对偶理论与灵敏度分析1解析

≤0 量
无约束
目标函数变量的系数
约束条件右端项
15
[eg.5]min z = 2x1 + 3x2 - 5x3 + x4
x1 + x2 - 3x3 + x4 ≥ 5
4 x1
16
4x2 12
x1, x2 0
10
一般的，原问题：max z = CX 对偶问题：min w = Yb
比较： max z
决策变量为n个
约束条件为m个
“≤”
AX ≤ b X ≥ 0 YA ≥ C Y ≥ 0
min w
约束条件为n个 决策变量为m个
“≥”
11
§3 对偶问题的化法
1、典型情况
min w = 3y1+4y2
2y1 + y2 ≥ 1 y1 +2y2 ≥ 2 3y1 +5y2 ≥ 4 y2 ≥ 0，y1无约束
一般，原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量无约束。
13
3、含“≥”的max问题
[eg.4]max z = x1 + 2x2 + 4x3
2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3 x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4
0 X5 12 0
σj
2
0 X3 2 1 *
0 X4 16 4
3 X2 3 0
σj
2
2 X1 2 1
0 X4 8 0
3 X2 3 0
σj 0
3
0
X22
X13
0
0
4*
0
Baidu Nhomakorabea
3
0
0
1
0
0
1
0
0
0
01
0 -4 10
0
-2
0
0
X04
X05
1
0
4 -
0
1
3
0
0
0 -1/2 2
1
0
4
0 1/4 -
0 -3/4
0 -1/2
4 X1
+ X4 =16
4 X2 + X5 =12
X1， X2 ≧0
2 3 0 00
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
0 X3 8 1 0 X4 16 4 0 X5 12 0
2 0 4*
1 0 0
00 10 01
j 2 3 0 0 0
第7页
2
CB XB b
0 X3 8
X11
0 X4 16 4
[eg.2]ma2xx1xz,1x=+2,xx2x12x3+2≥+2xx023
+≤x3 ≤
6 8
对偶：min w = 6y1 + 8y2
2y1
≥1
y1 + 2y2 ≥ 2
y2 ≥ 1
y1,y2 ≥ 0
12
2、含等式的情况
[eg.3]max z = x1 + 2x2 + 4x3
2x1 + x2 + 3x3 = 3 x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4
M2: min w = 8y1 + 16y2 + 12y3
Ⅰ
y1 + 4y2
≥ 2 设备台时 1
2y1
+ 4y3 ≥ 3
y1,y2,y3 ≥ 0
材料A 材料B 利润
4 0 2
Ⅱ 限制 2 8台时 0 16kg 4 12kg 3
则M2为M1的对偶问题， M1 max z 2x1 3x2
反之亦然。
x1 2x2 8
矩阵单纯形表:
IX B B1NX N B1b
0 X B
N
X
N
z
CB B1b
0
1
I 0
B1N B1b
N - CB B1b
4
§1 单纯形法的矩阵描述
IX B B1NX N B1b
0X B
N
X
N
z
CB B1b
令 XN 0 得 X B B1b,
z CB B1b,
N CN CB B1N
x1,x2,x3 ≥ 0
2x1 + x2 + 3x3 ≤ 3 -2x1 - x2 - 3x3 ≤-3
对偶：min w = 3y1’-3y1”+4y2 2y1’-2y1”+ y2 ≥ 1 y1’- y1”+2y2 ≥ 2 3y1’-3y1”+5y2 ≥ 4 y1’,y1”,y2 ≥ 0
令y1=y1’-y1”,则：
y1 + 2y2 ≥ 2 3y1 + 5y2 ≥ 4 y1 ≤ 0,y2 ≥ 0
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线性规划的对偶关系
原问题（或对偶问题) 目标函数max z
n个 变 ≥0 量 ≤0
无约束
约 m个 束≤ 条≥ 件= 约束条件右端项 目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题)
目标函数min w
n个 约
≥束
≤条
=件
m个
≥0 变
基可行解
X
B1b
0
目标函数 z CB B1b
注! 使 N 0的B为最优基,
若能找到最优B,则最优解直接由上式求出.
5
求解步骤：
1.取可行基B, 求B 1
2.若 N CN CB B1N 0,则得最优解,否则转下一步.
3.基变换
若
max{( j
N
)
j
0}
( N
)k ,则xk入基
若
min i
( B 1b)i (B1Pk )i
(B1Pk )i
0
( B 1b)l (B1Pk )l
,
则l行对应的xl出基.
4.得到新的B, 求出此B的B 1.
重复2 ~ 4步直到求出结果.
6
单纯形法步骤
例:Max z=2 X1+ 3X2 + 0 x3+ 0 x4+ 0 x5
X1+ 2 X2 + X3 =8
1
2*
0 1/4
0
1/4
8
§2 对偶问题的提出
[eg.1]制定生产计划
M1: max z = 2x1 + 3x2
1x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1，x2 ≥ 0
Ⅰ
设备台时 1
材料A
4
材料B
0
利润
2
Ⅱ 限制 2 8台时 0 16kg 4 12kg 3
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现在出租，设y1为设备单位台时的租金 y2,y3为材料A、B转让附加费(kg-1)
A为m×n阶矩阵 RankA=m ,取B为可行基, N为非基，
X
X X
B N
,
A
B
N , C CB
CN
max z CB X B CN X N
BXB NX N b
X
B
,
XN
0
3
§1 单纯形法的矩阵描述
BXB NX N b CB X B CN X N z 0 B1BXB B1NX N B1b 0 X B (CN CB B1N ) X N z CB B1b
第二章 对偶理论与灵敏度分析
复习与小结
1
§1 单纯形法的矩阵描述 §2 改进单纯形法 §3 对偶问题的提出 §4 线性规划的对偶理论 §5 对偶问题的经济解释——影子价格 §6 对偶单纯形法 §7 灵敏度分析
2
§1 单纯形法的矩阵描述
线性规划问题： 设max z = CX AX = b X≥0
x1,x2,x3 ≥ 0
-2x1 - x2 - 3x3 ≤-3
对偶：min w = -3y1’ + 4y2 -2y1’ + y2 ≥ 1 -y1’ + 2y2 ≥ 2 -3y1’ + 5y2 ≥ 4 y1’,y2 ≥ 0
令y1 = -y1’，则： min w = 3y1 + 4y2 2y1 + y2 ≥ 1