随机变量及其分布教学课件

放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，则从 2 号箱取出红
球的概率是( )
11
11
A.27
B.24
16
9
C.27
D.24
【答案】A 【解析】记“从 2 号箱中取出的是红球”为事件 A，“从 1 号箱中取出的是红球”为事件 B.根据古典概型和对立事件的 概率和为 1 可知 P(B)＝2＋4 4＝23，P( B )＝1－23＝13.由条件概率 公式知 P(A|B)＝38＋ ＋11＝49，P(A| B )＝8＋3 1＝39.从而 P(A)＝P(AB) ＋P(A B )＝P(A|B)·P(B)＋P(A| B )·P( B )＝2117.故选 A.
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解：(1)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为 C310，从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的结果数为 Ck3C37－k(k ＝0,1,2,3)，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品
离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种： 超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为 广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、 方差融合在一起，横向考查．
2．对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时 相关概率的求法，计算时可能会用到等可能性事件、互斥事 件、相互独立事件的概率公式等．
解：设 Ai 表示事件“同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用 设备”，i＝0,1,2；
B 表示事件“甲需使用设备”； C 表示事件“丁需使用设备”； D 表示事件“同一工作日至少 3 人需使用设备”．
则 D＝A1BC＋A2B＋A2－B C， P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝Ci2×0.52，i＝0,1,2. 所以 P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2－B C) ＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2－B C) ＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(－B )P(C)＝0.31.
3．均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建 立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于 它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活 中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一 个热点问题．
【例2】 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件 三等品，从这10件产品中任取3件，求：
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝430＋470＋1120＝13210.
2．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株．设 甲、乙两种大树的成活率分别为23和12且各株大树是否成活互不 影响．求移栽的 4 株大树中，
(1)两种大树各成活 1 株的概率； (2)成活的株数 ξ 的分布列与期望．
的概率为 P(X＝k)＝Ck3CC31370－k(k＝0,1,2,3)． 所以随机变量 X 的分布列是
X
0
1
2
3
P
7 24
21 40
7 40
1 120
X 的数学期望 E(X)＝0×274＋1×2410＋2×470＋3×1120＝190.
(2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为 事件 A，“恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1，“恰 好取出 2 件一等品”为事wenku.baidu.com A2，“恰好取出 3 件一等品”为事 件 A3.由于事件 A1，A2，A3 彼此互斥且 A＝A1∪A2∪A3，而 P(A1) ＝CC13C13023＝430，P(A2)＝P(X＝2)＝470，P(A3)＝P(X＝3)＝1120，所 以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)
章末归纳整合
互斥事件、相互独立事件的概率及条件概率
1．互斥事件与相互独立事件的概率一般综合在一起进行考 查，这类问题具有一个显明的特征，那就是在题目的条件中已经 出现一些概率值，解题中先要注意判断事件的性质是互斥，还是 相互独立，然后选择相应的公式解题．
(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、 是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅当 事件 A 和事件 B 相互独立时，才有 P(AB)＝P(A)·P(B)．
【解析】设 Ak 表示甲种大树成活 k 株，k＝0,1,2， Bl 表示乙种大树成活 l 株，l＝0,1,2， 则 Ak，Bl 独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有 P(Ak)＝C2k23k132－k，P(Bl)＝Cl212l122－l. 据此算得 P(A0)＝19，P(A1)＝49，P(A2)＝49， P(B0)＝14，P(B1)＝12，P(B2)＝14. (1)所求概率为 P(A1B1)＝P(A1)·P(B1)＝49×12＝29.
2．条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，在学习 知识上起到了完备性的作用，在计算条件概率时，必须搞清楚 欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选 择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．
【例 1】 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设 备的概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立， 求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率．
方法点评：对立事件，互斥事件，相互独立事件是概率中 三个最重要的概念，也是容易混淆的概念，在学习中我们要仔 细体会，彻底搞清楚其具体含义，在具体的问题情景中辨别清 楚它们，只有这样我们才算学好了概率的基础知识．
1．(2017 年佛山月考)1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2
号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球
(2)A，B 中至少有一个发生：A∪B. ①若 A，B 互斥：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则不成立． ②若 A，B 相互独立，则概率的求法： 方法一：P(A∪B)＝P(AB)＋P(A－B )＋P(－A B)； 方法二：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1－P(－A )P(－B )．