武汉理工大学 高数A上 2007级 A卷及答案

武汉理工大学

高数A 上 2007级 A 卷及答

案

一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

（1）设1

11,0()11

,0x x e x f x e x ⎧-⎪≠⎪

=⎨+⎪⎪=⎩ ，则0x =是()f x 的（ ）。

A ．连续点；

B ．可去间断点；

C ．跳跃间断点；

D ．无穷间断点。 （2）设()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（ ）。 A. 若0()lim

x f x x →存在，则(0)0f =； B 、若0()()

lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =

C 、若0()lim x f x x →存在，则)0(f '存在；

D 、若0()()

lim x f x f x x

→--存在，则0)0(='f 。

（3）设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin()(n x x n 是正整数）

高阶的无穷小，而sin()n x x 是比2

1x e -高阶的无穷小，则n 等于（ ）。

A 、1；

B 、2；

C 、3；

D 、4

（4）设()f x 在(,)-∞+∞内可导，周期为4，且0(1)(1)

lim

12x f f x x

→--=-，则曲线()y f x =在点(5,(5))f 处的切线的斜率为（ ）。

A 、1/2；

B 、-2；

C 、0；

D 、-1

（5）设32()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点，则a 为（ ）。

A 、8；

B 、6；

C 、4；

D 、2。

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

（1）设21lim(

)1

a ax

t x x te dt x -∞→∞+=-⎰，则a = ； （2）设()f x 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，n 为大于2的整数，则()()n f x = ；

（3）曲线x y xe -=的拐点坐标为 ； （4

）1

1sin )x x dx -⎰= ；

（5）已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则⎰'dx x f x )(= 。 三、计算下列极限（本题共2小题，每小题7分，共14分）

（1） 2211lim(1)n

n n n

→∞

+

+； （2） 2

2

2

020

()lim

x

t x

x t e dt te dt

→⎰⎰

四、计算下列导数或微分（本题共2小题，每小题7分，共14分）

（1）设2ln(1)arctan x t y t ⎧=+⎨=⎩，求22,dy d y

dx dx ；

（2）

设ln(x y e =+，求dy 。

五、求解下列各题（本题共4小题，每小题7分，共28分）

（1）ln tan sin cos x

dx x x

⎰

； （2）设0sin ()x t f x dt t π=-⎰，求0()f x dx π

⎰； （3）设20()ln 2()2

x t

f x f dt =+⎰，求()f x ；

（4）求微分方程12

+=

xy y dx dy 的通解。 六、应用题（本题7分）

设抛物线2y ax bx c =++通过坐标原点，且01,0x y ≤≤≥，试确定a 、b 、

c 的值，使该抛物线与直线1,0x y ==所围成的面积为4/9，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小。 七、证明题（本题7分）

设()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0,(1)1f f ==。 证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使()1f ξξ=-；

（2）存在与ξ相异的两个不同的点,(0,1)ηζ∈，使1)()(=''ζηf f 。

武汉理工大学2007级理工类各专业

高等数学A （上）试题（A 卷）答案及评分标准

一、（1） C （2） D （3）B （4） B （5）C

二、（1） 1； （2）1![()]n n f x +； （3） 22(2,)e ;（4）2

π

； （5）22l n l n x x C -+

三、（1）解 原式=)]1

11ln(2lim exp[2n

n n n ++∞→ -------(3分)

=])

1(2lim

exp[2

n n n n +∞→ -------(5分) =2e -------(7分)

（2）解 原式=2

2

2

20

2lim

x x

t x

x xe

dt

e e ⎰

→ -------(3分)

=2

2

2

2

22lim

x x x

x e

x e e +→ -------(5分)

=2 -------(7分)

四、（1）解 22

111

122dy t dx t t t

+=⋅=+ -------(4分) 222

2231111()2224d y d dt t t dx dt t dx t t t

++=⋅=-⋅=- -------(7分)

（2）解 )]1[ln(2x x e e d dy ++=x x

de e 211+=

-------(4分)

dx e

e x

x 21+=

-------(7分)

五、（1）解 原式=⎰⎰

=⋅x xd dx x x x

tan ln tan ln cos tan tan ln 2

-------(4分) =c x +2

)tan (ln 2

1 -------(7分)

（2）解

dx x

x

x

x xf dx x f ⎰⎰

--=π

π

π

π0

00

sin )()( -------(3分) =dx x x

x dx x x ⎰⎰---π

ππππ0

0sin sin -------(5分)

2sin 0

==⎰π

xdx -------(7分)