高数课本课后必做习题
（WORD）-高等数学课后习题（完整版）及答案
高等数学课后习题(完整版)及答案高等数学课后答案习题1 11设A ( 5) (5 ) B [10 3)写出A BA B A\B及A\(A\B)的表达式解 A B ( 3) (5 )A B [105)A\B ( 10) (5 )A\(A\B) [105)2设A、B是任意两个集合证明对偶律 (A B)C AC BC 证明因为x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x ACBC所以 (A B)C AC BC3设映射f X Y A X B X 证明(1)f(A B) f(A) f(B)(2)f(A B) f(A) f(B)证明因为y f(A B) x A B使f(x) y(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)(2)因为y f(A B) x A B使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f(B) y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)4设映射f X Y若存在一个映射g Y X使g f IXf g IY其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个x X有IX x x 对于每一个y Y有IY y y证明 f是双射且g是f的逆映射 g f 1证明因为对于任意的y Y有x g(y) X且f(x) f[g(y)] Iy y y即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1 x2必有f(x1) f(x2)否则若f(x1) f(x2) g[ f(x1)] g[f(x2)] x1 x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射g Y X因为对每个y Y有g(y) x X且满足f(x) f[g(y)] Iy y y按逆映射的定义 g是f的逆映射5设映射f X Y A X 证明(1)f 1(f(A)) A(2)当f是单射时有f 1(f(A)) A证明 (1)因为x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A))所以 f 1(f(A)) A(2)由(1)知f 1(f(A)) A另一方面对于任意的x f 1(f(A)) 存在y f(A)使f1(y) x f(x) y 因为y f(A)且f是单射所以x A这就证明了f 1(f(A)) A因此f 1(f(A)) A6求下列函数的自然定义域(1)y x233 解由3x2 0得x 2函数的定义域为[2, )(2)y 1 1x2解由1x2 0得x 1函数的定义域为( 1) (11) (1 )(3)y 1x x2解由x 0且1x2 0得函数的定义域D [1 0) (0 1](4)y 14x2解由4x2 0得 |x| 2函数的定义域为(2 2)(5)y sinx解由x 0得函数的定义D [0 )(6) y tan(x1)2 解由x1 (k 0 1 2 )得函数的定义域为x k 1 (k 0 1 2 2)(7) y arcsin(x3)解由|x3| 1得函数的定义域D [2 4](8)y x1 x解由3x 0且x 0得函数的定义域D ( 0) (0 3)(9) y ln(x1)解由x1 0得函数的定义域D (1 )(10)y ex解由x 0得函数的定义域D ( 0) (0 )7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x(2) f(x) x g(x) x2(3)f(x) x4x3g(x) xx1(4)f(x) 1 g(x) sec2x tan2x解 (1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同 x 0时 g(x) x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同8 |sinx| |x|3设 (x) |x| 0 3 求 ( ) ( ) ( ) (2)并作出函数y (x)644的图形) |sin | 解 ( ) |sin | 1 (446622) |sin( )| (442 (2) 09试证下列函数在指定区间内的单调性(1)y x ( 1) 1x(2)y x ln x (0 )证明 (1)对于任意的x1 x2 ( 1)有1x1 0 1x2 0因为当x1 x2时y1y2 xxx x 0 1x11x2(1x1)(1x2) 所以函数y x在区间( 1)内是单调增加的 1x(2)对于任意的x1 x2 (0 )当x1 x2时有y1y2 (x1lnx1)(x2lnx2) (x1x2)lnx 0 x2所以函数y x ln x在区间(0 )内是单调增加的10设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数若f(x)在(0 l)内单调增加证明f(x)在(l 0)内也单调增加证明对于x1 x2 (l 0)且x1 x2有x1x2 (0 l)且x1 x2因为f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数所以f(x2) f(x1)f(x2) f(x1) f(x2) f(x1)这就证明了对于x1 x2 (l 0)有f(x1) f(x2)所以f(x)在(l 0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明 (1)设F(x) f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设F(x) f(x) g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x) g(x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x) g(x) [f(x)][g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则F(x) f(x) g(x) f(x)[g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y x2(1x2)(2)y 3x2x3(3)y 1x2 1x2(4)y x(x1)(x1)(5)y sin x cos x1(6)y ax a x2解 (1)因为f(x) (x)2[1(x)2] x2(1x2) f(x)所以f(x)是偶函数(2)由f(x) 3(x)2(x)3 3x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为1(x)21x2f(x) f(x) 221x1x所以f(x)是偶函数(4)因为f(x) (x)(x1)(x1) x(x1)(x1) f(x)所以f(x)是奇函数(5)由f(x) sin(x)cos(x)1 sin x cos x1可见f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为(x)(x)xxa aa af(x) f(x) 22所以f(x)是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)y cos(x2)解是周期函数周期为l 2(2)y cos 4x解是周期函数周期为l 2(3)y 1sin x解是周期函数周期为l 2(4)y xcos x解不是周期函数(5)y sin2x解是周期函数周期为l14求下列函数的反函数(1)y x1解由y x1得x y31所以y x1的反函数为y x31(2)y 1x 1x解由y 1x得x 1y所以y 1x的反函数为y 1x1x1y1x1x(3)y ax b(ad bc 0) cx d解由y ax b得x dy b所以y ax b的反函数为y dx b cx dcy acx dcx a(4) y 2sin3xyarcsin所以y 2sin3x的反函数为y 1arcsinx解由y 2sin 3x 得x 13232(5) y 1ln(x2)x2(6)y 2 1 解由y 1ln(x2)得x ey12所以y 1ln(x2)的反函数为y ex122xx y 所以的反函数为y log2211x 解 y2xy x log由得21y2 115设函数f(x)在数集X上有定义试证 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f(x)在X上有界则存在正数M使|f(x)| M即M f(x) M这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M再证充分性设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2即K1 f(x) K2 取M max{|K1| |K2|}则M K1 f(x)K2 M即 |f(x)| M这就证明了f(x)在X上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1) y u2 u sin x解 y sin2x x1 6x2 33y1 sin2 12 1y2 sin2 ()2 324624x1 x2 84 (2) y sin u u 2x解 y sin2x(3)y解 y1 sin(2 ) sin y2 sin(2 sin 1 842422u 1x x1 1 x2 2 y x2 y1 12 y2 22(4) y eu u x2 x1 0 x2 1解 y ex2 y1 e0 1 y2 e1 e 22(5) y u2 u ex x1 1 x2 1解 y e2x y1 e2 1 e2 y2 e2 (1) e217设f(x)的定义域D [0 1]求下列各函数的定义域(1) f(x2)解由0 x2 1得|x| 1所以函数f(x2)的定义域为[1 1](2) f(sinx)解由0 sin x 1得2n x (2n1) (n 0 1 2 )所以函数f(sin x)的定义域为[2n (2n1) ] (n 0 1 2 )(3) f(x a)(a>0)解由0 x a 1得a x 1a所以函数f(x a)的定义域为[a 1a](4) f(x a)f(x a)(a 0)22 解由0 x a 1且0 x a 1得 当0 a 1时 a x 1a 当a 1时无解因此当0 a 1时函数的定义域为[a 1a]当a 1时函数无意义2218设的图形解 |x| 1 1 x f(x) 0 |x| 1 g(x) e |x| 1 1 求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数 1 |ex| 1 f[g(x)] 0|ex| 11 |ex| 1 即 1 x 0 f[g(x)] 0 x 0 1 x 0e1 |x| 1 g[f(x)] ef(x) e0 |x| 1e 1 |x| 1 e |x| 1 |x| 1即g[f(x)] 11 |x| 1 e19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角 40 (图137)当过水断面ABCD的面积为定值S0周L(L AB BC CD)与水的函数关系式并指明其图137解 AB DC hsin40 0cot40 h所以又从1h[BC(BC2cot40 h)] S0得BC Sh时求湿深h之间定义域 2S2cos40L h hsin40自变量h的取值范围应由不等式组h 0确定定义域为0 h 0cot40S0 cot40 h 0 h20收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少？解 (1)当0 x 100时 p 90令001(x0100) 9075得x0 1600因此当x 1600时p 75当100 x 1600时p 90(x100) 001 910 01x综合上述结果得到0 x 100 90 p 910.01x 100 x 1600 75 x 1600 30x 0 x 1002100 x 1600 (2)P (p60)x 31x0.01x 15x x 1600(3) P 31 1000001 10002 21000(元)习题1 21观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势写出它们的极限 (1)xn 1 2n解当n 时(2)xn (1)n1 n1 0 0 xn 1limn 22 解当n 时(3)xn 2 12 nxn (1)n1 0 lim(1)n1 0 n nn解当n 时(4)xn n1 n1xn 21 2 lim(21) 2 n nn2解当n 时(5) xn n(1)n xn n1 12 0 limn1 1n n1n1n 1解当n 时 xn n(1)n没有极限2 cos设数列{xn}的一般项xn nx ? 求出N使当n N时 xn问nlim n与其极限之差的绝对值小于正数 当 0001时求出数N解limx 0n n要使|x n0| 只要1 也就是n 1取n|cos|1 0 |xn0| nnN [1]则n N有|xn0|当 0001时 N [1] 10003根据数列极限的定义证明1 0 (1)nlim 2n分析要使|120| 12 只须n2 1即nnn1nn证明因为 0N [3n1 3 (2)nlim1]1 0当n N时有|120| 所以nlim 2分析2n12n13| 1 1要使|3 2n122(2n1)4n4只须证明因为 0N [1]当n N (3)nlim 分析 n2a2 1 n1 即n 14 4n3n1 3时有|3n13| 所以nlim 2n122n12只须2an222222a a naa要使|1| 22nnn a n)n2aN []证明因为 022n alim 1 n n当n N时有|n2a21|n所以(4)nlim0. 999 9 1n个分析要使|099 91|110n 1只须1 10即n 1lg1证明因为 0N [1lg1]当n N时有|099 91| 所以n n个lim0.999 9 1|u| |a|并举例说明 如果数列{|xn|}有极限但数证明nlimn4limu an n列{xn}未必有极限u a所以 0N N当n N时有|un a| 从而证明因为nlim n||un||a|| |un a||un| |a|这就证明了nlim|(1)n| 1但lim(1)n 数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限例如nlimn不存在y 0证明 5设数列{xn}有界又nlim nn limxnyn 0证明因为数列{xn}有界所以存在M使n Z有|xn| Myn 0所以 0N N当n N时有|yn| 从而当n N时又nlim M有xy 0所以nlim nn|xnyn0| |xnyn| M|yn| M M6对于数列{xn}若x2k1 a(k ) x2k a(k )证明 xn a(n )证明因为x2k1 a(k ) x2k a(k )所以 0K1当2k1 2K11时有| x2k1a| K2当2k 2K2时有|x2k a| 取N max{2K11 2K2}只要n N就有|xn a| 因此xn a (n )习题1 31根据函数极限的定义证明(3x1) 8 (1)limx 3分析因为|(3x1)8| |3x9| 3|x3|所以要使|(3x1)8| 只须|x3| 1 3 证明因为 0 1 当0 |x3| 时有 3|(3x1)8|(3x1) 8所以limx 3(5x2) 12 (2)limx 2分析因为|(5x2)12| |5x10| 5|x2|所以要使|(5x2)12| 只须|x2| 1 5 证明因为 0 1 当0 |x2| 时有 5|(5x2)12|(5x2) 12所以limx 22x4 4(3)xlim 2x 2分析因为x24(4) x24x4 |x2| |x(2)| x2x 2所以要使x24(4) x2只须|x(2)| 证明因为 0 当0 |x(2)| 时有x24(4) x2x24 4lim所以x 2x2314x(4)lim 2 2x1x分析因为所以要使14x32 |12x2| 2|x(1)| 2x1214x32 2x1只须|x(1)| 1 2222 证明因为 0 1 当0 |x(1)| 时有 14x32 2x1 314x所以lim 2 2x1x 22根据函数极限的定义证明1x (1)xlim 1 22x3分析因为所以要使1x31 1x3x3 1 2x322x32|x|3 1x312x2只须1 2|x|即|x| 1证明因为 0X 1当|x| X时有 1x312x3231x 1所以xlim3 2x2sinx 0 (2)xlim x 分析因为所以要使证明sinx0 |sinx| 1 xxxsinx0 只须1 即x 12x x因为 0X 1当x X时有 2sinx0 xsinx 0所以xlim x 3当x 2时 y x2 4问 等于多少使当|x2|< 时 |y4|<0001？解由于当x 2时 |x2| 0故可设|x2| 1即1 x 3要使|x24| |x2||x2| 5|x2| 0001只要|x2| 0.001 0.0002 5取 00002则当0 |x2| 时就有|x24| 0 0014当x 时解要使y x21 1 x32问X等于多少使当|x| X时|y1| 001? 只要|x| 43 0.01x211 4 0.01x23x23故X5证明函数f(x) |x|当x 0时极限为零证明因为|f(x)0| ||x|0| |x| |x0|所以要使|f(x)0| 只须|x|因为对 0 使当0 |x0| 时有|f(x)0| ||x|0||x| 0所以limx 06求f(x) x, x (x) |x|当xx 0时的左﹑右极限并说明它们在x 0时的极限是否存在证明因为lim f(x) lim x lim1 1x 0x 0xx 0lim f(x) lim x lim1 1 x 0x 0xx 0x 0limf(x) lim f(x) x 0f(x)存在所以极限limx 0因为|x| lim x 1 x 0x 0xx 0x|x|x 1lim (x) lim limx 0x 0xx 0xlim (x) limx 0 lim (x) lim (x) x 0(x)不存在所以极限limx 07证明 若x 及x 时函数f(x)的极限都存在且都等于Af(x) A则xlimf(x) A证明因为xlim x limf(x) A所以 >0X1 0使当x X1时有|f(x)A|X2 0使当x X2时有|f(x)A|f(x) A取X max{X1 X2}则当|x| X时有|f(x)A| 即xlim8根据极限的定义证明 函数f(x)当x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设f(x) A(x x0)则 >0 0使当0<|x x0|< 时有|f(x)A|<因此当x0 <x<x0和x0<x<x0 时都有|f(x)A|<这说明f(x)当x x0时左右极限都存在并且都等于A再证明充分性设f(x00) f(x00) A则 >01>0使当x0 1<x<x0时有| f(x)A<2>0使当x0<x<x0+ 2时有| f(x)A|<取 min{ 1 2}则当0<|x x0|< 时有x0 1<x<x0及x0<x<x0+ 2 从而有| f(x)A|<即f(x) A(x x0)9试给出x 时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解 x 时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x 时的极限存在则存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M证明设f(x) A(x )则对于 1X 0当|x| X时有|f(x)A| 1所以|f(x)| |f(x)A A| |f(x)A||A| 1|A|这就是说存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M其中M 1|A|习题1 41两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定(x)2 例如当x 0时 (x) 2x (x) 3x都是无穷小但limx 0(x)3 (x)不 (x)是无穷小2根据定义证明2x9(1)y x当x 3时为无穷小; 3(2)y xsin1当x 0时为无穷小x2x9 |x3|时|y| x 3 证明 (1)当x 3有因为 0当0 |x3| 时2|y| x9 |x3| x 32x9所以当x 3时y x为无穷小 3(2)当x 0时|y| |x||sin1| |x0|因为 0 x|y| |x||sin1| |x0| x所以当x 0时y xsin1为无穷小 x当0 |x0| 时有3根据定义证明 函数y 12x为当x 0时的无穷大问x应满足什x么条件能使|y| 104？证明分析|y||x| 1 M212x 21 12 xx|x|2 M即要使|y| M只须|1x|证明因为M 0所以当取1使当0 |x0| 时有12x M xM2x 0时函数y 12x是无穷大 xM 104则 41当0 |x0| 41时|y| 104 10210 2 4求下列极限并说明理由2x1; (1)limx x21x(2)limx 01xxxxx1x2 1所以lim x 01x2x1 2解 (1)因为2x1 21而当x 时1是无穷小所以limx x (2)因为11x2 1x(x 1)而当x 0时x为无穷小5根据函数极限或无穷大定义填写下表解6函数y xcos x在( )内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？解函数y xcos x在( )内无界这是因为M 0在( )内总能找到这样的x使得|y(x)| M例如y(2k ) 2k cos2k 2k (k 0 1 2 )当k充分大时就有| y(2k )| M当x 时函数y xcos x不是无穷大这是因为M 0找不到这样一个时刻N使对一切大于N的x都有|y(x)| M例如y(2k (2k )cos(2k ) 0(k 0 1 2 ) 2222 对任何大的N当k充分大时总有x 2k N但|y(x)| 0 M7证明 函数y 1sin1在区间(0 1]上无界但这函数不是当x 0+时xx的无穷大证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界这是因为 xx M 0在(0 1]中总可以找到点xk使y(xk) M例如当xk2k 1(k 0 1 2 )2时有y(xk) 2k2当k充分大时 y(xk) M当x 0+ 时函数y 1sin1不是无穷大这是因为 xxM 0对所有的 0总可以找到这样的点xk使0 xk但y(xk) M例如可取xk 12k(k 0 1 2 )当k充分大时 xk 但y(xk) 2k sin2k 0 M习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x3x25 225 9lim解 x 2x3232x(2)3 x x 1解 2()23x3 0 2x x1() 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x2 14x32x2xlim(4)x 02 3x2x3224x2x x4x2x1 1 lim解lim x 03x2xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx xxx2x1(7)xlim 2x2x 1 解 1 121 limlimx 1 2x 2x x1x 22xx2(8)xlim解或 x2x 42x3x12xx 0lim42(分子次数低于分母次数x x3x1112x lim23 0lim4x2 x x3x1x 1xx2极限为零) x6x8 (9)limx 4x5x 4解 2(x2)(x4)limx26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 n n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2nn(n1)(n2)(n3)(13)nlim5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 3n n 5nnn55n(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1x3x 1(1x)(x 1(1x)(1x x2)1x x2) limx 21 x 11x x2计算下列极限32x2x(1)x lim 2(x2)2解 (x2)20lim 0因为x 2x2x162x所以limx 22x2 (x2)23 x (2)xlim 2x 1解 2xlim x 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctanx (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时 1是无穷小解xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x322x52lim 5 9解 x 2x32 3 2x(2)23 x x 1解 2()23x3 0 x x21()2 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x 1 324x2x x(4)limx 03x22x4x32x2x lim4x22x1 1解 limx 03x22xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx x2xx2(7)xlim解x21 22x x1112x1lim2 lim 1x 2x x1x 222xx x2x x x43x212x x 0解xlim(分子次数低于分母次数 x3x1(8)lim极限为零)或112x lim 0lim4x2 x x3x1x 21124xx2 x6x8 (9)limx 42x5x 4解 2(x2)(x4)xlim26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 nn n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim 2(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2n2n2(n1)(n2)(n3)(13)nlim3 5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 n 5n nnn55n3(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1xx 1(1x)(x 1(1x)(1x x)1x x) limx 22 1 x 11x x2计算下列极限 32x2xlim(1)x 2(x2)2解 (x2)20lim3 0因为x 2x2x21632x2x 所以limx 2(x2)2 x2lim(2)x 2x1 x2 解 xlim 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctan x (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时1是无穷小解 xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题 171当x 0时 2x x2 与x2x3相比哪一个是高阶无穷小？解232x xx x lim 0因为limx 02x xx 02x所以当x 0时 x2x3是高阶无穷小即x2x3 o(2x x2)2当x 1时无穷小1x和(1)1x3 (2)1(1x2)是否同阶？是否等2价？解 3(1x)(1x x2)1x lim lim(1x x2) 3 (1)因为limx 11xx 1x 11x所以当x 1时 1x和1x3是同阶的无穷小但不是等价无穷小1(1x2) 1lim(1x) 1 (2)因为limx 11x2x 1所以当x 1时 1x和1(1x2)是同阶的无穷小而且是等价无穷小 23证明 当x 0时有(1) arctan x~x2x(2)secx1~2arctanx lim 证明 (1)因为limx 0y 0xy 1(提示 tany令y arctan x则当x 0时y 0)所以当x 0时 arctanx~x2sin2x2sinxsecx1 2lim1cosx lim lim(2 1 (2)因为limx 02x 0x2cosxx 0x 0x2x2222xsecx1~ 2 所以当x 0时4利用等价无穷小的性质求下列极限tan3x (1)limx 02xsin(xn)(2)limx 0(sinx)m(n m为正整数)tanx sinx (3)limx 0sinx(4)limx 0sinx tanx 2(x1sinx1)tan3x lim3x 3解 (1)limx 0x 02x2x21 n mn sin(xn)x 0 n m lim(2)limx 0(sinx)mx 0xm n m1x2sinx(11)tanx sinx lim lim1cosx lim2 1(3)lim332x 0x 0x 0cosxsinxx 0xcosx2sinxsinx(4)因为sinx tanx tanx(cosx1) 2tanxsin2x~2x x)2 1x3(x 0) 222所以x21 x21x2(x 0) ~1x2)2x213sinx~sinx~x(x 0) sinx1sinx1 1x3sinx tanxlim lim 3x 0(x21sinx1)x 02x x35证明无穷小的等价关系具有下列性质(1) ~ (自反性)(2) 若 ~ 则 ~ (对称性)(3)若 ~ ~ 则 ~ (传递性)证明 (1)lim 1所以 ~1从而lim 1因此 ~ (2) 若 ~ 则lim(3) 若 ~ ~习题18 lim lim lim 1 因此 ~1研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1) x2 0 x 1 f(x) 2x 1 x 2解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的在x 1处因为f(1) 1并且x 12f(x) lim(2x) 1 limf(x) limx 1lim x 1x 1x 1f(x) 1从而函数f(x)在x 1处是连续的所以limx 1综上所述，函数f(x)在[0 2]上是连续函数x 1 x 1 (2)f(x) 1 |x| 1解只需考察函数在x 1和x 1处的连续性在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1 x 1limf(x) lim x 1 f(1)所以函数在x 1处间断但右连续在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim x 1 f(1) limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1x 1所以函数在x 1处连续综合上述讨论函数在( 1)和(1 )内连续在x 1处间断但右连续2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续2x(1)y 21 x 1 x 2 x3x 2解 2(x1)(x1)xy 21 x3x2(x2)(x1)因为函数在x 2和x 1处无定义所以x 2和x 1是函数的间断点2xlimy lim21 因为x 2x 2x3x2所以x 2是函数的第二类间断点(x1)y lim 2所以x 1是函数的第一类间断点并且是可去因为limx 1x 1(x2)间断点在x 1处令y 2则函数在x 1处成为连续的(2)y x x k x k tanx2(k 0 1 2 )2 解函数在点x k (k Z)和x k (k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因xlim k x (k 0) tanxx 1 tanxlimx k 故x k (k 0)是第二类间断点2 因为limx 0x 0(k Z) tanx所以x 0和x k (k Z) 是第一2类间断点且是可去间断点令y|x 0 1则函数在x 0处成为连续的令x k 时 y 0则函数在x k 处成为连续的2(3)y cos21 x 0 x2xx 解因为函数y cos21在x 0处无定义所以x 0是函数y cos21的间断点又因为limcos21不存在所以x 0是函数的第二类间断点x 0xx 1 x 1 (4)y 3 x x 1 x 1解因为xlim1f(x) lim(x1) 0limf(x) lim(3x) 2x 1x 1x 1所以x 1是函数的第一类不可去间断点 3讨论函数解2n1xf(x) limx的连续性 n 1x2n若有间断点判别其类型x |x| 12n 1xf(x) limx 0 |x| 1 n 1x2nx |x| 1f(x) lim(x) 1 lim f(x) lim x 1x 1x 1x 1lim 在分段点x 1处因为x1所以x 1为函数的第一类不可去间断点在分段点x 1处因为xlim 1f(x) lim x 1 limf(x) lim(x) 1x 1x 1x 1所以x 1为函数的第一类不可去间断点4证明 若函数f(x)在点x0连续且f(x0) 0则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 0证明不妨设f(x0)>0因为f(x)在x0连续所以xlimx的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域U(x0)f(x) f(x0) 0由极限f(x)>0使当x U(x0)时从而当x U(x0)时 f(x)>0这就是说则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子 (1)x 0 12无穷间断点1 n 1 是2nf(x)的所有间断点且它们都是解函数f(x) csc( x)csc 在点x 0 1 2 x 1 n 1 处是间断2n的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续1 x Q 解函数f(x) 1 x Q在R上处处不连续但|f(x)| 1在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续x x Q 解函数f(x) 在R上处处有定义它只在x 0处连续x x Q习题191求函数f(x) xlimf(x) x 233x2x3的连续区间 2x x6f(x)并求极限limx 0x 3limf(x)及33x2x3 (x3)(x1)(x1)f(x) x(x3)(x2)x x 6 解函数在( )内除点x 2和x 3外是连续的所以函数f(x)的连续区间为( 3)、(3 2)、(2 )在函数的连续点x 0处 limf(x) f(0) 1 x 02在函数的间断点x 2和x 3处limf(x) limx 2(x1)(x1)(x3)(x1)(x1) 8limf(x) limx 3x 3x 2x25(x3)(x2) 2设函数f(x)与g(x)在点x0连续证明函数(x) max{f(x) g(x)} (x) min{f(x) g(x)} 在点x0也连续证明已知xlim x可以验证(x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]因此2 (x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] 20f(x) f(x0)limg(x) g(x0) x x0因为lim (x) lim1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]x x0x x02 1[limf(x)limg(x)|limf(x)limg(x)| ]x x0x x0x x02x x01[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] (x0) 2所以 (x)在点x0也连续同理可证明 (x)在点x0也连续3求下列极限(1)limx 0x 4x22x5 (sin2x)3 (2)limln(2cos2x) (3)limx 6(4)limx 0x11 xx4x (5)limx 1x 1(6)xlimsinx sina ax a(7)xlim(x2x x2x)解 (1)因为函数f(x) x 0x22x5是初等函数f(x)在点x 0有定义所以 limx22x5 f(0) 22 054 (2)因为函数f(x) (sin 2x)3是初等函数 f(x)在点x 有定义所以lim(sin2x)3 f( (sin2 3 1 44x 46 (3)因为函数f(x) ln(2cos2x)是初等函数 f(x)在点x 有定义所以limln(2cos2x) f( ) ln(2cos2 0 66x(4)limx 0x11 lim(x11)(x11) limxx 0x 0x(x11xx(x11) )11 111112 limx 0(5)limx 1x4x lim(x4xx4x)x 1x1(x1x4x) lim444x4 lim 2x 1x4xx 1(x1x4x) 142cosx asinx alimsinx sina lim(6)x ax ax ax asinx a cosa a 1 cosalimcosx a limx a2x a2222(x2x x2x)(x2x x2x)(x x x x) lim(7)xlim 22 x (x x x x)lim2x2 lim 1 x (x2x x2x)x (11)xx4求下列极限(1)xlim(2)limlnsinx x 0x1ex(11)2 (3)xlim x2x(13tan2x)cotx (4)limx 0x13x( (5)xlim 6x(6)limx 0tanx sinxx sin2x xlime e1lim1x 解 (1) (2) (3) x e0 1 limlnsinx ln(limsinx) ln1 0x 0x 0xxx1lim(1 2x x limx 11x2(1)x e 12(4)lim(13tan2x)cotx limx 02x 0 1(13tan2x)3tan2x3 e3x13x 3 (5)(6x) (16x)36x2因为3(1)3 e lim3 x1 3 xlim x 6x26x23x2 e2所以xlim 6x(tanx sinx)(sin2x1)tanx sinx lim(6)lim22x 0x 0x sinx xx(sinx1)(tanx sinx)2xtanx 2sin(ta nx sinx sinx1) lim limx 0xsin2x(tanx sinx)x 0xsinx22x (x21 limx 02x应当如何选择数a使得f(x)成为在( 5设函数 ex x 0f(x) a x x 0)内的连续函数？解要使函数f(x)在( )内连续只须f(x)在x 0处连续即只须 x 0limf(x) limf(x) f(0) a x 0x 0 x 0f(x) limex 1因为xlim 0x 0limf(x) lim(a x) a所以只须取a 1习题1101证明方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间证明设f(x) x53x1则f(x)是闭区间[1 2]上的连续函数因为f(1) 3 f(2) 25 f(1)f(2) 0所以由零点定理在(1 2)内至少有一点(1 2)使f( ) 0即x 是方程x53x 1的介于1和2之间的根因此方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间2证明方程x asinx b其中a 0 b 0至少有一个正根并且它不超过a b证明设f(x) asin x b x则f(x)是[0 a b]上的连续函数f(0) b f(a b) a sin (a b)b(a b) a[sin(a b)1] 0若f(a b) 0则说明x a b就是方程x asinx b的一个不超过a b的根若f(a b) 0则f(0)f(a b) 0由零点定理至少存在一点(0 a b)使f( ) 0这说明x 也是方程x=asinx b的一个不超过a b的根总之方程x asinx b至少有一个正根并且它不超过a b 3设函数f(x)对于闭区间[a b]上的任意两点x、y恒有|f(x)f(y)| L|x y|其中L为正常数且f(a) f(b) 0证明 至少有一点 (a b)使得f( ) 0证明设x0为(a b)内任意一点因为所以 0 lim|f(x)f(x0)| limL|x x0| 0 x x0x x0x x0 lim|f(x)f(x0)| 0即 x x0limf(x) f(x0)因此f(x)在(a b)内连续同理可证f(x)在点a处左连续在点b处右连续所以f(x)在[a b]上连续因为f(x)在[a b]上连续且f(a) f(b) 0由零点定理至少有一点 (a b)使得f( ) 04若f(x)在[a b]上连续 a x1 x2 xn b则在[x1 xn]上至少有一点 使f( ) f(x1)f(x2) f(xn) n证明显然f(x)在[x1 xn]上也连续设M和m分别是f(x)在[x1 xn]上的最大值和最小值因为xi [x1 xn](1 i n)所以有m f(xi) M从而有n m f(x1)f(x2) f(xn) n M m f(x1)f(x2)f(xn) Mn由介值定理推论在[x1 xn]上至少有一点 使f( ) f(x)f(x) f(x) nf(x)存在则f(x)必在( 5证明 若f(x)在( )内连续且xlim)内有界f(x) A则对于给定的 0存在X 0只要|x| X就有证明令xlim|f(x)A| 即A f(x) A又由于f(x)在闭区间[X X]上连续根据有界性定理存在M 0使|f(x)| M x [X X]取N max{M |A | |A |}则|f(x)| N x ()即f(x)在( )内有界6在什么条件下 (a b)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是xlim xx x00f(x)存在的________条件 limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件0 (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是xlim xx x0f(x) 的________条件 limf(x) 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件(4)f(x)当x x0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是x x0limf(x)存在的________条件解 (1) 必要充分(2) 必要充分(3) 必要充分(4) 充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x) 2x3x2则当x 0时有( )(A)f(x)与x是等价无穷小 (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小 (D)f(x)是比x低阶的无穷小解xxxxf(x)232213 lim lim lim 1 因为limx 0xx 0x 0xx 0xxxxt ln3limu ln2ln3 ln2lim(令21 t 31 u)t 0ln(1t)u 0ln(1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小故应选B3设f(x)的定义域是[0 1]求下列函数的定义域(1) f(ex)(2) f(ln x)(3) f(arctan x)(4) f(cos x)解 (1)由0 ex 1得x 0即函数f(ex)的定义域为( 0](2) 由0 ln x 1得1 x e 即函数f(ln x)的定义域为[1 e](3) 由0 arctan x 1得0 x tan 1即函数f(arctan x)的定义域为[0 tan 1](4) 由0 cos x 1得2n x 2n (n 0 1 2) 22即函数f(cos x)的定义域为[2n , n ] (n 0 12 ) 224设x 0 0 0 x 0 f(x) g(x) 2x x 0x x 0求f[f(x)] g[g(x)] f[g(x)] g[f(x)]0 x 0 解因为f(x) 0所以f[f(x)] f(x) x x 0因为g(x) 0所以g[g(x)] 0因为g(x) 0所以f[g(x)] 00 x 0 因为f(x) 0所以g[f(x)] f 2(x) 2 x x 05利用y sin x的图形作出下列函数的图形(1)y |sin x|(2)y sin|x|(3)y 2sinx 26把半径为R的一圆形铁片自中心处剪去中心角为 的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为 的函数解设围成的圆锥的底半径为r高为h依题意有R(2 ) 2 r222r R(2 ) 22R2(2 )24 h R r R R2 4 2圆锥的体积为V 13 R2(2 )2 24 R2R324 2(2 )2 4 a2 (0 2 )7根据函数极限的定义证明limx2x 6x 3x3 5证明对于任意给定的 0要使|x2x 6x35| 只需|x3| 取当0 |x3| 时就有|x3| 即|x2x65| 所以limx2x 6x3x 3x3 58求下列极限(1)limx2x 1x 1(x1)2(2)xlim x(x21x)(3)3xlim (2x2x1x1(4)limtanx sinxx 0x3(5)limxxx 0(a b cx3)(a 0 b 0 c 0)(6)lim(sinx)tanx x 2解 (1)因为lim(x1)2所以limx2x 1x 1x2x1 0 x 1(x1)(2)xlim x(x21x) x(x21x)(x21x)xlim (x21 x) x1xlim x21x xlim 1112x2x322x1x1() lim(1 lim(1)22(3)xlim 2x1x x 2x12x 1222(1)(1 2 xlim 2x12x 122(1) lim(1) e xlim x 2x12x 1sinx(11)sinx(1cosx)tanx sinx lim lim(4)limx 0x 0x 0x3x3x3cosxsinx 2sin2x2x (x)2lim 1 limx 0x 02x3cosxx3(提示 用等价无穷小换)(a (5)limx 0x b3x cx)x lim(1a b c。
高数课后题答案及详解 高数课后习题答案解析
高数课后题答案及详解一、求下列极限1、sin ()lim x x x →−−22111；解一：()()12sin 1cos 1lim 02x x x x→−−==原式解二：()()11sin 1sin 1lim lim11x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2203解一：00021311lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39x x x x x x x x x →→→==⋅=原式解二：sin 3~30021limlim 6sin 3cos 39cos 39x xx x x x x xx x →→===原式3、20tan 2lim 3sin x x xx →解：()2tan 2~2,sin3~3222lim93x x x xx xx →=原式=4、0lim ln(1)x x x →+解一：()001lim lim 1111x x x x→→==+=+原式解二：()1011lim1ln ln 1x xex →===+原式5、2lim xx x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠解一：()2222lim 1xx ex −⋅−−→∞⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠原式解二：()1211ln 2ln 22limlim ln2lim22lim x x x x xx x x x xx xx x x eeeee−−→∞→∞→∞−−−−−−→∞−−−=====原式6、()111lim 32x x x −→−解一：()()112220lim 12t x tt t e=−−−−→=−=令原式解二：1(2)221122221lim[1(22)]{lim[1(22)]}xx x x x x e−−→−−−→=+−=+−=i 原式7、30sin lim x x x x →−解：2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→−===原式8、111lim ln 1x x x →⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠解：111111ln 11lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 11lim ln 112x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→→−−+−===−−+−+−==−++原式9、12lim 22n n n n →∞+++⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠⋯解：()()221122lim lim22221lim 422n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+−−=−=⎜⎟++⎜⎟⎝⎠−==−+原式10、329sin limx x t dtx →∫解：26686003sin 1sin 1lim lim 933x x x x x x x →→===原式11、arctan limx x tdt →+∞。
高数习题集(附答案)
第一章 函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。
(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。
二、 证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。
四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。
二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设x x f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。
)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。
四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111 ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-， 。
高等数学课后习题及答案(共11单元)03导数的应用
习题3-11．验证下列函数在指定区间上是否满足拉格朗日中值定理： （1）25)(23-+-=x x x x f ，]1,0[∈x ； （2）x x f ln )(=，],1[e x ∈； （3）32)(x x f =，]2,1[-∈x ； （4）22)(xxx f -=，]1,1[-∈x . 答案：（1）25)(23-+-=x x x x f ，]1,0[∈x解 函数25)(23-+-=x x x x f 在闭区间]1，0[上连续，在开区间()10，内可导，并且312501)0()1(-=---=--）（）（f f .由于1103)(2+-='x x x f ，所以令311032-=+-x x ，解此方程得3135±=x ，这说明在)1,0(内有3135-=ξ，使得3)(-='ξf .（2）x x f ln )(=，],1[e x ∈解函数x x f ln )(=在闭区间]1[e ，上连续，在开区间()e ，1内可导，并且111011)1()(-=--=--e e e f e f .由于x x f 1)(='，所以令111-=e x ，解此方程得1-=e x ，这说明在),1(e 内有1-=e ξ，使得11)(-='e f ξ.（3）32)(x x f =，]2,1[-∈x解 函数32)(x x f =在闭区间]2，1[-上连续，在开区间()21，-内可导，并且314)1(2)1()2(3-=----f f .由于332)(x x f ='，所以令3143233-=x ，解此方程得33)142(-=x ，这说明在)2,1(-内有33)142(-=x ，使得314)(3-='ξf .（4）22)(x xx f -=，]1,1[-∈x 解 函数22)(x x x f -=在闭区间]1，1[-上不连续，所以22)(x xx f -=在]1，1[-不满足拉格朗日中值定理.2．用洛必达法则求下列极限：（1）bx axx sin tan lim 0→； （2）x e e x x x sin lim 0-→；（3）ax ax a x --→sin sin lim ； （4）23)3ln(lim 222+--→x x x x ；（5）x x x ln 1lim1-→； （6）x x x 3cos sin 21lim 6-→π；（7）xx x 1sin arctan 2lim -∞→π； （8）xx x 1arctan 2lim 0-+→π；（9）x x x ln lim+∞→； （10）xxx cot ln lim 0→；（11）xx x sin ln ln lim 0+→； （12）ax b x e x ∞→lim （a ，0>b ）.答案：（1）bx axx sin tan lim0→解 这是0型未定式，所以应用洛必达法则得ba bxb ax a bx ax x x ==→→cos sec lim sin tan lim 200. （2）xe e x x x sin lim 0-→解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 2111cos lim sin lim 00=+=+=--→-→x e e x e e x x x x x x . （3）a x ax a x --→sin sin lim解 这是0型未定式，所以应用洛必达法则得a x x a x a x a x a x a x cos cos lim 010cos lim sin sin lim ==--=--→→→. （4）23)3ln(lim 222+--→x x x x解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 41122)32)(3(2lim 23)3ln(lim 22222=⨯⨯=--=+--→→x x x x x x x x . （5）x x x ln 1lim 1-→解 这是00型未定式，所以应用洛必达法则得1lim 11lim ln 1lim 111===-→→→x xx x x x x . （6）x xx 3cos sin 21lim6-→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 33132323sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim 66=⨯-⨯-=--=-→→xx x x x x ππ. （7）xx x 1sin arctan 2lim -∞→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 limx→∞π2−arctan x sin1x=limx→∞−11+x 2−1x 2cos1x=lim x→∞x 21+x 2∙lim x→∞1cos 1x=1×1=1 （8）xx x 1arctan 2lim 0-+→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 111lim 1)1()1(11lim 1arctan 2lim 202200=+=-⋅+-=-+++→→→x x x x x x x x π （9）x xx ln lim +∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得01lim 11lim ln lim ===+∞→+∞→+∞→xx x x x x x . （10）x xx cot ln lim 0→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得01cos sin 2lim sin lim csc 1lim cot ln lim 020200=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x . （11）x xx sin ln ln lim 0+→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得1sec lim tan lim sin cos 1lim sin ln ln lim 20000====++++→→→→x xx xx x x x x x x x . （12）ax bx ex ∞→lim （a ，0>b ）解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得 0!lim )1(lim lim lim 221===-==∞→-∞→-∞→∞→ax b x axb x ax b x ax b x e a b e a x b b ae bx e x . 3．用洛必达法则求下列极限：（1）)11ln 1(lim 1--→x x x ； （2）)1(cot lim 0xx x -→；（3）)111(lim 0--→x x e x ； （4）x x x 2cot lim 0→；（5）2120lim x x e x →； （6）xx x sin 0lim →；（7）xx x-→111lim ； （8）xx x 2tan 4)(tan lim π→；（9）xx x ln 10)(cot lim +→.答案： （1）)11ln 1(lim 1--→x x x解 这是∞-∞型未定式，先变形化为型的未定式，再应用洛必达法则得 xxx x x x x x x x x x x ln 111lim )1(ln ln 1lim )11ln 1(lim 111+--=---=--→→→ =limx→1x−1x−1+x ln x=limx→111+1+ln x=12.（2）)1(cot lim 0xx x -→解 这是∞-∞型未定式，先变形化为型的未定式，再应用洛必达法则得 2000sin cos limsin sin cos lim )1(cot lim x xx x x x x x x x x x x x -=-=-→→→ 02sin lim 2cos sin cos lim 00=-=--=→→x x x x x x x x . （3）)111(lim 0--→x x e x解 这是∞-∞型未定式，先变形化为0型的未定式，再应用洛必达法则得xx x x x x x x x xe e e e x x e e x +--=---=--→→→11lim )1(1lim )111(lim 000 21021lim 0=+=++=→x x x x x xe e e e . （4）x x x 2cot lim 0→解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为0型的未定式，再应用洛必达法则得212cos 21lim 2sec 21lim 2tan lim2cot lim 202000====→→→→x x x x x x x x x x .（5）212lim x x e x →解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为∞∞型的未定式，再应用洛必达法则得 ∞==--==→→→→222210313021012lim 1212lim 1lim lim x x xx x x x x e x e x x e ex .（6）xx xsin 0lim →解 这是00型未定式，利用对数恒等式有x x x e e xln sin ln sinx sin x ==，而0)(lim 11lim 1ln lim ln lim ln sin lim 020000=-=-===→→→→→x xx x xx x x x x x x x x ， 所以1lim 0sin 0==→e xxx .（7）xx x-→111lim解 这是∞1型未定式，利用对数恒等式有x xx ee xln 11ln x-1111x-==-，而11lim 11lim 1ln lim 111-=-=-=-→→→xx x x x x x 所以ee xxx 1lim 1111==--→.（8）xx x 2tan 4)(tan lim π→解 这是∞1型未定式，有)ln(tan 2tan )ln(tan tan2x2tan tanx)x x x e e x==（，而x xx x x x x x x x 2csc 2sec tan 1lim 2cot )ln(tan lim )ln(tan 2tan lim 22444-==→→→πππ 1)2sin (lim 4-=-=→x x π所以ee x xx 1)(tan lim 12tan 4==-→π.（9）xx x ln 10)(cot lim +→解 这是0∞型未定式，有xxx xee co xln cot ln )ln(cot ln 1ln 1tx )==（，而x x x x x xx x xx x x x x 2sin 2lim sin cos lim 1)csc (cot 1lim ln cot ln lim 00200-=-=-=++++→→→→12cos 1lim 0-=-=+→x x所以e e x xx 1)(cot lim 1ln 10==-→+.4．求下列函数的极限： （1）x x xx x cos sin 2lim-+∞→； （2）xx x x sin 1sinlim20→；（3）xx xx x ln ln lim 2++∞→； （4）x x x x x e e e e --+∞→-+lim .答案： （1）xx xx x cos sin 2lim-+∞→解 20102cos 1sin 2lim cos sin 2lim =-+=-+=-+∞→∞→xx x xx x x x x x . （2）xx x x sin 1sinlim20→ 解 x xx x x x x x x x x x x x x sin lim 1sinlim sin 1sin lim sin 1sin lim00020→→→→== 0101sin 1lim ===∞→xxx .（3）xx xx x ln ln lim 2++∞→解 xx x x x x x x x x x x x x 1lim ln lim )1ln (lim ln ln lim2+∞→+∞→+∞→+∞→+=+=+ +∞==+=+∞→+∞→x xx x lim 011lim.（4）xx xx x e e e e --+∞→-+lim解101011111limlim 22=-+=-+=-++∞→--+∞→x x x xxxx x ee e e e e . 习题3-21．判定下列函数在指定区间内的单调性： （1）x x x f -=arctan )(，),(+∞-∞∈x ； （2）x x x f cos )(+=，]2,0[π∈x ； （3）x x f tan )(=，)2,2(ππ-∈x . 答案：（1）x x x f -=arctan )(，),(+∞-∞∈x解 因为2221111)(x x x x f +-=-+='在指定区间),(+∞-∞内恒为负值， 所以x x x f -=arctan )(在),(+∞-∞内是单调减少的. （2）x x x f cos )(+=，]2,0[π∈x解 因为x x f sin 1)(-='在指定区间]2,0[π内恒为正值， 所以x x x f cos )(+=在]2,0[π内是单调增加的. （3）x x f tan )(=，)2,2(ππ-∈x解 因为x x f 2sec )(='在指定区间)2,2(ππ-内恒为正值， 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是单调增加的. 2．求下列函数的单调区间：（1）x x f ln )(=； （2）24)(+-=x x f ；（3）71862)(23---=x x x x f ； （4）x x x f ln 2)(2-=；（5）xe x xf -=)(； （6）22)(x x x f -=.答案：（1）x x f ln )(=解 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xx f 1)(='，在定义区间内0)(>'x f ， 所以函数)(x f 的单调增加区间是),0(+∞. （2）24)(+-=x x f解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，4)(-='x f ，在定义区间内0)(<'x f ， 所以函数)(x f 的单调减少区间是),(+∞-∞.（3）71862)(23---=x x x x f解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，18126)(2--='x x x f ，令0)(='x f ，得11-=x ，32=x .列表讨论如下：所以函数)(x f 的单调增加区间是)1,(--∞和),3(+∞，单调减少区间是]3,1[-. （4）x x x f ln 2)(2-=解 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，x x x x x f 1414)(2-=-='，令0)(='x f ，得21=x .所以函数)(x f 的单调增加区间是),21[+∞，单调减少区间是]21,0(. （5）xe x xf -=)(解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，xe xf -='1)(，令0)(='x f ，得0=x .列表讨论如下：所以函数)(x f 的单调增加区间是]0,(-∞，单调减少区间是),0[+∞. （6）22)(x x x f -=解 函数)(x f 的定义域为]2,0[，22212222)(xx x xx x x f --=--='，令0)(='x f ，得所以函数)(x f 的单调增加区间是]1,0[，单调减少区间是]2,1[. 3．求下列函数的极值点和极值：（1）263423+--=x x x y ； （2）1)1(22--=x y ； （3）)1ln(x x y +-=； （4）213xxy +=； （5）xxe e y --=2； （6）x x y tan +=.答案：（1）263423+--=x x x y 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；)1)(12(66612)(2-+=--='x x x x x f ，令0)(='x f ，解得驻点211-=x 、12=x ，另)(x f '不存在的点没有；因此，函数)(x f 的极大值点为2-=x ，极大值为4)1(=-f ；极小值点为1=x ，极小值为3)3(-=f .（2）1)1(22--=x y解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；)1(444)(23-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，解得驻点11-=x 、02=x 、13=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为1-=x 、1=x ，极小值为1)1(-=-f 、1)1(-=f ；极大值点为0=x ，极大值为0)0(=f .（3）)1ln(x x y +-=解 函数)(x f 的定义域为),1(+∞-； xxx x f +=+-='1111)(，令0)(='x f ，解得驻点01=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为0=x ，极小值为0)0(=f . （4）213xxy +=解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；2222222)1()1(3)1(6)1(3)(x x x x x x f +-=+-+='，令0)(='x f ，解得驻点11-=x 、12=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为1-=x ，极小值为2)1(-=-f ；极大值点为1=x ，极大值为23)1(=f . （5）xxee y --=2解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；xx xx ee ee xf 122)(2+=+='-，在定义区间内0)(>'x f ，)(x f 单调增加； 因此，函数)(x f 无极值点. （6）x x y tan +=解 函数)(x f 的定义域为)(2Z k k x ∈+≠ππ；x x f 2sec 1)(+='，在定义区间内0)(>'x f ，)(x f 单调增加；因此，函数)(x f 无极值点.习题3-31．求下列函数在给定区间上的最值： （1）)2(422-=x x y ，]2,2[-∈x ； （2）7186223---=x x x y ，]4,1[∈x ； （3）x x y +=，]4,0[∈x ；（4）12+=x xy ，],0[+∞∈x ；（5）322)2(x x y -=，]3,0[∈x ； （6）xxy +-=11arctan ，]1,0[∈x . 答案：（1）)2(422-=x x y ，]2,2[-∈x 解 )1(161616)(23-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，在]2,2[-上得驻点11-=x 、02=x 、13=x ； 驻点处的函数值为4)1(-=-f 、0)0(=f 、4)1(-=f ， 端点处的函数值为32)2(=-f 、32)2(=f ；所以，函数在]2,2[-上的最大值为32)2()2(==-f f ，最小值为4)1()1(-==-f f . （2）7186223---=x x x y ，]4,1[∈x 解 )3)(1(618126)(2-+=--='x x x x x f ，令0)(='x f ，在]4,1[上得驻点3=x ； 驻点处的函数值为61)3(-=f ，端点处的函数值为29)1(-=f 、47)4(-=f ；所以，函数在]2,2[-上的最大值为29)1(-=f ，最小值为61)3(-=f . （3）x x y +=，]4,0[∈x 解 0211)(>+='xx f ，因此函数)(x f 在区间]4,0[上单调增加； 所以，函数在]4,0[上的最大值为6)4(=f ，最小值为0)0(=f . （4）12+=x xy ，],0[+∞∈x 解 2222222)1(1)1(21)(+-=+-+='x x x x x x f ， 令0)(='x f ，在）,0[+∞上得驻点1=x ；驻点处的函数值为21)1(=f ，端点处的函数值为0)0(=f ；所以，函数在）,0[+∞上的最大值为21)1(=f ，最小值为0)0(=f . （5）322)2(x x y -=，]3,0[∈x 解 323223)1(4)22(232)(xx x x xx x f --=-⨯-='，令0)(='x f ，在]3,0[上得驻点1=x ；驻点处的函数值为1)1(=f ，端点处的函数值为0)0(=f 、39)3(=f ； 所以，函数在]3,0[上的最大值为39)3(=f ，最小值为0)0(=f .（6）x xy +-=11arctan，]1,0[∈x 解 0)1()1(2)1(2)11(11)(2222<-++-=+-⨯+-+='x x x xx x f ，因此函数)(x f 在区间]1,0[上单调减少；所以，函数在]4,0[上的最大值为4)0(π=f ，最小值为0)1(=f .2.证明：（1）面积一定的矩形中，正方形周长最短；（2）周长一定的矩形中，正方形面积最大. （1）证明：设面积为S 的矩形长为x ，则其宽为x S ，矩形周长)(2xS x A +=； 因22222)(2224xS x x S x x A -=--='，令0='A ，得S x =； 所以长S x =的矩形周长A 最小，即：面积一定的矩形中，正方形周长最短.（2）证明：设周长为A 的矩形长为x ，则其宽为22x A -，矩形面积2)2(x A x S -=； 因24x A S -='，令0='S ，得4Ax =； 所以长4Ax =的矩形面积S 最大，即：周长一定的矩形中，正方形面积最大.3．设22221)()()(n a x a x a x S -++-+-= ，问x 取多大时，S 最小？ 解 由22221)()()(n a x a x a x S -++-+-= 知)(22)22()22()22(121n n a a nx a x a x a x S ++-=-++-+-=' ，令0='S ，得na a a x n+++=21；所以当na a a x n+++= 21时，S 最小.4．某企业生产每批产品x 单位的总成本x x C +=3)(（万元），得到的总收入26)(x x x R -=（万元），为了提高经济效益，每批生产产品多少单位，才能使总利润最大？解 总利润35)3()6()()()(22-+-=+--=-=x x x x x x C x R x F ，52)(+-='x x F ，令0)(='x F ，得25=x ； 所以每批生产产品25单位，才能使总利润最大.5．某厂生产一种自行车，每月固定成本3万元.而每生产1千辆，要增加成本5万元，大批量生产时，可节约部分开支，当每月生产x 千辆时，可以节约成本326001407x x -万元.问x 为多大时，其成本最低？（6030<<x ）解 总成本32600140753)(x x x x F +-+=， 52072001)(2+-='x x x F ； 令0)(='x F ，得函数0)(=x F 在)60,30(内唯一驻点50=x ；所以50=x 千辆时，其成本最低.6．甲船以6千米/小时的速度向东航行，乙船在甲船北16千米处，以8千米/小时的速度向南航行，问何时两船距离最近？解 设x 小时后，两船距离y 千米256256100)816()6(222=-=-+=x x x x y ，256200-='x y ，令0='y ，得28.1=x ；所以1.28小时后两船距离最近.习题3-41．求下列曲线的凹凸性和拐点：（1）24x x y -=； （2）1323+-=x x y ；（3）5224-+=x x y ； （4）xx y 12+=； （5）32x x y =； （6）)1ln(2x y +=； （7）xey arctan =； （8）)7ln 12(4-=x x y .答案：（1）24x x y -=解 函数的定义域为),(+∞-∞，42+-='x y ，02<-=''y ；因此，函数在区间),(+∞-∞内是凸的，无拐点. （2）1323+-=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 632-='，66-=''x y ； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为)1,1(-. （3）5224-+=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 443+='，04122>+=''x y ；因此，函数在区间),(+∞-∞内是凹的，无拐点. （4）xx y 12+= 解 函数的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，212xx y -='，3322x x y +=''；令0=''y ，解得定义区间内的实根1-=x ；所以列表讨论如下：因此函数在区间)1,(--∞和),0(+∞内是凹的、在区间)0,1(-内是凸的，拐点为)0,1(-. （5）32x x y =解 函数的定义域为),(+∞-∞，3235x y ='，331910910xx y ==''-； 0=''y 无解，y ''不存在的点0=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)0,(-∞内是凸的、在区间),0(+∞内是凹的，拐点为)0,0(.（6）)1ln(2x y +=解 函数的定义域为),(+∞-∞，212xx y +='，222)1()1(2x x y +-=''. 令0=''y ，解得定义区间内的实根1±=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(--∞和),1(+∞内是凸的、在区间)1,1(-内是凹的，拐点为)2ln ,1(-和)2ln ,1(.（7）xey arctan =解 函数的定义域为),(+∞-∞，2arctan 1xe y x +='，22arctan )1)21(x x e y x +-=''（； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间),21(+∞内是凸的、在区间)21,(-∞内是凹的，拐点为),21(21arctan e .（8）)7ln 12(4-=x x y解 函数的定义域为),0(+∞，3316ln 48x x x y -='，x x y ln 1442=''； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,0(内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为)7,1(-. 2．已知曲线4923+-+=x ax x y 在1=x 处有拐点，试确定系数a ，并求出曲线的凹凸区间和拐点.解 由4923+-+=x ax x y 知9232-+='ax x y ，a x y 26+=''； 因为曲线在1=x 处有拐点，所以0216=+⨯a ，得3-=a ；可知曲线方程为49323+--=x x x y ，9632--='x x y ，66-=''x y ；因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)7,1(-. 3．a 、b 为何值时，点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点？ 解 由曲线方程23bx ax y +=知bx ax y 232+='，b ax y 26+=''； 令0=''y ，解得ab x 3-=； 又因为点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，所以3=+b a 、13=-ab； 联立方程组，求解得：23-=a ，29=b 4．试证明曲线112+-=x x y 有位于同一直线上的三个拐点（提示：证明任意两个拐点的连线斜率相等）.证明 因为曲线方程为112+-=x x y ，定义域为),(+∞-∞；222)1(12+++-='x x x y ，322)1()14)(12++-+=''x x x x y （； 令0=''y ，解得11-=x 、322-=x 、323+=x ；所以曲线拐点为)1,1(--A 、）34831,32(---B 、）34831,32(+++C ； 因为9624132134831=+-+--=--=A B A B ABx x y y k 、9624=--=A C A C AC x x y y k ； AC AB k k =，所以曲线三个拐点位于同一直线上.习题3-51．求下列曲线的渐近线： （1）211x y -=； （2）2)3(361++=x y ；（3）11-=xe y ； （4）xx y 12+=. 答案： （1）211xy -=解 由于函数211x y -=的定义域为),1()1,1()1,(+∞---∞ ， 且011lim 2=-∞→x x ，∞=--→2111lim x x 、∞=-→2111lim x x ； 因此直线0=y 为曲线的水平渐近线，直线1-=x 、1=x 为曲线的垂直渐近线. （2）2)3(361++=x y 解 由于函数2)3(361++=x y 的定义域为),3()3,(+∞---∞ ， 且lim x→∞[1+36(x+3)2]=1，lim x→−3[1+36(x+3)2]=∞； 因此直线y =1为曲线的水平渐近线，直线3-=x 为曲线的垂直渐近线. （3）11-=xe y解 由于函数11-=xe y 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且0)1(lim 1=-∞→xx e ，lim x→0+(e 1x −1)=+∞； 因此直线0=y 为曲线的水平渐近线，直线0=x 为曲线的垂直渐近线. （4）xx y 12+= 解 由于函数xx y 12+=的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且)1(lim 2x x x +∞→不存在，∞=+→)1lim 20xx x （； 因此直线0=x 为曲线的垂直渐近线，曲线无水平渐近线.2．作出下列函数的图像：（1）3210710x x x y -++=； （2）2)2)(1(-+=x x y ； （3）)1ln(+-=x x y ； （4）x x y 2cos 21+=，)20(π≤≤x ； （5）xxe y -=； （6）x x y arctan +=答案：（1）3210710x x x y -++= 解 函数的定义域为),(+∞-∞，)7)(13(+-+='x x y ，令0='y 得311-=x 、72=x ；206+-=''x y ，令0=''y 得3103=x ；取辅助点)12,1(-，)10,0(，)26,1(，)134,4(，)194,8(；根据以上讨论，做出函数3210710x x x y -++=的图像如图所示图3-1（2）2)2)(1(-+=x x y 解 函数的定义域为),(+∞-∞，)2(3-='x x y ，令0='y 得01=x 、22=x ； 66-=''x y ，令0=''y 得13=x ；x)0,(-∞)1,0(1)2,1(2),2(+∞y '＋ 0 － － － 0 ＋ y ''－ － － 0 ＋ ＋ ＋ y╭极大值4 ╮拐点）2，1（ ╰极小值╯取辅助点)0,1(-，)827,21(，)85,23(，)4,3(； 根据以上讨论，做出函数2)2)(1(-+=x x y 的图像如图所示图3-2（3）)1ln(+-=x x y 解 函数的定义域为),1(+∞-，1+='x xy ，令0='y 得01=x ； 2)11+=''x y （，令0=''y ，无解； 列表讨论如下：x)0,1(-),0(+∞y '－ 0 ＋ y ''＋ ＋ ＋ y╰极小值0╯取辅助点)2ln 21,21(+--，)2ln 1,1(-； 根据以上讨论，做出函数)1ln(+-=x x y 的图像如图所示图3-3（4）x x y 2cos 21+=，)20(π≤≤x 解 函数的定义域为]2,0[π， x y 2sin 211-='，令0='y ，无解；x y 2cos -=''，令0=''y 得41π=x 、432π=x 、453π=x 、474π=x ； 列表讨论如下：x )4,0(π4π)43,4(ππ 43π )45,43(ππ 45π)47,45(ππ47π )2,47(ππ y '＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ y ''－ 0 ＋ 0 － 0 ＋ 0 － y╭拐点╯拐点╭拐点╯拐点╭拐点）41，4（+ππ、拐点）413，43（+ππ、拐点）415，45（+ππ、拐点）417，47（+ππ 取辅助点)21,0(，)2,2(ππ，)21,(+ππ，)23,23(ππ，)212,2(+ππ； 根据以上讨论，做出函数x x y 2cos 21+=的图像如图所示图3-4（5）xxey -=解 函数的定义域为),(+∞-∞，)1(x e y x -='-，令0='y 得11=x ； )2(x e y x +-=''-，令0=''y 得22=x ；x)1,(-∞1)2,1(2),2(+∞y '＋ 0 － － － y ''－－－0 ＋y╭ 极大值e1╮拐点)2，2(2e╰0=y 为水平渐近线；取辅助点)0,0(，)3,3(3e；根据以上讨论，做出函数xxey -=的图像如图所示图3-5（6）x x y arctan +=解 函数的定义域为),(+∞-∞，奇函数， 2212x x y ++='，令0='y ，无解；22)12+-=''x x y （，令0=''y 得01=x ； x)0,(-∞),0(+∞y '＋ ＋ ＋ y ''＋ 0－ y╯拐点)0，0( ╭取辅助点)41,1(π---，)41,1(π+；根据以上讨论，做出函数x x y arctan +=的图像如图所示图3-6习题3-61．求下列曲线在指定点处的曲率：（1）24x x y -=在其顶点处； （2）x x y cos =在原点处； （3）32x y =在点)8,4(处； （4）x y sin =在点)1,2(π处.答案：（1）24x x y -=在其顶点处解 由24x x y -=得42+-='x y ，2-=''y ； 代入计算公式得：曲线曲率为232)17164(2+-=x x K ；曲线顶点为2=x ，所以顶点处曲率为22==x K .（2）x x y cos =在原点处解 由x x y cos =得x x x y sin cos -='，x x x y cos sin 2--=''， 代入计算公式得：曲线曲率为23222)1sin 2sin (cos cos sin 2++---=x x x x x xx x K ；所以原点处曲率为00==x K.（3）32x y =在点)8,4(处解 由32x y =得23x y =，知2123x y ='，2143-=''x y ；代入计算公式得：曲线曲率为2321)491(43x x K +=-；所以点)8,4(处曲率为8001034==x K . （4）x y sin =在点)1,2(π处解 由x y sin =得x y cos ='，x y sin -=''； 代入计算公式得：曲线曲率为232)cos 1(sin x x K +-=；所以点)1,2(π处曲率为14==x K.2．求下列曲线在指定点处的曲率半径：（1）4=xy 在点)2,2(处； （2）)0(42>=p px y 在点)2,(p p 处； （3）x y ln =在点21=x 处； （4）x y cos =在点0=x 处；（5）x y tan =在点)1,4(π处； （6）x x y 44cos sin -=在点)1,0(-处.答案：（1）4=xy 在点)2,2(处解 由4=xy 得14-=x y ，知24--='x y ，38-=''x y ；代入计算公式得：曲线曲率为2343)161(8--+=x x K ；所以点)2,2(处曲率半径为22122====x X K R .（2）)0(42>=p px y 在点)2,(p p 处解 由)0(42>=p px y 得212x p y =（所讨论的点为)2,(p p ）， 知21-='x p y ，2321--=''xp y ；代入计算公式得：曲线曲率为23123)1(21--+=px xp K ；所以点)2,(p p 处曲率半径为R |X=p =1K |x=p=252p =4√2p .（3）x y ln =在点21=x 处解 由x y ln =得xy 1='，21x y -=''；代入计算公式得：曲线曲率为2322)11(1xx K +=； 所以点21=x 处曲率半径为23312121====x x KR . （4）x y cos =在点0=x 处解 由x y cos =得x y sin -='，x y cos -=''； 代入计算公式得：曲线曲率为232)sin 1(cos x x K +=；所以点0=x 处曲率半径为1111====x x K R . （5）x y tan =在点)1,4(π处解 由x y tan =得x y 2sec ='，x x y tan sec 22=''；代入计算公式得：曲线曲率为2342)sec 1(tan sec 2x x x K +=；所以点)1,4(π处曲率半径为545144====ππx x KR . （6）x x y 44cos sin -=在点)1,0(-处解 由x x y 44cos sin -=得x x x y 2sin 2cos sin 4=='，x x x y 2cos 4sin 4cos 422=-=''；代入计算公式得：曲线曲率为232)2sin 41(2cos 4x x K +=；所以点)1,0(-处曲率半径为41100====x x K R .复习题三1．填空题：（1）如果函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少尊在一点ξ，使得=')(ξf ____________________.（2）设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果0)(>'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(≡'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内____________________.（3）函数x x x f -=sin )(在定义域内单调_______________.（4）曲线xxe y =在区间______________内是凹的，在区间_______________内是凸的. （5）函数xxy ln =在区间_______________内单调递增，在区间_______________内单调递减，在区间_______________内是凹的，在区间_______________内是凸的.（6）函数xxy ln =的极值点是_______________，拐点是_______________，渐近线为____________________.（7）函数)1ln(2x y +=在区间]2,1[-上的最大值为_______________，最小值为_______________.答案：（1）如果函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得=')(ξf ____________________.解ab a f b f --)()(；（2）设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果0)(>'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(≡'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内____________________.解 单调增加，单调减少，是常数；（3）函数x x x f -=sin )(在定义域内单调_______________. 解 减少；（提示：01cos )(<-='x x f ）（4）曲线xxe y =在区间____________内是凹的，在区间___________内是凸的.解 ),2(+∞-，)2,(--∞；（提示：)2x e y x+=''（，拐点为2-=x ）（5）函数xxy ln =在区间_______________内单调递增，在区间_______________内单调递减，在区间_______________内是凹的，在区间_______________内是凸的.解 ),0(e ，),(+∞e ，),(23+∞e ，),0(23e ；（提示：2ln 1x x y -='，驻点为e x =；3ln 23xxy +-=''，拐点为23e x =） （6）函数xxy ln =的极值点是________，拐点是_________，渐近线为__________. 解 e x =，)23,(2323-e e ，直线0=x ，直线0=y ；（提示：∞==→→x x x x x 1lim ln lim00，01lim ln lim ==∞→∞→xx x x x ）（7）函数)1ln(2x y +=在区间]2,1[-上的最大值为________，最小值为_________. 解 5ln )2(=f ，0)0(=f . （提示：212x xy +='，驻点为0=x ；0)0(=f ，2ln )1(=-f ，5ln )2(=f ） 2．选择题：（1）设函数22)4(-=x y ，则在区间)0,2(-和),2(+∞内此函数分别为（ ） A ．单调递增，单调递增； B ．单调递增，单调递减；C ．单调递减，单调递增；D ．单调递减，单调递减. （2）函数)1ln(x x y +-=的单调递减区间是（ ） A ．),1(+∞-； B ．)0,1(-； C ．),0(+∞； D ．)1,(--∞.（3）设函数232+-=x x y ，则（ ）A ．y 有极小值41，但无极大值； B ．y 有极小值0，但无极大值； C ．y 有极小值0，极大值41； D ．y 有极大值41，但无极小值.（4）设函数4322x x x y +-=，则在区间)2,1(和)4,2(内，曲线分别为（ ） A ．凸的，凸的； B ．凸的，凹的；C ．凹的，凸的；D ．凹的，凹的. （5）函数xex y -=2在区间)2,1(内是（ ）A ．单调递增且是凸的；B ．单调递增且是凹的；C ．单调递减且是凸的；D ．单调递减且是凹的. 答案：（1）设函数22)4(-=x y ，则在区间)0,2(-和),2(+∞内此函数分别为（） A ．单调递增，单调递增； B ．单调递增，单调递减； C ．单调递减，单调递增； D ．单调递减，单调递减. 解A ；（提示：)4(42-='x x y ）（2）函数)1ln(x x y +-=的单调递减区间是（） A ．),1(+∞-； B ．)0,1(-； C ．),0(+∞； D ．)1,(--∞.解B ；（提示：定义域为),1(+∞-，xxy +='1） （3）设函数232+-=x x y ，则（）A ．y 有极小值41，但无极大值； B ．y 有极小值0，但无极大值； C ．y 有极小值0，极大值41； D ．y 有极大值41，但无极小值.解C ；（提示：由图像分析可知）（4）设函数4322x x x y +-=，则在区间)2,1(和)4,2(内，曲线分别为（） A ．凸的，凸的； B ．凸的，凹的；C ．凹的，凸的；D ．凹的，凹的. 解D ；（提示：)112-=''x x y （） （5）函数xex y -=2在区间)2,1(内是（）A ．单调递增且是凸的；B ．单调递增且是凹的；C ．单调递减且是凸的；D ．单调递减且是凹的. 解A （提示：)2(x xe y x-='-，)42(2x x e y x+-=''-） 3．求下列极限：（1）2233lim a x a x a x --→； （2）30arctan lim xxx x -→； （3）x x x 4sin 1tan lim 4-→π； （4）x x e x 3lim +∞→；（5）xx xx x ln ln lim 2++∞→； （5）)1(lim 1-+∞→x x e x .答案：（1）2233lim a x a x a x --→解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 a x x x a x a x a x a x a x 2323lim 23lim lim 22233===--→→→. （2）3arctan lim xxx x -→ 解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 31)1(31lim 3111lim arctan lim202203=+=+-=-→→→x x x x xx x x x .（3）xx x 4sin 1tan lim4-→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 21424cos 4sec lim 4sin 1tan lim 244-=-==-→→xx x x x x ππ. （4）x x ex 3lim +∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得06lim 6lim 3lim lim 23====+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x ee x e x e x . （5）xx x x x ln ln lim 2++∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得 xx x x x xx x x x x x 112lim ln 112lim ln ln lim 22-=++=++∞→+∞→+∞→ ∞==-=+∞→+∞→x xx x x 4lim 12lim 2. （6）)1(lim 1-+∞→xx e x解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为00型的未定式，再应用洛必达法则得11lim 1lim )1(lim 001==-=-→→+∞→xx x x xx e xe e x . 4．求下列函数的单调区间： （1）149323+--=x x x y ； （2）x ex y -=2；（3）x x y sin 2-=，]2,0[π∈x . 答案：（1）149323+--=x x x y解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，9632--='x x y ， 令0='y ，得11-=x ，32=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调增加区间是)1,(--∞和),3(+∞，单调减少区间是)3,1(-. （2）xex y -=2解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，)2(x xe y x-='-， 令0='y ，得01=x ，22=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调减少区间是)0,(-∞和),2(+∞，单调增加区间是)2,0(. （3）x x y sin 2-=，]2,0[π∈x 解x y cos 21-='，]2,0[π∈x ， 令0='y ，得1π=x ，52π=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调减少区间是)3,0(π和)2,35(ππ，单调增加区间是)35,3(ππ. 5．求下列函数的极值：（1）43+=x xy ； （2）x x y 2ln =；（3）221xx y +=； （4）x x y 33cos sin +=； （5）32)1(23+-=x y ； （6）)1ln(21arctan 2x x y +-=.答案： （1）43+=x xy 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，233)4()2(2+--='x x y ；令0='y ，解得驻点32=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数43+=x x y 的极大值为62323==x y .（2）xxy ln =解 函数y 的定义域为),0(+∞，2ln 1x xy -='； 令0='y ，解得驻点e x =，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数x y =的极大值为e y e x ==. （3）221xx y +=解 函数y 的定义域为),0()0,+∞∞- （，34)12x x y -='（； 令0='y ，解得驻点1±=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数22x x y +=的极小值为21=±=x y . （4）x x y 33cos sin +=解 )cos (sin cos sin 3x x x x y -='，]2,0[π∈x ， 令0='y ，得01=x 、42π=x 、23π=x 、234π=x 、455π=x ；列表讨论如下：因此，函数x x y 33cos sin +=的极小值为224==πx y 和123-====ππx x y y ， 极大值为120====πx x y y 和2245-==πx y . （5）32)1(23+-=x y解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，3134+-='x y ；令0='y ，无解，另y '不存在的点为1-=x ；列表讨论如下：因此，函数32)1(23+-=x y 的极大值为31=-=x y . （6）)1ln(21arctan 2x x y +-= 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，211xxy +-='； 令0='y ，解得驻点1=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数y 的极大值为2ln 241-==x y .6．求下列函数在指定区间上的最值：（1）2211x x x x y -++-=，]1,0[∈x ； （2）x x y 2tan tan 2-=，]3,0[π∈x . 答案：（1）2211xx x x y -++-=，]1,0[∈x 解 221)122）（（x x x y -+-='，令0='y ，在]1,0[上得驻点21=x ； 驻点处的函数值为5321==x y ，端点处的函数值为110====x x y y ； 所以，函数在]1,0[上的最大值为110====x x y y ，最小值为5321==x y . （2）x x y 2tan tan 2-=，]3,0[π∈x解 )tan 1(sec 22x x y -='，令0='y ，在]3,0[π上得驻点4π=x ；驻点处的函数值为14==πx y ，端点处的函数值为00==x y ，3323-==πx y ；所以，函数在]3,0[π上的最大值为14==πx y ，最小值为00==x y .7．求下列函数的凹凸区间和拐点：（1）1323+-=x x y ； （2）)7ln 12(4-=x x y .答案：（1）1323+-=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 632-='，66-=''x y ； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)1,1(-. （2）)7ln 12(4-=x x y解 函数的定义域为),0(+∞，)1ln 3(163-='x x y ，x x y ln 1442=''； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,0(内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)7,1(-. 8．作出下列函数的图像： （1）23x x y -=； （2）115-+=x y ； （3）2xx e e y -+=； （4）32)1(x x y -=.答案： （1）23x xy -=解 函数的定义域为），3（）3，3（)3,(∞+---∞ ，222)3(3x x y -+='，令0='y ，无解；322)3)92x x x y -+=''（（，令0=''y 得0=x ；0=y 为水平渐近线，3±=x 为垂直渐近线；取辅助点)21,3(-，)2,2(-，)21,1(--，)21,1(，)4,2(-，)21,3(-；。
高数课后题答案及详解
第一章 函数与极限习 题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）211y x =- 解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -=解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅． （3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<． （4）312x x y -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ， 解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞． （6）1arctan y x=解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且． 2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-(0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +； 当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅． 3．设21()1,f x x ⎛⎫=- ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫=- ⎝，则 2211(2)142a f a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4．设1||1,()0||1,()21|| 1.xx f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21x x xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，1012||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11 ||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1, 1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证． 6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？ （1）))()ln ,()ln 3f x x g x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）()()f x g x ==； 是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-； 不是，因为对应法则不同． （4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==； 不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞；解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x-=-，(,1)x ∈-∞． 解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1x y x-=-是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性．（1）lg(y x =+；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+==-+=-， 所以lg(y x =+是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数． （3）22cos sin 1y x x x =++-；解：因为2()2cos sin 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22cos sin 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2x xa a y -+=.解：因为()()2x x a a f x f x -+==，所以函数2x xa a y -+=是偶函数．9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数； （2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证． 10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界.证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）|sin |y x =；周期函数，周期为π． （2）1sin πy x =+；周期函数，周期为2． （3）tan y x x =； 不是周期函数． （4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1y x y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xf x x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax b y ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a -=-，则反函数1()()b dx f x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =；解：依题意，1(1010)2y y x -=+，所以反函数11()(1010),2x x f x x R --=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．解：依题意，arccos32yx =，所以反函数1arccos 3(),[0,3]2x f x x -=∈． 13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-． 解：（1）215()e ,(0),(2)x y f x f e f e +====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πVh V r H r=∈． 15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2, 4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习 题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+L ，（1） 求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2） 求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3） 求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=．（2） 要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1）， 则只要9997,9n >取N ＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立． （3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε-> 取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-<成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim 0!n n →∞=； （2）1n →∞=． 解：（1）0ε∀>， 要使111|0|!!n n n ε-<<＝， 只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使221|2nε=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有|1|ε<, 则1n →∞=. 3．若lim n n x a →∞=，证明lim ||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0, 由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对0ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim ||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim ||||n n x a →∞=成立. 反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-, ||1n x =， 显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=． 证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤， 又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>, 存在N ,当n N>时,|0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N>时,|0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=． 5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞． 解: 因为0x =, (3)π|cos |12n +≤, 所以 (3)π02x n +=. 6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞．证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<, 同理, 0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时, ||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习 题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<， 只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--<0.001, 只要2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim(21)5x x →-=； （2）35lim 31x x x →∞+=-； （3）224lim42x x x →--=-+；（4）lim 0x =. 证明:(1) 由于|(21)5|2|3|x x --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim(21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时, 对0ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim 31x x x →∞+=-． (3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim 42x x x →--=-+. (4) 由于0|-=,任给0ε>,要使0|ε-<,只要ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有0|ε-<,故lim 0x =. 4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义： （1）lim ()1x f x →-∞=； （2）lim ()x f x a →∞=； （3）lim ()x a f x b +→=； （4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=. 证明: 由于00lim ||lim 0x x x x ++→→==, 00lim ||lim()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=. 6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则lim ()x f x A →∞=． 证明: 由于lim ()x f x A→+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A→-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M>时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习 题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x=为当x →∞时的无穷小；（3）13xy x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故 211lim 01x x x →-=+．(2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x xx x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时,总有1|sin |1|sin 0|||||x x x x x ε-=≤<, 故1lim sin 0x x x→∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x M xx x +=+>->,所以013limx xx→+=∞. 2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的.M ∀>,π2π2n x n ∃=+且()n x n →+∞→∞,πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M =+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cos y xx=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1t x=,类似第2题可得．习 题 1-51．求下列极限：（1）23231lim 41n n n n n →∞+++-； （2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦L ； （3）22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L ； （4）1132lim 32n nn n n ++→∞+-； （5）2211lim 54x x x x →--+； （6）3221lim 53x x x x →+-+； （7）lim x →+∞-；（8）2221lim 53x x x x →∞+++； （9）330()limh x h x h→+-；（10）2121lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （11）23lim 531x x xx x →∞+-+； （12）x → （13）3lim 21x x x →∞+； （14）3lim(236)x x x →∞-+．解:(1) 23231lim 41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n n n n n n→∞++=+-． (2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦L = 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦L = 1lim(1)11n n →∞-=+． (3) 22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L =21(1)12lim 2n n n n →∞+=． (4) 1132lim 32n nn n n ++→∞+-=21()13lim 2332()3n n n →∞+=-⋅． (5) 2211lim 54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim 43x x x →+=--．(6) 3221lim 53x x x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) lim x →+∞=limx=lim x111lim 2x -=．(8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim 2531x x x x→∞+=++． (9) 330()lim h x h x h →+-=322330(33)limh x x h xh h x h→+++-=3220lim(33)3h x xh h x →++=． (10) 2121lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=212(1)lim 1x x x →-+⎛⎫⎪-⎝⎭=1(1)lim (1)(1)x x x x →--+ =111lim 12x x →=+． (11) 23lim 531x x x x x →∞+-+=22311lim 0315x x x x x→∞+=-+．(12) x →=x →=1x →．(13) 3lim 21x x x →∞+=2lim12x x x→∞=+∞+． (14) 3lim(236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x x x→∞-+=∞． 2．设e ,0,()2,0.x x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩ 问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在． 解：因为lim ()lim e 1,lim ()lim(2)x x x x x f x f x x a a --++→→→→===+=，所以，当00lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在．3．求当x 1→时，函数1211e 1x x x ---的极限．解：因为11211111lim e lim(1)e 0,1x x x x x x x ----→→-=+=- 11211111lim e lim(1)e ,1x x x x x x x ++--→→-=+=+∞- 所以12111lim e 1x x x x -→--不存在。
考研高数同济七版必做课后习题图文稿
考研高数同济七版必做课后习题集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）考研高数同济七版必做课后习题第一章习题1-1：2，5，6，13；习题1-2：2，3，6，7，8；习题1-3：1，2，3，4，7，12；习题1-4：1，5，6；习题1-5：1，2，3，4，5；习题1-6：1：（5），（6），2，4；习题1-7：1，2，3，4，5：（2），（3），（4）；习题1-8：2，3，4，5，6；习题1-9：1，2，3，4，5；总复习题一：1，2，3，5，9，10，11，12，13。
第二章习题2-1：5，6，7，8，9，11，13，16，17，18，19，20；习题2-2：2，3，6，7，8，9，10，11，13，14；习题2-3：1，2，3，4，10，12；习题2-4：1，2，3，4，5（数一、二），6（数一、二），7（数一、二），8（数一、二）；习题2-5：3，4；总复习题二：1，2，3，6，7，8，9，10，11，12（数一、二），13（数一、二），14。
第三章习题3-1：5，6，7，8，9，10，11，12，15；习题3-2：1，2，3，4；习题3-3：6，10；习题3-4：1，3：（3），（4），（6），（8），4，5，7，8，9，10，11；习题3-5：1，3，4，5，6，9；习题3-6：2，3，5；习题3-7（数一，二）：1，2，3，4，5；总复习题三：1-15，16（数一，二），18，19，20。
第四章习题4-1：1，2，3；习题4-2：1，2；习题4-3：1-24；习题4-4：1-24；习题4-5：1-25；总复习题四：1，2，3，4。
第五章习题5-1：2，3，4，7，11，12，13；习题5-2：1，2（数一、二），3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14；习题5-3：1-7；习题5-4：1，4；总复习题五：1-14。
高数课后习题及解析
第五章 自测题（B 层）一、填空题 1．⎰02xtdtte dxd = .2．2221limxdt t x x ⎰+→= .3．已知⎰'=x dt t f x x F 0)()(，则)(x F '= .4．⎰-=x dttx F 1)12()(，0>x 的单调减少区间为 .5．若⎰=+b adx x g x f x f 1)()()(，则⎰+b adxx g x f x g )()()(= .二 、选择题 1．设函数⎰=Φ2)()(x dt t f x ，则)(x Φ'=（ ）.（A ）)(x f （B ）)(2x f （C ）)(2x xf （D ）)(22x xf . 2．⎰'01)3(dx x f =（ ）.（A ）[])3()0(31f f -（B ）[])0()3(31f f -（C ）)3()0(f f - （D ）)0()3(f f -.3．若112=+⎰∞+∞-dx xk，则k =（ ）.（A ）π （B ）2π （C ）π1（D ）π2.4．设)(x f 为[]a a ,-上的连续函数，则定积分⎰--a adxx f )(=（ ）.（A ）0 （B ）⎰adx x f 0)(2 （C ）⎰--a adxx f )( （D ）⎰-a adxx f )(.5．下列广义积分中收敛的是（ ）. （A ）⎰∞+edxxx ln （B ）⎰∞+edxxx ln 1 （C ）()⎰∞+edx x x 2ln 1 （D ）⎰∞+edx xx 3ln 1.三、解答题1. 计算下列定积分. （1）⎰121121dx e xx； （2）⎰+e dx x x 1)12(1； （3）⎰+41)1(1dxx x ； （4）⎰21a r c s i n x d x .2. 已知1)0(=f ，3)2(=f ，5)2(='f ，计算⎰''10)2(dxx f x .3. 设02()0()0x tf t dt x F x x kx ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰，其中)(x f 连续，0)0(=f ，确定常数k ，使)(x F 在()∞+∞-,内连续. 4. 证明：⎰⎰+=+x xdxxdx x112121111，0>x .5. 抛物线x y 22=将圆822=+y x 分成两部分，求这两部分的面积.6. 已知销售某种产品x 件，总收入)(x R （单位：元）的变化率为21000)(x x R -='，0>x ，（1）求销售100件时，该产品的总收入.（2）求销量从200件增加到400件时，总收入增加了多少元？平均每件增加了多少元？。
高等数学考研必做课后题
高等数学考研必做课后题第一篇：高等数学考研必做课后题同济五版，课后典型习题习题1--4.题6.题7.习题1--5题1中选做偶数的。
习题1--6题2.题4中的第三小题。
习题1--7题4.习题1--8题2.题3.习题1--9题3题4.习题1--10题2.题4题5.总习题一题8.题13 习题2--1题6.题16.习题2--2题6题7题8题12.习题2--3题3.题4题9.习题2--4题1.题7.题8.总习题二题2.题5习题3--1题1.题5.题6.题8.题9.题10.题12.题13.习题3--2题1中做偶数的。
题4.习题3--3题4.题5.题7.题10.题3--4题4.题5.题14.习题3--5题2题3.总习题全做。
习题4--1题1.习题4--2题2习题4--3做偶数的。
习题4--4做2.5.6.13.15.20.总习题四全做习题5--2题1.题2.题3.题5.题6.题9.题10.题11.题12.习题5--3题1做偶数的.题8.题10.习题5--4题2.题3.总习题五题3.题5题7.题8.题10.习题6--2题2.题7.题13.数一数二再做题25，题30.第七章空间解析几何和向量代数数二数三不考。
数一看看基本内容就行。
同济六版高数下册课后的习题9-2题3.题4题7.题8习题9-3题1题2题5习题9-4题5题7题10题12习题9-5题6题7题8习题9-8题1题2题5总习题题5题10.数一题18.数三题19 习题10-1题2习题10--2题1题2题6题13题14题15数一习题10--3题5题9题10习题11-1题3中的奇数11--2题3中的偶数习题11--3题1题5题9习题11--4题6习题11-5题3习题11--6题1习题11--7题2总习题十一题4题7习题12--3题2习题12--4题3题4题5题6数一题2第二篇：历年考研数学真题高等数学部分考查历年考研数学真题高等数学部分考查重点一、函数、极限与连续1.求分段函数的复合函数;2.求极限或已知极限确定原式中的常数;3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型;4.无穷小阶的比较;声明：本资料由大家论坛考研论坛5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。
高数课后习题答案及其解析
第一章习题 习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。
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高等数学教材必做题目推荐1. 一元函数的极限与连续- 题目1: 求函数$f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 - 4}$在$x = 2$处的极限。
- 题目2: 讨论函数$f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$的连续性，并求其在$x = 0$处的极限。
2. 函数的导数与微分- 题目1: 求函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$的导数，并给出$f'(1)$的值。
- 题目2: 已知曲线$y = x^3 - 3x$上有一点$P(2, -2)$，求该点处的切线方程。
3. 不定积分与定积分- 题目1: 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 1$的不定积分。
- 题目2: 求定积分$\int_{0}^{1}(x^3 - 2x)dx$的值。
4. 多元函数的偏导数与方向导数- 题目1: 求函数$f(x, y) = x^3 + y^2 - 2xy$的偏导数。
- 题目2: 计算函数$f(x, y) = xy^2$在点$(1, -2)$处沿$\vec{v} = (2, 1)$方向的方向导数。
5. 重积分与曲线积分- 题目1: 求曲线$L: y = x^2, x \in [0, 1]$的长度。
- 题目2: 计算二重积分$I = \iint_D(x^2 + y^2)dA$，其中$D$为单位圆内的区域。
6. 常微分方程与级数- 题目1: 求解微分方程$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$。
- 题目2: 计算级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$的和。
7. 参数方程与极坐标- 题目1: 求参数方程$x = \cos(t), y = \sin(t)$所代表的轨迹方程。
- 题目2: 计算极坐标形式下曲线$r = 2\cos(\theta)$的弧长。
8. 空间解析几何- 题目1: 求过点$P(1, 2, 3)$且平行于向量$\vec{a} = (2, -1, 3)$的平面方程。
高等数学课后习题及参考答案(第十二章)
高等数学课后习题及参考答案（第十二章）习题12-1 1试说出下列各微分方程的阶数(1)x (y ')2-2yy '+x =0 解 一阶 (2)x 2y '-xy '+y =0 解 一阶 (3)xy '''+2y '+x 2y =0解 三阶(4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0解 一阶(5)022=++C Qdt dQ RdtQ d L解 二阶(6)θρθρ2sin =+d d解 一阶 2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解(1)xy '=2y y =5x 2解 y '=10x因为xy '=10x 2=2(5x 2)=2y 所以y =5x 2是所给微分方程的解(2)y '+y =0y =3sin x -4cos x解 y '=3cos x +4sin x因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解(3)y ''-2y '+y =0 y =x 2e x解 y '=2xe x +x 2e xy ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解(4)y ''-(1+2)y '+12y =0xx e C e C y 2121λλ+= 解 x x e C e C y 212211λλλλ+=' xx e C e C y 21222211λλλλ+=''因为y y y 2121)(λλλλ+'+-'')())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+= =0所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解3 在下列各题中验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解(1)(x -2y )y '=2x -yx 2-xy +y 2=C解 将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得 2x -y -xy '+2y y '=0即 (x -2y )y '=2x -y所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解(2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0 y =ln(xy )解 将y =ln(xy )的两边对x 求导得y y x y '+='11 即x xy yy -='再次求导得)(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-⋅-=-+-'-=--'+--'=''注意到由y y x y '+='11可得1-'='y x y yx 所以)2(1])1([12y y y y x x xy y y y y y x x xy y '+'-'-⋅-='+'-'-'-⋅-=''从而 (xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解4 在下列各题中确定函数关系式中所含的参数 使函数满足所给的初始条件 (1)x 2-y 2=Cy |x =0=5解 由y |x =0=0得02-52=C C =-25 故x 2-y 2=-25(2)y =(C 1+C 2x )e 2x y |x =0=0y '|x =0=1解 y '=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x由y |x =0=0y '|x =0=1得⎩⎨⎧=+=1121C C C解之得C 1=0 C 2=1故y =xe 2x(3)y =C 1sin(x -C 2) y |x ==1 y '|x ==0解 y '=C 1cos(x -C 2) 由y |x ==1y '|x ==0得⎩⎨⎧=-=-0)cos(1)sin(2121C C C C ππ 即⎩⎨⎧=-=0cos 1sin 2121C C C C解之得C 1=1 22π=C 故)2sin(π-=x y 即y =-cos x5写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程(1)曲线在点(x y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方解 设曲线为y =y (x ) 则曲线上点(xy )处的切线斜率为y '由条件y '=x 2 这便是所求微分方程(2)曲线上点P (xy )处的法线与x 轴的交点为Q 且线段PQ 被y 轴平分解 设曲线为y =y (x ) 则曲线上点P (xy )处的法线斜率为y '-1 由条件第PQ 中点的横坐标为0 所以Q 点的坐标为(-x0) 从而有y x x y '-=+-10即yy '+2x =0 6用微分方程表示一物理命题某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比 所温度的平方成反比解 2T P k dT dP = 其中k 为比例系数习题12-21 求下列微分方程的通解 (1)xy '-y ln y =0 解 分离变量得dx xdy y y 1ln 1=两边积分得⎰⎰=dx xdy y y 1ln 1即 ln(ln y )=ln x +ln C , 故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x -5y '=0 解 分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx 两边积分得⎰⎰+=dxx x dy )53(52即 123255C x x y ++=故通解为C x x y ++=232151 其中151C C =为任意常数(3)2211y y x -='-解 分离变量得2211x dx y dy-=-两边积分得⎰⎰-=-2211x dx y dy即 arcsin y =arcsin x +C故通解为y =sin(arcsin x +C ) (4)y '-xy '=a (y 2+y ')解 方程变形为(1-x -a )y '=ay 2分离变量得dx x a a dy y--=112两边积分得⎰⎰--=dx x a a dy y112即 1)1ln(1C x a a y----=-故通解为)1ln(1x a a C y --+= 其中C =aC 1为任意常数(5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0 解 分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22-=两边积分得⎰⎰-=dx xx y y y tan sec tan sec 22 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C故通解为tan x tan y =C(6)y x dxdy+=10解 分离变量得10-y dy =10x dx 两边积分得⎰⎰=-dxdy x y 1010即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=-- 或 10-y =10x +C 故通解为y =-lg(C -10x )(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx分离变量得dxe e dy e e xx y y +=-11两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy e e xx y y 11 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C 故通解为(e x +1)(e y -1)=C(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0 解 分离变量得dx xx dy y ysin cos sin cos -= 两边积分得⎰⎰-=dx xx dy y ysin cos sin cos 即 ln(sin y )=-ln(sin x )+ln C 故通解为sin x sin y =C(9)0)1(32=++x dxdyy解 分离变量得(y +1)2dy =-x 3dx 两边积分得⎰⎰-=+dxx dy y 32)1(即 14341)1(31C x y +-=+故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1) (10)ydx +(x 2-4x )dy =0 解 分离变量得dx xx dy y )411(4-+=两边积分得⎰⎰-+=dx xx dy y )411(4即 ln y 4=ln x -ln(4-x )+ln C 故通解为y 4(4-x )=Cx2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)y '=e 2x -y y |x =0=0 解 分离变量得 e y dy =e 2x dx 两边积分得⎰⎰=dxe dy e x y 2即 C e e x y +=221或 )21ln(2C e y x +=由y |x =0=0得0)21ln(=+C 21=C所以特解)2121ln(2+=x e y(2)cos x sin ydy =cos y sin xdx 4|0π==x y解 分离变量得 tan y dy =tan x dx 两边积分得⎰⎰=xdxydy tan tan即 -ln(cos y )=-ln(cos x )-ln C 或 cos y =C cos x 由4|0π==x y 得CC ==0cos 4cos π 21=C所以特解为x y cos cos 2=(3)y 'sin x =y ln yey x ==2π解 分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=两边积分得⎰⎰=dx x dy y y sin 1ln 1即 Cx y ln )2ln(tan )ln(ln +=或2tan x C e y =由e y x ==2π得4tan πC e e = C =1所以特解为2tan x e y =(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0 4|0π==x y解 分离变量得dx e e dy y y xx +=-1cos sin两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy y y xx 1cos sin即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |或 cos y =C (e x +1)由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C 42=C 所以特解为)1(42cos +=x e y(5)xdy +2ydx =0 y |x =2=1 解 分离变量得 dx xdy y 21-=两边积分得⎰⎰-=dx xdy y 21即 ln y =-2ln x +ln C 或 y =Cx -2由y |x =2=1得C ⋅2-2=1 C =4 所以特解为24xy =3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60︒, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解 设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x 则由水力学有 x dtdV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=, 即dt x dV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=. 又因为330tan x x r =︒=,故 dx x dx r V 223ππ-=-=,从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π-=⨯⨯⨯,即 dx x dt 2398025.062.03⨯⨯⨯=π,因此 C x t +⨯⨯⨯-=2598025.062.032π.又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053⨯⨯⨯⨯=πC ,故水从小孔流出的规律为645.90305.0)10(98025.062.0532252525+-=-⨯⨯⨯⨯=x x t π.令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解 已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=.又由牛顿定律, F =ma , 即vt dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=.由初始条件有C +⨯=⨯2210105021, C =250. 因此500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+⨯=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解 由题设知,R dt dR λ-=, 即dt RdR λ-=,两边积分得ln R =-λt +C 1, 从而 )( 1C t e C Ce R ==-λ.因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e -λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021-=e R R , 从而16002ln =λ.因此t te R e R R 000433.0010002ln 0--==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解 设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为x yx y -=--2002,故曲线满足微分方程:xy dx dy -=, 即dx x dy y 11-=,从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2⨯3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解 建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dtdx v -==, 故dx =ky (h -y )dt . 又由已知, y =at , 代入上式得 dx =kat (h -at )dt , 积分得C t ka kaht x +-=3223121.由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x -=.因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x -=.习题12-31 求下列齐次方程的通解 (1)022=---'x y y y x解 原方程变为1)(2--=xy x y dx dy令xyu =则原方程化为12-+=+u u dxdu x u 即dxx du u 1112=-两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=-+ 即Cx u u =-+12将xyu =代入上式得原方程的通解 Cx xyx y =-+1)(2 即222Cx x y y =-+(2)xy y dx dy xln =解 原方程变为xyx y dx dy ln =令xy u =则原方程化为u u dxdu x u ln =+ 即dx x du u u 1)1(ln 1=-两边积分得ln(ln u -1)=ln x +ln C 即u =e Cx +1将xyu =代入上式得原方程的通解y =xe Cx +1(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0 解 这是齐次方程令xy u =即y =xu 则原方程化为(x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0即dxxudu 1=两边积分得u 2=ln x 2+C将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=x 2(ln x 2+C )(4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0解 这是齐次方程 令x yu = 即y =xu则原方程化为(x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0即dx x du u u 121332=-两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=-- 即2312x Cu -= 将xyu =代入上式得原方程的通解x 3-2y 3=Cx(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xyx dx x y y x y x解 原方程变为xyx y dx dy +=th 32令xyu = 则原方程化为u u dx du x u +=+th 32 即dx xdu u u 2sh ch 3=两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C 即sh 3u =Cx 2将xyu =代入上式得原方程的通解22sh Cx xy=(6)0)1(2)21(=-++dy yx e dx e y xy x解 原方程变为yx y xe e yx dydx 21)1(2+-=令yx u = 则原方程化为uu e e u dy du y u 21)1(2+-=+ 即uue e u dy du y 212++-=分离变量得dyy du eu e u u1221-=++两边积分得ln(u +2e u )=-ln y +ln C 即y (u +2e u )=C将y x u =代入上式得原方程的通解Ce yx y y x=+)2(即C ye x yx=+22 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 (1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0 y |x =0=1解 这是齐次方程 令xyu =, 即y =xu 则原方程化为(x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0即 dx x du u u u 1332=-- 或dx xdu u u u 1)11113(=-+++-两边积分得-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C | 即u 2-1=Cxu 3将xyu =代入上式得原方程的通解y 2-x 2=Cy 3由y |x =0=1得C =1 故所求特解为y 2-x 2=y 3(2)xyy x y +=' y |x =1=2解 令xyu =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1 即dx xudu 1=两边积分得C x u +=ln 212将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=2x 2(ln x +C )由y |x =1=2得C =2 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2)(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0 y |x =1=1解 这是齐次方程 令xyu =, 即y =xu 则原方程化为(x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0即 dxx du u u u u u 1112232-=+++-+或 dx xdu u u u 1)1211(2=+-+ 两边积分得ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C | 即u +1=Cx (u 2+1)将xyu =代入上式得原方程的通解x +y =C (x 2+y 2)由y |x =1=1得C =1 故所求特解为x +y =(x 2+y 2)3设有连结点O (00)和A (11)的一段向上凸的曲线弧A O对于A O上任一点P (xy ) 曲线弧P O与直线段OP 所围图形的面积为x 2 求曲线弧A O的方程解 设曲线弧A O的方程为y =y (x ) 由题意得20)(21)(x x xy dx x y x=-⎰两边求导得x x y x x y x y 2)(21)(21)(='--即 4-='x yy令xy u = 则有4-=+u dx du x u 即dx xdu u 41-=两边积分得u =-4ln x +C将xyu =代入上式得方程的通解y =-4x ln x +Cx 由于A (1 1)在曲线上 即y (1)=1 因而C =1 从则所求方程为y =-4x ln x +x习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dxdy-=+;解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dxx dx +=+⋅=+⎰⋅⎰=-----⎰⎰.(2)xy '+y =x 2+3x +2;解 原方程变为x x y x y 231++=+'.])23([11C dx e xx e y dx x dxx +⎰⋅++⎰=⎰- ])23([1])23([12C dx x x xC xdx x x x +++=+++=⎰⎰xC x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3)y '+y cos x =e -sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdxx dx +⎰⋅⎰=⎰--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=---⎰.(4)y '+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰- )2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=⎰- ⎰+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx xx x x=cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x . (5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0;解 原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y .)1cos (1221222C dx e x x e y dx x xdx x x +⎰⋅-⎰=⎰--- )(sin 11])1(1cos[112222C x x C dx x x x x +-=+-⋅--=⎰. (6)23=+ρθρd d ;解 )2(33C d e e d d +⎰⋅⎰=⎰-θρθθ)2(33C d e e +=⎰-θθθ θθθ33332)32(--+=+=Ce C e e .(7)x xy dxdy42=+;解 )4(22C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅⎰=⎰-)4(22C dx e x e x x +⋅=⎰- 2222)2(x x x Ce C e e --+=+=. (8)y ln ydx +(x -ln y )dy =0;解 原方程变形为y x y y dy dx 1ln 1=+.)1(ln 1ln 1C dy e ye x dy y y dyy y +⎰⋅⎰=⎰-)ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=⎰yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=.(9)3)2(2)2(-+=-x y dxdyx ; 解 原方程变形为2)2(221-=--x y x dx dy.])2(2[21221C dx e x e y dxx dx x +⎰⋅-⎰=⎰---⎰+-⋅--=]21)2(2)[2(2C dx x x x=(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3+C (x -2).(10)02)6(2=+-y dxdyx y .解 原方程变形为y x y dy dx 213-=-.])21([33C dy e y e x dy y dy y +⎰⋅-⎰=⎰- )121(33C dy yy y +⋅-=⎰32321)21(Cy y C y y +=+=.2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dx dysec tan =-, y |x =0=0;解 )sec (tan tan C dx e x e y xdxxdx+⎰⋅⎰=⎰-)(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=⎰. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)x x x ydx dy sin =+, y |x =π=1;解)sin (11C dx e xx e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰-)cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +-=+⋅=⎰.由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x x y --=π.(3)x e x y dx dycos 5cot =+, 4|2-==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +⎰⋅⎰=⎰-)5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +-=+⋅=⎰. 由4|2-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +-=x e x y .(4)83=+y dxdy, y |x =0=2; 解 )8(33C dx e e y dxdx +⎰⋅⎰=⎰-x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(---+=+=+=⎰.由y |x =0=2, 得32-=C , 故所求特解为)4(323x e y --=.(5)13232=-+y x x dx dy , y |x =1=0. 解)1(32323232C dx e e y dxx x dx x x +⎰⋅⎰=⎰---)21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=--⎰. 由y |x =1=0, 得eC 21-=, 故所求特解为)1(211132--=x e x y .3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y .解 由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0. 由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dxdx +=+⎰⎰=⎰⎰--=e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解 由牛顿定律F =ma , 得v k t k dtdv m 21-=, 即t m kv m k dt dv 12=+.由通解公式得 )()(222211C dt e t m k e C dt e t m k ev t m kt m k dt mk dt m k +⋅=+⎰⋅⎰=⎰⎰--)(22222121C e k m k te k k et m kt mk tmk +-=-. 由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k mk C =. 因此 )(22122121222k m k e k m k te k k ev t m k t m k t m k +-=-即 )1(222121t m ke k mk t k k v ---=.5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系. 解 由回路电压定律知01025sin 20=--i dt di t , 即t i dtdi 5sin 105=+.由通解公式得t dtdt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+⎰⋅⎰=⎰.因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).6. 设曲dy x x xf dx x yf L])(2[)(2-+⎰在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).解 因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以 ])(2[)]([2x x xf xx yf y -∂∂=∂∂,即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x , 或 1)(21)(=+'x f x x f .因此xC x C dx x x C dx e e x f dx x dxx +=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰-32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故x x x f 3132)(+=.7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy-=+;解 原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 112-=+, 即x x y dx y d cos sin )(11-=---. ])cos sin ([1C dx e x x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=⎰-, 原方程的通解为x Ce yx sin 1-=.(2)23xy xy dxdy=-; 解 原方程可变形为 x y x dxdy y =-1312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅-⎰=⎰--)(222323C dx xe e x x +-=⎰-31)31(222232323-=+-=--x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223-=-x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy -=+; 解 原方程可变形为 )21(31131134x y dx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x x x Ce x C dx e x e +--=+-=⎰-12])12([, 原方程的通解为1213--=x Ce yx .(4)5xy y dxdy=-; 解 原方程可变形为 x ydx dy y =-4511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=⎰--)4(44C dx xe e x +-=⎰- x Ce x 441-++-=,原方程的通解为x Ce x y 44411-++-=.(5)xdy -[y +xy 3(1+ln x )]dx =0. 解 原方程可变形为)ln 1(11123x y x dx dy y +=⋅-⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--.])ln 1(2[222C dx e x e ydx x dx x +⎰⋅+-⎰=⎰-- ])ln 1(2[122C dx x x x++-=⎰ x x x x C 94ln 322--=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解. 解 原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x -=-, 即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得 C x du v f v g v v g +=-⎰ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然 后求出通解:(1)2)(y x dxdy+=;解 令u =x +y , 则原方程化为 21u dx du =-, 即21udu dx +=.两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ).(2)11+-=yx dx dy;解 令u =x -y , 则原方程化为111+=-udx du , 即dx =-udu .两边积分得1221C u x +-=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1).(3)xy '+y =y (ln x +ln y );解 令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+-, 即du uu dx x ln 11=.两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx . 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy =e Cx , 即Cx e xy 1=.(4)y '=y 2+2(sin x -1)y +sin 2x -2sin x -cos x +1; 解 原方程变形为y '=(y +sin x -1)2-cos x . 令u =y +sin x -1, 则原方程化为 x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u =21. 两边积分得C x u+=-1.将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-1sin 1, 即Cx x y +--=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 . 解 原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++-=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++-=-, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得u uu C x ln 121ln 21+--=+.将u =xy 代入上式得原方程的通解xy xy y x C x ln 121ln 221+--=+, 即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12-5 1判别下列方程中哪些是全微分方程并求全微分方程的通解(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0解 这里P =3x 2+6xy 2 Q =6x 2y +4y 2因为x Qxy y P ∂∂==∂∂12所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y y x dx x yx=++⎰⎰02202)46(3即 Cy y x x =++3223343(2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0解 这里P =a 2-2xy -y 2Q =-(x +y )2 因为x Qy x y P ∂∂=--=∂∂22所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y x dx a yx=+-⎰⎰0202)(即 a 2x -x 2y -xy 2=C(3)e y dx +(xe y -2y )dy =0解 这里P =e y Q =xe y -2y因为x Qe y P y ∂∂==∂∂所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y xe dx e yy x =-+⎰⎰000)2(即 xe y -y 2=C(4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0解 原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0这里P =-(y sin x +sin y ) Q =x cos y +cos x因为x Qx y y P ∂∂=-=∂∂sin cos所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy x y x dx yx=++⎰⎰00)cos cos (0即 x sin y +y cos x =C 解(5)(x 2-y )dx -xdy =0 解 这里P =x 2-yQ =-x 因为xQy P ∂∂=-=∂∂1所以此方程是全微分方程 其通解为Cxdy dx x yx=-⎰⎰002即 C xy x =-331(6)y (x -2y )dx -x 2dy =0解 这里P =y (x -2y ) Q =-x 2 因为yx y P 4-=∂∂ x x Q 2-=∂∂所以此方程不是全微分方程 (7)(1+e 2)d+2e 2d=0解 这里P =1+e 2 Q =2e 2因为x Qe y P ∂∂==∂∂θ22所以此方程是全微分方程 其通解为Cd e d =+⎰⎰θθρθρρ02022即(e 2+1)=C(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0解 这里P =x 2+y 2 Q =xy 因为y y P 2=∂∂ y x Q=∂∂所以此方程不是全微分方程2利用观察法求出下列方程的积分因子并求其通解(1)(x +y )(dx -dy )=dx +dy解 方程两边同时乘以yx +1得yx dydx dy dx ++=- 即d (x -y )=d ln(x +y )所以y x +1为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为x -y =ln(x +y )+C(2)ydx -xdy +y 2xdx =0解 方程两边同时乘以21y 得02=+-xdx yxdyydx 即0)2()(2=+x d y x d所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为C x y x =+22(3)y 2(x -3y )dx +(1-3y 2x )dy =0解 原方程变形为xy 2dx -3y 3dx +dy -3x 2dy =0两边同时乘以21y并整理得)33(2=+-+xdy ydx ydyxdx 即0)(3)1()2(2=--xy d yd x d所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为C xy yx =--3122 (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx解 方程两边同时乘以221y x +得 022=-++dx y x ydyxdx 即0)]ln(21[22=-+dx y x d所以221y x +为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为x 2+y 2=Ce 2x(5)(x -y 2)dx +2xydy =0 解 原方程变形为 xdx -y 2dx +2xydy =0两边同时乘以21x得0222=-+x dx y xydy x dx 即0)()(ln 2=+x y d x d 所以21x为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为C xy x =+2ln 即x ln x +y 2=Cx(6)2ydx -3xy 2dx -xdy =0 解 方程两边同时乘以x 得 2xydx -x 2dy -3x 2y 2dx =0 即yd (x 2)-x 2dy -3x 2y 2dx =0再除以y 2得03)(2222=--dx x ydyx x yd 即0)(32=-x y x d所以2yx 为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为032=-x yx3 验证)]()([1xy g xy f xy -是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子并求下列方程的通解解 方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy -得0])()([)]()([1=+-dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P -= )]()([)(xy g xy f y xy g Q -=因为x Qxy g xy f xy g xy f xy g xy f y P ∂∂=-'-'=∂∂2)]()([)()()()( 所以)]()([1xy g xy f xy -是原方程的一个积分因子(1)y (x 2y 2+2)dx +x (2-2x 2y 2)dy =0解 这里f (xy )=x 2y 2+2 g (xy )=2-2x 2y 2所以3331)]()([1y x xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=-++dy y x y x dx y x x其通解为Cdy y x y x dx x x y x=-++⎰⎰132221323232即 Cy x y x =-+-)11ln (ln 31222或2212yx e Cy x =(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy -x 3y 3)dy =0解 这里f (x y )=2x y +1 g (x y )=1+2x y -x 3 y 3 , 所以441)]()([1yx xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子 方程两边同乘以441yx 得全微分方程2112433334=-+++dy y x y x xy dx y x xy其通解为 C dy y x y x xy dx x x y x =-+++⎰⎰14333142112即 C y y x y x =++||ln 31133224用积分因子法解下列一阶线性方程(1)xy '+2y =4ln x解 原方程变为xxy x y ln 42=+' 其积分因子为22)(x e x dxx =⎰=μ在方程x x y x y ln 42=+'的两边乘以x 2得x 2y '+2xy =4x ln x 即(x 2y )'=4x ln x两边积分得C x x x xdx x y x +-==⎰222ln 2ln 4原方程的通解为21ln 2x Cx y +-=(2)y '-tan x ⋅y =x解 积分因子为x e x xdxcos )(tan =⎰=-μ在方程的两边乘以cos x 得 cos x ⋅y '-sin x ⋅y =x cos x 即(cos x ⋅y )'=x cos x两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅⎰cos sin cos cos方程的通解为xCx x y cos 1tan ++=习题12-61 求下列各微分方程的通解 (1)y ''=x +sin x解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +-=+='⎰21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++-=+-=⎰原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++-=(2)y '''=xe x解 12C e xe dx xe y x x x +-==''⎰21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++-=+-='⎰3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++-=++-=⎰原方程的通解为32213C x C x C e xe y x x +++-=(3)211xy +=''解 12arctan 11C x dx xy +=+='⎰x C dx xx x x dx C x y 1211arctan )(arctan ++-=+=⎰⎰212)1ln(21arctan C x C x x x +++-=原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++-=(4)y ''=1+y '2解 令p =y ' 则原方程化为p '=1+p 2 即dx dp p=+211两边积分得arctan p =x +C 1 即y '=p =tan(x +C 1) 211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++-=(5)y ''=y '+x解 令p =y ' 则原方程化为 p '-p =x由一阶线性非齐次方程的通解公式得1)()(111--=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰--x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dxdx即 y '=C 1e x -x -1于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +--=--=⎰原方程的通解为22121C x x e C y x +--=(6)xy ''+y '=0解 令p =y ' 则原方程化为 x p '+p =0 即01=+'p xp由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p xdxx 1ln 111==⎰=--即 x C y 1=' 于是 211ln C x C dx xCy +==⎰原方程的通解为 y =C 1ln x +C 2(7)yy ''+'=y '2 解 令p =y ' 则dydppdx dy dy dp y =⋅='' 原方程化为 21p dydpyp=+ 即dy y dp p p 112=-两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=- 即22121y C p ±-当|y '|=|p |>1时 方程变为 2211y C y +±=' 即dxdy y C ±=+21)(11两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2 即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=当|y '|=|p |<1时方程变为2211y C y -±=' 即dxdy y C ±=-21)(11两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2 即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=(8)y 3y ''-1=0 解 令p =y ' 则dydp py ='' 原方程化为013=-dydppy 即pdp =y -3dy两边积分得122212121C y p +-=- 即p 2=-y -2+C 1故 21--±='y C y 即dx dy yC ±=--211两边积分得)(12121C x C y C +±=-即原方程的通解为 C 1y 2=(C 1x +C 2)2(9)y y 1=''解 令p =y ' 则dydp py ='' 原方程化为y dy dp p1= 即dyypdp 1=两边积分得122221C y p += 即1244C y p += 故 12C y y +±=' 即dx dy C y ±=+11两边积分得原方程的通 211231]2)(32[C C y C C y x ++-+±=(10)y ''=y '3+y ' 解 令p =y '则dydppy ='' 原方程化为 p p dy dp p +=3 即0)]1([2=+-p dydpp由p =0得y =C 这是原方程的一个解由0)1(2=+-p dydp得arctan p =y -C 1 即y '=p =tan(y -C 1)从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x -=-=+⎰ 故原方程的通解为12arcsin C e y C x +=+2 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解(1)y 3 y ''+1=0 y |x =1=1 y '|x =1=0解 令p =y ', 则dy dpp y ='', 原方程化为013=+dy dppy , 即dy ypdp 31-=, 两边积分得1221C yp +=, 即y y C y 211+±='.由y |x =1=1, y '|x =1=0得C 1=-1, 从而y y y 21-±=',分离变量得 dx dy yy=-±21, 两边积分得221C x y +=-± 即22)(1C x y +-±=由y |x =1=1得C 2=-1, 2)1(1--=x y 从而原方程的通解为22x x y -=.(2)y ''-ay '2=0 y |x =0=0 y '|x =0=-1解 令p =y ', 则原方程化为02=-ap dxdp即adxdp p=21两边积分得11C ax p+=- 即11C ax y +-='由y '|x =0=-1得C 1=111+-='ax y 两边积分得2)1ln(1C ax a y ++-=由y |x =0=0得C 2=0故所求特解为)1ln(1+-=ax ay(3)y '''=e ax y |x =1=y '|x =1=y ''|x =1=0 解 11C e adx e y ax ax +==''⎰由y ''|x =1=0得a e aC 11-=2211)11(C x e a e a dx e a e a y a ax a ax +-=-='⎰由y '|x =1=0得a a e ae a C 2211-=dx e a e a x e a e a y a a a ax )1111(22⎰-+-= 322311211C x e a x e a x e a e a a a a ax +-+-= 由y |x =1=0得a a a a e a e a e a e a C 32312111-+-= 故所求特解为 322232)22()1(2a a a e a x a e a x e a e y a a a ax ----+-=(4)y ''=e 2y y |x =0=y '|x =0=0解 令p =y ', 则dydpp y ='', 原方程化为y e dydpp 2= 即pdp =e 2y dy积分得p 2=e 2y +C 1即12C e y y +±='由y |x =0=y '|x =0=0得C 1=-1 故12-±='y e y 从而dx dy e y±=-112 积分得-arcsin e -y =±x +C 2 由y |x =0=0得22π-=C 故x x e y cos )2sin(=-=-π从而所求特解为y =-lncos x (5)yy 3='' y |x =0=1y '|x =0=2解 令p =y ', 则dydppy ='', 原方程化为 y dydpp 3= 即dy y pdp 3=两边积分得12322221C y p += 即1232C y y +±=' 由y |x =0=1 y '|x =0=2得C 1=0432y y =' 从而dxdy y 243=-两边积分得24124C x y += 即42)4121(C x y +=由y |x =0=1得C 2=4故原方程的特解为4)121(+=x y(6)y ''+y '2=1 y |x =0=0 y '|x =0=0解 令p =y ', 则dy dpp y ='', 原方程化为12=+p dydpp 即2222=+p dydp于是 1)2(211222+=+⎰⋅⎰=--⎰y dydy e C C dy e e p即 121+±='-y e C y由y |x =0=0 y '|x =0=0得C 1=-1ye y 21--±='故dx dy ey ±=--211两边积分得22)1ln(C x e e y y +±=-+由y |x =0=0得C 2=0xe e y y ±=-+)1ln(2从而得原方程的特解y =lnch x3 试求y ''=x 的经过点M (01)且在此点与直线121+=x y 相切的积分曲线解 1221C x y +='21361C x C x y ++=由题意得y |x =0=121|0='=x y由21|0='=x y 得211=C 再由y |x =0=1得C 2=1 因此所求曲线为121613++=x x y4 设有一质量为m 的物体 在空中由静止开始下落 如果空气阻力为R =c 2v 2(其中c 为常数 v 为物体运动的速度) 试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系解 以t =0对应的物体位置为原点 垂直向下的直线为s 正轴 建立坐标系由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==-===0| |0022t t v s v c mg dt dv m将方程分离变量得 dt vc mg mdv =-22两边积分得 1||ln C kt mgcv mgcv +=-+(其中m g c k 2=) 由v |t =0=0得C 1=0ktmgcv mg cv =-+||ln 即ktem gcv m g cv =-+。
高等数学教材必做题及答案
高等数学教材必做题及答案一、导数与微分1. 求函数$f(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 2$在$x = 2$处的导数和切线方程；解：首先，计算函数$f(x)$的导数：$f'(x) = 3x^2 - 8x - 3$然后计算$f'(2)$的值，可得：$f'(2) = 3(2)^2 - 8(2) - 3 = -5$因此，函数$f(x)$在$x = 2$处的导数为-5。
接下来，求切线方程。
切线方程的一般形式为$y = kx + b$，其中$k$表示斜率，$b$表示待定的常数。
由于切线过点$(2, f(2))$，所以带入$x = 2$可得$y = f(2) = 2$。
因此，切线方程为$y = -5x + 12$。
2. 求函数$f(x) = \frac{2x}{x+1}$的导函数和反函数；解：首先，计算函数$f(x)$的导数：$f'(x) = \frac{(2)(x+1) - (2x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$然后，求函数$f(x)$的反函数。
设反函数为$g(x)$，则有$f(g(x)) = x$。
将$f(x)$代入上式可得$\frac{2g(x)}{g(x)+1} = x$，求解此方程得到$g(x) = \frac{x}{2-x}$。
因此，函数$f(x)$的导函数为$\frac{2}{(x+1)^2}$，反函数为$g(x) = \frac{x}{2-x}$。
二、定积分与不定积分1. 求函数$f(x) = 2x$在区间[1, 3]上的定积分；解：函数$f(x) = 2x$在区间[1, 3]上的定积分表达式为$\int_{1}^{3} 2x dx$积分的结果为$\int_{1}^{3} 2x dx = [x^2]_{1}^{3} = 3^2 - 1^2 = 8$。
因此，函数$f(x) = 2x$在区间[1, 3]上的定积分为8。
高考数学教材必做100题(理)(人教a必修4).doc
高中数学必做100题—必修4时量：1 班级： 姓名： 计分：（说明：《必修4》共精选15题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修4》精选）1. 已知角α的终边经过P (4,-3).（1）求2sin α－cos α的值； （2）求角α的终边与单位圆的交点P 的坐标.2. 已知1sin()2πα+=-，计算： （◎P 29 B2） （1）sin(5)πα-； （2）sin()2πα+； （3）3cos()2πα-； （4）tan()2πα-.3. 求函数tan()23y x ππ=+的定义域、周期和单调区间. （◎P 44 例2）4. 已知tan α＝13-，计算： （◎P 71 4） （1）sin 2cos 5cos sin αααα+-； （2）212sin cos cos ααα+.5. 画函数y ＝3sin(2x ＋3π)，x ∈R 简图，并说明此函数图象怎样由sin y x =变换而来. （☆P 15 例1）6. 某正弦交流电的电压v （单位V ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是 （◎P 58 4改编）),[0,)6v t t ππ=-∈+∞. （1）求该正弦交流电电压v 的周期、频率、振幅； （2）当1600t =，160时，求瞬时电压v ； （3）将此电压v 加在激发电压、熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光. 1.4≈）7. 平面上三个力1F 、2F 、3F 作用于一点且处于平衡状态，1||1F N =，26||F N +=，1F 与2F 的夹角为45︒，求：（1）3F 的大小； （2）3F 与1F 夹角的大小. （◎P 113 4）8. 已知4,3a b ==，(23)(2)61a b a b -+=，（1）求a 与b 的夹角θ；（2）若(1,2)c =，且a c ⊥，试求a .9. 已知1tan 7α=，1tan 3β=，求tan(2)αβ+的值. （◎P 138 17）10. 已知3cos()45πα-=，512sin()413πβ+=-，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求sin()αβ+的值. （◎P 146 2）11. （1）已知1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，求tan tan αβ的值； （◎P 146 7） （2）已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，求cos()αβ-的值. （◎P 147 B2）12. 已知函数22(sin cos )2cos y x x x =++. （◎P 147 9） （1）求它的递减区间； （2）求它的最大值和最小值.13. 已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--. （◎P 147 10）（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合.14. 已知函数()sin()sin()cos 66f x x x x a ππ=++-++的最大值为1. （◎P 147 12） （1）求常数a 的值； （2）求使()0f x ≥成立的x 的取值集合.15. 已知33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x a x x b ==-，且[0,]2x π∈. （1）求 a b 及a b +； （2）求函数()sin f x a b a b x =-+的最小值.。
高中数学练习册必刷题
高中数学练习册必刷题一、选择题1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)的图象关于直线\( x = 1 \)对称，则下列哪个选项是正确的？A. \( a = 0 \)B. \( b = 2a \)C. \( c = 0 \)D. \( b = -2a \)2. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)的值。
A. 23B. 25C. 27D. 293. 函数\( y = \log_2 x \)的定义域是：A. \( x > 0 \)B. \( x \geq 0 \)C. \( x < 0 \)D. \( x \leq 0 \)二、填空题4. 若\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)为锐角，求\( \cos \alpha \)的值。
5. 已知\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，\( a +b = 4 \)，求\( ab \)的值。
三、解答题6. 证明：若\( \triangle ABC \)是直角三角形，且\( \angle C =90^\circ \)，求证\( a^2 + b^2 = c^2 \)。
7. 已知\( \triangle ABC \)中，\( AB = 5 \)，\( AC = 3 \)，\( BC = 4 \)，求\( \sin A \)的值。
四、应用题8. 某工厂生产一批零件，每个零件的成本为10元，售价为15元，若工厂希望获得的利润是总成本的20%，求工厂至少需要生产多少个零件。
9. 某公司计划在一条直线上建两个仓库，仓库A和仓库B，仓库A到公司的距离是2公里，仓库B到公司的距离是5公里。
如果公司希望两个仓库之间的距离不超过3公里，问公司应该在何处建立仓库B？五、综合题10. 已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求导数\( f'(x) \)，并求\( f(x) \)在区间\( [0, 3] \)上的极值。
高等数学教材题目大全及答案
高等数学教材题目大全及答案一、导数与微分1. 求以下函数的导数，并给出导数的定义：a) f(x) = 3x^2 + 5x - 2b) g(x) = 4/x + 3√x答案：a) f'(x) = 6x + 5b) g'(x) = -4/x^2 + 3/(2√x)2. 对函数f(x) = 2sin(3x)求其微分，并解释微分的几何意义。
答案：f'(x) = 6cos(3x)微分的几何意义是函数在某一点处的切线斜率，即函数的瞬时变化率。
二、定积分与不定积分1. 求下列定积分的值：a) ∫(0 to π/2) sinx dxb) ∫(2 to 5) (3x^2 + 2x - 1) dx答案：a) ∫(0 to π/2) sinx dx = 1b) ∫(2 to 5) (3x^2 + 2x - 1) dx = 85/32. 计算下列不定积分：a) ∫(3x^2 + 4x - 2) dxb) ∫e^x sinx dx答案：a) ∫(3x^2 + 4x - 2) dx = x^3 + 2x^2 - 2x + Cb) ∫e^x sinx dx = (e^x sinx) - (e^x cosx) + C三、级数与收敛性1. 判断以下级数的收敛性：a) ∑(n = 1 to ∞) (1/n^2)b) ∑(n = 1 to ∞) (2^n/n!)答案：a) 收敛，为π^2/6b) 收敛，为e^22. 求以下级数的和：a) ∑(n = 1 to ∞) (1/n)b) ∑(n = 0 to ∞) (3^n/5^n)答案：a) 发散（调和级数）b) ∑(n = 0 to ∞) (3^n/5^n) = 1/(1 - 3/5) = 5/2四、空间解析几何1. 求过点A(1, 2, 3)和B(3, 4, 5)的直线方程，并求其与平面x + 2y + z = 6的交点。
答案：直线方程为 (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, 2, 2)交点为 (3, 1, 2)2. 求点P(1, -2, 3)关于平面2x + y - z = 4的对称点P'的坐标。
高三数学课后习题推荐
高三数学课后习题推荐高三是每个学生面临的重要阶段，尤其是对于学习数学的学生来说。
数学作为一门学科，不仅需要理论的掌握，更需要通过练习来熟练应用所学知识。
因此，本文将为高三学生推荐一些数学课后习题，旨在帮助他们巩固知识、提升能力。
1. 函数题函数是高中数学的重点内容之一，掌握函数的概念和性质对于解题至关重要。
以下是一道函数题的推荐习题：题目：已知函数f(x) = 2x - 3，求f(4)的值。
解析：将x代入函数f(x)中，得到f(4) = 2*4 - 3 = 5。
因此，f(4)的值为5。
2. 几何题几何是高中数学中的另一个重要内容，理解几何概念、掌握几何定理是解题的关键。
以下是一道几何题的推荐习题：题目：已知直角三角形ABC，∠C = 90°，AC = 5cm，BC = 12cm，求AB的长度。
解析：根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 +12^2 = 25 + 144 = 169。
因此，AB的长度为13cm。
3. 概率题概率是数学中的一门重要分支，理解概率的概念和计算方法对于解决实际问题非常有帮助。
以下是一道概率题的推荐习题：题目：有一颗盒子中有5个红球和3个蓝球，从中任意取出一个球，求取出的球是红色的概率。
解析：总共有8个球，其中5个红球，所以取出红色球的概率是5/8。
4. 不等式题不等式是高中数学中的重要内容，解不等式需要掌握不等式性质和求解方法。
以下是一道不等式题的推荐习题：题目：解不等式2x - 1 < 5。
解析：将不等式转化为x的形式，得到2x < 6，再除以2得到x < 3。
因此，不等式2x - 1 < 5的解集为x < 3。
5. 数列题数列是高中数学中的基础知识，理解数列的概念和性质对于解决数列相关问题至关重要。
以下是一道数列题的推荐习题：题目：已知数列an的通项公式为an = 3n - 1，求前5项的和Sn。
解析：将n分别代入an的公式，得到a1 = 3*1 - 1 = 2，a2 = 3*2 - 1= 5，a3 = 3*3 - 1 = 8，a4 = 3*4 - 1 = 11，a5 = 3*5 - 1 = 14。
高等数学教材必做题目
高等数学教材必做题目在高等数学学习中，做题是非常重要的环节。
通过做题，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力，培养逻辑思维和数学思维能力。
下面是高等数学教材中必做的题目，希望能够帮助大家更好地学习和掌握高等数学知识。
一、导数与微分1. 求函数$f(x)=3x^2+2x-1$在点$x=2$处的导数。
2. 设函数$f(x)$可导，求证：$f(x)$在$[a,b]$上的单调性与$f'(x)$的符号变化有密切关系。
3. 求$f(x)=\sin^2x+\cos^4x$的导函数。
4. 求函数$y=\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$的导数。
5. 设曲线$y=f(x)$上任意两点$P(x_1,f(x_1))$和$Q(x_2,f(x_2))$间的切线斜率为$k$，证明$f(x)$是常数函数。
二、定积分与不定积分1. 计算积分$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x\cos x}{1+\sin^2x}dx$。
2. 求曲线$y=\frac{x^3}{3}-2x^2+4x$与$x$轴所围图形的面积。
3. 计算积分$\int\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)}dx$。
4. 求不定积分$\int x\sqrt{1+x^2}dx$。
5. 设曲线$y=f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增且$f(a)>f(b)$，证明$\int_a^bf(x)dx<0$。
三、级数1. 计算级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$。
2. 求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$的和。
3. 设$a>1$，证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}$收敛。
4. 求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$的和。
5. 判断以下级数的敛散性：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}$。
高等数学上下册课后习题答案1-5
习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ; 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ; 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim 2230++-→; 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→; 解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→; 解 21lim 1lim 2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x . (8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零).或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x xx ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x . (10))12)(11(lim 2xx x -+∞→; 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→; 解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→; 解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x xx x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ; 解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x . 解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数). 3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).4. 证明本节定理3中的(2).。
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习题3—1
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14
习题3—2
1（1）~（16）、2
习题3—3
1、3、4、5、7、10（1）~（3）
习题3—4
1、2、3（1）~（7）、5（1）~（5）、6、8（1）~（4）、9（1）~（6）、10（1）~（3）、12、13、14
习题2—3
1（1）~（12）、3（1）~（2）、4、10（1）~（2）
习题2—4
1（1）~（4）、2、3（1）~（4）、4（1）~（4）、5（1）~（2）、6、7（1）~（2）、8（1）~（4）
习题2—5
2、3（1）~（10）、4（1）~（8）
总习题二
1、2、3、6、7、8（1）~（5）、9（1）~（2）、11、12（1）~（2）、13、14。
1、2、4、5、6（1）~（2）、8、9、11、19。
第十章重积分（二重积分）
习题10—1
4（1）~（4）、5（1）~（4）
习题10—2
1（1）~（4）、2（1）~（4）、4（1）~（4）、5、6（1）~（6）、7、8、9、10、12（1）~（4）、13（1）~（4）、14（1）~（3）、15（1）~（4）
习题4—3
1~24
习题4—4
1~24
总习题四
1~40。
第五章定积分
习题5—1
10、11、12、13
习题5—2
2、3、4、5（1）~（3）、6（1）~（11）、9（1）~（2）、11、12、13
习题5—3
1（1）~（26）、2、3、4、5、6、7（1）~（13）
习题5—4
1（1）~（10）
总习题五
3（1）~（2）、4、7、8、10（1）~（10）、11、13、14。
习题9—2
1（1）~（8）、3、4、6（1）~（3）、7、8、9
习题9—3
1（1）~（4）、2、3、4、5
习题9—4
1、2、3、4、5、6、7、8（1）~（3）、9、10、11、12（1）~（4）
习题9—5
1、2、3、4、5、6、7、8、10（1）~（4）、11
习题9—8
1、2、3、4、5、6、8
总习题九
习题3—5
1（1）~（10）、2、4（1）~（3）、8、9、10、16
习题3—6
2、3、4
总习题三
1、2、4、5、6、7、8、9、10（1）~（4）、11（1）~（3）、12、13、14、19、20。
第四章不定积分
习题4—1
2（1）~（26）、3、5、6
习题4—2
1（1）~（14）、2（1）~（44）
《高等数学》（同济六版）基础复习教材基础练习题范围完整版（数学二）
2015-03-17文都-汤家凤
第一章函数与极限
习题1—5（P49）
1（1）~（（14）
习题1—6（P56）
1（1）~（6）、2（1）~（4）、4（1）~（5）
习题1—7（P59）
4（1）~（4）
习题1—8（P64）
3（1）~（4）、4
习题1—9（P69）
3（1）~(7)、4（1）~（6）
习题1—10（P74）
1、2、3、5
总习题一（P74）
2、3（1）（2）、9（1）~（6）、10、11、12、13。
第二章导数与微分
习题2—1
5、6、7、8、9（1）~（6）、2（1）~（10）、3（1）~（3）、5、6（1）~（10）、7（1）~（10）、8（1）~（10）、10（1）~（2）、11（1）~（10）、13、14
第六章定积分的应用
习题6—2
1、2（1）~（4）、3、4、5（1）~（3）、6、7、8（1）~（2）、9、10、15（1）~（4）、16、19、20、21、22、23、27、28、30。
习题6—3
1、4、5、6、7。
第七章微分方程
习题7—2
1（1）~（10）、2（1）~（5）
习题7—3
1（1）~（6）、2（1）~（3）、3
习题7—4
1（1）~（10）、2（1）~（5）、3
习题7—5
1（1）~（10）、2（1）~（6）、3
习题7—7
1（1）~（10）、2（1）~（6）
习题7—8
1（1）~（10）、2（1）~（5）
总习题七
1（1）~（4）、3（1）（2）（3）（7）（8）、7。
第九章多元函数微分法及应用
习题9—1
6（1）~（6）、7（1）~（2）、9