中考数学压轴题达标测试综合卷检测试题

一、中考数学压轴题
1．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2
23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．
（1）如图1，求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若728
CG AG =，求点P 的坐标．
2．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13．
（1）求直线AD 和BC 之间的距离；
（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？
（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．
3．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，E 是BC 边的中点，点P 在线段AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ，设PA =x ．
（1）求证：△PFA ∽△ABE ；
（2）当点P 在线段AD 上运动时，是否存在实数x ，使得以点P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；
（3）探究：当以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时，请直接写出
DP 满足的条件： ．
4．如图1，已知，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，连接AO 并延长交BC 于点H ．
（1）求外接圆⊙O 的半径；
（2）如图2，点D 是AH 上（不与点A ，H 重合）的动点，以CD ，CB 为边，作平行四边形CDEB ，DE 分别交⊙O 于点N ，交AB 边于点M ．
①连接BN ，当BN ⊥DE 时，求AM 的值；
②如图3，延长ED 交AC 于点F ，求证：NM ·NF=AM ·MB ；
③设AM=x ，要使2ND -22DM <0成立，求x 的取值范围．
5．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，第一颗弹珠弹出后其速度1
y （米/分钟）与时间x （分钟）前2分钟满足二次函数21y ax ，后3分钟满足反比例函数
关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分钟．
（1）求第一颗弹珠的速度1y （米/分钟）与时间x （分钟）之间的函数关系式；
（2）第一颗弹珠弹出1分钟后，弹出第二颗弹珠，第二颗弹珠的运行情况与第一颗相同，直接写出第二颗弹珠的速度2y （米/分钟）与弹出第一颗弹珠后的时间x （分钟）之间的函数关系式；
（3）当两颗弹珠同时在轨道上时，第____分钟末两颗弹珠的速度相差最大，最大相差______；
（4）判断当两颗弹珠同时在轨道上时，是否存在某时刻速度相同？请说明理由，并指出可以通过解哪个方程求出这一时刻．
6．如图，在等边ABC ∆中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接BE ，DE ．
（1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长；
（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且DF CD =，求证：12
AB EF =；
（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=︒直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系
7．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
8．如图，在正方形ABCD 中，DC=8，现将四边形BEGC 沿折痕EG(G ，E 分别在DC ，AB 边上)折叠，其顶点B ，C 分别落在边AD 上和边DC 的上部，其对应点设为F ，N 点，且FN 交DC 于M ．
特例体验：
(1)当FD=AF 时，△FDM 的周长是多少?
类比探究：
(2)当FD≠AF≠0时，△FDM 的周长会发生变化吗?请证明你的猜想．
拓展延伸：
(3)同样在FD≠AF≠0的条件下，设AF 为x ，被折起部分(即：四边形FEGN)的面积为S ，试用含x 的代数式表示S ，并问：当x 为何值时，S=26?
9．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝43
AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．
（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示)
（2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．
（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）
10．如图，一张半径为3cm的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交O于A B、两点．
（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB的长度．
OM ．
（2）已知M是O一点，1cm
①若折叠后的圆弧经过点M，则线段AB长度的取值范围是________．
②若折叠后的圆弧与直线OM相切于点M，则线段AB的长度为_________cm．
11．已知：菱形ABCD，点E 在线段BC 上，连接DE，点F 在线段AB 上，连接CF、DF， CF 与DE 交于点G，将菱形ABCD 沿DF 翻折，点A 恰好落在点G 上．
（1）求证：CD=CF；
（2）设∠CED= x，∠DCF= y，求y 与x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，当x=45°时，以CD 为底边作等腰△CDK，顶角顶点K 在菱形ABCD 的内部，连接GK，若GK∥CD，CD=4 时，求线段KG 的长．
12．已知：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；
（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；
（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求KG AK
的值．
13．如图，直线y ＝﹣x+4与抛物线y ＝﹣
12
x 2+bx+c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．
（1）求抛物线的解析式； （2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；
（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为x 轴上的动点，点B 为x 轴上方的动点，连接OA ，OB ，AB ．
（1）如图1，当点B 在y 轴上，且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，请直接写出P ∠的度数；
（2）如图2，当点B 在y 轴上，OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，点C 在BP 的延长线上，且满足45AOC ∠=︒，求OAB OCB
∠∠；
（3）如图3，当点B 在第一象限内，点P 是AOB ∆内一点，点M ，N 分别是线段OA ，OB 上一点，满足：1
902
APB AOB ∠=︒+∠，PM PN =，180ONP OMP ∠+∠=︒．
以下结论：①OM ON =；②AP 平分OAB ∠；③BP 平分OBA ∠；
④AM BN AB +=．
正确的是：________．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程）．
15．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC
（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；
（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．
①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；
②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由；
（3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．
16．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13
，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．
17．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．
（1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；
（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；
（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,A D 在坐标轴上，两点的坐标分别是点()0,,A m 点(),0,D m 且m 满足：322m m -+62=边AB 与x 轴交于点,E 点F 是边AD 上一动点，连接FB ，分别与x 轴，y 轴交于点,P 点,H 且FD BE =．
（1）求m 的值；
（2）若45,APF ∠=︒求证：AHF HFA ∠=∠；
（3）若点F 的纵坐标为,n 则线段HF 的长为 ．(用含n 的代数式表示)
19．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ．
（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；
（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．
20．我们知道，在等腰直角三角形中，底边与一边腰长比为2:1．如图1，90A ∠=︒，AB AC =，则2BC AB
=．
知识应用：
(1)如图2，ADE ∆和ABC ∆均为等腰直角三角形，90DAE BAC ∠=∠=︒，D ，E ，C 三点共线，若2AD =
2BD =，求CD 的长． 知识外延：
(2)如图3，正方形ABCD 中，BE 和BC 关于BG 对称，C 点的对应点为E 点，AE 交BG 的延长线于F 点，连接CF ．
①求证：GF EC =；
②若2AE =，2CE =BF 的长．
21．定义：将函数l 的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新的函数l '的图象，我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数．
例如：当m ＝1时，函数y ＝（x +1）2+5关于点P （1，0）的相关函数为y ＝﹣（x ﹣3）2﹣5．
（1）当m ＝0时
①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为；
②点（1
2
，﹣
9
8
）在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求
a的值．
（2）函数y＝（x﹣1）2+2关于点P的相关函数y＝﹣（x+3）2﹣2，则m＝；
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣mx﹣1
2
m2关于点P（m，0）的相关函数的最大
值为6，求m的值．
22．已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC．
（1）如图1，当BM=1时，求PC的长；
（2）如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证：BE
DE
=
33
；
（3）如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ．
①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程；
②△AMQ的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．
23．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OACB的顶点A、B分别在x轴和y轴上，已知OA=5，OB=3，点D的坐标是（0，1），点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿折线BCA的方向运动，当点P与点A重合时，运动停止，设运动的时间为t秒．
（1）点P运动到与点C重合时，求直线DP的函数解析式；
（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式，并写出对应t的取值范围；
（3）点P在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP是不以DP为底边的等腰三角形，若
存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG（a>b），开始时，点E在AB上，如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转．
（1）如图2，小亮将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转，连接BE、DG，当点G恰好落在线段BE上时，小亮发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG的长．
（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG，点E在DA的延长线上，连接BF、DF．当FG平分∠BFD时，请你帮他求a：b及∠FBG的度数．
（3）如图4，BE的延长线与直线DG相交于点P，a=2b．当正方形AEFG绕点A从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P运动的路线长（用含b的代数式表示）．25．如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC=6cm，点P从点B出发，沿B→C方向以1．5cm/s 的速度运动到点C停止，同时点Q从点A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，过点P作BC的垂线，过点Q作BC的平行线，两直线相交于点M．设点P的运动时间为x（s），△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y（cm2）（规定：线段是面积为0的图形）．
（1）当x= （s）时，PQ⊥BC；
（2）当点M落在AC边上时，x= （s）；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
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一、中考数学压轴题
1．C
解析：（1）21322y x x =
--；（2）1m t =-；（3）933,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】 （1）将抛物线解析式化为顶点式可得y=a （x-1）2-4a ，则C 点为（1，-4a ），再由-4a=-2即可求a 的值，进而确定函数解析式；
（2）由已知分别求出点P 和点A 的坐标，可得AP 的直线解析式，求出D 点坐标则可求CD ；
（3）设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，由三角形中位线的性质可求BE=2（t-3）=2t-6；过点F 作FN ⊥BE 于点N ，过点P 作PM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ，可证明
Rt △PME ≌Rt △ENF （HL ），从而推导出∠EPF=∠EFP=45°；过点C 作CK ⊥CG 交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，能够进一步证明△ACK ≌△BCG （SAS ），得到∠KGB=90°；令AG=8m ，则
CG=BG=6m ，过点G 作GL ⊥x 轴于点L ，在Rt △ABG 中，AG=10m=4，求出m 值，利用等积法可求G 点的坐标，再将G 点坐标代入3322t t y x --=
+，求出t ，即可求出点P 坐标.
【详解】
解：（1）22223(23)(1)4y ax ax a a x x a x a =--=--=--，
∴顶点C 的坐标为(1,4)a -，
点C 的纵坐标为2-，
42a ∴-=-，
12
a ∴=， 21322
y x x ∴=--； （2）点P 的横坐标为t ，
213(,)22
P t t t ∴--， 21322
y x x =--与x 轴的交点为(1,0)A -，(3,0)B ， ∴设AP 的直线解析式为y kx b =+，
则有201322k b kt b t t -+=⎧⎪⎨+=--⎪⎩
， 解得3232t k t b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，
3322
t t y x --∴=+， //CD y 轴交AP 于点D ，
(1,3)D t ∴-，
321CD t t ∴=-+=-，
1m t ∴=-；
（3）如图：设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ， CD 垂直平分AB ，ED AD =，
//DH BE ∴，12
DH BE =， BE x ∴⊥轴，
2(3)26BE t t ∴=-=-，
过点F 作FN BE ⊥于点N ，过点P 作PM BE ⊥交BE 的延长线于点M ，
EF BF =，
132
EN BN BE t PM ∴===-=， EP FE =，
Rt PME Rt ENF(HL)∴∆≅∆，
MPE FEN ∴∠=∠，
90FEN MEP MPE MEP ∴∠+∠=∠+∠=︒，
90PEF ∴∠=︒，
45EPF EFP ∴∠=∠=︒，
过点C 作CK CG ⊥交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，
90KCG ∴∠=︒，
45K KGC ∴∠=∠=︒，
CK CG ∴=，
90AHC BHC ∠=∠=︒，2AH BH CH ===，
45CAH ACH HBC HCB ∴∠=∠=∠=∠=︒，
90ACB ∴∠=︒，AC CB =，
90KCA ACG GCB ∴∠=︒-∠=∠，
()ACK BCG SAS ∴∆≅∆，
45BGC K AGC ∴∠=∠=∠=︒，AK
BG =，
90KGB ∴∠=︒，
令8AG m =，则CG =，
CK CG =，90KCG ∠=︒，
14KG m ∴=，
6BG AK KG AG m ∴==-=，
过点G 作GL x ⊥轴于点L ，
在Rt ABG ∆中，22104AB AG BG m =+==， 25m ∴=， 165
AG ∴=， 11861022
ABG S m m m GL ∆=⨯⨯=⨯⨯， 4825
GL ∴=， 22AL AG GL ∴=-，
3925OL AL AO ∴=-=
， 39(25G ∴，48)25
， AG 的解析式为3322t t y x --=
+， ∴483393252252
t t --=⨯+， 92
t ∴=， 9(2P ∴，33)8
．
【点睛】
本题考查二次函数的综合题．熟练掌握二次函数的图象及性质，通过辅助线构造三角形全等，逐步求出G 点的坐标从而求出t 的值是解题的关键．
2．A
解析：（1）12；（2）5s 或
373s ；（3）163s 或685
s 或72s 【解析】
【分析】
（1）AD 与BC 之间的距离即AB 的长，如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E ，在
RtDEC中可求得DE的长，即AB的长，即AD与BC间的距离；
（2）四边形QDCP为平行四边形，只需QD=CP即可；
（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD，情况二：PD=QD，情况三：QP=QD，而每大类中，点P存在2种情况，一种为点P还未到达点C，另一种为点P从点C处返回．
【详解】
（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点E
∵∠B=90°，AD∥BC
∴AB⊥BC，AB⊥AD
∴AB的长即为AD与BC之间的距离
∵AD=16，BC=21，
∴EC=5
∵DC=13
∴在Rt DEC中，DE=12
同理，DE的长也是AD与BC之间的距离
∴AD与BC之间的距离为12
（2）∵AD∥BC
∴只需QD=PC，则四边形QDCP是平行四边形
QD=16－t，PC=21－2t或PC=2t－21
∴16－t=21－2t或16－t=2t－21
解得：t=5s或t=37 3
s
（3）情况一：QP=PD
图形如下，过点P作AD的垂线，交AD于点F
∵PQ=PD，PF⊥QD，
∴QF=FD
∵AF∥BP，AB∥FP，∠B=90°
∴四边形ABPF是矩形，
∴AF=BP
由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t
∵AF=BP
∴8+2t =2t 或8+2
t =42－2t 解得：t=163或t=685
情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F
同理QD=16－t ，PF=AB=12
BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t
则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26
∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()2
2212226PD t =+-
∵PD=QD ，
∴22PD QD =
∴()()22216t 12162t =+-－或()()22216t 12226t =+-－
解得：2个方程都无解
情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F
同理：QD=16－t ，FP=12
BP=2t 或BP=42－2t
QF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t
在Rt QFP 中，22212PQ t =+或()2
2212423PQ t =+- ∵PQ=QD ，
∴22
PQ QD =
∴()22216t 12t =+－或()()22216t 12423t =+-－
第一个方程解得：t=7
2
，第二个方程解得：无解
综上得：t=16
3
或
68
5
或
7
2
【点睛】
本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q运动的轨迹，得出BP的长度．
3．D
解析：（1）见解析；（2）存在，满足条件的x的值为6或25
3
；（3）DP=
48
5
或10＜
DP≤12
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF=∠EAB 时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围,从而得出DP的范围．
【详解】
（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠ABE=90°，AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=90°=∠ABE，
∴△PFA∽△ABE．
（2）解：分二种情况：
①若△EFP∽△ABE，如图1，
则∠PEF=∠EAB，
∴PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=6，即x=6．
②如图2，若△PFE ∽△ABE ，
则∠PEF =∠AEB ，
∵AD ∥BC
∴∠PAF =∠AEB ，
∴∠PEF =∠PAF ．
∴PE =PA ．
∵PF ⊥AE ，
∴点F 为AE 的中点，
Rt △ABE 中，AB =8，BE =6，
∴AE =22AB BE +=2286+=10，
∴EF =152
AE =， ∵△PFE ∽△ABE ，
∴
PE EF AE BE =， ∴5106
x =， ∴PE =253
， ∴满足条件的x 的值为6或
253． （3）如图3，当⊙D 与AE 相切时，设切点为G ，连接DG ，
∵AP =x ，
∴PD ═DG =12﹣x ，
∵∠DAG =∠AEB ，∠AGD =∠B =90°，
∴△AGD ∽△EBA ， ∴AD DG AE AB =， ∴1212108
x -=， ∴x =
125， ∴12481255
DP =-=， 当⊙D 过点E 时，如图4，⊙D 与线段有两个公共点，连接DE ，
此时PD =DE =10，
故答案为：DP =
485
或10＜DP ≤12． 【点睛】
本题考查动点问题，动点在不同地方时，得到的图形是不同的，解题关键是确定动点运动过程中，有几种对应的图形，然后再根据图形性质分析求解． 4．A
解析：（1）O 半径为254；（2）①458AM =；②详见解析；③当1251017
x <<时，有2220ND DM -<成立．
【解析】
【分析】
（1）如下图，在Rt △ABH 中，先求得AH 的值，设OA=r ，在Rt △OBH 中，利用勾股定理可求得r 的长；
（2）①如下图，在Rt BCN ，可求得BN 的长，然后在矩形NBHD 中，求得AD 的值，最后利用cos ∠MAD 求得AM ；
②如下图，同过证AMN NFC △∽△可得结论；
③如下图，通过转换，先得出222ND DM -=22AM MB DM ⋅这个等式，然后利用
3
sin 5
DM MAD AM ∠=
=，设AM=x ，可得到关于x 的方程，进而求出x 的取值范围． 【详解】
解：（1）如图1，连接OB ，
∵AH 过圆心O ，∴AH BC ⊥， ∵AB AC =，∴1
62
BH CH BC ==
=， 在Rt ABH △中，221068AH =-=，
设半径OA OB r ==，则8OH r =-，在Rt OBH 中，2
2
2
(8)6r r -+=， 解得254r =
，即O 半径为254
． （2）①如图2，连接CN
在平行四边形CDEB 中，DE BC ∥，∴ENB NBC ∠=∠． ∵BN DE ⊥，即90ENB ∠=︒，∴90NBC ∠=︒． ∴CN 是
O 的直径．25
22
CN r ==
． ∴在Rt BCN 中，22
72
BN CN BC =-=
． ∵四边形CDEB 是平行四边形，NB ⊥BH ，DH ⊥BH ∴四边形NBHD 是矩形， ∴72DH BN ==
，6ND BH ==，∴79822
AD AH DH =-=-=． ∴在Rt ADM △中，4cos 5AD AH MAD AM AB ∠===，∴45
8
AM =， ②如图3，连接AN ，CN ，
∵DE BC ∥，∴DNC NCB ∠=∠． ∵NAB NCB ∠=∠，∴NAB DNC ∠=∠．
由DE BC ∥，AB AC =可得AMD ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠， ∴AMN NFC ∠=∠，AM
AF =．
∴AMN NFC △∽△，MB CF =． ∴
NM NM AM
CF MB NF
==，即NM NF AM MB ⋅=⋅． ③∵AH BC ⊥，DE BC ∥，∴AD MF ⊥，∵AM AF =，∴MD DF =，
∴222222ND DM ND DM DM -=--
2()()ND DM ND DM DM =-+- 2NM NF DM =⋅-
22AM MB DM =⋅．
∵AM x =，∴10BM x =-，
由3sin 5DM MAD AM ∠=
=，得3
5
DM x =， ∴2
2223342(10)10525ND DM x x x x x ⎛⎫-=--=-+ ⎪⎝⎭
．(010)x <<
该函数图象的示意图如图4
易求得点P 坐标为125,017⎛⎫
⎪⎝⎭
∴当
125
1017
x <<时，有2220ND DM -<成立． 【点睛】
本题考查几何图形的综合，解题过程中用到了勾股定理、相似、三角函数和平行四边形、圆的性质，解题关键是将这些知识点综合起来分析题干．
5．（1）212(02)
16(25)x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩；（2）2
20(01)2(1)(13)16(36)
1
x y x x x x ⎧
⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩；（3）第2分钟末两颗
弹珠速度相差最大，最大相差6米/分钟；（4）存在，理由详见解析 【解析】 【分析】
（1）将（1，2）代入2
1y ax =，得2a =，从而得到212y x =，再代入2x =求出
18y =，即可得到反比例函数解析式，即可得解；
（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出，故第二颗弹珠的解析式为20y =；再分别根据（1）中的结论，即可求出当13x <≤和36x <≤时第二颗弹珠的解析式；
（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大，则第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，分别求出第2分钟末时两颗弹珠的速度，再相减即可的解；
（4）第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到5
1
3
米/分钟，第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分，故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同．可以根据速度相等时列方程求得时刻． 【详解】
（1）当02x ≤≤时，将（1，2）代入2
1y ax =，得2a =，
212y x ∴=，
∵当2x =时，18y =， ∴当25x ≤≤时，116y x
=
， 1y ∴与x 的函数关系式为212(02)16(25)x x y x x
⎧≤≤⎪
=⎨≤≤⎪⎩；
（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出， ∴第二颗弹珠的解析式为20y =；
当13x <≤时，第二颗弹珠的解析式为2
22(1)y x =-；
当36x <≤时，第二颗弹珠的解析式为216
1
y x =
-； ∴2y 与x 的函数关系式为2
20(01)2(1)(13)16(36)1
x y x x x x ⎧
⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩；
（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大， ∴第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，
∵第一颗弹珠的速度为2
218222y x =⨯==米/分钟， 第二颗弹珠的速度为212
2(1)212y x =⨯==-米/分钟，
∴两颗弹珠的速度最大相差8-2=6米/分钟； （4）存在，理由如下：
第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到51
3
米/分钟， 第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分， 故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同． 这个时刻可以通过解方程216
2(1)x x
=-求得． 【点睛】
本题考查了反比例函数和二次函数的应用．解题的关键是从图中得到关键性的信息，明确自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标．
6．B
解析：（1）9CE =-2）详见解析；（3）1
32
BD DE EF =- 【解析】 【分析】
（1）过点B 作BH AC ⊥于点H ，分别求出BH ，BE ，根据勾股定理问题得解； （2）如图在FE 上取一点G ，使FG AC =，连接DG ，先证明
()ACD GFD SAS ∆∆≌，再证明()ECB DGE AAS ∆∆≌，问题得证；
（3）过点D 作AE 的垂线，构造出一个30，60︒，90︒的三角形和一个等腰直角三角形,
借助（2）的结论，设222EF AB AC x ===，ED =，通过解两个直角三角形，代
换x 和y 的关系，得出结论． 【详解】
解：（1）如图，过点B 作BH AC ⊥于点H ，
在等边ABC ∆中∵BC =
∴AH HC ==3BH ==,
∵点E 在BD 的垂直平分线上，
∴BE DE ==，
在Rt BHE ∆中9EH =
=
∴9CE EH HC =-=
（2）如图在FE 上取一点G ，使FG AC =，连接DG ∵DF CD = ∴FCD CFD ∠=∠ ∴ACD EFD ∠=∠ 在ACD ∆和GFD ∆中，
DF CD ACD EFD FG AC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ACD GFD SAS ∆∆≌ ∴AD DG = ∴60A DGA ∠=∠=︒ ∴60A DGA ADG ∠=∠=∠=︒ 设EBD EDB α∠=∠= ∴120CBE α∠=︒- 在ADE ∆中
∴18060120AED αα∠=︒-︒-=︒- ∴120AED CBE α∠=∠=︒- 在ECB ∆和DGE ∆中
120AED CBE ECB ECD EB DE ∠=∠⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴()ECB DGE AAS ∆∆≌ ∴BC GE =
∴AB AC BC GE FG ====
1
2
AB EF =
（3）如图，设222EF AB AC x ===，DP=y ， 过点DP ⊥AE ，垂足为P ， ∵∠AED=45°, ∠A=60°, ∴2sin sin 45DP y ED y AED =
==∠︒，23sin sin 60DP y y
AD A ===
∠︒， ∴2
=
2
y DE , ∴BD=AD-AB =
2323
2161
222
y x DE EF DE EF -=-=-， 故答案为：61
2
BD DE EF =
-． 【点睛】
本题涉及知识点较多，设计新颖，综合性强，难度较大，根据题意添加适当辅助线，构造直角三角形或构造全等是解题关键．
7．B
解析：（1）12；（2）533）202 【解析】 【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点
N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，
42AB =，
2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，
6AC =，
11
641222
ABC
S
AC BD ∴=
⋅=⨯⨯=．
（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，
D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，
PD PQ ∴=，
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，
点P 为AB 上的动点，
PC PD CQ ∴+≥，
∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，
点C 为半圆AB 的中点，
90COB ∴∠=，
90BOD COD COB ∠+∠=∠=， 11
903033
BOD COB ∴∠=∠=⨯=，
10AB =，
11
10522
OD AB ∴=
=⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，
155,222
DH OD QH DH ∴=
=∴==， 2
2
2
2
55352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-=
⎪⎝⎭
， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，
553,2OM QH MQ OH ∴==
==
， 515
522
CM OM OC ∴=+=+
=， 2
2
22
15535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， PC PD ∴+的最小值为53．
（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交
OB 于点F ，
PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，
．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，
∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，
45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．
扇形AOB 的半径为20，
20OS ON OP ∴===，
在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202．
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.
8．F
解析：（1）16；（2）不变，证明见解析；（3）2
14322
S x x =-+，当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．
【解析】
【分析】
（1）如图1中，在△AEF中，设AE=x，则EF=8-x，AF=4，∠A=90°，理由勾股定理构建
方程求出x，再根据△AEF∽△DFM，可得
312
4
FDM AE
DF C
∆
==，由此即可解决问题；（2）△FDM的周长与（1）中结论相同．证明方法与（1）类似；
（3）作GK⊥AB于K．连接BF交GE于P．由△AFB≌△KEG，可得FB=GE，由（2）可知：AE=2
1
4
16
x
-，设AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=2
1
4
16
x x
-+，根据
S=8
2
AE DG
+
⨯，构建二次函数即可解决问题；
【详解】
解：（1）在△AEF中，设AE=x，则EF=8-x，AF=4，∠A=90°，
由勾股定理，得：42﹢x2=(8-x)2，
∴x=3，
∴AE=3，EF=5．
∴△AEF的周长为12，
如图，
∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°
又∵∠A=∠D=90，∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴
AE
DF
=
3
4
=
12
FDM
C，
∴△FDM的周长为16；
（2）△FDM的周长不会发生变化；
理由：如下图，
设AF=x ，EF=8-AE ，x 2+AE 2=（8-AE ）2，
∴AE=21416x
-， ∵△AEF ∽△DFM ，
∴8FDM
AE x DF C ∆+=， ∴△FMD 的周长：2(8)(8)161416
FDM x x C x ∆-+==-． （3）如图，作GK ⊥AB 于K ．连接BF 交GE 于P ．
∵B 、F 关于GE 对称，
∴BF ⊥EG ，
∴∠FBE=∠KGE ，
在正方形ABCD 中，GK=BC=AB ，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB ≌△KEG ，
∴FB=GE ，
由（2）可知：AE=21416
x -， ∴AF=EK=x ，AK=AE+EK=AF+AE=21416x x -
+， ∴梯形AEGD 的面积为：
22211184(44)432216162
AE DG x x x x x +⨯=⨯-+-+=-++， ∴221188(432)43222
S x x x x =⨯--++=-+，
当S=26时，有
21432262
x x -+=， 解得：x=2或x=6，
∴当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．
【点睛】
本题考查四边形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数，理由方程解决问题，属于中考压轴题．
9．A
解析：（1）5AD x =，6DF x =+；（2）△ADF 为等腰三角形，x 的取值可以是4817，4831，12
； （3）4或43 【解析】
【分析】
（1）由已知条件可得：CD=4x ，根据勾股定理得：AD=5x ，由AB=6且C 在B 点右侧，可以依次表示BC 、CF 、DF 的长；（2）分两种情况：①当C 在B 点的右侧时，AF=DF ，②当C 在线段AB 上时，又分两种情况：i ）当CF ＜CD 时，如图3，ii ）当CF ＞CD 时，如图4，由AF=DF ，作等腰三角形的高线FN ，由等腰三角形三线合一得：AN=ND=2.5x ，利用同角的三角函数列比例式可求得x 的值；（3）由翻折性质得到DG='GD ，'DGF FGD ∠=∠，从而证出'ADG AGD △≌△，从而推出∠FAC=∠DAG ，即AF 平分∠DAC ，过F 作FN ⊥AD 于N ，分两种情况：当C 在AB 的延长线上时，当C 在AB 边上时，根据35sin CDA ∠＝可列出关于x 的比例式，即可求解.
【详解】 ⑴∵CD＝43
AC ，AC=3x ， ∴CD=4x，
∵CD⊥AM，
∴∠ACD=90°，
由勾股定理得：AD=5x ，
∵AB=6，C 在B 点右侧，
∴BC=AC-AB=3x-6，
∵BC=FC=3x-6，
∴DF=CD -FC=4x-（3x-6）=x+6；
（2）分两种情况：
①当C 在B 点的右侧时，
∴AC ＞AB ，
∴F必在线段CD上，
∵∠ACD=90°，
∴∠AFD是钝角，若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF，过F作FN⊥AD于N，如图，
∴AN=ND=2.5x，
∴
DN DC cos ADC
DF AD ∠==，
即2.54
65
x x
x x +
＝，
解得，
48
17
x=；
②当C在线段AB上时，同理可知若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF， i）当CF＜CD时，过F作FN⊥AD于N，如图，
x的取值可以是48
17
，
48
31
，
1
2
；
∵AB=6，AC=3x，
∴BC=CF=6-3x，
∴DF=4x-（6-3x）=7x-6，
∵
DN DC cos ADC
DF AD ∠==，
∴
2.54 765
x x
x x
-
＝，
解得
48
31
x=；
ii）当CF＞CD时，如图4，
BC=CF=6-3x ，
∴FD=AD=6-3x-4x=6-7x ，
则6-7x=5x ，x=12， 综上所述，x 的取值可以是48
17，4831，1
2；
（3）∵△DFG 沿FG 翻折得到'FDG △
∴DG='GD ，'DGF FGD ∠=∠
又∵AG=AG，
∴'ADG AGD △≌△
∴∠FAC=∠DAG，
即AF 平分∠DAC，
如图， 当C 在AB 的延长线上时，过F 作FN⊥AD 于N ，
FN=FC=3x-6，DF=x+6，
36
3
65x x -+＝，
解得：x=4；
当C 在AB 边上时，如图，
∵FN=FC=6-3x ， DF=7x-6，
∴633765x sin CDA x -∠=
-＝， 解得43
x =； 综上所述，x 的值是4或
43. 【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、同角的三角函数以及动点问题，采用分类讨论的思想，并参考数形结合解决问题．
10．A
解析：（1）图见解析，33cm ；（2）①25cm 42cm AB ≤≤；②26
【解析】
【分析】 （1）连接AO ，直线l 垂直平分PO ．13cm 22OH PO =
=，在Rt △AHO 中即可求解； （2）①分两种情况求解；
②过O 作弦AB 的垂直与圆交于点D ，与弧AB 交于点C ，与AB 交于点E ，过M 作OM 的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO ，得到OO'垂直平分AB ，O'为弧ABM 所在圆的圆心，10cm OO '=，在Rt △ADO 中即可求解；
【详解】
（1）如图，直线l 为所求，连接AO ．
∵点P 与点O 关于直线l 对称，
∴直线l 垂直平分PO ．
∴13cm 22
OH PO ==． 在Rt AHO ∆中，
∵222AH HO AO +=，
∴2233cm 2AH AO HO =
-=． 在O 中，
∵PO AB ⊥，PO 为半径，
∴233cm AB AH ==．。