椭圆规范标准方程
椭圆定义及标准方程
椭圆定义及标准方程椭圆是平面上的一个几何图形，具有许多独特的性质和特点。
在数学和几何学中，椭圆是一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆的定义及其标准方程，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2被称为焦点，常数2a被称为椭圆的主轴长度。
椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度之比，即e=c/a，其中c为焦距。
当e小于1时，椭圆是一个闭合曲线，当e等于1时，椭圆是一个半开曲线，当e大于1时，椭圆是一个开曲线。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
根据椭圆的定义，我们可以得出椭圆的标准方程的几何意义，在椭圆上任意一点P(x, y)，到两个焦点的距离之和等于常数2a。
根据勾股定理，我们可以得出x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1这一标准方程。
除了标准方程外，椭圆还有其他一些常见的方程形式，如参数方程和极坐标方程。
参数方程可以表示为x = acosθ，y = bsinθ，其中θ为参数，a和b同样为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
极坐标方程可以表示为r = a(1ecosθ)，其中r为极径，θ为极角，e为离心率。
在实际应用中，椭圆有着广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道往往是椭圆形的；在工程学中，椭圆的性质被广泛应用于光学、天线设计等领域；在艺术和建筑中，椭圆的形状被广泛运用于设计中。
因此，掌握椭圆的定义及其标准方程对于理解和应用这一概念都具有重要意义。
总之，椭圆是一个重要的几何图形，具有许多独特的性质和特点。
通过了解椭圆的定义及其标准方程，我们可以更好地理解和应用这一概念。
希望本文能够帮助读者对椭圆有一个更清晰的认识，并在相关领域的学习和工作中有所帮助。
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求椭圆是平面上一个点到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在解析几何中，椭圆是一种常见的曲线，它具有许多重要的性质和应用。
要求椭圆的标准方程，我们需要了解椭圆的定义和性质，并通过推导来得到其标准方程。
首先，我们来看一下椭圆的定义。
设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义可知，对于椭圆上任意一点P(x, y)，它到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程。
假设椭圆的中心为原点O(0, 0)，根据椭圆的定义可知，两个焦点的横坐标分别为c和-c，纵坐标均为0。
设椭圆上一点P(x, y)，则根据点到焦点的距离公式可得：√((x-c)² + y²) + √((x+c)² + y²) = 2a。
整理得：√((x-c)² + y²) = 2a √((x+c)² + y²)。
两边平方得：(x-c)² + y² = (2a √((x+c)² + y²))²。
展开得：x² 2cx + c² + y² = 4a² 4a√((x+c)² + y²) +(x+c)² + y²。
化简得：x² 2cx + c² + y² = 4a² 4a√((x+c)² + y²) + x² + 2cx + c² + y²。
消去相同的项得：4cx = 4a² 4a√((x+c)² + y²)。
整理得：cx = a² a√((x+c)² + y²)。
椭圆定义及其标准方程
焦点性质
总结词
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，且与椭圆中心距离等于长轴长度减去短轴长度。
详细描述
对于标准椭圆方程，其长轴和短轴长度分别为a和b，焦距为c，满足关系c = sqrt(a^2 - b^2)。椭圆的两个焦点 位于长轴的端点，与椭圆中心的距离等于c。
顶点性质
总结词
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点，分别有四个顶点，分布在椭圆的四个象限内。
性质
椭圆具有对称性，关于x 轴、y轴和原点都是对称 的。
应用
在平面几何中，椭圆常用 于解决与圆、直线、三角 形等图形相关的问题。
在解析几何中的应用
定义
在解析几何中，椭圆用直角坐标方程表示为 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
性质
解析几何中的椭圆具有明确的参数关系，可以通过参数方程进行描 述。
详细描述
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点。由于椭圆关于原点对称，因此有四个顶点，分 布在椭圆的四个象限内。这些顶点分别是长轴和短轴与椭圆的交点，对于标准椭圆方程，
长轴和短轴的长度分别为a和b。
04
椭圆的几何意义
在平面几何中的应用
01
02
03
定义
椭圆是平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的 轨迹。
椭圆的切线性质
切线与焦点
通过椭圆上任意一点的切 线与两个焦点形成的角是 直角。
切线长度
切线长度等于椭圆上该点 到最近焦点的距离。
切线性质定理
切线与通过切点的长轴或 短轴垂直。
椭圆的参数方程
参数方程定义
椭圆的参数方程是一种 表示椭圆上点的坐标的 方式，通常使用三角函 数来表示。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是一种特殊的曲线，与圆形相似，但略有变形。
它在数学、几何学和物理学等领域中具有重要的应用。
本文将介绍椭圆及其标准方程，包括椭圆的定义、性质、参数方程和标准方程。
椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，它们确定了椭圆的形状和大小。
椭圆的形状由椭圆的离心率确定，离心率是焦点距离的比例离心率小于1，等于1时是一个圆形，大于1时是一个双曲线。
椭圆的性质：1.对于给定的两个焦点和恒定的距离之和，椭圆上的所有点到两个焦点的距离之和始终相等。
2.椭圆的中心是两个焦点的中点。
3.椭圆的长轴是两焦点之间的距离，短轴是椭圆的纵坐标轴上的最大距离。
4.椭圆的离心率定义为焦距除以长轴。
离心率小于1，等于1时是一个圆，大于1时是一个双曲线。
5.椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。
椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点。
假设椭圆的中心是原点，长轴平行于x轴，短轴平行于y轴。
则椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t的取值范围是[0,2π]，每个t对应椭圆上的一个点。
椭圆的标准方程：椭圆的标准方程是一种用代数表达式来描述椭圆的方程。
标准方程基于椭圆的中心和长轴短轴的定义。
假设椭圆的中心是(h,k)，长轴和短轴的长度分别是2a和2b。
则椭圆的标准方程为：(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1标准方程的推导：为了推导椭圆的标准方程，我们可以先考虑椭圆的定义。
由于椭圆上的任意一点到焦点的距离之和等于常数，我们可以设椭圆上一个点的坐标为(x,y)。
根据焦点的位置，我们可以得到以下两个方程：√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a其中c为焦点到原点的距离。
由于离心率的定义为e=c/a，我们可以得到c=ea。
椭圆标准方程推导过程
椭圆标准方程推导过程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设F1(-c,0),F2(c,0)（c＜a),点P(x,y),则PF1＋PF2=2a，即√((x＋c)²＋y²)＋√((x－c)²＋y²)=2a，整理得(x＋c)²＋y²＋(x－c)²＋y²＋2√((x＋c)²＋y²)√((x－c)²＋y²)=4a ²，即2x²＋2y²＋2√((x²＋2cx＋c²)＋y²)√((x²－2cx＋c²)＋2y²)=4a²，整理得x²＋y²＋√((x²＋y²)＋2cx＋c²)√((x²＋y²)－2cx＋c²)=2a²，整理得(x²＋y²)²＋2a²cx＋a⁴＝a²(x²＋y²)，即x²＋y²＋2a²cx＋a⁴＝a²(x²＋y²)，整理得x²(a²－c²)＋y²a ²＝a²(x²＋y²)，即(x²/a²)＋(y²/b²)＝1，其中b²=a²－c²。
椭圆的标准方程为(x²/a²)＋(y²/b²)＝1。
其中，a为椭圆长半轴长，b为椭圆短半轴长，c为椭圆的焦点之间的距离。
推导过程如上所示，通过数学推导可以得到椭圆的标准方程。
这个标准方程的形式简洁明了，能够直观地反映出椭圆的形状特征。
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距.(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF=，0＜e ＜1的常数}.2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -=3.椭圆一般方程两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。
与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。
5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。
与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为 ，6：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221=范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程 ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=x y O F F PA AB 11121222M M K K7．性质：对于椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：1.范围；②对称轴、对称中心；③顶点；④焦点、焦距；⑤准线方程；⑥离心率. 焦半径c a PF c a PF -=+=min max,. 2.焦准距c b p 2=；两准线间的距离c a 22=；通径长22b a⨯.半通径.3.最大角()12122max F PF F B F ∠=∠4.8.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;9.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔10.弦长公式11．对椭圆方程22221x ya b +=作三角换元可得椭圆的参数方程：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ，θ为参数．12．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：13对椭圆：12222=+b x a y ，则k AB =2020a xb y -．第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP . 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-.这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =-----精心整理，希望对您有所帮助!。
标准椭圆方程
标准椭圆方程椭圆是一种常见的几何图形，它在数学和工程领域都有着重要的应用。
在本文中，我们将讨论椭圆的标准方程及其性质，希望能够帮助读者更好地理解和运用椭圆。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，它表示焦点到椭圆中心的距离与长轴长度的比值。
根据离心率的不同取值，椭圆可以分为圆（e=0）、椭圆（0<e<1）和双曲线（e>1）三种情况。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。
根据椭圆的定义，我们可以得出椭圆的性质：1. 椭圆的中心在坐标系的原点，即(h,k)=(0,0)。
2. 椭圆的长轴与短轴分别与x轴和y轴平行。
3. 椭圆关于x轴和y轴对称。
4. 离心率e的取值范围为0<e<1。
5. 椭圆的焦点到中心的距离为c=ae。
在实际问题中，我们经常需要根据给定的条件来确定椭圆的标准方程。
例如，已知椭圆的焦点坐标和长轴长度，我们可以通过简单的推导得出椭圆的标准方程。
又如，已知椭圆上的两个点和离心率，我们也可以利用这些信息来确定椭圆的标准方程。
除了标准方程外，椭圆还有其他一些常见的参数方程和极坐标方程，它们在不同的问题中有着重要的应用。
我们可以根据具体的问题要求选择合适的方程形式来描述椭圆。
最后，让我们来总结一下本文的内容。
我们首先介绍了椭圆的定义和性质，然后讨论了椭圆的标准方程及其推导方法，最后提到了椭圆的其他方程形式。
希望本文能够帮助读者更好地理解和运用椭圆的相关知识。
总之，椭圆作为一种重要的几何图形，在数学和工程领域有着广泛的应用。
通过学习椭圆的标准方程及其性质，我们可以更好地理解和运用椭圆，为实际问题的解决提供帮助。
椭圆的标准方程及其性质
a2
c
叫做椭圆相对于焦点F(c，0) ， 叫做椭圆相对于焦点
常数e= 叫做椭圆的离心率 准线 常数 a 叫做椭圆的离心率. 的准线.常数 c (0<e<1)叫做椭圆的离心率
基础训练
标准方程 图 形 范 围 长轴长 短轴长
填写下面表格
5x2＋16y2＝80
4x2＋y2＝16
顶点坐标 离心率 准线方程
到定点F(c，0)的距离和它到定直线l: x= c ， 的距离和它到定直线 的距离和它到定直线l 到定点 的距离的比是常数e= 的距离的比是常数 c (0<e<1)的点的轨迹 的点的轨迹
a
a2
叫做椭圆. 叫做椭圆 其中定点F(c，0)叫做椭圆的焦点， ， 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦点 其中定点 定直线l 定直线l: x=
变式训练
1.若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分， 1.若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分，则其 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分 1 离心率为 ； 3
2. 若椭圆 k + 8 + =1的离心率为 的离心率为 9
x
2
y
2
5 − 或 4 0.5，则k=_____ ， 4
变式训练
《五羊高考》 P209 五羊高考》 例题2 例题
椭圆的标准方程 与 几何性质
一、椭圆的标准方程与性质： 椭圆的标准方程与性质：
标准方程 图 形
x2 y2 + 2 =1 2 a b x2 y2 + 2 =1 2 b a
范 围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 长轴长 短轴长 焦 距 离心率
成轴对称；关于_______ _______成中心对称 关于_____、_____成轴对称；关于_______成中心对称
椭圆的标准方程及性质
一.椭圆曲线的介绍1.域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。
其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)：具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。
不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。
这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。
定义保证如下性质：随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0.这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）：P，Q不重合时：P，Q重合时：总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。
椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面：Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点：（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。
此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。
为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。
上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。
而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。
椭圆的标准方程
M
b o
M F2
x
F2 M
ox
F1
x2 y2 a2 b2
1
a b 0
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c)
a2 c2 b2(a c 0,a b 0)
看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.
学习小结: 椭圆的定义及其标准方程是学习椭圆其
他知识的基础. 学会运用定义思考,有时也是相当不错
的一个思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉 的方向转化,定义是最原始,也是最容易想到 的地方.
复 1习、椭回圆顾的定义、椭圆的标准方程
2、a、b、c之间的关系
3、练习
⑴椭圆x2/5＋y2/4＝1的焦点坐标是_(_±_1_,_0_)_；
椭圆上任一点P到两焦点的距离和为_2__5__；
② x2/25+y2/16=1
x2/144+y2/169=1
x2 ( y 5)2 x2 ( y 5)2 26
(7)求与椭圆x2/5＋y2/4＝1有公共焦点， 且过点(3,0)的椭圆的标准方程。
x2/9＋y2/8＝1 变式：求经过点(-2,3)且与椭圆 9x2＋4y2＝36有公共焦点的椭圆方程
(D) ( 9 ,+∞) 2
若表示椭圆呢? C
思维挑战题: 已知圆 B: ( x 1)2 y2 16 及点 A(1, 0) ,C 为
圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交
点 P 的轨迹方程. x2 y2 1
分析条件发现:4 3
AP BP 4
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为 焦点的椭圆.
椭圆标准方程及几何性质
椭圆的离心率
离心率是描述椭圆扁平程度的量，用 $e$表示。
VS
离心率定义为$e = frac{c}{a}$，其中 $c$是焦距，$a$是长轴半径。
03
椭圆的参数方程
参数方程的定义
参数方程
通过引入参数，将椭圆上的点与一组有序数对（参数）关联起来，表示椭圆上 的点的一种方法。
参数方程的一般形式
x=a*cos(t)x = a cos(t)x=a∗cos(t) 和 y=b*sin(t)y = b sin(t)y=b∗sin(t)，其中 (a,b) 是椭圆的长短轴长度，t是参数。
通过极坐标方程，可以方便地解决与椭圆相关的几何问题，例如求 交点、判断点是否在椭圆上等。
05
椭圆的焦点三角形
焦点三角形的性质
焦点三角形是等腰三角形
01
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，因此焦点三
角形是等腰三角形。
顶角为直角
02
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之差与到另一焦点的距离
之比为常数，因此顶角为直角。
当长短轴长度一定时，顶角越大，焦 点三角形面积越大。
焦点三角形的周长
01
02
03
周长公式
焦点三角形的周长公式为 (P = 2a + 2c)，其中 (a) 为长轴长度，(c) 为焦距。
周长与长短轴关系
当长短轴长度一定时，离 心率越大，焦点三角形周 长越大。
周长与离心率关系
当长短轴长度一定时，长 短轴长度越接近，焦点三 角形周长越小。
THANKS
感谢观看
参数方程的应用
简化计算
在解决与椭圆相关的数学问题时，使用参数方程可以简化计算过程，特别是涉及到三角函数的问题。
椭圆规范标准方程
椭圆标准方程【知识点】知识点一 椭圆的定义(1)我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，2a>|F 1F 2|}.(3)2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a >|F 1F 2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F 1F 2| 动点的轨迹是线段F 1F 2 2a <|F 1F 2| 动点不存在，因此轨迹不存在【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c 一定成立吗？ 不一定，只需a>b ，a>c 即可，b ，c 的大小关系不确定【问题二】若两定点A 、B 间的距离为6，动点P 到两定点的距离之和为10，如何求出点P 的轨迹方程？ 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x ，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10，所以x －32＋y2＋x ＋32＋y2＝10，即点P 的轨迹方程为x225＋y216＝1.椭圆标准方程的两种形式 焦点位置标准方程焦点焦距椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0，1)，焦距|F 1F 2|＝2.类型一：椭圆的定义【例1】点P(－3，0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹.【变式】若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程.即x －32＋y －02－x ＋32＋y －02＝3，整理得x 294－y 2274＝1(x <0).方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3，0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆.设M (x ，y )，据题，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3，【变式2】 下列命题是真命题的是__②__.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ①已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ①到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.类型二：求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程【例2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－12)的椭圆的标准方程.方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a2＋132b 2＝1，0＋－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a>b>0知不合题意，故舍去②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a2＋x 2b 2＝1(a >b >0).①2<2，故点P 的轨迹不存在；①因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；①到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a 2＋132b 2＝1，－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，m ≠n).则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.【变式】求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程.据题可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.总结：(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m>0，n>0). (2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1 (a >b >0，b 2>－λ)，与椭圆y 2a2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ).【变式2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； 解：设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).据题2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.（2）椭圆过点(3，2)，(5，1)；设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A>0，B>0，A ≠B)，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1.（3）椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程【例3】已知一动圆M 与圆C1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 总结：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值.【变式3】已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长据题C 1(－3，0)，r 1＝1，C 2(3，0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，半径为R ， 则|MC 1|＝1＋R ，|MC 2|＝9－R ，故|MC 1|＋|MC 2|＝10， 据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程. 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝253，由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5.即a ＝5.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴. 在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609， ∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上， 故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.类型三: 椭圆中焦点三角形问题【例4】已知P 是椭圆y 25＋x 24=1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积.解：由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3).∴ ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－43.【例5】已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上.若|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小.解：由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.【变式】(1)在椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(2)已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.（1）S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y 0|＝c |y 0|.12F PF S △在①PF 1F 2中，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.①根据余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝4c 2. ①所以|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos α.根据三角形的面积公式，得 ＝12|PF 1||PF 2|sin α＝12·2b 21＋cos α·sin α＝b 2·sin α1＋cos α.又因为sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝sin α2cos α2＝tan α2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan α2.（2）由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在①PF 1F 2中，由勾股定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF1|2＋4.解得|PF1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.总结：(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x ，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|＋|MF 2|＝2a 列方程， 并将其坐标化为x ＋c 2＋y 2＋x －c 2＋y 2＝2a . ①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b ，令b 2＝a 2－c 2，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). ②知识点椭圆标准方程的认识与推导【问题1】椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于xa与yb的平方和，并且分母为不相等的正值．【问题2】依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．【问题3】观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．(1)椭圆的标准方程的形式(2)方程22(3)椭圆方程中参数a ，b ，c 之间的关系为____a 2＝b 2＋c 2____．类型一 椭圆标准方程的确定 例1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程．解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时， 设椭圆的标准方程为y 2a2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，12a 2＋(－23)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．【变式1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两点(0,2)和(1,0)． 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知： 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6. ∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹． 解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①， 得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.所以点M 的轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆．反思与感悟 如果一个动点P 随着另一个在已知曲线上运动的动点Q 而运动，则求P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 跟踪训练2 如图所示，B 点坐标为(2,0)，P 是以O 为圆心的单位圆上的动点，∠POB 的平分线交直线PB 于点Q ，求点Q 的轨迹方程． 解 由三角形角平分线性质得|BQ ||QP |＝|OB ||OP |＝2. ∴BQ →＝2QP →.设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －22，y 0＝3y 2.又∵点P 在单位圆x 2＋y 2＝1上． ∴(3x －22)2＋(32y )2＝1. ∴点Q 的轨迹方程为(3x －2)24＋94y 2＝1.。
椭圆的定义及标准方程
1、椭圆的定义： 、椭圆的定义：
椭圆定义
平面内到两个定点 的距离之和等于常 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 大于|F 椭圆。 数（大于 1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 ）的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 焦点 M 叫做椭圆的焦距。 叫做椭圆的焦距。 焦距
y x + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0 )
它也是椭圆 的标准方程。 的标准方程。
这样建立平面直角坐标系椭圆方程会是什 么样？ 么样？
y
M ( x, y )
F1 O F2
x
( x − c) y + 2 = 1 (a > b > 0 ) 2 a b
2 2
椭圆的标准方程
思考四: a、 思考四: a、b、c的几何意义
M
F1 F2
动画
椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程 、
怎样建立平面直角坐标系呢？ 怎样建立平面直角坐标系呢？
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
椭圆的标准方程
x y + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0)
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
这个方程叫做椭圆的标准方程， 这个方程叫做椭圆的标准方程， 椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 轴上。 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。 焦点在x 如果椭圆的焦点在y 轴上， 如果椭圆的焦点在y 轴上，用类似的 方法，可得出它的方程为： 方法，可得出它的方程为：
高中椭圆的知识点总结
高中椭圆的知识点总结椭圆是数学中的一个重要概念，具有很多应用。
在高中数学中，椭圆也是一个必修的内容，考试中经常会涉及到相关的知识点。
在本文中，我们将对高中椭圆的知识点进行总结和归纳。
一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2被称作椭圆的焦点，定长2a被称为椭圆的长轴，长轴的中点O被称为椭圆的中心，距离中心最远的两点A和B被称为椭圆的顶点，椭圆的离心率为e=(F1F2)/2a。
二、椭圆的方程椭圆的标准方程为 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, 其中a>b>0，a为长轴长度，b为短轴长度。
当椭圆的中心不在坐标原点时，可通过平移变换将其移到原点，然后再求解方程。
三、椭圆的性质1. 椭圆的中心位于坐标原点或者与坐标轴的交点上。
2. 椭圆的长轴是平行于x或y轴的直线，短轴是垂直于长轴的直线。
3. 椭圆的离心率e=(F1F2)/2a, e<1。
4. 椭圆的焦点与顶点之间的距离F1A、F2B互相相等，且等于椭圆的长轴长度2a。
5. 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于定长2a。
6. 椭圆的面积为πab。
7. 椭圆的周长无法用初等函数表示，通常用级数来表示。
四、椭圆的几何意义椭圆的几何意义可以简单地用两条绳子相互交错吊起一个重物来表现。
在两条绳子构成的平面上，可以画出一个椭圆形的轨迹，此时重物到两条绳子的距离之和为定值2a，而椭圆的顶点即为两条绳子的交点。
五、椭圆的应用椭圆具有很多应用，在物理、工程、天文学、生物学等领域中经常会涉及到。
1. 通讯卫星轨道：通讯卫星通常被放置在椭圆轨道上，使得其在地球上的可见度更广，信号传输距离更长。
2. 医学图像：医学图像中的组织轮廓通常是椭圆形的，因此椭圆形适用于医学图像处理。
3. 自动打标机：自动打标机通常采用椭圆形的摆线轮廓来控制字母和数字的运动轨迹。
4. 椭圆滤波器：椭圆滤波器是一种常用的数字信号处理技术，用于高通、低通、带通、带阻等滤波。
椭圆标准方程知识点总结
椭圆标准方程知识点总结一、椭圆的定义椭圆可以通过几种不同的方式进行定义。
在数学上，椭圆通常被定义为平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个固定点被称为焦点，而常数2a则被称为椭圆的主轴长度。
另一种定义椭圆的方法是：椭圆是一个闭曲线，其在每个点处的切线的斜率之和等于零。
这意味着椭圆的切线对称性是椭圆的一个特征。
在笛卡尔坐标系中，椭圆的标准方程通常被表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别代表椭圆的主轴长度和副轴长度。
当a=b时，椭圆变为一个圆。
二、椭圆标准方程的性质1. 中心点：标准椭圆的中心点位于原点(0,0)。
2. 主轴和副轴：椭圆的主轴是x轴和y轴上的两个直线段，而副轴则是通过中心点的垂直于主轴的直线段。
3. 焦点和离心率：椭圆的焦点是与椭圆的轴上的两个点，它们与椭圆的性质有着密切的联系。
椭圆的离心率e定义为焦点到中心点的距离与椭圆的主轴长度之比。
4. 对称性：椭圆具有对称性，通过它的中心点可以看到一些明显的对称性质。
5. 极坐标方程：椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+e*cosθ)，其中r是极径，θ是极角，e是离心率。
三、椭圆的参数方程除了笛卡尔坐标系下的标准方程外，椭圆还可以通过参数方程来表示。
椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和短半轴。
通过参数方程，我们可以更直观地理解椭圆的形状和性质。
这种表示方法对于椭圆的运动学和动力学问题有着重要的意义。
四、椭圆的性质和相关定理1. 椭圆的面积：椭圆的面积可以通过积分的方法进行计算，或者利用椭圆的参数方程来求解。
2. 椭圆的周长：椭圆的周长也可以通过积分的方法进行计算，或者利用椭圆的参数方程来求解。
3. 椭圆的焦点性质：椭圆的焦点是进行椭圆弧长和椭圆面积计算时重要的参考点。
4. 椭圆的直径定理：椭圆的长轴和短轴的长度之和等于两个焦点之间的距离。
椭圆的定义和标准方程
1. 已知椭圆经过点P(3,0), 且a 3b, 求椭圆的标准方程。
变式训练
(2)当椭圆的焦点在y轴上时 y x 设方程为 2 2 1(a b 0) a b 9 1 y2 x2 2 则 b 得a 9, b 3, 1 81 9 a 3b x2 y2 x2 综合(1)( 2)得椭圆的标准方程为 y 2 1或 1 9 81 9
2
2
2
例 1 已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之 和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a 2 c 2 36 4 32 x2 y2 1. ∴所求的轨迹方程为 32 36
例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x , y )
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 . x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
2
o
M
x
F1
b a o c F2 x
F1
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
其中F1(-c,0)，F2(c,0)
b2=a2— c2 其中F1(0,-c)，F2(0,c) 共同点：椭圆的标准方程表示焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.2.椭圆的标准方程当焦点在x轴上时：+ =1(a＞b＞0)当焦点在y轴上时：+ =1(a＞b＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2(2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.典型例题例1 求与椭圆+ =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+ =1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所求椭圆方程为+ =1又∵点M(3，-2)在椭圆上∴+ =1，得a4-18a2+45=0∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)∴所求椭圆方程为+ =1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(- ，0)，F2( ，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜= + =2∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10∴所求椭圆方程为+ =1例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( ，1)，P2(- ，- )，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0)由题意有解得m= ，n=∴所求椭圆方程为+ =1说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便.例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜= ，｜PF2｜=由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2 ∴a=而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直.∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2= =∴∠PF1F2=2C=｜PF1｜cos =∴b2=a2-c2=故所求方程为+ y2=1或x2+ =13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法. 例4 已知圆C1：x2+y2+4x-12=0与圆C2:x2+y2-4x=0，动圆C与C1相内切，且与C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C1与C2的标准方程是(x+2)2+y2=16，(x-2)2+y2=4圆心分别为C1(-2，0)，C2(2，0)设动圆P的圆心为P，半径为r，有｜PC1｜=4-r,｜PC2｜=2+r∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4∴P点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b2=a2-c2=5∴P的轨迹为+ =1(在已知圆C1内)例5 已知MN是椭圆+ =1(a＞b＞0)中垂直于长轴的动弦，AB是椭圆长轴的两端点，求直线MA与NB的交点P的轨迹方程.解：设M、N的坐标为M(x0,y0)，N(x0,-y0)，又A(-a,0),B(a,0)所以直线AM的方程为y= (x+a) ①直线BN的方程为：y= ②①×②得：y2= (x2-a2) ③∵点M(x0,y0)在椭圆上，∴b2x20+a2y20=a2b2∴x20-a2=- y02,代入得③得：y2= (x2-a2)∴交点P的轨迹方程为- =1例6已知椭圆+y2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程(3)求过点P( ，)，且被P平分的弦所在的直线方程.解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x1,y1)N(x2,y2)、MN的中点为P(x,y)，则x21+2y21=2，x22+2y22=2,两式相减弄除以(x2-x1)得：x1+x2+2(y1+y2) =0而x1+x2=2x,y1+y2=2y∴x+2y· =0 (*)(1)将=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将= 代入(*)式，得所求的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x1+x2=1,y1+y2=1代入(*)式，得=-∴所求的直线方程为2x+4y-3=0例7已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l:y=3x-2截得弦的中点横坐标为，求椭圆方程.解：∵C= ，∴a2=b2+50∴可设椭圆方程为+ =1把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b4-46b2=0∴x1+x2=又∵=∴12b2=10b2+50解得b2=25 a2=75∴所求的椭圆方程为+ =1例8已知P为椭圆+ =1上的一点，F1F2是椭圆上的两焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.解：∵= ｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2∴只需求｜PF1｜·｜PF2｜即可又｜PF1｜+｜PF2｜=10｜PF1｜2+｜PF2｜2-2｜PF1｜·｜PF2｜cos60°=4C2=64解得｜PF1｜·｜PF2｜=12∴= ×12× =3例9已知方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆，求实数k的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a2y2+b2x2-a2b2=0从而有：2(k2-2)＞0 k＜- 或k＞k2≠0解得k≠0k2-k-6＜0 -2＜k＜32(k2-2)≠k2k≠±2∴k∈(-2，- )∪( ，2)∪(2，3)例10△ABC的三边a＞b＞c，且a+c=2b，｜AC｜=2,求顶点B的轨迹.解：以AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A(-1，0)，C(1，0)，又a+c=2b=4由椭圆的定义知B点在椭圆上运动.∵a＞b＞c，且A、B、C三点不共线∴B点的轨迹方程是椭圆+ =1，在y轴左侧的部分，但要去掉点(-2，0)，(0，)，(0，- )核心知识1.椭圆+ =1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.离心率：e= ,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1＝的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+ =1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0.7.椭圆的参数方程典型例题例1 设直线l过点P(-1，0)，倾角为，求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.解：直线l的方程为y= x+ ，代入椭圆方程，得7x2+12x+2=0,∵△=144-4×7×2=88∴弦长= =例2 求椭圆+ =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cosθ，9sinθ)，则d= ==∴d max=例3 已知椭圆+ =1内有一点P(1，-1)，F是右焦点，M是椭圆上的动点，求｜MP｜+2｜MF｜的最小值，并求此时M的坐标.解：过M作右准线x=4的垂线，垂足为M1，由椭圆第二定义，有= ∴2｜MF｜=｜MM1｜∴｜MP｜+2｜MF｜=｜MP｜+｜MM1｜过P作右准线的垂线交椭圆于N，垂足为N1，垂线方程为y=-1.显然｜MP｜+｜MM1｜≥｜NP｜+｜NN1｜(当M与N重合时等号成立)而｜NP｜+｜NN1｜=｜PN1｜=3由方程组得N( ，-1)∴｜MP｜+2｜MF｜的最小值是3，此时M的坐标是( ，-1)例4 P是椭圆方程为+ =1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.解：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4- ，4+ ］且｜PF2｜=2a-t=8-t.∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4- ，4+ ］当t=4时，取最大值为16当t=4± 时，取最小值为9.∴所求范围为［9，16］例5 F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.解：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜= t，由椭圆定义有：｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即( +2)t=2a,t=(4-2 )a∴｜PF2｜=2a-t=(2 -2)a在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2∴［(4-2 )a］2+［(2 -2)a］2=(2c)2∴=9-6 ∴e= = -双曲线1.双曲线的定义平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程- =1(a＞0,b＞0)焦点在x轴上的双曲线；- =1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.典型例题例1 若方程+ =1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线，则x2与y2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆+ =1共焦点，且过点(3 ，)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在x轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为- =1代入点(3 ，)，得λ2=7，故所求双曲线方程为- =1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+ =1，代入点(3 ，)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为- =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得：- =1(x≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，-a)·k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹方程为：- =1(x≠0).若B(bcotφ，acosφ)、C(-cotφ，-acscφ).k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹会是怎样?反之，双曲线- =1(x≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于;若改变B、C的位置保持B、C两点关于原点对称于双曲线上，k AB·k AC是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.例4一动圆与圆(x+3)2+y2＝1外切又与圆(x-3)2+y2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.分析如图，设动圆M与⊙O外切于A，与⊙O2内切于B，由位置关系可得数量关系：｜MO1｜＝｜MA｜+1 ｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M坐标为M(x,y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则，MO1＝｜MA｜+1，①｜MO2｜＝｜MB｜＝3②，①-②：｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(-3，0)O2(3，0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-23＝5∴所求轨迹方程为：- ＝1(x≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切数量关系(｜MO1｜＝r1+r0,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径曲线形状写出标准方程，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO1｜>｜MO2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例5过双曲线- ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F 的距离，并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立，求出A、B两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB的方程为y＝x-5，故16x2-9y2-144＝0 ①y＝x-5 ②消去y，并整理得7x2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x1、x2是A、B两点的横坐标，设AB的中心点C的坐标为(x,y)，则x＝＝＝- .C点的坐标满足方程②，故y＝- -5＝-∴｜CF｜＝＝(5+ )＝又设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2)，则y1＝x1-5,y2＝x2-5.∴y1-y2＝x1-x2，｜AB｜＝＝＝＝由方程③知x1+x2＝- ,x1·x2＝-∴｜AB｜＝＝＝＝27点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长核心知识1.双曲线- ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称。
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椭圆标准方程【知识点】知识点一 椭圆的定义(1) 我们把平面内与两个定点 F 1，F 2 的距离的和等于常数 (大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .(2) 椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2| ＝2a ， 2a>|F 1 F 2|}.(3) 2a 与 |F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：【问题一】在椭圆的标准方程中 a>b>c 一定成立吗？ 不一定，只需 a>b ，a>c 即可， b ，c 的大小关系不确定问题二】若两定点 A 、B 间的距离为 6，动点 P 到两定点的距离之和为1.椭圆标准方程的两种形式10 ，如何求出点 P 的轨迹方程？以两定点的中点为坐标原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则 A （3 ，0） ， B （－ 3， 0）.设 P （x ， y ） ，依题意得 |PA|＋|PB|＝10 ，所以x －32＋y2 ＋ x ＋3x2 y22＋y2＝10，即点 P 的轨迹方程为 25＋16＝焦点在 x 轴上_________ （ a > b>0）F 1（ － c ， 0） ，F 2 _ 2c焦点在 y 轴上___________ （ a >b >0）F 1 ，F 2（0 ，c ） 2c椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系a ，b ，c 的关系根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标22椭圆在坐标系中的位置标准方程x 2 y 2a 2＋b 2＝1（a >b >0）y 2 x 2 a 2＋b 2＝1（a >b >0）焦点坐标F 1（－c ，0），F 2（c ，0）F 1（0 ，－ c ），F 2（0，c ）b 2＝a 2－c 2判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2 项和 y 2 项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”y 2 x 2如方程为 ＋ ＝1 的椭圆，焦点在 y 轴上，而且可求出焦点坐标 F 1（0，－1），F 2（0，1），焦距 |F 1F 2|＝2.54类型一：椭圆的定义【例 1】点 P （－ 3， 0）是圆 C ：x 2＋y 2－6x －55＝0 内一定点，动圆 M 与已知圆相内切且过 P 点，判断圆 心M 的轨迹.方程 x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为： （x －3）2＋y 2＝64，圆心为 （3，0），半径 r ＝8.因为动圆 M 与已知圆 相内切且过 P 点，所以 |MC|＋ |MP|＝r ＝ 8，根据椭圆的定义，动点 M 到两定点 C ，P 的距离之和为定值 8>6＝ |CP|，所以动点 M 的轨迹是椭圆 .变式】若将本例中圆 C 的方程改为： x 2＋y 2－ 6x ＝0 且点 P （－3，0）为其外一定点，动圆 M 与已知圆 C相外切且过 P 点，求动圆圆心 M 的轨迹方程 .设 M （x ，y ），据题，圆 C ：（x －3）2＋ y 2＝9，圆心 C （3，0），半径 r ＝3.由|MC|＝|MP|＋ r ， 故|MC|－|MP|＝r ＝3，8 9即 x － 3 2＋ y － 0 2－x ＋3 2＋ y － 0 2＝3，x 2 y2 整理得 － ＝ 1（ x <0）.9 27 44【变式 2】 下列命题是真命题的是 __② __.（将所有真命题的序号都填上 ）①已知定点 F 1（－1，0），F 2（1，0），则满足 |PF 1|＋|PF 2|＝ 2 的点 P 的轨迹为椭圆；①已知定点 F 1（－2，0），F 2（2，0），则满足 |PF 1|＋|PF 2|＝4的点 P 的轨迹为线段； ①到定点 F 1（－3， 0）， F 2（3， 0）的距离相等的点的轨迹为椭圆① 2 <2，故点P 的轨迹不存在；①因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F1F2；①到定点F1（－3，0），F2（3，0）的距离相等的点的轨迹是线段类型二：求椭圆的标准方程命题角度 1 用待定系数法求椭圆的标准方程1 1 1【例 2 】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 P（3，3），Q（0，－2）的椭圆的标准方程3 3 2x 34y2 方法一①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1（a> b>0）.a 2b2由a>b>0 知不合题意，故舍去y 2x2②当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1（a> b>0）.a 2b23 b2＝. 4a2b2＝1，a215，依题意有解得0＋b2＝1，F1F2的垂直平分线（y 轴）.125＋1222＋ 0＝ 1， a245b2＝1，a214，依题意有 解得所以所求椭圆的标准方程为y 2 x 2＋ ＝ 1.11 方法 设椭圆的方程为 mx 2＋ny 2＝1（m>0 ，n>0 ，m ≠n ） 11 m ＋ n ＝1， 99 则 1 4n ＝1， m ＝5， 解得 n ＝4. 所以所求椭圆的方程为 5x 2＋4y 2＝1， y 2 x 2故椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. 1145 x 2 y 2变式】求与椭圆 25＋9＝1 有相同焦点，且过点 的椭圆方程据题可设其方程为22 x 2y 2＋ ＝1（λ> －9），λ 9 ＋λ 又椭圆过点 （3， 15） ，将此点代入椭圆方程，得 λ＝ 11（ λ＝ x2 y 2故所求的椭圆方程为 ＋ ＝ 1.36 2021 舍去 ），1b 2 ＝ .5总结：（1）若椭圆的焦点位置不确定， 需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论， 也可设椭圆方程为 mx 2＋ny2＝ 1（m ≠n ， m>0 ，n>0）.x2 y 2x 2y 2y 2 x 2（2）与椭圆 2＋ 2＝1（a >b >0）有公共焦点的椭圆方程为 2＋ 2＝1 （a >b >0 ，b 2> －λ），与椭圆 2＋ 2a 2b 2a 2＋λ b 2＋λa 2b 2y2x2＝1（a >b >0） 有公共焦点的椭圆方程为 a2＋λ＋b2＋λ＝1（a >b >0，b 2>－λ）.【变式 2 】求适合下列条件的椭圆的标准方程 .（ 1）椭圆的两个焦点坐标分别为 F 1（－ 4 ， 0） ，F 2（4 ， 0） ，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于10 ；x2 y 2解：设其标准方程为 a2＋b2＝1（a > b >0）. 据题 2a ＝10 ，c ＝4，故 b 2＝a 2－c 2＝9，x2 y2∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1.25 92）椭圆过点 （3，2），（5， 1）；Ax 2＋By 2＝1（A>0 ，B>0 ，A ≠B ），x2 y 2故所求椭圆的标准方程为 91 ＋91＝1. 5516设椭圆的一般方程为 9A ＋4B ＝1，则25A ＋B ＝1，解得A＝91 16B ＝ .913）椭圆的焦点在 x 轴上，且经过点 （2，0）和点 （0 ， 1）.x 2y 2解：设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝ 1（a > b >0）.a 2b 2命题角度 2 用定义法求椭圆的标准方程【例 3 】已知一动圆 M 与圆 C1：（x ＋3）2＋y 2＝1 外切，与圆 C2：（x －3） 2＋y 2＝81 内切，试求动圆圆心 M的轨迹方程 .据题 C 1（－ 3，0），r 1＝1，C 2（3，0）， r 2＝9， 设 M （x ， y ），半径为 R ，则 |MC 1|＝1＋R ， |MC 2|＝ 9－R ， 故 |MC 1|＋ |MC 2|＝10，据椭圆定义知，点 M 的轨迹是一个以 C 1，C 2 为焦点的椭圆，且 a ＝5，c ＝3，故 b 2＝a 2－c 2＝16.22 x 2 y2故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为 ＋＝1.25 16总结：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合 椭圆的定义，可以先定位，再确定 a ，b 的值 .【变式 3】已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点4a 2＝1，a 2＝4， 由解得1b 2＝b 2＝1，x 2∴所求椭圆的标准方程为 4 ＋y 2＝1.P 到两焦点的距离分别为轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程 设椭圆的两个焦点分别为 F 1， F 2，由椭圆的定义，知 2a ＝ |PF 1|＋|PF 2|＝2 5.即 a ＝ 5.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2 垂直于长轴60 在 Rt △PF 2F 1中， 4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝ ， 95 10 ∴c 2＝ ，∴b 2＝a 2－c 2＝ . 33又所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上，也可以在 y 轴上， x 23y 23x 2y 2故所求的椭圆方程为 5＋10 ＝1或10＋5＝1.类型三 : 椭圆中焦点三角形问题y2 x 2例 4】已知 P 是椭圆 ＋ =1 上的一点， F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，且∠ F 1PF 2＝3054解：由椭圆的标准方程，知 a ＝ 5，b ＝2 ， ∴c＝ a 2－b 2＝1 ，∴| F 1 F 2 |＝ 2.又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋ |PF 2| ＝2a ＝ 2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即 4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30 °，即 4＝20－(2＋ 3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝ 16(2 －不妨取 |PF 1|＝|PF 2|＝25，求△F 1PF 2 的面积 .3S △F1PF2＝1|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝1×16(2x 2 y 2例5】已知椭圆 9＋ 2 ＝1的焦点为 F 1，F 2，点P 在椭圆上 .若|PF 1|＝4 ，求∠F 1PF 2的大小.92x 2 y 2 解：由 9＋2＝1，知 a ＝3，b ＝ ∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝ |PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2| 12，∴∠F 1PF 2＝12022 x 2 y 2变式】 (1)在椭圆 C ： 2＋ 2＝1(a > b >0)的焦点三角形 PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点 P 的坐标为 (x 0，y 0)， a 2 b 2 求证：△ PF 1F 2 的面积 S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan x 2 y 2 (2)已知椭圆的方程为 4 ＋3 ＝1，椭圆上有一点 P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积 .11) S △PF 1F 2 ＝2|F 1F 2||y 0|＝c |y 0|.在①PF 1F 2 中，根据椭圆定义，得 |PF 1|＋|PF 2|＝2a.两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2. ①根据余弦定理，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝4c 2. ①2b2所以|PF1||PF2|＝1＋cos α1 1 2b2根据三角形的面积公式，得＝|PF1||PF2|sin α＝··sin2 2 1＋cos αsin α α＝b2·.1＋cos ααα2sin cos sin α 2 2 又因为＝1 ＋cos αα2cos 22sin2＝tanα2 cos2α所以S△PF1F2＝b2tan 2.（2）由已知得 a＝2，b＝3，所以 c＝ a2－b2＝4－3＝1.从而|F1F2|＝2c＝2.在①PF1F2 中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，所以|PF2|＝4－|PF1|.3从而有（4－|PF1|）2＝|PF1|2＋4.解得|PF1|＝.1 1 3 3 3所以△PF1F2的面积S＝|PF1|·|F1F2|＝× ×2＝，即△PF1F2的面积是.2 2 2 2 2总结：（1）如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2 的直线为x 轴，线段F1F2 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy.（2）设点：设点M（x ，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1（－c，0），F2（c，0）.（3）列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a 列方程，并将其坐标化为x＋c 2＋y2＋x－c 2＋ y2＝2a. ①（4）化简：通过移项、两次平方后得到：（a2－c2）x2＋ a2y2＝a2（a2－c2），为使方程简单、对称、便于记忆，x 2y2引入字母 b，令 b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为2＋2＝1（a> b>0）. ②a 2b2知识点椭圆标准方程的认识与推导【问题 1 】椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴或 y轴上．xy 标准方程的代数特征：方程右边为 1 ，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．ab【问题 2 】依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？把方程化为标准形式，与 x2， y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．【问题 3 】观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．(1) 如图所示，以经过椭圆两焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系xOy.(2) 设点：设点 M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0) ，F2(c,0)．(3) 列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF 2|＝2a 列方程，并将其坐标化为x＋c 2＋y2＋ x－c 2＋y2＝2a.①(4) 化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋ a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，x 2y2引入字母 b，令 b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为2＋2＝1( a> b>0) ．②a 2b2(5) 从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点 F1(－c，0) ，F2 (c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．66 椭圆的标准方程的形式(2)221___>0 >0 (3) 椭圆方程中参数 a ， b ，c 之间的关系为 a 2＝ b 2＋ c 2_ ．类型一 椭圆标准方程的确定例 1 求焦点在坐标轴上，且经过 A ( 3，－ 2)和 B (－2 3，1)两点的椭圆的标准方程． 解 方法一 (1) 当焦点在 x 轴上时，x2 y 2设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1( a > b >0) ，a2 b 23 2－ 2 22＋ 2＝1，a 2b2依题意有－2 3 2122＋ 2＝1，a 2b2a 2＝ 15 ， 解得b 2＝5.x2 y 2故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1.15 5a 2＝ 5，解得b 2＝15.此时不符合 a >b >0 ，所以方程组无解．x2 y2故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1.15 5反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时， 合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．(2)当焦点在 y 轴上时， a > b >0） ，依题意有 122＋2 ＝ 1，a2b2方法 设所求椭圆的方程为 Ax 2＋By 2＝1（A >0 ，B >0 且 A ≠B ），3A ＋4B ＝1，依题意有12A ＋B ＝1，解得A＝15故所求椭圆的标准方程为 x 2 y 2＋ ＝ 1.15 5定要结变式 1 】求适合下列条件的椭圆的标准方程．35(1)两个焦点的坐标分别是 (0 ，－ 2) ，(0,2) ，并且椭圆经过点 (－2，2)； (2) 焦点在 y 轴上，且经过两点 (0,2) 和(1,0) ．解 (1) ∵椭圆的焦点在 y 轴上，y2 x 2∴设它的标准方程为 2＋ 2＝ 1( a > b >0) ．a 2 b2由椭圆的定义知：又 c ＝ 2，∴b 2＝ a 2－ c 2＝ 6.y2 x2∴所求的椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1.10 6(2) ∵椭圆的焦点在 y 轴上，22 y 2x 2∴设它的标准方程为 2＋ 2＝ 1( a > b >0) ．a2b 2又椭圆经过点 (0,2) 和(1,0) ，40 01＋ ＝ 1， a2＋b2＝1，∴所求的椭圆的标准方程为y2＋x 2＝1. 4a ＝ 10.2＋ 2＝ 1，a 2b 2a 2＝4，b 2＝1.＋＝2 10 ，即类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用例 2 如图，在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，过点 P作 x 轴的垂线段 PD，D为垂足．当点 P在圆上运动时，求线段 PD的中点 M 的轨迹．解设点 M 的坐标为（x， y），点 P 的坐标为（x0， y0），y0则 x＝ x0， y＝2 .因为点 P（x0，y0）在圆 x2＋ y2＝4 上，所以 x02＋ y02＝ 4.①把 x0＝x，y0＝2y 代入方程①，x2得 x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.4所以点 M 的轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆．反思与感悟如果一个动点 P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动，则求 P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为（1）设点：设所求轨迹上动点坐标为 P（x， y），已知曲线上动点坐标为 Q（x1，y1）．x1＝g x， y ，（2）求关系式：用点 P的坐标表示出点 Q 的坐标，即得关系式y1＝h x， y .（3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．跟踪训练 2 如图所示，B点坐标为（2,0），P是以 O 为圆心的单位圆上的动点，的平分线交直线 PB于点 Q，求点 Q 的轨迹方程．解由三角形角平分线性质得||B Q Q P||＝||O OP B||＝2. ∴B→Q＝2Q→P.x－2＝2x0－2x，设 Q（x，y），P（x0，y0），则（x－2，y）＝2（x0－x，y0－y），∴y＝2y0－2y，又∵点 P 在单位圆 x2＋ y2＝1 上．3x－ 2 3∴( 2 )2＋(2y)2＝1.3x－ 2 29∴点Q 的轨迹方程为4＋4y2＝1.∠POB3x－2x0＝23yy0＝.2。