 的长．青浦23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图8，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AC 、BC 上，线段BD 与AE 交于点F ，且CD CA CE CB ⋅=⋅．（1）求证：∠CAE ＝∠CBD ；（2）若BEABEC AC=，求证：AB AD AF AE ⋅=⋅．青浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴相交于点AB CDE FA（-1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线1x ．（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F 与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．青浦25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点D 重合），点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ．（1）当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值；（2）设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．黄浦23、（本题满分12分）如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项. （1）求证：12CDE ABC ∠=∠（2）求证：AD CD AB CE ⋅=⋅ 黄浦24、（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点QPD CBAA B CDED CBA()2,0-.（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y 方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，若AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.黄浦25、（本题满分14分）如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E （不与端点A 、D 重合）.（1）当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积； （2）当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；（3）设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域. 松江23．（本题满分12分，每小题6分）已知四边形ABCD 中，∠BAD =∠BDC =90°，2BD AD BC =⋅． （1）求证：AD ∥BC ；（2）过点A 作AE ∥CD 交BC 于点E ．请完善图形并求证：2CD BE BC =⋅． 松江24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=++的对称轴为直线x=1，抛物线y x bx c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE:EP=1:2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．松江25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D,P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．闵行23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC =2∠B，AD平分∠BAC，DF//BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且A∠E =∠C．（1）求证：2=⋅；AD AF AB（2）求证：AD BE DE AB⋅=⋅．闵行24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）抛物线23(0)=++≠经过点A（1-，0），y ax bx a且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．闵行25．（共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是斜边上中线，点E在边AC上，点F在边BC上，且∠EDA=∠FDB，联结EF、DC交于点G．（1）当∠EDF =90°时，求AE 的长；（2）CE = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；（3）如果△CFG 是等腰三角形，求CF 与CE 的比值．浦东23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，已知，在锐角△ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，点D 在边AC 上，联结BD 交CE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅.（1）求证：BD ⊥AC ；（2）联结AF ，求证：AF BE BC EF ⋅=⋅. 浦东24．（本题满分12分，每小题4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与x 轴交于点A (1，0)和点B (5，0)，顶点为M ．点C 在x 轴的负半轴上，且AC ＝AB ，点D 的坐标为(0，3)，直线l 经过点C 、D ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线l 在第三象限上的点，联结AP ，且线段CP 是线段CA 、CB 的比例中项，求tan ∠CPA 的值；（3）在（2）的条件下，联结AM 、BM ，在直线PM 上是否存在点E ，使得∠AEM =∠AMB .AB CABEFGA若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．浦东25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D 为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED 交射线AC于点G．（1）求证：△EFG∽△AEG；（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接．．写出FG的长度．D、E上，F，且EF⋅（1AC⋅；（2）当AB =12，AC =9，AE =8时，求BD 的长与△△ADE ECFS S 的值． 虹口24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴相交于点A （-2,0）、B （4,0），与y 轴交于点C （0，-4），BC 与抛物线的对称轴相交于点D ．（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D 的坐标；（2）过点A 作AE ⊥AC 交抛物线于点E ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点F 在射线AE 上，若△ADF ∽△ABC ，求点F 的坐标． 虹口25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）已知AB =5，AD =4，AD ∥BM ，3cos 5B =（如图），点C 、E 分别为射线BM 上的动点（点C 、E 都不与点B 重合），联结AC 、AE ，使得∠DAE =∠BAC ，射线EA 交射线CD 于点F ．设BC =x ，AF y AC=． （1）如图1，当x =4时，求AF 的长；（2）当点E 在点C 的右侧时，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结BD 交AE 于点P ，若△ADP 是等腰三角形，直接写出x 的值．普陀23. （本题满分12分）已知：如图9，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，2,AD DC DC DE DB ==⋅．求证：（1）BCE ADE ∽；（2）··AB BC BD BE =． 普陀24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c +=+（其中a c 、为常数，且0a <）与x 轴交于点A ，它的坐标是()3, 0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标． 普陀25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图11，BAC ∠的余切值为2，AB =D 是线段AB 上的一动点（点D 不与点A B 、重合），以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E F 、都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧．联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．（1）点D 在运动时，下列的线段和角中，______是始终保持不变的量（填序号）；图9B D①AF ； ②FP ； ③BP ； ④BDG ∠； ⑤GAC ∠； ⑥BPA ∠；（2）设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果PFG 与AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．嘉定23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.（1）求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF .求证：CA CE AF ⋅=2.嘉定24．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B . （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ，第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，如果以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似，求点D 的坐标；（3）设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1，联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .嘉定25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在正方形ABCD 中，8=AB ，点P 在边CD 上，43tan =∠PBC ，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M ，点R 在射线AD 上，使RQ 始终与直线BP 垂直．（1）如图8，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长；（2）如图9，试探索：MQ RM 的比值是否随点Q 的运动而发生变化若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q 在线段BP 上，设x PQ =，y RM =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．12ABCD ,BD AD 上一点，作45EBC ∠=，联结CE ，交DB 于点F ． （1）求证：ABE ∽DBC ；B C 图8A B C 图9B C图10（2）如果56BC BD =，求BCE BDA S S 的值．静安24. （本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线253y ax bx =+-经过点(1,0)A -、(5,0)B ．（1）求此抛物线顶点C 的坐标；（2）联结AC 交y 轴于点D ，联结BD 、BC ，过点C 作CH BD ⊥，垂足为点H ，抛物线对称轴交x 轴于点G ，联结HG ，求HG 的长．静安25. （本题满分14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分） 已知：如图，四边形ABCD 中，090,,,BAD AD DC AB BC AC <∠≤==平分BAD ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G ，交线段AD 的延长线于点F （点F 可与点D 重合），AFB ACB ∠=∠，设AB 长度是a （a 实常数，且0a >），,AC x AF y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当CGE 是等腰三角形时，求AC 的长．（计算结果用含a 的代数式表示）长宁23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）F EA B C如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ，DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2．（1）求证：BFD ∆∽CAD ∆；（2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．长宁24．（本题满分12分，每小题4分） 在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．长宁25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）已知在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E .设PD=x ，EF =y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求∆ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC ，若∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．徐汇23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，且∠ADE =∠B ， ∠ADF =∠C ，线段EF 交线段AD 于点G ．（1）求证：AE =AF ；（2）若DF CF DE AE =,求证：四边形EBDF 是平行四边形． 徐汇24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx （k ≠0）沿着y 轴向上平移3个单位长DC BA D CB A F E P DC B A第25题图度后，与x轴交于点B（3,0），与y轴交于点C，抛物线2=++过点B、C且与y x bx cx轴的另一个交点为A．（1）求直线BC及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．徐汇25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题4分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．杨浦23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，Array且∠BEF=∠BAC.（1）求证：△AED∽△CFE；B CF（2）当EF//DC时，求证：AE=DE.杨浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2221=-+--+交 y轴于点为A，顶点为D，对称y x mx m m轴与x轴交于点H.（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22=-+的位置，求平移的方向y x x和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值.杨浦25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB 上.（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长.奉贤23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）已知：如图 8，四边形90ABCD DCB ∠=︒，，对角线 BD ⊥AD ，点 E 是边 AB 的中点，CE 与 BD 相交于点 F ，2·BD AB BC =．（1） 求证：BD 平分∠ABC ；（2） 求证：··BE CF BC EF ＝．奉贤24. （本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线238y x bx c =++与x 轴相交于点(2,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C -，经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为点F ，且13AE EF =． （1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求FAB ∠的余切值；（3）点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点 P 是 y 轴上一点，且AFP DAB ∠=∠，求点 P 的坐标．奉贤25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 3 分，第（1）小题满分 5 分，第（1）小题满分 6 分）已知：如图10，在梯形ABCD 中，//,90,2AB CD D AD CD ∠===，点E 在边AD 上（不与点A 、D 重合），45,CEB EB ∠=与对角线AC 相交于点F ，设DE x =．（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长；（2）如果把CAE 的周长记作CAE C ，BAF 的周长记作BAF C ，设CAE BAF Cy C =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当ABE ∠的正切值是35时，求AB 的长． 宝山23、（满分12分，每小题各6分）如图，ABC 中，AB AC =，过点C 作//CF AB 交ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G .（1）求证：AE EG AC CG=； （2）若AH 平分BAC ∠，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项.宝山24、（满分12分，每小题各4分）设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ，对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就此称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”。

2023年上海市15区中考一模数学试题知识点汇编 数与式含详解

2023年上海市15区中考一模数学试题知识点汇编 数与式含详解

2023年上海市15区中考数学一模汇编专题01 数与式（34题）一．选择题（共3小题）1．（2022秋•静安区期末）下列实数中，无理数是（）A．B．C．（π+2）0D．2．（2022秋•静安区期末）计算x3•x2的结果是（）A．x B．x5C．x6D．x93．（2022秋•金山区校级期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A．B．C．D．二．填空题（共16小题）4．（2022秋•静安区期末）的倒数是．5．（2022秋•静安区期末）计算：＝．6．（2022秋•静安区期末）已知，则的值是．7．（2022秋•杨浦区期末）已知，则的值为．8．（2022秋•杨浦区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长cm．9．（2022秋•徐汇区期末）若，则＝．10．（2022秋•青浦区校级期末）已知＝，那么的值为．11．（2022秋•黄浦区校级期末）如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．12．（2022秋•嘉定区校级期末）如果2a＝3b（a、b都不等于零），那么＝．13．（2022秋•徐汇区校级期末）A、B两地的实际距离是24千米，那么在比例尺是1：800000的地图上量出A、B 两地距离是厘米．14．（2022秋•杨浦区校级期末）如果在比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地的图上距离是3厘米，那么A、B两地的实际距离是千米．15．（2022秋•浦东新区期末）已知，那么代数式的值是．16．（2022秋•浦东新区期末）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是千米．17．（2022秋•闵行区期末）如果a＝3b（b≠0），那么＝．18．（2022秋•徐汇区期末）已知3x＝2y，那么＝．19．（2022秋•徐汇区期末）如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是cm．三．解答题（共15小题）20．（2022秋•静安区期末）计算：．21．（2022秋•杨浦区期末）计算：．22．（2022秋•徐汇区期末）计算：+cot260°23．（2022秋•黄浦区期末）计算：．24．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3tan30°﹣+cos45°+25．（2022秋•黄浦区校级期末）计算：．26．（2022秋•嘉定区校级期末）计算：．27．（2022秋•徐汇区校级期末）计算：cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°28．（2022秋•浦东新区校级期末）计算：﹣．29．（2022秋•杨浦区校级期末）计算：．30．（2022秋•青浦区校级期末）计算：．31．（2022秋•浦东新区期末）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．32．（2022秋•金山区校级期末）计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．33．（2022秋•闵行区期末）计算：+（﹣1）﹣1﹣（）+cos30°．34．（2022秋•徐汇区期末）计算：4cos230°﹣|cot30°﹣cot45°|﹣．2023年上海市15区中考数学一模汇编专题01 数与式（34题）一．选择题（共3小题）1．（2022秋•静安区期末）下列实数中，无理数是（）A．B．C．（π+2）0D．【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．＝4，4是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．是无理数，故本选项符合题意；C．（π+2）0＝1，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．2．（2022秋•静安区期末）计算x3•x2的结果是（）A．x B．x5C．x6D．x9【分析】根据同底数的幂相乘的法则即可求解．【解答】解：x3•x2＝x5．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数的幂的乘方的计算法则，正确理解法则是关键．3．（2022秋•金山区校级期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴5a＝4b，故A不符合题意；B、∵＝，∴5a＝4b，故B不符合题意；C、∵＝，∴4a＝5b，故C符合题意；D、∵＝，∴ab＝20，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．二．填空题（共16小题）4．（2022秋•静安区期末）的倒数是3．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵×3＝1，∴的倒数是3．故答案为：3．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．5．（2022秋•静安区期末）计算：＝2．【分析】利用同分母的分式的加法法则解答即可．【解答】解：原式＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了同分母分式的加法，熟练掌握同分母分式的加法法则是解题的关键．6．（2022秋•静安区期末）已知，则的值是．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．故答案为：．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．7．（2022秋•杨浦区期末）已知，则的值为．【分析】用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵＝，∴b＝a，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．8．（2022秋•杨浦区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长4﹣4cm．【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．9．（2022秋•徐汇区期末）若，则＝．【分析】根据两内项之积等于两外项之积得到y＝2x，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵＝，∴y＝3x，∴＝x＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．10．（2022秋•青浦区校级期末）已知＝，那么的值为．【分析】直接利用已知表示出a，b的值，进而化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．11．（2022秋•黄浦区校级期末）如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．【分析】根据已知条件得出＝，再把要求的式子化成＝﹣1，然后代值计算即可．【解答】解：∵a：b＝2：3，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．（2022秋•嘉定区校级期末）如果2a＝3b（a、b都不等于零），那么＝．【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．【解答】解：∵2a＝3b（a、b都不等于零），∴设a＝3x，则b＝2x，那么＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，掌握正确表示出a，b的值是关键．13．（2022秋•徐汇区校级期末）A、B两地的实际距离是24千米，那么在比例尺是1：800000的地图上量出A、B 两地距离是3厘米．【分析】利用比例尺＝图上距离：实际距离列式解答即可．【解答】解：24千米＝24000米＝2400000厘米，由题意得：AB：2400000＝1：800000，∴800000AB＝2400000，∴AB＝3cm．故答案为：3．【点评】本题主要考查了比例尺，熟练掌握比例尺＝图上距离：实际距离是解题的关键．14．（2022秋•杨浦区校级期末）如果在比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地的图上距离是3厘米，那么A、B两地的实际距离是60千米．【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解．【解答】解：设A、B两地的实际距离为xcm，则：3：x＝1：2000000，解得x＝6000000cm＝60（千米），A、B两地的实际距离为60（千米）．故答案为：60．【点评】本题考查了比例线段，掌握比例尺＝图上距离：实际距离是解题的关键．15．（2022秋•浦东新区期末）已知，那么代数式的值是．【分析】已知，则设a＝2k，b＝3k，把a和b的值代入代数式化简即可．【解答】解：∵，设a＝2k，b＝3k，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，根据已知设出a＝2k，b＝3k是解题的关键．16．（2022秋•浦东新区期末）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是34千米．【分析】实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．【解答】解：根据题意，3.4÷＝3400000（厘米）＝34（千米）．即实际距离是34千米．故答案为：34．【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．17．（2022秋•闵行区期末）如果a＝3b（b≠0），那么＝4．【分析】把a＝3b，代入化简计算即可．【解答】解：∵a＝3b，∴＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是学会用转化的思想解决问题．18．（2022秋•徐汇区期末）已知3x＝2y，那么＝．【分析】首先利用比例的基本性质求得的值，然后即可求解．【解答】解：∵3x＝2y，∴＝，则＝．【点评】本题考查了比例的基本性质，理解：两内项的积等于两内项的积是关键．19．（2022秋•徐汇区期末）如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是6cm．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故答案为：6．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．三．解答题（共15小题）20．（2022秋•静安区期末）计算：．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝+（）2＝+1﹣+＝﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．21．（2022秋•杨浦区期末）计算：．【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．22．（2022秋•徐汇区期末）计算：+cot260°【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【解答】解：原式＝+（）2＝+＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．23．（2022秋•黄浦区期末）计算：．【分析】将特殊锐角三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝4﹣4．【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．24．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3tan30°﹣+cos45°+【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于只记内容，熟练掌握特殊角的三角函数值，代入求值即可．25．（2022秋•黄浦区校级期末）计算：．【分析】把30°、45°、60°角的各种三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．26．（2022秋•嘉定区校级期末）计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，再结合分母有理化以及绝对值的性质化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝2|1﹣|+＝2﹣++＝2+．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．27．（2022秋•徐汇区校级期末）计算：cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣，＝﹣1+2﹣＝1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．28．（2022秋•浦东新区校级期末）计算：﹣．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝+﹣＝+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．29．（2022秋•杨浦区校级期末）计算：．【分析】先将各角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．30．（2022秋•青浦区校级期末）计算：．【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【解答】解：＝＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键．31．（2022秋•浦东新区期末）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝4×﹣2××+＝2﹣1+2＝2+1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．32．（2022秋•金山区校级期末）计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式＝2×1﹣﹣2×（）2＝2﹣1﹣＝﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．33．（2022秋•闵行区期末）计算：+（﹣1）﹣1﹣（）+cos30°．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、分数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2+﹣+＝2+﹣+＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．34．（2022秋•徐汇区期末）计算：4cos230°﹣|cot30°﹣cot45°|﹣．【分析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．【解答】解：4cos230°﹣|cot30°﹣cot45°|﹣＝4×（）2﹣|﹣1|﹣＝4×﹣（﹣1）﹣＝3﹣+1+2（+2）＝3﹣+1+2+4＝8+．【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．。

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴题精选30道-圆与正多边形综合问题(解析版)

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴题精选30道-圆与正多边形综合问题(解析版)

压轴题精选30道-圆与正多边形综合问题（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题⊥于点E，点F为圆上一点，若1．如图，AB是O的直径，CD为O的弦，且CD AB=，AD CFAE BFOE=，则BC的长为（）=，1B．C．4D．5A．【答案】A【分析】如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH AB⊥于H．利用全等三角形的性质证明AE CJ BF BH=，再利用勾股定理求出EC，BC即可．=．EH BH===，CT BH【详解】解：如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH AB⊥于H．⊥，AB CD∴AD AC=，=，AD CF∴AC CF=，∴⊥，OC AF∴∠=∠=︒，90AJO CEO=，∠=∠，OA OCAOJ COE∴∆≅∆，AJO CEO AAS()∴=，OJ OE∴=，AE CJAB 是直径，90F CJT ∴∠=∠=︒，AE BF =，BF CJ ∴=，CTJ BTF ∠=∠，()CTJ BTF AAS ∴∆≅∆，CT BT ∴=，TH AB ⊥，CD AB ⊥，//TH CE ∴，EH BH ∴=，CF AC =，TBF TBH ∴∠=∠，90F THB ∠=∠=︒，BT BT =，()BTF BTH AAS ∴∆≅∆，BF BH ∴=，AE BF =，AE BH ∴=，OA OB =，1OE OH ∴==，2EH BH ∴==，2AE BH ∴==，6AB ∴=，3OC OB ==，EC ∴BC ∴故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点M 的横坐标为3，以M 为圆心，5为半径作M ，与y 轴交于点A 和点B ，点P 是AC 上的一动点，Q 是弦AB 上的一个动点，延长PQ 交M于点E ，运动过程中，始终保持AQP APB ∠=∠，当AP QB +的结果最大时，PE 长为（ ）A B ．C D 【答案】D【分析】根据△AQP △△APB ，确定2AP AQ AB =•，过点M 作MG △AB ，垂足为G ，根据垂径定理计算AB =8，用AQ 的代数式表示AP +QB ，运用二次函数的思想确定最值，确定AQ =2，AP =4，证明AE =AP =4，连接MA ，交PE 于点N ，根据垂径定理的推论，确定AM △PE ，设AN =x ，则MN =5-x ，用勾股定理同时表示EN 求得x ，从而求得EN ，根据PE =2EN 计算即可【详解】如图，△AQP APB ∠=∠，PAQ PAB ∠=∠，△△AQP △△APB ，△AP ：AB =AQ ：AP ，△2AP AQ AB =•，过点M 作MG △AB ，垂足为G ，连接MA ，则AG =GB ，△点M 的横坐标为3，圆的半径为5，△MG =3，MA =5，根据勾股定理，得AG =，△AB =2AG =8，△28AP AQ =，△AP =或AP =-，△AQ =AB -QB ，△AP +QB =-AQ =28-+=210-+△AP +QB 10，△AQ =2，AP =，连接AE ，设MA 与PE 的交点为N ，△△AQP △△APB ，△△APQ =△ABP ，△△AEP =△ABP ，△△APQ =△AEP ，△AP =AE =4，AE AP =，根据垂径定理的推论，得AM △PE ，设AN =x ，则MN =5-x ，在Rt △AEN 中，222224EN AE AN x =-=-，在Rt △MEN 中，222225(5)EN ME MN x =-=--，△224x -=225(5)x --,解得x =85， △22284()5EN =-，△EN =5，△PE =2EN 故选D ．【点睛】本题考查了圆的对称性，三角形的相似，二次函数的最值，勾股定理，熟练掌握圆的对称性，活用三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．3．如图，矩形ABCD 中，6,9AB BC ==，以D 为圆心，3为半径作D ，E 为D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt AEF ，使90EAF ∠=︒，1tan 3AEF ∠=，则点F 与点C 的最小距离为（ ）A ．1B ．C ．1D 【答案】A【分析】 如图，取AB 的中点G ，连接FG ，FC ，GC ，DE 由FAG EAD △△，推出::1:3FG DE AF AE ==，因为3DE =，可得1FG =，推出点F 的运动轨迹是以G 为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．【详解】如图，取AB 的中点G ，连接FG ，FC ，GC ，DE ．△90EAF ∠=︒，1tan 3AEF ∠=， △13AF AE =， △6AB =，AG GB =，△3AG GB ==，△9AD =， △3193AG AD ==， △DAF AE AG A =，△四边形ABCD 是矩形，△90BAD B EAF ∠=∠=∠=︒，△FAG EAD ∠=∠，△FAG EAD △△，△::1:3FG DE AF AE ==，△3DE =，△1FG =，△点F 的运动轨迹是以G 为圆心1为半径的圆，△GC△FC GC FG ≥-，△1FC ≥，△CF 的最小值为1．故选：A ．【点睛】本题是一个动点问题，考查了矩形、圆、三角形相似的判定和性质、两点间线段最短等知识，本题的难点是点G 的运动轨迹的探索，关键是构造两个相似的三角形．4．如图，已知O 的半径为3，弦4CD =，A 为O 上一动点（点A 与点C 、D 不重合），连接AO 并延长交CD 于点E ，交O 于点B ，P 为CD 上一点，当120APB ∠=︒时，则AP BP ⋅的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【分析】如图（见教师），先利用解直角三角形可得12FP AP =，再根据圆周角定理可得C PBD ∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质可得CP FP BP DP=，从而可得FP BP CP DP ⋅=⋅，设CP x =，从而可得4DP x =-，最后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：如图，延长BP 交O 于点F ，连接,,AF CF BD ，AB 为O 的半径，90AFB ∴∠=︒，120APB ∠=︒，18060APF APB ∴∠=︒-∠=︒，在Rt AFP △中，1cos 2FP AP APF AP =⋅∠=，即2AP FP =， 2AP BP FP BP ∴⋅=⋅，由圆周角定理得：C PBD ∠=∠，在CFP 和BDP △中，C PBD CPF BPD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， CFP BDP ∴~，CP FP BP DP∴=，即FP BP CP DP ⋅=⋅， 设,FP BP y CP x ⋅==，则4DP x =-，且04x <<，2(4)(2)4y x x x ∴=-=--+，由二次函数的性质可知，在04x <<内，当2x =时，y 取最大值，最大值为4， 即FP BP ⋅的最大值为4，则AP BP ⋅的最大值为248⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为（ ）．A ．3.5B ．2.5C ．2D ．1.2【答案】C【分析】 连接OC ，由垂径定理得OC AB ⊥，再由圆周角定理得点C 在以OA 为直径的圆上（点A 除外），以OA 为直角作P ，过P 点作直线PH DE ⊥于H ，交P 于M 、N ，利用一次函数教师式确定(0,3)-E ，(4,0)D ，则5DE =，然后证DPH DEO ∆∆∽，利用相似比求出PH 的长，得MP 、NH 的长，当C 点与M 点重合时，S 最大；C 点与N 点重合时，S 最小，然后计算出NED S ∆和MED S ∆得到S 的范围，即可求解．【详解】解：连接OC ，如图，点C 为弦AB 的中点，OC AB ∴⊥，90ACO ∴∠=︒，∴点C 在以OA 为直径的圆上（点A 除外），以OA 为直径作P ，过P 点作直线PH DE ⊥于H ，交P 于M 、N ，当0x =时，3334y x =-=-，则(0,3)-E ，当0y =时，3x 304-=，解得4x =，则(4,0)D ，4OD ∴=，5DE ∴，(2,0)A ，(1,0)P ∴，1OP ∴=，3PD OD OP ∴=-=，PDH EDO ∠=∠，PHD EOD ∠=∠，DPH DEO ∴∆∆∽，::PH OE DP DE ∴=，即:33:5PH =， 解得95PH =，1415MH PH ∴=+=，415NH PH =-=， 145225NED S ∆∴=⨯⨯=，1145725MED S ∆=⨯⨯=， 设CDE ∆面积为S ，当C 点与M 点重合时，S 最大；C 点与N 点重合时，S 最小，S ∴的范围为27S ≤≤，CDE ∴∆面积的最小值为2．故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质，解题的关键是正确寻找点C 的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．6．如图，等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是ABC 外一点，分别以BD ，CD 为斜边作两个等腰直角BDE 和CDF ，并使点F 落在BC 上，点E 落在ABC 的内部，连结EF ．若5tan 2FDB ∠=，则ABE △与DEF 的面积之比为（ ）A ．74B ．73C ．52D ．3【答案】B【分析】 如图，取BD 中点O ，以O 为圆心，以OB 为半径作圆，连接OE ，OF ，作直线EF 分别交AB 、CD 与M 、N ．证明四边形AMNC 为矩形，△BEM △△EDN ，得到BM =EN ，ME =DN ，设DF =2x ，得到BF =5x ，进而求出BM x =，DN ，ME FN DN ===，EN BM ==，2EF EN FN x =-=，从而求出232DEF S x =△，272ABE S x =△，问题得解．【详解】解：如图，取BD 中点O ，以O 为圆心，以OB 为半径作圆，连接OE ，OF ，作直线EF 分别交AB 、CD 与M 、N ．△BDE 和CDF 都是等腰直角三角形，△△BED =△BFD =90°，BE =DE ，△DCF =△CDF =△DBE =△BDE =45°，△O 为BD 中点，△OB =OD =OE =OF =12BD ，△点E 、F 都在圆O 上，△△EFB =△EDB =45°，△△ABC 为等腰三角形，90BAC ∠=︒，△△ACB =45°，△△ACB =△EFB ，△ACD =△ACB +△BCD =90°，△MN △AC ，△△BME =△DNE =90°=△AME =90°，△△MBE +△MEB =90°，四边形AMNC 为矩形，△△BED =90°，△△DEN +△MEB =90°，△△MBE =△DEN ，△BE =DE ，△△BEM △△EDN ，△BM =EN ，ME =DN ，设DF =2x ，△Rt△BDF 中，5tan 2FDB ∠=， △BF =5x ，△在Rt△BMF 中，252cos 522BM BF FBM xx =∠==， 在Rt△DFN 中，2cos 222DN DF FDN xx =∠==，△ME FN DN ==，EN BM x ==，△2EF EN FN x =-=，△2113222DEF S EF DN x x ==⨯=△， △CDF 是等腰直角三角形，△FND =90°， △DN CN =，△四边形AMNC 为矩形，△AM CN =，△2AB AM BM x =+=，△2117222ABE S AB ME x x ==⨯=△， △ABE △与DEF 的面积之比2273:7:322x x =． 故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形等知识，综合性较强，根据题意添加辅助线，证明点E 、F 都在圆O 上，△BEM △△EDN 是解题关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，点()12,0A -，点()0,4B ，点()4,0D -，以点A 为圆心，4个单位长度为半径作圆，点C 是△A 上的一个动点，则12BC CD +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】取E （-10，0），证明△AEC △△ACD ，得到CE =12CD ，则可将BC +12CD 的最小值转化为BE 的长，再利用勾股定理计算即可．【详解】解：△A （-12，0），B （0，4），D （-4，0），△OA =12，OD =4，则AD =8，AC =4，取E （-10，0），则AE =2，DE =6，在△AEC 和△ACD 中，△CAE =△DAC ，12AE AC AC AD ==，△△AEC△△ACD，△12CECD=，即CE=12CD，则BC+12CD=BC+CE≥BE，即BC+12CD的最小值为BE的长，故选A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短原理，值得强调的是，本题是一类典型几何最值问题，构造“子母型相似”是解答此问题的关键．8．如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当△A与直线5 :12 l y x=只有一个公共点时，点A的坐标为（）A ．(12,0)-B ．(13,0)-C ．(12,0)±D ．(13,0)± 【答案】D【分析】当△A 与直线5:12l y x =只有一个公共点时，则此时△A 与直线5:12l y x =相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为B ，此时B 点同时在△A 与直线5:12l y x =上，故可以表示出B 点坐标，过B 点作//BC OA ，则此时AOB OBC △∽△，利用相似三角形的性质算出OA 长度，最终得出结论．【详解】如下图所示，连接AB ，过B 点作//BC OA ，此时B 点坐标可表示为512x,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， △512OC x =，BC x =， 在Rt OBC中，1312OB x =， 又△A 半径为5，△5AB =，△//BC OA ，△AOB OBC △∽△， 则OA AB OB BO OC BC==， △51351212OA =x x ， △13OA =，△左右两侧都有相切的可能，△A点坐标为(13,0)±，故选：D．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．9．如图，在Rt△AOB中，△ABO＝90°，△AOB＝30°，AB＝AOC的圆心角为60°，点D为AC上一动点，P为线段BD上的一点，且PB＝2PD，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（）A B C．D．【答案】A【分析】在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，则可证明△DBO△△PBE，从而求得PE的长为定值，这样可确定点P的运动路径为一段弧，且弧的两端为点F和点G，因此只要求出OA的长及圆心角△FEG的大小，即可求得圆弧的长，从而求得结果．【详解】在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，如图△BP=2PD，BE=2OE△23 BP BE BD OB==△△DBE=△PBE △△DBO△△PBE△23 PE OD=即23 PE OD=△△ABO＝90°，△AOB＝30°，AB＝△2OA AB==△OD OA OC===23PE =⨯=同理：EF =23OA =23EG OC == △PE =EF =EG△当点D 与点A 重合时，点P 与点F 重合；当点D 与点C 重合时，点P 与点G 重合△点P 在以点E 为圆心，FG 上运动△△AOC =60°△△COB =△AOC +△AOB =90°△△FBE △△ABO ，△BEG △△BOC△△FEB =△AOB =30°，△GEB =△COB =90°△△FEG =90°－△FEB =60°FG = 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，弧长公式等知识，难点和关键在于点P 的运动路径的探寻，有一定的难度．10．如图，在等边三角形ABC 的AC ，BC 边上分别任取一点P ，Q ，且AP ＝CQ ，AQ 、BP相交于点O ．下列四个结论：△若PC ＝2AP ，则BO ＝6OP ；△若BC ＝8，BP ＝7，则PC ＝5；△AP 2＝OP•AQ ；△若AB ＝3，则OC ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】B【分析】 △根据等边三角形的性质得到AC =BC ，根据线段的和差得到CP =BQ ，过P 作PD △BC 交AQ于D，根据相似三角形的性质得到△正确；△过B作BE△AC于E，解直角三角形得到△错误；△根据全等三角形的性质得到△ABP=△CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到△正确；△以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM与圆M交点O′，CO'即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形的性质即可求出结果．【详解】解：△△△ABC是等边三角形，△AC=BC，△AP=CQ，△CP=BQ，△PC=2AP，△BQ=2CQ，如图，过P作PD△BC交AQ于D，△△ADP△△AQC，△POD△△BOQ，△13PD APCQ AC==，PD OPBQ BO=，△CQ=3PD，△BQ=6PD，△BO=6OP；故△正确；△过B作BE△AC于E，则142CE AC==，△△C=60°，△BE=△1PE==，△PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故△错误；△在等边△ABC中，AB=AC，△BAC=△C=60°，在△ABP与△CAQ中，△AB＝AC，△BAP＝△C，AP＝CQ △△ABP△△ACQ（SAS），△△ABP=△CAQ，PB=AQ，△△APO=△BP A，△△APD△△BP A，△AP OP PB AP=，△2AP OP PB=，△2AP OP AQ=，故△正确；△以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，△△NAB=△NBA=60°，NA=NB，△△PBA=△QAC，△△NAO+△NBO=△NAB+△BAQ+△NBA+△PBA=60°+△BAQ+60°+△QAC=120°+△BAC=180°，△点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM与圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，△NA=NB，CA=CB，△CN垂直平分AB，△△MAD=△ACM=30°，△△MAC=△MAD+△BAC=90°，在Rt△MAC中，AC=3，△tan2MA AC ACM CM AM=∠===△'MO MA==即CO△正确．综上：正确的有△△△．故选：B．【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题11．如图，Rt△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA ＝DE ，则AD 的取值范围是___．【答案】15582AD ≤< 【分析】首先由Rt ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，可求得AB 的长，然后根据题意画出图形，分别从当D 与BC 相切时与当D 与BC 相交时，去分析求解即可求得答案．【详解】解：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB ∴==，以D 为圆心，AD 的长为半径画D ，△如图1，当D 与BC 相切时，DE BC ⊥时，设AD x =，则==DE AD x ，5BDAB AD x ，90BED C ∠=∠=︒，B 是公共角， BDE BAC ∴∆∆∽， ∴BD DE AB AC=， 即553x x -=，解得：158x=；△如图2，当D与BC相交时，若交点为B或C，则1522 AD AB==，AD∴的取值范围是155 82AD≤<．故答案为：155 82AD≤<．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．12．如图，圆O是锐角△ABC的外接圆，D是弧AB的中点，CD交AB于点E，△BAC的平分线交CD于点F，过点D的切线交CA的延长线于点P，连接AD，则有下列结论：△点F是△ABC的内心；△PD△AB；△AF＝AE；△DF2＝DE•CD，其中正确结论的序号是______．【答案】△△△【分析】根据圆周角定理得到△ACD＝△BCD，则可根据三角形内心的定义对△进行判断；连接OD，如图，利用切线的性质得到OD△PD，利用垂径定理得到OD△AB，则可对△进行判断；利用三角形外角性质得到△AFE＝△1+△3，△AEF＝△2+△B，由于只有当△BAC＝2△B时AF＝AE，于是可对△进行判断；先证明△DAF＝△DF A得到DF＝DA，再证明△DAE△△CAD，利用相似比可对△进行判断．【详解】解：△D是弧AB的中点，即AD BD=，△△ACD＝△BCD，△CE平分△CAB，△AF平分△BAC，△点F是△ABC的内心，所以△正确；连接OD，如图，△PD为△O的切线，△OD△PD，△D是弧AB的中点，△OD△AB，△PD△AB，所以△正确；△△AFE＝△1+△3，△AEF＝△2+△B，△BAC，而△1＝△2，△3＝12△只有当△BAC＝2△B时，△AFE＝△AEF，此时AF＝AE，所以△不一定正确；△△DAF＝△DAB+△BAF＝△2+△3＝△1+△3＝△DF A，△DF＝DA，△△DAB＝△1，△ADE＝△CDA，△△DAE△△DCA，△DA：DC＝DE：DA，△DA2＝DE•DC，△DF2＝DE•DC，所以△正确．故答案为：△△△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形的内心和切线的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限通近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法，如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若AP则CG 的长为________．【答案】【分析】设正六边形外接圆的圆心为O ，连接OG ，于是得到3603012COG ︒∠==︒，由题意得，75FAG ∠=︒，60CFA ∠=︒，过A 作AH CF ⊥于H ，推出AHP ∆是等腰直角三角形，得到AH ==求得4sin 60AH AF ==︒，得到圆的半径，过点G 作GQ △OC ，垂足为Q ，解直角三角形OCG 即可得到CG ．【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为O ，连接OG ，则3603012COG ︒∠==︒， 由题意得，75FAG ∠=︒，60CFA ∠=︒，过A 作AH CF ⊥于H ，90AHF ∴∠=︒，30FAH ∴∠=︒，45HAP ∴∠=︒，AHP ∴∆是等腰直角三角形，AH AP ∴==4sin 60AH AF ∴==︒， 4OC AF ∴==，过点G 作GQ △OC ，垂足为Q ，△GQ =12OG =2，△OQ△QC =OC -OQ=4-△CG ，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键．14．如图，矩形ABCD 中，点E 在AD 上，过点E 作EF BE ⊥交CD 于F ，且10BC BE ==，FC FE =5=，点M 是线段CF 上的动点，连接BM ，过点E 作BM 的垂线交BC 于点N ，垂足为H ．以下结论：△FED EBA ∠=∠；△6AE =；△··AE ED CD DF =；△连接CH ，则CH 的5；其中正确的结论是_________．（所有正确结论的序号都填上）．【答案】△△△△【分析】根据△FED +△AEB =90°、△EBA +△AEB =90°可判断△；连接BF ，CE 交于点O ，由BE =BC ，EF =FC 可得BF 垂直平分EC ，在Rt △BEF 中，利用相似三角形的性质，EO ，FO ，BF 均可求解，设DF 为x ，DC =5+x ，DE Rt △EGC 中，利用勾股定理可以建立关于x 的方程，求出x ，图形中的定线段长均可求解，可判断△；利用三角形相似可判断△；由EN △BM ，BE =10可判断点H 的运动轨迹为以BE 中点I 为圆心，5为半径的OHG 上运动，在△IHC 中，CH ≥CI -IH ，即可求出CH 的最小值．【详解】解：△四边形ABCD 是矩形，△△A =△D =90°△△EBA +△AEB =90°△EF BE ⊥，即，△BEF =90°△△FED +△AEB =90°△FED EBA ∠=∠，故△正确；连接BF ，CE 交于点O ，由BE =BC ，EF =FC 可得BF 垂直平分EC ，在Rt △BEF 中，BF ==△△BEF =90°，即△FEO +△BEO =90°又90FBE BEO ∠+∠=︒△△FBE =△FEO又△EFO =△BFE△BFE EFO ∆∆△FE BFFO FE=，即：2EF FO BF ===△BO ==△EO 2EC EO ==设DF 为x ，DC =5+x ，DE过E 作EG △BC ，则四边形EGCD 是矩形，△EG =DC =DF +FC =5+x ，GC =DE =在Rt △EGC 中，EG 2+GC 2=EC 2，即222(5)x ++=，解得x =3，经检验：x =3是原方程的根，△DF =3△DC =5+3=8，4DE =，△AE =10-4=6，故△正确； △35AE DF AB ED ==， △△ABE △△DEF ，△AB =CD ，△AE DF CD ED=，即AE •ED =CD •DF ，△正确； △EN △BM ，BE =10，△点H 的运动轨迹为以BE 中点I 为圆心，5为半径的OHG 上运动，过I 作IT △DC 于T ，CI =在△IHC 中，5CH CI IH ≥-=，△正确．故答案为：△△△△．【点睛】本题考查全等三角形的判定好性质以及三角形相似，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，明确点H 的运动轨迹是解题的关键．15．如图，点O 是三角形ABC 内的一点，4,45OA OB OC BAC ===∠=︒，已知2AOC AOB S S -=，则BOC ∠=___________，ABC S =___________．【答案】90︒ 8【分析】（1）由已知，三角形ABC 的外接圆的圆心为O ，根据圆周角定理可求△BOC 度数；（2）三角形OBC 的面积可求，只需求出三角形OAB 和三角形OAC 的面积即可求出三角形ABC 的面积；为此，延长AO 交三角形ABC 的外接圆于点P ，分别过点B 、C 作BM △AP 于点M ，CN △AP 于点N ，求出BM +CN 的长即可．【详解】解：（1）△OA =OB =OC =4，△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，如图所示．BC BC =∵，224590BOC BAC ==⨯=∴∠∠．故答案为：90（2）延长AO 交O 于点P ，分别过点B 、C 作BM △AP 于点M ，CN △AP 于点N ，如图所示．2AOC AOB S S -=△△∵，11222OA CN OA BM -=∴． ()122OA CN BM -=∴． 4OA =∵，1CN BM -=∴．+90+90BOM CON CON OCN ==∵∠∠，∠∠， =BOM OCN ∴∠∠．在BOM 和OCN 中，==90BOM OCN BMO ONC OB CO ∠∠⎧⎪∠∠=⎨⎪=⎩()BOM OCN AAS ≅∴△△．OM CN =∴．在Rt OBM 中，2222416BM OM OB +===∵，2216BM CN +=∴．△CN -BM =1，△设BM =x ，则CN =x +1．()22116x x ++=∴．整理得，222150x x +-=．解得，12x x ==（不合题意，舍去）x =∴2121BM CN x +=+==∴ ABC AOC AOB BOC S S S S =++△△△△∴111222OA CN OA BM OB OC =++ ()1122OA CN BM OB OC =++ 114422=⨯⨯⨯8=．故答案为：8【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识点，熟知上述知识点、根据题目特征，构造三角形的外接圆是解决第（1）问的基础；构造AOC △和AOB 底边OA 上的高是解决第（2）问的关键．16．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，8BE =，O 为BCE 的外接圆，过点E 作O 的切线EF 交AB 于点F ，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）△AE BC =；△AED CBD ∠=∠；△若40DBE ∠=︒，则DE 的长为89π；△DF EF EF BF =；△若6EF =，则 2.24CE =．【答案】△△△【分析】△根据线段垂直平分线定理，BE 为O 的直径，BC 为O 的弦，即可得出结论； △根据段垂直平分线得出△A +△AED =90°，再证△A +△ABC =90°，等量代换即可； △根据已知条件先得出△EBC 的度数，再利用圆周角定理得△EOC =2△EBC ，根据弧长公式计算即可；△根据角角相似证明△EFD △△BFE 即可得出结论；△先根据勾股定理得出BF 的长，再根据等面积法得出ED ，根据角角相似证明Rt △ADE △Rt △ACB ，得出AD AE AC AB =，即可计算出结果． 【详解】解:△△DE 是AB 的垂直平分线△AE BE =BE 为O 的直径，BC 为O 的弦BE BC ∴>AE BC ∴>．故△不正确．△△DE 是AB 的垂直平分线△DE △AB△△A +△AED =90°△90C ∠=︒△△A +△ABC =90°△AED CBD ∠=∠故△正确．△连接OD40DBE ∠=︒280EOD EBD ∴∠=∠=︒8BE =142OE OB BE ∴=== DE ∴的长为801641809ππ⋅=． 故△错误．△△DE △AB ，E F 是O 的切线△△FEB =△EDF =90°又△EFD =△EFD△△EFD △△BFE △DF EF EF BF=． 故△正确．△△6EF =，8BE =△BF10== △1122EF BE BF ED ⋅=⋅ △68 4.810ED ⨯== 在Rt △EDB 中，6.4BD ==，△DE 是AB 的垂直平分线，△ 6.4AD DB ==，AE =BE =8，△在Rt △ADE 和Rt △ACB 中，△A =△A ，△ADE =△ACB =90°△Rt △ADE △Rt △ACB △AD AE AC AB = △6.4812.8AC = △AC =10.24又AE =BE =8△CE =AC -AE =10.24-8=2.24．故△正确．综上所述：正确的有△△△．故答案为：△△△．【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键17．如图，Rt ABC 中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，延长BC 到点D ，使BD BA =，点O 是BC 边上一动点．点P 在射线BA 上，且OP OB =，以点O 为圆心，OD 长为半径作O ，连接OP ．（1）当OC 长为________时，AB 与O 相切；（2）当O 恰好经过点B 时，点Q 在O 上运动，连接PQ ，点M 为PQ 的中点，连接AM ，则AM 长的取值范围是________．【答案】74AM ≤≤ 【分析】 （1）设AB 与O 相切于点E ，连接OE ，先根据圆的切线的性质可得OE AB ⊥，再利用勾股定理可得10BD AB ==，从而可得2CD =，然后设(0)OC x x =>，从而可得8,2OB x OE x =-=+，最后在Rt BOE △中，解直角三角形即可得；（2）过点O 作OG AB ⊥于点G ，先利用圆的性质、解直角三角形求出,,OB OP OG 的长，再设OP 的中点为点N ，过点N 作NE AB ⊥于点E ，连接,OQ MN ，根据三角形中位线定理可得1522MN OQ ==，从而可得点M 是在以点N 为圆心，ON 长为半径的圆上，然后利用点与圆的位置关系即可得．【详解】解：（1）如图，设AB 与O 相切于点E ，连接OE ，则OE AB ⊥，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，10AB ∴=，BD AB =，10BD ∴=，2CD BD BC =-=，设(0)OC x x =>，则8,2OB x OE OD x =-==+，在Rt ABC 中，63sin 105AC B AB ===， 在Rt BOE △中，sin OE B OB =，即2385x x +=-， 解得74x =， 经检验：74x =是原方程的根，且符合题意， 即74OC =， 故答案为：74； （2）如图，过点O 作OG AB ⊥于点G ， O 恰好经过点B ，BD ∴为O 的直径，152OQ OB OP BD ∴====， 在Rt BOG △中，sin 3355OG OB B =⋅==⨯，4BG ∴，,O OG AB B OP ⊥=，4PG BG ∴==，2AP AB BG PG ∴=--=，设OP 的中点为点N ，过点N 作NE AB ⊥于点E ，连接,OQ MN ，点M 为PQ 的中点，1522MN OQ ∴==， ∴点M 是在以点N 为圆心，ON 长为半径的圆上，如图，连接AN ，交N 于点F ，延长AN 交N 于点M ，则AM 即为所求的最大值，AF 即为所求的最小值，,NE AB OG AB ⊥⊥，//NE OG ∴， 又点N 为OP 的中点，131,2222EN OG EP PG ∴====， 224AE AP EP ∴=+=+=，在Rt AEN △中，AN = 52FN MN ==，AM AN MN ∴=+=AF AN FN =-=则AM AM ≤≤AM ≤≤【点睛】本题考查了圆的切线的性质、点与圆的位置关系、解直角三角形等知识点，较难的是题（2），正确找出点M 的运动轨迹是解题关键．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是边BC 上一点，且3BE =，以点A 为圆心，3为半径的圆分别交AB 、AD 于点F 、G ，DF 与AE 交于点H ．并与A 交于点K ，连结HG 、CH ．给出下列四个结论．（1）H 是FK 的中点；（2）HGD HEC ≌；（3）916AHG DHC S S =△△：∶；（4）75DK =，其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．【答案】（1）（3）（4）．【分析】由正方形的性质可证明DAF ABE △≌△，则可推出90AHF ∠=︒，利用垂径定理即可证明结论（1）正确；过点H 作//MN AB 交BC 于N ，交AD 于M ，由三角形面积计算公式求出125AH =，再利用矩形的判定与性质证得MG NE =，并根据相似三角形的判定与性质分别求出4825MH =，5225NH =，则最后利用锐角三角函数证明MGH HEN ∠≠∠，即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得3625AM =，即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论2DK DF FH =-并由勾股定理求出FH ，再求得DK ，即可证明结论（4）正确．【详解】解：（1）△四边形ABCD 是正方形，△4AD AB ==，90DAF ABE ∠=∠=︒．又△3AF BE ==，△DAF ABE △≌△．△AFD BEA ∠=∠．△90BEA BAE ∠+∠=︒，△90AFD BAE ∠+∠=︒，△90AHF ∠=︒，△AH FK ⊥，△FH KH =，即H 是FK 的中点；故结论（1）正确；（2）过点H 作//MN AB 交BC 于N ，交AD 于M ，由（1）得AH FK ⊥，则1122AD AF DF AH ⋅=⋅．△5DF ==， △125AH =． △四边形ABCD 是正方形，//MN AB ，△90DAB ABC AMN ∠=∠=∠=︒．△四边形ABNM 是矩形．△4MN AB ==，AM BN =．△AG BE =，△AG AM BE BN -=-．即MG NE =．△//AD BC ，△MAH AEB ∠=∠．△90ABE AMN ∠=∠=︒，△MAH BEA ． △AH MH AE AB=． 即12554MH =． 解得4825MH =． 则52425NH MH =-=． △tan MH MGH MG ∠=，tan NH HEN NE∠=．△MG NE =，MH NH ≠， △MG NE MH NH≠． △MGH HEN ∠≠∠．△DGH CEH ∠≠∠．△HGD △与HEC △不全等，故结论（2）错误；（3）△MAH BEA ， △AH AM AE BE =． 即12553AM =． 解得3625AM =． 由（2）得12AHG S MH AG =⋅，()12DHC S DC AD AM =⋅-． △()48392536164425AHG DHC S MH AG S DC AD AM ⨯⋅===⋅-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；故结论（3）正确；（4）由（1）得，H 是FK 的中点，△2DK DF FH =-． 由勾股定理得95FH ===． △975255DK =-⨯=；故结论（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4）．【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．19．如图，在四边形ABCD 中，6AD =，60C ∠=°，连接,BD BD AB ⊥且BD CD =，求四边形ABCD 面积的最大值．小明过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，连接DH ，则AHD ∠的正弦值为______，据此可得四边形ABCD 面积的最大值为______．【分析】答题空1：先证BCD △是等边三角形，再求9030HBC CBD ∠=∠=︒°-，那么在Rt BDH 中，tan BD BC AHD BH BH ∠==，在Rt BCH 中，cos cos30BH HBC BC ∠=︒=，即可得到tan AHD ∠值，则可求得sin AHD ∠的 值；答题空2:通过//HC BD ，得到BCD BHD S S =△△，进而求得()1++=2ABD BCD ABD BHD ADH ABCD S S S S S S AD AD ===⋅四边形边上的高，即：求ABCD S 四边形最大值，则是求ADH S △面积最大，AD 为定值，则当AD 边上高最长时即为所求．可作ADH 的外接圆O ，过点O 作OE AD ⊥,连接AO,DO ，连接OE 并延长OE 并交O 于点'H ，设半径为R ，求得OE 与R 的长，''H E OH OE R OE =+=+，当'H 与H 重合时，AD 边上高最长，ADH S △最大，即可求得答案．【详解】解：答题空1：△CH AB ⊥，BD AB ⊥△//HC BD△60BCD ∠=︒，BD CD =△BCD △是等边三角形△60CBD ∠=︒ △BD AB ⊥△9030HBC CBD ∠=∠=︒°-在Rt BDH 中，tan BD BC AHD BH BH∠==在Rt BCH 中，cos cos30BH HBC BC ∠=︒=△tanBD BC AHD BH BH ∠==△sin AHD ∠= 答题空2:△//HC BD△BCD BHD S S =△△ △()1++=2ABD BCD ABD BHD ADH ABCD S SS S S S AD AD ===⋅四边形边上的高求ABCD S 四边形最大值，即求ADH S △面积最大，AD 为定值，则当AD 边上高最长时即为所求．△tan AHD ∠=，6AD = △可作ADH 的外接圆O ，过点O 作OE AD ⊥,连接AO,DO ，设半径为R△AOD ∠与AHD ∠分别为同弧所对圆心角、圆周角△AOD ∠=2AHD ∠△OE AD ⊥,6AD =△AOE ∠=12AOD ∠=AHD ∠，132AE AD ==△3tan tan =AE AOE AHD OE OE ∠=∠=即得OE =△R OA ===连接OE 并延长OE 并交O 于点'H ，则''H E OH OE R OE =+=+=当'H 与H 重合时，ADH S △最大 △11++='=622ABD BCD ABD BHD ADH ABCD S S S S S S AD H E ===⋅⨯⨯⎝⎭△△△△△四边形【点睛】本题考查利用三角函数解直角三角形和三角形外接圆的应用，解题的关键是学会通过添加常用辅助线，构造直角三角形和圆解决问题，属于中考压轴题型．20．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接AF 、EF ，AF 交BD 于G ，现有以下结论：△AP PF =；△DE BF EF +=；△PB PD -=；△AEF S为定值；△APG PEFG S S =四边形．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．【答案】△△△△【分析】由题意易得△APF =△ABC =△ADE =△C =90°，AD =AB ，△ABD =45°，对于△：易知点A 、B 、F 、P 四点共圆，然后可得△AFP =△ABD =45°，则问题可判定；对于△：把△AED 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则有DE =BH ，△DAE =△BAH ，然后易得△AEF △△AHF ，则有HF =EF ，则可判定；对于△：连接AC ，在BP 上截取BM =DP ，连接AM ，易得OB =OD ，OP =OM ，然后易证△AOP △△ABF ，进而问题可求解；对于△：过点A 作AN △EF 于点N ，则由题意可得AN =AB ，若△AEF 的面积为定值，则EF 为定值，进而问题可求解；对于△由△可得AP AF =进而可得△APG △△AFE ，然后可得相似比为AP AF =似比的关系可求解．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，PF AP ⊥，△△APF =△ABC =△ADE =△C =90°，AD =AB ，△ABD =45°，△△180ABC APF ∠+∠=︒，△由四边形内角和可得180BAP BFP ∠+∠=︒，△点A、B、F、P四点共圆，△△AFP=△ABD=45°，△△APF是等腰直角三角形，△AP PF=，故△正确；△把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示：△DE=BH，△DAE=△BAH，△HAE=90°，AH=AE，△45∠=∠=︒，HAF EAF△AF=AF，△△AEF△△AHF（SAS），△HF=EF，△HF BH BF=+，△DE BF EF+=，故△正确；△连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：△点O是对角线BD的中点，⊥，△OB=OD，BD AC△OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，△AB，由△可得点A、B、F、P四点共圆，△APO AFB∠=∠，△90ABF AOP ∠=∠=︒，△△AOP △△ABF ，△OP OA AP BF AB AF ===，△OP =， △2BP DP BP BM PM OP -=-==，△PB PD -=，故△正确； △过点A 作AN △EF 于点N ，如图所示：由△可得△AFB =△AFN ，△△ABF =△ANF =90°，AF =AF ， △△ABF △△ANF （AAS ），△AN =AB ，若△AEF 的面积为定值，则EF 为定值， △点P 在线段OD 上，△EF 的长不可能为定值，故△错误； △由△可得AP AF = △△AFB =△AFN =△APG ，△F AE =△P AG ， △△APG △△AFE ，△GP AP EF AF ==△212AGP AEF S S ==⎝⎭， △12AGP AEF S S =，△APG PEFG S S =四边形，故△正确；综上所述：以上结论正确的有△△△△； 故答案为△△△△． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．三、解答题21．在ABC 中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ．（1）如图△，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧交AB 于点M ，连结CM ，若66ABC ∠=︒，求ACM ∠；（2）如图△，过点D 作O 的切线DE 交AC 于点E ，求证：AE EC =； （3）如图△，在（1）（2）的条件下，若3tan 4A =，求:ADE ACM S S △△的值． 【答案】（1）见教师；（2）见教师；（3）45【分析】（1）由三角形内角和角的计算问题；（2）证明()EDO ECO SAS ∆≅∆，则DE CE =，得到A ADE ∠=∠，即可求解；（3）设3BC x =，4AC x =，5AB x =，则122ED EC AC AE x ====，由AMH ABC ∆∆∽，得到21161242255ACM S AC MH x x x ∆=⨯⨯=⨯=，同理可得：21148482222525ADE S AE DI x x x ∆=⋅=⨯⨯=，即可求解． 【详解】解：（1）由题意知，BC BM =，。

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题10 二次函数综合(解答24题压轴题)(解析版)

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题10 二次函数综合(解答24题压轴题)(解析版)

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题10 二次函数综合一．解答题（共15小题）1．（静安区）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．（1）求直线AB的表达式；（2）求tan∠ABD的值；（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．【分析】（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，求出抛物线解析式，再将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；（3）求出P点坐标（，0），设C（t，0），当∠ABC＝∠APB时，△ABP∽△APC，过B点作BQ ⊥x轴交于点Q，则tan∠BCQ＝＝，求出CQ＝9，即可求C（﹣10，0）；当P点与C点重合时，△ABC≌△ABP，即可求C点坐标．【解答】解：（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，∴4+2b＝0，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x，将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，∴m＝3，∴B（﹣1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴D（1，﹣1），∴AD＝，AB＝2，BC＝3，∵AB2＝AD2+BC2，∴△ABD是直角三角形，∴tan∠ABD＝＝；（3）设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝﹣2x+1，令y＝0，则x＝，∴P（，0），设C（t，0），如图1，当∠ABC＝∠APB时，△ABC∽△APB，∴∠ACB＝∠ABP过B点作BQ⊥x轴交于点Q，∴tan∠BCQ＝＝，∴CQ＝9，∴CO＝10，∴C（﹣10，0）；当C点与P点重合时，△ABC≌△ABP，此时C（，0）；综上所述：C点坐标为（﹣10，0）或（，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键．2．（青浦区）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．【分析】（1）由待定系数法可求出抛物线的解析式，当x＝0时，可求出点C的坐标；（2）证出∠BCD＝90°．由锐角三角函数的定义可得出答案；（3）证出∠ACB＝∠DBO．分两种情况，由相似三角形的判定与性质可得出BP的长，则可得出答案．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．当x＝0时，y＝﹣3．∴点C的坐标为（0，﹣3）．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴点D的坐标为（1，﹣4）．∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），∴BC＝，DC＝，BD＝．∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．∴∠BCD＝90°．∴tan∠CBD＝．（3）∵tan∠ACO＝，∴∠ACO＝∠CBD．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．即：∠ACB＝∠DBO．∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．（i）当时，∴．∴BP＝6．∴P（﹣3，0）．（ii）当时，∴．∴BP＝．∴P（﹣，0）．综上，点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣，0）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（嘉定区）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y＝x上，如图．二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标；（3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值．【分析】（1）求出C，A，B三点的坐标，由待定系数法得出方程组，解方程组可得出答案；（2）根据相似三角形的判定分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得出答案；（3）过点C作CH⊥AM，垂足为H，求出直线AM的解析式，设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q，则点P的坐标为（1，0），点Q的坐标为（0，﹣1），由等腰直角三角形的性质求出CH 和MH的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与y轴相交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣2），∵BC∥x轴，∴点B的纵坐标是﹣2，∵点A、B两点在直线y＝x上，点A的横坐标是2，∴点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣4，﹣2），∵这个二次函数的图象也经过点A（2，1）、B（﹣4，﹣2），∴，解这个方程组，得a＝，b＝1，∴二次函数的解析式是y＝+x﹣2；（2）根据（1）得，二次函数y＝+x﹣2图象的对称轴是直线x＝﹣2，∴点D的坐标为（﹣2，﹣2），∴OB＝2，BD＝2，∵BC∥x轴，∴∠OBD＝∠BOE，∴以点E、O、B组成的三角形与△OBD相似有可能以下两种：①当时，△BOD∽△OBE，显然这两相似三角形的相似比为1，与已知相似比不为1矛盾，这种情况应舍去，②当时，△BOD∽△OEB，∴，∴OE＝10，又点E在x轴的负半轴上，∴点E的坐标为（﹣10，0）；（3）过点C作CH⊥AM，垂足为H，根据（1）得，二次函数的解析式是y＝+x﹣2的顶点坐标为M（﹣2，﹣3），设直线AM的解析式为y＝kx+m，，解得k＝1，m＝﹣1，∴直线AM的解析式为y＝x﹣1，设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q，则点P的坐标为（1，0），点Q的坐标为（0，﹣1），∴△OPQ是等腰直角三角形，∠OQP＝45°，∵∠OQP＝∠HOC，∴∠HOC＝45°，∵点C的坐标为（0，﹣2），∴CQ＝1，∴HC＝HQ＝，又MQ＝2，∴MH＝MQ﹣HQ＝，∴tan∠AMC＝．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线、直线的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．利用方程思想、数形结合与分类讨论是解题的关键．4．（普陀区）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．（1）求m、n的值和抛物线的表达式；（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出A，B两点坐标即可解决问题．（2）过点D作DH⊥y轴于点H，由直角三角形的性质得出tan∠ACO＝tan∠CDH，则，可列出方程求出CH的长，则可得出答案；（3）设P（t，），得出N（t﹣3，），由点N在直线AB上可得出t 的值，则可得出答案．【解答】解：（1）将A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），将B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如图2，若平移后的三角形为△PMN，则MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，设P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵点N在直线y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定点的坐标．5．（松江区）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当＝时，求t的值；②当CD平分∠ACB时，求△ABC的面积．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）证明△ADE∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DAE＝∠DBC，证出AE∥BC，得出C点的纵坐标为2，则可求出答案；（3）设C（t，﹣t+2），过点B作BH⊥CE于点H，得出tan∠BCH＝tan∠ACE，则，解方程求出t的值，则可求出答案．【解答】解：（1）由y＝﹣x+2可得：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝3，∴A（3，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①如图1，∵DE∥OB，∴，∵，∴，又∵∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴∠DAE＝∠DBC，∴AE∥BC，∴C点的纵坐标为2，∴2＝﹣x2+x+2，∴x＝0或x＝2，∴C（2，2），∴t＝2；②如图2，设C（t，﹣t+2），过点B作BH⊥CE于点H，∵∠BCH＝∠ACE，∴tan∠BCH＝tan∠ACE，∴，∴，∴t＝，∴C（，），∴S△ACB＝S△ACE+S梯形BOCE﹣S△ABO＝﹣＝．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．6．（金山区）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1）和B（1，4），顶点为点P，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）求∠PAQ的度数；（3）把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ＝CP，求平移后的抛物线解析式．【分析】（1）先将点A和点B代入抛物线解析式，求得b与c的值，然后得到抛物线的解析式；（2）先求得顶点P的坐标，然后求得点Q的坐标，最后得到∠PAQ的度数；（3）分情况讨论，①向上平移，②向下平移，然后利用两点间的距离公式求得PC和BQ的长度，然后列出方程求得平移的距离，最后求得到平移后的解析式．【解答】解：（1）将点A（0，1）和点B（1，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+1．（2）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，∴顶点P的坐标是（2，5），对称轴为直线x＝2，∴点Q的坐标为（2，0），∵A（0，1），∴，，PQ＝5，∴PA2+QA2＝PQ2，∴∠PAQ＝90°．（3）∵B（1，4），Q（2，0），∴BQ＝，①当点B向上平移a个单位时，C′（1，4+a），∵P（2，5），∴PC′＝＝，解得：a＝5或a＝﹣3（舍），∴抛物线向上平移5个单位，∴平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x+6；②当点B向下平移a个单位时，C′′（1，4﹣a），∵P（2，5），∴PC′′＝＝，解得：a＝3或a＝﹣5（舍），∴抛物线向下平移3个单位，∴平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x﹣2；综上所述，平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x+6或y＝﹣x2+4x﹣2．【点评】本题考查了二次函数的解析式、抛物线的顶点式、勾股定理，解题的关键是会用两点间的距离公式求得线段BQ和CP的长度．7．（崇明区）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；再将抛物线解析式化为顶点式即可；（2）分析可知，OB∥PN，若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则有BO＝PN，表达点P和点N的坐标，求出PN的长，建立等式求解即可；（3）根据题意画出图形，可得到∠AMP＝90°，且∠APM＝∠BPN，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，只需∠ABN＝90°或∠BNP＝90°，画出图形求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），∴，解得，∴抛物线y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣）2+；∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，）．（2）设直线A（4，0），B（0，3）的解析式为y＝ax+d，∴，解得，∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+3；∵点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴PN∥y轴，即PN∥OB，且点N在点P上方，若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则只需要PN＝OB，∴﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝3，解得m＝2；即当m＝2时，以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形．（3）由（2）可知直线解析式为y＝﹣x+3，P（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），∴PM＝﹣m+3，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为3，∴﹣m2+m+3＝3，解得m＝0（舍去）或m＝3，∴M（3，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+3﹣3＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（3，0）或（，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质，平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键（1）得到OB∥PN；（2）得到∠AMP＝90°，且∠APM＝∠BPN．8．（徐汇区）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．（1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；（2）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标；（3）当∠BED＝2∠OAB时，求△BDE与△CDA的面积之比．【分析】（1）求出A、B点的坐标，用待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）由题意可知△BED是直角三角形，设C（t，0），分两种情况讨论①当∠BED＝90°，时，BE∥AC，此时E（t，2），由此可求t＝；②当∠EBD＝90°时，过点E作EQ⊥y轴交于点Q，可证明△ABO∽△BEQ，则＝，可求E（t，2+t），再由E点在抛物线上，则可求t ＝，进而求C点坐标；（3）作BA的垂直平分线交x轴于点Q，连接BQ，过点B作BG⊥EC于点G，则有∠BQO＝∠BED，在Rt△BOQ中，BQ2＝4+（3﹣BQ）2，求出BQ＝，QO＝，则tan∠BQO＝tan∠BEG＝，设C （t，0），则D（t，﹣t+2），E（t，﹣t2+t+2），则有＝，求出t ＝，即可求＝＝．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，∴x＝﹣或x＝3，∴A（3，0），令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴M（，）；（2）∵∠ADC＝∠BDE，∠ACD＝90°，∴△BED是直角三角形，设C（t，0），①如图1，当∠BED＝90°，时，BE∥AC，∴E（t，2），∴﹣t2+t+2＝2，∴t＝0（舍）或t＝，∴C（，0）；②如图2，当∠EBD＝90°时，过点E作EQ⊥y轴交于点Q，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠QBE＝90°，∴∠QBE＝∠BAO，∴△ABO∽△BEQ，∴＝，即＝，∴BQ＝t，∴E（t，2+t），∴2+t＝﹣t2+t+2，∴t＝0（舍）或t＝，∴C（，0）；综上所述：C点的坐标为（，0）或（，0）；（3）如图3，作BA的垂直平分线交x轴于点Q，连接BQ，过点B作BG⊥EC于点G，∴BQ＝AQ，∴∠BQA＝∠QAB，∵∠BED＝2∠OAB，∴∠BQO＝∠BED，在Rt△BOQ中，BQ2＝BO2+OQ2，∴BQ2＝4+（3﹣BQ）2，∴BQ＝，∴QO＝，∴tan∠BQO＝，∴tan∠BEG＝，设C（t，0），则D（t，﹣t+2），E（t，﹣t2+t+2），∵BG＝t，DE＝﹣t2+4t，AC＝3﹣t，DC＝﹣t+2，EG＝﹣t2+t，∴＝，∴t＝，∴S△BDE＝ED•BG，S△CDA＝AC•CD，∴＝＝＝．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的性质与判定，分类讨论，数形结合是解题的关键．9．（宝山区）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结BD、CD，试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论；（3）抛物线上是否存在点P，使得∠PAC＝45°，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）先判断△BCD是直角三角形，在Rt△BCD中求tan∠CBD＝＝，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝，可得∠ACO＝∠CBD，即可证明△ACO∽△DBC；（3）设AP与y轴交于点E，过E点作EF⊥AC交于F，则EF＝AF，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，设EF＝x，则CF＝3x，AF＝x，则AC＝4x＝，求得x＝，则可求CE＝x＝，EO＝，所以E（0，），即可求出直线AE的解析式为y＝x+，联立，可求P（，）．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4）；（2）相似，理由如下：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D（1，4），∴BC＝3，CD＝，BD＝2，∴BD2＝CD2+BC2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝，∵OC＝3，OA＝1，∴tan∠ACO＝，∴∠ACO＝∠CBD，∴△ACO∽△DBC；（3）存在，理由如下：设AP与y轴交于点E，过E点作EF⊥AC交于F，∵∠CAP＝45°，∴EF＝AF，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝，∴＝，设EF＝x，则CF＝3x，AF＝x，∴AC＝4x，∵AO＝1，CO＝3，∴AC＝，∴4x＝，∴x＝，∴CE＝x＝，∴EO＝3﹣＝，∴E（0，），设直线AE的解析式为y＝kx+t，∴，∴，∴y＝x+，联立，解得x＝﹣1（舍）或x＝，∴P（，）．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，直角三角形三角函数的应用是解题的关键．10．（杨浦区）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP、BC，AP与线段BC相交于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；（3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF＝PH，求线段PH的长度．【分析】（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）分别求出B（4，0）和直线BC的解析式为y＝﹣x+2，可得E（，），再求直线AE的解析式为y＝x+，联立，即可求点P（3，2）；（3）设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），则PH＝﹣t2+2t，用待定系数法求出直线AP的解析式为y＝x+，联立，可求出F（，），直线AP与y轴交点Q（0，），则CQ＝，再由PF＝PH，可得CQ＝QF，则有方程（）2＝（）2+（﹣）2，求出t＝，即可求PH＝﹣t2+2t＝．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2，∴对称轴为直线x＝，令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴y＝﹣x+2，∴E（，），设直线AE的解析式为y＝k'x+n，∴，∴，∴y＝x+，联立，∴x＝3或x＝﹣1（不符合题意，舍去），∴P（3，2）；（3）设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），∴PH＝﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝x+，联立，∴x＝，∴F（，），直线AP与y轴交点Q（0，），∴CQ＝2﹣＝，∵PF＝PH，∴∠PFH＝∠PHF，∵PG∥y轴，∴∠QCF＝∠PHF，∵∠CFQ＝∠PFH，∴∠CQF＝∠CFQ，∴CQ＝QF，∴（）2＝（）2+（﹣）2，∴（4﹣t）2+4＝（5﹣t）2，∴t＝，∴PH＝﹣t2+2t＝．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数的交点坐标，本题计算量较大，准确地计算是解题的关键．11．（2021秋•虹口区期末）已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣4ax+3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D．（1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；（2）当∠ABC＝90°时，求抛物线y＝ax2﹣4ax+3的表达式；（3）当∠ABC＝2∠BCD时，求OD的长．【分析】（1）由函数的对称轴为直线x＝2，结合函数的对称性即可求点的坐标；（2）过点B作BG⊥y轴交于点G，则可知AG＝BG＝2，从而求出B（2，1），可求a的值；（3）过点B作BH⊥OC交于点H，连接AC，求出tan∠AOC＝tan∠HNB＝，设HB＝4x，则HN＝3x，再求出tan∠HCB＝，根据∠OCB＝∠NBC＝∠ABN，可得＝，即可求a＝1，再由△AOD∽△BND，得到等式＝，从而求出OD＝．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴A（0，3），∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2+3﹣4a，∴对称轴为直线x＝2，∵点A与点C关于对称轴对称，∴C（4，3），∴B（2，3﹣4a）；（2）如图1，过点B作BG⊥y轴交于点G，∵∠ABC＝90°，∴∠OAB＝45°，∴AG＝BG＝2，∴B（2，1），∴3﹣4a＝1，∴a＝，∴y＝x2﹣2x+3；（3）如图2，过点B作BH⊥OC交于点H，连接AC，∵∠ABC＝2∠BCD，∴∠NBC＝∠CNB，∴∠ONB＝2∠OCB，∵NB∥y轴，∴∠AOC＝∠ONB，∵AC＝4，AO＝3，∴tan∠AOC＝，∴tan∠HNB＝，设HB＝4x，则HN＝3x，∴NB＝5x，∴NB＝CN＝5x，∴CH＝8x，∴tan∠HCB＝，∵∠OCB＝∠NBC＝∠ABN，∴＝，∴a＝1，∴y＝x2﹣4x+3，∴B（2，﹣1），∵N是OC的中点，∴N（2，），∴BN＝，ON＝，∵AO∥BN，∴△AOD∽△BND，∴＝，即＝，∴OD＝．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用等腰三角形，直角三角形的性质，直角三角形三角形函数值求解是关键．12．（奉贤区）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求该抛物线的表达式的顶点D的坐标；（2）将抛物线沿y轴上下平移，平移后所得新抛物线顶点为M，点C的对应点为E．①如果点M落在线段BC上，求∠DBE的度数；②设直线ME与x轴正半轴交于点P，与线段BC交于点Q，当PE＝2PQ时，求平移后新抛物线的表达式．【分析】（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程即可；（2）①设直线x＝1交x轴于G，由题意可知将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点M落在BC上，此时E（0，1），再利用勾股定理的逆定理说明△BDE是等腰直角三角形，从而得出答案；②当点P在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作QH⊥x轴于H，利用平行线分线段成比例可知OP＝2PH，求出点M的坐标，从而解决问题．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4）；（2）①设直线x＝1交x轴于G，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴GM＝GB＝2，∴DM＝DG﹣GM＝2，∴将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点M落在BC上，此时E（0，1），∵D（1，4），E（0，1），B（3，0），∴DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20，∴DE2+BE2＝BD2，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°；②当点P在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作QH⊥x轴于H，由C（0，3），D（1，4）可知，直线CD与x轴夹角为45°，∴平移后∠QPB＝45°，∴PH＝BH，∵OE∥QH，PE＝2PQ，∴OP＝2PH，∴4BH＝3，∴BH＝∴OP＝2BH＝，∴GM＝GP＝，∴M（1，﹣），∴平移后抛物线为y＝﹣（x﹣1）2﹣．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，配方法求顶点式，抛物线的平移，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质等知识，根据题意求出平移的距离是解题的关键．13．（黄浦区）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A （﹣1.0）、B两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E．（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；（2）如果MD＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，∠CFB＝∠BCO，求点F的坐标．【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求点B坐标；（2）先求出点M，点D坐标，由MD＝可列等式，可求a的值，即可求解；（3）通过证明△AOC∽△COB，可得∠CAO＝∠BCO，可证点A，点C，点B，点F四点共圆，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0），∴抛物线的的对称轴是直线x＝﹣＝，∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A（﹣1.0）、B两点，∴点B（4，0）；（2）当x＝时，y＝a﹣a﹣4a＝﹣a，∴点M（，﹣a），∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0），与y轴交于点C，∴点C（0，﹣4a），又∵点B（4，0），∴直线BC的解析式为y＝ax﹣4a，当x＝时，y＝a﹣4a＝﹣a，∴点D（，﹣a），∵MD＝，∴＝﹣a+a，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（3）如图，∵点B（4，0），点A（﹣1.0），点C（0，2），∴OA＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠CAO＝∠BCO，∵∠CFB＝∠BCO，∴∠CAO＝∠CFB，∴点A，点C，点B，点F四点共圆，∵∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠BCO+∠ACO＝90°，∴∠ACB＝90°，∴AB是直径，∴点E是圆心，∴EF＝AE＝BE＝，∴点F（，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14．（浦东新区）已知，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交点C．（1）求二次函数解析式；（2）设点E（t，0）为x轴上一点，且AE＝CE，求t的值；（3）若点P是直线BC上方抛物线上一动点，联结BC，过点P作PQ⊥BC，交BC于点Q，求线段PQ 的最大值及此时点P的坐标．【分析】（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得方程组，解方程组即可得到结论；（2）解方程得到C点的坐标为（0，3），根据勾股定理得到CE＝＝，AE ＝|t+1|，于是得到t＝4；（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+b得求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过P作PH∥y轴，交BC于点H，得到C（0，3），而B（3，0），推出△BOC是等腰直角三角形，直线BC解析式为y＝﹣x+3，得到∠BCO＝45°，根据平行线的性质得到∠PHQ＝45°，推出△PHQ是等腰直角三角形，设点P（p，﹣p2+2p+3），H（p，﹣p+3），求得PH ＝（﹣p2+2p+3）﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p＝（p﹣）2+，当且仅当p＝时，PH的最大值是，即可得到结论．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C点的坐标为（0，3），∴CE＝＝，AE＝|t+1|，∵AE＝CE，∴＝|t+1|，解得：t＝4；（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+b得，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过P作PH∥y轴，交BC于点H，在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），而B（3，0），∴△BOC是等腰直角三角形，直线BC解析式为y＝﹣x+3，∴∠BCO＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHQ＝45°，∵PQ⊥BC，∴△PHQ是等腰直角三角形，设点P（p，﹣p2+2p+3），H（p，﹣p+3），则PH＝（﹣p2+2p+3）﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p＝（p﹣）2+，当且仅当p＝时，PH的最大值是，PQ＝PH＝，当p＝时，﹣p2+2p+3＝，当点P（，）时，PQ的最大值是．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线等知识，证明NF∥x轴是解本题的关键．15．（长宁区）抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C （0，3），其顶点D的纵坐标为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ACB的正切值；（3）点F在线段CB的延长线上，且∠AFC＝∠DAB，求CF的长．【分析】（1）根据对称轴公式：x＝﹣可得对称轴是：x＝﹣1，得D（﹣1，4），根据顶点式可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入可得结论；（2）如图1，构建直角三角形，计算AM和CM的长，根据正切的定义可得结论；（3）根据正切相等可得∠ACB＝∠DAB，所以得AC＝AF，根据两点的距离公式列方程可得结论．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+c，∴对称轴是：x＝﹣＝﹣1，∴顶点D的坐标为（﹣1，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入得：a+4＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过点A作AM⊥BC于M，当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝3+1＝4，BC＝＝，AC＝3，∵S△ABC＝AB•OC＝BC•AM，∴＝×AM，∴AM＝，由勾股定理得：CM＝＝＝，∴tan∠ACB＝＝＝2；（3）如图2，∵tan∠ACB＝2，tan∠DAB＝＝＝2，∴∠ACB＝∠DAB，∵∠DAB＝∠AFC，∴∠ACB＝∠AFC，∴AC＝AF，设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3，设F（m，﹣3m+3），∴（3）2＝（m+3）2+（﹣3m+3）2，解得：m1＝0（舍），m2＝，∴F（，﹣），∴CF＝＝．【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的解析式，对称轴公式，顶点式，三角函数的定义，两点的距离，三角形面积等知识，第三问有难度，得出∠AFC＝∠ACB是本题的关键．。

2023年上海市15区中考一模数学试题知识点汇编 相似图形的相关概念含详解

2023年上海市15区中考一模数学试题知识点汇编 相似图形的相关概念含详解

2023年上海市15区中考数学一模汇编专题03相似图形的相关概念（60题）一．选择题（共24小题）1．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，已知a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若＝，则的值是（）A．B．C．D．12．（2022秋•徐汇区期末）如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（）A．都扩大到原来的2倍B．都缩小到原来的C．都没有变化D．都不能确定3．（2022秋•闵行区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝β，CD⊥AB，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于sinβ的是（）A．B．C．D．4．（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DEC．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG5．（2022秋•浦东新区校级期末）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16B．1：4C．1：6D．1：26．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE＝∠B，那么下列说法中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB7．（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，则S△ADE：S四边形DEGF：S＝（）四边形FGCBA．1：2：5B．1：4：25C．1：3：25D．1：3：218．（2022秋•青浦区校级期末）如图，DE∥AB，如果CE：AE＝1：2，DE＝3，那么AB等于（）A．6B．9C．12D．139．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．（2022秋•黄浦区期末）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在腰AB、CD上，且EF∥BC，下列比例成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝11．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AB＝AC•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•CD＝AB•BC12．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的长等于（）A．4B．C．D．813．（2022秋•青浦区校级期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（）A．S△AOB＝S△DOC B．＝C．＝D．＝14．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝10，则线段GE的长为（）A．B．C．D．15．（2022秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．16．（2022秋•青浦区校级期末）下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个等腰三角形17．（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）18．（2022秋•徐汇区期末）如图，正方形ABCD与△EFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与△EFG相似的是（）A．以点E、F、A为顶点的三角形B．以点E、F、B为顶点的三角形C．以点E、F、C为顶点的三角形D．以点E、F、D为顶点的三角形19．（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为（）A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm20．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC 的为（）A．＝B．＝C．＝D．＝21．（2022秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝22．（2022秋•静安区期末）如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．∠A＝∠D且C．∠A＝∠B，∠D＝∠E D．∠A＝∠E且23．（2022秋•静安区期末）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（）A．B．C．D．24．（2022秋•黄浦区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含45°角的直角三角形必相似二．填空题（共36小题）25．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必须等于．26．（2022秋•青浦区校级期末）已知线段MN的长是10cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是cm．27．（2022秋•浦东新区期末）如图，已知AD∥BE∥CF．如果AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，那么AC的长是．28．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知AD∥EB∥FC，AB＝4，EF＝2，则BC⋅DE＝．29．（2022秋•青浦区校级期末）已知线段AB＝2，P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP＝．30．（2022秋•杨浦区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长cm．31．（2022秋•静安区期末）已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，那么△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．32．（2022秋•黄浦区校级期末）Rt△ABC两直角边之比为3：4，若△DEF与△ABC相似，△DEF最长边为20，则△DEF面积为．33．（2022秋•嘉定区校级期末）已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＞BP，那么AP＝cm．34．（2022秋•嘉定区校级期末）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、4、5，△DEF的最短边长为6，那么△DEF的周长等于．35．（2022秋•徐汇区校级期末）若P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AP＝﹣1，则AB＝．36．（2022秋•浦东新区期末）在△ABC中，∠A＝2∠B，如果AC＝4，AB＝5，那么BC的长是．37．（2022秋•金山区校级期末）如果两个相似三角形对应高的比为3：4，那么这两个三角形的面积比为．38．（2022秋•闵行区期末）如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．39．（2022秋•闵行区期末）若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝．（保留根号）40．（2022秋•闵行区期末）已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，若要使△ABC与△ADE相似，则只需添加一个条件：即可（只需填写一个）．41．（2022秋•徐汇区期末）已知线段AB＝10，P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），则AP＝．42．（2022秋•青浦区校级期末）如果两个相似三角形的相似比为1：3，那么它们的周长比为．43．（2022秋•黄浦区校级期末）已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是．44．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是．45．（2022秋•黄浦区校级期末）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为．46．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是．47．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示，△ABC中，DE∥BC，AB＝9，DB＝3，则△ADE与四边形DBCE的面积比是．48．（2022秋•杨浦区校级期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果，那么AB＝．49．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P、Q 分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为6，则PQ的长为．50．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE＝．51．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，如果∠B＝∠ACD，AB＝6cm，AC＝4cm，＝45cm2，则△ACD的面积是cm2．若S△ABC52．（2022秋•浦东新区期末）已知点P是线段MN的黄金分割点，MP＞PN，如果MN＝8，那么PM的长是．53．（2022秋•浦东新区期末）两个相似三角形的对应边的中线之比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形中较小三角形的周长是．54．（2022秋•金山区校级期末）已知点P是线段AB上的黄金分割点，且AB＝2，AP＞BP，那么AP＝．55．（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC上一点，过点E作DE⊥AB，垂足为点D，并交AC的延长线于点F，联结AE，如果AE＝6，CE＝2，的值为．56．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，直线AD∥BE∥CF，，DE＝6，那么EF的值是．57．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC＝6cm，那么DE等于cm．58．（2022秋•浦东新区期末）如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是．59．（2022秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，已知AB＝1，AC＝2，AD是∠BAC的平分线，那么AD 的长是．60．（2022秋•青浦区校级期末）已知点G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，那么AG＝．2023年上海市15区中考数学一模汇编专题03相似图形的相关概念（60题）一．选择题（共24小题）1．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，已知a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若＝，则的值是（）A．B．C．D．1【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵＝，∴＝，∵a∥b∥c，∴＝＝，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此定理是解题的关键．2．（2022秋•徐汇区期末）如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（）A．都扩大到原来的2倍B．都缩小到原来的C．都没有变化D．都不能确定【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．3．（2022秋•闵行区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝β，CD⊥AB，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于sinβ的是（）A．B．C．D．【分析】由锐角的正弦定义，即可判断．【解答】解：A、不一定等于sinβ，故A符合题意；B、△ABC是直角三角形，sinβ＝，正确，故B不符合题意；C、CD⊥AB，∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∠ACD＝∠B，sinβ＝，正确，故C不符合题意；D、△BCD是直角三角形，sinβ＝，正确，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正弦定义．4．（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DEC．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：A、当DH：EH＝DG：GF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；B、当HG：EF＝DH：DE，不能判定HG∥EF，本选项符合题意；C、当EH：DE＝GF：DF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；D、当DE：DF＝DH：DG，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5．（2022秋•浦东新区校级期末）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16B．1：4C．1：6D．1：2【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．6．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE＝∠B，那么下列说法中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD＝∠CDE，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，∵∠DCE＝∠B，∴∠ADE＝∠DCE，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD＝∠CDE，∠DCE＝∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B＝∠ADE，但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE与△DCB不相似；正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．7．（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，则S△ADE：S四边形DEGF：S ＝（）四边形FGCBA．1：2：5B．1：4：25C．1：3：25D．1：3：21【分析】由DE∥FG∥BC，可得△ADE∽△AFG∽△ABC，又由AD：AF：AB＝1：2：5，利用相似三角形的面：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，然后设△ADE的面积是a，则△AFG和△积比等于相似比的平方，即可求得S△ADEABC的面积分别是3a，21a，即可求两个梯形的面积，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴AD：AF：AB＝1：2：5，：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，∴S△ADE设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是4a，25a，＝S△AFG﹣S△ADE＝3a，S四边形FBCG＝S△ABC﹣S△AFG＝21a，则S四边形DFGE：S四边形DFGE：S四边形FBCG＝1：3：21．∴S△ADE故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．（2022秋•青浦区校级期末）如图，DE∥AB，如果CE：AE＝1：2，DE＝3，那么AB等于（）A．6B．9C．12D．13【分析】证明△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：∵DE∥AB，∴△CED∽△CAB，∴＝，即＝，解得，AB＝9，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【解答】解：∵GE∥BD，∴，△AEG∽△ABD，∴，∵GF∥AC，∴，，△DGF∽△DAC，∴，∴，，，＝1，∴只有选项A符合题意，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．10．（2022秋•黄浦区期末）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在腰AB、CD上，且EF∥BC，下列比例成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】由平行线分线段成比例的性质可直接求解．【解答】解：∵AB∥CB，EF∥BC，∴AB∥EF∥BC，∴，故选：D．【点评】本题考查了梯形的性质，平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质可求解．11．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AB＝AC•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•CD＝AB•BC【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A正确，不符合题意，D不正确，符合题意；∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公式是解题的关键．12．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的长等于（）A．4B．C．D．8【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵BE＝24，∴，解得：．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．13．（2022秋•青浦区校级期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（）A．S△AOB＝S△DOC B．＝C．＝D．＝＝S△DCB，则S△AOB＝S△DOC，于是可对A选项进行判断；根据平【分析】如图，利用三角形面积公式得到S△ABC行线分线段成比例定理得到＝，再利用三角形面积公式得到＝，于是可对B选项进行判断；证明△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可对C选项进行判断；利用两平行线的距离的定义得到点B到AD 的距离等于点A到BC的距离，然后根据三角形面积公式可对D选项进行判断．【解答】解：如图，∵AD∥BC，＝S△DCB，∴S△ABC+S△OBC＝S△OBC+S△DOC，即S△AOBS△AOB＝S△DOC，所以A选项的结论正确；∵AD∥BC，∴＝，∵＝，∴＝；所以B选项的结论正确；∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝（）2，所以C选项的结论错误；∵AD∥BC，∴点B到AD的距离等于点A到BC的距离，∴＝，所以D选项的结论正确；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形和三角形面积公式．14．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝10，则线段GE的长为（）A．B．C．D．【分析】因为点G是△ABC的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1，可知点D为BC的中点，，根据GE⊥AC，可得∠AEG＝90°，进而证得△AEG∽△ACD，从而得到，代入数值即可求解．【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，∴点D为BC的中点，，∵CB＝10，∴，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEG＝∠C＝90°，∵∠EAG＝∠CAD（公共角），∴△AEG∽△ACD，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．15．（2022秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判定即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；B．∵DF∥AC，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，即＝，故本选项不符合题意；D．∵DE∥BC，DF∥AC，∴，，∴＝，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．16．（2022秋•青浦区校级期末）下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个等腰三角形【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【解答】解：A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．17．（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可．【解答】解：如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝10，∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1），∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2），故选：B．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．18．（2022秋•徐汇区期末）如图，正方形ABCD与△EFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与△EFG相似的是（）A．以点E、F、A为顶点的三角形B．以点E、F、B为顶点的三角形C．以点E、F、C为顶点的三角形D．以点E、F、D为顶点的三角形【分析】△EFG中∠EGF＝135°，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断A、B、D；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断C．【解答】解：由题意可得，△EFG中∠EGF＝135°，EG＝2，GF＝，EF＝．A、△EFA中，∠AEF＞135°，则△EFA与△EFG不相似，故本选项不符合题意；B、△EFB中，∠BEF＞135°，则△EFB与△EFG不相似，故本选项不符合题意；C、△EFC中，EF＝，CE＝，CF＝5，∵＝＝＝，∴△EFG∽△FCE，即△EFC与△EFG相似，故本选项符合题意；D、△EFD中，90°＜∠DEF＜135°，则△EFD与△EFG不相似，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握判定两个三角形相似的方法是解题的关键．19．（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为（）A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵＝＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝2，∵CD＝4cm．∴AB＝8cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣8）÷2＝1（cm），故选：D．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．20．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC 的为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．【解答】解：如图：A、当时，不能判定DE∥BC，不符合题意；B、当时，不能判定DE∥BC，不符合题意；C、当，能判定DE∥BC，符合题意；D、当时，能判定DE∥BC，而当时，不能判定DE∥BC，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．21．（2022秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的判定和性质分析即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，，∴，即，故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，牢记定理是解决此题的关键．22．（2022秋•静安区期末）如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．∠A＝∠D且C．∠A＝∠B，∠D＝∠E D．∠A＝∠E且【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、由∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以判断两个三角形相似，本选项符合题意；B、由∠A＝∠D且，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；C、由∠A＝∠B，∠D＝∠E，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；D、由∠A＝∠E且＝，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．23．（2022秋•静安区期末）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（）A．B．C．D．【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，＝＝，∴DG＝AG，∵BG：EG＝AB：DE＝2：1，∴GB：BE＝2：3，：S△AEB＝2：3，∴S△AGB∵AE＝EC，＝S△ABC，∴S△AEB＝S△ABC，∴S△AGB∵△CDE∽△CBA，∴＝＝，＝S△ABC，∴S△CDE∴＝，结论成立的是＝，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．24．（2022秋•黄浦区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含45°角的直角三角形必相似【分析】直接利用相似图形的判定方法得出答案．【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项不符合题意；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项不符合题意；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不符合题意；D、两个含45°角的直角三角形必相似，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．二．填空题（共36小题）25．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必须等于6．【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须即可得出BE的长．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，∴要使DE∥AC，∴，∴，解得：BE＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须是解决问题的关键．26．（2022秋•青浦区校级期末）已知线段MN的长是10cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是（）cm．【分析】根据黄金分割点的定义即可进行解答．【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，线段MN的长是10cm，线段MP为较长线段，∴MP＝10×＝（5﹣5）cm，故答案为：（5﹣5）．【点评】本题考查的是黄金比例，解题的关键清楚黄金比例概念以及黄金分割比为．27．（2022秋•浦东新区期末）如图，已知AD∥BE∥CF．如果AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，那么AC的长是 6.4．【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，∴，解得BC＝1.6，∴AC＝AB+BC＝4.8+1.6＝6.4．故答案为：6.4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式．28．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知AD∥EB∥FC，AB＝4，EF＝2，则BC⋅DE＝8．【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥EB∥FC，∴，∵AB＝4，EF＝2，∴BC•DE＝AB•EF＝4×2＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．29．（2022秋•青浦区校级期末）已知线段AB＝2，P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP＝﹣1．【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值为计算．【解答】解：∵P是AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝﹣1，故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键．30．（2022秋•杨浦区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长4﹣4cm．【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．31．（2022秋•静安区期末）已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，那么△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，∴AB：A1B1＝1：5，AB：A2B2＝2：3，设AB＝2x，则A1B1＝10x，A2B2＝3x，∴A1B1：A2B2＝10：3，∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．故答案为：．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．32．（2022秋•黄浦区校级期末）Rt△ABC两直角边之比为3：4，若△DEF与△ABC相似，△DEF最长边为20，则△DEF面积为96．【分析】根据相似三角形的性质得到△DEF是直角三角形，且两直角边之比为3：4，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵Rt△ABC的两直角边之比为3：4，△DEF与△ABC相似，∴△DEF是直角三角形，且两直角边之比为3：4，设一条直角边为3x，则另一条直角边为4x，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202，解得：x1＝4，x2＝﹣4（舍去），∴△DEF的一条直角边为12，则另一条直角边为16，＝×12×16＝96．∴S△DEF故答案为：96．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．33．（2022秋•嘉定区校级期末）已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＞BP，那么AP＝（2﹣2）cm．【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＞BP，。

2023上海中考一模数学压轴题

2023上海中考一模数学压轴题

中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对2.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3 D．x1＝0，x2＝33.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为（）A．1B．√22C．√3D．√334.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对5.如图图形中是中心对称图形的为（）A．B． C． D．A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈二、填空题（共24分）1.如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y 轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B、F的坐标分别为（-4,4）、（2,1）则位似中心的坐标为（）。

2.一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是。

3.将抛物线y＝﹣x2向右平移一个单位，所得函数解析式为。

三、解答题1．如图，在四边形A BCD中，A D∥BC，A B⊥BC，点E在A B上，∠DEC=90°。

求证：△ADE∽△BEC。

2.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（﹣1，﹣1）。

（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C 的图形并写出点B2的坐标；（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△AB3C3的图形。

2024年上海中考数学一模专题12 二次函数综合题(解答题24题,压轴题)(原卷版)

2024年上海中考数学一模专题12 二次函数综合题(解答题24题,压轴题)(原卷版)

专题12二次函数综合题（解答题24题，压轴题）一、解答题1．（2024·上海长宁·统考一模）已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x =--经过点A 与点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF ⊥时，求PDF ∠的正切值；②如果:3:5PD DE =，求点P 的坐标．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形1111D C B A 和四边形22A B 形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的3．（2024·上海徐汇·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，第二象限的点M 在抛物线()20y ax a =>上，点M 到两坐标轴的距离都是2．(1)求该抛物线的表达式；(2)将抛物线()20y ax a =>先向右平移32个单位，再向下平移()0k k >个单位后，所得新抛物线与x 轴交于点(,0)A m 和点(,0)B n ，已知m n <，且4mn =-，与y 轴负半轴交于点C ．①求k 的值；②设直线43y x =-与上述新抛物线的对称轴的交点为D ，点P 是直线43y x =-上位于点D 下方的一点，分别连接CD 、CP ，如果3tan 4PCD ∠=，求点P 的坐标．4．（2024·上海嘉定·统考一模）定义：对于抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠），若2b ac =，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线22y x x k =-+是黄金抛物线，与y 轴交于点A ，顶点为D ．(1)求此黄金抛物线的表达式及D 点坐标；(2)点()2,B b 在这个黄金抛物线上．①点1,2C c ⎛⎫- ⎪⎝⎭在这个黄金抛物线的对称轴上，求OBC ∠的正弦值．②在射线AB 上是否存在点P ，使以点P 、A 、D 所组成的三角形与AOD △相似，且相似比不为1．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2024·上海静安·统考一模）在平面直角坐标系322,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在同一个二次函数的图像上．(2)如果射线BE 平分ABC ∠，交①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段②如果点P 在射线BE 上，当PBC7．（2024·上海浦东新·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:M y x bx c =-++过点(2,2)A 、点(0,2)B ，顶点为点C ，抛物线M 的对称轴交x 轴于点D ．(1)求抛物线M 的表达式和点C 的坐标；(2)点P 在x 轴上，当AOP 与ACD 相似时，求点P 坐标；(3)将抛物线M 向下平移(0)t t >个单位，得到抛物线N ，抛物线N 的顶点为点E ，再把点C 绕点E 顺时针旋转135︒得到点F ．当点F 在抛物线N 上时，求t 的值．8．（2024·上海崇明·统考一模）已知在直角坐标平面xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()()()103003A B C -，、，、，三点．(1)求该抛物线的表达式；(2)点D 是点C 关于抛物线对称轴对称的点，连接AD BD 、，将抛物线向下平移()0m m >个单位后，点D 落在点E 处，过B 、E 两点的直线与线段AD 交于点F ．①如果2m =，求tan DBF ∠的值；②如果BDF V 与ABD △相似，求m 的值．9．（2024·上海青浦·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++过点()1,2A 和点()2,1B ，与y 轴交于点C ．(1)求a 、b 的值和点C 的坐标；(2)点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），当PCB ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线CA 上，设平移后的抛物线的顶点为点D ，当CDP △与CAP 相似时，求平移后的抛物线的表达式．10．（2024·上海松江·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>的图像经过原点(0,0)O 、点(1,3)A a ，此抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ．(1)求抛物线的对称轴；(2)如果该抛物线与x 轴负半轴的交点为D ，且ADC ∠的正切值为2，求a 的值；(3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A 、B 分别对应新抛物线上的点E 、P ．联结PA ，如果点P 在y 轴上，PA x ∥轴，且EPA CBO ∠=∠，求新抛物线的表达式．11．（2024·上海奉贤·统考一模）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x m =对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线x m =的镜像抛物线．(1)如图，已知抛物线22y x x =-顶点为A ．①求该抛物线关于y 轴的镜像抛物线的表达式；②已知该抛物线关于直线x m =的镜像抛物线的顶点为B ，如果1tan 4OBA ∠=（OBA ∠是锐角），求m 的值．(2)已知抛物线()2104y x bx c b =++>的顶点为C ，它的一条镜像抛物线的顶点为D ，这两条抛物线的交点为()21E ，．如果CDE 是直角三角形，求该抛物线的表达式．12．（2024·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a =--≠与x 轴交于点A 、点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且4AB =．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BC 上一点，如果45PAC ∠=︒，求点P 的坐标；(3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF ⊥直线AP ，垂足为点F ，如果1tan 2PEF ∠=，求平移后抛物线的表达式．13．（2024·上海虹口·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中．已知抛物线22y x x m =++经过点()3,0A -，与y 轴交于点C ，连接AC 交该抛物线的对称轴于点E ．(1)求m 的值和点E 的坐标；(2)点M 是抛物线的对称轴上一点且在直线AC 的上方．①连接AM 、CM ，如果AME MCA ∠=∠，求点M 的坐标；②点N 是抛物线上一点，连接MN ，当直线AC 垂直平分MN 时，求点N 的坐标．14．（2024·上海黄浦·统考一模）如图，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A B 、．对称轴为直线1x =的抛物线2y ax bx c =++经过点A B 、，其与x 轴的另一交点为C ．(1)求该抛物线的表达式；(2)将该抛物线平移,使其顶点在线段AB 上点P 处，得到新抛物线L ，其与直线3y x =-+的另一个交点为Q ．①如果抛物线L 经过点A ，且与x 轴的另一交点为D ，求线段CD 的长；②试问：CPQ 的面积是否随点P 在线段AB 上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出CPQ 面积．15．（2024·上海金山·统考一模）已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C -．(1)求抛物线的表达式和顶点P 的坐标；(2)点D 在抛物线对称轴上，90PAD ∠=︒，求点D 的坐标；(3)抛物线的对称轴和x 轴相交于点M ，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q ，QB QM =，QO 的延长线交原抛物线为E ，QO OE =，求新抛物线的表达式．16．（2024·上海闵行·统考一模）如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．已知，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（0，6）．抛物线C 1：y ＝﹣ax 2+2x 上有一点P ，以点P 为顶点的抛物线C 2经过点B （点P 与点B 不重合），抛物线C 1和C 2形状相同，开口方向相反．（1）当抛物线C 1经过点A 时，求抛物线C 1的表达式；（2）求抛物线C 2的对称轴；（3）当a ＜0时，设抛物线C 1的顶点为Q ，抛物线C 2的对称轴与x 轴的交点为F ，联结PQ 、QO 、FQ ，求证：QO 平分∠PQF ．。

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2016~2017学年度上海市各区初三一模数学压轴题汇总（18+24＋25）共1５套整理廖老师宝山区一模压轴题18(宝山)如图，D 为直角ABC 的斜边AB 上一点,DEAB 交AC 于E ，如果AED 沿着DE 翻折,A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ,如果8AC，1tan 2A，那么:___________.CF DF２４（宝山）如图，二次函数232(0)2yax x a 的图像与x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于点,C 已知点(4,0)A .(１)求抛物线与直线AC 的函数解析式;（２）若点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ,求S 关于m 的函数关系; (３）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A C E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出满足条件的所有点E 的坐标．25（宝山）如图（1)所示,E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P Q 、同时从点B 出发,点P 以1/cm s 的速度沿第18题A第24题--着折线BEED DC 运动到点C 时停止，点Q 以2/cm s 的速度沿着BC 运动到点C 时停止。

设P Q 、同时出发t 秒时,BPQ 的面积为2ycm ,已知y 与t 的函数关系图像如图(2)（其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段).(１)试根据图（2）求05t 时，BPQ 的面积y 关于t 的函数解析式；(2)求出线段BC BE ED 、、的长度；（3)当t 为多少秒时，以B P Q 、、为顶点的三角形和ABE 相似;（4)如图（3)过点E 作EFBC 于F ，BEF 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度,如果BEF 中E F 、的对应点H I 、恰好和射线BE CD 、的交点G 在一条直线，求此时C I 、两点之间的距离.崇明县一模压轴题18(崇明)如图,已知 ABC ∆中，45ABC ∠=，AH BC ⊥于点H ,点D 在AH 上,且DH CH =，联结BD ,将BHD 绕（3）（2）（1）第25题BB点H 旋转,得到EHF ∆(点B 、D 分别与点E 、F 对应),联结AE ,当点F 落在AC 上时,（F 不与C 重合）如果4BC =,tan 3C =,那么AE 的长为 ;24（崇明）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ,点D 在线段OB 上,且1OD = ，联结AD 、将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒,得到线段DE ,过点E 作直线l x ⊥轴,垂足为H ，交抛物线于点F . （1）求这条抛物线的解析式;（2）联结DF ，求cot EDF ∠的值；（3）点G 在直线l 上,且45EDG ︒∠=,求点G 的坐标．25（崇明)在ABC ∆中,90ACB ︒∠=,3cot 2A =,AC =,以BC 为斜边向右侧作等腰直角EBC ∆，P 是BE 延长线上一点，联结PC ，以PC 为直角边向下方作等腰直角PCD ∆,CD 交线段BE 于点F ,联结BD .（1）求证:PC CE CD BC=;（2）若PE x=，BDP∆的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域;（3）当BDF∆为等腰三角形时,求PE的长.奉贤区一模压轴题18（奉贤)如图3，在矩形ABＣD中，ＡＢ=６，AＤ=3,点P是边AD上的一点,联结BP,将△ＡBP沿着BP所在直线翻折得到△EBP ，点A 落在点E 处，边BE 与边CD 相交于点G ，如果ＣG=２DG ，那么DP 的长是__ _＿_＿.24（奉贤）如图,在平面直角坐标系中xO ｙ中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于点A (-1,0)和点B ，与ｙ轴相交于点C （0,３）,抛物线的顶点为点Ｄ，联结ＡC 、BC 、ＤＢ、DC .(１）求这条抛物线的表达式及顶点Ｄ的坐标; （2)求证：△ＡCO ∽△DBC ；（３）如果点E 在x 轴上,且在点B 的右侧,∠BC Ｅ=∠ＡCO ，求点E 的坐标。

25（奉贤)已知,如图８,Rt △ＡBC 中,∠ACB =90°,B Ｃ＝8，c ｏt ∠B ＡC =34，点D 在边BC 上(不与点Ｂ、C 重合)，点Ｅ在边BC 的延长线上,∠DAE ＝∠BA Ｃ,点Ｆ在线段ＡE 上,∠ACF=∠B .设BD =ｘ．(１)若点Ｆ恰好是AE 的中点，求线段BD 的长； （２）若AFy EF=，求y 关于ｘ的函数关系式，并写出它的定义域; (３）当△ＡDE 是以AD 为腰的等腰三角形时，求线段ＢＤ的长.虹口区一模压轴题18(虹口）如图,在梯形中ABCD ,1,3AD BC AB BC AD BC ==∥，⊥， ,点P 是边AB 上一点，如果把BCP ∆ 沿折痕CP 向上翻折，点B 恰好与点D 重合,那么sin ADP ∠ 为_＿___2４（虹口)如图，抛物线25yx bx 与x 轴交于点A 与(5,0)B 点,与y 轴交于点C ,抛物线的顶点为点P .（1)求抛物线的表达式并写出顶点P 的坐标 （2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ,若ABD ABP ，试求点D 的坐标（３）设在直线BC 下方的抛物线上有一点Q ，若15BCQS,试写出点Q 坐标２5（虹口)如图在Rt ABC 中，90ACB ,4,3AC BC ，点D 为边BC 上一动点，（不与点B 、C 重合）,联结AD ,过点C 作CFAD ，分别交AB AD 、于点E F 、，设DC x ，AEy BE,(1）当1x 时,求tan BCE 的值--(２）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围（3)当1x 时，在边AC 上取点G ，联结BG ，分别交CE AD 、于点M N 、,当MNF ABC 时,请直接写出AG的长。

黄浦区一模压轴题1８(黄浦）如图10，菱形ABCD 形内两点M 、N ,满足MB ⊥ＢC ,MD ⊥ＤC ,N Ｂ⊥ＢＡ,ＮＤ⊥DA ，若四边形BMDN的面积是菱形A ＢＣD 面积的15，则cos A = .A--24(黄浦）在平面直角坐标系ｘOy中,对称轴平行于y轴的抛物线过点A(1,０）、Ｂ(３,0）和C(4,6）.(1)求抛物线的表达式;(2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位,再沿y轴方向平移k个单位,若所得抛物线与ｘ轴交于点D、E(点D在点Ｅ的左边)，且使△AＣD∽△AEC（顶点A、Ｃ、Ｄ依次对应顶点A、E、C),试求k的值,并注明方向.yO x图1625（黄浦)如图１7,△AＢＣ边AB上点D、Ｅ(不与点Ａ、B重合),满足∠ＤCE=∠AＢC.已知∠ACB=90°，ＡC=3,B Ｃ=4.(1）当CＤ⊥AB时,求线段BE的长;(２)当△CDＥ是等腰三角形时,求线段AD的长;（3）设AD=x,BE=y,求y关于ｘ的函数关系式，并写出定义域.C C嘉定区一模压轴题１8(嘉定）在Rt△ABC 中，Ｄ是斜边ＡB 的中点(如图３),点M 、N 分别在边AC 、BC 上,将△CM Ｎ沿直线ＭＮ翻折，使得点C 的对应点Ｅ落在射线CD 上．如果α=∠B ，那么∠AME 的度数为 （用含α的代数式表示）.AD2４(嘉定)已知在平面直角坐标系xOy(如图9)中，已知抛物线42++-=bxxy与x轴的一个交点为A（1-，0)，与y轴的交点记为点C.（1)求该抛物线的表达式以及顶点D的坐标;(2)如果点E在这个抛物线上，点F在ｘ轴上,且以点O、Ｃ、E、Ｆ为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F的坐标（写出两种情况即可）；(3）点P与点Ａ关于y轴对称，点B与点Ａ关于抛物线的对称轴对称，点Q在抛物线上，且∠PCＢ=∠QCB,求点Q的坐标.２5(嘉定）已知：点P不在．．⊙O上,点Q是⊙O上任意．．一点．定义：将线段PQ的长度中最小的值称为点P到⊙O的“最近距离”；将线段PQ的长度的最大的值称为点P到⊙O的“最远距离”.（１）(尝试）已知点P到⊙O的“最近距离”为2，点P到⊙O的“最远距离”为6，求⊙O的半径长(不需要解题过程,直接写出答案).（２)(证明)如图10,已知点P在⊙O外，试在⊙O上确定一点Q，使得PQ最短,并简要说明PQ最短的理由. （3）(应用)已知⊙O的半径长为5，点P到⊙O的“最近距离”为1,以点P为圆心，以线段PO为半径画圆.⊙P交⊙O 于点A 、B ，联结OA 、PA ．求OAP ∠的余弦值.静安区一模压轴题1８(静安）一张直角三角形纸片ABC ,△C =9０°，AB ＝24， 32tan =B （如图）,将它折叠使直角顶点C 与斜 边AB 的中点重合，那么折痕的长为 .P备用图1备用图2P（第18题图）24(静安）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线42++=bx ax y 错误!未定义书签。

与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴相交于点B ,点C 在线段OA 上,点D 在此抛物线上，ＣD △x 轴,且△D ＣB =△DAB ,AB 与CD 相交于点E . （1）求证:△BDE △△C ＡE ;（2)已知O Ｃ=2，3tan =∠DAC ,求此抛物线的表达式.25(静安)如图，在梯形ＡBC Ｄ中，AD //ＢC ，AC 与BD 相交于点O ,ＡC =B Ｃ,点E 在DC 的延长线上,△BEC ＝△ACB .已知ＢＣ=９，ｃos△ABC=31． （1)求证：BC 2= CD · ＢE ;（2）设AD =ｘ，ＣE =y ,求y 与x 之间的函数解析式， 并写出定义域;(3）如果△DBC △△DEB ，求CE 的长．（第25题图）ABCDEO闵行区一模压轴题1８(闵行) 如图,已知△ABC 是边长为2的等边三角形,点D 在边BC 上,将△ABD 沿着直线AD 翻折,点B 落在点1B 处,如果1B D AC ⊥，那么BD =24(闵行)已知在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y x mx n =-++的图像经过点(3,0)A ，(,1)B m m +,且与y 轴相交于点C ；(1）求这个二次函数的解析式并写出其图像顶点D 的坐标; (2）求CAD ∠的正弦值;(3)设点P 在线段DC 的延长线上,且PAO CAD ∠=∠,求点P 的坐标;25(闵行）如图，已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,5AB AD ==,3tan 4DBC ∠=,点E 为线段BD 上任意一点(点E 与点B 、D 不重合)，过点E 作EF ∥CD ，与BC 相交于点F ,联结CE ,设BF x =,ECF BCDSy S ∆∆=；（１）求BD 的长；(2)如果BC BD =，当△DCE 是等腰三角形时,求x 的值;(3)如果10BC =,求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；浦东新区一模压轴题１8（浦东)如图,在Rt ABC ∆中，o =90C ∠，o =60B ∠,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转o 60,点B C 、分别落在点''B C 、处,联结'BC 与AC 边交于点D ,那么'BDDC = 。

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