北师大版七年级数学下册三角形难题全解
考点解析：北师大版七年级数学下册第四章三角形专项攻克试题(含解析)
北师大版七年级数学下册第四章三角形专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（）A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B2、以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A．1cm，1cm，8cm B．3cm，3cm，6cmC．3cm，4cm，5cm D．3cm，2cm，1cm3、如图，若MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定ABM CDN≌的是（）A．AM＝CN B．AM CN∥C．AB＝CD D．∠M＝∠N4、有两根长度分别为7cm，11cm的木棒，下面为第三根的长度，则可围成一个三角形框架的是（）A．3cm B．4cm C．9cm D．19cm5、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD上的点，且AE＝CF，则下列说法正确的是（）A．∠1﹣∠2＝90° B．∠1＝∠2＋45° C．∠1＋∠2＝180°D．∠1＝2∠26、如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得==，那么点A与点B之间的距离不可能是（）PA PB100m,90mA．20m B．120m C．180m D．200m7、如图，点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规作出了∠NCE =∠AOD ，作图痕迹中，弧FG 是( )A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧C ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧D ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧8、如图，图形中的x 的值是（ ）A ．50B ．60C ．70D ．809、将一副三角板按如图所示的方式放置，使两个直角重合，则∠AFD 的度数是（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°10、如图，在ABC ∆中，已知点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且4ABC S ∆=，则∆BEF 的面积是（ ）A．1-B．1 C．5 D．5-第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC中，点D为BC边延长线上一点，若∠ACD＝75°，∠A＝45°，则∠B的度数为__________．2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝10，点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q 两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为______．3、如图，已知AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从点B向点A运动，每分钟走1m，点Q从点B向点D运动，每分钟走2m．若P，Q两点同时出发，运动 _____分钟后，△CAP与△PQB全等．4、如图，已知AB AD =，请添加一个条件，使得ABC ADC ≅△△，则添加的条件可以为___（只填写一个即可）．5、如图，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，直线l 经过点O ，分别过A 、B 两点作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，若AC ＝5，BD ＝3，则CD ＝_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB =DE ，∠B =∠E ，BF =CE ．求证：AC =DF ．2、如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线BG 于点G ，DE ⊥GF ，并交AB 于点E ，连接EG ，EF ．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．3、如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t s，且t≤5（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．4、已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为．5、如图△ABC中，已知∠A＝60°，角平分线BD、CE交于点O．（1）求∠BOC的度数；（2）判断线段BE、CD、BC长度之间有怎样的数量关系，请说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【详解】由题意根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和进行分析解答．【分析】解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC ＝EF ，在△ABC 与△DEF 中，AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ），∴∠ACB ＝∠DFE ，∴2∠DFE ＝180°﹣∠FGC ，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS ；SAS ；ASA ；AAS ；以及HL （直角三角形的判定方法）．2、C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A 、1+1＝2＜8，不能组成三角形，故此选项不合题意；B 、3+3＝6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；C 、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；D 、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，掌握“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．3、A【分析】根据两个三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．【详解】解：A、根据条件AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故A选项符合题意；B、AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；D、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．4、C【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差且小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【详解】解：依题意得：11﹣7＜x＜7+11，即4＜x＜18，9cm适合．故选：C．【点睛】本题考查三角形三边关系，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5、C【分析】由“SAS ”可证△ABE ≌△CBF ，可得∠AEB ＝∠2，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C ＝90°，在△ABE 和△CBF 中，AB BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴∠AEB ＝∠2，∵∠AEB ＋∠1＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．6、D【分析】首先根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出AB 的取值范围，然后再判断各选项是否正确．【详解】解：∵PA ＝100m ，PB ＝90m ，∴根据三角形的三边关系得到：PA PB AB PA PB -<<+，∴10m 190m AB <<，∴点A 与点B 之间的距离不可能是20m ，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边只差小于第三边、两边之和大于第三边是解题的关键．7、D【分析】根据作一个角等于已知角的步骤即可得．【详解】解：作图痕迹中，弧FG 是以点E 为圆心，DM 为半径的弧，故选：D ．【点睛】本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．8、B【分析】根据三角形外角的性质：三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数和进行求解即可．【详解】解：由题意得：()1070x x x ++=+∴1070x x x ++=+，∴60x =，故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解一元一次方程，熟知三角形外角的性质是解题的关键．9、B【分析】根据三角板各角度数和三角形的外角性质可求得∠BFE ，再根据对顶角相等求解即可．【详解】解：由题意，∠ABC =60°，∠E =45°，∵∠ABC =∠E +∠BFE ，∴∠BFE =∠ABC －∠E =60°－45°=15°，∴∠AFD =∠BFE =15°，故选：B ．【点睛】本题考查三角板各角的度数、三角形的外角性质、对顶角相等，熟知三角板各角的度数，掌握三角形的外角性质是解答的关键．10、B【分析】根据三角形面积公式由点D 为BC 的中点得到122ABD ADC ABC S S S ∆∆∆===，同理得到112EBD EDC ABD S S S ∆∆∆===，则2BEC S ∆=，然后再由点F 为EC 的中点得到112BEF BEC S S ∆∆==． 【详解】 解：点D 为BC 的中点，122ABD ADC ABC S S S ∆∆∆∴===， 点E 为AD 的中点，112EBD EDC ABD S S S ∆∆∆∴===， 2EBC EBD EDC S S S ∆∆∆∴=+=，点F 为EC 的中点，112BEF BEC S S ∆∆∴==． 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的中线与面积的关系，解题的关键是掌握是三角形的中线把三角形的面积平均分成两半．二、填空题1、30°【分析】根据三角形的外角的性质，即可求解．【详解】解：∵ACD A B ∠=∠+∠ ，∴B ACD A ∠=∠-∠ ，∵∠ACD ＝75°，∠A ＝45°，∴30B ∠=︒ ．故答案为：30°【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．2、7或3.5【分析】分两种情况：（1）当P在AC上，Q在BC上时；（2）当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时；【详解】解：当P在AC上，Q在BC上时，∵∠ACB=90°，∴∠PCE+∠QCF=90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠PEC=∠CFQ=90°，∴∠EPC+∠PCE=90°，∴∠EPC=∠QCF，∵△PEC与△QFC全等，∴此时是△PCE≌△CQF，∴PC=CQ，∴8-t=10-3t，解得t=1，∴CQ=10-3t=7；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ=PC，由题意得，8-t=3t-10，∴CQ =3t -10=3.5，综上，当△PEC 与△QFC 全等时，满足条件的CQ 的长为7或3.5，故答案为：7或3.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意得出关于t 的方程是解题的关键．3、4【分析】根据题意CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，则90A B ∠=∠=︒，则分CAP PBQ ≌△△或CAP QBP ≌两种情况讨论，根据路程等于速度乘以时间求得,PB BQ 的长，根据全等列出一元一次方程解方程求解即可【详解】 解：CA ⊥AB ，DB ⊥AB∴90A B ∠=∠=︒，点P 从点B 向点A 运动，每分钟走1m ，点Q 从点B 向点D 运动，每分钟走2m ，设运动时间为t ，且AC ＝4m ，∴,12,2PB t PA AB PB t BQ t ==-=-=，当CAP PBQ ≌△△时则PA BQ =，4PB AC ==即122t t -=，4t =解得4t =当CAP QBP ≌时，则PA PB =，4AC QB ==即12t t -=，42t =不符合题意，故舍去综上所述4t=即4分钟后，△CAP与△PQB全等．故答案为：4【点睛】本题考查了三角形全等的性质，根据全等的性质列出方程是解题的关键．4、BAC DAC∠=∠或CB CD=【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【详解】解：由题意AB AD=，=，AC AC∴根据SAS，可以添加BAC DAC∠=∠，使得ABC ADC∆≅∆，根据SSS，可以添加CB CD=，使得ABC ADC∆≅∆．故答案为：BAC DAC=∠=∠或CB CD【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．5、2【分析】首先根据同角的余角相等得到∠A＝∠BOD，然后利用AAS证明△ACO≌△ODB，根据全等三角形对应边相等得出AC＝OD＝5，OC＝BD＝3，根据线段之间的数量关系即可求出CD的长度．【详解】解：∵AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，∴∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∵∠AOB ＝90°，∴∠A ＝90°﹣∠AOC ＝∠BOD ，在△ACO 和△ODB 中，ACO ODB A BOD OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACO ≌△ODB （AAS ），∴AC ＝OD ＝5，OC ＝BD ＝3，∴CD ＝OD ﹣OC ＝5﹣3＝2，故答案为：2．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，解题的关键是根据题意证明△ACO ≌△ODB ．三、解答题1、见解析【分析】先由BF =CE 说明BC= EF ．然后运用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，最后运用全等三角形的性质即可证明．【详解】证明：∵BF= CE ，∴BC= EF ．在△ABC 和△DEF 中，,,,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．∴AC =DF ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC ≌△DEF 是解答本题的关键．2、（1）见解析；（2）BE +CF ＞EF ．见解析【分析】（1）利用平行关系以及BC 的中点，求证△CFD ≌△BGD ，进而证明BG ＝CF ．（2）在△BGE 中，利用三边关系得到BG +BE ＞EG ，利用△CFD ≌△BGD ，将不等式中的BG 、EG 用CF 、EF 替换，即可证明．【详解】（1）证明：∵BG ∥AC ，∴∠C ＝∠GBD ，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝DC ，在△CFD 和△BGD 中C GBD CD BDCDF BDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CFD ≌△BGD ()ASA ，∴BG ＝CF ．（2）解：BE +CF ＞EF ，理由如下：∵△CFD ≌△BGD ，∴CF ＝BG ，在△BGE 中，BG +BE ＞EG ，∵△CFD ≌△BGD ，∴GD ＝DF ，ED ⊥GF ，∴EF ＝EG ，∴BE +CF ＞EF ．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系，通过题目所给条件，正确找到证明三角形全等的条件，进而应用全等三角形性质以及三边关系解题，是解决本题的关键．3、（1）(10﹣2t )；（2）当v =1或v =2.4时，△ABP 和△PCQ 全等．【分析】（1）根据题意求出BP ，然后根据PC =BC -BP 计算即可；（2）分△ABP ≌△QCP 和△ABP ≌△PCQ 两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）∵点P 的速度是2cm /s ，∴t s 后BP =2t cm ，∴PC=BC −BP =(10−2t )cm ，故答案为：(10﹣2t )；（2）由题意得：cm CQ vt ，∠B=∠C =90°，∴只存在△ABP ≌△QCP 和△ABP ≌△PCQ 两种情况，当△ABP≌△PCQ时，∴AB=PC，BP=CQ，∴10−2t=6，2t=vt，解得，t=2，v=2，当△ABP≌△QCP时，∴AB=QC，BP=CP，∴2t=10-2t， vt=6，解得，t=2.5，v=2.4，∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．4、（1）∠A+∠C＝90°；（2）∠C﹣∠A＝90°，见解析；（3）45°【分析】（1）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；（2）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【详解】（1）过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C＝∠CBE，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C+∠CBE＝180°，∴∠CBE＝180°﹣∠C，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A+180°﹣∠C＝90°，∴∠C﹣∠A＝90°；（3）设CH与AB交于点F，如图，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝12∠MAB，∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝12∠BCN，∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF，∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝12∠MAB+90°﹣12∠BCN＝90°﹣12（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，由题作出辅助线是解题的关键．5、（1）120°；（2）BC ＝BE ＋CD ，理由见解析【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可；（2）只要证明∠BOF ＝∠BOE ＝60°，可得∠COD ＝∠COF ＝60°即可证明．【详解】解：（1）在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠OBC ＋∠OCB ＝12（∠ABC ＋∠ACB ）＝12（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC ＝180°﹣60°＝120°．（2）BC ＝BE ＋CD ．理由如下：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠FBO ，在△OBE 和△OBF 中，OB OB OBE OBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OBE ≌△OBF （SAS ），∴∠BOE ＝∠BOF ，∵∠BOC ＝120°，∴∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠COF＝∠COD＝60°，∵OC＝OC，∠OCD＝∠OCF，∴△COD≌△COF（ASA）．∴CF＝CD，∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．。
北师大版 七年级下册数学第四章全等三角形证明题方法全解
北师大版本七下数学第四章全等三角形证明题方法全解全等三角形是七年级数学的重要内容之一，在图形的证明题中有着极其广泛的应用。
然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析，仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。
借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。
现略举几例加以说明。
一. 证线段垂直例1. 已知，如图1，在中，AB＝2BC，求证：图1分析与证明：本题可先作的平分线BD交AC于点D，由，又，得到。
则为等腰三角形。
再取AB中点E，连DE，借助等腰三角形的性质，得到。
再由，，BD＝BD，得到。
由全等三角形的对应角相等，得到，即。
二. 证线段的倍分例2. 已知，如图2，等腰中，，的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E。
求证：BD＝2CE图2分析与证明：要证BD＝2CE，可延长BA、CE交于点F。
由BE平分，，得到为等腰三角形。
根据等腰三角形的性质可得CE＝EF，即。
再由，AB＝AC，，得到，从而由全等三角形的对应边相等立即得到BD ＝CF＝2CE。
三. 证角相等例3. 已知，如图3，在中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：图3分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。
延长AD至G，使DG＝AD，连BG，由DG＝AD，，BD＝CD得到。
由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AC＝BG，。
而AC＝BE，则BE＝BG，所以，而，从而得到。
四. 证角不等例4. 已知：如图4，在中，，AD是BC边的中线。
求证：图4分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。
延长AD至E，使DE＝AD，连BE。
由DE＝CD，，BD＝CD，得到。
由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到BE＝AC，，在中，由，得到，而，所以五. 证线段相等例5. 已知：如图5，在中，D是BC边的中点，交的平分线于E，交AB 于点F，交AC的延长线于点G。
北师大数学七年级下册三角形全章分课时习题及答案
北师大版数学七年级下册三角形全章分课时习题及答案1、认识三角形一、单项选择题1.以下长度的各组线段为边能构成一个三角形的是（）A.9，9，1B.4，5，1C.4，10，6D.2，3，6假如CD均分含30°三角板的∠ACB，则∠1等于（）．°°°°3.以下说法正确的选项是（）A.在一个三角形中起码有一个直角B.三角形的中线是射线C.三角形的高是线段D.一个三角形的三条高的交点必定在三角形的外面4.一个三角形的内角中，起码有（）A.一个钝角B.一个直角C.一个锐角D.两个锐角5.如图，△ABC中BC边上的高为（）A.AEB.BFC.ADD.CF6.知足以下条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A.∠B+∠A=∠CB.∠A：∠B：∠C=2：3：5C.∠A=2∠B=3∠CD.一个外角等于和它相邻的一个内角7.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其极点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（）第1页/共88页A.11平方厘米B.12平方厘米C.13平方厘米D.14平方厘米8.具备以下条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）∠A＋∠B=∠CB.∠A－∠B=∠C C.∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3D. ∠A=∠B=3∠C9.以长为8cm 、6cm 、10cm 、4cm 的四条线段中的三条线段为边，能够画出三角形的个数为（） 个个 个 个10.已知△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，则△ABC 是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不可以确立三角形的形状11.已知三角形的两边长分别为 3cm 和8cm ，则这个三角形的第三边的长可能是( )A.4cmC.6cmD. 13cm12.三角形的以下四种线段中必定能将三角形分红面积相等的两部分的是（ ） A.角均分线 B.中位线 C.高 D.中线二、填空题13.如图，在△ABC 中，∠ACB=58°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC=________．14.画三角形内角的均分线交对边于一点，极点与交点之间的线段叫做三角形的________．2，15.如图，在△ABC 中，已知点D 为BC 上一点，E ，F 分别为AD ，BE 的中点，且S △ABC =8cm则图中暗影部分△CEF的面积是_____cm2．第2页/共88页16 .已知三角形两边长分别是3cm，5cm，设第三边的长为xcm，则x的取值范围是________．17.如图，△ABC的面积为18，BD=2DC，AE=EC，那么暗影部分的面积是_______．18.各边长度都是整数.最大边长为8的三角形共有________个．三、解答题19.如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角均分线，它们订交于点 O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数。
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案解析(北师大版)
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案解析(北师大版) 一、单选题1．如图在△ABC中AD是△ABC的角平分线则（）A．△1=12△BAC B．△1=12△ABC C．△1=△BAC D．△1=△ABC2．两根长度分别为2 10的木棒若想钉一个三角形木架第三根木棒的长度可以是（）A．13B．10C．7D．63．如图给出的三角形有一部分被遮挡则这个三角形可能是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．如图从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子绳子底端恰好在地面P处若旗杆的高度为13.2米则绳子AP的长度不可能是（）A．13米B．13.3米C．14米D．15米5．利用直角三角板作△ABC的高线下列作法正确的是（）A．B．C．D．6．若一个直角三角形其中一个锐角为40° 则该直角三角形的另一个锐角是（）A．60°B．50°C．40°D．30°7．如图AD BE CF是△ABC的三条中线则下列结论正确的是（）A．BC=2AD B．AB=2AF C．AD=CD D．BE=CF8．如图用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限）不计螺丝大小其中相邻两螺丝的距离依次为3 4 5 7 且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．9B．8C．7D．69．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形这两个三角形不可能()A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形10．如图若△ABC的三条内角平分线相交于点I 过I作DE△AI分别交AB AC于点D E 则图中与△ICE一定相等的角（不包括它本身）有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题11．如图AD AE分别是△ABC的角平分线和高∠B=50°∠C=70°则∠BAD=度∠EAD=度.12．已知三角形三边长分别为2 x 13 若x为正整数则这样的三角形有个．13．已知△ABC中△A=12△B=13△C 则△ABC是三角形．14．同一平面内有A B C三点A B两点之间的距离为5cm点C到直线AB 的距离为2cm且△ABC为直角三角形则满足上述条件的点C有个.三、作图题15．用圆规和直尺作图：已知△AOB（如图）求作：△AOB的平分线OC．（要求保留作图痕迹不写作法和证明过程）．四解答题16．如图AD是△BAC的平分线CE是△ADC边AD上的高若△BAC＝80° △ECD＝25° 求△ACB的度数．17．已知a b c是△ABC的三边长若b=2a−1c=a+5且△ABC的周长不超过20cm 求a范围．18．如图在△ABC中AD△BC 垂直为D △1=△B △C=67° 求△BAC的度数19．如图所示图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．20．如图在△ABC中CE BF是两条高若△A＝70° △BCE＝30° 求△EBF与△FBC的度数．21．如图求△A+△B+△C+△D+△E的大小．22．如图1 AB与CD相交于点O 若△D=38° △B=28° △DAB和△BCD的平分线AP和CP 相交于点P 并且与CD AB分别相交于M N．试求：（1）△P 的度数；（2）设△D=α △B=β △DAP= 13 △DAB △DCP= 13 △DCB 其他条件不变 如图2 试问△P 与△D △B 之间存在着怎样的数量关系（用α β表示△P ） 直接写出结论．参考答案1．【答案】A【解析】【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线 ∴△1=12△BAC故答案为：A.【分析】根据角平分线的定义求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：设第三边的长度为x则10−2<x <10+2 即8<x <12 则x =10符合题意 故答案为：B.【分析】设第三边的长度为x 根据三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 列出不等式组 求解可得x 的取值范围 从而一一判断即可得出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：由图形可得：该三角形为锐角三角形.故答案为：B.【分析】观察图形可知：图中的三角形有两个锐角 且第三个角也小于90° 据此可判断出三角形的形状.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵旗杆的高度为AB =13.2米又∵AP ＞AB∴绳子AP 的长度不可能是：13米. 故答案为：A.【分析】直角三角形的性质：斜边大于直角边 据此解答即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：由三角形的高线的定义可知：A 作法不符合题意 不符合题意；B 作法不符合题意 不符合题意；C 作法符合题意 符合题意；D 作法不符合题意 不符合题意； 故答案为：C ．【分析】根据高线的定义逐项判断即可。
北师大版七年级数学下册 三角形全等的五种常见应用
7．【2019·宜昌】如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，AB
＝DB，BE 平分∠ABC，交 AC 边于点 E，连接 DE.
因为 AB∥DC，所以∠BAE＝∠G， 又 BE＝CE，∠AEB＝∠GEC， 所以△AEB≌△GEC(AAS)．所以 AB＝GC. 因为 AE 是∠BAF 的平分线，所以∠BAG＝∠FAG. 因为∠BAG＝∠G，所以∠FAG＝∠G.所以 AF＝GF. 因为 CG＝CF＋GF，所以 AB＝CF＋AF.
2．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上， AE＝BF，AF 和 DE 交于点 G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED 相等的角（∠CDE 除外）；
解：∠DAG、∠AFB 与∠AED 相等．
2．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上， AE＝BF，AF 和 DE 交于点 G.
(2)求∠APN 的度数． 解：由(1)可知△ABM≌△BCN， 所以∠BAM＝∠CBN. 因为∠APN＝∠BAM＋∠ABP， 所以∠APN＝∠CBN＋∠ABP＝∠ABC＝（5－25）×180°＝108°.
(2)选择图中与∠AED 相等的任意一个角（∠CDE 除外）加以 证明． 解：(答案不唯一)选择∠DAG＝∠AED. 证明如下：
因为四边形 ABCD 是正方形， 所以∠DAB＝∠B＝90°，DA＝AB.
DA＝AB， 在△DAE 和△ABF 中，∠DAB＝∠B，
AE＝BF. 所以△DAE≌△ABF(SAS)，所以∠ADE＝∠BAF.
北师大版初北师大版七年级(下)数学第四章三角形教案：全等三角形的判定讲义(含有答案)
三角形全等的断定〔1〕__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、理解全等三角形的断定方法SSS 、SAS 、ASA 、AAS ；2、能运用断定方法断定两个三角形全等；3、经理探究断定方法断定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活.1．SSS____________的两个三角形全等〔简称SSS 〕．这个定理说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有__________的原理．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．如以下图，：△ABC 与△DEF 的三条边对应相等，求证：△ABC ≌△DEF ．证明：在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔SSS 〕．角用直尺和圆规作一个角等于角的示意图如下图，说明'''A O B =AOB ∠∠的根据是_________．4．边角边定理三角形全等断定方法2：______和它们的______分别相等的两个三角形全等．〔简称SAS 〕 符号语言：在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔SAS 〕．图示：5．探究边边角两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形________等．6．ASA_______________分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA ．▲如以下图，∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠1＝∠2．求证：△ABD ≌△ACE ．证明：∵∠1＝∠2〔〕∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD 〔相等的角加同一个角仍相等〕即∠BAD ＝∠CAE在△ABD 和△ACE 中， ∠D=∠E 〔〕AD=AE 〔〕∠BAD ＝∠CAE 〔等量相加〕∴△ABD≌△ACE〔ASA〕．7．AAS______________________分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS．▲如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．求证：△ACD≌△ABE．证明：在△ACD和△ABE中．∠C=∠B〔〕∠A=∠A〔公共角〕DC=EB〔〕∴△ACD≌△ABE〔AAS〕．参考答案：1.三边分别相等稳定性3.全等三角形的对应角相等4.两边夹角5.不一定全6.两角和它们的夹边7.两个角和其中一个角的对边1.先证明对应边相等，再证全等〔利用中点、等量相加等〕【例1】如下图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，BC＝ED，求证：△ABC≌△FED．【解析】∵AD＝FC，∴AD＋DC＝FC＋DC，即AC＝FD．在△ABC和△FED中，∴△ABC≌△FED〔SSS〕．总结：利用“SSS〞证明两个三角形全等，有如下几种常见类型：〔1〕有公共边的两个三角形．〔2〕有公共线段的两个三角形，我们可以用等量相加或相减，推出两边相等．〔3〕含有中点的两个三角形，如图：AB=AC，D是BC的中点，由中点的定义可得：BD=CD．继而可证△ABD≌△ACD．练1.如图，AC=BD，0是AB、CD的中点，求证△AOC≌△BOD．【解析】要证△AOC≌△BOD，只需看这两个三角形的三条边是否分别相等．证明：∵O是是AB、CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD．2.先利用SSS证明三角形全等，继而证明边〔角〕相等，或求边〔角〕【例2】如下图，AB＝DC，AC＝DB，求证：∠1＝∠2．【解析】在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB〔SSS〕.∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.∴∠ABC－∠DBC＝∠DCB－∠ACB.即∠1＝∠2．总结：1.要求证在两个不同三角形内的角相等，往往利用全等三角形的性质.2.当两个角所在的三角形不易证全等时，可以利用等量的和〔差〕相等，将问题转化.3.求证不在同一个三角形内的两边相等，同样可以利用全等三角形的性质.练2.如图是“人〞字形屋梁，AB＝AC．如今要在程度横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直〞的要求吗？为什么？【解析】AD⊥BC符合要求，理由如下：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD〔SSS〕.∴∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．练3.如下图，：A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：AB∥DE.【解析】先根据SSS证明两三角形全等，由三角形全等的性质得出：∠A＝∠D，即可证明AB ∥DE．证明：∵AF＝DC，∴AF－CF＝DC－CF．∴AC＝DF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SSS〕．∴∠A＝∠D．∴AB∥DE．练4.：如下图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.【解析】连接BD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD〔SSS〕．∴∠C＝∠A．练5.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＋∠D＝180°.【解析】证明：连接AC，在△ADC与△CBA中，∴△ADC≌△CBA〔SSS〕，∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°．3．利用SAS直接证明三角形全等【例3】如下图，△ABC，△DEF均为锐角三角形，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：△ABC ≌△DEF．【解析】直接根据SAS可证明△ABC≌△DEF．证明：在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SAS〕．总结：运用“边角边〞断定两个三角形全等时，〔1〕同一三角形的边、角要放在等号的同一边，按照“边角边〞的顺序书写；〔2〕注意条件里的三个元素必须齐全，且对应相等；〔3〕条件里的三个元素必须对应，一个三角形中的元素依次是“边—角—边〞，另一个三角形的元素也必须依次是“边—角—边〞，假如是其他“边—边—角〞或“角—边—边〞，那么两个三角形不一定全等；〔4〕在条件中，相等的角必须是所给两边的夹角，假如把夹角改为其中一条边的对角，那么不一定全等．练6．〔2021秋•天元区期末〕如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，根据〔SAS〕断定△ABC ≌△DEF，还需的条件是〔〕A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以【解析】根据三角形全等的断定中的SAS，即两边夹角．做题时根据条件，结合全等的断定方法逐一验证，要由位置选择方法．解：要使两三角形全等，且SASAB=DE，BC=EF，还差夹角，即∠B=∠E；A、C都不满足要求，D也就不能选取．应选B．练7．如以下图所示，∠1＝∠2，AO＝BO，求证：△AOC≌△BOC．【解析】两个三角形包含一个公共边，结合条件，根据SAS可证明△AOC≌△BOC．证明：在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC〔SAS〕．4．先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等【例4】〔2021春•启东市校级月考〕如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．求证：△ADF≌△CBE．【解析】根据平行线的性质及全等三角形的断定定理“SAS〞证得结论．证明：∵AE=CF，∴AE﹣EF=CF﹣EF，即AF=CE．又∵AD∥BC，∴∠A=∠C．∵在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE〔SAS〕．总结：没有直接给出能证明三角形全等的条件时，〔1〕先根据条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的断定方法，看缺什么条件，再去证什么条件；假如两边，那么要找第三边或夹角；假如一角和该角的一边，那么需要找夹角的另一条边；〔2〕在证明三角形全等时，有些题目的条件含而不露，通常要挖掘出隐含条件，比方公共边、对顶角等，从而为解题所用；〔3〕有些条件需要用到线段与角的和差关系才能得到．练8．〔2021•房山区二模〕如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．【解析】∠1=∠2，∠BAE是公共角，从而可推出∠DAE=∠BAC，AB=AD，AC=AE，从而可以利用SAS来断定△ABC≌△ADE．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE〔SAS〕．练9．〔2021•永春县质检〕：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE．求证：△AEC≌△BDC．【解析】根据∠ACD=∠BCE，可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD．根据边角边公理可得出△AEC≌△BDC．证明：在△AEC和△BDC中，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，在△AEC和△BDC中，∴△AEC≌△BDC〔SAS〕．点评：此题考察了全等三角形的断定SAS．5.先用SAS证明三角形全等，再证对应边、对应角相等【例5】〔1〕〔2021•十堰〕如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．【解析】首先根据条件AB=AC，AD=AE，再加上公共角∠A=∠A可利用“SAS〞定理证明△ABE≌△ACD，进而得到∠B=∠C．证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD〔SAS〕．∴∠B=∠C．〔2〕〔2021春•鼓楼区校级月考〕如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF．求证：BF=DE．【解析】先由平行线的性质得出内错角相等，再证出AF=CE，根据SAS证明△ABF≌△CDE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE〔SAS〕，∴BF=DE．总结：综合利用三角形全等的断定与性质解题步骤如下：〔1〕由问题中的条件，根据三角形全等的断定方法证明两个三角形全等；〔2〕由三角形全等的性质证得对应角相等、对应边相等．练10．〔2021秋•涞水县期末〕如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，那么∠D的度数为〔〕A．50° B.30°C．80°D．100°【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB，那么∠D=∠B=30°．解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB〔SAS〕，∴∠D=∠B=30°．应选B．练11．〔2021春•锦州校级期中〕如图，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，假设∠_____=∠______，那么△ABC≌△DEF，所以BC=_____，因此BE=________．【解析】根据三角形全等的断定方法SAS，假设∠A=∠D时，两个三角形全等，得出对应边相等，得出结果．解：假设∠A=∠D时，△ABC≌△DEF；∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SAS〕，∴BC=EF，∴BE=CF；故答案为：∠A=∠D，EF，CF．6．先用ASA证全等，再证边角相等【例6】如下图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BO＝DO．【解析】先用“ASA 〞证明△ABC ≌△ADC ，得出AB=AD ，再用“SAS 〞证明△ABO ≌△ADO ，可得出结论．证明：在△ABC 和△ADC 中，∴△ABC ≌△ADC 〔ASA 〕.∴AB ＝AD.在△ABO 与△ADO 中，△ACO ≌△ADO 〔SAS 〕.∴BO ＝DO ．总结：全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．练12.如下图，在△ABC 中，点O 为AB 的中点，AD ∥BC ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点D ，E ，求证：OD ＝OE.【解析】∵点O 为AB 的中点，∴AO ＝BO ．∵AD ∥BC ，∴∠ADO ＝∠BEO ，∠DAO ＝∠EBO.在△AOD 与△BOE 中，∴△AOD ≌△BOE 〔AAS 〕.∴OD ＝OE ．7．先用AAS 证全等，再证边角相等【例7】如下图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD ．D C BA O12 3 4【解析】先利用AAS 证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质得出AC ＝AD ．证明：在△ACB 与△ADB 中，∴△ACB ≌△ADB 〔AAS 〕.∴AC ＝AD ．总结：1. 由“ASA 〞与“AAS 〞可知，两个三角形假如有两个角及任意一边对应相等，那么这两个三角形相等．2. 注意不用混淆“ASA 〞和“AAS 〞，“ASA 〞是两角及夹边对应相等，“AAS 〞是两角及一对边对应相等.练13.如下图，C ，F 在BE 上，∠A ＝∠D ，AC ∥DF ，BF ＝EC ．求证：AB ＝DE ．【解析】先利用平行证明角相等，再用等量相减的思想证明BC ＝EF ，应用AAS 可得△ABC ≌△DEF ，进而得出结论．证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACE ＝∠DFB.又∵∠ACE ＋∠ACB ＝180°，∠DFB ＋∠DFE ＝180°，∴∠ACB ＝∠DFE.又BF ＝EC ，∴BF －CF ＝EC －CF ，即BC ＝EF.在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔AAS 〕.∴AB ＝DE ．8．灵敏选用证明方法证〔判断〕全等AB C FED【例8】如下图，∠B＝∠DEF，BC＝EF，要证△ABC≌△DEF，假设要以“ASA〞为根据，还缺条件_________；以“SAS〞为根据，还缺条件_________；以“AAS〞为根据，还缺条件_________.【解析】一组角和一组边相等,要根据“ASA〞证全等就要求夹边的另一组角相等，故填∠ACB=∠DFE；要根据“SAS〞证全等就要求夹角的另一组边相等，故填AB=DE；要根据“AAS〞证全等就要求另一组角相等，故填∠A=∠D.答案：∠ACB＝∠DFE；AB＝DE；∠A＝∠D．总结：1.到目前为止，我们学习了4种证明三角形全等的方法，分别是“边边边〞“边角边〞“角边角〞“角角边〞.注意：三角形全等的断定方法中不存在“角边边〞“角角角〞．2.“边边边〞“角边角〞“角角边〞“边角边〞这四种判断方法中，都要求有一组边对应相等．3.在寻求全等条件时，要注意结合图形挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线.4.以及平行线中包含的角的关系，垂直中包含的角的关系，以便顺利求解．练14.如下图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充以下一个条件后，仍无法断定△ABE≌△ACD的是〔〕.＝AE B.∠AEB＝∠ADC＝＝AC【解析】选择A中的AD=AE，加上条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；选项B中给出∠AEB＝∠ADC，加上条件，可得三对角相等，但三对角相等的三角形不一定全等；选项C中的BE＝CD，加上条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；选项D中的AB＝AC，加上条件，可根据ASA证明△ABE≌△ACD；应选：B．练15.如下图，BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，垂足分别为点F ，E ，BF ＝DE ，∠B ＝∠D ，求证：AE ＝CF.【解析】∵BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°.在△BFA 与△DEC 中，∴△BFA ≌△DEC 〔ASA 〕.∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF.∴AE ＝CF.练16．如图，将△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，再过点O 任意画一条与AC ，BD 都相交的直线MN ，交点分别为M 和N ．试问：线段OM ＝ON 成立吗？假设成立，请进展证明；假设不成立，请说明理由．【解析】OM ＝ON 成立．理由是：∵△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，∴△BOD ≌△AOC ．∴∠A ＝∠B ，AO ＝BO ．又∵∠AOM ＝∠BON ，∴△AOM ≌△BON (ASA)．∴OM ＝ON ．练17．如下图，直角三角形ABC 的直角顶点C 置于直线l 上，AC ＝BC ，现过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D ，E.DC E FA B BA C DE【解析】〔1〕△ACD ≌△CBE ，证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°.又∵AD ⊥l ，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°.∴∠BCE ＝∠CAD.∵BE ⊥l ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°.在△ACD 与△CBE 中，∠CAD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠CEB ，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE 〔AAS 〕.〔2〕由〔1〕可知△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴AD ＝CE ＝CD ＋DE ＝BE ＋DE ＝3＋5＝8.1．如下图，AB ∥CD ，OB ＝OD ，那么由“ASA 〞可以直接断定△______≌△___________.2．如下图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD ，CE 交于点H ，EH ＝EB ＝3，AE ＝4，那么CH 的长是___________．3．如下图，点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ∥DE ，∠ACB ＝∠F ．求证：△ABC ≌△DEF ．AC D F EB l4．如下图，∠B ＝∠E ，∠BAD ＝∠EAC ，AC ＝AD ，求证：AB ＝AE.5.〔2021•厦门校级一模〕如图，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上，AB=CD ，EC=DF ，EC ∥DF ．求证：△ACE ≌BDF ．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1.：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC 。
（完整版）新北师大版七年级数学下册三角形知识点精讲
（完整版）新北师⼤版七年级数学下册三⾓形知识点精讲北师⼤版七年级下第五章三⾓形⼀、三⾓形三边关系和⾓关系1、三⾓形任意两边之和⼤于第三边。
结合右边图形⽤数学符号表⽰：a+b ＞c2、三⾓形任意两边之差⼩于第三边。
结合右边图形⽤数学符号表⽰：a-b ＜c 3、三⾓形三个内⾓和等于180°结合右边图形⽤数学符号表⽰：∠A+∠B+∠C=180°4、三⾓形按⾓分为三类：（1）锐⾓三⾓形（2）直⾓三⾓形（3）钝⾓三⾓形5、直⾓三⾓形的两个锐⾓互余。
6、巩固练习： 1）、下列每组数分别是三根⼩⽊棒的长度，⽤它们能摆成三⾓形吗？为什么？（单位：cm ）（1） 1， 3，3 （2） 3， 4， 7 （3） 5， 9， 13 （4） 11，12，22 （5） 14，15，30 2）、已知⼀个三⾓形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是。
若X是奇数，则X 的值是。
这样的三⾓形有个；若X 是偶数，则X 的值是，这样的三⾓形⼜有个。
3）、判断：（1）⼀个三⾓形的三个内⾓可以都⼩于60°；（）（2）⼀个三⾓形最多只能有⼀个内⾓是钝⾓或直⾓；（） 4）、在△ABC 中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度；（2）∠B=100°，∠A=∠C ，则∠C= 度；（3）2∠A=∠B+∠C ，则∠A= 度。
5）、如下图，在 Rt △CDE,∠C 和∠E 的关系是，其中∠C=55°，则∠E= 度。
6）、如上图，在Rt △ABC 中，∠A=2∠B ，则∠A= 度，∠B= 度。
⼆、三⾓形的⾓平分线、中线和⾼1、三⾓形的⾓平分线：三⾓形⼀个⾓的⾓平分线和这个⾓的对边相交，这个⾓的顶点和对边交点之间的线段叫做三⾓形中这个⾓的⾓平分线。
简称三⾓形的⾓平分线。
如图：∵AD 是三⾓形ABC 的⾓平分线。
∴∠BAD ＝∠CAD ＝21∠BAC 或∠BAC ＝ 2∠BAD ＝ 2∠CAD2、三⾓形的中线：线连结三⾓形⼀个顶点和它对边中点的线段，叫做三⾓形这个边上的中线。
(完整word版)北师大版七年级数学下册三角形难题全解
来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：三角形如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）考点：四边形如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF 的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质（1）根据旋转的概念得出；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．（2）BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；∴BE⊥DF．来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在△a bc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.1.求的度数；2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，∴∠BFD=∠ABC=30°；2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）∵EH⊥BE，∴∠HEB=90°，∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是_________°．解析：由题意可知折叠前，由BC//AD得：∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，∠GEF=∠DEF=25°所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°则由：∠DGF+∠GFC=180°所以：∠GFC=180°－50°＝130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．解法1：【解析】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG解法2：解：作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，∴EA=EH，∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，∴∠B=∠DAC，∵∠AEC=∠B+∠ECB，∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，∴AE=AF，∴EG=AF，∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，∵在△AFG和△EHB中，∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH，∴△AFG≌△EHB（AAS）∴AG=EB，即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．解：作CF⊥AB于F，交AD于G ，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，∵CE⊥AD，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，∴∠1=∠2，在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE，∴△AGC≌△CEB（ASA），∴CG=BE，∵AD为腰CB上的中线，∴CD=BD，在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD，∴△CGD≌△BED（SAS），∴∠CDA=∠EDB．4、如图，已知AD和BC相交于点O ，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
北师大版七年级下册第三章三角形讲义
三角形 1．认识三角形1、它的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个内角分别是 。
2、分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边之和以及任意两边之差。
你发现了什么？结论：三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边例：有两根长度分别为5cm 和8cm 的木棒，用长度为2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm 的木棒呢？长度为7cm 的木棒呢？ 二、稳固练习：1、以下每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？〔单位：cm 〕 〔1〕 1， 3， 3 〔2〕 3， 4， 7 〔3〕 5， 9， 13 〔4〕 11， 12， 22 〔5〕 14， 15， 302、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 。
假设X 是奇数，则X 的值是 。
这样的三角形有 个；假设X 是偶数，则X 的值是 ， 这样的三角形又有 个3、一个等腰三角形的一边是2cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 cm夯实基础1、填空：〔1〕当0°＜α＜90°时，α是 角； 〔2〕当α＝ °时，α是直角；〔3〕当90°＜α＜180°时，α是 角； 〔4〕当α＝ °时，α是平角。
2、如右图，∵AB ∥CE ，〔已知〕 ∴∠A ＝ ，〔 〕∴∠B ＝ ，〔 〕 〔第2题〕 二、探索练习：根据知道三角形的三个内角和等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结论呢？〔提出问题，激发学生的兴趣〕结论：三角形三个内角和等于180°〔几何表示〕 练习1： 1、判断：〔1〕一个三角形的三个内角可以都小于60°； 〔 〕 〔2〕一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； 〔 〕 2、在△ABC 中，A BC a bcABCDE123〔1〕∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度； 〔2〕∠B=100°，∠A=∠C ，则∠C= 度； 〔3〕2∠A=∠B+∠C ，则∠A= 度。
北师大版七年级数学用尺规作三角形及三角形全等应用(基础)知识讲解(含答案)
用尺规作三角形及三角形全等应用（基础）责编:杜少波【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.要点二、三角形全等的实际应用在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.【典型例题】类型一、基本作图1、作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【思路点拨】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段．【答案与解析】解：已知：线段a、b，求作：线段AC，使线段AC=2a﹣b．【总结升华】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去．举一反三：【变式】（2015•魏县二模）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【答案】D．类型二、作三角形2、已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解．【解析】解：已知：∠α，线段a，b，求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b，如图所示，△ABC即为所求作的三角形．【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【答案】解：已知：∠α，线段b；求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b．结论：如图，△ABC为所求．类型三、三角形全等的实际应用3、如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．【思路点拨】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出CF=BE，即测量BE之间的距离相当于测量CF之间的距离．【答案与解析】解：能．证明：连接EF∵AB∥CD，（已知）∴∠B=∠C（两线平行内错角相等）．∵M是BC中点∴BM=CM，在△BEM和△CFM中，∴△BEM≌△CFM（SAS）．∴CF=BE（对应边相等）．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用；关键是要把题目的问题转化为证明对应边相等．举一反三【变式】要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【答案】B.4、（2016春•芦溪县期末）为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？【思路点拨】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（ASA），进而得出AB的长．【答案与解析】解：∵∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=52°，在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=33，PB=8，∴AB=33﹣8=25（m），答：楼高AB是25米．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．举一反三【变式】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A.第4块B. 第3块C.第2块D.第1块【答案】C.。
北师大版七年级数学下册 第四章 证明(构造)全等三角形常用方法与技巧(含答案)
第四章证明（构造）全等三角形常用方法与技巧一、截长补短法1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？解：成立．理由如下：如图，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF.在正方形ABCD中，BC＝DC，∠B＝∠CDA＝90°，所以∠CDF＝∠B＝90°.又因为BE＝DF，所以△CBE≌△CDF(SAS)．所以CE＝CF，∠BCE＝∠DCF.所以∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD.所以∠ECF＝∠BCD＝90°.因为∠GCE＝45°，所以∠GCF＝∠GCE＝45°.又因为CE＝CF，GC＝GC，所以△ECG≌△FCG(SAS)．所以GE＝GF.所以GE＝DF＋GD＝BE＋GD.2．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BE ，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C.解：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.因为∠ACB ＝90°，所以∠2＋∠ACF ＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.在△ABD 和△F BD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°，所以△ABD ≌△FBD (ASA)．所以∠2＝∠DFB .又因为∠DFB ＝180°－∠AFC ，∠1＋∠C ＝180°－∠AFC ，所以∠DFB ＝∠1＋∠C .所以∠2＝∠1＋∠C .3．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠ABC ＝45°，点D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于点E ，其延长线交AB 于点F ，连接DF.试说明：∠ADC ＝∠BDF.解：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.因为∠ACB ＝90°，所以∠2＋∠ACF ＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.所以∠1＝∠2.在△ACD 和△CBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBG ＝90°，所以△ACD ≌△CBG (ASA)．所以∠ADC ＝∠G ，CD ＝BG .因为点D 为BC 的中点，所以CD ＝BD .所以BD ＝BG .所以∠GBF ＝∠DBG －∠DBF ＝90°－45°＝45°.所以∠DBF ＝∠GBF .在△BDF 和△BGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝BG ，∠DBF ＝∠GBF ，BF ＝BF ，所以△BDF ≌△BGF (SAS)．所以∠BDF ＝∠G .所以∠ADC ＝∠BDF .四、旋转法4. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE ＋DF ＝EF ，求∠EAF 的度数．解：如图，延长CB 到点H ，使得BH ＝DF ，连接AH.所以∠D ＝∠ABH ＝90°.在△ABH 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABH ＝∠D ＝90°，BH ＝DF ，所以△ABH ≌△ADF (SAS)．所以AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF .所以∠BAH ＋∠BAF ＝∠DAF ＋∠BAF .所以∠HAF ＝∠BAD ＝90°.因为BE ＋DF ＝EF ，所以BE ＋BH ＝EF ，即EH ＝EF .在△AEH 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝AF ，AE ＝AE ，EH ＝EF ，所以△AEH ≌△AEF (SSS)．所以∠EAH ＝∠EAF .所以∠EAF＝12∠HAF ＝45°.五、倍长中线法5. 如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点．若AB ＝5，AC ＝3，求AD 长度的取值范围．解：如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE.因为D 为BC 的中点，所以CD ＝BD.又因为AD ＝ED ，∠ADC ＝∠EDB ，所以△ADC ≌△EDB(SAS)．所以AC ＝EB.因为AB －EB<AE<AB ＋EB ，又因为AB ＝5，AC ＝3，所以2<2AD<8. 所以1<AD<4.综合练习1．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE ＝EC ，DE ＝EF ，则下列结论中：①∠ADE ＝∠EFC ；②∠ADE ＋∠ECF ＋∠FEC ＝180°；③∠B ＋∠BCF ＝180°；④S △ABC ＝S 四边形DBCF ，正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且DE ∥BC ，△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处．若∠B＝50°，则∠BDF ＝________．3．如图，已知边长为1的正方形ABCD ，AC ，BD 交于点O ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，则阴影部分的面积是________．4．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线、高线，且∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠EAD ＝________．5．如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝1(AB ＋AD )，若∠D ＝115°，则∠B ＝________．6．如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的直线l绕点A旋转，BD⊥l于D，CE⊥l于E.(1)试说明：DE＝BD＋CE.(2)当直线l绕点A旋转到如图②所示的位置时，(1)中结论是否成立？若成立，请说明；若不成立，请探究DE，BD，CE又有怎样的数量关系，并写出探究过程．7．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.(1)如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是________________．参考答案1.A2．80° 3．144．10° 点拨：由AD 平分∠BAC ，可得∠DAC ＝12∠BAC ＝12×(180°－50°－70°)＝30°.由AE ⊥BC ，可得∠EAC ＝90°－∠C ＝20°，所以∠EAD ＝30°－20°＝10°.5．65° 点拨：过C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于F .因为AC 平分∠BAD ，所以∠CAF ＝∠CAE .因为CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，所以∠AFC ＝∠AEC ＝90°.在△CAF 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAF ＝∠CAE ，∠AFC ＝∠AEC ，AC ＝AC ，所以△CAF ≌△CAE (AAS )．所以FC ＝EC ，AF ＝AE .因为AE ＝12(AB ＋AD )， 所以AF ＝12(AE ＋EB ＋AD )， 即AF ＝BE ＋AD .所以DF ＝BE .在△FDC 和△EBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CE ，∠CFD ＝∠CEB ，DF ＝BE ，所以△FDC ≌△EBC (SAS )．所以∠FDC ＝∠EBC .又因为∠ADC ＝115°，所以∠FDC ＝180°－115°＝65°.所以∠B ＝65°.6．解：(1)因为BD ⊥l ，CE ⊥l ，所以∠ADB ＝∠AEC ＝90°.又因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠CAE＝90°.所以∠DBA＝∠CAE.因为AB＝AC，∠ADB＝∠CEA＝90°，所以△ABD≌△CAE(AAS)．所以AD＝CE，BD＝AE.则AD＋AE＝BD＋CE，即DE＝BD＋CE.(2)(1)中结论不成立．DE＝BD－CE.同(1)说明△ABD≌△CAE，所以BD＝AE，AD＝CE.又因为AE－AD＝DE，所以DE＝BD－CE.7．解：(1)α＋β＝180°理由：因为∠DAE＝∠BAC，所以∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠ABC＝∠ACE.在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACE，所以∠BAC＋∠ACB＋∠ACE＝180°.因为∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＝β，所以α＋β＝180°.(2)α＝β理由：因为∠DAE＝∠BAC，所以∠BAD＝∠CAE.又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠ABC＝∠ACE.因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，所以α＝β.(3)α＝β.画图略．。
第四章第03讲 探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第03讲探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.知识点01全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS ﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS ﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA ﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.特别说明：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .（4）判定定理4：AAS ﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS ”）特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点02全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．知识点03全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．题型01三角形的稳定性及应用【例题】（2024上·广西南宁·八年级统考期末）如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（）A．三角形的稳定性B．四边形的不稳定性C．三角形两边之和大于第三边D．三角形内角和等于180【变式训练】1．（2023上·河北沧州·八年级统考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．2．（2024上·福建厦门·八年级统考期末）周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（）A ．两点之间，线段最短C ．三角形具有稳定性3．（2024上·湖北省直辖县级单位角形，这样做的数学依据是题型02用SSS 证明两三角形全等【例题】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点B EC F ，，，在一条直线上，AB DF AC DE BE CF ===，，，求证：ABC DFC △≌△．【变式训练】1．（2023·云南·统考中考真题）如图，C 是BD 的中点，,AB ED AC EC ==．求证：ABC EDC △≌△．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知90E F ∠=∠=︒，点B C ，分别在AE AF ，上，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)求证：DE DF =．题型03用ASA 证明两三角形全等【例题】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，BC EF ∥，点C ，点F 在AD 上，AF DC =，A D ∠=∠．求证：ABC DEF ≌△△．【变式训练】1．（2023·校联考一模）如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD BE =，A EDF ∠=∠，.E ABC ∠=∠求证：AC DF =．2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在ABC 和ECD 中，90ABC EDC ∠=∠=︒，点B 为CE 中点，BC CD =．(1)求证：ABC ECD ≌△△．(2)若2CD =，求AC 的长．题型04用AAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E 在ABC 边AC 上，AE BC =，BC AD ∥，CED BAD ∠=∠．求证：ABC DEA△△≌【变式训练】1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，AB BD =，DE AB ∥，C E ∠=∠．(1)求证：ABC BDE ≅ ．(2)当80A ∠=︒，120ABE ∠=︒时，求EDB ∠的度数．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点C 是线段AB 上一点，DCE A B ∠∠∠==，CD CE =．(1)求证：ACD BEC △≌△；(2)求证：AB AD BE =+．题型05用SAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，已知OA OC =，OB OD =，AOB COD ∠=∠．求证：AOB COD ≌△△．【变式训练】1．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB BE ⊥，垂足为B ，DE BE ⊥，垂足为E ，且AB DE =，BF CE =．求证：ABC DEF ≌△△．2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AC DF ∥，AC DF =，BE CF =．求证：ABC DEF ≌△△．题型06添加条件使两三角形全等【例题】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【变式训练】1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点,,,B F C E 在一条直线上，已知,==BF CE AC DF ，请你添加一个适当的条件_________使得ABC DEF ≌△△．（要求不添加任何线段）2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AC DF ∥，BE CF =，只需添加一个条件即可证明ABC DEF ≌△△，这个条件可以是________（写出一个即可）．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知90A D ∠=∠=︒，要使用“HL ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________；要使用“AAS ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________________．一、单选题1．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）巴东长江大桥全长2.1公里，位于长江水道之上，是连接巴东县南北两岸的重要通道．如图，这是大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是（）A ．三角形的内角和为180︒B ．三角形的稳定性C ．两点之间线段最短D ．垂线段最短2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA3．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）在下列条件中，不能作为判断ABC DEF ≌△△的条件是（）A ．,,AB DE BC EF C F==∠=∠B ．,,AB DE AC DF A D ==∠=∠C ．,,AB DE AC DF BC EF ===D ．,,A D B E AC DF∠=∠∠=∠=4．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）如图，ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，CD AD ⊥于点D ，BE AD⊥于点E ，若74CD BE ==，，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．75．（2024上·海南儋州·八年级统考期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙24cm AD =，12cm CE =．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B 在DE 上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE 为（）A ．48cmB ．42cmC ．38cmD ．36cm二、填空题8．（2024上·山东滨州·八年级统考期末）BB '可以绕着O 点转动，就做成了一个测量工具，那么判定OAB 和OA B ''△全等的依据为9．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度，如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点别与河岸垂直且A 、C 、E三、解答题11．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，点E 、F 分别在直线AB 的两侧，AE BF =，CE DF =，AD BC =．(1)求证：ACE BDF V V ≌．(2)若55CDF ∠=︒，求ACE ∠的度数．12．（2023上·四川巴中·八年级统考期末）如图，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，BE CD =，BD 与CE 交于点O ．(1)求证：COD BOE ≌△△；(2)若2CD =，5AE =，求AC 的长．13．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在ABC 中，E 是AB 上一点，AC 与DE 相交于点F ，F 是AC 的中点，AB ∥CD ．(1)求证：AEF CDF △≌△；(2)若107AB CD ==，，求BE 的长．14．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，12∠=∠，DB DC =，DBC DCB ∠=∠．(1)求证：ABD EDC △≌△；(2)若135A ∠=︒，30BDC ∠=︒，求BCE ∠的度数．15．（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）如图，,,A D B E AF CD ∠∠∠∠===．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若20A ∠=︒，75E ∠=︒，求BCF ∠的度数．16．（2023上·甘肃武威·八年级校考期中）如图，在ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB DB =，BE 平分ABC ∠，交AC 边于点E ，连接DE ．(1)求证：ABE DBE △≌△；(2)若100A ∠=︒，50C ∠=︒，求DEC ∠的度数．17．（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B F C E 、、、在直线l 上（点F 、C 之间的距离为池塘的长度），点A 、D 在直线l 的异侧，且AB DE ∥，A D ∠=∠，测得AB DE =．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若120m BE =，38m BF =，求池塘FC 的长度．18．（2023上·广西来宾·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)求证：CB CD =；(2)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(3)猜想DAB ∠，ECF ∠，DFC ∠三者之间的数量关系，并证明你的猜想．。
北师大版初北师大版七年级(下)数学第四章三角形教案：全等三角形的判定讲义(含答案)
三角形全等的判定1、掌握直角三角形全等的判定方法：“斜边、直角边”；2、判断能证明三角形全等的条件；3、判断三角形全等能推出的结论；4、探索全等三角形判定的综合问题．1．斜边、直角边定理（HL ）文字描述：_______和一条______分别相等的两个直角三角形全等． 符号语言：在Rt △ABC 与Rt △DEF 中， ∠ABC=∠DEF=90°，AB DE BC EFAC DF==⎧⎨=⎩或 ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）． 图示：2．探究三角形全等的思路 （1）已知两边→⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角找直角找另一边（2）已知一边一角→→⎧⎪→⎧⎪⎨⎪→→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩一边为角的对边找另一角找夹角的另一边一边为角的一边找夹角的另一角找边的对角（3）已知两角→⎧⎨→⎩找夹边找其中一边的对边3.什么是开放题所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性.由于这类题综合性强、解题方法灵活多变，结果往往具有开放性，因而需观察、实验、猜测、分析和推理，同时运用树形结合、分类讨论等数学思想. 4. 开放题问题类型及解题策略 （1）条件开放与探索型问题.从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析.（2）结论开放与探索型问题.从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论.（3）条件、结论开放与探索型问题.此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性. 参考答案：1、斜边 直角边 2、(1)SAS HL SSS (2)AAS SAS ASA AAS (3)ASA AAS1．利用HL 证全等【例1】如图，已知∠A=∠D=90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB=CD ，BE=CF ．求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE ．【解析】由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．证明：∵BE=CF ，∴BE+EF=CF+EF ，即BF=CE. ∵∠A=∠D=90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形， 在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，BF CE AB CD ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）．点评：此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF 通过等量代换得到BF=CE ． 总结：1．判定直角三角形全等共有五种方法：“SSS ”“ASA ”“AAS ”和“HL ”；一般先考虑利用“HL ”定理，再考虑利用一般三角形全等的判定方法；2．“HL ”定理是直角三角形所特有的判定方法，对于一般的三角形不成立；3．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已有“两个直角相等”的条件，只需再找两个条件，但所找条件中必须有一组边对应相等．练1．如图，要用“HL”判定Rt △ABC 和Rt △A′B′C′全等的条件是（ ）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B ．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D ．∠B=∠B′，BC=B′C′ 【解析】根据直角三角形全等的判定方法（HL ）即可直接得出答案．∵在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC 一定等于B′C′， Rt △ABC 和Rt △A′B′C′一定全等， 故选C ．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题． 练2．如图，已知AB ⊥CD ，垂足为B ，BC=BE ，若直接应用“HL”判定△ABC ≌△DBE ，则需要添加的一个条件是_______________．【解析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．AC=DE ，理由是：∵AB ⊥DC ， ∴∠ABC=∠DBE=90°， 在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，AC DEBE BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DBE （HL ）． 故答案为：AC=DE ．点评：本题考查了全等三角形的判定定理，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ． 2．利用HL 证全等，再证边角相等【例2】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ．求证：CB=CD ．【解析】根据已知条件，利用“HL ”判定Rt △ABC ≌Rt △ADC ，根据全等三角形的对应边相等即可得到CB=CD ．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B=∠D=90°．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，AB ADAC AC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ． ∴CB=CD ．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法“HL ”的理解及运用，常用的判定方法有“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”．总结：证明角或线段相等可以从证明角或线段所在的三角形全等入手. 在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等关系． 练3．如图，MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ，点A 、D 、B 、C 分别在直线MN 与PQ 上，点E 在AB 上，AD+BC=7，AD=EB ，DE=EC ，则AB=_____________．【解析】可判定△ADE ≌△BCE ，从而得出AE=BC ，则AB=AD+BC ．∵MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ， ∴AB ⊥MN ，∴∠DAE=∠EBC=90°， 在Rt △ADE 和Rt △BCE 中，DE ECAD BE=⎧⎨=⎩， ∴△ADE ≌△BEC （HL ）， ∴AE=BC ， ∵AD+BC=7，∴AB=AE+BE=AD+BC=7． 故答案为7．点评：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单． 练4．已知如图，∠A=90°，∠D=90°，且AE=DE ，求证：∠ACB=∠DBC ．【解析】由图片和已知，可得△ABE ≌△DCE ，则BE=CE ，然后再证明Rt △ABE ≌Rt △DCE ，即可得证．证明：∵∠A=∠D=90°，AE=DE （已知），∠AEB=∠DEC （对顶角相等）， ∴△ABE ≌△DCE （ASA ）， ∴AB=DC ，在Rt △ABE 和Rt △DCE 中，AB DCBC CB=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △DCE ， ∴∠ACB=∠DBC ．点评：本题主要考查全等三角形全等的判定，注意需证明两次全等． 3．利用HL 解决实际问题【例3】如图，A 、B 、C 、D 是四个村庄，B 、D 、C 三村在一条东西走向公路的沿线上，且D 村到B 村、C 村的距离相等；村庄A 与C ，A 与D 间也有公路相连，且公路 AD 是南北走向；只有村庄A 、B 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC=3千米，AE=1.2千米，BF=0.7千米．试求建造的斜拉桥至少有多少千米.【解析】根据BD=CD ，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD ，得出Rt △ADB ≌Rt △ADC ，进而得出AB=AC=3，即可得出斜拉桥长度．由题意，知BD=CD ，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD ， 则Rt △ADB ≌Rt △ADC （SAS ）， 所以AB=AC=3千米，故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（千米）．点评：此题主要考查了直角三角形全等的判定以及性质，根据已知得出Rt △ADB ≌Rt △ADC 是解决问题的关键．总结：对于实际问题，要善于转化为数学问题，充分运用题目条件、图形条件，寻找三角形全等的条件，从而证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求对应边长或对应角的大小．练5．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD 与CD 的距离间的关系是（ ）A ．BD ＞CDB ．BD ＜CDC ．BD=CD D ．不能确定【解析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB=AC ，又AD=AD ，AD ⊥BC ，所以Rt △ABD ≌Rt △ACD ，所以BD=CD ．∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°， 由AB=AC ，AD=AD ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）， ∴BD=CD ． 故选C ．点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明Rt △ABD ≌Rt △ACD ． 4．全等三角形——补充条件型问题【例1】如图，点C ，F 在线段BE 上，BF=EC ，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【解析】由已知先推出BC=EF ，添加条件AC=DF ，根据“SAS”可推出两三角形全等．解：AC=DF ． 证明：∵BF=EC ，∴BF ﹣CF=EC ﹣CF ， 即BC=EF.在△ABC 和△DEF 中12AC DFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．总结：因为全等三角形的判定定理有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，所以此类问题答案是不唯一的. 对于条件添加型的题目，要根据已知条件并结合图形及判定方法来添加一个条件．练6．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD【解析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）；故选：B．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件，使△ADB≌△CEB．【解析】要使△ADB≌△CEB，已知∠B为公共角，∠BEC=∠BDA，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB．解：AB=BC，AD⊥BC，CE⊥AB，B=∠B∴△ADB≌△CEB（AAS）．答案：AB=BC．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．点评：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加条件时，要首选明显的、简单的，由易到难．5．全等三角形——结论探索型问题【例5】如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．【解析】（1）根据题目所给条件可分析出△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ；（2）根据AB ∥CD 可得∠1=∠2，根据AF=CE 可得AE=FC ，然后再证明△ABE ≌△CDF即可．解：（1）△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ； （2）∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2， ∵AF=CE ， ∴AF+EF=CE+EF ， 即AE=FC.在△ABE 和△CDF 中，12AEB CDF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．总结：判定两个三角形全等的一般方法有：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”．注意：“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练8．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=AC ，AE=AF ，则图中全等三角形的对数有（ ）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要从已知条件开始，结合判定方法对选项逐一验证．解：∵△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=AC ，∴BD=CD ， ∴△ABD ≌△ACD ， ∴∠BAD=∠CAD ， 又AE=AF ，AO=AO ，∴△AOE ≌△AOF ， EO=FO ，进一步证明可得△BOD ≌△COD ，△BOE ≌△COF ，△AOB ≌△AOC ，△ABF ≌△ACE ，△BCE ≌△CBF ，共7对．故选：C ．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理． 6．全等三角形——条件和结论全开放型问题【例6】有下列四个判断：①AD=BF ；②AE=BC ；③∠EFA=∠CDB ；④AE ∥BC ．请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明．已知： 求证： 证明：【解析】由已知AD=BF ，证出AF=BD ，再由平行线AE ∥BC 得出∠A=∠B ，证明△AEF ≌△BCD ，即可得出∠EFA=∠CDB ．解：已知：AD=BF ，AE=BC ，AE ∥BC ； 求证：∠EFA=∠CDB ； 证明：∵AD=BF ，∴AD+DF=BF+DF ， 即AF=BD. ∵AE ∥BC ， ∴∠A=∠B ， 在△AEF 和△BCD 中，AE BC A B AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△BCD （SAS ）， ∴∠EFA=∠CDB ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及命题与定理；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．总结：条件和结论全开放的三角形全等问题，进一步加强了对SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 的考查．要熟练掌握全等三角形的证明思路：练9．如图，AC 交BD 于点O ，有如下三个关系式：①OA=OC ，②OB=OD ，③AB ∥DC ．(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．(用序号写出命题书写形式，如：如果⊗、⊗，那么⊗)(2)选择(1)中你写出的—个命题，说明它正确的理由．【解析】（1）如果①、②，那么③，或如果①、③，那么②，如果②、③，那么①；（2）下面选择“如果①、②，那么③”加以证明． 证明：在△AOB 和△COD 中，,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△COD ， ∴∠A＝∠C ， ∴AB ∥DC ．练10．在△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠A=∠D ，若证△ABC ≌△DEF ，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）A ．∠B=∠EB ．∠C=∠FC ．BC=EFD ．AC=DF【解析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．解：A 、正确，符合判定ASA ；B 、正确，符合判定AAS ；C 、不正确，满足SSA 没有与之对应的判定方法，不能判定全等；D 、正确，符合判定SAS ． 故选：C ．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS ，SAS ，SSS ，HL 等．练11．如图，已知等边△ABC ，AB=2，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，BD=CF ，DE ⊥BC 于E ，FG ⊥BC 于G ，DF 交BC 于点P ，则下列结论：①BE=CG ；②△EDP ≌△GFP ；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④【解析】由等边三角形的性质可以得出△DEB ≌△FGC ，就可以得出BE=CG ，DE=FG ，就可以得出△DEP ≌△FGP ，得出∠EDP=∠GFP ，EP=PG ，得出PC+BE=PE ，就可以得出PE=1，从而得出结论．解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠A=∠B=∠ACB=60°．∵∠ACB=∠GCF ，∵DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．在△DEB 和△FGC 中，DEB FGC GCF A BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△FGC （AAS ），∴BE=CG ，DE=FG ，故①正确；在△DEP 和△FGP 中，DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEP ≌△FGP （AAS ），故②正确；∴PE=PG ∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；∵PG=PC+CG ，∴PE=PC+BE ．∵PE+PC+BE=2，∴PE=1．故④正确．正确的有①②④，故选：D ．点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．练12．如图，EA⊥AB，BC⊥AB EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：（1）DE=AC（2）DE⊥AC（3）∠CAB=30°（4）∠EAF=∠ADE，其中结论正确的是（）A．（1），（3）B．（2），（3）C．（3），（4）D．（1），（2），（4）【解析】本题条件较为充分，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点可得两直角三角形全等，然后利用三角形的性质问题可解决．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．解：∵EA⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB=∠ABC=90°Rt△EAD与Rt△ABC∵D为AB中点，∴AB=2AD又EA=AB=2BC∴AD=BC∴Rt△EAD≌Rt△ABC∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90°∴∠EFA=180°﹣90°=90°，即DE⊥AC，∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE∴∠EAF=∠ADE故选：D．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；全等三角形问题要认真观察已知与图形，仔细寻找全等条件证出全等，再利用全等的性质解决问题．1．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA3．已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=ADC．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边4．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）A．40°B．50°C．60°D．75°5．如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（）A．甲乙B．丙C．乙丙D．乙6．如图，在△ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于点D，且点E、F在BC上，则图中全等的直角三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7.已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．（1）请你写出两个正确结论：①__________；②__________；（2）当∠B=60°时，还可以得出哪些正确结论？（只需写出一个）（3）请在图中过点D作于DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：△DBM≌△DCN．1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件_____________．2．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=_____________度．3．如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角∠ABC=35°，则滑梯EF与地面夹角∠DFE的度数是_______________．4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．5．如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？6．请从以下三个等式中，选出一个等式天在横线上，并加以证明．等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，已知：AB∥CD，BE=DF，_______求证：△ABE≌△CDF．证明：参考答案：当堂检测1．【解析】A 、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS 来判定两直角三角形全等，故本选项正确；B 、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA 没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；C 、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理ASA 来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；D 、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理ASA 或AAS 来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；故选B ．2．【解析】∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF ，AO 为公共边，∴△AEO ≌△AFO ．故选A ．3．【解析】需要添加的条件为BC=BD 或AC=AD ，理由为：若添加的条件为BC=BD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵BC BD AB AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）；若添加的条件为AC=AD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵AC AD AB AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）．故选B ．4．【解析】∵∠B=∠D=90°，在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，BC CD AC AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ），∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．故选B ．5．【解析】根据全等三角形的判定定理（SAS ，ASA ，AAS ，SSS ）逐个判断即可．解：已知图1的△ABC 中，∠B=50°，BC=a ，AB=c ，AC=b ，∠C=58°，∠A=72°，图2中，甲：只有一个角和∠B 相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC 不全等；乙：符合SAS 定理，能推出两三角形全等；丙：符合AAS 定理，能推出两三角形全等；故选：C ．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．6．【解析】如图，运用等腰三角形的性质证明BD=CD ，DE=DF ；证明△ABD ≌△ACD ，△AED ≌△AFD ，即可解决问题．解：如图，∵AB=AC ，AE=AF ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，DE=DF ；在△ABD 与△ACD 中，AD AD ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），同理可证△AED ≌△AFD ；故选：B ．点评：该题主要考查了全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质是解题的关键．7.【解析】（1）根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；（2）根据等边三角形的判定定理可得△ABC 是等边三角形；（3）先证明△ABD ≌△ACD ，再证明△DBM ≌△DCN ．解：（1）①BD=CD ；②△ABD ≌△ACD ；（2）∵AB=AC ，∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形．（3）在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠ABD=∠ACD ，在Rt △DBM 和Rt △DCN 中，MBD NCD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△DBM ≌△DCN ．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．家庭作业1．【解析】还需添加条件AB=AC ，∵AD ⊥BC 于D ，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，AD AD AB AC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ），故答案为：AB=AC ．2．【解析】在直角△ABC 与直角△ADC 中，BC=DC ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠2=∠ACB ，在△ABC 中，∠ACB=180°﹣∠B ﹣∠1=50°，∴∠2=50°．故填50°3．【解析】在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，BC EF AC DF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ），∴∠DEF=∠ABC=35°，∴∠DFE=90°﹣35°=55°．故答案为：55°．4．【解析】（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC ．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA ，在△DBC 和△ECA 中，∵90D AEC DBC ECA BC AC ∠=∠⎧⎪∠==⎨⎪=⎩,∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE=CD ．（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ，在Rt △CDB 和Rt △AEC 中，AE CD AC BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDB ≌Rt △AEC （HL ），∴BD=CE ，∵AE 是BC 边上的中线，∴BD=EC= BC= AC ，且AC=12cm ．∴BD=6cm ．5．【解析】BD=CD ，理由：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义），在Rt △ABD 与Rt △ACD 中， AB AC AD AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ），∴BD=CD （全等三角形的对应边相等）．6．【解析】先加上条件，再证明，根据所加的条件，利用证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠D ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△CDF ．点评：本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定，是基础知识比较简单．。
难点探究专题：全等三角形中的动点问题(3类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级下册
第07讲难点探究专题：全等三角形中的动点问题(3类热点题型讲练)目录【题型一利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】..................................................................................1【题型二利用三角形全等求证线段之间的关系问题】........................................................................................11【题型三利用三角形全等求证角之间的关系问题】.. (21)【题型一利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】例题：（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，4,6AB AD ==，延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA →→向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为秒时，ABP 与DCE △全等．【答案】1或7【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA,SAS,AAS,SSS,HL ．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出22BP t ==和1622AP t =-=即可求得．【详解】解：由题意得：AB CD =，若90,2ABP DCE BP CE ∠=∠=︒==，根据SAS 证得ABP DCE ≌△△，∴22BP t ==，即1t =，若90,2BAP DCE AP CE ∠=∠=︒==，根据SAS 证得BAP DCE ≌ ，∴1622AP t =-=，即7t =．∴当t 的值为1或7秒时．ABP 与DCE △全等．故答案为：1或7．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，12AB =米，6AC =米，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，动点E 从A 点出发以2米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 经过秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等．【答案】3秒或9秒或12【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED ≌；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED ≌；当E 在线段AB 上，AB EB =时；当E 在BN上，AB EB =时，ACB BDE ≌；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED ≌，6AC = ，6BE ∴=，1266AE AB BE ∴=-=-=，∴点E 的运动时间为623÷=（秒）；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED ≌，6AC = ，6BE ∴=，12618AE AB BE ∴=+=+=，∴点E 的运动时间为1829÷=（秒）；当E 在线段AB 上，AB EB =时，此时E 在A 点未动，时间为0秒，不符合题意；当E 在BN 上，AB EB =时，ACB BDE ≌，12AB = ，12BE ∴=，121224AE AB BE ∴=+=+=，∴点E 的运动时间为24212÷=（秒）；综上所述，当点E 经过3秒或9秒或12秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等，故答案为：3秒或9秒或12．2．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()5,0A ，()0,7B ，动点P ，Q 分别按照A O B --和B O A --的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线l 经过原点O ，且l AB ∥，过P ，Q 分别作l 的垂线段，垂足分别为F ，E ．若点P 的速度为每秒2个单位长度，点Q 的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t 秒，当OPE 与OQF △全等时，t 的值为．【答案】1或2或5【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是恰当分类并利用全等三角形的性质建立方程．判断出OP OQ =再分三种情况讨论，表示出OP ，OQ 建立一元一次方程求解即可．【详解】解：∵()5,0A ，()0,7B ，∴5OA =，7OB =，由题意，OP 和OQ 是两直角三角形的斜边，当OPE 与OQF △全等时，OP OQ =，①当点P 在OA 上，点Q 在OB 上时，根据题意可得∶s t 时，2AP t =，4BQ t =，∴52OP OA AP t =-=-，74OQ OB BQ t =-=-，∴5274t t -=-，解得∶1t =；②当点P ，Q 都在OA 上时，点P ，Q 重合时，两三角形重合时，P 点行程为2t ，Q 点行程为4t ，∴2457t t +=+，解得2t =；③当点P 在OB 上，点Q 在OA 上且点Q 与点A 重合时，25OP t =-，5OQ =∴255t -=．解得：5t =当OPE 与OQF △全等时，满足题意的t 的值为1或2或5．故答案为：1或2或5．3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，3cm AB DC ==，2cm BC AD ==，现有一动点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度沿长方形的边A B C D A →→→→运动，到达点A 时停止；点Q在边DC 上，DQ BC =，连接AQ ．设点P 的运动时间为s t ，则当t =s 时，以长方形的两个顶点及点P 为顶点的三角形与ADQ △全等．（不考虑两个三角形重合的情况）【答案】1或2或7【分析】本题考查了全等三角形的判定和长方形的性质，掌握全等三角形的判定和恰当分类是解题的关键．先确定ADQ △是等腰直角三角形，再分三种情况：点P 在AB 边上，BP BC =或AP AD =，点P 在CD 边上，CP BC =，利用动点运动的路径求解即可．【详解】解：在长方形ABCD 中，90DAB B C D ∠=∠=∠=∠=︒，∵DQ BC =，∴DQ AD =，∴ADQ △是等腰直角三角形，分三种情况：当点P 在AB 边上，BP BC =时，BPC ADQ ≌，则1cm AP AB PB =-=，∴1s t =；当点P 在AB 边上，AP AD =时，DAP ADQ ≌，则2s=t 点P 在CD 边上，CP BC =时，BCP ADQ ≌，则(322)s =7s t =++，综上，当1s t =或2s 或7s 时，以长方形的两个顶点及点P 为顶点的三角形与ADQ △全等．故答案为：1或2或7．4．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，16cm AB =，8cm AC =．动点E 从A 点出发以4cm/s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为()0t t >，则当t =秒时，DEB 与BCA V 全等．12cm BC =，现有一动点P 从点A 出发，沿着三角形的边AC CB BA →→运动，回到点A 停止，速度为2cm/s ，设运动时间为s t ．(1)如图1，当t =s 时，12BPC ABC S S =；(2)如图2，在DEF 中，90E ∠=︒，8cm DE =，10cm DF =，D A ∠=∠．在ABC 的边上，若另外有一个动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB BC CA →→运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好APQ △与DEF 全等，求点Q 的运动速度．②点P 在AB 上时，过点∴点P 的运动路程为（2）∵在DEF∴①当点P在AC∴点Q的速度为：②当点P在AB上，点∴点Q的速度为：③当点P在AB上，④当点P 在AC 上，点∴点Q 的速度为：综上所述，两点运动过程中的某一时刻，19cm /s 10cm /s 或8cm 56．（2023·广西南宁·二模）如图，在ABC 中，AD 为高，18AC =．点E 为AC 上的一点，2CE AE =，连接BE ，交AD 于O ，若BDO ADC △≌△．(1)猜想线段BO 与AC 的位置关系，并证明；(2)有一动点Q 从点A 出发沿射线AC 以每秒6个单位长度的速度运动，设点Q 的运动时间为t 秒，是否存在t 的值，使得BOQ △的面积为27？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；(3)在（2）条件下，动点P 从点O 出发沿线段OB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，点F 是直线BC 上一点，且CF AO =，当AOP 与FCQ 全等时，求t 的值．1118(1222BOQ S BO QE ∆=⨯=⨯⨯-解得：32t =（舍去）；当2t >时，Q 在射线EC 上，如图1118(612)22BOQ S BO QE t ∆=⨯=⨯⨯-=解得：52t =，此时Q 与C 重合；综上所述，存在t 的值，使得BOQ △（3）由（1）可知，BDO ADC △≌△BOD ACD \Ð=Ð，当点F 在线段BC 延长线上时，如图BOD ACD Ð=ÐQ ，BOD ACD Ð=ÐQ ，AOP FCQ \Ð=Ð，AO CF =Q ，∴当OP CQ =时，AOP FCQ ≌此时，2618t t =-，解得：92t =；综上所述，当AOP 与FCQ 全等时，【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积、三角形面积和定理、对顶角相等以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．【题型二利用三角形全等求证线段之间的关系问题】例题：（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，M 是BD 的中点，E 是射线CA 上一动点，且CE CD =，连接AD ，作DF AD ⊥，DF 交EM 延长线于点F ．(1)如图1，当点E 在CA 上时，填空：AD ________DF （填“=”、“<”或“>”）．(2)如图2，当点E 在CA 的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断AD 与DF 的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)=，详见解析；(2)AD DF =，详见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识；（1）连接BE ，先证SAS ACD BCE ≌（），得AD BE EBM DAC =∠=∠，，再证ASA EBM FDM ≌（），得BE DF =，即可得出结论；（2）连接BE ，先证SAS ACD BCE ≌（），得AD BE ADC BEC =∠=∠，，再证ASA BME DMF ≌（），得BE DF =，即可得出结论．证明三角形全等是解题的关键．【详解】（1）AD DF =，理由如下：连接BE ，如图1所示：∵90ACB ∠=︒，∴90DCA ∠=︒，在ACD 和BCE 中，CD CE DCA ECB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ACD BCE ≌（），∴AD BE EBM DAC =∠=∠，，∵9090DAC ADC FDM ADC ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴DAC FDM ∠=∠，∴EBM FDM ∠=∠，∵M 是BD 的中点，∴BM DM =，在EBM △和FDM 中，EBM FDM BM DM EMB FMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ASA EBM FDM ≌（），∴BE DF =，∴AD DF =，故答案为：=；（2）根据题意将图形补全，如图2所示：AD 与DF 的数量关系：AD DF =，证明如下：连接BE ，∵90ACB ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，∴90ACD BCE ∠=∠=︒，在ACD 和BCE 中，CD CE DCA ECB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ACD BCE ≌（），∴AD BE ADC BEC =∠=∠，，∵90ACB DF AD ∠=︒⊥，，∴90BEC MBE ADC MDF ∠+∠=∠+∠=︒，∴MBE MDF ∠=∠，∵M 是BD 的中点，∴MB MD =，在BME 和 DMF 中，MBEMDF MB MD EMB FMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ASA BME DMF ≌（），∴BE DF =，∴AD DF =．【变式训练】1．（22-23八年级上·山西大同·阶段练习）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，点P 为BC 边上的一个动点，连接AP ，以AP 为直角边，A 为直角顶点，在AP 右侧作等腰直角三角形PAD ，连接CD ．(1)当点P 在线段BC 上时(不与点B 重合)，求证：BAP CAD ≌V V ．(2)当点P 在线段BC 的延长线上时(如图2)，试猜想线段BP 和CD 的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【答案】(1)见解析(2)猜想：BP CD BP CD =⊥，，证明见解析【分析】（1）先证明BAP CAD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理证明BAP CAD ≌V V ，即可；（2）先证明BAP CAD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理证明BAP CAD ≌V V ，由全等三角形的性质，即可得证．【详解】（1）90BAC PAD ∠=∠=︒BAC PAC PAD PAC ∴∠-∠=∠-∠即∶BAP CAD∠=∠在BAP △和CAD 中AB AC BAP CAD PA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAP CAD SAS ∴ ≌（2）猜想∶,BP CD BP CD=⊥90BAC PAD ∠=∠=︒Q BAC PAC PAD PAC∴∠+∠=∠+∠即∶BAP CAD∠=∠在BAP △和CAD 中ABAC BAP CAD PA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAP CAD SAS ∴ ≌BP CD ∴=(全等三角形的对应边相等)B ACD ∠=∠(全等三角形的对应角相等)90B ACB ∠+∠=︒90ACD ACB ∴∠+∠=︒即∶BP CD⊥综上所述，,BP CD BP CD =⊥．【点睛】本题主要考场三角形全等的判定定理和性质定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，是解题的关键．2．（23-24八年级上·河北沧州·期末）问题情境：如图，等腰Rt ABC △，D 是斜边BC 上一点，连接AD ，在AD 右侧作AF AD ⊥，且AF AD =，AE 平分DAF ∠交边BC 于点E ，连接EF 和CF ，请直接写出线段BE CF EF 、、的关系：；猜想验证：若D 是斜边BC 上一动点，且AE 平分DAF ∠交边BC 于点E ，其他条件不变，此时上面的结论是否还成立，请说明理由．拓展延伸：若点D 运动到斜边CB 的延长线上，AE 平分DAF ∠交边BC 于点E ，其他条件不变，请直接写出线段BE CF EF 、、的关系：．【答案】问题情景：BE CF EF =+；猜想验证：成立，见解析；拓展延伸：BE EF CF=-【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．问题情景：根据作图过程可解决问题情境；猜想验证：根据等腰直角三角形和已知条件可证明()SAS CAF BAD ≌可得=CF BD ，进而证明()SAS EAF EAD ≌可得EF ED =，然后根据BE BD ED =+即可证明结论；拓展延伸：先根据题意画出图形，然后参照猜想验证进行解答即可．【详解】解：问题情境：BE CF EF =+．猜想验证：BE CF EF =+，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形∴,90=∠=︒AC AB BAC ∵AF AD⊥∴90DAF =︒∴DAF CAD BAC CAD ∠-∠=∠-∠，即：CAF BAD∠=∠在CAF V 和BAD 中，AC AB CAF BAD AF AD=∠=∠=，，∴()SAS CAF BAD ≌∴=CF BD ，∵AE 平分DAF ∠，∴EAF EAD∠=∠在EAF △和EAD 中，AF AD EAF EAD AE AE =∠=∠=，，，∴()SAS EAF EAD ≌，∴EF ED =，∴BE BD ED CF EF =+=+，∴BE CF EF =+．拓展延伸：BE EF CF =-，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形∴,90=∠=︒AC AB BAC ∵AF AD⊥∴90DAF =︒∴DAF CAD BAC CAD ∠-∠=∠-∠，即：CAF BAD∠=∠在CAF V 和BAD 中，AC AB CAF BAD AF AD=∠=∠=，，∴()SAS CAF BAD ≌∴=CF BD ，∵AE 平分DAF ∠，∴EAF EAD∠=∠在EAF △和EAD 中，AF AD EAF EAD AE AE =∠=∠=，，，∴()SAS EAF EAD ≌，∴EF ED =，∴BE ED BD EF CF =-=-，∴BE EF CF =-．3．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点E 为线段AB 上一动点（不与点B 重合），CE CF ⊥且CE CF =．(1)连接BF 交AC 于点M ，设BE m AB =．①当1m =时，如图1，则BM MF =______．②当49m =时，如图2，若18AB =，求MC 的长．(2)如图3，作FP CF ⊥交CA 的延长线于点P ，EQ EC ⊥交BC 于点Q ，连接PQ ，求证：PQ PF EQ =-．∵49BE AB =，AB =∴8,BE AE AB ==∵FCN ACE ∠+∠∴FCN CEA∠=∠∵FNC CAE ∠=∠∵CE CF =，FG EQ =，90CFG CEQ ∠=∠=︒，∴CFG CEQ△≌△∴CG CQ =，FCG ECQ∠=∠∵90ECF FCG ECG ∠=∠+∠=︒，∴90ECQ ECG QCG ∠+∠=∠=︒∵,AB AC AB AC=⊥∴45PCQ PCG∠=︒=∠∵PC PC=∴PCG PCQ△≌△∴PQ PG=∵PG PF FG PF EQ=-=-PQ PF QE∴=-4．（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图1，已知：90MCN ∠=︒，点A 、B 在MCN ∠的边CM CN 、上，AC BC =，点D 为直线CN 上一动点，连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，且AE AD =，作EF CM ⊥，垂足为F ．(1)当点D 在线段BC 上时，证明：EF BC =；(2)如图2，当点D 在线段BC 延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，作点E 关于直线CM 的对称点E '，连接FE '、DE '，DE '与直线AB 交于点H ，求证：DH HE '=．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)见解析【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能熟练应用三角形全等证明线段相等是解题的关键．（1）根据“同角的余角相等”证明EAF ADC ∠=∠，再根据“AAS ”证明ACD EFA △≌△即可；（2）类比（1）的方法证明即可；（3）延长BA 交FE 的延长线于点G ，利用“ASA ”证明'BDH GE H △≌△即可得证．【详解】（1）证明： 90MCN ∠=︒，AE AD ⊥，∴90CAD EAF Ð+Ð=°，90CAD ADC ∠+∠=︒，∴EAF ADC ∠=∠，EF CM ⊥，∴90EFA ∠=︒，90EFA ACD ∴∠=∠=︒，在ACD 和EFA △中C EFA ADC EAF AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD EFA△≌△∴EF AC =，AC BC =，∴EF BC =．（2）解：结论成立．90MCN ∠=︒，∴=90ACD ∠︒，AE AD ⊥，∴90CAD EAF Ð+Ð=°，90CAD ADC ∠+∠=︒，∴EAF ADC ∠=∠，EF CM ⊥，∴90EFA ∠=︒，90EFA ACD ∴∠=∠=︒在ACD 和EFA △中C EFA ADC EAF AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD EFA △≌△，∴EF AC =，AC BC =，∴EF BC =．（3）证明：如图：如图，延长BA 交FE 的延长线于点G ，90MCN ∠=︒，AC BC =，∴45CAB ∠=︒，45FAG CAB Ð=Ð=°，EF CM ⊥，∴45FAG G Ð=Ð=°，∴FG FA =，又 E 、E '关于直线CM 对称，∴EF E F ='，EF CM ⊥，∴E 、F 、E '三点共线，由（2）可得，ACD EFA△≌△∴AF CD =，EF AC BC ==，∴GF E F CD BC +=+'，即GE BD '=，EF CM ⊥，90MCN ∠=︒，∴'GE BD ∥，∴HDB E ∠=∠'，HBD G Ð=Ð，在BDH △和GE H ' 中'HDB E GE BD HBD G ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩'∴BDH GE H' ≌∴DH HE ='．【题型三利用三角形全等求证角之间的关系问题】例题：（23-24八年级上·湖南永州·期中）在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为AC 上一动点．(1)如图1，点E 、点F 均是射线BD 上的点并且满足AE AF =，90EAF ∠=︒．求证：ABE ACF ≌ ；(2)在（1）的条件下，求证：CF BD ⊥；(3)由（1）我们知道45AFB ∠=︒，如图2，当点D 的位置发生变化时，过点C 作CF BD ⊥于F ，连接AF ．那么AFB ∠的度数是否发生变化？请证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)45AFB ∠=︒，不变化，理由见解析【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．（1）根据90BAC BAE EAD ∠=∠+∠=︒，90EAF CAF EAD ∠=∠+∠=︒得出BAE CAF ∠=∠，即可根据SAS 证明ABE ACF ≌ ；（2）易得90ABE BDA ∠+∠=︒，根据ABE ACF ≌ ，得出ABE ACF ∠=∠，则90BDA ACF ∠+∠=︒，进而得出90CDF ACF ∠+∠=︒，则90BFC ∠=︒，即可求证CF BD ⊥；（3）过点A 作AF 的垂线交BM 于点E ，易得90ABD BDA ∠∠+=︒，90ACF CDF ∠∠+=︒，即可得出ABD ACF ∠∠=，通过求证()ASA ABE ACF ≌ 得出AE AF =，则AEF 是等腰直角三角形，即可求出45AFB ∠=︒．【详解】（1）解：∵90BAC BAE EAD ∠=∠+∠=︒，90EAF CAF EAD ∠=∠+∠=︒∴BAE CAF ∠=∠，在ABE 和ACF △中AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ACF ≌△△；（2）解：∵90BAC ∠=︒，∴90ABE BDA ∠+∠=︒，由（1）得ABE ACF ≌ ，∴ABE ACF ∠=∠，∴90BDA ACF ∠+∠=︒，又∵BDA CDF ∠=∠，∴90CDF ACF ∠+∠=︒，∴90BFC ∠=︒，∴CF BD ⊥；（3）解：45AFB ∠=︒，不变化，理由如下：过点A 作AF 的垂线交BM 于点E∵CF BD⊥∴90BAC ∠=︒∴90ABD BDA ∠∠+=︒同理90ACF CDF ∠∠+=︒∵CDF ADB∠∠=∴ABD ACF∠∠=同（1）理得BAE CAF∠∠=在ABE 和ACF 中BAE CAF AB AC ABD ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE ACF ≌ ∴AE AF=∴AEF 是等腰直角三角形∴45AFB ∠=︒．【变式训练】1．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边ABC 的边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都是1cm /s ．(1)连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过程中，CMQ ∠变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；(2)如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则CMQ ∠变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．【答案】(1)不变，60CMQ ∠=︒(2)不变，120CMQ ∠=︒【分析】（1）因为点P 从顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm /s ，所以AB CA =，BQ AP =，60B CAP ∠=∠=︒，因而运用边角边定理可知ABQ CAP ≌△△．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CMQ ∠的度数．（2）首先利用边角边定理证得PBC QCA ≌△△，再利用全等三角形的性质定理得到BPC CQM ∠=∠，再运用三角形角间的关系求得CMQ ∠的度数．【详解】（1）解：60CMQ ∠=︒不变．等边三角形ABC 中，AB CA =，60B CAP ∠=∠=︒，又由条件得BQ AP =，∴()SAS ABQ CAP ≌△△，∴BAQ ACP ∠=∠，∴60CMQ ACP CAM BAQ CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（2）解：120CMQ ∠=︒不变．在等边三角形ABC 中，60ABC CAP ∠=∠=︒，∴120PBC QCA ∠=∠=︒，又由条件得BP CQ =，BC CA =，∴()SAS PBC QCA ≌△△，∴BPC CQM ∠=∠，又 PCB MCQ ∠=∠，∴120CMQ PBC ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键．2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在Rt ABC △中，90ACB AC BC ∠=︒=，，点E 为AC 上一动点，过点A 作AD BE ⊥于D ，连接CD ．(1)【观察发现】如图①，DAC ∠与DBC ∠的数量关系是；(2)【尝试探究】点E 在运动过程中，CDB ∠的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求CDB ∠的度数；(3)【深入思考】如图②，若E 为AC 中点，探索BE 与DE 的数量关系．【答案】(1)DAC DBC∠=∠(2)CDB ∠的大小不变，45CDB ∠=︒(3)5BE DE=【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．（1）由90ACB ADB ∠=∠=︒，得9090DAC AED DBC BEC ∠+∠=︒∠+∠=︒，，而AED BEC ∠=∠，所以DAC DBC ∠=∠，于是得到问题的答案；（2）作CF CD ⊥交BD 于点F ，则90ACD BCF ACF ∠=∠=︒-∠，而DAC FBC AC BC ∠=∠=，，即可证明DAC FBC ≌ ，得CD CF =，则45CDB CFD ∠=∠=︒，所以CDB ∠的大小不改变，45CDB ∠=︒；（3）作CG CD ⊥交BD 于点G ，作CH BD ⊥于点H ，可证明CHE ADE ≌ ，得HE DE CH AD ==，，由DAC GBC ≌ ，得AD BG =，则CH BG =，由CG CD CH DG =⊥，，得DH GH =，则CH DH GH ==，所以2BG DH GH DE ===，即可推导出5BE DE =．【详解】（1）∵90ACB AD BE∠=︒⊥，∴90ACB ADB ∠=∠=︒，∴9090DAC AED DBC BEC ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∵AED BEC ∠=∠，∴DAC DBC ∠=∠，故答案为：DAC DBC ∠=∠．（2）CDB ∠的大小不改变，如图①，作CF CD ⊥交BD 于点F ，则90DCF ∠=︒，∴90ACD BCF ACF ∠=∠=︒-∠，由（1）得DAC FBC ∠=∠，∵AC BC＝∴()ASA DAC FBC ≌，∴CHE ADE ∠=∠，∵E 为AC 中点，∴CE AE =，∵CEH AED ∠=∠，∴()AAS CHE ADE ≌，合)，以AD 为一边在AD 的右侧作ADE V ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段CB 上时，BD 与CE 有何数量关系，请说明理由．(2)在（1）的条件下，当90BAC ∠=︒时，那么DCE ∠=________度．(3)设BAC DCE ∠α∠β==，．①如图2，当点D 在线段CB 上，90BAC ∠≠︒时，请探究α与β之间的数量关系．并证明你的结论；②如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，90BAC ∠≠︒时，请将图3补充完整并直接写出此时α与β之间的数量关系．【答案】(1)BD CE =，理由见解析；(2)90；(3)①180αβ+=︒，证明见解析；②图见解析，αβ=．【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质（1）由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得BD CE =，ACE B ∠=∠，即可解题；（2）由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得BD CE =，ACE B ∠=∠，即可解题；（3）①由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得ACE B ∠=∠，根据180B ACB α∠+∠=︒-即可解题；②由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得ACE B ∠=∠，根据180ADE AED α∠+∠+=︒，180CDE CED β∠+∠+=︒即可解题；【详解】（1）解：BD CE =，理由：90BAD DAC ∠+∠=︒ ，90DAC CAE ∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴ ≌，BD CE ∴=；（2）解：BAD CAE △≌△，ACE B ∴∠=∠，90B ACB ∠+∠=︒ ，90DCE ACE ACB ∴∠=∠+∠=︒；故答案为：90；（3）解：①BAD DAC α∠+∠= ，DAC CAE α∠+∠=，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴ ≌，ACE B ∴∠=∠，180B ACB α∠+∠=︒- ，180DCE ACE ACB αβ∴∠=∠+∠=︒-=，180αβ∴+=︒；②作出图形，BAD BAE α∠+∠= ，BAE CAE α∠+∠=，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴ ≌，AEC ADB ∴∠=∠，180ADE AED α∠+∠+=︒ ，180CDE CED β∠+∠+=︒，CED AEC AED ∠=∠+∠，αβ∴=．。
北师大数学七年级下册第三章-全等三角形
第02讲_全等三角形知识图谱全等三角形知识精讲一．全等的概念与性质三点剖析一．考点：全等的概念，全等三角形的性质二．重难点：全等三角形的性质三．易错点：利用全等的性质时容易忽略对应关系，导致找错对应边或对应角．全等图形例题1、 下列图形中，与右图全等的是（ ）全等图形（1）能够完全重合的两个图形就是全等图形（2）平移、旋转、对称前后的图形是一组全等图形四边形四边形全等多边形（1）相互重合的顶点为对应点，相互重合的边为对应边，相互重合的 角为对应角 （2）对应边、对应角分别相等全等三角形的性质 （1）对应边相等 （ 2）对应角相等（3）对应边上的高相等 （4）周长、面积相等易错点：1.利用全等的性质时注意不要找错对应边或对应角A B C DA.A选项B.B选项C.C选项D.D选项【答案】A【解析】观察图形上实心点与空心点的位置得出全等图形即可，原图与选项A全等．例题2、下列说法中，错误的是（）A.全等三角形的周长相等B.全等三角形的对应角相等C.全等三角形的面积相等D.面积相等的两个三角形全等【答案】D【解析】暂无解析随练1、用两个全等的直角三角形（非等腰直角三角形）拼成凸四边形，拼法共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种【答案】B【解析】拿两个“90︒，60︒，30︒”的三角板试一试即可得．随练2、如图，ADE BDE≌，若ADC∆∆∆的周长为12，AC的长为5，则CB的长为（）A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】解：∵ADE BDE∆≅∆，∴DA DB=，AC=，∴7BC=，故选B．=++=++=+=，又5ADC∆的周长12AC CD AD AC CD BD AC BC随练3、下图是由全等的图形组成的，其中AB=3cm，CD=2AB，则AF=___________．【答案】27cm【解析】因为AB=3cm，所以CD=2AB=6cm，所以AF=3AB+3CD=3×3+3×6=27（cm）．全等三角形的性质例题1、下列命题中正确的是（）A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中线相等C.全等三角形的角平分线相等D.全等三角形对应角的平分线相等【答案】D【解析】全等三角形的对应边相等，对应角相等．同时，全等三角形对应边上的高、对应边上的中线，对应角的角平分线也分别相等，一定要注意“对应”二字．例题2、如图，在△ABC中，AB＝AC，E、D分别为AB、AC边上的中点，连接BD、CE交于O，此图中全等三角形的对数为（）对．A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】∵AB＝AC，∴∠EBC＝∠DCB，∵AE＝BE，AD＝DC，∴BE＝DC，∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB，∴∠ECB＝∠DBC，∴∠EBO＝∠DCO，∵BE＝CD，∴∠BOE＝∠COD，∴△BOE≌△COD，∵∠A＝∠A，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE，共有3对全等三角形．例题3、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C【答案】A【解析】暂无解析例题4、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB ＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，故①正确；∠EAF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF＝BC，故③正确；∠EAB＝∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．例题5、 如图，△ABC 一个等腰三角形，其中AB ＝A C ．分别以AB ，AC 为腰向外作等腰三角形△ADB 和△ACE ，且∠BAD ＝∠CAE ＝84°，连接CD 和BE ，相交于点F ，连接AF ，则∠AFD 的度数为________．【答案】 48°【解析】 暂无解析随练1、 下列四个命题中，真命题的是（ ） A.相等的圆心角所对的弧相等 B.同旁内角互补 C.平行四边形是轴对称图形 D.全等三角形对应边上的高相等 【答案】 D【解析】 A 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等； B 、两直线平行，同旁内角互补； C 、平行四边形是中心对称图形； D 、全等三角形对应边上的高相等 随练2、 已知∆≅∆ABC DEF ，DEF ∆的周长为32cm ，9cm 12cm DE EF ==，，则AB =________，BC =________，AC =________【答案】 9cm ；12cm ；11cm【解析】 由于∆≅∆ABC DEF ，所以AB 与DE 、AC 与DF 、BC 与EF 分别是对应边，即AB DE =，AC DF =，BC EF =．又DEF ∆的周长为32cm ，9cm 12cm DE EF ==，，则()3291211cm DF =--=．因此9cm AB =，12cm BC =，11cm AC =随练3、 如图ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =，求DFE ∠的度数与EC 的长．【答案】 =100DFE ∠︒，2EC =．【解析】 在ABC ∆中，180ACB A B ∠=︒-∠-∠．又∵30A ∠=︒，50B ∠=︒ ∴1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒∵ABC DEF ∆≅∆，∴ACB DFE ∠=∠，∴=100DFE ∠︒， ∵BC EF =，∴BC CF EF CF -=-， ∴2EC =全等三角形的判定知识精讲一．全等三角形的判定方法：FE DCBA二．思路点拨边边角（SSA ）不能证明两个三角形全等常见全等图形共线三等角模型4.“AAS ”与“ASA ”易混，要注意区分“边”“角”的位置关系5. 错用“AAA ”，“SSA ”证三角形全等.三点剖析一．考点：全等三角形的判定二．重难点：全等三角形的判定三．易错点：1．边边角（SSA ）在一般情况下是不能证明两个三角形全等的； 2．斜边、直角边定理(HL)必须是在直角三角形中才能使用；3．在使用判定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和判定定理要求的一样．SSS例题1、 如图，AB AC =，AD AE =，BE CD =，求证：ABD ACE ∆∆≌．【答案】 见解析【解析】 由SSS 可得ABD ACE ∆∆≌．随练1、 已知：如图，AC=EC ，E 、A 、D 在同一条直线上，∠1=∠2=∠3．试说明：△ABC ≌△EDC ．A BCABCDDABCE90°CEDA BD E CBA【答案】 见解析【解析】 证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD ，∴∠ACB=∠ECD ， ∵∠1=∠3，∠4=∠5，∴∠B=∠D ， 在△ABC 和△CDE 中，，∴△ABC ≌△EDC （AAS ）．SAS例题1、 已知：如图，E 为BC 上一点，AC ∥BD ，AC BE =，BC BD =． 求证：AB DE =【答案】 见解析【解析】 证明：∵AC ∥BD ，∴C CBD ∠=∠ 在△ACB 和△EBD 中： AC BE C CBD BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBM ≌△DBM （SAS ），∴AB DE =． 例题2、 已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，直线BD 、CE 交于点G ，（1）如图1，点D 在AC 上，求证：∠BGC ＝∠BAC ； （2）如图2，当点D 不在AC 上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
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来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：三角形如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）考点：四边形如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF 的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质（1）根据旋转的概念得出；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．（2）BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；∴BE⊥DF．来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在△abc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.1.求的度数；2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，∴∠BFD=∠ABC=30°；2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）∵EH⊥BE，∴∠HEB=90°，∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是_________°．解析：由题意可知折叠前，由BC//AD得：∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，∠GEF=∠DEF=25°所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°则由：∠DGF+∠GFC=180°所以：∠GFC=180°－50°＝130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．解法1：【解析】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG解法2：解：作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，∴EA=EH，∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，∴∠B=∠DAC，∵∠AEC=∠B+∠ECB，∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，∴AE=AF，∴EG=AF，∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，∵在△AFG和△EHB中，∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH，∴△AFG≌△EHB（AAS）∴AG=EB，即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．解：作CF⊥AB于F，交AD于G ，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，∵CE⊥AD，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，∴∠1=∠2，在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE，∴△AGC≌△CEB（ASA），∴CG=BE，∵AD为腰CB上的中线，∴CD=BD，在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD，∴△CGD≌△BED（SAS），∴∠CDA=∠EDB．4、如图，已知AD和BC相交于点O ，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
求证：也是等边三角形证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四边形ODEB是平行四边形，∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，O A BCDEF ∴∠AEB=∠EAD ．∴∠EAD=∠ECD ．在△AFE 和△CFD 中又∵∠AFE=∠CFD ，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE 为等边三角形．5.如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC 与BD 交于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且FE+BO=8. 求AD+BC 的值.6.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°,AB=AC, D 是△ABC 内一点， 且求证：BD=BA 。
解：如图：以AD 为边，在△ADB 中作等边三角形ADE ，连接BE ．∵∠BAE=90°-60°-15°=15°，即∠BAE=∠CAD ，且AB=AC ，AE=AD ，∴△EAB ≌△DAC （SAS ），∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°，∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°，即∠BEA=∠BED ；又∵AE=ED，BE=BE，∴△BEA≌△BED（SAS），∴BA=BD．7.已知，如图D是的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC求证：延长CA至F，使得AF=CA则三角形DAF与三角形BAC全等，DF=BC,且<C=<F又DE=BC=DF，所以三角形DFE为等腰三角形，所以<DEF=<DEA=<F=<C8.如图，已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足。
求的周长。
过D做AC和AB的垂线交与H G找到一个I 点，使∠EDI = 60度可以证明。
过D做AC和AB的垂线交与H G找到一个I 点，使∠EDI = 60度那么三角形HDF和GDI全等。
证明：∠HDG=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）∠HDG-∠FDG = ∠FDI-∠FDG∠HDF = ∠GDIDH=GD∠DHF = ∠DGI = 90度由此可知FD=ID那么三角形FDE和IDE全等。
证明：因为FD=IDED=ED∠FDE = ∠IDE = 60°由此可知FE=IE （蓝色线）那么三角形AFD和BID全等。
证明：∠ADB=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）∠ADB-∠ADI = ∠FDI-∠ADI所以∠BDI = ∠FDA因为FD=ID，AD=BD那么，AE = BI (红色线)最后，AE+EF+FA = AE+EI+IB = 单边长。
为固定值。
初一下册数学难题（全内容）1、解方程：() 18031902180⨯=---αα，则α= 60° 2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg ，问10%和5%的盐水各需多少kg ？设需10%的盐水X 千克，则需要5%的盐水（10-X ）千克X*10%+（10-X ）*5%=10*8%5%X=0.3X=610-6=4（千克）所以需10%的盐水6千克，则需要5%的盐水4千克3、已知523x k +=的解为正数，则k 的取值范围是4、（2）若212(1)11x a x x-〈⎧⎨+〉-⎩的解为x ＞3，则a 的取值范围（3）若2123x a x b -〈⎧⎨-〉⎩的解是-1＜x ＜1，则（a+1）（b-2）= （4）若2x ＜a 的解集为x ＜2，则a=（5）若204160x m x -≤⎧⎨+〉⎩有解，则m 的取值范围5、已知32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，x ＞y ，则m 的取值范围 ； 6、已知上山的速度为600m/h ，下上的速度为400m/h ，则上下山的平均速度为？7、已知24(3)0x y x y +-+-=，则x= ，y= ；8、已知35303580x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩（0z ≠），则:x z = ，:y z = ；9、当m= 时，方程262310x y x y m +=⎧⎨-=-⎩中x 、y 的值相等，此时x 、y 的值= 。
10、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a= 。
11、⎩⎨⎧=-=+my x m y x 932的解是3423=+y x 的解，求m m 12-。