对偶理论与灵敏度分析1解析

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运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析

运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
定理4、最优性
若原问题和对偶问题都有可行解,则它们都有最优解。
最优性判别定理：
若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = Y*b，则 X*、Y*分别是问题 P和D 的最优解。
定理5、对偶性
若原问题有最优解,则对偶问题也一定有最优解，且目标函数值相等。
例1、
maxZ x1 2x2 3x3 4x4
（P）
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20 x14 0
试验证弱对偶性原理。
运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
解：
min W 20 y 1 20 y 2
（D）
y1 2 y2 1
2 2
2x1
+x3 3
x1- 2x2 + 3x3 4
x1，x2 0 ， x3 无非负限制
运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
练习2、已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中 x4、x5为松弛变量。试：（1）写出线性规划原问题。（2）写出对偶问题。（3）求对偶问题的最优解。
XB x1 x2 x3 x4 x5 b x3 0 1/2 1 1/2 0 5/2 x1 1 -1/2 0 -1/6 1/3 5/2 δj 0 -4 0 -4 -2
试用对偶性质证明原问题无界。
__
解：X =（0.0.0）是 P 的一个可行解，而 D 的第一
个约束条件不能成立（因为y1 , y2 ≥0)。因此，对偶问题不可行，由定理3推论可知，原问题无界。
运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
练习：试用对偶理论讨论下列原问题是否有最优解？
（1）
max Z 2 x1 2 x2

运筹学——线性规划的对偶理论与灵敏度分析

6
2021/7/26
原问题（LP）
对偶问题（DP）
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
a x a x a x b
21
1
22 2
2n n
2
s.t.
a x a x a x b
m1 1
m2
2
mn n
m
x
j
0,
(
j
1,
2,
, n)
1
2021/7/26
例2.1 资源的合理利用问题某工厂在计划期内安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，
已知资料如表2.1所示，问应如何安排生产计划使得既能充分利用现有资源有使总利润最大？
表2.1
I
II
资源总量
原材料
2
3
24
工时
5
2
26
利润(元)
4
3
2
2021/7/26
假设 x1、x2分别表示在计划期内生产产品I、II的件数，其数学模型为：
25
2021/7/26
26
2021/7/26
27
2021/7/26
例2.5 已知 min Z 3x1 2 2x3 5x4 9x5
x1
x2
2x3
5
x1 0, x2无约束, x3 0
11
2021/7/26
按照表2.2将线性规划问题化为对偶问题
minW 20y1 10y2 5y3
3y1 4 y2 y3 4
s.t.
2 y1 3y2 y3 5
y1
3y2
2

3对偶理论与灵敏度分析解析

X ≥0
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例：原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题问题无界
对偶问题无可行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可行解
问题无界
无可行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系，有两种不同的表述方法。（1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。（2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。

线性规划的对偶理论和灵敏度分析常见疑问解

第二章线性规划的对偶理论和灵敏度分析常见疑问解答1、研究线性规划对偶问题的经济意义何在？因为线性规划往往解决原料、设备、资金、人力等资源的最优配置问题，因此了解资源在最优配置下所创造的（边际）价值即机会成本或机会收益对于成本分析、资源计划、投资计划等都有较重要的作用。

此外，对偶规划也常和对资源的灵敏度分析联系在一起，对于更好地在变化环境中配置资源有一定的指导意义。

2、已知原线性规划问题如何写出其对偶问题？（1）如果原问题是MAX问题，则其对偶问题是MIN问题。

按下表可将其对偶问题写出。

（2）如果原问题是MIN问题，则其对偶问题是MAX问题。

按下表可将其对偶问题写出。

3、如何写出下述线性规划问题的对偶模型？min z=2x1+2x2+4x3x1+3x2+4x3≥22x1+x2+3x3≤3x1+4x2+3x3＝5x1≥0, x2≥0, x3无约束。

答：其对偶模型如下，max z=2y1+3y2+5y3y1+2y2+y3≤23y1+y2+4y3≤24y1+3y2+3y3＝4y1≥0, y2≤0, y3无约束。

4、如何快速求出以下只有一个约束方程的线性规划的对偶问题的最优解？Max Z=c1x1＋c1x2＋…＋c n x na1x1＋a1x2＋…＋a n x n≤bx1, x2,…, x n≥0a i, c i, b>0, i=1, 2, …, n.答：利用原问题与对偶问题间的相互转换关系，写出其对偶问题的模型如下，Min f=bya1y≥c1a2y≥c2……a n y≥c ny≥0因为，y≥, i=1, 2, …, n. 所以，其对偶问题的最优解y*=.5、如果原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，那么它的对偶问题中变量有何经济含义？原问题的模型形式如下。

其中，变量x j, j=1, 2,…, n, 是每种产品的产量；c j, j=1, 2,…, n, 是每种产品的单位利润；b i, i=1, 2,…, m, 是每种资源的总量，a ij表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i种资源的量，i=1, 2,…, m, j=1, 2,…, n.答：其对偶问题即有如下形式，对偶问题中的变量y k, k=1, 2,…, m, 可具有发现某种资源所创造的单位价值并对某种资源定价的经济含义。

对偶理论及灵敏度分析

问题的导出
工时材料单件利润
1 1 2
•出卖资源获利应不少于生产产品的获利; 约束 •价格应该尽量低，这样，才能有竞争力; 目标
•价格应该是非负的
A
B
1
4 3
C
1
7 3
拥有量
问题的导出
工时材料单件利润
1
1 2
3
9
用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格总利润最小保证A产品利润 min W=3y1+9y2 y1+y2≥2
保证B产品利润
保证C产品利润
y1+4y2≥3
y1+7y2≥3
售价非负
y1≥0
y2≥0
A
B
1
4 3
C
1
7 3
拥有量
问题的导出
工时材料单件利润
1
1 2
3
9
minW 3 y1 9 y2
y1 y 2 2 y 4y 3 1 2 s.t. y1 7 y 2 3 y1 0, y 2 0
对称形式的对偶问题
max Z CX
对偶问题的定义
AX b s.t. X 0
minW b Y
T
T
T T T A Y C s.t. T Y 0
或 min Yb
YA C s.t. Y 0
对称形式的对偶问题
4 y1 8 y 2 12 y 3 4 5 y 9 y 13y 2 1 2 3 3 6 y1 10 y 2 y1符号不限, y 2 0, y 3 0

运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)

5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
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小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
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类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22

第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析1总结

第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析主要内容：1、对偶问题及其性质；2、对偶单纯形法；3、灵敏度分析。

重点与难点：对偶问题与原问题的对应关系，对偶问题的基本性质，对偶单纯形法的求解步骤，灵敏度分析的方法。

要求：理解线性规划对偶问题的性质，熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧，能够用这些数学方法解决实际问题。

§ 1对偶问题的对称形式一、对偶问题弓侧，某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及 A 、B 两种原材料的消耗，该工厂每生产一件产品甲可获利 2元，每生产一件产品乙可获利 3元，问应如何安排计划才能使该工厂获利最多？解：设X i 、X 2分别为甲、乙两种产品的产量作一比较：若用一个单位台时和 4个单位原材料 A 生产一件产品甲，可获利 2元，那么生产每件产品甲的设备台 y^ 4y^ 2同理，将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。

即:2力 4y 33将工厂所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为则目标函数maxz 二2x 「3x 2x 「2x 2 岂8i4x 1 - 16 i4x 2 兰12约束条件-x 1,x^ 0(1)不再生产甲、乙产品，而将其出租或出售 3分别为出租单位设备台时的租金和出让单位原材料这时要考虑每种资源的定价问题，设A 、B 的附加额。

时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。

即:。

=8y 〔+ 16y 2 + 12y 3对工厂来说，••越大越好；但对接受者来说，支付的愈少愈好，所以工厂只能在满足》所有产品的利润前提下, 使其总收入尽可能小，才能实现其愿望。

为此，得到如下模型：min =8y 1 16y 212y 3"+4丫2工 2< 2y i +4y ^ 3 J j > 0 , j =1,2,3我们就称（2）为模型（1）的对偶问题。

对偶问题与灵敏度分析

②告诉经营者以怎样的代价去取得紧缺资源。 ③提示设备出租或原材料转让的基价。 ④告诉经营者补给紧缺资源的数量，不要盲目大量补给。 ⑤借助影子价格进行内部核算。
第一讲对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*

yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。

第2章：线性规划的对偶理论和灵敏度分析l

第二章线性规划的对偶理论和灵敏度分析
2.1 单纯性法的矩阵描述和改进的单纯性法*** 2.2 对偶问题的提出与线性规划的对偶理论** 2.3 影子价格与对偶单纯性法*** 2.4 灵敏度分析
2.1 单纯形法的矩阵描述
为了便于利用计算机求解大规模的线性规划问题，所以需要讨论单纯形法的矩阵描述。
y1 2 y 2
s .t
y1 3 y1
2
y2
2 y3 3 y3 5
对偶问
y1 y 2 y3 1
题
y 1 0 , y 2 0 , y 3 无约束
2.2.2 线性规划的对偶理论与基本性质*
对称性弱对偶性无界性最优性对偶定理（强对偶性）互补松弛性对偶关系在单纯形表中的关系
KK根1S据标K准形规范形 ,
输计基基入算 X利 BXBsBKBBs用:利XKs初1(B(用,(P0(hx始(Pj11xj(1,j)1,jP1,基h初(x,jP21xjx2,j2等 )j,1B2,初,0行,x,P,x等jj2变,mPjm,x)(jm,)行j换Pm非T)),j,1,T非变(X基,xB,PNX基j向K换msj2;N|)C,量向KTI(B;),sB矩C量,X,C0B阵PK矩NN|(,sj0ImNC;阵;b)|)CsNsB,;KN非BK;01KbB,);(基KC,sIo11|Nrb向0B，(B;h0K量b2110)1bB矩,，oK1br阵，=( hN|2B0)1K;B|0B1 K*=,
8
4x1
4 x2
x4 16 x5 12
x1, x2, x3, x4, x5 0
加入了松弛变量x3,,x4, x5表示没有被利用的资源，所以没有利润，故相应的价值系数均为零。

对偶理论与灵敏度分析(1)

17
对偶定理
是揭示原始问题的解与对偶问题的解之间重要关系的一系列定理。
18
2.4.4 对偶单纯形法
什麽是对偶单纯形法？对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始线性规划的一种方法——在原始问题的单纯形表格上进行对偶处理。注意：不是解对偶问题的单纯形法！
19
2.4.4 对偶单纯形法
1、两种方法的特点单纯形法特点：在保持基可行解的情况下，
显然：对称形式的对偶问题，若已知其中一个问题，立即就可以写出相应的对偶问题。
11
表2.13 对偶变换的规则
原问题 (max)
技术系数矩阵 A 价值系数 C 右端项 b
第 i 行约束条件为型第 i 行约束条件为型第 i 行约束条件为 = 型
决策变量 xj 0 决策变量 xj 0 决策变量 xj 不限
0 J
1/6 -1/6 0
[-2/3] -1/3 1
1 40
0 -1/4 1/4
1 1/2 -3/2
w
-17/2 15/2 0
0 2/7 3/2 25
原问题的最优解为(0,1/4,1/2),最优值为17/2
由上例得结论：
（1）当约束条件为“≥”时，不必引进人工变量，使计算简化。
（2）由对偶问题的性质知道：用单纯形法求解L.P 问题时，每一次迭代可得一个基解，这时检验数行的数是对偶问题的一个基解。原问题的松驰变量对应着对偶问题的决策变量，对偶问题的松驰变量对应着原问题的决策变量。在一个问题中是基变量，则在另一个问题中就是非基变量，反之亦然。
• （一）对称形式的对偶问题 • 比较上述的两个互为对偶问题：
max Z 3x1 5x2 4x3
2x1 3x2 1500 s.t. 2x2 4x3 800

第三章对偶理论及灵敏度分析

灵敏度分析 —图解法
2x1 + x2 = 400
上页下页返回
C B D
（斜率为0） x2 = 250
x1 + x2 = 300
（斜率为-1）
A
| E | | | 100 200 300 400
x1
对偶问题
分析资源系数b的改变产生的影响
Max Z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤ 310 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x 1、 x 2 ≥ 0
上页下页返回
对偶问题
► 问题：
上页下页返回
当这些系数中的一个或多个发生变化时，原最优解会怎样变化？当这些系数在什么范围内变化时，原最优解仍保持不变？若最优解发生变化，如何用最简单的方法找到现行的最优解？
► 研究内容：
对偶问题
研究线性规划中， aij , bi , c j 的变化对最优解的影响。
上页下页返回
1
min w = 15 y + 24 y + 5 y
2
3
Ⅰ 设备A 设备设备B 设备调试工序利润（利润（元） 0 6 1 2
Ⅱ 5 2 1 1
D 15时时 24时时 5时时
对偶问题
原问题
m z = 2x1 + x2 ax s.t. 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0
设备A 设：设备A —— 设备B 设备B –––– 调试工序 ––––
y1元／时 y2元／时 y3元／时
付出的代价最小，付出的代价最小，且对方能接受。且对方能接受。

运筹学-对偶理论及灵敏度分析

1 − 2 ≥
1, 2 ≥ 0
max =
=
≥0
s.t.ቊ
原问题
原问题与对偶问题
综上所述，我们可以归纳
原问题与对偶问题
= 21 + 32
1 + 22 ≤ 8
41
≤ 16
s. t.
42 ≤ 12
1 , 2 ≥ 0
min = 81 + 162 + 123
恒有cx≤ yb
③最优性：x是原问题的可行解，y是对偶问题的可行
解，且有cx=yb，则x是原问题的最优解，y是对偶问题
的最优解
④强对偶性：若原问题及对偶问题均有可行解，
则两者均具有最优解，且最优解的目标函数值相同
⑤松紧定理：在线性规划问题的最优解中，对应
某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取
40
X1
15
1
3/2
0
-1/2
1/2
0
0
X5
9
0
3/2
0
-3/2
1/2
1
50
x2
15/2
0
-1/4
1
3/4
-1/4
0
用x1‘替换x1
以x1‘作为换入变量，x1作为换出变量
灵敏度分析
增加一个约束条件的变化
计划生产如下所示：
产品
资源
产品A
产品B
资源总量
煤
1
2
30
劳动日
3
2
60
仓库
0
2
24
利润
40
50
产品A、B增加一道检验程序，A检测3小时/件，B检测2小时/件，

线性规划中的对偶问题与灵敏度分析

线性规划中的对偶问题与灵敏度分析线性规划是一种优化方法，广泛应用于各个领域的决策问题。

在线性规划中，对偶问题与灵敏度分析是两个重要的概念和工具，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

1. 对偶问题在线性规划中，对偶问题是指与原始问题相对应的一个问题。

它通过转换原始问题并构造一个新的问题，以便从不同的角度来解释和解决原始问题。

对偶问题能够提供原始问题的一些有用信息，并且在某些情况下，对偶问题的解与原始问题的解是相等的。

对偶问题的构造可以通过拉格朗日对偶性理论来完成。

该理论通过构造一个拉格朗日函数，将原始问题中的约束条件转化为拉格朗日乘子，从而得到对偶问题。

对偶问题的目标函数是原始问题的约束条件的线性组合。

解决对偶问题可以通过求解拉格朗日函数的最优化问题来实现。

对于线性规划问题，对偶问题的解可以通过求解一组线性方程或线性不等式来获得。

对偶问题的解不仅可以提供原始问题的一些信息，还可以用于检验原始问题的解的可行性和最优性。

2. 灵敏度分析灵敏度分析是在线性规划中评估解决方案对问题参数变化的响应程度的方法。

它可以帮助我们了解如果问题的参数发生变化，对解决方案的影响有多大，并做出相应的调整和决策。

灵敏度分析可以通过改变单个参数或多个参数来进行。

其中，常见的灵敏度分析包括目标函数系数的变化、约束条件右侧常量的变化和新增或取消约束条件。

这些变化可以用来模拟实际情况中可能发生的条件变化，以及评估解决方案的稳定性和可行性。

在进行灵敏度分析时，我们可以通过计算变动参数对解决方案的影响程度来得到一些关键指标。

例如，参数的变化导致目标函数值的变化量称为“影子价格”，而约束条件右侧常量的变化导致解决方案中相应决策变量的变化量，则称为“机会成本”。

灵敏度分析的结果可以帮助我们确定参数的重要性，判断解决方案的可行性和稳定性，以及找到最佳的决策方案。

在实际应用中，灵敏度分析可以帮助我们应对不确定性和风险，做出更加准确和可靠的决策。

运筹学第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析

现在换个角度分析这个问题。假若由于某种原因，该企业（称为甲方）打算放弃这些生产项目，而另一家企业（称为乙方）
希望收购这些资源。那么，如何确定三种
资源的转让价格，在自己方不受损失的前
提下、又要乙方愿意接受，使买卖能够成
交？
设三种资源的定价分别为y1，y2，y3 （单位：百元）。对甲方来说，企业甲利用 1吨原料A和5吨原料B，生产一单位甲产品，收入2百元。转让这些原料的收入不能低于2
对偶问题的特点
•若原问题目标是求极大化，则对偶问题的目标是极小化，反之亦然 •原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩阵互为转置矩阵 •极大化问题的每个约束对应于极小化问题的一个变量，其每个变量对应于对偶问题的一个约束。
一般线性规划问题的对偶问题
对偶问题对应表
max z CX AX b X 0
这个性质说明，原问题与对偶问题是相互对偶的。
定理2（弱对偶定理）设
X ( x1 , x2 ,, xn )T
与 Y ( y1 , y2 ,, ym ) 分别是（ 2.3）与（2.4）的可行解，则
C X Yb
。
推论1 极大化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个下界。推论2 极小化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个上界。
i 1
m
m aij yi c j i 1 y 0 i
j 1,2,, n i 1,2,, m
（2.4）
我们称线性规划（2.4）为线性规划（2.3）的对偶规划。
写成矩阵形式，原问题
max z CX AX b X 0 它的对偶问题

大纲解读第三章对偶问题与灵敏度分析

问题有最优解则原（对偶）问题也有最优解，且它们的目标函数值相等，（5）互补松弛性定理。
2、领会：（1）对称性，（2）弱对偶性，（3）无界性，（4）强对偶定理，（5）互补松弛性定理及其应用。
3、应用：运用互补松弛性定理求解线性规划问题。
（三）对偶解的经济解释
1、识记：（1）对偶解与影子价格，（2）影子价格的特点。
一、考核知识点（一）对偶模型（二）对偶性质（三）对偶解的经济解释（四）灵敏度分析
பைடு நூலகம்
（一）对偶模型 1、识记：（1）原问题与对偶问题的关系，（2）
对偶问题的转换。 2、领会：（1）研究对偶问题的原因，（2）原问题与对偶问题的关系。
（二）对偶性质
1、识记：（1）对偶问题的对偶就是原问题，（2）弱对偶性，（3）对偶（原）问题无可行解则原（对偶）问题不可能有最优解，（4）对偶（原）
2、领会：影子价格的经济指导意义和管理决策价值。
3、应用：怎样利用影子价格改善经营策略。
（四）敏感性分析
1、识记：（1）约束方程右边项变化的敏感分析，（2）增加新的决策变量的敏感性分析，（3）目标函数系数变化的敏感性分析，（4）投入或技术系数变化的敏感性分析。
2、领会：（1）敏感性分析的意义及其必要性，（2）如何进行敏感性分析。