高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (58)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (58)

一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

1.已知AB，CD是圆锥SO底面圆的两条相互垂直的直径，SA=AC，四棱锥S−ADBC的侧面积

为4√3，则圆锥的体积为()

A. 2√2

3π B. 2√3

3

π C. 4

3

π D. 4√2

3

π

2.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P−ABCD中，E，F分别是棱

AD，BP上的动点，且满足AE=2BF，则线段EF中点的轨迹是()

A. 一条线段

B. 一段圆弧

C. 抛物线的一部分

D. 一个平行四边形

3.在三棱锥A−BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A−BD−C的平

面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为

A. 7π

B. 8π

C. 16π

3D. 28π

3

4.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的

半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为()

A. 7π

B. 9π

C. 11π

D. 13π

二、填空题（本大题共15小题，共75.0分）

5.如图三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=2，

PA=PC=3，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为________．

6.如图，圆锥的顶点为S，母线SA、SB互相垂直，SA与圆锥底面所成的角

为30°，若△SAB的面积为2，则该圆锥的体积为________．

7.在直角边长为2的等腰直角△ABC中，点E、F分别在直角边AB、AC上(不含端点)，把△AEF绕

直线EF旋转，记旋转后A的位置为A′，则四棱锥A′−BEFC的体积的最大值为________．8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是_______．

①平面PB1D⊥平面ACD1；

②A1P//平面ACD1；

]；

③异面直线A1P与AD1所成角的范围是(0,π

3

④三棱锥D1−APC的体积不变．

9.在四棱锥P−ABCD中，PAB是边长为2√3的正三角形，ABCD为矩形，AD=2，PC=PD=√22.

若四棱锥P−ABCD的顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为_____．

10.在如图所示的六面体PABQC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，AB=

AC=CQ=BQ=2√2，BC=AQ=3，则该六面体的外接球的表面积

为________．

11.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结

构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即樟卯结构)啮合，外观看是

严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同

的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四校柱的底

面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，

若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱的高为______．

12.已知正四面体P−ABC的棱长均为a，O为正四面体P−ABC的外接球的球心，过点O作平行于

底面ABC的平面截正四面体P−ABC，得到三棱锥P−A1B1C1和三棱台ABC−A1B1C1，那么三棱锥P−A1B1C1的外接球的表面积为________．

13.在三棱锥A−BCD中，BC=CD=2，BC⊥CD，AB=AD=AC=√6，则三棱锥A−BCD的外

接球的体积为______．

14.在四面体ABCD中，△ABC和△ABD都是边长为2√2的等边三角形，该四面体的外接球表面积为

12π，则该四面体ABCD的体积为______．

15.由一圆锥和一半球体组成一个几何体，圆锥和半球的底面圆的半径均为3cm，而圆锥的体积是

半球体积的2

，这个几何体的表面积是________．

3

16.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm

的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与

蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为

______cm．

17.已知平面四边形ABCD由以BD为共同底边的两个三角形组成．其中，AB=AD=3√2，CB=

CD=2，且CB⊥CD.若以BD为折痕，将△ABD折起，使得平面ABD⊥平面BCD.此时，三棱锥A−BDC的四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为________．

18.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的外

接球的表面积为________．

19.已知正三棱锥P−ABC，点P，A，B，C都在半径为√3的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，

则球心到截面ABC的距离为______．

三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）

20.如图，在六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1//CC1，A1B=A1D，AB=AD．

求证：(1)AA1⊥BD；

(2)BB1//DD1．

21.如图所示，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为√2

a，D是棱A1C1的中点．

2

(1)求证：BC1//平面AB1D；

(2)求二面角A1−AB1−D的大小；

(3)求点C1到平面AB1D的距离．