复合函数的导数及导数的运算法则

练习、已知函数f x 在R上满足f x=2 f 2 x x2 8x 8,
则曲线y=f x 在点1，f 1 处的切线方程为 A
A.y=2x-1
B . y=x
C .y=3x-2
D.y=-2x+3
课堂小结
复合函数的导数
一般地，设函数 u＝(x)在点 x 处有导数 u'x＝'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处 有导数 y'u＝f '(u) ，则复合函数 y＝f((x)) 在
3
(1). y' 2sin(4x 2 )
3
(2) y (esin x 1)2 (2) y 2(esin x 1) • esin x • cos x
ex ex (3) y ex ex
(3)
y
4e 2 x (e2x 1)2
(4) y ln | x |
(4) y 1 x
注：
1.复合函数的求导法则,通常称为链条法则, 因为 它像链条一样，必须一环一环套下去,而不能丢 掉其中任何一环,由外到里,层层求导。
点 x 处也有导数，且 y'x ＝y'u·u'x．
或写作 f 'x ((x))＝f '(u) '(x)．
复合函数对自变量的求导法则，即复合函 数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘中间变量对自变量的导数．
课后作业
基础训练及活页
解: (1)Q y u2 , u 2x 3
而yu' 2u, u'x 2
又y'x yu' • u'x
y'x 2u • 2 4u 8x 12
新课讲解
例 1 求下列函数的导数．
（2）y e0.05x1
解:(2)Q y eu , u 0.05x 1
y'x yu' • u'x (eu )'• (0.05x 1)'
(1)f(x2);
(2)f( 1 x2 );
解: (1) y f (x2 ) (x2 ) 2xf (x2 );
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2
说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.
而yu'
cos u, u'x
1
1 x2
又y
' x
yu' • u'x
y'x
(1
1 x2
)cos( x
1 )
x
练习
求下列复合函数的导数
2) y ln 3 e x 2
解: 2) Q y l n u, u 3 v , v e x 2
而yu'
1 u
,
uv'
1 33 v2
,
v
' x
ex
又y'x
“轮流求导之和”
特别地 :[cg(x)] cg(x)
法则3:
f (x) g( x)
f
(
x
)
g(x)
g( x
f(
)2
x)
g(
x
)
(
g(
x
)
0)
“上导乘下,下导乘上,差比下方”
新课讲解
1.复合函数的概念:
对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以 表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)
1). y
(2x3
x
1 )4 1). y' x
4(2 x 3
x
1 )3(6x2 x
1
1 x2
)
2). y 1 1 2x2
2). y'
2x
(1 2x2 ) 1 2x2
3). y x 1 x2
3). y' (1 2x2 ) 1 x2
例 2 求下列函数的导数．
(1). y sin2(2x )
0.05eu 0.05e0.05x1
新课讲解
例 1 求下列函数的导数．
（3）y sin( x ) (其中，均为常数)
解: (3)Q y sin u, u x
y'x yu' • u'x (sin u)'• ( x )'
cos u cos( x )
练习:
求下列函数的导数
分析三个函数解析式以及导数
yu , ux ,
y
' x
之间的关系:
y'
y
' x
yu
ux
新课讲解
复合函数的导数
一般地，设函数 u＝(x)在点 x 处有导数 u'x＝'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处 有导数 y'u＝f '(u) ，则复合函数 y＝f((x)) 在
点 x 处也有导数，且 y'x ＝y'u·u'x．
新课讲解
例 1 求下列函数的导数．
（1）y (2x 3)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）y e0.05 x1
（3）y sin( x ) (其中，均为常数)
注：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函 数的复合关系，选好中间变量，在熟练以后， 就不必再写中间步骤。
新课讲解
例 1 求下列函数的导数．
（1）y (2x 3)2
3)y 3u ,u log2 v ,v x2 2x 3
问题：如何求y (3x 2)2 的导数？
① y'x y' [(3x 2)2]' 9x2 12x 4 '18x 12
② 其实，y (3x 2)2 是一个复合函数，
由 y u2 与 u 3x 2复合而成.
yu 2u 6x 4 ; ux 3 ;
6.若f(x) = e x，则f ' (x) = e x
7.若f(x) =
loga x，则f ' (x) =
1 xlna
8.若f(x) = lnx，则f ' (x) = 1 x
复 习:
二,导数的运算法则:
法则1: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2: f (x)• g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
2.利用复合关系求导前，如果函数关系式可以化 简，则先化简再求导会更简单。
练习
求下列复合函数的导数
1)y sin(x 1 ) x
2) y ln 3 e x 2
3)y log3 cos x2
练习
求下列复合函数的导数
1)y sin(x 1 ) x
解: 1)Q y sin u, u x 1 x
和u=g(x)的复合函数. 记作y=f(g(x))
新课讲解
问题1:指出下列函数的复合关系 1)y = sin(x + 1 ) x
2)y ln 3 e x 2 , 3)y 3log2(x2 2 x3)
解: 1)y = sinu , u = x + 1
x 2)y ln u,u 3 v ,v e x 2
复 习:
一,基本初等函数的导数公式
1.若f(x) = c，则f ' (x) = 0
2.若f(x) = xn，则f ' (x) = nxn-1 (n R)
3.若f(x) = sinx，则f ' (x) = cosx
4.若f(x) = cosx，则f ' (x) = -sinx
5.若f(x) = a x，则f ' (x) = a x lna
yu'
• uv'
•
v
' x
y'x
1
1
3 e x 2 3 3 (e x 2)2
ex
ex 3(e x 2)
练习
求下列复合函数的导数
3)y log3 cos x2
解:
y
c
os
1 x2
•
ln
3
•
(
sin
x
2
)
•
(
x
2
)
2x • tan x2 ln 3
例3:设f(x)可导,求下列函数的导数:
则 yu 2u , ux 3, 从而 yx yu ux 18x 12
2)法则可以推广到两个以上的中间变量.
y f (g(u(x)))
y'
f
' g
•
g'u
•
ux'
3)在书写时不要把 fx[( x)] 写成 f [( x)] ,两者是不
完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中
间变量 ( x) 的求导.
或写作 f 'x ((x))＝f '(u) '(x)．
复合函数对自变量的求导法则，即复合函 数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘中间变量对自变量的导数．
新课讲解 复合函数的导数：
注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
如:求函数y=(3x-2)2的导数, 令y=u2,u=3x-2,