2016年四川省初中数学联赛初赛 初二组试题及答案
八年级数学竞赛试题及参考答案
八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其答案
2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷（4月10日 上午8：45—11：15）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ） A ．2.3元 B ．2.6元 C ．3元 D ．3.5元2．设关于x 的分式方程2222a a x x --=--有无穷多个解，则a 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个3．实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，且0abc >，则111a b c++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．正负不能确定4．若a ，b ，c 分别是三角形三边长，且满足1111a b c a b c+-=+-，则一定有（ ）A ．a =b =cB ．a =bC ．a =c 或b =cD ．a 2+b 2=c 25．已知如图，长方形ABCD ，AB ＝8，BC ＝6，若将长方形顶点A 、C 重合折叠起来，则折痕PQ 长为（ ）A ．152B ．7C ．8D ．1726．用三个2，能写出最大的数一定是（ ）A ．等于222 B ．等于222 C ．等于242 D ．大于1000 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．x 是实数，那么115x x x -++++的最小值是_________． 2．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这 个长方形的面积是_______．4．若△ABC 的三条中线长为3、4、5，则S △ABC 为____________． 三、（本大题满分20分）设有m 个正n 边形，这m 个正n 边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值．QP DCBA四、（本大题满分25分）现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子． 五、（本大题满分25分）已知如图：正方形ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于BD ，BE 交CD 于F ，求证：DE ＝DF ．FE D C B A2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛参考解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元。
2016年初二真题全国初中数学联赛决赛试题
激发兴趣 培养习惯 塑造品格学而思联赛团队2016全国初中数学联合竞赛试题（初二组）第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ） .A12 .B.C 1 .D2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ） .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3．如图，P 为ABC ∆内一点，070,BAC ∠=0120,BPC ∠=BD 是ABP ∠的平分线，CE 是ACP ∠的平分线，BD 与CE 交于F ,则BFC ∠= ( ).A 085 .B 090 .C 095 .D 01004．记11n S n =++则20162016S =（ ） .A 20162017 .B 20172016 .C 20172018 .D 201820175．点D 、E 、F 分别在ABC ∆的三边BC 、AB 、AC 上，且AD 、BF 、CE 相交于一点M ,若5,AB AC BE CF += 则AMMD= ( ) .A 72 .B 3 .C 52.D 2 6．设,,,a b c d 都是正整数，且5234,,319,a b c d a c ==-= 则2b ca d-= ( ) .A 15 .B 17 .C 18 .D 20二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且,15BAC DAC AB ∠=∠=,12.AD = 过顶点CA激发兴趣 培养习惯 塑造品格学而思联赛团队作CE AB ⊥于,E 则AEBE= .2．已知整数,,a b c 满足不等式22222112820,a b c ab b c +++<++则a b c +-= ____．3．若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 ．4．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .第二试一、（本题满分20分）如图，ABCD 为平行四边形，E 为BC 的中点，DF AE ⊥于F ,H 为DF 的中点.证明：CH DF ⊥．D激发兴趣 培养习惯 塑造品格学而思联赛团队二、（本题满分25分）设互不相等的非零实数,,a b c 满足：222,a b c b c a+=+=+ 求22222a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的值．三、（本题满分25分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值．。
2011-2013年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题及答案
2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、分式)0(≠++xyz zy x xyz中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。
（A ）2倍 （B ）4倍 （C ） 6倍 （D ） 8倍 答：选B 。
2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。
在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。
则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）．（A ）2b a + （B ） 2n m + （C ） b a bn am ++ （D ）n m bnam ++ 答：选D 。
3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）． （A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。
4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。
若60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）（A ）40 （B ）60 （C ）80 （D ）100答：作C 关于AD 的对称点C ’。
因为AD 是角平分线，则C ’一定落在AB 上。
由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，所以B D AC C ∠=∠=∠2'，又120180=∠-=∠+∠A C B ，故40=∠B ，选A 。
5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若ABO ∆的面积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。
（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10答：设x S ADO =∆。
由2:1:::===∆∆CDO ADO S S OC AO BC AD ，故x S CDO 2=∆，同理x S ABO 2=∆，x S CBO 4=∆，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。
2018年四川省初中数学联赛(初二组)初赛试卷
2018年四川初中数学联赛（初二组）初赛试卷（3月23日下午2：30─4：30或3月24日上午9：00─11：00）一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1．若a，b为实数，满足1111a ba b+-=-+，则（1+a+b）（1-a-b）的值是（）．（A）-1 （B）0 （C）1 （D）22．函数y=2x与函数y=18x的图象相交于A、B两点（其中A在第一象限），过A作AC•垂直于x轴，垂足为C，则△ABC的面积等于（）．（A）6 （B）9 （C）12 （D）183．在等腰Rt△ABC中，CA=CB=3，E是BC上一点，满足BE=2，P是斜边AB上的一动点，•则PC+PE长度之和的最小值是（）．（A（B（C）（D4．令a=0.123456789101112…998999，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2007位数字是（）（A）0 （B）4 （C）5 （D）65．设n为某一正整数，代入代数式n5-n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（）（A）7770 （B）7775 （C）7776 （D）77796．在凸四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=120°，AB=3，AD=（）（A（B）3 （C）（D）二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1．设p是正奇数，则p2除以8的余数等于_________．2．设a，b是整数，当时，代数式x2+ax+b的值为0，则a+b的值为________．3．在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于D，过M•作ME•⊥CB于E，则线段DE的最小值为________．4．已知等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24，则这样的三角形共有_______个．三、（本大题满分20分）1．已知一次函数y=ax+b的图象经过点A），B（-1，C（c，2-c）．求a-b+c的值．四、（本大题满分25分）已知x，y，z都为非负实数，满足x+y-z=1，x+2y+3z=4，记w=3x+2y+z．求w的最大值与最小值．五、（本大题满分25分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，满足EF=BE+DF ，AE 、AF 分别与对角线BD 交于M 、N ． （1）求证：∠EAF=45°； （2）求证：M N 2=BM 2+DN 2．N M F E D C B A。
2016初中数学联赛(初二组)初赛及答案
2016年全国初中数学联合竞赛（四川初二初赛）试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、A2、B3、D4、C5、A6、D二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、1275 8、1 9、6 10、13三、解答题（本题共三小题，第11题20分，第12、13题各25分，共70分）11、若关于x 的方程01)32()23(=-++++x n x m x 有无数多个解，求n m ,的值．解：原方程整理得：0132)123(=-++++n m x n m ， ………………5分由题意有：⎩⎨⎧=-+=++01320123n m n m ，………………………………………15分 解得⎩⎨⎧=-=11n m . ………………………………………………………20分12、已知实数a 、b 、c ，满足0≠abc 且0))((4)(2=----b a c b c a ，求b c a +的值． 解：因为222)())((2)()]()[(b a b a b c b c b a b c -+--+-=-+- （1）……5分222)())((2)()]()[(b a b a b c b c b a b c -+----=---（2）…………10分（1）-（2）得))((4)]()[()]()[(22b a b c b a b c b a b c --=-----+- 即：))((4)()2(22b a c b a c b c a ---=---+故0)2())((4)(22=-+=----b c a b a c b a c ， …………………20分即02=-+b c a ，故2=+bc a . …………………………………………25分 13、已知如图，在△ABC 中，C B ∠=∠2，且BD AB AC +=，求证：AD 是BAC ∠的平分线.证明1：延长AB 至G ，使BD BG =，则AC BD AB BG AB AG =+=+=， 所以ACG AGC ∠=∠； ………………………………5分又BDG BGD ∠=∠，所以ACB ABC AGD ∠=∠=∠21， 故DCG ACB ACG BGD AGC CGD ∠=∠-∠=∠-∠=∠；所以DC DG =； …………………15分又AD 是公共边，所以△AGD ≌△ACD ， …………………20分 所以CAD GAD ∠=∠，即AD 是BAC ∠的平分线.…………………25分证明2：作ABC ∠的平分线交AC 于E ，过D 作BE 的平行线交AC 于F ，交AB 的延长线于G ，则： 因为C ABC ∠=∠2，DF 平行BE ，所以FDC C EBC ∠=∠=∠，所以FD FC =，且ABC FDC C AFD ∠=∠+∠=∠…………5分 又BDG FDC C ABC ABE AGD ∠=∠=∠=∠=∠=∠21， 所以BG BD =，所以AC BD AB BG AB AG =+=+=， …………10分又ABC AFG C G ∠=∠∠=∠,，所以△AFG ≌△ABC ， …………………15分所以AB AF =，DB FC DF ==， …………………20分所以△ABD ≌△AFD ，故FAD BAD ∠=∠，即AD 是BAC ∠的平分线.……25分。
2016初二联赛试题与参考答案
。 ab 【答案】32. 1 1 2 4 8 16 。 2 4 8 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x16 ∴ a 16, b 16, a b 32 。 8．若实数 a, b 满足 2a 2 | b | 1 ，则 a 2 2 | b | 的取值范围为 【答案】 2 a 2 2 | b |
∴ n 14 或 7 或 2 或 5。
第二试（C）
一、（本题满分 20 分） 三只蚂蚁同时从点 A 出发，沿三角形道路 A B C A 爬行，已知第一只蚂蚁在
AB, BC , CA 上爬行速度分别为 12 厘米/秒，10 厘米/秒，15 厘米/秒；第二只蚂蚁在此三
段道路上的速度分别为 15 厘米/秒，15 厘米/秒，10 厘米/秒；第三只蚂蚁在此三段上的 速度分别为 10 厘米/秒，20 厘米/秒，12 厘米/秒。若三只蚂蚁同时回到 A 点，求 ABC 的 值。 解：记 AB c, BC a, CA b ， 则
由 2 x 2 y a ，可知 a 必为偶数， 又 1
22 为整数，所以 a 0, 4, 24, 20 。 a2
故选 C。 （ ）
2．定义运算 a b A.720 C.240 【答案】B。 代入求值的结果。
a ( a 1)( a 2) ( a b 2)( a 2 1
2016 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
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1 ∵ BE 平分 ABC ， ∴ ABE EBC ABC 29.5 。 2
又 BD BD, 故 ABD GBD 。……………………………………（10）
BAC 180 ABC ACB 180 59 30.5 90.5 ,
2016年全国初中数学联合竞赛(初二年级组)四川组试题参考答案
D. 3 ．
【答】A. ∵t
1 2 3 ，而 3 2 3 4 ，∴ a t 3 3 1 . 2 3
又∵ t 2 3 ，而 4 2 3 3 ，∴ b t (4) 2 3 . ∴
1 1 1 1 2 3 3 1 1 . 2b a 2(2 3) 2 2 2 3 1
1 1 k 1 1 1 1 ，故 1 2 2 k (k 1) k k 1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 3 3 4 n (n 1)2
所以 1
Sn 1
1 1 ( ∠ BPC ∠ A ) ＝ (120 70) 95 . 2 2 S 1 1 1 1 1 1 ，则 2016 ＝ 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 3 n (n 1) 2016
B. （ ）
2016 ． 2017
2017 ． 2016
2016 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在 评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
1 A E ( A B 2
A)D 1 3， . 5BE AB AE 1.5 ，所以
2 2 2
AE 13.5 9. BE 1.5
2．已知整数 a, b, c 满足不等式 a 2b c 211 ab 28b 20c ，则 a b c ＝_______． 【答】 2 . 因 为 整 数 a, b, c 满 足 不 等 式 a 2b c 211 ab 28b 20c ， 所 以 a 2b c 212
2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）试卷及其解答
2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）试卷及其解答2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）试卷（3月4日下午3:00——5:00）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。
将你选择的答案的代号填在题后的括号内。
每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、数轴上各点表示的数如图所示，那么a -的可能取值是（）A 、2-B 、CD 、22、关于x 的方程21324x x -++=，其所有解的和是（）B 、25-C 、35D 、1 3、若34()a b a b b b a =≠-，则2222232a ab b a ab b+--+的值是（） A 、3- B 、13- C 、15D 、54、如图所示，将一个长为a ，宽为b 的长方形（a b >），沿着虚线剪开，拼成缺一个小正方形角的大正方形（右图），则小正方形的边长为（） A 、2b B 、2a C 、2a b- D 、a b -5、一个等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两个部分，则该三角形的底长所有可能值为（）A 、4B 、6C 、12D 、412或6、已知正数m ，满足42710m m -+=，则1+的值为（）28分，每小题7分）本大题共有4小题，要求直接将答案写在横线上。
7、古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如下图），第1个“三角形数”是1，第2个是3，第3个是6，第4个是10，按照这个规律，第50个“三角形数”是.106318、若2310x x x+++=，则23201520161x x x x x++++++的值为.9、设12345m x x x x x=+++++++++，则m的最小值为。
10、如图，在△ABC中，∠C=90°，D点在BC边上，满足：BD=4，DC=5，若AB+AD=28，则AD等于 .三、解答题（本题共3小题，第11题20分，第12、13题各25分，满分70分）11、若关于x的方程322310()()x m x n x++++-=有无数多个解，求实数m n、的值.12、已知实数a b c、、，满足0abc≠且240()()()a cbc a b----=，求a cb+的值.B13、如图，在△ABC中，∠B=2∠C, 且AC=AB+BD. 求证：AD是∠BAC的平分线.CB2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）参考答案一、选择题：1、D 2、B 3、D 4、C 5、A 6、D 二、填空题：7、1275 8、 1 9、 6 10、 13 三、解答题：11题：解：由322310()()x m x n x ++++-=，整理为3212310()m n x m n ++++-=，∵ 方程有无数多个解∴32102310m n m n ++=??+-=? 解之，11m n =-??=? 12题：解：240()()()a c b c a b ----=222244440a c ac ab b ac bc +--++-= 22242440a c b ac ab bc +++--=220()a c b +-= ∴ 2a c b +=∵ 0abc≠ ∴2a cb+= 13题：（法一）延长AB 至E ，使AE=AC ，连结DE 、CE.∵ AE=AB+BE AC=AB+BD∴ BD=BE ∴ ∠BED=∠BDE 又∠ABD=∠BED+∠BDE即∠ABD=2∠BED∵ ∠ABD=2∠ACD ∴ ∠BED=∠ACD ①∵ AE=AC∴ ∠AEC=∠ACE ② 由①、②可得∠DEC=∠DCE ∴ DE=DC ∵AE AC AD AD DE DC =??=??=?∴ △AED ≌△ACD (SSS)∴ ∠DAE=∠DAC ∴ AD 是∠BAC 的平分线.（法二）延长DB 至E ，使BE=BA ，连结AE ∴ ∠E=∠EAB∵ ∠ABD=2∠E 又∵∠ABD=2∠C ∴ ∠E=∠C=∠EAB ∴ AE=AC EC∴ AC=BE+BD=DE∴AE=DE ∴∠EAD=∠EDA∵∠EAD=∠EAB+∠BAD ∠EDA=∠DAC+∠C∴∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠C∵∠C=∠EAB∴∠BAD=∠DAC ∴ AD是∠BAC的平分线.。
2016年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷
2016年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷（考试时间：2016年3月4日下午3：00—5：00）班级：: 姓名： 成绩：一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、数轴上各点表示的数如图所示，那么a -的可能取值是（ ） A 、2- B 、2- C 、2 D 、22、关于x 的方程42312=++-x x ，其所有解的和是（ ） A 、1- B 、52-C 、53D 、1 3、若()b a a b bb a ≠-=43，则2222232b ab a b ab a +--+的值是（ ） A 、3- B 、31- C 、51D 、54、如图所示，将一个长为a ，宽为b 的长方形()b a ，沿着虚线剪开，拼成缺一个小正方形角的大正方形，则小正方形的边长为（ ）A 、2bB 、2aC 、2ba -D 、b a - 5、一个等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两个部分，则该三角形的底长所有可能值为（ ）A 、4B 、6C 、12D 、4或12 6、已知正数m ，满足01724=+-m m ，则mm 1+的值为（ ） babbA 、2B 、5C 、7D 、3 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如下图），第1个“三角形数”是1，第2个是3，第3个是6，第4个是10，按照这个规律，第50个“三角形数”是 .8、若0132=+++x x x ，则20162015321x x x x x ++++++ 的值为 . 9、设|5||4||3||2||1|+++++++++=x x x x x m ，则m 的最小值为 .10、如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，D 点在BC 边上，满足：4=BD ，5=DC ，若28=+AD AB ，则AD 等于 .三、（本大题满分20分）11、若关于x 的方程()()013223=-++++x n x m x 有无数多个解，求实数m 、n 的值。
(整理)初二初赛参考解答与评分标准
2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、分式)0(≠++xyz zy x xyz中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。
（A ）2倍 （B ）4倍 （C ） 6倍 （D ） 8倍 答：选B 。
2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。
在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。
则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）．（A ）2b a + （B ） 2n m + （C ） b a bn am ++ （D ）nm bnam ++ 答：选D 。
3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）． （A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。
4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。
若60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）（A ）40 （B ）60 （C ）80 （D ）100答：作C 关于AD 的对称点C ’。
因为AD 是角平分线，则C ’一定落在AB 上。
由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，所以B D AC C ∠=∠=∠2'，又120180=∠-=∠+∠A C B ，故40=∠B ，选A 。
5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若A B O ∆的面积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。
（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10答：设xS ADO=∆。
由2:1:::===∆∆C D O A D O S S OC AO BC AD ，故x S C D O2=∆，同理x S ABO 2=∆，x S CBO 4=∆，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。
八年级数学竞赛例题专题讲解5：和差化积--因式分解的应用初二数学试题试卷
⼋年级数学竞赛例题专题讲解5：和差化积--因式分解的应⽤初⼆数学试题试卷专题05 和差化积——因式分解的应⽤阅读与思考：因式分解是代数变形的有⼒⼯具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、⼀元⼆次⽅程等知识的基础，其应⽤主要体现在以下⼏个⽅⾯：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定⽅程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常⽤到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)xx x x x +=++-+;2. 42241(221)(221)xx x x x +=++-+;3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±；4.1(1)(1)ab a b a b ±-=± ；5. 3332223()()ab c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220aab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ .（全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代⼊关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A . －1B ．－1或－7C ．1 D.1或7（江苏省竞赛试题）解题思路：运⽤因式分解，从变形条件等式⼊⼿，在字母允许的范围内，把⼀个代数式变换成另⼀个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、⽅程和函数的重要⼯具，换元、待定系数、配⽅、因式分解⼜是恒等变形的有⼒⼯具．求代数式的值的基本⽅法有； (1)代⼊字母的值求值； (2)代⼊字母间的关系求值； (3)整体代⼊求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+- （“希望杯”邀请赛试题）（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨⽤字母表⽰数，通过对分⼦、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列⽅程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题）(2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题）解题思路：不定⽅程、⽅程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察⽅程、⽅程组的特点，利⽤整数解这个特殊条件，从分解因式⼊⼿．解不定⽅程的常⽤⽅法有：(1)穷举法； (2)配⽅法； (3)分解法； (4)分离参数法．⽤这些⽅程解题时，都要灵活地运⽤质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b+．解题思路：先分解因式再代⼊求值.【例6】⼀个⾃然数a 恰等于另⼀个⾃然数b 的⽴⽅，则称⾃然数a 为完全⽴⽅数，如27＝33，27就是⼀个完全⽴⽅数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是⼀个完全⽴⽅数．（北京市竞赛试题）解题思路：⽤字母表⽰数，将a 分解为完全⽴⽅式的形式即可．能⼒训练A 级1. 如图，有三种卡⽚，其中边长为a 的正⽅形卡⽚1张，边长分别为a ，b 的长⽅形卡⽚6张，边长为b 的正⽅形卡⽚9张，⽤这16张卡⽚拼成⼀个正⽅形，则这个正⽅形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题）3．⽅程25510x xy x y --+-=的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题）4. 如果2(1)1x m x -++是完全平⽅式，那么m 的值为__________．（海南省竞赛试题）5. 已知22230xxy y -+=(0≠xy )，则x yy x+的值是( )． A ．2，122 B ．2 C ．122 D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433xxy x y x y xy y ---++的值为( )．A . －1B ．0C ．2D ．17．已知a b c ＞＞，22222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的⼤⼩关系是( )．A . M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．n 为某⼀⾃然数，代⼊代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A . 388944B .388945C .388954D .388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--?? （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. ⼀个⾃然数a 恰好等于另⼀个⾃然数b 的平⽅，则称⾃然数a 为完全平⽅数，如64＝82，64就是⼀个完全平⽅数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是⼀个完全平⽅数．（北京市竞赛试题）11.已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成⽴.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则2n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3.已知正数a ，b ，c 满⾜3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题）4．在⽇常⽣活中如取款、上⽹等都需要密码，有⼀种⽤“因式分解”法产⽣的密码，⽅便记忆．原理是：如对于多项式4 4xy -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“018162”作为⼀个六位数的密码，对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10时，⽤上述⽅法产⽣的密码是：__________．（写出⼀个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a ，b ，c 是⼀个三⾓形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )．A .恒正B ．恒负C ．可正可负D ．⾮负(太原市竞赛试题)6．若x 是⾃然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．A . y ⼀定是完全平⽅数B ．存在有限个x ，使y 是完全平⽅数C . y ⼀定不是完全平⽅数D ．存在⽆限多个x ，使y 是完全平⽅数7．⽅程2223298xxy x --=的正整数解有( )组．A .3B ．2C ．1D ．0 （“五⽺杯”竞赛试题）8．⽅程24xy x y -+=的整数解有( )组．B ．4C ．6D .8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？（美国中学⽣数学竞赛试题）10．当我们看到下⾯这个数学算式333337133713503724372461++==++时，⼤概会觉得算题的⼈⽤错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动⼿计算⼀下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，…你能发现以上等式的规律吗？11.按下⾯规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充⼀个新数，⽽以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则⼜可扩充⼀个新数，…每扩充⼀个新数叫做⼀次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最⼤新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22,ab 整除所得的商分别为m ，16+m .(1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质；(2)当a ，b 互质时．求k 的值；( 3)若a ，b 的最⼤公约数为5，求k 的值．（江苏省竞赛试题）。
四川省八年级数学联赛初赛试题
一 ．选择题(每小题7分，共42分)1 ．若x ＜1，则化简|x －1|得( )．A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．－x ＋12 ．已知(x ＋a)(x －b)＝x 2＋2x －1，则ab 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．23 ．若a ＜0，p ＞q ＞0，则( )．A ．|pa|＞|qa|B ．|pa|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝，则AB ＝( )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD 的长等于＿＿＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．四．(本大题满分25分)12．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．求证：BC＝AC＋AD．五．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A和B两组．若把10从A组转移到B组．则A、B两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数．2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷(参考答案与评分标准) (3月16日下午4:00－6:00)一．选择题(每小题7分，共42分)1．若x＜1，则化简|x－1|得( D )．A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋12．已知(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，则ab等于( C )．A．－2 B．－1 C．1 D．23．若a＜0，p＞q＞0，则( A )．A ．|pq|＞|qa|B ．|pq|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( C )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( B )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝则AB ＝( A )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿2a c＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿10＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿14＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD ＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四 ．(本大题满分25分)12 ．在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线．求证：BC ＝AC ＋AD ．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， ……5分则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠，故DB A B '∠=∠， ……15分所以B A D A AD ''==， ……20分 故AD AC B A C A BC +=+=''． ……25分五 ．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A 和B 两组．若把10从A 组转移到B 组．则A 、B 两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：A'D C A B⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分2012年四川初中数学竞赛(初二组)初赛参考解答与评分标准一、选择题（每小题7分，共42分）1． D 2．C 3．A 4． C 5．B 6．A二、填空题（每小题7分，共28分）1． 2a c 2．10 3．144三、（本大题满分20分）已知直线y kx b =+经过点(1,1)A 和点(1,3)B -，且与x 轴、y 轴的交点分别为,C D ,设O 为坐标原点．求COD ∆的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分 于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分 所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四、（本大题满分25分）在ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：AD AC BC +=．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， (5)则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠， 故DB A B '∠=∠， 所以B A D A AD ''==， 故AD AC B A C A BC +=+=''．五、（本大题满分25分）把1到15的15个自然数分成A 和B 两组，若把10从A 组转移到B 组，则A 、B 两组数的平均数都分别比原来减少了21．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分。
2016年全国初中数学联赛(四川初赛)试卷及评分细则(初三word版)
2016年全国初中数学联赛（四川初赛）试卷（考试时间：2016年3月4日 下午3：00--5:00)题 号 一 二 三 四 五 合 计 得 分 复核人一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数b a ,满足3123=+-+++-a a b a ，则b a +等于（ ） ()A 1- ()B 2 ()C 3 ()D 52、如图，点E D ,分别在ABC ∆的边AC AB ,上，CD BE ,相交于点F , 设四边形CEFBCF BDF EADF ∆∆∆,,,的面积分别为4321,,,S S S S ,则 31S S 与42S S 的大小关系为（ ）()A 4231S S S S < ()B 4231S S S S = ()C 4231S S S S > ()D 不能确定 3、对于任意实数d c b a ,,,，有序实数对()b a ,与()d c ,之间的运算“⊗”定义为：()b a ,⊗()d c ,=()bc ad bd ac +-,。
如果对于任意实数n m ,，都有()n m ,⊗()y x , =()m n -,， 那么()y x ,为（ ）()A ()1,0 ()B ()0,1 ()C ()0,1- ()D ()1,0- 4、如图，已知三个等圆⊙1o 、⊙2o 、⊙3o 有公共点o ，点A ,C B , 是这些圆的其他交点，则点o 一定是ABC ∆的（ ）()A 外心 ()B 内心 ()C 垂心 ()D 重心5、已知关于x 的方程()02422=----k x x 有四个根，则k 的取值范围为（ ）()A 01<<-k ()B 04<<-k ()C 10<<k ()D 40<<k6、设一个宽度为W 的小巷内搭梯子，梯子的脚位于P 点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。
将梯子的顶端放于一堵墙的Q 点时，Q 离开地面的高度为k ，梯子的倾斜角为045，将梯子 的顶端放于另一堵墙的R 点时，R 离开地面的高度为h ，且此时梯子的倾斜角为075，则小巷的宽度W 等于（ ）()A h ()B k ()C hk ()D 2kh + 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 7、化简3232-++的值为 。
全等难题倍长中线法版
最新资料推荐第二讲全等三角形与中点问题中考要问题知识点睛三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理式），尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.（以后还要学习中线长公J1最新资料推荐重、难点重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法难点：全等三角形的综合运用例题精讲版块一倍长中线9AC AB 5,BCABCAD的长的取值范围是中，边上的中线，则年通化市中考题1【例】（ 2002）在厶什么?1中，【补充】已知：是中线.求证：.ABC AM）AC AM （AB_ 2ABCM的，点年巴中市高中阶段教育学校招生考试）已知：如图，梯形中，是2008【例2】（CD II ABCDBCADE ..求证：的延长线与中点，的延长线相交于点FDE BCE幻ADBEF DAFEBC2............................................ 最新资料推荐 .................................... ，在中，是边的中点，湖州市浙江省2008年初中毕业生学业考试（）数学试卷）如图，【例3】（BC ABCFD及其延长线上的点，•求证：•分别是CDFCF II BE BDE幻ADE AFCBD E［例4DAB ABCDACABvACv AD AFEBCD G•如图，】中，，是中线•求证:，交边上的中线，是上一点，延长于，是中，5【例】如图，已知在AC ABCBCBEADEADEFAF F求证：.BEAC AFEBDC最新资料推荐，分别是、，中，、上的中线，且【例6】如图所示，在和CC BC ABAAC ABCBCBADAB ADA 求证CB A ABC 也 D AAD AA'CBC'B'DD'EE'，交中点，交的延长线于点如图，在中，交于点，点是】【例7 CA ABCBCBCEFEFE II ADADFD的角平分线．为于点，若，求证：ABCCFG BG AD FAGBCDE．求证：、交于，已知为的中线，的平分线分别交于【例8】ACABC ADC EADABF ADB ．EF BE CF AEFBDC4............................................. 最新资料推荐..................................... 以且.、的中点，点、分别为上的点，，【例9】在中，点为ACBCABC A 90 Rt FDEEDAB FD 为边能否构成一个三角形？若能， 该三角形是锐角三角形、 直角三角形或钝角、、线段FCEFBE 三角形？ AFECBD分别在边是斜边的中点，、中，）【例10】（年四川省初中数学联赛复赛•初二组在ABC2008Rt EABDF 上，满足、.， _____________ .若的长度为，则线段3 CACB DFE90AD5............................................ 最新资料推荐 ..................................... 的中点,【例 11】 如图所示，是 CDAB ACAM BAC DAE 90AE BEADMAEMBCD2222，求证，如果的中点,10】 如图所示，在中，是垂直于【例DNBMDM CN DNBC ABCDMD1222. AC ABAD — 4AMNDCBDE 4BE，，求证.，版块二、中位线的应用1 •是的中线，的中点，的延长线交于•求证：ACABC EADBFADFAC AE_ 3AEFCBD,,使，延长中，【例13】如图所示，在到的中点，连接为、，CD CEACABCAB求证.EC CD2 AEBCD6............................................ 最新资料推荐..................................... EFE、F分别是AD、BC的中点，EF交<14【例】已知：ABCD是凸四边形, > / GNM . GMN，AC 和BD 交于G 点. 求证：/于N AAEDMHGNBBCF1的中点，求证：，中，在，是为底作等腰直角，以【例15】CD ABC ACB 90-2 且.BEAE EBAE DECAB.求证：在五边形中，为的中点•图，16【例】如CD90 AED BAC EADABCDE ABCEF BFF ABECFD ［例12 是ABABEABDBDBD交AC于M ; L ACBD .BCDBC EBCAC79最新资料推荐为斜边作等腰直最新资料推荐 ，的一点如图所示, 是内试数学竞赛题，中国国家集训队试题)祖【例17】(“冲之杯” ABC P 的中点，求证•作，过于，于，为 BCPM ACPL PAC PBCDLDMABP DML CMLPBAD，、为中，的中点，分别延长、到点全国数学联合竞赛试题【例 18】()如图所示，在CBCA ABCEABFD 、的中点分别为设线段、的垂线， •使过、分别作直线、相交于点，CBCAPE DFDEMPAFPB .求证：N ; 1() FDN 幻 DEM (2) . PBFPAE CBDAEFP的延长，中，、分别是、、和的中点，知，如图四边形19【例】 已BCADBCABCDCD EFABEADF 求证：.两点.线分别交于、BNE NAME MNMFCDAEB8............................................ 最新资料推荐 ，的)已知：在中， 动点绕业年大兴安岭地区初中毕业学考试】 ............................... 【例20 ( 2009ACBC ABC ABCD 、与直线过、的中 点、作直线，直线顶点逆时针旋转，且，连结.BC ADDCDCADABAEFEF、分别相交于点.NBCM MNMD)NF(DCCFCFDNHMABBEEAABE3图图12图、的中点，连结旋转到的延长线上时， 点恰好与点重合，取⑴如图1,当点ACBCNHEHDF .(，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论不需证明)BNE AMF HF 有何数量关系？请分别写岀猜想，并任与或图 3中的位置时，⑵ 当点旋转到图2BNE AMF D 选一种情况证明.1 =FM . ACACDECD ，BC=，F 为的中点，FM 丄.证明：ABAECDBCABAE 女口】【例 21 图, 丄，丄，且 =一 2EFEDBAACHM角三角形ACABC中，分别以AB、【例22】（1991年泉州市初二数学双基赛题）已知：在厶的中点.求证：PM = PNPABM，和CAN，是边BC AMPCBN家庭作业作，，且的中点，中，【习题1】如图，在等腰，是过BC AC ABCABDFAE DEAFA AFDAE .求证：FDC EDB AEFCBD于，延长边上的中线，是是上一点，且交中，】【习题2如图，已知在ACACBEABC BCBEADEAD 相等吗？为什么？与，EFAFF AFEBCD10............................................ 最新资料推荐..................................... 边的中点.求证：.为如右下图，在中，若，，【习题3】BC B 2 CBCAD ABCDEAB E2ACDEB11月测备选 EBC 的延长线于，F . BD , AD=BC , O 是中点，过 0点的直线分别交 DA 、与，，，中，【备选2】如图，，是中点，与交于 BC90 ABCAB AC BAC FDAB EDFDEEDD .求 证：，. 交于 CF ACAEAFBE FAFEDBCDC1【备选】如图，已知 AB=求证:。
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1 3
b A、 2
a B、 2
ab C、 2
a b b b
b
5、一个等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成 15 和 9 两个部分，则该三角形的底长所有可能值为 （ ） A、 4 B、 6
4
C、12
D、 4或12
6、已知正数 m ，满足 m A、 2
∴
AD 是∠BAC 的平分线.
A
（法二）延长 DB 至 E，使 BE=BA，连结 AE
∴ ∠E=∠EAB ∵ ∠ABD=2∠E 又∵∠ABD=2∠C ∴ ∠E=∠C=∠EAB ∴ AE=AC E ∵ AC=AB+BD BE=BA ∴ AC=BE+BD=DE ∴ AE=DE ∴ ∠EAD=∠EDA ∵ ∠EAD=∠EAB+∠BAD ∠EDA=∠DAC+∠C ∴ ∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠C ∵ ∠C=∠EAB ∴ ∠BAD=∠DAC ∴ AD 是∠BAC 的平分线.
c )2 4(b c )( a b ) 0 ，
求
ac 的值. b
13、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C, 且 AC=AB+BD. 求证：AD 是∠BAC 的平分线.
A
B
D
C
2
2016 年全国初中数学联赛（四川初二初赛）参考答案
一、选择题（本大题满分 42 分，每小题 7 分） 1 D 2 B 3 D 4 C 5 A 6 D
A B
即
∠ABD=2∠BED ∵ ∠ABD=2∠ACD ∴ ∠BED=∠ACD AE=AC
①
D
C
∵
E
3
∴ ∠AEC=∠ACE 由 ①、②可得 ∠DEC=∠DCE ∴ DE=DC
②
AE AC ∵ AD AD DE DC
∴ ∠DAE=∠DAC
∴ △AED≌△ACD (SSS)
2
C、
2
D、 2
2、关于 x 的方程 A、 1
2 x 1 3x 2 4 ，其所有解的和是
B、
（
）
2 5C、ຫໍສະໝຸດ 3 5D、1a 2 ab 2b 2 a 3b 3、若 ( a b) ，则 2 a 3ab 2b 2 b 4b a
A、 3 B、
的值是
（
）
1 D、 5 5 4、如图所示，将一个长为 a ，宽为 b 的长方形（ a b ） ，沿着虚线剪开，拼成缺一个小正方形角的大正
7m 2 1 0 ，则 m
C、
1 的值为 m
（
）
B、
5
7
D、 3
二、填空题（本大题满分 28 分，每小题 7 分）
本大题共有 4 小题，要求直接将答案写在横线上。 7、古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数” （如下图） ，第 1 个“三角形数”是 1，第 2 个是 3，第 3 个是 6，第 4 个是 10，按照这个规律，第 50 个“三角形数”是
a 2 c 2 4b 2 2ac 4ab 4bc 0
( a c 2b )2 0
∴ ∵ ∴
a c 2b abc 0
ac 2 b
13 题： （法一）延长 AB 至 E，使 AE=AC，连结 DE、CE.
∵ AE=AB+BE AC=AB+BD ∴ BD=BE ∴ ∠BED=∠BDE 又 ∠ABD=∠BED+∠BDE
1
.
1
8、若1
3
6
10
x x 2 x 3 0 ，则1 x x 2 x3
x 2015 x 2016 的值为
，则 m 的最小值为 。
.
9、设 m
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
10、如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 点在 BC 边上，满足：BD=4，DC=5，若 AB+AD=28， 则 AD 等于 .
2n 1) x 2m 3n 1 0 ，
∵ 方程有无数多个解 ∴
3m 2n 1 0 2m 3n 1 0
解得，
m 1 n 1
12 题：解： ( a c )2 4(b c )( a b ) 0
a 2 c 2 2ac 4ab 4b 2 4ac 4bc 0
二、填空题（本大题满分 28 分，每小题 7 分）
7、1275 8、 1 9、 6 10、 13
三、解答题（本题共 3 小题，第 11 题 20 分，第 12、13 题各 25 分，满分 70 分） 11 题：解：由 (3 x 2)m ( 2 x 3)n x 1 0 ，
整理为 (3m
A
B
三、解答题（本题共 3 小题，第 11 题 20 分，第 12、13 题各 25 分，满分 70 分）
11、若关于 x 的方程 (3 x 求实数 m 、n 的值.
D
C
2)m ( 2 x 3)n x 1 0 有无数多个解，
12、已知实数 a、b、c ，满足 abc 0 且 ( a
2016 年全国初中数学联赛（四川初二初赛）试卷 （3 月 4 日 下午 3:00——5:00）
一、选择题（本大题满分 42 分，每小题 7 分）
本题共有 6 个小题，每题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。将 你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得 7 分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不 论是否写在括号内） ，一律得 0 分。 1、数轴上各点表示的数如图所示，那么 a 的可能取值是 A、 2 B、 （ ）
B
D
C
4