求线段最值
初三数学两之间线段最短求最值四大类型
两之间线段最短求最值四大类型【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
【方法技巧】模型一“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l 的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P 三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．模型二“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．模型三“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．【典例分析】【典例1-1】基本模型问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；二证：验证当A，P，B'三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例1-2】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|P A ﹣PB|的值最大．解题思路：一找：连接AB并延长，交直线l于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-3】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP 的值最小．解题思路：一找：连接AB交直线l于点P；二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-4】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|P A﹣PB|的值最大．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线于点P；二证：验证当A，B'，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB 边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为．【变式1-4】结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC 的最小值为．【典例2】模型分析问题：点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N 的位置，使△PMN的周长最小．解题思路：一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P“，连接P'P“，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小．三计算．注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝°；（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【变式2-2】如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为．【典例3】模型分析问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小．解题思路：一找：作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，Q′四点共线时，四边形PQNM的周长最小．三计算．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC 边上，则四边形EFGH周长的最小值为．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为．【典例4-1】基本模型问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边．构造▱AMNA′，作点A′关于直线l的对称点A“，连接A “B，交直线l于点N，再确定点M；二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例4-2】模型演变问题：如图，直线a∥b，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造▱AMNA′，连接A'B；二证：验证当A'，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB方向平移得到△A'B'D'，连接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
例谈求线段最值的方法
例谈求线段最值的方法几何最值问题属于中考题中的热点问题，也是难点问题，其中，求线段的最值问题是近年常见的题型.下面结合一些实例谈谈解决此类问题的方法.一、轨迹法对于线段最小值问题，若线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，可以考虑轨迹法，即考虑动点的轨迹.若动点的轨迹是一条直线，可以用“垂线段最短”原理解决;若动点的轨迹是圆(或一段圆弧)，可以用“圆最值模型”解决.圆最值模型如图1, P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点,A B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离, PB是点P到⊙O上的点的最长距离.PC OC.证明如图1，在⊙O是任取一点C(不为,A B)，连结,Q,<+=+=+,P O P C O C P O P A O A P A O C∴<,P A P C即PA是点P到⊙?O上的点的最短距离.PD OD.如图2，在⊙O是任取一点D(不为,A B) ,连接,Q,+>=+=+,PO OD PD PB PO OB PO OD∴>,PB PD即PB是点P到⊙O上的点的最长距离.例1 (2016年无锡市中考题)如图3，已知平行四边形OABC的顶点,A C分别在直线x=上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为.x=和41解析 如图3，设直线1x =和x 轴交于点E .作BF ⊥直线4x =点F ，因为平行四边形OABC ，所以OA 和BC 平行且相等，可得AOE ∆和CBF ∆全等，所以OE BF =，可得点B 的轨迹是直线5x =.当点B 在x 轴上时，OB ⊥直线5x =，此时OB 最小，最小值为5.例2 (2016年安徽省中考题)如图4,Rt ABC ∆中，,6,4,AB BC AB BC P ⊥==是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，则线段CP 长的最小值为( )(A) 32 (B) 2 (c)解析 根据PAB PBC ∠=∠，可得90APB ∠=︒，故点P 在以AB 为直径的圆上(如图4).取AB 的中点,O OC 交⊙O 于点P ,根据圆最值模型知此时CP 最小.13,52OP AB OC ===Q ， 所以CP 的最小值为532OC OP -=-=, 选B.二、构造法对于线段最大值问题，若线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，但动点轨迹难确定，可以考虑构造法，即找一个定点，当这三点共线时，线段最大.例3 如图5，平面直角坐标系中，已知矩形,2,1ABCD AB BC ==，点A 和B 分别在x 轴正半轴和第一象限角平分线上滑动，点C 在第一象限，求OC 的最大值.解析 如图5，取AOB ∆外接圆的圆心I ,因为2AB =是确定的，且45AOB ∠=︒也是确定的，所以AOB ∆外接圆是确定的.那么线段OIBIC ∆是确定的，135,1IBC BI BC ∠=︒=，可解三角形得CI =所以当,,O I C三点共线时，线段OC 取得最大值，即为OI CI + 三、转化法对于线段最值问题，若线段的两个端点都是动点，可以考虑运用转化法，将它转化为求与之有关的另一条线段的最值.例4 (2016年三明市中考题)如图6，在等边ABC ∆中，4AB =，点P 是BC 边上的动点，点P 关于直线,AB AC 的对称点分别为,M N ，则线段MN 长的取值范围是 .解析 如图6，连结,,AP AM AN ，由对称可得,AP AM AN BAP MAB ==∠=∠，CAP NAC ∠=∠,所以2120MAN BAC ∠=∠=︒，所以AMN ∆是顶角为120°的等腰三角形，可得MN ==.于是求线段MN 长的取值范围，就转化为求线段AP 长的取值范围.AP 最小为AP 垂直BC 时，最大为AB ，所以AP 的取值范围是4AP ≤≤，所以MN 的取值范围是6AP ≤≤ 四、函数法当线段最值问题从几何角度很难求解的时候，可以考虑引入参数，建立函数模型，用函数法来解决.例5 如图7，在ABC ∆中，2AB AC BC ===,点P 是AB 边上的动点(不与点,A B 重合).过点P 作//PE BC 交AC 于点E ，作P F B C ⊥于点F ，连结,EF M 是EF 上的点，且2EM FM =，则PM 的最小值是 .解析 由条件“2AB AC BC ===”可知ABC ∆是确定的，tan 2B =;又根据作图可知PBF ∆形状也是确定的，PF 二2BF,并且有2PF BF =.所以，分析可得PM 的大小取决于BF 的大小，所以引入参数.设BF x =，则2PF x =,22PE x =-.加图7，作MN PF ⊥于点N .2EM FM =Q ,122333MN PE x ∴==-,2433PN PF x ==, 在Rt PMN ∆中，222224()()333PM x x =-+， 化简得2220116()9545PM x =-+.所以当15BF =时，PM。
几何专项——线段最值问题
1 / 14线段最值问题一、将军饮马问题作法图形原理在直线l 上求作点P ，使PA ＋PB 最小．连接AB ，与l 交点即为P.两点之间，线段最短． PA ＋PB 最小值即为AB 长．在直线l 上求一点P ，使AP BP +最短将A 对称到'A ，连接'A B ，与l 的交点即为点P两点之间，线段最短.'AP BP A B +=在直线12l l 、上分别求点M N 、，使PMN △周长最小分别将点P 关于两直线对称到'''P P 、，连接'''P P 与两直线交点即为M N 、两点之间，线段最短.'''PM MN PN P P ++=在直线l 1、l 2上分别求点M N 、，使四边形PMNQ 周长最小将P Q 、分别对称到P ′、Q ′，连接''P Q 与直线的交点即为M N 、两点之间，线段最短.''PM MN NQ P Q ++=直线l 1∥l 2，在l 1、l 2上分别求点M N 、，使MN ⊥l 1，且AM ＋MN ＋NB 最小．将点A 向下平移MN 的长度 得A ′，连接A ′B ，交l 2于点N ，过点N 作MN⊥l 1于点M.两点之间，线段最短. AM ＋MN ＋NB 的最小值为A ′B+MN ．2 / 14在直线l 上求两点M N 、（M在左），使得MN =a ，并使AM MN NB ++最短将B 向左平移a 个单位到B ′，对称A 到A′，连接A′B′与l 交点即为M ，右平移a 个单位即为N.两点之间，线段最短.AM MN NB ++的最小值为A′B′+MN .在OA 上求点M ，在OB 上求点B ，使PM+PN 值最小.作点P 关于OA 的对称点P ′，作P ′N ⊥OB 于点N ，交OA 于点M.点到直线，垂线段最短.PA+AB 的最小值为线段P ′N 的长.P ，Q 为OA ，OB 的定点，在OA ，OB 上求作点M ，N ，使PN ＋NM ＋MQ 的值最小．作点P 关于OA 的对称点P ′，作点Q 关于OB 的对称点Q ′，连P ′Q′交OA 于点M ，交OB 于点N.两点之间，线段最短. PN ＋NM ＋MQ 最小值为线段P′Q′的长．在直线l 上求作点P ，使|PA －PB|的值最小．连AB ，作AB 的垂直平分线与直线l 的交点即为P.垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.|PA －PB|最小为0.在直线l 上求作点P ，使|PA －PB|的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P.三角形任意两边之差小于第三边. |PA －PB|最大值即为AB 长．在直线l 上求点P ，使AP BP -最大 作点B 关于l 的对称点B ′，作直线'AB ，与l 的交点即为点P .三角形任意两边之差小于第三边. |AP −BP |最大值即为AB′.3 / 14二、垂线段最值问题作法图形原理在直线l 上求作点P ，使线段AP 的值最小． 过点A 作AP ′⊥l于点P ′.连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短． AP ′即为最小值.三、轨迹问题问题作法图形原理如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值是________.由翻折得到，DF=DB=3.所以点F 在以点D 为圆心以3为半径的圆上.连接A 与圆心D ，AD 与圆的交点即为F'所以AF 的最小值是AD-DF'=5-3=2.利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________.取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小时，DH的长度最小．值为其他两线段之差.4/ 14巩固练习类型一、将军饮马问题1.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=8，CD=2，点P是AB上的一的动点，求：PC+PD的最小值。
求线段(或线段和)(周长)最值问题
求线段（或线段和）（周长）最值问题福建莆田月塘中学潘立城中考数学压轴题中常出现有关几何最值问题，很多同学不知如何想，无从下手，感到这类题目很难，应该是尖子生同学做的题目，与我们这些一般生无关，避而远之。
这类题目很多，内容丰富，涉及面广，解法灵活多样，就像孙悟空七十二变，变化多端。
孙悟空再怎么变化，也跑不出如来佛的“手掌心”。
解几何最值的“手掌心”是什么呢？：撑握了如来佛的这一法宝，有关几何最值的各种“妖魔鬼怪”题都能解答。
一、“手掌心”法宝:三角形中两边之和大于第三边特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律找关键点：定点，中点，圆心。
④线段的转移特征：“定”点在“定”直线上⑤二次函数最值特征：有“表达式”①垂线段最短②两点间线段最短“弯”线变“直”线特征“直”线的特征①“直”线:定点--动点(定点--动点--动点）(动点--动点--动点）②直:定点--动点--定点直:动点--定点--动点二、类型名词解释：定直线指动点运动所在的直线①垂线段最短特征：“弯”线变“直”线对称轴lACBM定点“弯”线“直”线例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=24，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是4 。
①标：定点A，定点C，动点B定直线AC，定直线l②特征：“弯”线变“直”线对称轴：定直线l作点A关于定直线l的对称点M“弯”线AB+BC变“直”线MC“直”线:定点M--动点B--定点C垂线段最短①标：定点C，动点M，动点N定直线BD，定直线BC②特征：“弯”线变“直”线对称轴：定直线BD作点N关于定直线BD的对称点E“弯”线CM+MN变“直”线CME“直”线:定点C--动点M--动点E垂线段最短例4例3.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为【 】 ①标：动点Q ，动点K ，动点P 定直线AC ，定直线l 特征：“弯”线QK+KP 变“直”线对称轴：定直线BD作点P 关于定直线BD 的对称点P 1“直”线:动点Q--动点K--动点P 1两平行线间垂线段最短xyOl P ’F P H①标：定点F ，动点P 定曲线：抛物线 ②特征：动点F 在定曲线：抛物线上抛物线是到定点F 距离与到定直线l 距离相等的点的集合。
求线段(或线段和)(周长)最值问题
求线段（或线段和）（周长）最值问题福建莆田月塘中学潘立城中考数学压轴题中常出现有关几何最值问题，很多同学不知如何想，无从下手，感到这类题目很难，应该是尖子生同学做的题目，与我们这些一般生无关，避而远之。
这类题目很多，内容丰富，涉及面广，解法灵活多样，就像孙悟空七十二变，变化多端。
孙悟空再怎么变化，也跑不出如来佛的“手掌心”。
解几何最值的“手掌心”是什么呢？：撑握了如来佛的这一法宝，有关几何最值的各种“妖魔鬼怪”题都能解答。
一、“手掌心”法宝:三角形中两边之和大于第三边特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律找关键点：定点，中点，圆心。
④线段的转移特征：“定”点在“定”直线上⑤二次函数最值特征：有“表达式”①垂线段最短②两点间线段最短“弯”线变“直”线特征“直”线的特征①“直”线:定点--动点(定点--动点--动点）(动点--动点--动点）②直:定点--动点--定点直:动点--定点--动点二、类型 名词解释：定直线指动点运动所在的直线①垂线段最短 特征：“弯”线变“直”线 对称轴l①标：定点C ，动点M ，动点N 定直线BD ，定直线BC ②特征：“弯”线变“直”线对称轴：定直线BD 作点N 关于定直线BD 的对称点E “弯”线CM+MN 变“直”线CME“直”线:定点C--动点M--动点E垂线段最短①标：定点A ，定点C ，动点B 定直线AC ，定直线l ②特征：“弯”线变“直”线对称轴：定直线l 作点A 关于定直线l 的对称点M “弯”线AB+BC 变“直”线MC“直”线:定点M--动点B--定点C垂线段最短ACBM定点“弯”线 “直”线例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC =24，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是 4 。
例4例3.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】①标：动点Q，动点K，动点P定直线AC，定直线l特征：“弯”线QK+KP变“直”线对称轴：定直线BD作点P关于定直线BD的对称点P1“直”线:动点Q--动点K--动点P1两平行线间垂线段最短xyOlP’FP H①标：定点F，动点P定曲线：抛物线②特征：动点F在定曲线：抛物线上抛物线是到定点F距离与到定直线l距离相等的点的集合。
初中数学求线段最值的方法
初中数学求线段最值的方法初中数学中，求解线段的最值是一个基本的问题，它可以用来优化一些实际问题的解法，例如最短路径、最大收益、最小支出等。
本文将为大家介绍在初中数学中求解线段最值的方法，包括整体流程和每个环节的详细描述。
一、问题描述和基本概念假设有一条直线段AB，其中A(x1,y1)和B(x2,y2)是已知的点。
我们的问题是如何求出该直线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
我们需要了解一些基本的概念和知识：1. 直线段：由两个端点确定的线段，其中端点A是起点，端点B是终点。
2. 函数：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素的规则。
通常用f(x)表示函数。
3. 函数的最值：给定一个函数f(x)，若存在x1，x2∈D，使得f(x1)≥f(x) ∀x∈D 或f(x2)≤f(x) ∀x∈D，则称f(x)在D上取得最大值或最小值。
4. 坐标系：用于描述点或图形位置的平面直角坐标系，由x轴和y轴组成、原点为(0,0)。
5. 勾股定理：在直角三角形ABC中，设直角边分别为a,b,斜边为c，则有c²=a²+b²。
二、分析求解思路和方法对于我们的问题，我们可以用函数来描述直线段AB上每个点P(x,y)的值。
为了方便，我们通常称这个函数为f(x)。
如果我们要求f(x)的最大值，则需要寻找使得f(x)取得最大值的点x值。
同理，如果我们要求f(x)的最小值，则需要寻找使得f(x)取得最小值的点x值。
基于这个思路，我们可以考虑用以下的方法来求解线段最值：1. 明确问题：首先需要明确问题的具体描述和目标，即要求线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
2. 理解数据：仔细查看题目给定的图形或数据，注意理解每个点的坐标和重要的约束条件。
3. 定义函数：用函数f(x)来描述线段上每个点P(x,y)的值，需要注意函数的定义域D，即x的取值范围。
4. 求解方法：根据问题的不同，可以选用合适的求解方法来求解线段的最值。
微探究 线段最值
微探究线段最值线段最值问题是指在一定的条件下，求线段长度的最大值或最小值.求线段最值问题的基本方法有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证；2.几何定理(公理)法：应用几何中的不等量性质、定理；3.数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系. 【例1】 如图，在锐角三角形ABC 中，BC ＝ABC ＝45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值是________.(2012年鄂州市中考题)试一试 作点N 关于直线BD 的对称点N ′，连CN ′交BD 于M ，则CM ＋MN ＝CN ′，怎样求CN ′的最小值？BCAN【例2】 如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P 、Q 、K 分别是线段BC 、CD 、BD 上任意一点，则PK ＋QK 的最小值为( ).A.1BC .2D 1(2012年台州市中考题)试一试 化动为静，先确定K 点位置，从特殊位置切入.BP【例3】 几何模型条件：如图①，A 、B 是直线l 同旁的两个定点.问题：在直线l 上确定一点P ，使P A ＋PB 的值最小.方法：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于点P ，则P A ＋PB ＝A ′B 的值最小(不必证明). 模型应用：（1）如图②，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接BP ，则PB ＋PE 的最小值是________；（2）如图③，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值.模型拓展（3）如图④，某人从A 地到河边l 饮马，然后沿着笔直的河边走固定的距离a ，最后回到营地B .此人怎样选择饮马的地点，才能使所走的路程最短？DB AC图①图② 图③laAB图④试一试 （1）是模型的直接运用，B 、D 关于AC 对称；对于（2），分别作出P 点关于OB 、OA 的对称点，确定R 、Q 位置；对于（3），a 是个定值，是必须要走的，不妨先假想把它走完(沿l 方向平移A 到A ′，使AA ′＝a )，运用例1的方法，确定余下路程的最短路线.求线段最值常用的几何性质有： （1）斜边大于直角边； （2）两点之间线段最短； （3）垂线段最短；（4）三角形任意两边之和大于第三边.请读者比较例1与例3的差别.线段长度最值常与图形的运动相关联，厘清动点与静点、常量与变量，动静转化，别有洞天. 例3中的方法常称为“对称法”，其思路是化折线为直线，理论依据是：“两点之间线段最短.”【例4】 如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、E C .已知AB ＝5，DE ＝1，BD ＝8，设CD ＝x .（1）用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？（3）根据（2的最小值.(恩施自治州中考题)AB试一试 对于（3），原式＝a 、b 为直角边的直角三角形斜边长.著名数学家希尔伯特曾说：“算术是写下来的图形，几何是画下来的公式.”构造图形就是运用几何图形的直观性和数形结合解决一些代数问题.费马点【例5】 在已知△ABC 所在平面上求一点F ，使它到三角形三顶点的距离之和为最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，这个问题中所求的点被人们称为“费马点”.（1）如图①，当△ABC 三内角均小于120°时，F 在△ABC 内部，此时∠AFB ＝∠BFC ＝∠CF A ＝120°； （2）如图②，当△ABC 有一角(不妨设为∠A )≥120°时，点F 与点A 重合.ABCB CA(F)图①图②对于（1）给出分析与证明：即当∠AFB ＝∠BFC ＝∠CF A ＝120°时，F A ＋FB ＋FC 的值最小. 如图③，将△AFC 绕点A 逆时针旋转60°得△AF ′C ′，连接FF ′，B图③ 则△AFC ≌△AF ′C ′，AC ′＝AC ，FC ＝F ′C ′，F A ＝F ′A . ∵∠F AF ′＝60°，F A ＝F A ′， ∴△F AF ′为等边三角形.∴F A ＝F ′A ＝FF ′，F A ＋FB ＋FC ＝FB ＋FF ′＋F ′C ′， ∵∠AFB ＝∠BFC ＝∠CF A ＝120°，∠AFF ′＝60°， ∴B 、F 、F ′、C ′在一条直线上， ∴FB ＋FF ′＋F ′C ′＝BC ′的值最小， 即F A ＋FB ＋FC 的值最小. 视野窗由费马点到多边形的最短连接，可类比提出如下问题： （1）四边形的费马点如何确定？（2）将正方形的四个顶点用线段连接，怎样的连接最短？练一练1.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝1，∠B ＝60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC ＋PD 的最小值为________.(云南省中考题)CB2.如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角△ACD 和△BCE ，则DE 的最小值为________.(2012年扬州市中考题)BCAE3.如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a ＝________.(内江市中考题)4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝1，E 为边BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为()A .4B .3C .2DDBCA5.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为()A1BC .5D .52AB6.在直角坐标系中，已知两点A(－8，3)、B(－4，5)，以及两动点C(0，n)、D(m，0)，则当四边形ABCD的周长最小时，比值mn为()A.23-B.－2 C.32-D.0视野窗“求最短，想对称”，这是许多人在解决最短线路问题的定式思维，而解决实际问题常有不同的方案设计，故需具体问题具体分析，打破思维定势的束缚(参见练习中第4、6题).7.在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A，B到l的距离分别是3 km和2 km，AB＝a km(a＞1).现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水.方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB＋BA(km)(其中BP⊥l于点P)；图②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝P A＋PB(km)(其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P).l PlAlA图①图②图③观察计算（1）在方案一中，d1＝________km(用含a的式子表示)；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝________km(用含a的式子表示).探索归纳（1）①当a＝4时，比较大小：d1________d2(填“＞”、“＝”或“＜”)；②当a＝6时，比较大小：d1________d2(填“＞”、“＝”或“＜”).（2）请你参考右边“视野窗”中的方法指导，就a(当a＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(河北省中考题)视野窗第7题中，当不宜直接比较两个正数m 与n 的大小时，可以对它们的平方进行比较： ∵m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )，m ＋n >0， ∴(m 2－n 2)与(m －n )的符号相同. 当m 2－n 2>0时，m －n >0，即m >n ； 当m 2－n 2＝0时，m －n ＝0，即m ＝n ； 当m 2－n 2<0时，m －n <0，即m <n .8.若P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝120°，则点P 叫做△ABC 的费马点. （1）如图①，若点P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC ＝60°，P A ＝3，PC ＝4，则PB 的值为________； （2）如图②，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′连接BB ′.求证：BB ′过△ABC 的费马点P ，且BB ′＝P A ＋PB ＋P C .B CAB图①图②(湖州市中考题)9.如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM1时，求正方形的边长.(宁德市中考题)EBA10. 阅读材料：.如图，建立平面直角坐标系，点P (x ，0)是x P 与点A(0，1)的距离可以看成点P 与点B (3，2)的距离.所以原代数式的值可以看成线段P A 与PB 长度之和，它的最小值就是P A ＋PB 的最小值.2)设点A关于x轴对称点A'，则P A＝P A'，因此，求P A＋PB的最小值，只需求P A'＋PB的最小值，而点A'，B间的直线段距离最短，所以P A'＋PB的最小值为线段A'B的长度.为此，构造直角三角形A'CB，因为A'C＝3，CB＝3，所以A'B＝.根据以上阅读材料，解答下列问题：（1的值可以看成平面直角坐标系中点P(x，0)与点A(1，1)、点B的距离之和.(填写点B的坐标)（2的最小值为.(2012年十堰市中考题)。
二次函数线段最值问题
二次函数线段最值问题二次函数线段最值问题是高中数学中经常出现的一个问题。
在实际生活中，许多问题都可以通过二次函数线段最值问题来解决。
本文将从以下几个方面来探讨这个问题：二次函数线段的定义、最值问题的解法、实际应用、注意事项等。
一、二次函数线段的定义二次函数线段是指一条由二次函数所描述的直线。
一般来说，它的函数公式为：y = ax² + bx + c，其中a、b和c均为常数。
其中，a控制二次函数的“开口向上”或“开口向下”，b控制二次函数图像的位置，c为常数项。
当a>0时，函数图像开口向上，当a<0时，函数图像开口向下。
二、最值问题的解法求解二次函数线段最值的问题，需要先找到函数图像的顶点。
顶点是函数图像的最高点或最低点。
根据函数的定义，可以求得顶点的坐标为：x = -b / 2ay = f(x) = -Δ / 4a + c其中Δ = b² - 4ac为判别式。
当a>0时，函数的最小值为y = f(x)，当a<0时，函数的最大值为y = f(x)。
三、实际应用二次函数线段最值问题在许多实际问题中都有广泛应用。
例如，在生产生活中，我们需要计算能够取得最大利润的销售数量；在物理学、化学等领域，也需要求出最高或最低点的数值。
此外，对于空间中的曲面图像，也可以利用二次函数线段最值问题来求出曲面的极值点。
四、注意事项在解题过程中，需要注意以下几点：1. 判别式Δ要大于等于0，否则函数没有最值。
2. 当a = 0时，不是二次函数，也不存在最值问题。
3. 在应用中，需要理解题目中的具体含义，才能正确求解最值问题。
总之，二次函数线段最值问题是高中数学中的重要内容，应当掌握。
通过理解其定义、解法以及实际应用，我们可以更好地理解和应用二次函数线段的相关知识，更好地完成数学学习。
初中数学线段最值问题解题技巧
初中数学线段最值问题解题技巧（最新版4篇）目录（篇1）1.线段最值问题的定义和特点2.解题思路和方法3.具体解题步骤和技巧正文（篇1）一、线段最值问题的定义和特点线段最值问题是指在已知线段长度范围内，求取最大或最小值的问题。
此类问题在数学中较为常见，尤其是在几何学和代数中的应用广泛。
其特点在于，通常需要结合线段长度、角度、边长等几何要素进行求解。
二、解题思路和方法1.转化：将问题转化为具体几何模型或代数方程。
2.寻找最大值点：通过观察线段或几何图形，找到最大值点。
3.应用数学知识：利用数学知识求解最大值，如三角函数、勾股定理等。
4.运用数学公式：运用特定数学公式，如辅助线公式、几何倍增等，来寻找最大值。
三、具体解题步骤和技巧1.分析问题：首先需要认真阅读问题，理解问题的要求。
2.构建模型：根据问题建立几何模型或代数方程。
3.寻找最大值点：根据题目中的条件，找到最大值点。
这可能需要对几何图形或代数方程进行深入分析。
4.应用数学知识：使用所学的数学知识求解最大值，例如：三角函数、勾股定理等。
5.验证结果：验证所求得的解是否符合题目要求，必要时进行修正。
总之，解决线段最值问题需要灵活运用数学知识，同时注意分析问题、建立模型、寻找最大值点和应用数学知识等多个步骤。
目录（篇2）一、初中数学线段最值问题解题技巧概述1.解题技巧简介2.解题技巧的应用范围和优势3.解题技巧的适用条件和限制二、初中数学线段最值问题解题技巧详解1.寻找临界点法2.构造辅助线法3.转化角度法4.函数思想法三、初中数学线段最值问题解题技巧的实际应用案例1.题目类型：线段和的最值问题2.题目类型：线段长的最值问题3.题目类型：线段差的的最值问题4.题目类型：三角形中的最值问题正文（篇2）初中数学线段最值问题解题技巧是解决线段相关问题的有效工具。
它通过寻找临界点、构造辅助线、转化角度以及运用函数思想等方法，将复杂的问题简单化，从而快速准确地求解。
二次函数中线段长度的最值问题
1：如图1，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作y 轴的 平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。
2：如图2，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作X 轴的 平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。
3：如图3，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作直线
的垂线于点E ，求线段PE 的最大值。
4：如图4，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线BC 于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 点Q ，求三角形PDQ 周长的最大值；
5：如图5，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，作BC PQ ⊥点，过点P 作x 轴的平行线交直线BC 于点M ，求PMQ ∆最大值；
图4。
线段最值问题
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
，P是⊙O上一点，求AP简析：E是定点，F'是动点，要确定F'点的运动路径。
先确定线段A'B'的运动轨迹是，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F到圆环的最短和最长路径。
E到圆环的最短距离为=EC+CF=3+6=9，其差为简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段在OA、OB的内侧。
所以本题的关键是动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径折得P1、P2，△PMN的周长转化为点P1、P2之间的路径，从而转化为求小值为线段P1P2＝OP＝6。
例5.如图，在锐角△ABC中，ABN分别是AD和AB上的动点，则简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'⊥AC 时，最小值为2√2。
【平移变换类】典型问题：“造桥选址”。
例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A'到定点B的最短路径。
如下图：思路是把动线AM平移至A'M，A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径。
本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接。
中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)
MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或 可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时 ，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
解答过程：
连接OC交e O于点P，此时PC最小. 在RtBCO中， Q BC=4，OB=3， OC=5，PC=OC OP=2. 即PC最小值为2.
小结：
此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与 两定点连线的夹角为确定值；若点P在△ABC外部，则CP 长存在最大值；若∠APB为非直角时，则作△ABP的外接 圆，此时AB为非直径的弦.
'
2
2
2
在 R t C D D '中 ，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的 最 小 值 为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算 出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合 的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
，52
)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点
，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
y
动点中求线段长度的最值问题
在几何教学中，求线段长度的最小值问题是学生的一大难点，学生往往不知如何入手，在教学中，教师只需进行归类总结，建立模型，使学生掌握相关模型，触类旁通，就不难解决，解决这类问题的基本依据就是：利用两点之间线段最短或点线之间垂线段最短。
一、构建模型
模型1、一个动点，一个定点+一条定直线且动点在直线或部分直线（线段或射线）上运动。
如图：P是直线L外一点，O是直线L上的一个动点，求线段PO长度的最小值。
问题解决：利用直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短（点线之间垂线段最短）。
过P作PO垂直于L，垂足为O。
则点P与直线L上的所有点连线中垂线段PO的长度最短。
.
模型2：两个定点，一个动点，动点在圆或部分圆（弧）上运动。
如图：P是⊙O外一点，点A在⊙O上运动，求线段PA的最小值，
问题解决：运用两点之间线段最短
连接PO交⊙O于A，这里O点、P点是定点，A点是动点，当P、A、O三点共线且P在OA之间时，OA+PA最小，而OA是⊙O的半径，长度不变，所以此时PA最小。
模型3：两个定点，一个动点+一条定直线，动点在直线上或部分直线上（射线或线段）运动。
1。
中考数学复习：专题9-9 探究动点背景下的线段最值问题
探究动点背景下的线段最值问题【专题综述】图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法:1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解.2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力. 【方法解读】一、从动点所在特殊位置入手图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点.例1 如图1，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，33AB =，3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为. 分析 DM ，MN 的长度随点M ，N 分别在线段BC ，AB 上运动而变化，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点却保持不变.题设中EF 与不变量A ∠，AB ，AD 无直接数量关系，但连结DN ，则由三角形的中位线定理可知12EF DN =，如图1所示，从而可知DN 最大时，EF 最大.因为N 在线段AB 上，当点N 与其端点B 重合时DN 最大，如图2所示.此时，由勾股定理知6BD =，所以EF 长度的最大值为3.例2 如图3，在⊙O 中，直径6AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 是BC 上的一个动点，点Q 在⊙O 上，且OP PQ ⊥.求PQ 长的最大值.分析 点P 在BC 运动时，OP ，PQ 的位置和大小都变化，但OP PQ ⊥，圆的半径不变，连结OQ ，则OPQ ∆保持直角三角形不变.在Rt OPQ ∆中，22223PQ OQ OP OP =-=-,所以OP 最小时PQ 的长的最大.由垂径定理知，此时点P 正好是CB 的中点，如图4所示，Q 点与C 点重合.分析 连结OQ . ∵OP PQ ⊥，∴OPQ ∆为直角三角形. 又∵OP CB ⊥，132OB AB ==，30ABC ∠=︒， ∴32OP =由勾股定理，得223333()22PQ =-=即PQ 长的最大值332. 二、从动点产生的特殊线段入手在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案.例3 如图5，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为AB 上(不与AB 重合)一动点，过点P 分别作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，则EF 的最小值 .分析 因为点P 在AB 上运动时，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，90C ∠=︒，所以四边形CFDE 是矩形，且这些关系不变.连结PC ，则EF CP =，要求EF 的最小值，就是求CP 的最小值.显然当CD AB ⊥，即CD 是斜边AB 的高时，CD 最小.又由勾股定理，得5AB =，根据三角形面积不变，得AC BC CD AB ⨯=⨯，解得125CP =，所以EF 的最小值为125. 例4 如图6，在圆O 上有定点C 和动点P 位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点G .已知:圆O 半径为52，4tan 3ABC ∠=，则CG 的最大值是(). (A)5 (B)154(C)253(D)203分析 点P 在AB 上运动时，PC 的位置和大小会随之变化，但CAB CPG ∠=∠，90ACB PCG ∠=∠=︒保持不变，故有ABCPGC ∆∆，∴BC AC CG PC =，即BC CG PC AC=，由3tan 4AC ABC PC ∠==，知43CG PC =，当PC 最大时，CQ 取到最大值易知，当PC 经过圆心，即PC 为圆O 的直径时，PC 最大(此时CG 是圆O 的切线). ∵圆O 半径为52， ∴PC 的最大值为5,∴315544CG =⨯=. ∴CG 的最大值154，故选B.三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化.例5 如图7，ABC ∆中，45B ∠=︒，60BAC ∠=︒，22AB =. D 是BC 上的一个动点以AD 为直径画圆与AB ，AC 相交于E ，F 两点，求EF 的最小值.分析 点D 在BC 上运动，AD 的位置改变引起圆O 的位置和大小变化，而所求EF 的 值与不变量B ∠，BAC ∠以及AB 的关系不明显.连结OE ，OF ，构造含120︒角的特殊等腰三角形，如图8所示，过O 点作OH EF ⊥垂足为H ，由圆周角定理可知1602EOH EOF BAC ∠=∠=∠=︒.在Rt EOH ∆中，由垂径定理可知23EF EH OE ==.所以当OE 最小时，EF 的值最小，而12OE AD =，由垂线段的性质可知，当AD 为ABC ∆的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 最小.在Rt ADB ∆中，45ABC ∠=︒，22AB =∴2AD BD ==，即此时圆的直径为2. 在Rt EOH ∆中，33sin 122EH OE EOH =∠=⨯= ∴23EF EH ==， 即EF 的最小值为3.四、从图形运动中相对保持不动的点入手若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键.例6 如图9，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，8AC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动中OB 的最大值是多少?分析 当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，这样改变了ABC ∆的位置，点B 的位置也随之改变，OB 的长度随之发生变化.虽然BC 、AC 的长度不变，但些相对不变的量与OB 没有直接的关系. 仔细观察图9，AC 是Rt COA ∆的斜边，AC 长度不变，则点O 与其中点D 的连线段OD 的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与OB 有关. 于是，连结DB ，则OB DB OD <+,所以，当O 、D 、B 三点共线时OB 值最大，即BO OD DB =+. 在Rt BCA ∆中，4CD =，3CB =，5DB =. 则OB 的最大值为549+=:.综上可知，解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发考虑.1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不变应万变，动中求静.2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径是圆中最大的弦，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以要抓住特殊情形，联系与问题相关的结论进行有效转化.【强化训练】1.（2017四川省内江市）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且P A+AB+BQ 最小，此时P A+BQ= ．2.（2017山东省东营市）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为．3．（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4. （2017甘肃省天水市）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是．5．（2017贵州省贵阳市）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A ′EF ，则A ′C 的长的最小值是 ．6.（2016山东省枣庄市）如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，已知EP =FP =6，EF =63，∠BAD =60°，且AB ＞63． （1）求∠EPF 的大小；（2）若AP =10，求AE +AF 的值；（3）若△E FP 的三个顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．7．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x =﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．8.（2017山东省烟台市）如图1，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB =4，矩形OBDC 的边CD =1，延长DC 交抛物线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9.（2016四川省眉山市）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM ﹣AM |的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM ﹣AM |的最大值．10. （2016广西梧州市）如图，抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A （4，0）、B （﹣1，0）两点，过点A 的直线y =﹣x +4交抛物线于点C ． （1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，使△BDE 的周长最小，求此时E 点坐标； （3）当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A →C →B →D →A 上运动时，是否存在使△BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E 点的坐标；若不存在，请说明理由．。
巧求线段的最值
例 ５ （０ ９年 河南省） ２０ 在矩形 纸片 Ａ Ｃ ＢＤ
中， Ｂ ３ ＡＤ ５如 图 ６ 示 ， Ａ ＝ ， ＝． 所 折叠 纸片 ， 点 使 Ａ落在 Ｂ Ｃ边上 的 Ａ 处 ， 折痕为 即 ， 当点 Ａ 在 Ｂ Ｃ边 上移动 时 ， 折痕 的端点 Ｐ Ｑ也随之移动． 、
图 ４
若限定 点 Ｐ Ｑ分别 在 Ａ 、 、 Ｂ ＡＤ边上 移动 ， 点 则
Ａ在 Ｂ Ｃ边上可移动 的最 大距 离为 ．
解析 ： 由题 意得 ／Ａ Ｃ ９ ￣ ＿ Ｂ ＝ ０． 要使 线段
的值 最小 ， 就要 使 Ｏ ＋ Ｈ 的值 最小 ． ＢＯ 显然 ， 只
有 当 Ｈ、 Ｂ三点在 同一条 直线 上 时 ． Ｂ Ｏ ０、 Ｏ ＋Ｈ
，
Ｄ２ ，
二
边形 Ｃ Ｆ Ｄ Ｅ分成 周长相等 的两个 四边形 ． 确定
此 直线 的解析式 ： （ ） Ｇ为 Ｙ轴 上一 点 ， Ｐ从 直 线 ｙ ３设 点 ＝
・ ． ．
Ｏ ＝ 、了 ． Ｇ ２／
Ｇ点的坐标为 （ ，、丁 ） ０２ ／ ．
・
． ．
点评 ： 本题 要求最 短 时间 ． 际上要求 最 实
例 ２ （０ ８ 四川 广安 ） ２０ 年 菱形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ，
一
、
利用 “ 垂线段最短 ” 求最值
例 １ （ ０ ９年 山 东德 州 ） 图 １ 点 Ａ ２０ 如 ，
／ Ａ ＝ ０ 点 是 Ａ －Ｂ Ｄ ６ 。， Ｂ的中点 ， Ｐ是对 角 点 线 ＡＣ上 一个 动点 ， Ｐ Ｐ 若 Ｍ＋ Ｂ的最 小值是 ３ ，
二
ＡＧ Ｇ ＋ Ｈ最短 ， Ｇ Ｇ 的值最小 ． 即 Ａ＋ １ Ｍ
在 Ｒ△Ｏ ｔ ＡＧ中 ．
中考几何图形中求线段最小值问题思路整理,线段最小值问题归纳
斜大于直---一类线段最值的求法通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
经过探究我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
即我们今天所要讲的内容“斜大于直”问题。
“斜大于直”问题在中考线段最值中考察较为广泛，即点到线的最短距离问题，常见的有单线段的最值，线段和的最小，系数不为1的线段和的最值（胡不归问题）等等。
如需加深难度通常将定点和定线隐藏处理即可。
本文将通过7大变式予以说明。
反思：①本题的关键在于确定△PEF的外心，利用等边三角形的特殊性将垂直平分线的交点转化为角平分线的交点，寻找到外心.
②发现外心为一定点，则转化为求定点到直线的最短距离问题，即垂线段最短（斜大于直）.。
求图形中线段的最值问题
求图形中线段的最值问题类型一：两点之间，线段最短.1两定一动类：如图，在直线上找一点P，使PA+PB最小.【配套练习】：1．(2018·新疆)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC 边上的中点，则MP＋PN的最小值是( B)A .12B．1 C. 2 D．22.(2018·天津)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是(D)A．AB B. DE C. BD D．AF第1题图第2题图第3题图3.（2017·安徽）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（D）A.29B.34C.5 2D.414.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8 cm，AC︵＝CD︵＝BD︵，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为8cm．5.如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是5．6.(2017•安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为6．第4题图第5题图第6题图草地 河62一定两动类：(2018·滨州)如图，∠AOB ＝60°，点P 是∠AOB 内的定点，且OP ＝3，若点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( D ) A .362 B .332C ．6D ．3 【思路点拨】 作点P 分别关于OA ，OB 的对称点C ，D ，连接CD 分别交OA ，OB于M ，N ，如图，利用轴对称的性质，得MP ＝MC ，NP ＝ND ，OP ＝OD ＝OC ＝3，∠BOP ＝∠BOD ，∠AOP ＝∠AOC ，所以∠COD ＝2∠AOB ＝120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN 周长最小，为CD 的长．作OH ⊥CD 于点H ，则CH ＝DH ，然后利用含30°角的直角三角形三边的关系计算CD 即可．方法指导在几何图形中求两(三)条线段之和的最小值，通常根据轴对称的性质和两点之间线段最短，将两(三)条线段的长转化为一条线段的长，然后计算这条线段的长，即两(三)条线段之和的最小值．【配套练习】：变式训练：1.当∠AOB=30°时，其他条件不变，则△PMN 的周长的最小值是多少？∠AOB =45°呢？当∠AOB=30°时, △PMN 的周长为 3当∠AOB=45°时, △PMN 的周长为3两定两动类： (八上教材93P 15T )如图，牧马人从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到B 处，请画出最短路径.【配套练习】： 1.(2017·新疆）如图，点A (a ,3)，B (b ,1)都在双曲线xy 3=上，点C ，D 分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ B ）A.25B.26C.22102+D.282.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE ＝CG ，BF ＝DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为（ C ）A.10B.4 3C.20D.87类型二：点到直线的距离，垂线段最短.1一定一动类：如图，在直线上找一点P ，使PA 最小.1.（2017·雅安）如图，⊙O 的直径为10，弦AB =6，P 是弦AB 上一动点，则OP 的取值范围是 4≦OP ≦5 .2.（2018·长春） 如图，在▱ABCD 中，AD ＝7，AB ＝2 3 ，∠B ＝60°.E 是边BC 上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE 沿BC 方向平移到△DCF 的位置，得到四边形AEFD ，则四边形AEFD 周长的最小值为 20 .第1题图 第2题图 第3题图3．(2018·德州) 如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的中心，∠FOG ＝120°，绕点O 旋转∠FOG ，分别交线段AB ，BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD ＝OE ；②S △ODE ＝S △BDE ；③四边形ODBE 的面积始终等于334；④△BDE 周长的最小值为6. 上述结论中正确的个数是( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42一定两动类：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE+EF 的最小值为（ C ）A ．B ．C ．D ．6【思路点拨】依据勾股定理可求得AB 的长，然后在AB 上取点C′，使AC′=AC，过点C′作C′F⊥AC ，垂足为F ，交AD 与点E ，先证明C′E=CE，然后可得到CE+EF=C′E +EF ，然后依据垂直线段最短可知当点C′F ⊥AC 时，CE+EF 有最小值，最后利用相似三角形的性质求解即可．【配套练习】：1．如图，∠BAC=30°，M 为AC 上一点，AM=2，点P 是AB 上的一动点，PQ ⊥AC ，垂足为点Q ，则PM +PQ．2.（2018·十堰）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝62，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA ＋DE 的最小值为316 .第1题图 第2题图 第3题图3. (2017·黑龙江)如图,在矩形ABCD 中,AD ＝4,∠DAC ＝30°,点P 、E 分别在AC 、AD 上,则PE ＋PD 的最小值是( B )4. A .2 B ．2 3 C ．4 D .833类型三：旋转、圆及二次函数内线段最值模型.将△ABC绕点C旋转，得到△A′B′C，点E是BC中点，点F为AB上动点，△ABC旋转过程中，点F对应点为F′，求线段EF′长度的最大值与最小值.图①图②如图①，A′B′的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB上的高，F′是A′B′上任意一点，所以EF′的最大值为EF1，最小值为EF2.【配套练习】：1.（2018·泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ C ）A. 3B. 4C. 6D. 8第1题图第2题图2.（2017·贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（B）A.4B.3C.2D.13 .（2018·贵阳）如图，在△ABC 中，BC＝6，BC 边上的高为4，在△ABC 的内部作一个矩形EFGH ，使EF 在BC 边上，另外两个顶点分别在AB，AC 边上，则对角线EG 长的最小值为13第3题图第4题图4.（2018·苏州）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别为对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N（结果保留根号）。
初中数学之线段最值模型
， ， ．
如解图，作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，
由对称，知 ， ，
．
当点 ， ， ， 共线时，四边形 的周长最小，最小值为 ．
10.如图，抛物线 与 轴交于 、 ，与 轴交于点 ，点 为 的中点，点 、 分别为 轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接 、 、 ，求四边形 周长最小时点 、 的坐标．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 的最小值为 ．
∴四边形 的周长最小值为 ．
7.如图，抛物线 过点 ，且与直线 交于B、C两点，点B的坐标为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线 上方的一点，过点D作 轴交直线 于点E，点P为对称轴上一动点，当线段 的长度最大时，求 的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使 ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
易得抛物线 的对称轴为直线 ．
∵直线 的解析式为 ，
∴点 的坐标为 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
即 ．
∵ 、 关于对称轴对称，
∴ ．
∴ ．
当点 、 、 三点共线且 时， 的值最小，
∵点 的坐标为 ，抛物线对称轴为直线 ，
∴点 的坐标为 ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴点 的纵坐标为： ．
∴点 的纵坐标为 ．
4.如图，二次函数 的图象交 轴于点 、 ，交 轴于点 ，点 是第四象限内抛物线上的动点，过点 作 轴交 轴于点 ，线段 的延长线交 于点 ，连接 、 交于点 ，连接 ．
（2）分别作点A关于 和 的对称点 ， ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，根据轴对称的性质有 ， ，当点 、 、 、 在同一条直线上时， 即为 周长的最小值，然后利用 求解即可；