任意角的概念--公开课经典.ppt
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任意角完整公开课PPT课件
任意角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），弧度（rad）和密位（mil）。
度量工具
量角器、圆规、直尺等。
度量方法
通过量角器或使用三角函数值进行计算。
象限角与轴线角
象限角
在平面直角坐标系中，按逆时针方向，第一象限角为0°~90° ，第二象限角为90°~180°，第三象限角为180°~270°，第四 象限角为270°~360°。
、航向和航速。
04
THANKS
感谢观看
和差公式的应用
在解决涉及两角和与差的三角函数问题时，和差公式是必不可少的工 具。
04
三角函数的图像与性质
正弦函数的图像与性质
其图像是周期函数，呈现波浪
形。
正弦函数的性质包括：在每个 周期内，函数值从0增加到最 大值，然后又减小到0，如此
往复。
正弦函数的图像在y轴两侧对 称，其周期为360度。
01 02
任意角三角函数的定义
三角函数是描述三角形边与角之间关系的数学工具。对于任意角α，其 正弦函数sinα定义为“对边长度除以斜边长度”，余弦函数cosα定义 为“邻边长度除以斜边长度”，正切函数tanα定义为“对边长度除以 邻边长度”。
单位圆定义法
通过单位圆上点的坐标来表示三角函数值，其中正弦值等于y坐标，余 弦值等于x坐标，正切值等于y坐标除以x坐标。
正弦函数在每个周期内的变化 率是不同的，变化率最大的点
是函数的极值点。
余弦函数的图像与性质
余弦函数是三角函数的另一种形式， 其图像也是周期函数，呈现波浪形。
余弦函数的图像在y轴两侧对称，其 周期也为360度。
余弦函数的性质包括：在每个周期内 ，函数值从最大值减小到0，然后再 增加到最小值，如此往复。
任意角 -完整公开课PPT课件
n 360 240 n 360 270 ，k Z ，
故
3 是第三象限的角 .
综上3 可知： 是第一或第二或第三象限的角 .
3
0°
360° x
如图
几何法
如图
故
2
是第三象限的角 .
综上2 可知： 是第一或第三象限的角 .
例3.若角的终边与角的终边关于x轴对称，则 + =______
例3. 已知角 是第一象限的角，
试问 2 、 、 各是第几象限的角？
23
180°
y
90°
0°
O
360° x
270°
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
225° 45°
o
x
故S中适合不等式－360°≤ ＜720°的元素是：
45 2180 315, 45 1180 225, 45 1180 135, 45 2180 405, 45 0180 45, 45 3180 585.
练习3：
（1）终边在x轴上的角的集合：
y
{ | n 180 ，n Z }.
角的概念推广的必要性:
0º到360º范围内的角在生 产、生活和科学实验的实践 中已不适用。
如体操、花样滑冰、跳台跳 水中“转体三周半”,
又如车轮、钟表、罗盘的 运动规律的研究等.
1、角的概念
任意角的概念:
平面内一条射线OA绕着端点O(顶点)从一个位置
OA(始边)旋转到另一个位置OB(终边)所成的图形
3
y
90°
当 k 3n(n Z ) 时 ，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
Hale Waihona Puke 故3 是第一象限的角
《任意角》公开课教学PPT课件高中数学件
教学方法是否得当，是否能够有效地传递知识给学生。
教学效果是否达到预期目标，是否能够帮助学生掌握相关知识技能。
教学反思与改进对于提高教学质量和学生学习效果至关重要。
感谢观看
汇报人：
强调学习目标和重点，帮助学生明确学习方向和目标。
引导学生进行自我总结和反思，培养其自主学习能力。
为后续学习打下坚实的基础，有利于知识的巩固和拓展。
06
课后作业与思考
完成课后练习题，巩固所学知识
练习册：包含所有知识点和例题的练习册 重点回顾：对重点难点进行回顾和总结 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识 思考题：针对所学内容，布置思考题，拓展学生思维
角度制和弧度制 的定义及背景介 绍
角度制与弧度制 之间的换算原理 及方法
角度制与弧度制 在三角函数中的 表现形式及其应 用
通过实例练习掌 握角度制与弧度 制之间的换算技 巧
03
教学重点与难点
重点：任意角的概念与性质，象限角、轴线角的概念，角度与弧 度的换算方法
任意角的概念与性 质
象限角、轴线角的 概念
互动教学：通过课堂互动，引导学生思考和解决问题，增强学生的学习体 验和参与度。
多媒体教学：利用多媒体技术，呈现任意角在实际中的应用场景，帮助学 生更好地理解抽象概念。
实践教学：通过实践活动，让学生亲身体验任意角在实际中的应用，加深 对知识的理解和掌握。
05
教学步骤设计
导入新课：通过回顾已学知识，引出新的概念——任意角
应用价值：培养学生的数学思维、 提高学生解决实际问题的能力等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
知识点：任意角的定义、任意角 的大小范围、任意角在生活中的 应用等
教学效果是否达到预期目标，是否能够帮助学生掌握相关知识技能。
教学反思与改进对于提高教学质量和学生学习效果至关重要。
感谢观看
汇报人：
强调学习目标和重点，帮助学生明确学习方向和目标。
引导学生进行自我总结和反思，培养其自主学习能力。
为后续学习打下坚实的基础，有利于知识的巩固和拓展。
06
课后作业与思考
完成课后练习题，巩固所学知识
练习册：包含所有知识点和例题的练习册 重点回顾：对重点难点进行回顾和总结 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识 思考题：针对所学内容，布置思考题，拓展学生思维
角度制和弧度制 的定义及背景介 绍
角度制与弧度制 之间的换算原理 及方法
角度制与弧度制 在三角函数中的 表现形式及其应 用
通过实例练习掌 握角度制与弧度 制之间的换算技 巧
03
教学重点与难点
重点：任意角的概念与性质，象限角、轴线角的概念，角度与弧 度的换算方法
任意角的概念与性 质
象限角、轴线角的 概念
互动教学：通过课堂互动，引导学生思考和解决问题，增强学生的学习体 验和参与度。
多媒体教学：利用多媒体技术，呈现任意角在实际中的应用场景，帮助学 生更好地理解抽象概念。
实践教学：通过实践活动，让学生亲身体验任意角在实际中的应用，加深 对知识的理解和掌握。
05
教学步骤设计
导入新课：通过回顾已学知识，引出新的概念——任意角
应用价值：培养学生的数学思维、 提高学生解决实际问题的能力等
添加标题
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知识点：任意角的定义、任意角 的大小范围、任意角在生活中的 应用等
人教版高中数学-任意角(共15张PPT)教育课件
课堂练习
课本P5练习
课后作业
课本P9习题A组1，2，3,4,5
•
凡 事都 是 多棱 镜 ，不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ，就 会 有个 好 心境 ， 若把 很 多事 看开 了 ，就 会 有个 好 心情 。 让聚 散 离合 犹 如月 缺 月圆 那 样寻 常 ，
•
•
•
•
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
■
电
:
那
你
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第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
任意角优秀课件
任意角优秀课ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPPT
什么是任意角
定义：任意角是指角度可以为任意大小的角。 介绍三种常见角度单位：度、弧度和梯度。
任意角的三角函数
引入正弦、余弦、正切等三角函数的概念。 推导任意角三角函数的公式。 解决任意角三角函数的计算问题。
任意角的坐标表示
介绍极坐标系的概念。 解释用极坐标系表示任意角的方法。 举例说明极坐标系的应用场景。
任意角的绘制
介绍绘制任意角的方法和步骤。 引入绘制任意角的工具：圆规和直尺。 解释通过绘制任意角学习三角函数的实际应用。
总结
总结任意角的概念与特点。 总结三角函数的定义和公式。 总结极坐标系的应用及绘制任意角的方法。
什么是任意角
定义：任意角是指角度可以为任意大小的角。 介绍三种常见角度单位：度、弧度和梯度。
任意角的三角函数
引入正弦、余弦、正切等三角函数的概念。 推导任意角三角函数的公式。 解决任意角三角函数的计算问题。
任意角的坐标表示
介绍极坐标系的概念。 解释用极坐标系表示任意角的方法。 举例说明极坐标系的应用场景。
任意角的绘制
介绍绘制任意角的方法和步骤。 引入绘制任意角的工具：圆规和直尺。 解释通过绘制任意角学习三角函数的实际应用。
总结
总结任意角的概念与特点。 总结三角函数的定义和公式。 总结极坐标系的应用及绘制任意角的方法。
任意角的概念公开课PPT课件
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用旋转来描述角，需要注意三个要素： 旋转中心、旋转方向、旋转量 ➢ 旋转中心：作为角的顶点； ➢ 旋转方向：分为逆时针和顺时针两种； ➢ 旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的 绝对值可大于360º，于是就会出现720º， -540º等角度。
第12页/共23页
3．象限角
为了区别旋转方向： 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；
说明：零 角的终边 与始边重 合
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；
如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°
如果一条射线没有做任何旋转，称它形成了一个零角。
2100
-1500
第10页/共23页
6600
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
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作业：
• P99 练习：1、2
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第22页/共23页
感谢您的观看！
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303039033017终边相同的角一般地所有与角终边相同的角连同角在内所构成的集合s可表示为sk360kz即任一与终边相同的角都可以表示成角与整数个周角的和
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5.1 角的概念的推广
第3页/共23页
复习与回顾
• 1.在初中学习的角的定义是什么？ 角的范围呢？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 0º至360º
第18页/共23页
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中 在-360º～720º间的角写出来：(1) 60º；(2) -21º
解：(1) S={β|β=k·360º+60º,k∈Z}， S中在-360º～720º间的角是 -1×360º+60º=-280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º。
用旋转来描述角，需要注意三个要素： 旋转中心、旋转方向、旋转量 ➢ 旋转中心：作为角的顶点； ➢ 旋转方向：分为逆时针和顺时针两种； ➢ 旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的 绝对值可大于360º，于是就会出现720º， -540º等角度。
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3．象限角
为了区别旋转方向： 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；
说明：零 角的终边 与始边重 合
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；
如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°
如果一条射线没有做任何旋转，称它形成了一个零角。
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用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
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作业：
• P99 练习：1、2
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感谢您的观看！
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303039033017终边相同的角一般地所有与角终边相同的角连同角在内所构成的集合s可表示为sk360kz即任一与终边相同的角都可以表示成角与整数个周角的和
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5.1 角的概念的推广
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复习与回顾
• 1.在初中学习的角的定义是什么？ 角的范围呢？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 0º至360º
第18页/共23页
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中 在-360º～720º间的角写出来：(1) 60º；(2) -21º
解：(1) S={β|β=k·360º+60º,k∈Z}， S中在-360º～720º间的角是 -1×360º+60º=-280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º。
任意角完整公开课PPT课件
表示为arctan(x)，其定义域为 全体实数，值域为全体实数。
反三角函数的性质
反三角函数的性质
反三角函数具有一些重要的性质，如单调性、奇偶性、周 期性等。这些性质对于理解和应用反三角函数非常重要。
奇偶性
反三角函数具有奇偶性，即对于任意x，有arcsin(-x)=arcsin(x)（对于arcsin(x)）或arccos(-x)=π-arccos(x)（ 对于arccos(x)）。
反三角函数的应用
• 反三角函数的应用：反三角函数在数学、物理和工程等领域有 广泛的应用。例如，在解决几何问题时，可以使用反三角函数 来找到角度；在信号处理中，可以使用反三角函数来处理周期 信号；在物理学中，可以使用反三角函数来描述振动和波动等 现象。
THANKS
感谢观看
解决三角形问题
通过三角恒等式可以求出三角 形各边的长度、各角的大小等
。
求三角函数值
利用三角恒等式可以求出任意 角的正弦、余弦、正切值。
证明恒等式
通过三角恒等式可以证明一些 重要的恒等式，如：sin^2(x) + cos^2(x) = 1等。
解决实际问题
在物理、工程等领域中，可以 利用三角恒等式解决一些实际 问题，如：测量、振动分析等
积化和差与和差化积公式的扩展
推广到多角公式
将积化和差与和差化积公式推广到多 角公式，可以进一步研究多角之间的 三角函数关系。
与其他公式结合应用
结合其他三角函数公式，如倍角公式 、半角公式等，可以更深入地研究三 角函数的性质和变换。
06
任意角的反三角函数
反三角函数的定义
反三角函数的定义
反正弦函数
和差化积公式的推导
利用三角函数的差角公式，通过代数 运算推导出和差化积公式。
1.1.1任意角 课件(21张)(优秀经典公开课比赛课件)
4. 下列命题：①一个角的终边在第几限， 就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的
序号是 (1).(2).(4). .
5.在坐标平面内作出下列各角：30°，
390°，-330°;它们是 一 象限的角，
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
理论迁移 例1 在0°～360°范围内，找出
与－950°12′角终边相同的角，并判 定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并
把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素
写出来.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}. －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°.
。 由于月球和太阳的引潮力作用，使水面发生周期性涨落的潮汐现象
伦敦之眼
各种电波
现实世界中的很多运动，变化都有着循环往 复、周而复始的现象。如何用数学的方法来刻画这种 变化规律呢？
本章要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的 数学模型。
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线00 k 360 240 k 360,k Z} { 160 k 360 120 k 360,k Z}
2、若角、 满足下列条件，
求它们的关系式？
（1）终边关于x轴对称 k 360(k Z) （2）终边关于y轴对称 180 k 360(k Z) （3）终边互为反向延长线 (2k 1)180(k Z)
1.1.1任意角（一）
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第5章 三角函数
.精品课件.
1
.精品课件.
2
.精品课件.
3
5.1 角的概念的推广
.精品课件.
4
复习与回顾
1.在初中学习的角的定义是什么？ 角的范围呢？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 0º至360º 2.你以前学过哪些角？
.精品课件.
5
我们学过的角
0 90
锐角
90
直角
规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正
负，就好象数零无正负一样。
.精品课件.
12
用旋转来描述角，需要注意三个要素： 旋转中心、旋转方向、旋转量
➢ 旋转中心：作为角的顶点； ➢ 旋转方向：分为逆时针和顺时针两种； ➢ 旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度 的 绝对值可大于360º，于是就会出现720º， -540º等角度。.精品课件.13Fra bibliotek3．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，
那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，这样
的角叫做界限角。
.精品课件.
14
y
o 终边
终 边
终边
终
边
➢ 40、-330
.精品课件.
16
30° 390° -330°
y -3300
3900
300
x
o
390°=30°+360°=30°+1x360°
-330°=30°+(-1)x360° =30°7─501°x3=6300°°+2x360° ;
-690°=30°+(-2)x360° ;
与30°终边相同的角的一 般形式为：
1110°=30°+3x3600 ; -1050°=30°+(-3)x3600;
... ...
30°＋k·360°，（k ∈
Z）
.精品课件.
17
4. 终边相同的角
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的 集合S可表示为，
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z} 即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个 周角的和。
同， 280°是第四象限角，所以640°是第四象限角。
（2）因为-950°=130°+（-3）×360°，所以-950°的角与130°的角的
终边相同，130°是第二象限角，所以-950°是第二象限角。
（3）因为-1180°=260°+（-4）×360°，所以-1180°的角与260°的角
的终边相同，260°是第三象限角，所以-1180°是第三象限角。
终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；
终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍。
.精品课件.
18
例题分析：
【例1】在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角。
（1） 640° （2）-950° （3）-1180°
解：（1）因为640°=280°+360°，所以640°的角与280°的角的终边相
2100
-1500
.精品课件.
6600
11
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
➢ 角有正负之分 如：=210, = -150, =660。
➢ 角可以任意大 体操动作：旋转2周（360×2=720） 、3周（360×3=1080）
➢ 还有零角 一条射线，没有旋转。
注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负
(2) S={β|β=k·360º－21º,k∈Z}，
S中在-360º～720º间的角是
0×360º－21º=-21º；1×360º－21º=339º；
2×360º－21º=699º。
.精品课件.
20
小结：
0°～360°的角
任意角
正 角
象 限
终 边 相
负
角
同
角
的
角
S k 360o, k Z
所成的角。 这些例子不仅角范围不在0º～360º，而且方向不同，有必
要将角的概念推广到任意角。
.精品课件.
9
1. 任意角
任意角的定义：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。
.精品课件.
19
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中 在-360º～720º间的角写出来：(1) 60º；(2) -21º
解：(1) S={β|β=k·360º+60º,k∈Z}， S中在-360º～720º间的角是 -1×360º+60º=-280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º。
x
始边第一象限角
➢ 310、 -60
终 第四象限角
边
➢ 230、-120
第三象限角
➢ 135、-240
第二象限角等
➢ 0、90、180、-90
界限角
.精品课件.
15
想一想
1. 指出它们是第几象限角： 420°、850°、-510°、-75° 一二三 四
2. 锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？ 锐角是第一象限角 30°、390°、-330°
小写希腊字母表示角：α、β、γ。。。
B
终边 α
顶点O
始边 A
.精品课件.
10
2. 角的分类
为了区别旋转方向： 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；
说明：零 角的终边 与始边重 合
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；
如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°
如果一条射线没有做任何旋转，称它形成了一个零角。
90 180 钝角
.精品课件.
6
思考1：时钟慢了5分钟，应
如何校准？分针转过了多少度？
时钟快了1.25小时 （1小时15分钟），应如何 校准？分针转过了多少度？
.精品课件.
7
转体三周
你知道她旋转了多少度？
.精品课件.
8
生活中有很多实例如： 如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转 体1080°”、“转体1260°”这样的解说； 再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转
.精品课件.
21
作业：
P99 练习：1、2
.精品课件.
22
.精品课件.
23
.精品课件.
1
.精品课件.
2
.精品课件.
3
5.1 角的概念的推广
.精品课件.
4
复习与回顾
1.在初中学习的角的定义是什么？ 角的范围呢？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 0º至360º 2.你以前学过哪些角？
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我们学过的角
0 90
锐角
90
直角
规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正
负，就好象数零无正负一样。
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用旋转来描述角，需要注意三个要素： 旋转中心、旋转方向、旋转量
➢ 旋转中心：作为角的顶点； ➢ 旋转方向：分为逆时针和顺时针两种； ➢ 旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度 的 绝对值可大于360º，于是就会出现720º， -540º等角度。.精品课件.13Fra bibliotek3．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，
那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，这样
的角叫做界限角。
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y
o 终边
终 边
终边
终
边
➢ 40、-330
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30° 390° -330°
y -3300
3900
300
x
o
390°=30°+360°=30°+1x360°
-330°=30°+(-1)x360° =30°7─501°x3=6300°°+2x360° ;
-690°=30°+(-2)x360° ;
与30°终边相同的角的一 般形式为：
1110°=30°+3x3600 ; -1050°=30°+(-3)x3600;
... ...
30°＋k·360°，（k ∈
Z）
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4. 终边相同的角
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的 集合S可表示为，
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z} 即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个 周角的和。
同， 280°是第四象限角，所以640°是第四象限角。
（2）因为-950°=130°+（-3）×360°，所以-950°的角与130°的角的
终边相同，130°是第二象限角，所以-950°是第二象限角。
（3）因为-1180°=260°+（-4）×360°，所以-1180°的角与260°的角
的终边相同，260°是第三象限角，所以-1180°是第三象限角。
终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；
终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍。
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例题分析：
【例1】在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角。
（1） 640° （2）-950° （3）-1180°
解：（1）因为640°=280°+360°，所以640°的角与280°的角的终边相
2100
-1500
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6600
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用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
➢ 角有正负之分 如：=210, = -150, =660。
➢ 角可以任意大 体操动作：旋转2周（360×2=720） 、3周（360×3=1080）
➢ 还有零角 一条射线，没有旋转。
注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负
(2) S={β|β=k·360º－21º,k∈Z}，
S中在-360º～720º间的角是
0×360º－21º=-21º；1×360º－21º=339º；
2×360º－21º=699º。
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小结：
0°～360°的角
任意角
正 角
象 限
终 边 相
负
角
同
角
的
角
S k 360o, k Z
所成的角。 这些例子不仅角范围不在0º～360º，而且方向不同，有必
要将角的概念推广到任意角。
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1. 任意角
任意角的定义：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。
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【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中 在-360º～720º间的角写出来：(1) 60º；(2) -21º
解：(1) S={β|β=k·360º+60º,k∈Z}， S中在-360º～720º间的角是 -1×360º+60º=-280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º。
x
始边第一象限角
➢ 310、 -60
终 第四象限角
边
➢ 230、-120
第三象限角
➢ 135、-240
第二象限角等
➢ 0、90、180、-90
界限角
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想一想
1. 指出它们是第几象限角： 420°、850°、-510°、-75° 一二三 四
2. 锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？ 锐角是第一象限角 30°、390°、-330°
小写希腊字母表示角：α、β、γ。。。
B
终边 α
顶点O
始边 A
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2. 角的分类
为了区别旋转方向： 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；
说明：零 角的终边 与始边重 合
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；
如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°
如果一条射线没有做任何旋转，称它形成了一个零角。
90 180 钝角
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思考1：时钟慢了5分钟，应
如何校准？分针转过了多少度？
时钟快了1.25小时 （1小时15分钟），应如何 校准？分针转过了多少度？
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转体三周
你知道她旋转了多少度？
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生活中有很多实例如： 如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转 体1080°”、“转体1260°”这样的解说； 再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转
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作业：
P99 练习：1、2
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