武汉纺织大学2012年6月概率试题及答案

概率统计试题（2012,6） 一、 填空题(每题4分，共20分)
1. 设随机变量X 服从区间(a,b)上的均匀分布，即),(~b a U X ,则
___)(___,)(==X D X E
2. 设n X X X ,,, 21是来自总体X 的一个样本，
n x x x ,,, 21是这一样本的观察值，则样本平均值____=X , 样本方差____=2
S
3. 设事件A,B 相互独立，且 ,.)(,.)(4020==B P A P 则___)(=⋃B A P
4. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为
则________)(==+0Y X P
5. 一个盒子中有10个球，其中4个是白球，4个是黑球，2个是红球。

现在从盒子中随机取3个球，取得的球中恰好2个白球的概率是______
二． 计算下列各题（每小题8分，共48分）
1. 将一枚硬币抛掷三次，用X 表示三次中正面出现的次数，用Y 表示三次中正面与反面出现的次数差的绝对值。

试求(X,Y)的联合分布律及X 与Y 的边缘分布律。

2. 某汽车总站每隔3分钟发一趟车，乘客在3分钟内的任一时刻到达是等可能的，若以X 表示乘客的候车时间，求(1)乘客候车时间X 的概率分布；（2）乘客候车时间不超过2分钟的概率。

3. 设随机变量X 的概率密度 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000
3x x ke x f x ,,)( （1）确定常数k; (2)求X 的分布函数F(x )
4. 设随机变量X 在（1,6）上服从均匀分布，求方程012
=++Xx x 有
实根的概率。

5. 随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000
421x x xe x f x ,,)(，而随机变量Y 在区间(0,X)上服从均匀分布，试求 （1）X 和Y 的联合概率密度);,(y x f (2) Y 的边缘密度 ).(y f 2
6. 已知总体X 服从参数为θ的泊松分布，其分布律为
),,,,(,!
)( 2100=>=
=-x x e x X P x θθθ
n X X X ,,, 21是X 的随机样本，求：θ的极大似然估计量。

三． 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1.一顾客欲买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。

求 （1）顾客买此箱玻璃杯的概率α
(2) 在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没残次品的概率β （12分） 四．设总体),(~2σμN X ,假如要以0.9606的概率保证偏差10.||<-μX ,求：当2502.=σ时，样本容量n 应取多大？98030062.).(=Φ （10分）
五． 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。

设所
有舍入误差是独立的且在].,.[5050-上服从均匀分布。

若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
2012（上）概率论与数理统计（普本）期末考试答案
一．填空题（每题4分，共20分）
1．12)(,22a b b a -+ ； 2．21
1)(11,1X X n X n n
i i n i i --∑∑== ； 3． 0.52 ； 4．0.5； 5．3/10
二．计算下列各题（每小题8分，共48分）
2. 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它
0,3
x 0,31)x (f （2）32dx 31)2X (P 20==≤⎰ 3．解：
30
()13
x k
f x dx ke dx +∞+∞--∞
==
=⎰
⎰
K=3
330()0
x
e x
f x x -⎧>=⎨
≤⎩ 33310
()()00x
t x x
e dt e
x F x f t dt x ---∞-∞
⎧=->⎪=
=⎨
⎪≤⎩
⎰⎰
310
()0
0x e x F x x -⎧->=⎨
≤⎩即 4．解：因为X 的概率密度函数为：
;.
,06
1,
5
1
)(⎪⎩
⎪⎨⎧<<=其它x x f 所以 )||22042≥=≥=≥-X P X P X P （）（）（
⎰
=
6
2
51dx =5
4
5．解：（1）由题意知()⎪⎩⎪
⎨⎧<<==其他
,0
0,1
2x y x
x X y f
()()()x X y f x f y x f ==21,=⎩⎨
⎧<<-其他
，，0
042x y e x
（2）、()()⎰
∞
∞
-=
dx y x f y f ,2=⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=⎰∞--0
002422y y e dx e y
y
x ，
，
6．解：似然函数L (θ)=
∏
∏==--∑=
=n
i n
i i
n x i x x e x e N
I I
i
1
1
!
!
1θ
θ
θθ
ln L = ∏∑==--n
i i n
i i x n x 1
1!ln ln )(θθ，01ln 1令=-=∑=n x d L d n
i i θθ 解出∑==n i i x n 11θ
所以θ的极大似然估计量X X n n
i i ==∑=1
1ˆθ
三．解：记A ={顾客买下所查看的一箱玻璃杯},i B ={箱中有i 件残次品} i =0，1，2 由题设知1：;1.0,1.0,8.0210===B B B
所以:19
12
)|(,54)|(,1)|(420418242041914204200======C C B A P C C B A P C C B A P
故（1）由全概率公式知 ∑=≈++==
=2
94.0)1912
54(1.08.0)|()()(i i
i B A P B P A P α （2）由贝叶斯公式知
8400000.)()
|()()()()|(≈==A P B A P B P A P AB P A B P
四．解： {}
9606.01.0=<-μX P ，即
{}
10606.259803.025.01.09606.0125.01.02/25.01.0/25.01.0=⇒=⇒=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛Φ⇒=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=<-n n
n n n n X P X P μμ
五．
∑==
-1500
1
5050i i i X
X U X ),.,.(~
(||15)(15)(15)
2222(1.34)0.1802
P X P X P X P >=>+<-=-<=-Φ=。