椭圆规范标准方程

椭圆标准方程

【知识点】

知识点一 椭圆的定义

(1) 我们把平面内与两个定点 F 1，F 2 的距离的和等于常数 (大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做椭

圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .

(2) 椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2| ＝2a ， 2a>|F 1 F 2|}.

(3) 2a 与 |F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

【问题一】在椭圆的标准方程中 a>b>c 一定成立吗？ 不一定，只需 a>b ，a>c 即可， b ，c 的大小关系不确定

问题二】若两定点 A 、B 间的距离为 6，动点 P 到两定点的距离之和为

1.

椭圆标准方程的两种形式

10 ，如何求出点 P 的轨迹方程？

以两定点的中点为坐标原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则 A （3 ，0） ， B （－ 3， 0）.设 P （x ， y ） ，

依题意得 |PA|＋|PB|＝10 ，所以

x －3

2＋y2 ＋ x ＋3

x2 y2

2＋y2＝10，即点 P 的轨迹方程为 25＋16＝

焦点在 x 轴上

_________ （ a > b

>0）

F 1（ － c ， 0） ，F 2 _ 2c

焦点在 y 轴上

___________ （ a >b >

0）

F 1 ，F 2（0 ，c ） 2c

椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系

a ，

b ，

c 的关系

根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标

22

椭圆在坐标系中的位置

标准方程

x 2 y 2

a 2

＋b 2＝1（a >b >0）

y 2 x 2 a 2

＋b 2＝1（a >

b >0）

焦点坐标

F 1（－c ，0），F 2（c ，0）

F 1（0 ，－ c ），F 2（0，c ）

b 2＝a 2－

c 2

判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中

x 2 项和 y 2 项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”

y 2 x 2

如方程为 ＋ ＝1 的椭圆，焦点在 y 轴上，而且可求出焦点坐标 F 1（0，－1），F 2（0，1），焦距 |F 1F 2|＝2.

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类型一：椭圆的定义

【例 1】点 P （－ 3， 0）是圆 C ：x 2

＋y 2

－6x －55＝0 内一定点，动圆 M 与已知圆相内切且过 P 点，判断圆 心

M 的轨迹.

方程 x 2

＋y 2

－6x －55＝0化标准形式为： （x －3）2

＋y 2

＝64，圆心为 （3，0），半径 r ＝8.因为动圆 M 与已

知圆 相内切且过 P 点，所以 |MC|＋ |MP|＝r ＝ 8，根据椭圆的定义，动点 M 到两定点 C ，P 的距离之和为定值 8>6＝ |CP|，所以动点 M 的轨迹是椭圆 .

变式】若将本例中圆 C 的方程改为： x 2

＋y 2

－ 6x ＝0 且点 P （－3，0）为其外一定点，动圆 M 与已知圆 C

相外切且过 P 点，求动圆圆心 M 的轨迹方程 .

设 M （x ，y ），据题，圆 C ：（x －3）2

＋ y 2

＝9，圆心 C （3，0），半径 r ＝3.由|MC|＝|MP|＋ r ， 故|MC|－

|MP|＝r ＝3，

8 9

即 x － 3 2＋ y － 0 2－

x ＋3 2＋ y － 0 2＝3，

x 2 y

2 整理得 － ＝ 1（ x <0）.

9 27 44

【变式 2】 下列命题是真命题的是 __② __.（将所有真命题的序号都填上 ）

①已知定点 F 1（－1，0），F 2（1，0），则满足 |PF 1|＋|PF 2|＝ 2 的点 P 的轨迹为椭圆；

①已知定点 F 1（－2，0），F 2（2，0），则满足 |PF 1|＋|PF 2|＝4的点 P 的轨迹为线段； ①到定点 F 1（－3， 0）， F 2（3， 0）的距离相等的点的轨迹为椭圆

① 2 <2，故点P 的轨迹不存在；①因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F1F2；①到定点F1（－3，0），F2（3，0）的距离相等的点的轨迹是

线段

类型二：求椭圆的标准方程

命题角度 1 用待定系数法求椭圆的标准方程

1 1 1

【例 2 】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 P（3，3），Q（0，－2）的椭圆的标准方程

3 3 2

x 34

y

2 方法一①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程

为2＋2＝1（a> b>0）.

a 2

b

2

由a>b>0 知不合题意，故舍去

y 2

x

2

②当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1（a> b>0）.

a 2

b

2

3 b2＝. 4a2b

2

＝1，a2

1

5，

依题意有解得

0＋

b2＝1，

F1F2的垂直平分线（y 轴）.