离散数学单元测试题
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近世代数单元测试题(一) (院系:软件学院 年级:2007级)
一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末括号里)
1.设S={a,b},则S 上总共可定义的二元运算的个数是( )
B.8 2.设集合{1,2,3,...,10}A =,下面定义的哪种运算关于集合A 是不封闭的( )。
A .*max{,}x y x y =
B .*min{,}x y x y =
C .*(,)x y GC
D x y = 即,x y 的最大公约数
D .*{,}x y LCM x y = 即,x y 的最小公倍数
3.下面定义的哪种运算关于给定的集合是封闭的( )。
A . 集合S ={1,-1}关于普通的减法运算
B . 集合S ={0,1}关于普通的加法运算
C . 集合}|12{+∈-=Z x x S 关于普通的加法运算
D . 集合{2|}n S n Z +=∈关于普通的乘法运算
4.在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的( )
*b =a -b *b =max{a ,b } *b =a +2b *b =|a-b |
5.对自然数集N ,下列哪种运算是不可结合( )。
A .*3a b a b =++
B .*min{,}a b a b =
C .*2a b a b =+
D . *(mod3)a b ab =
6.设ο是正整数集+Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的
最大者),那么ο在+
Z 中( )
A .不适合交换律;
B .不适合结合律;
C .存在单位元;
D .每个元都有逆元。
二、填空题
1.集合A={a , b , c }上总共可定义的二元运算的个数为______。
2、设S 是非空有限集,代数系统(),,P S <>U I 中,()P S 对U 运算的单位是 ________,()P S 对I 运算的单位元____。
4.设{0,1,2,...,1}n n =-Z ,在代数系统,,n <⊕⊗>Z 中,,⊕⊗分别表示模n 的加法和乘法,则n Z 对⊕运算的单位元是______, n Z 对⊗的单位元是_______。
5.设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6},G 关于模7乘法构成代数系统,群G 的幺元是_________,元素3与______互为逆元。
三、判断题
1. 设(N,*)是代数系统,其中N 为自然数集,*为二元运算,定义为:对任何的a,b?N ,有a*b=a ,则*是可结合的。( )
2. 在一个代数系统中,若一个元素的逆元是惟一的,则运算必定是可结合的。( )
3. 设*是S 上的可结合运算,若a ?S 是可逆的,则a 也是可消去的。( )
4. 设*是S 上的可结合运算,若a ?S 是可消去的,则a 也是可逆的。( )
5. 设(A ,ο,*)是一个代数系统,对于任意的a ,b ?A ,有a οb =a ,而*是A 上的任意二元运算,则*对ο不一定是可分配的。( )
四、解答题
1、在实数集合R 上定义二元运算*226X Y XY X Y =--+
(1) 验证*是否满足交换律和结合律。
(2) 求*的单位元。
(3) 对任何实数X ,求其逆元。
2.设代数系统,*A <>,其中{,,,}A a b c d =,*运算定义如下表,请指出*运算是否是可交换的;是否有单位元;如果有单位元,指出哪些元素是可逆的,并给出它们的逆元。
*
a b a
b
c
d a b c d b c d c d a c d a b d a b c
3.设代数系统>⊕=<},,{b a P V ,⊕为集合的求对称差运算,求V 的所有子代数,并说明哪些是非平凡的真子代数。
4.设代数系统{1,2,3},,1V =<>o ,其中x y o 表示求x 和y 之中的较大的数,求V 的所有子代数,并说明哪些是非平凡的真子代数。