小学数学一题多解与一题多变
一题多解与一题多变在数学中的应用
一题多解与一题多变在数学中的应用摘要：数学这门学科在当代素质教育和学术教育统一的义务教育中占有重要地位，它是一门自由学科，但同时也是既复杂困难又富有逻辑的学科。
也许对大部分学生来说，数学这门学科是一道难题。
因此，数学学科的教育传授者在教学中如何传授这门学科的方法、方式，就显得尤为重要。
关键词：一题多解；一题多变；数学一、一题多解与一题多变在数学中的应用的重要性数学学习最重要的是逻辑性问题，并且经过对比分析，发散思维，一题多解与一题多变的方法的应用恰恰能达到这个目标和目的，他们能够不断提高学生们的逻辑思维能力，数学分析能力。
一题多解指的是面对一道数学题，因为有不同的角度进行思考，在脑海中搜寻不相同的解决方法，多种多样的思路，从而有多种多样的可用的解决方案，这样能够提高学生们的数学分析和解决能力。
在解决实际问题的过程中需要我们进一步掌握分析的方法，能用多种的方法思考问题，从中找到不同的解决策略。
下面我将用具体的习题，更好地解释一题多解。
一题多解案例分析例题：已知：f（某）=某3+a某2+（a-1）某+1，若在区间[1，4]单调递减，求a范围？方法一：解题思路问题转化为导函数f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立，f"（某）≤0解集为A，只需[1，4]是集合A的子集解：f"（某）=某2+a某+（a-1）因为f（某）在区间[1，4]单调递减所以f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立某2+a某+（a-1）≤0（某+1）[某+（a-1）]≤01.当a<2时，f"（某）≤0解集为[-1，1-a]所以[1，4]是[-1，1-a]的子集4≤1-a解得a≤–32.当a≥2时，f"（某）≤0解集为[1-a，-1]不满足[1，4]是[1-a，-1]的子集所以解集是空集综上所述：a≤-3方法二：解题思路问题转化为导函数f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立，导函数y=f"（某）为开口向上的二次函数，只需f"（4）≤0，f"（1）≤0同时成立即可解：f"（某）=某2+a某+（a-1）因为f（某）在区间[1，4]单调递减所以f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立由二次函数图像可知，只需即解得所以a≤–3一题多变例题例题：已知椭圆标准方程+=1，A（0，3），直线l：y=k某-3与椭圆相交于C，D两点，若|AC|=|AD|，求k的值？解题思路：直线与椭圆联立，消元，设C（某1，y1）D（某2，y2），韦达定理：因为|AC|=|AD|，取C，D中点M，则AM垂直CD，即KAMKCD=-1解：消y得：（9+25k2）某2-150k某=0，Δ>0设C（某1，y1）D（某2，y2），由韦达定理得：某1+某2=某1某2=0y1+y2=k（某1+某2）-6=k2-6=设M（某0，y0）为CD中点，则某0=（某1+某2）=，y0=（y1+y2）=因为|AC|=|AD|，所以AM垂直CD，即KAMKCD=-1k=-1整理得：=-，k2=，k=在一题多变的思维下，我们可以将|AC|=|AD|改成以下两种形式：1.以AC，AD为邻边做平行四边形为菱形2.（AC+AD）CD=0这两种已知虽然与原例题有很大区别，但通过转化最终都能转化为AM垂直CD，解题思路与过程非常相似，结果一样。
浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”
浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”在当今教育模式下，通常我们数学的教育模式都是以“标准题目”和“标准答案”来解决问题，这导致学生的思维受到禁锢并沿着定向发展，导致千人一面，这种单一、刻板的思维严重地束缚着小学生创新思维的发展。
因此，教师必须打破禁锢。
想要锻炼思维，可以通过一系列的变式训练，以多侧面、多角度地去探索问题中的本质，这样有利于弄清知识脉络和知识间的联系，可以培养学生的思维转换能力。
在新课程改革实行的背景下，一题多解和一题多变是数学研究中的一个热点问题，一题多解式和一题多变式的教学形式也不断呈现出了新的特点，而数学作为一门应用最广泛，最能培养创造性思维和问题解决的能力的一门基础课程，通过不断激发学生积极思维和求知兴趣，从而达到举一反三、触类旁通的效果，因此其在培养学生的创新能力上具有独特优势。
一、“一题多解”在小学数学教学过程中的实践一个题目能否得到解决的确非常的重要，但是去探求不同于别人的新解法，才是学习上梦寐以求的乐事。
学生学习的兴趣往往与所创造出的欢乐是紧密相连的。
因此研究一题多解是为了增强学生们的求知欲望，从而激发人们的创新精神。
那么所谓的“一题多解”是什么呢？从字面上看很容易看出就是指一题多解训练，对同一问题的结论通过不同的方法得出，不断通过指引和启迪学生从不同的思路、不同的方向、不同的方法以及不同的运算过程去分析和解答问题。
为了能充分解释一题多解在培养小学生思维方面的应用，将通过下面两个例子，来详细的介绍“一题多解”。
例1：计划修一条长120米的水渠，前5天修了这条水渠的20%，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？这道题先启发学生求工作效率，即从“工作量÷工作时间”来思考：解法（1）：120÷（120×20%÷5）－5 ；解法（2）：（120－120×20%）÷（120×20%÷5）；这道题也还可以从分数的意义直接进行解答：解法（3）：1÷（20%÷5）－5 ；解法（4）：（1－20%）÷（20%÷5）；解法（5） 5÷20%－5例2：李老师带了若干元去买书。
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用练芳宙
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用练芳宙发布时间：2021-09-29T00:58:37.125Z 来源：《现代中小学教育》2021年9月上作者：练芳宙[导读] 数学教学要注重培养学生的数学思维能力，而根据数学教学过程中的反馈也可以得知“一题多解与一题多变”思维对于培养学生的数学思维能力，建立学生的思维空间以及发散学生的数学思维等方面具有重要的作用。
浙江省杭州市建德市航头初级中学练芳宙摘要：数学教学要注重培养学生的数学思维能力，而根据数学教学过程中的反馈也可以得知“一题多解与一题多变”思维对于培养学生的数学思维能力，建立学生的思维空间以及发散学生的数学思维等方面具有重要的作用。
在数学教学过程中也可以发现，以一些常见的习题求解与分析过程为例，通过对于同一道题目分析和寻找出不同的解答方式，能够帮助学生加强知识点之间的联系，增加数学知识学习的有效性。
那么这也就要求初中数学教师在教学环节当中，就需要注重将这种思维运用，以及渗透到数学课堂中，帮助学生逐渐建立这种数学学习思维。
而笔者也将针对于该种教学方式，在学科当中的渗透展开相关探讨。
关键词：初中数学；一题多解；一题多变；提高效果；加快思维转变；加强知识联系；提高解题效果；增强思考水平随着近几年来素质教育在教育过程中的不断渗透，培养学生一题多解的能力也是教学要求。
不仅要求学生进行概念知识点的掌握，更加要求学生在学习概念知识基础上，加强知识点之间的联系，学会从多角度多方面解决这些问题。
一题多解让学生学会从不同的方位以及角度去分析题目。
而一题多变则是通过题目设题变化出的新问题让学生对知识的理解更深刻，体现出思维的可创性。
而且在课堂中让学生学会从不同的角度，从不同的方向去看待问题，也是为了能够帮助学生，在学习数学知识内容时可以建立自身的思维形式，提高学生数学学习的综合能力。
经过教师的合理设置和数学课堂的趣味开展，学生不仅能够借助一题多解建立起良好的数学知识应用能力，也将借助一题多变的探究和分析实现数学素养的建立和健全。
(完整)浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”
i湖南民族职业学院初等教育系2014届毕业生毕业论文题目： 浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”作 者： 叶彩凤 班 级： 初数1102班学号：201120030230 指 导 教 师：杨洪山二零一四年六月湖南民族职业学院学生毕业论文诚信声明郑重声明：本人呈交的毕业论文《浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”》是在指导老师的指导下进行研究工作，所取得的成果，成果不存在知识产权争议。
如文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人和集体已经发表，和撰写过的作品成果，对本文的研究作出重要贡献的个人，和集体在文中均作了明确的说明，并表示了谢意。
本人完全意识到，本说明的法律结果由本人承担。
毕业论文作者（签名）：2014年6月目录摘要关键词 1、小学数学“一题多解”的探究 (1)（一）一题多解的案例 (1)（二）一题多种解法之数学思想在小教学中的应用 (3)二、小学数学“一题多变”的探究 (4)（一）引导学生学会“一题多变”把新题变旧题 (4)（二）引导学生学会“一题多变”触类旁通，悟出解题规律5三、学生学会超级变变，并将所学知识进行拓展 (5)结语 (7)参考文献 (7)致谢 (8)摘要：数学是小学阶段一门基础学科,并且在小学阶段占主体地位.入学之初,学生所接触到的数学知识,都是比较形象化,直观化的数数及简单的计算,随着数学知识的加深,小学高年级的数学出现了抽象化复杂性的应用题.找到解题的最佳方法,培养学生大胆创新的解题方法及不断尝试解答的精神,是我们为师者必须思考的教学问题.教师如何引导学生学会把新知变旧知寻找最近认识发现区，将复杂问题变为单间问题，学会一题多变，触类旁通，进而悟出解题规律，并经一题多变，拓展知识，使学生真正“学会学习”。
关键词：小学数学；一题多解；一题多变前言一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。
浅析一题多解与一题多变
｛ ＋ ｓ Ⅱ ２ ２ ｆ ￡ ０ ｊ ＋ ｌ２
ｔＩ ｔ≥０ ｔ ・２
或 △＜ ｊ ２— ＜口＜ ２ ｏ ２ ２＋
从而， 方程有根的实数 ｎ的取值范围为（一 。２— √ 。 ， ２ 习
方程可进一步转化为 ｎ＝一
：一
。 ＝
表示 点 ａ ｘｙ 与 （ 一１ 两点连线 的斜 率 （ ，） ２， ）
浅 析 一 题 多解 与 一题 多变
泰兴 市扬子 江高级 中学 袁 小武
【 摘 要】 随着素质教育的不断深入， 江苏省 ２ ４号文件的实施， 培养学生分析问题、 解决问题的能力显得越来越重要． 而能力
的提 高必须依 靠方 式方 法， 我们认为“ 一题 多解与一题 多变” 可以很好地培养 学生 的解题能力． 一题 多解是从 不同的角度 、 同的 不 方位去审视 分析 问题 ， 是一种发散 思维， 而一题 多变则是创造性思维的体现 ， 通过题设 的变化 、 结论的变化、 引申新 问题让 学生对 知识的理 解更深刻． 通过变发现 不变的 东西 ， 从而总结 出解决一类 问题的一种方法 ， 是凝 聚思维的一种体现．
① 方程有两个正根 ， 则必须 满足条 件 ｆ △＞ｕ
一
值围 范为
（ ： 孚） 答 】 案
３ ２
２ 已知 函数 ｆ（ 、 ）＝ｓ 在 闭 区间 ｉ ｎ
２
ｔ ２＞０
② 方程有一个正根一个负根 ， 则必须满足条件
ｔ ・ｔ ｌ ２＜Ｏ ８ ＜ 一 １
③ 方程有一个正根一个零根 ， 则必须满足条件
△ ０
【 变式训练】
１ 变 目标 函数分别为 ｚ Ｊ
大值． 说 明： 这类 问题 考查 目标 函数 的几何 意义 ： ｚ ＋ 表 示 ａ（ ， ） Ｂ ０，） 点 间 距 离 的平 方 ＝ ｘｙ 与 （ ０ 两
“一题多解,一题多变”教学片段及反思
“一题多解，一题多变”教学片段及反思一题多解、一题多变是数学教师在几何教学中常用的手段，它不仅有助于提高学生学习兴趣，活跃课堂气氛，更重要的是有助于开阔学生思维，能从多角度、多方位、多层次思考问题，把握问题的整体，即抓住它的基本特征，又能抓住它的细节和特殊因素，从而放开思路进行思考。
著名的数学教育家G．波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。
”因此，在课堂上抓好例题一题多解，一题多变的教学这一关无疑是培养学生良好思维能力的契机，那么，如何设计有效地例题教学策略使之发挥应有的功能，是一个值得我们探讨和努力地研究课题。
现就一题多解、一题多变例题的教学片段，谈谈自己的想法及反思。
(1)《数学课程标准要求》以创新精神和实践能力为重点，改变过于重视知识传授的倾向，强调形成主动性的学习方式，有利于学生探究、创新能力的发展。
而培养学生的创新精神是课程改革的核心目标之一。
创新的心理基础是创造性思维。
创造性思维是主动地、独创地发现新事物、提出新见解、解决新问题的思维形式，它的思维活动的高级水平。
数学思维作为一种特殊的思维形式，它是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动，是数学思维的各种特性的综合表现。
由于数学教学的重要目的在于培养学生数学思维能力，而创造性是数学思维的最根本、最核心的智力品质。
因此，要提高学生的数学思维能力，完善人的数学思维的智力品质。
培养学生的数学创造性思维能力是数学教学的一个重要任务和教育工作者研究的重要课题。
在平时的教学中能借助一题多解，一题多变来培养学生多角度、多方位、多层次思考问题，也是对我们教师的创造性思维提出了要求。
教师在教学过程中，能在求同证法中及时捕捉到激发学生求异的思维亮点，将学生思维从特殊引向一般，有助于提高学生的数学思维品质。
同时教师能站在一题多解的“同”和“异”两个视角进行变式创新，无疑对学生的创新能力的培养有着潜移默化的作用的。
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考是在我们解决问题的过程中，充分探索问题本质的方法。
它可以帮助我们从多个角度理解问题，找到更好的解决方案。
一题多问可以帮助我们深入挖掘问题，了解各种因素和影响，从而更全面地理解问题和寻找解决方案。
例如，在解决一个企业的销售问题时，我们可以提出以下问题：销售情况如何？客户需要什么？竞争对手的情况如何？市场变化的影响是什么？等等。
一题多变可以帮助我们在不同情况下灵活应对问题，并根据不同情况调整解决方案。
例如，在解决一个销售问题时，如果是年底大促销，我们需要不同的解决方案，而如果是平时销售问题，则需要不同的解决方案。
一题多解可以帮助我们拓展思路，从不同方向考虑问题，找到更多的解决方案。
例如，在解决一个企业的成本问题时，我们可以提出以下解决方案：降低原材料成本、改变生产流程、优化运营成本等等。
总之，一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考可以帮助我们更全面地理解问题、更多角度考虑解决方案，从而找到更好的解决方案。
教材题目的一题多解与一题多变
一
一 ｛ ・ ， 得 解 ．
题 多变 ， 对一 道数 学 题或 联想 ， 或类 比 ， 或 推广 ，
可以得到一系列新的题 目， 甚至得到更一般的结论． 【 例２ 】 过抛 物线 Ｙ 。 ＝ ＝ ＝ ２ ｐ ｘ的
Ｏ
联 立 Ｊ Ｉ 一 得５ ｚ ｚ 一 ８ ＋ ８ — ０ ． ‘ ＋４ ｙ 一４
由弦长公式得 ｌ Ａ Ｂ｛ 一￣ ／ （ ｚ ＋ ） －４ ｘ ｚ 一詈．
解法 三 ： 由椭 圆 的 第 二 定
焦点 的一 条 直线 和 此 抛 物 线相 交 ， 两个 焦点 的纵 坐标 为 Ｙ 、 Ｙ ， 求证 ： 一－ －ｐ ． （ 人教材第二册 （ 上） Ｐ ｍ
该法是利用 几何关 系建立方 程 ， 此方法 也可灵 活解
决 以下 题 目 ：
１ ・ （ ２ ０ ０ ９ 年 全 国 卷Ⅱ ， １ １ ） 已 知 双 曲 线ｃ ： Ｘ － 一 蕾一 １
（ ｎ ＞０ ， ６ ＞０ ） 的右焦点为 Ｆ， 过 Ｆ且斜率为 的直线 交 Ｃ
于Ａ、 Ｂ两点， 若 一４ 商 ， 则 Ｃ的离心率为（
（ １ ） 一（ ２ ） 得 一 一４ 二丝 一一４（ ３ ）
．
一
题 多解 ， 即一道 数学 题 ， 因思 考 的角 度不 同可 得
到 多种 不 同 的 思 路 与 解 法 ．
Ｙｏ
Ｊ Ｃ １
２
【 例１ 】 斜率为 １的直 线经过抛 物线 Ｙ 一４ ｘ的焦
点， 与抛物 线相交 于两 点 Ａ、 Ｂ， 求 线段 Ａ Ｂ 的长． （ 人 教
数学 ・ 解题 方法 与技 巧
教 材 题 目的 一 题 多 解 与 一 题 多 变
小学数学一题多解与一题多变B
小学数学一题多解与一题多变B摘要本文从不同角度分析这些题目，引出多种不同的解法，及不同的叙述同一试题的教学方法，这样训练有利于有目的、有重点的复习某些知识，又开拓了解题思路和激发学生的思维，一题多变更有效地培养了学生探索问题和解决问题的能力。
关键词一题多变一题多解每一类知识都有一丝联系，比方“认数与计算”包括整数、小数、分数、百分数认识与计算之间的联系。
只要找到这根丝，知识就可以从无序到有序的整合。
具体到每一节课，数学知识的内在联系主要表现在利用旧知识巧妙地引人新知，又在学生掌握新知后孕伏后续知识，特别在应用题是由此基础上引用一题多变或一题多解。
一题多变一题多变就是把一道题目改变条件或改变问题变换成许多题目。
通过一题多变的训练，可使学生从变化发展中掌握应用题之间的联系，构建新的知识结构。
1.小学数学一题多变有利于加强数学语言的训练在传授知识的过程中加强说的训练，加强规范语言的训练是教学基本要求。
数学家卡尔说：“一个没有几分诗人才气的数学家永远不会成为一个完全的数学家。
”这句话给我们的启示是：数学与语言是不可分的。
在小学数学教学系统中，“语言”起桥梁、媒介的作用。
如一道应用题，你不懂数学语言，就无法分析题意。
一题多变就是对数学语言的训练，加强数学语言的训练是数学老师自身的语言训练，即出题的语言技巧：如，给一个算式56/7。
（1）被除数是56，除数是7，商是多少？（2）老师有56个气球，平均分给7个小朋友，每个小朋友分几个气球？由于简单式题包容着丰富的内涵，就给知识的转移、教学过程的铺垫、教学内容的深化都带来了方便。
可见变化的数学语言可以培养发散思维，提高学生分析问题、解决问题的能力。
2．一题多问。
“变”在“问题”同一道题，同样的条件，从不同的角度出发，可以提出不同的问题。
如解答“五一班有学生４５人。
女生占４／９，女生有多少人？”这本来是一道很简单的题目。
教学中，老师往往会因学生很容易解答，而一晃而过，忽视发散思维的训练。
教育——2p-吴逸婷-2P-青年生活20年15期-小学数学“一题多解”与“一题多变”的分析研究
作者简介：吴逸婷（1993—），女，汉，江苏省苏州市。
中小学二级教师，本科，小学数学教育，苏州科技城实验小学校，江苏省，苏州市，215000小学数学“一题多解”与“一题多变”的分析研究吴逸婷苏州科技城实验小学校 江苏省苏州市 215000【摘要】本课题主要是针对小学数学中存在的“一题多解”、“一题多变”的典型例题进行整理，尝试归纳出小学数学中存在的“一题多解”和“一题多变”的题型及其应用；同时总结出“一题多解”与“一题多变”在小学数学中所体现出来的优点。
以此来证明：“一题多解”与“一题多变”的针对性训练有利于促进学生解题思维能力的提升和创新能力的发展，并且这种针对性训练能够有效地减少学生不必要的“题海”困扰。
【关键词】 一题多解 一题多变 解题思维 创新能力1小学数学中的“一题多解”的探究分析在教学中，通过多角度的思考来获得多种的解题途径，可以一定程度上拓宽学生的思路，培养他们的创新意识[1]。
想要解决一道题，我们可以从以下几个角度入手。
1.1从解决问题的策略入手在小学数学课本中，“解决问题的策略”是最难教，同样也是最难学的一个章节。
在小学这一阶段，学生陆续学习了相关的解题策略，有：替换法、假设法、列举法、方程法、转化法、列表法等等。
如果小学生能够正确地运用这些解题策略进行对问题的解答，那么就说明他们在对数学的综合运用能力方面已经获得了一定的提升。
在这里，我想用最典型的问题——“鸡兔同笼”来进行说明。
“鸡兔同笼”问题出自《孙子算经》。
原文是这样的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”用现代文来解释这段话，就是说：现在有鸡和兔子在同一个笼子里，他们一共有35个头、94只脚，提问：这个笼子里有鸡多少只？有兔子多少只？ 方法一：方程法①我们可以设笼子里有x 只鸡，那么根据题意，兔子就有)35(x -只。
鸡共有x 2只脚，兔子共有)35(4x -只脚。
则可以列出方程：94)35(42=-+x x 。
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考引言在学习中，我们经常会遇到一些问题，这些问题有时候并不是只有一个答案或一个解决方法。
一题多问、一题多变、一题多解的思想，就是针对这种情况而提出的。
本文将介绍这种思想的具体含义，及其在学习中的运用和思考。
一题多问在学习过程中，我们在掌握问题的基本内容后，有时候会遇到一些疑点。
这时候我们可以通过反复询问问题、寻找答案来更深入地理解问题。
一题多问的思想，就是在问题的基础上反复提出问题，追究问题的本质和细节，获得更深入的理解。
例如，我们在学习物理学中的牛顿第一定律时，可以从以下几个方面去思考问题：•什么是牛顿第一定律？•牛顿第一定律的实验验证的是什么？•牛顿第一定律的本质是什么？•牛顿第一定律与运动无关，那么万有引力定律是否也是与运动相关？通过一题多问的思想，我们可以深入地理解一个问题的本质和意义，从而更好地掌握其知识。
一题多变一题多变指的是在学习中，同一个问题可以有不同的表述方法或角度，通过不同的表述方法或角度来理解问题。
这种思想能够帮助我们更好地理解问题，从而更好地掌握知识。
例如，在学习数学中的解方程时，我们可以从以下几种不同的角度来表述同一个问题：•消元法：将未知数移项并整理，得到最终的解；•因式分解法：将多项式转化为一元二次方程组的形式，然后通过因式分解法得到最终的解；•公式法：对于某些特定的方程，我们可以使用特定的公式来求解。
通过一题多变的思想，我们可以更全面地理解一个问题，并且可以寻找不同的解决方法，从而更好地掌握知识。
一题多解一题多解指的是一个问题可以有不同的解决方法或答案。
在学习中，我们常常会遇到一些问题，即使是同一个问题，也可能有多个解决方法或答案。
一题多解的思想，就是鼓励我们去尝试不同的解决方法或答案，从而更好地掌握知识。
例如，在学习编程时，解决一个问题可能有多种不同的方法，我们可以通过不同的方法比较优劣性质，例如：代码复杂度、效率等，找到最佳的解决方法。
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-最新文档
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。
所谓“一题多解”，就是尽可能用多种例外方法去解决同一道题，更严重的是可以培养学生的思考能力和创造能力。
所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
一、利用一题多解训练学生的思维能力发散思维是从同一来源材料中探求例外答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。
通过一题多解，引导学生就例外的角度、例外的观点审视分析同一题中的数量关系，用例外解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的熟练运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
二、利用一题多变培养学生的广漠思维提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的严重教学手段。
通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。
在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。
即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。
这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广漠性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变（一）在例题讲解中运用一题多解一题多解，一道数学题，因思考的角度例外可得到多种例外的思路，广漠寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。
一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种多见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
浅谈数学中的一题多解与一题多变
浅谈数学中的一题多解与一题多变发表时间：2019-12-13T18:03:02.603Z 来源：《中小学教育》2020年第392期作者：董利杰[导读] 新课程标准明确指出, 课堂教学要突出学生的主体地位, 考虑学生的身心发展规律。
山东省淄博市临淄区边河中学255400摘要：新课程标准明确指出, 课堂教学要突出学生的主体地位, 考虑学生的身心发展规律。
在数学教学中采用一题多解与一题多变的思想方法, 一题多解与一题多变的变式在教学之中, 往往起到一座桥的作用, 在最近发展区能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸, 有利于学生提高解决综合问题的能力。
关键词：数学一题多解一题多变数学, 是一门自然学科, 同时也是一门逻辑性很强的学科，所以学好数学, 对于大多数学生是很难的一件事。
大多数学生认为数学枯燥、乏味，对数学学习提不起兴趣。
“如何帮助学生学好数学? ”便成了教师们的首要任务。
数学题是做不完的, 因此我们要采用巧妙的方法解决这个问题。
我认为要使学生学好数学, 要从提高学生学习能力和学习兴趣两方面着手。
在数学教学过程中, 通过利用一切条件, 采取一题多解与一题多变的形式进行教学, 这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性是一种很好的方法。
在赵振威著的文献[1]中, 详细地讲解了学好数学要采用一题多解与一题多变的思想方法；在文献[2]、[3]中作者讲解了一题多解在初、高中数学的运用；文献[4]说明了在高中数学教学中要充分利用课本上的例题和习题展开一题多解与一题多变的教学。
由此可见, 在数学教学中采用一题多解与一题多变的思想方法是很重要的。
那么, 下面就教学中如何运用“一题多解”与“一题多变”两个方面展开谈谈。
一、一题多解1.何为一题多解一题多解, 就是引导和启发学生运用不同的方法, 从不同角度、不同思路, 解答同一道数学问题。
用多种解法解答同一道数学题, 就是要充分运用学过的基础知识调动一切解题手段, 从各个不同的角度去探索解题途径。
浅谈一题多解与一题多变——从一道课本例题说起
（ ” １ ２ ～ ， ∈ Ｎ ３ 一 ） （ ）
三 、 由 ａ 一ｐ ＋ ｆ ）・ 确 定 的 数 列 的 通 项 求 ａ （ ，
公 式
四 由 确 的 列 通 公 、 ｎｉ 定 数 的 项 式 求 一
对 于由分式递推关 系确定 的数 列 ， 对左 右两边 进行
求 由 ａ 一ｐ ＋，（ 确 定 的数 列 的 通项 公 ａ ）・ 式， 一般可以通过左 右 两边 同 除 ， 消除 不 和谐 的指数
一
４，。 １ ｌ ２， ＝ ３２ ２， ． 一 ‘ 一 ２－
。 ． ．
Ｙ ２ （ ｌ ２ （ ２ ２ 一ｚ ２ ２ ｚ ＋ ｚ ） １・ 一 Ｉ 一 ） ｚ — ） ｚ １・ — （ １ ２
＋ ４ ４ １ ＋ ４ 一 ４ — — ２ 一 ．
・
’ 如
一
．
７１ ８
芝 一 一 １． Ｊ 一 ．Ｏ ＿ ．Ａ 。
，
倒数 ， 构造新数列 ， 最终把数列化 归为等 比或等差数列． 【 ７ （０８ 例 １ ２ ０ 年陕西 卷第 ２ ２题） 已知数 列 ｛ 的 ａ｝ 首项 ｎ 一ｉ ，ｎ卅 一 ３
式．
３ ｎ ａ
确定的数列的通项公式． 【 ６ （０ ０ 例 】 ２ １ 年重 庆理 数 ２ ） １ 在数 列 ｛ 中， ａ ｝ ｎ 一 ｃ ２ ＋１ （ ａ＋Ｃ ． ¨（ ｎ ） ∈Ｎ ） 其 中实 数 ｃ ０ 求 ， ≠ ．
Ｏ ． 课本 给出） Ｂ （
此 ａ 一 （ 一 １ ＋ ｆ ， ２ ） ≥ ．
所 以 ａ 一 ， ． １下 （ １）一 １ （ ３ ｎ ３ ｒ １， 以 ｎ一 ／ ）所 －
－
又 当 一１ 时上式成立． 因此 ａ ：（ 一１ ＋ｃ ｎ ） 一 ，
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用创新的教育价值观认为，教学的根本目的不是教会解答、掌握结论，而是在探究和解决问题的过程中锻炼思维，发展能力。
在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养学生思维的发散性和创造性。
下面我将结合人教版三年级数学教材浅析如下：一题多解所谓“一题多解”，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路、不同的方位，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题。
教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
如：“你们的折法相同吗？为什么涂色部分都是这张纸的四分之一？”通过一题多解，让学生异中求同，从而揭示出分数的本质。
一、鼓励学生进行一题多解的实际练习。
一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。
二、口述不同的解题思路和解题方法。
口述不同的解题思路和解题方法，就是只要求学生说出不同的解题思路和解题方法，不用具体解答，让学生动脑动口。
三、引导学生自己找出最简便的解法。
在学生求得多种解题方法之后，让他们自己去分析比较，可以相互讨论，也允许相互争论，让学生在此过程中，找出最简便的解题方法。
一题多解训练，还应当注意以下几点：(1)目的要明确。
(2)要注意把握上这种课的时机。
(3)选题要得当，方法要灵活。
一题多变所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，使学生学会用联想旧知，联想同类，改变事情，改变问题中的条件或问题等等变题方法，从中悟出解题规律、方法。
通过“一题多变”可以激发学生的学习兴趣，有效地避免题海战术，巩固数学知识，可培养学生独立思考，举一反三的学习态度，有利于扩大学生的视野，可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
一题多解,一题多变
一题多解，一题多变苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者.” 一题多解促使我们综合运用所学的基础知识去分析问题和解决问题；一题多解有助于找到最简捷的解题途径；一题多解有助于锻炼人的发散思维、培养人们的创新能力；一题多解使我们更易体验到成功的喜悦和自信.一题多解的另一层意思是将一些特别典型的题目多次求解，这不仅可以复习巩固所学的方法技巧，而且会对该类题目和解法有更深层的理解.一题多变 荷兰著名学者弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法是‘再创造’,也就是由学生本人把要学的东西发现或创造出来。
” 一题多变是在正确解答题目的基础上，对题目进行适当的改变或创新后再求解的解题模式. 当前教学改革的一个重要任务就是还学生学习的主体地位. 学生的主体地位不仅体现在课堂上的广泛参与，也体现在解题中的主动探索与创新. 如下例：已知幂函数m n p x y ⋅-=)1((m 、n 、p ∈N ,且m 、n 互质)的图象在第I 、II 象限，且不过原点，则（ ）A p 、n 为奇数，m 为偶数B p 、n 为偶数，m 为奇数C p 、m 为奇数，n 为偶数D p 、m 为偶数， n 为奇数该题的答案是C. 给出正确解答所，不妨再考虑：1. 将题干中条件 “不过原点”改为“过原点”；2. 将题干中条件“图象在第I 、II 象限”改为“图象只在第I 象限”、“图象在第I 、III 象限”；3. 将题目结构改变成“当 p 、n 为奇数，m 为偶数时，图象是否过原点？，图象在第几象限？”；“当 p 、n 为奇数，m 为偶数时，写出函数的定义域、值域”等等. 若是在学完第一章后复习时用到该题，还可以考虑其单调性、奇偶性、反函数等等. 再如：若方程m x x +=-21有解，求m 的取值范围. 该题属于含有未知系数的无理方程，可用数形结合的方法求解. 解答后，不妨考虑如下改变：1.变系数 将方程“m x x +=-21”变为“m x x +=-221”，变原来的“直线与上半圆的关系”为“直线与上半椭圆的关系”；2.变符号 将方程“m x x +=-21”变为“m x x +=21＋”，变为“直线与（上半）双曲线的关系”；3.变次数 将方程“m x x +=-21”变为“m x x +=-1”，变为“直线与（上半）抛物线的关系; 4.变字母位置 将方程“m x x +=-21”变为“212+=-mx x ”，变“平行直线系与（上半）圆锥曲线的关系”为“定点直线系与（上半）圆锥曲线的关系”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小学数学一题多解与一题多变B摘要：在本文里，一题多用特指渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；而一题多变则是指对同类数学问题的不同问法与解答的归纳，并进而构建数学模型。
在小学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。
关键词：数学，一题多解，一题多变，创造性，创设思维思维的广阔性是发散思维的又一特征。
思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。
反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。
可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。
教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。
要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。
要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。
一、一题多解，有利于加强学生的思维训练一题多解，指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得。
就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。
上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。
心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。
数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。
在小学阶段，一般包括枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。
一题多解则是诸多解题策略的综合运用。
教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径。
一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法。
它可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三、融会贯通的目的。
在小学数学教学中，我们要在多方面时刻注意培养学生的发散思维能力。
但是值得注意的是，如果片面地培养学生的发散思维能力，就会失之偏颇。
在思维向某一方向发散的过程中，仍然需要集中思维的配合，需要严谨的分析、合乎逻辑的推理，在发散的多种途径、多种方法中，也需要通过比较判断，获得一种最简捷、最科学的方案与结果。
所以，思维的发散与集中犹如鸟之双翼，需要和谐配合，才能使学生的思维发展到新的水平。
二、启发学生用多种思路解答问题从不同的角度观察和思考问题，就会有不同的解题思路。
在比较中选择最佳思路。
例如：计划修一条长120米的水渠，前5天修了这条水渠的20%，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？这道题可以启发学生先求工作效率，即从“工作量÷工作时间”来思考。
解法（1）： 120÷（120×20%÷5）－5解法（2）：（120－120×20%）÷（120×20%÷5）这道题也可以从分数的意义直接进行解答：解法（3）：1÷（20%÷5）－5解法（4）：（1－20%）÷（20%÷5）解法（5） 5÷20%－5在学生进行解答后，我再让学生找出最佳的解答方法，学生经过比较，可以发现以解法（5）为最优。
在教学实践中,这样经常进行多向思维的训练，可以让学生广开思路，萌发思维的创造性。
三、鼓励学生打破常规，标新立异常规是我们认识问题和解决问题的一般方法。
教学中，我们教师要在掌握常规的基础上鼓励学生突破常规，敢于设想创新，敢于标新立异。
例如：李老师带了若干元去买书。
一部书分为上、下两集，用全部钱能买上集10册或买下集15册。
已知上集比下集每本贵2元，张老师一共带了多少元？这题学生一般用“归一”和“倍比”的思路解答。
解法（1）2×10÷（15－10）×15＝60（元）解法（2）2×10×［15÷（15－10）］＝60（元）在运用“归一”和“倍比”解法的基础上，我进一步启发学生进行分析，如果把李老师所带的钱看做单位“1”，那么，上集每本的钱则占总钱数的1/10，下集每本的钱则占总钱数的1/15，这样就可以找出一组相对应的数量，即上集比下集每本贵2元，相当于总钱数的（1/10－1/15），因此，可求得张老师带的总钱数是：解法（3） 2÷（1/10－1/15）＝60（元）在教学中，我们要多给学生发表独立见解的机会，对有独到见解的学生要给予鼓励和表扬，以促进学生创造性思维的发展。
四、通过一题的灵活多变，不断培养学生的创新素质在教学中，如果能做到引导学生对命题条件、结论进行各种变换，能充分调动学生学习的积极性。
例如在学习了长方体的表面积后，让学生归纳出了求长方体的表面积公式后，可出示长方体的实物，并演示提出如果少掉一个底面的一个面，请学生思考这时五个面的面积公式又是怎样的？如果少掉前面的一个面，这时五个面的面积公式又是怎样的？如果少掉两个底面，这时的四个面的面积公式又是怎样的？少掉了两个底面，这时实际只要求什么？哪一种物体只要求出四个面？学生经过讨论，很快能说出求五个面的面积公式，并知道少掉两个底面，实际上只要求长方体的侧面积，通风管即只要求四个面。
这样通过运用实物和教具，让学生在实践中通过联想，增强了学生的创新意识，培养了学生的创造性思维能力，同时也提高了学生的解题能力。
再如课本上九年义务教育六年制小学数学第十二册中的一道思考题：“修一条公路，已修和未修长度的比是1∶3，再修300米后，已修和未修长度的比是1∶2。
这条路长多少米？”这道题有的学生求解会有一定的难度，我就先出示了这样一道题：“修一条公路，已修了全长的1/4，再修300米后，则已修了全长的1/3 ，这条路长多少米？”。
这道题学生很快能列出算式：300÷（1/3－1/4 ）＝3600（米）。
然后我再引导学生思考，上面一道思考题的条件是：“再修300米后，已修和未修长度的比是1∶2”，这里隐藏着一个等量关系，如果抓住这个等量关系，就可列方程解答。
解：设：已修的长度为X米，那么未修的长度为3X米。
（X＋300）∶（3 X－300）＝l∶2解得X＝900X＋3X＝900＋900×3＝3600（米）答：这条路长3600米。
接着，我再引导学生，又因为公路的总米数是“不变量”，把条件“已修和未修长度的比是1∶ 3，再修300米后，已修和未修长度的比是1∶ 2”转化为：“已修长度是未修长度的 1/3 ，再修300米，已修长度是未修长度的 1/2”，如把公路全长看作单位“1”，所以可得，已修的长度就是总长度的：1/3÷（1 ＋ 1/3 ）＝ 1/4 ，再修300米后，已修的长度就是总长度的：1/2÷（1＋1/2）= 1/3 ，由此可知，300米就相当于公路全长的：（1/3－1/4 ），所以可列式为：300÷（ 1/3 － 1/4 ）＝3600（米）。
答：这条路有3600米。
在学生掌握了这道思考题的解答方法后，可再出示这样一题：“修一条公路，已修长度是未修长度的是 1/3，再修300米后，已修长度是未修长度的1/2。
这条路长多少米？”。
然后我组织学生讨论，学生在掌握了上道题的解题方法后，很快能求出公路的全长是： 300÷ [ 1/2÷（1＋1/2 ）－1/3÷（1＋1/3 ）]＝3600（米）。
接着，又出示这样一题：“修一条公路，未修长度是已修长度的3倍，再修300米后，未修长度是已修长度的 2倍。
这条路长多少米？”。
再组织学生讨论，学生在解答了上面二题的基础上，也能很快求出这条公路的长度是：300÷ [ 1÷（1＋2）－1÷（1＋3）]＝3600（米）。
数学教师要在课堂教学中培养学生的创造力，首先应创设一种民主、宽松、和谐的教学环境和教学气氛。
有意识的培养学生的创新意识；善于激发学生的创造动机；发展学生的创造思维；树立学生具有创造力的个性品质。
同时教师还要注意自身的知识和能力储备。
教师自己能够打破传统定势，提高自身的认知水平，才能更加灵活的去引导学生的发展。
更好的促进学生的发展。
实现教书育人的目的。
五、设计开放性习题，进行思维发散开放性习题往往答案不固定或条件不完备，能引起学生思维发散。
发散思维是创造性思维的主要成分。
训练思维发散，给学生以创新的机会，可以培养学生思维的广阔性、灵活性和创造性。
（1）一题多解的训练。
例如结合应用题教学，可出示这样一题：“红星小学有250名师生，现在要租车去游览。
有两种车供选择：48座的大巴车，每辆租费480元；20座的中巴车，每辆租费220元。
怎样租车才能使每个旅客都有座，又最省钱？”解答这样的问题，一般要设计几种方案，进行比较后，再确定最佳方案，而选择最佳租车方案，一般应从两方面来考虑：一是尽量多租每个座位花钱少的车；二是使空座位尽量少，提高座位利用率。
我先请学生自己设计好方案，然后再进行交流，学生经过讨论，得出了以下方案：大巴车每座需：480÷48=10(2)一题多变的训练。
对题中的条件、问题、情节作各种扩缩、顺逆、对比或叙述形式的变化，让学生在各种变化了的情境中，从各种不同角度认识数量关系。
一题多变，也是培养学生思维流畅性的好形式。
如给学生一组条件：“西村小学五年级有拉生50人，女生40人。
”要求多方位地提出新颖的问题。
同学们经过独立思考，小组议论，提出如下一些问题：1、五年级共多少人？2、男生它女生多多少人？3、女生它男生少多少人？4、男生是女生的几倍？5、女生是男生的几分之几？6、男、女生各占总数的几分之几？•7、女生是男生的几分之几？8、男生它女生多百分之几？9、女生它男生少百分之几？•10、男生和女生的人数它是多少？……使他们的思维多方面、多层次地扩散，为提出多种解题方法创造条件。
再如，有一批零件，由甲单独做需要12小时，乙单独做需要10小时，丙单独做需要15小时。