武汉纺织大学2012年6月概率试题及答案

概率统计试题（2012,6） 一、 填空题(每题4分，共20分)

1. 设随机变量X 服从区间(a,b)上的均匀分布，即),(~b a U X ,则

___)(___,)(==X D X E

2. 设n X X X ,,, 21是来自总体X 的一个样本，

n x x x ,,, 21是这一样本的观察值，则样本平均值____=X , 样本方差____=2

S

3. 设事件A,B 相互独立，且 ,.)(,.)(4020==B P A P 则___)(=⋃B A P

4. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为

则________)(==+0Y X P

5. 一个盒子中有10个球，其中4个是白球，4个是黑球，2个是红球。现在从盒子中随机取3个球，取得的球中恰好2个白球的概率是______

二． 计算下列各题（每小题8分，共48分）

1. 将一枚硬币抛掷三次，用X 表示三次中正面出现的次数，用Y 表示三次中正面与反面出现的次数差的绝对值。试求(X,Y)的联合分布律及X 与Y 的边缘分布律。

2. 某汽车总站每隔3分钟发一趟车，乘客在3分钟内的任一时刻到达是等可能的，若以X 表示乘客的候车时间，求(1)乘客候车时间X 的概率分布；（2）乘客候车时间不超过2分钟的概率。

3. 设随机变量X 的概率密度 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000

3x x ke x f x ,,)( （1）确定常数k; (2)求X 的分布函数F(x )

4. 设随机变量X 在（1,6）上服从均匀分布，求方程012

=++Xx x 有

实根的概率。

5. 随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000

421x x xe x f x ,,)(，而随机变量Y 在区间(0,X)上服从均匀分布，试求 （1）X 和Y 的联合概率密度);,(y x f (2) Y 的边缘密度 ).(y f 2

6. 已知总体X 服从参数为θ的泊松分布，其分布律为

),,,,(,!

)( 2100=>=

=-x x e x X P x θθθ

n X X X ,,, 21是X 的随机样本，求：θ的极大似然估计量。

三． 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1.一顾客欲买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求 （1）顾客买此箱玻璃杯的概率α

(2) 在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没残次品的概率β （12分） 四．设总体),(~2σμN X ,假如要以0.9606的概率保证偏差10.||<-μX ,求：当2502.=σ时，样本容量n 应取多大？98030062.).(=Φ （10分）

五． 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。设所

有舍入误差是独立的且在].,.[5050-上服从均匀分布。若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

2012（上）概率论与数理统计（普本）期末考试答案

一．填空题（每题4分，共20分）

1．12)(,22a b b a -+ ； 2．21

1)(11,1X X n X n n

i i n i i --∑∑== ； 3． 0.52 ； 4．0.5； 5．3/10

二．计算下列各题（每小题8分，共48分）

2. 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它

0,3

x 0,31)x (f （2）32dx 31)2X (P 20==≤⎰ 3．解：

30

()13

x k

f x dx ke dx +∞+∞--∞

==

=⎰

⎰

K=3

330()0

x

e x

f x x -⎧>=⎨

≤⎩ 33310

()()00x

t x x

e dt e

x F x f t dt x ---∞-∞

⎧=->⎪=

=⎨

⎪≤⎩

⎰⎰

310

()0

0x e x F x x -⎧->=⎨

≤⎩即 4．解：因为X 的概率密度函数为：

;.

,06

1,

5

1

)(⎪⎩

⎪⎨⎧<<=其它x x f 所以 )||22042≥=≥=≥-X P X P X P （）（）（

⎰

=

6

2

51dx =5

4

5．解：（1）由题意知()⎪⎩⎪

⎨⎧<<==其他

,0

0,1

2x y x

x X y f

()()()x X y f x f y x f ==21,=⎩⎨

⎧<<-其他

，，0

042x y e x

（2）、()()⎰

∞

∞

-=

dx y x f y f ,2=⎪⎩⎪

⎨⎧≤>=⎰∞--0

002422y y e dx e y

y

x ，

，

6．解：似然函数L (θ)=

∏

∏==--∑=

=n

i n

i i

n x i x x e x e N

I I

i

1

1

!

!

1θ

θ

θθ

ln L = ∏∑==--n

i i n

i i x n x 1

1!ln ln )(θθ，01ln 1令=-=∑=n x d L d n

i i θθ 解出∑==n i i x n 11θ

所以θ的极大似然估计量X X n n

i i ==∑=1

1ˆθ

三．解：记A ={顾客买下所查看的一箱玻璃杯},i B ={箱中有i 件残次品} i =0，1，2 由题设知1：;1.0,1.0,8.0210===B B B

所以:19

12

)|(,54)|(,1)|(420418242041914204200======C C B A P C C B A P C C B A P