北航数学分析期末考试卷
北航高数07-08试题 答案
sin x
x3
lim x0
2 x2 cos x 2 sin2 x 3x2
2[1 1 x2 o( x2 )] [1 1 x2 o( x2 )] 2[1 1 x2 o( x2 )]
lim
2
x0
2
2
3x2
2
6
4
四、求导数（每小题5 分， 共 10 分）
x0 )
f
(1 2!
) (0
x0
)2
,1
(0,
x0
),
f (1)
f (x0 )
f ( x0 )(1
x0 )
f (2 ) (1 2!
x0 )2 ,2 ( x0 ,1),
于是f
(1
)
2 x2
,
0
f
( 2
)
(1
2 x0
)2
.
故 min{ 0 x1
f
( x)}
min{
f
(1 ),
f
(2 )}
min {
0 x01
2 x2
0
,
(1
2 x0 )2
}
8.
13
高等数学期末考试试题 2008-1-24
一、填空（每小题 4 分，共 20 分）
11
1. lim x sin cos __________.
x
xx
2. 1 (sin 5 x 1 x 2 )dx 1
.
3.曲线 y 2 ( x )3 (0 x 1) 的弧长为
.
3
1月北京航空航天大学数学分析期末试题答案
北京航空航天大学2005-2006学年第一学期考试统一用答题册考试课程数学分析B班级成绩姓名学号20XX年1月数学分析(上)期终考试试题班级 学号 姓名 日期：2006.1.20一、填空题（每小题4分，共20分）1． sin 0tan 00limx →+⎰⎰= 12． 不定积分dx x ⎰sec = ln sec tan x x C ++3． 设()f x 有一阶连续导数，则'()d f x x ⎰=()f x C +，10'(2)d f x x ⎰=[]1(2)(0)2f f -。
4． 设函数()2xf x xe -=，则()f x 在0=x 处的5阶带Peano 余项的泰勒公式为()3551()2f x x x x o x =-++ 5． 111lim ......12n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭= ln 2 二、单项选择（每小题4分，共20分）1. 设()f x 连续, 220()()d x F x f t t =⎰, 则 '()F x 等于 【 C 】A. 4()f xB. 24()x f xC. 42()xf xD. 22()xf x2．下列命题中正确的是 【 B 】.A 若级数1n nn u v∞=∑收敛，则2211,nnn n uv∞∞==∑∑一定都收敛。
B ．若级数2211,nnn n uv∞∞==∑∑收敛，则1n nn u v∞=∑ 一定收敛 。
.C 若正项级数1n n u ∞=∑发散，则必有 1,1,2,3n u n n>= 。
.D 若1nn u∞=∑收敛，且,1,2,3,.....n n u v n ≥=，则1nn v∞=∑也收敛。
3． 设正项数列{}n a 单调递减 ，()11nn n a ∞=-∑发散，则级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ 【 C 】A. 和等于1 B . 发散C . 收敛 D. 收敛性不能确定4. 设 1220011()d d 11xxF x t t t t =+++⎰⎰，则 【 B 】 A ．()0F x ≡ B.()2F x π≡C. ()arctan F x x =D.()2arctan F x x =5. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x x x x f , 则⎰=x dt t f x F 0)()(在x = 0处 【 D 】Ａ．不连续 Ｂ. 连续但不可导Ｃ．连续且可导 D . 导函数连续三、计算题（每小题6分，共24分）1.x x d arctan⎰1arctan 11arctan (1)x x dx x dx x xx C x C=-=+++=+=+⎰⎰ 2. 221d (1)(2)x x x x +++⎰ 2245112(1)24ln 15ln 21dx x x x x C x⎛⎫=-+ ⎪+++⎝⎭=--+++++⎰3.x x xd ln 12⎰∞+221111211ln -1ln 1d ln d d x 11d 1x x x x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭==-=⎰⎰⎰⎰4. 设D 是由曲线 1sin +=x y 与三条直线 0,,0===y x x π 所围成的曲边梯形，求D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会学术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令)x x T -=，试证明T 服从t -分布t （2）二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。
三、（8分）设总体X 的密度函数为其中1α>-，是位置参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体X 的密度函数为1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ⎧⎧-⎫-≥⎨⎬⎪=⎭⎨⎩⎪⎩，其它，其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。
（1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧； （2）σ∧是否为σ的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。
为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α的UMPT 。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会学术部2011 年12 月2007-2008学年第一学期期末试卷一、(6 分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( , 2) 的样本，令2(x1 x2)T(x3 x4)2 (x5 x6)2 ，试证明T 服从t-分布t(2)二、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明1的 (0< <1)的分位点x 是1。
F F1 (n,m) 。
三、(8分)设总体X 的密度函数为其中1，是位置参数。
x1，x2，⋯，x n是来自总体X 的简单样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。
四、(12分)设总体X 的密度函数为1xexp ，xp(x; )0 , 其它其中, 已知，0, 是未知参数。
x1，x2，⋯，x n 是来自总体X 的简单样本。
1)试求参数的一致最小方差无偏估计；2) 是否为的有效估计？证明你的结论。
五、(6分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 1, 12) 的简单样本，y1，y2，⋯，y n 是来自正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独立，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。
为检验假设H0 :可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 ,1 2, H1 : 1 2,则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，⋯，z n，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题H0: 202, H1: 202的水平为的UMPT。
七、(6 分)根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、(6 分)设方差分析模型为总离差平方和试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。
航空航空数学期末考试试题及答案
航空《航空数学》期末考试试题及答案基本信息：[矩阵文本题] *1. 下列语句是命题的是（）. [单选题] *A. 4大于3吗?B. 请关门C. x大于yD. 4>3(正确答案)2. 下列命题是真命题的是（） [单选题] *A. 正方形是矩形,且正方形是菱形(正确答案)B. -1<0,且-1是正数C. π>3,且π是有理数D. 3是偶数,且2是奇数3. 下列命题是假命题的是（） [单选题] *A. 5>4,或5=4B. 5>5,或5=5C. 5<4,或5=4(正确答案)D. 实数a的绝对值等于a或-a.4.下列命题不是简单命题的是（） [单选题] *A. 5>4B. 5=5C. 5<4D. 4≤5(正确答案)5. 下列不是复合命题的联结词的是（） [单选题] *A. 且B. 或C. 不是D. 联结(正确答案)6. 当p为真，q为假时,下列复合命题是真命题的是（） [单选题] *A. p且qB. p或q(正确答案)C. 非pD. 以上都不是7. 设p和q是两个命题,如果p q,那么称p是q的（）[单选题] *A. 充分条件(正确答案)B. 必要条件C. 充分必要条件D.等价条件8. ab>0是a>0且b>0的（） [单选题] *A. 充分条件B. 必要条件(正确答案)C. 充分必要条件D.等价条件9. (1) 如果p,那么q;(2) 如果q,那么p,则(2)叫做(1)的（） [单选题] *A. 逆命题(正确答案)B. 否命题C. 逆否命题D.假命题10.如果原命题是真，下列正确的是（） [单选题] *A. 逆命题一定真B.否命题一定假C. 逆否命题一定真(正确答案)D.逆命题一定假11. (1) 如果p,那么q; (2) 如果非q,那么非P。
则 (2)叫做(1)的（） [单选题] *A. 逆命题B. 否命题C. 逆否命题(正确答案)D.假命题12. (1) 如果p,那么q; (2) 如果非p,那么非q; 则 (2)叫做(1)的（） [单选题] *A. 逆命题B. 否命题(正确答案)C. 逆否命题D.假命题13. 若植树这件事的算法表示为:挖坑→栽树苗→填土→浇水，这种算法结构为（） [单选题] *A. 顺序结构.(正确答案)B. 条件结构C. 循环结构.D.模块结构14.不属于算法的三种结构的是（） [单选题] *A. 顺序结构.B. 条件结构C. 循环结构.D.模块结构(正确答案)15.有关数组，下列叙述不正确的是（） [单选题] *A. 两个数组之和即两个数组的对应分量相加,得到的新数组B. 两个数组之差即两个数组的对应分量相减,得到的新数组C. 数组中分量的个别数叫做数组的维数D. 数组的加、减运算的维数不必相同.(正确答案)16. 有关数乘，下列说法不正确的是（） [单选题] *A. 数乘就是一个实数乘一个数组B.数乘的法则就是把实数分别与分量相乘C.数乘后还是一个数组D.数乘后数组的维数会改变.(正确答案)17.有关数组的内积,下列说法正确的是（） [单选题] *A. 内积即是数乘,即一个实数与数组的乘积B. 不同维数的数组可以求内积C. 两数组的内积还是一个数组D.内积的结果是一个实数(正确答案)18.对编制计划的理解下列不正确的是（） [单选题] *A.编制计划就是对工作进行合理的安排B. 一个合理的计划不需考虑工期。
北航2015-2016年工科数分（1）期末_A卷_答案
北航2015-2016年⼯科数分（1）期末_A卷_答案北京航空航天⼤学2015－2016 学年第⼀学期期末考试《⼯科数学分析（Ⅰ）》（A卷）班号学号姓名主讲教师考场成绩2016年01⽉20⽇1. 下列命题中错误的是（D ）A. 若()f x 在区间(,)a b 内的原函数是常数，则()f x 在(,)a b 内恒为0;B. 若],[)(b a x f 在上可积, 则],[)(b a x f 在上必有界；C. 若],[)(b a x f 在上可积, 则()f x 在区间[,]a b 上也可积；D. 若],[)(b a x f 在上不连续，则],[)(b a x f 在上必不可积 . 2. 设()f x 满⾜等式120()2()d f x x f x x =-?，则1()d f x x ?=（ B ）A. 1;B. 1;9C. 1;-D. 1.3-3. 设函数()f x 可导，则（ C ） A.()d ();f x x f x =?B.()d ();f x x f x '=?C. ()d()d ();d f x x f x x=?D.()d ()d ().d f x x f x C x=+?4. 下列⼴义积分中，发散的是（ C ）A.1dx +∞； B.211dx x+∞?； C. 11sin d xx x+∞+?； D. 1sin d .x e x x +∞-?5. 瑕积分 31ln dxx x=?（ C ）A. l n l n 3;B. 0;C. ;+∞D. 1.1.22325x dx x x -++?解：2222223(22)52525(25)152525x x dx dxx x x x d x x dx x x x x -+-=++++++=-++++2221ln(25)512x x dx x =++-++?（） 251ln(25)arctan .22x x x C +?? =++-+建议：拆成两项2分，积分计算各2分。
北京大学《数学分析(Ⅲ)》2020-2021学年第一学期期末试卷 (2)
北京大学《数学分析（Ⅲ）》2020-2021学年第一学期期末试卷《数学分析（Ⅲ）》院/系——年纪——专业——姓名——学号——一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（ ）A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在(a,b)上单调递增C. f(x)在[a,b]上单调递减D. f(x)在(a,b)上单调递减2. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b) = 0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得（ ）A. f'(ξ) = 0B. f'(ξ) > 0C. f'(ξ) < 0D. 以上都不一定3. 关于函数极限的ε-δ定义，以下说法正确的是（ ）A. 对任意ε>0，总存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εB. 对任意δ>0，总存在ε>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εC. 对任意ε,δ>0，当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εD. 以上都不对4. 设z = f(x,y)在点(x0, y0)处可微，则（ ）A. dz在(x0, y0)处连续B. dz在(x0, y0)处有界C. dz在(x0, y0)处可导D. dz在(x0, y0)处存在偏导数5. 设u = u(x,y,z)有连续的二阶偏导数，则（ ）A. u关于x的二阶偏导数与关于y的二阶偏导数一定相等B. u关于x的二阶偏导数与关于y的二阶偏导数一定不相等C. u关于x,y的二阶混合偏导数与关于y,x的二阶混合偏导数一定相等D. 以上都不一定6. 设函数$f(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，若$f'(x) > 0$对所有$x \in (a, b)$成立，则$f(x)$在$[a, b]$上（ ）A. 单调递增B. 单调递减C. 可能递增也可能递减D. 为常数7. 设$f(x)$在$x = x_0$处可导，且$f'(x_0) > 0$，则对于充分小的$\Delta x > 0$，有（ ）A. $f(x_0 + \Delta x) < f(x_0)$B. $f(x_0 + \Delta x) > f(x_0)$C. $f(x_0 + \Delta x) = f(x_0)$D. 无法确定8. 若$\lim_{{x \to \infty}} f(x) = L$，则下列说法正确的是（ ）A. $f(x)$在$x \to \infty$时单调B. $\lim_{{x \to -\infty}} f(x) = L$C. $f(x)$在$x \to \infty$时一定有界D. $\lim_{{x \to x_0}} f(x)$不一定存在9. 设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，则$f$在$(x_0, y_0)$处的全微分$dz$可以表示为（ ）A. $dz = f_x(x_0, y_0) dx + f_y(x_0, y_0) dy$B. $dz = f_x(x_0, y_0) + f_y(x_0, y_0)$C. $dz = f_x(x_0, y_0) dy + f_y(x_0, y_0) dx$D. $dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$10.设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且对任意$x \in (a,b)$，有$f(x) \geq 0$和$f'(x) \leq 0$，则：A. $f(x)$在$[a,b]$上单调递增B. $f(x)$在$[a,b]$上单调递减C. $f(x)$在$[a,b]$上恒为常数D. $f(x)$在$[a,b]$上无单调性二、填空题（每题3分，共15分）1. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x) < 0，则f(x)在[a,b]上的最小值为_______。
北航数学分析期末考试卷
一、填空题（每题5分，共30分）1． 设向量场),,(222xyz z xy yz x A =，求=divA=rotA2．求=+⎰→xx dx ααcos 12100lim 3．设),(y x f 在原点领域连续， 求极限=⎰⎰≤+→dxdy y x f y x ),(122220lim ρρπρ4．设为自然数，n z y x z y x D },10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤= 求=+++⎰⎰⎰dxdydz zy x y x n n n n n D 5．设,)(2)1(cos sin dt ex f t x x +⎰= 求=)('x f 6．)为右半单位圆 设L (,sin cos :⎩⎨⎧==θθy x L 求=⎰ds y L || 二、（本题满分１0分）设Ω为椭球体,1222222≤++c z b y a x 计算dxdydz xy z I )2(2+=⎰⎰⎰Ω三（本题满分１0分）计算曲面积分,)(dS z y x ++⎰⎰∑其中∑是平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分。
四（本题满分3０分，每题10分）1． 计算曲线积分2．计算曲面积分.zdxdy ydzdx xdydz ++⎰⎰∑其中)0(:22h y z x y ≤≤+=∑，方向取左侧。
⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I ,)()()(02222=++=++z y x a z y x L 与平面是球面其中取逆时针方向。
轴正向看去的交线，从L z3．计算,4)4()(.22yx dy y x dx y x L +++-⎰其中L 为单位圆周,.122=+y x 方向为逆时针方向。
五、（本题10分）A ．叙述在平面单连通区域D 上的曲线积分与路径无关的等价命题。
B 验证曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，且,0)0(,=f f 有一阶连续导数求).(x f六、证明题（本题10分）.d )(2d )(,]1,0[)(1010⎰⎰≤x x f x x x f x f 式利用二重积分证明不等上连续且单调增加在设一元函数。
北航有限元分析与应用期末复习题答案
Ni ( x j , y j ) =
N i ( xm , ym ) =
即 另外
Ni + N j + N m =
N i ( x j , y j ) = δ ij
1 (ai + bi x + ci y + a j + b j x + c j y + am + bm x + cm y ) 2∆ 1 [(ai + a j + am ) + (bi + b j + bm ) x + (ci + c j + cm ) y ] = 2∆ 1 (2∆ + 0 ⋅ x + 0 ⋅ y ) = 1 = 2∆
时的等效结点载荷， 假设结点坐标已知， 单元厚度为 t。 解：设三角形面积坐标为 L1、L2、L3，则形函数：
y 5
2
(x2,y2) q 4
N1 = L1 (2 L1 − 1) 、N 2 = L2 (2 L2 − 1) 、N 3 = L3 (2 L3 − 1) N 4 = 4 L1 ⋅ L2 、 N 5 = 4 L2 ⋅ L3 、 N 6 = 4 L3 ⋅ L1
∂u ∂x 0 ∂v {ε } = = 0 y ∂ 0 ∂u ∂x + ∂y ∂x
0 {σ } = [ D]{ε } = 0 0
∴
∴ ∴
单元中不产生应力。
6
8、求图示二次三角形单元在 142 边作用有均布侧压 q
xi yi yj ym
2∆ = 1 x j 1 xm
根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式 乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元素的 代数余子式乘积之和等于零。所以
北航-工科数学分析2010-2011期末试题
A一、计算题（每小题6分，共60分）1、已知函数2u x yz =+，求梯度grad u 及其梯度的散度().div grad u 解：,2,,u u u x z y x y z∂∂∂===∂∂∂{2,,},grad u x z y =---------------------------------------------------------3分()()()() 2.grad u grad u grad u div grad u x y z∂∂∂=++=∂∂∂--------------------3分2、设曲线22:=14x L y +的周长为l ，求2(2).Lx y ds +⎰ 解：222(2)(4)444.LLLLx y ds x y ds xyds ds l +=++==⎰⎰⎰⎰ 3、设D 是由1,0==y x 及x y =围成的区域，计算22.y Dx e dxdy -⎰⎰解：因为2_y e dy ⎰无法用初等函数表示，所以积分时必须考虑次序，2222321112_2200..3312(1).3yy y y y Dy y x edxdy dy x edx ee dy e---====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰4、设222:,r D x y r +≤求22201lim cos().rx y r D ex y dxdy r+-→+⎰⎰解：由积分中值定理，存在(,),r D ξη∈使得22222cos()cos().rx y D e x y dxdy e r ξηξηπ--+=+⎰⎰于是原式=2220lim cos()..r e r ξηξηππ+-→+=5、设Ω为椭球体,1222222≤++c z b y a x 计算2().x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰解法一：作广义极坐标变换：Asin cos :sin sin cos x ar T y br z cr ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩则T 的Jacobi 行列式为2J(,,)sin r abcr ϕθϕ=所以2222222()[()222]()x y z dxdydzx y z xy xz yz dxdydz x y z dxdydzΩΩΩ++=+++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2122222222402222222222002222220222(sin cos sin sin cos )sin 2(sin cos sin sin cos )sin 52(2cos 2sin )54().15d d a b c abcr drabc d a b c d abc a b c d abc a b c πππππθϕϕθϕθϕϕθϕθϕθϕϕϕθθθπ=++=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法二因为2222()()222,x y z x y z xy xz yz ++=+++++且,,xy xz yz 分别关于,,x y z 的奇函数，所以20,20,20.xydxdydz xzdxdydz yzdxdydz ΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是2222222()[()222]()x y z dxdydzx y z xy xz yz dxdydz x y z dxdydzΩΩΩ++=+++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为22zccD z dxdydz z dz dxdy-Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中222222{(,)|1}.z x y z D x y a b c=+≤-于是2222324(1),15zccc c D z z dxdydz z dz dxdy ab z dz abc c ππ--Ω==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理，232344,1515x dxdydz a bc y dxdydz ab c ππΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰故22224()().15x y z dxdydz abc a b c πΩ++=++⎰⎰⎰6、计算积分22(),x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由2z z ==围成的区域.解：作柱面坐标变换:cos ,sin ,T x r y r z zθθ===则积分区域Ω的表达式变为{(,,)|2,02,02},r z r z r θθπΩ=≤≤≤≤≤≤因此222223016().5rx y dxdydz dr d r dz πθπΩ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰7、计算22,Lxydx x dy +⎰其中L 为有向折线OAB ，这里,,O A B 依次是点(0,0),(1,0),(1,1).解：222222LOAABxydx x dy xydx x dy xydx x dy+=+++⎰⎰⎰100(2.01)1.y dy=++=⎰8、设Ω是由球面2224x y z ++=和平面0,0,0x y z ===所围成的在第一卦限的空间区域，则三重积分222()d f x y z V Ω++⎰⎰⎰在球坐标系下的累次积分为解222220()sin d d f r r drππϕθθ⎰⎰⎰9、计算曲面积分222,x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰其中∑是球面2222(0)x y z R z ++=≥的上侧.解法一：因为∑是关于Oyz 平面对称的上半球面，所以∑上关于Oyz 平面对称的元素i ∆∑在Oyz 平面上的有向投影i σ∆正好抵消，被积函数关于x 是偶函数，故由定义可得，20.x dydz ∑=⎰⎰同理，20.y dzdx ∑=⎰⎰所以原式=22222222224()().2Rx y R z dxdy R x y dxdy d R r rdr R π∑πθ+≤=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法二222222224()().2xyxyD D Rz dxdy z dxdy R x y dxdyd R r rdr R ∑ππθ==--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰又2222222()()0,yzyzD D x dydz R z y dydz R z y dydz ∑=-----=⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理,2222222()()0,zxzxD D x dydz R z x dydz R z x dydz ∑=-----=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式4.2R π=解法三原式=22222222222240{((}00()().2xyD Rx y Rx y z dxdyR x y dxdy d R r rdr ππθ+≤+-+=++--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰10求向量场222(,,)A x yz xy z xyz =的旋度.解：222222222((),(),())ij k rotA x z y y x z z y x x y z x yzx y zx yz ∂∂∂==---∂∂∂二、（本题满分10分）设(,)f x y 在2214x y +≤上具有连续的二阶偏导数，L 是椭圆2214x y +=的顺时针方向，求[3(,)](,)xyLy f x y dx fx y dy ++⎰的值.（利用Green 公式）解：(,)3(,),(,)(,),x y P x y y f x y Q x y f x y =+=---------------------------------------2分则(,)(,)3(,),(,),xy yx P x y Q x y f x y f x y yx∂∂=+=∂∂----------------------------4分由Green 公式得,[3(,)](,)36.xyLDy f x y dx fx y dy dxdy π ++=--=⎰⎰⎰-----------------------10分三、（本题满分10分）利用Gauss 公式计算32222cos cos cos ,()x y z dS x y z αβγ∑++++⎰⎰其中∑是包含原点的曲面222(1)(2)(3)191625x y z ---++=的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是其外法线向量的方向余弦.解：332222222232222(,,)(,,),()()(,,)()x y P x y z Q x y z x y z x y z z R x y z x y z ==++++=++-----------------------2分对充分小的0,ε>取22221:x y z ε∑++=（取内侧），-------------------------------4分使1∑位于∑内的内区域中，记Ω为∑与1∑所围有界区域，则11332222222232222cos cos cos cos cos cos ()()cos cos cos ()x y z x y z dS dSx y z x y z x y z dS x y z αβγαβγαβγ∑∑+∑∑++++=++++++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------7分1222233++10(cos cos cos )134.x y z dV x y z dSdV εαβγεπεΩ∑≤=-++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---------------------------------------------10分四、（本题满分10分）利用Stokes 公式计算积分222222()()()I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰ ，其中Γ为平面1x y z ++=与三个坐标平面的交线，从第一卦限向原点看逆时针方向．四、解：222222P(,,)=,(,,)R(,,)=,x y z y z Q x y z x z x y z y x +=++，且cos αβγ===---------------------------------------------4分则222222cos cos cos 3().2SSI dS x y z dS dS xyzy z z x x yαβγ∂∂∂==-++=-=-∂∂∂---⎰⎰-------10分或222222Sdydzdzdx dxdyI x y z y z z x x y∂∂∂∴=∂∂∂---⎰⎰2()()()...S y z dydz z x dzdx x y dxdy =-+++++=⎰⎰．五、（本题满分10分）设曲线积分2()Lxy dx yf x dy +⎰与路径无关，其中()f x 具有连续导数，且(0)0,f =求()f x 的表达式并计算(2,2)2(0,0)()xy dx yf x dy +⎰的值.解：令2P(,)=,(,)()x y xy Q x y yf x =则'P(,)(,)2,()x y Q x y xy y f x y x∂∂==∂∂------------------------------------2分因为P(,)(,),x y Q x y y x∂∂=∂∂所以有'2(),x f x =-------------------------------------------------4分解得，2(),f x x C =+又由于(0)0,f =知20,().C f x x ==----------------------------------------------------------6分(2,2)(2,2)222(0,0)(0,0)222()(..)8.xy dx yf x dy xy dx yx dyx x x x dx +=+=+=⎰⎰⎰-------------------------------------------10分六、（附加题满分10分）设22:0L x y x y +++=的方向为逆时针方向，证明：22sin +cos 2L y x dx x y dy π≤-≤⎰证明：令由22:0L x y x y +++=围成的区域为,D 由GREEN 公式得222222sin +cos (sin cos )sin cos LDDDy x dx x y dy x y dxdyx dxdy x dxdy-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---------4分2),4Dx dxdy π=+⎰⎰-----------------------------------------6分又(,),x y D ∈于是有1||,2x ≤从而2,2x π≤所以23,444x πππ<+≤------------------------------------------------------8分于是2sin(1,24x π<+≤且2(),2S D ππ==---------------------------------------10分故命题得证.。
北航数理统计考试题
北航数理统计考试题2022年12月2022年-2022年学年第一学期期末试卷一、（6分，A班不做）设x1，x2，。
，xn是来自正态总体N( ,2)的样本，令Tx x)，试证明T服从t-分布t（2）二、（6分，B班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明1F的（0 1）的分位点x 是1F1 (n,m)。
三、（8分）设总体X的密度函数为(1 )x ,0 x 1p(x; )0 , 其他其中1，是位置参数。
x1，x2，。
，xn是来自总体X的简单样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体X的密度函数为1 x exp ，xp(x; ) ，0 , 其它其中, 已知，0,是未知参数。
x1，x2，。
，xn是来自总体X的简单样本。
（1）试求参数的一致最小方差无偏估计；（2）是否为的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A班不做）设x1，x2，。
，xn是来自正态总体N( 简单样本，y1，y2，。
，yn是来自正态总体N( 两样本相互独立，其中设H0: 1 2, H1: 1 2,1221, 1)2的, 2)的简单样本，且21, 1, 2, 222是未知参数，22。
为检验假可令zi xi yi, i 1,2,...,n , 1 2 ,则上述假设检验问题等价于H0: 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，。
，zn，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，B班不做）设x1，x2，。
，xn是来自正态总体N( 简单样本，0已知，2未知，试求假设检验问题H0:2, )02的0, H1:2的水平为的UMPT。
七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、（6分）设方差分析模型为xij i j ij 2ij服从正态总体分布N(0, )且ij相互独立i 1,2,...,p;j 1,...,q pq 和满足i 0, j 0.jii 1j 1总离差平方和pST SA SB SE中SA q (xi x),xi 1x pqi 1j 11ij,xi1qijx qj 1,且E(SE)=(p-1)(q-1) .... P 0的拒绝2试求E(SA)，并根据直观分析给出检验假设H0: 1 2域形式。
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)
3. 证明下面问题（10 分） 设数列 xn 满足 xn1 xn 4. 证明下面不等式 (10 分)
e x sin x 1
x2 , x 0, p . 2
5. （ 10 分 ） 设 函 数 f x 和 g x 在 a, b 存 在 二 阶 导 数 ， 并 且 g '' x 0 , 且
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
1 x sin x 1 e x 1
2
.
求下面无穷小的阶
1 tan x 1 sin x x 0 .
3)
设 f sin x 设
cos x
0 x p
8)
1 x m sin , x 0, 已知 f x m 为正整数. x 0, x 0.
求:
m 满足什么条件，函数在 x 0 连续，
------------------------------------------------------------------------------基金项目： 《北京市精品课程建设》项目和校重点教改项目《工科数学分析开放式教学研究与实践》资助. 作者简介：杨小远(1964-)，女，籍贯：江苏，博士，北京航空航天大学数学与系统科学学院教授.主要研究 方向计算数学、应用调和分析和图像处理,电子邮箱：xiaoyuanyang@.
n P2
........
1 1 1 1 n P2 ........ 1 n P1 2 2 2 2
1 p 1 1 1 2 n 1 2n1 . 2 2
北航高等数学期末试卷
t dt 七. ( 8 分) 将函数 f ( x ) 8 t3 展开成 x 的幂级数 . n x n 的收敛区间及和函数 八（ 8 分 . ）求 . n1 ( n 1)!
x 0
九.( 8 分) 已知f (0) 0, x f ( x ) 1 0 (e t sin t f ( t ))dt , 求 f ( x ).
四（8 分）设有向曲线L 为圆周 x 2 y 2 ax . 从 A( a, 0)经 M ( a , a ) 至 O ( 0, 0) 的部分.求： 2 2 ( e x cos y my)dx ( e x sin y m )dy． L
m a 2 e a 1. 四. 8
五（8 分）计算 x 2dydz y 2dydx z 2dxdy, . 其中 是曲面 z 2 x 2 y 2 介于平面 z 0 和 z h ( h 0) 之间部分的下侧 .
三（8 分 . ）设 u f ( x , y, z )，其中 z z ( x , y) 由方程 ( x 3 , e y , z ) 0 所确定，而 y sin x . 又设 du . f , 具有一阶连续偏导数且 3' 0. 求 dx 2 y
du f f cos x 3 x e 2 cos x f 1 三. 1 2 3 dx 3
2. 设 D {( x , y) 1 x 2 y 2 4 }. sin( y x 2 y 2 ) 则 dxdy _________ x 2 y2 D A. 4 ; B. 0 ; C. 1; D. 4. 3.部分和数列{sn } 有界是正项级数 un 收敛的___.
5. 微分方程 ( x
2
北京航空航天大学高数试卷答案3,05
0
2
x sin xdx
2
0
2
f ( x ) dx
0
2
f ( x ) dx 1
4
0
2
f ( x ) dx
0
2
f ( x ) dx
4
0
4
五、（本题8分）
设函数 y
单增区间
x 0
2
e
t
2
dt ,
已知
e
0
t
2
dt
2
单减区间
凸区间 凹区间
填下表并作图
d dx
0
x
t f (x
2
t )d t ________
2
x f ( x ).
2
3.
1 0
(1
1 x ) dx __________
2
解： 注意：定积分的几何意义
1 0
(1
1 x ) dx
2
1 0
dx
1 0
1 x dx
2
1
1 4
4. 若函数f(x)对任意的x,y满足f(x+y)= f(x) f(y)， 且f(0)=1 ,f'(0)=1, 则f(x)=_________ 解： 找导函数满足的条件
f ' ( x ) lim f (x x) f (x) x
x 0
lim
f ( x )[ f ( x ) 1 ] x
x 0
f ( x ) lim
北航08-09高数第2学期期末试卷及参考答案.doc
北京航空航天大学2008-2009学年第二学期期末考试统一用答题册考试课程高等數学2院系: ____________ 学号_______________ 姓名_________________2009年6月”日一.填空题(每小题4分，共20分) 1.设比=/ \ 2,则？ -!ln2dz(12-1) 2 2. 微分方程冬=」一的通解为x=y(\ny + C)^y = Ce^ . dx x+ y ---------------------------------3. 设 D = {(x, y)\x 2 + y 2 < 2x, y > o},则 jj y dxdy =—.D A兀24. 已知 d u(x, y) = (x + ye x )dx + (e x + 2y)dy,则 u(x, y) = 一— y 2 4- ye x + C . 2JV v y v 0 则f (劝的傅里叶级数在X = 7T3 九 Q<X <7T,71 点处收敛于—• 2二.单项选择题(每小题4分，共2()分)1・设函数/(兀,y)有一阶连续偏导数,则使得方程几兀,y) = z 在点P(x 0, y 0,z 0)的某邻域内 能唯一确定一个单值、冇连续偏导数的函数x = g(y,z)的充分条件是(C )(A)于(兀0，为)=0,且咒(兀0』0)工。
・ (B)/UoO ;o )= °»且(兀0*0)工°・ (C) /(兀o ，yo )= Z0,且齐(兀0』0)工°・(D) /(Xo ，yo )= Zo ，且 (兀0，沟)工°・ 2.设空间有界闭区域々由分片光滑有向闭曲面2 (外侧)围成，函数P(x 9y,z)f Q(X 9y 9z),R (兀”z)在X2上有一阶连续偏导数，则卜•列正确的公式是(A )d* = # Qdydz + Rclzdx + Pdxdy. Xfff — + + — dv = Pdxdy + Qdydz + Rclzdx.J#® dy dzj 左{(A)塑+艺+叩 dx dy dz 丿 (B)in 込塑+逖 dx dy dz ) dv = ff(P + Q + H)dS(C)法线方程 x-1 y - V32V33.微分方程（\-x ）y f + xy-y = 0的通解是（B ）4.设曲面S:x 2+y 2+z 2 =a 2 （z>0）, S t 是S 在第一卦限的部分，则有（C ）(A) JJ xdS = 4JJ xdS .(B) j|ydS = 4JJ ydS . S S] S S](C) JJ zdS = 4JJ zdS.S S]5.下列叙述中正确的是(C )8（A ）若正项级数工知收敛, n=\88 OO （C ）若级数工知与工％?都收敛，则级数Y （知+乙）收敛.8 8 OO（D ）若级数工知与工b 都发散，贝IJ 级数工（知）发散77=1 n=l n=\三.（10分）求|11|面3”+2〉，2+3, =12在点（1,V3,1）处的切平面与法线方程. 解 设 F(x,y, z) = 3x 2 + 2y 2 + 3z 2 -12,F ： = 6无，F ； = 4y, F ； = 6z,则在点(1,V3,D 的法向量n = (6,4V3,6),于是切平面方程3(兀-D + 2巧(y-73) + 3(z-1) = 0, 即 3 无+ 2 巧 y + 3z — 12 = 0, (D) JJJ(P + Q + /?如 强 dydz + dQ j j dR .. —-cizdx + —— dxdy. oy dz(A) y = c x e x 4-C 2 . (C) y = c x e x +c 2x 2.(B) . y = c {e A + c 2x.(D) y = c x e x +c 2e~x . 则lim 也＜1."Too U n (B) 若 lim 也 vl U n 8 则级数工2如收敛.n=\x+2y + 3z,求该平而薄板的质量.W M = JJ(x + 2y+ 3z)dS 二 JJ (3 — 2兀一 y)y/3dxdy,D: 0<^<l-x, 0<x<l,S D二间;述 \3-2x-y)dyR i=J^(5 -8x + 3x 2 )dx =逅.五. （10分）计算严+ Mz 力+z 艸,其中刀为球面兀2十2+z2= 1的外侧 Z J （2宀宀 z2）3解 作椭球工。
北航研究生数值分析期末模拟历年考试
北航研究⽣数值分析期末模拟历年考试数值分析模拟试卷1⼀、填空（共30分，每空3分） 1 设-=1511A ，则A 地谱半径=)(a ρ______，A 地条件数)(1A cond =________. 2设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点地三次样条函数，则b=________,c=________.4设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ地最⾼项系数为1地正交多项式族，其中1)(0=x q ，则=1)(dx x xq k________，=)(2x q ________.5设=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三⾓阵，当其对⾓线元素)3,2,1(=i L ii 满⾜条件________时，这种分解是唯⼀地.⼆、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上地三次Hermite 插值多项式)(x H 使满⾜2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=地表达式.三、（14分）设有解⽅程0cos 2312=+-x x 地迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1）证明R x ∈?0均有?∞→=x x n x lim （?x 为⽅程地根）；（2）取40=x ，⽤此迭代法求⽅程根地近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代地收敛阶是多少？证明你地结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能⾼地代数精度. 试问所得地数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型地？五、（15分）设有常微分⽅程地初值问题??=='00)(),(y x y y x f y ，试⽤Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα地⽅法，使其具有⼆阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分）已知⽅程组b Ax ＝，其中==21,13.021b A ，（1）试讨论⽤Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此⽅程组地收敛性.（2）若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定⼀个地取值范围，在这个范围内任取⼀个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）⽅程组，其中，A 是对称地且⾮奇异.设A 有误差，则原⽅程组变化为，其中为解地误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 地按模最⼤和最⼩地特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；设)(x f 可微，求⽅程)(x f x =根地⽜顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；⽤⼆分法求⽅程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内地根，进⾏⼀步后根所在区间为_________，进⾏⼆步后根所在区间为_________________；求解线性⽅程组=+=+04511532121x x x x 地⾼斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵地谱半径=)(G ρ_______________；为使两点数值求积公式：-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最⾼地代数精确度，其求积节点应为=0x _____ ,=1x _____,==10ωω__________.8. 求积公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈?是否是插值型地__________，其代数精度为___________.⼆、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三⾓阵，U 为单位上三⾓阵.已知------=2100121001210012A ，求L，U . (2)设A 为66?矩阵，将A 进⾏三⾓分解：LU A =，L 为单位下三⾓阵，U 为上三⾓阵，试写出L 中地元素65l 和U 中地元素56u 地计算公式.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定⼀个次数不超过3地多项式)(x H ，满⾜3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，并写出插值余项. （12分）线性⽅程组=+=-22112122b x x b x x ρρ（1）请写出解此⽅程组地赛德尔迭代法地迭代格式，并讨论收敛性. （2）设2=ρ，给定松弛因⼦21=ω，请写出解此⽅程组地SOR ⽅法地迭代格式，并讨论收敛性.五、（7分）改写⽅程042=-+x x为2ln /)4ln(x x -=地形式，问能否⽤迭代法求所给⽅程在[1,2]内地实根？六、（7分）证明解⽅程0)(23=-a x 求3a 地⽜顿迭代法仅为线性收敛. 七、（12分）已知.43,21,41210===x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上地插值型求积公式；（2）指明求积公式具有地代数精度；（3）⽤所求公式计算12dx x.⼋、（8分）若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---= 互异，求],,,[10p x x x f 地值，这⾥.1+≤n p数值分析模拟试卷3⼀、填空题（每空3分，共30分）1．设1234)(248+++=x x x x f ，则差商=]2,,2,2[810 f ； 2．在⽤松弛法(SOR)解线性⽅程组b Ax =时，若松弛因⼦ω满⾜1|1|≥-ω，则迭代法；3．设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*x 地Newton 迭代法⾄少三阶收敛，)(x f 需要满⾜；4. 设)133)(2()(23-+-+=x x x x x f ,⽤Newton 迭代法求21-=x 具有⼆阶收敛地迭代格式为________________ ；求12=x 具有⼆阶收敛地迭代格式为___________________；5．已知?--=1327A ，则=)(A ρ__________,=∞)(A Cond ______ 6. 若1>>x ，改变计算式1lg lg 2--x x =___________________，使计算结果更为精确； 7．过节点())3,2,1,0(,3=i x x i i 地插值多项式为_____________ ； 8. 利⽤抛物(Simpson)公式求212dx x =.⼆、（14分）已知⽅阵=123111122A ，(1) 证明： A 不能被分解成⼀个单位下三⾓阵L 和⼀个上三⾓阵U 地乘积；(2) 给出A 地选主元地Doolittle 分解，并求出排列阵；(3) ⽤上述分解求解⽅程组b Ax =，其中Tb )4,2,5.3(=.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定⼀个次数不超过3地多项式)(x H ，满⾜40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(=''=''='='-====f H f H f H f H ，并写出插值余项.四、（10分）证明对任意地初值0x ，迭代格式n n x x cos 1=+均收敛于⽅程x x cos =地根，且具有线性收敛速度.五、（12分）在区间[-1,1]上给定函数14)(3+=x x f ，求其在},,1{2x x Span =φ中关于权函数1)(=x ρ地最佳平⽅逼近多项式.（可⽤数据：2123)(,)(,1)(2210-===x x p x x p x p ）六、(12分)(1)试导出切⽐雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccos cos()(-∈==x n x n x T n 地三项递推关系式：=-===-+),2,1()()(2)(,)(,1)(1110 n x T x xT x T x x T x T n n n （2）⽤⾼斯—切⽐雪夫求积公式计算积分dx x x x I ? --=22)2(1，问当节点数n 取何值时，能得到积分地精确值？并计算它.七、（10分）验证对?-+-+=++==++=?+))1(,)1((),(),()(2,13121311hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y t n n n n n n n n 为2阶格式.参考答案1 ⼀、1．6)(=a ρ，)(1A cond =6.2．],,[21++n n n x x x f =3，],,[321+++n n n n x x x x f ，=0. 3．b =－2，c=3.4．??≠=0,00,21k k ；10356)(22+-=x x x q .5．)3,2,1(0);21,21(=>-∈i l a ii⼆、(1) 25145023345026322514)(23-++-=x x x x H (2) ).49,41(),49()1)(41(169!41)(225∈---=-ξξx x x x R三、（1）32=L ;（2）347.3≈?x ;（3）线性收敛. 四、512,916,910-====αB C A ;求积公式具有5次代数精度，是Gauss 型地. 五、41472110＝－，＝，＝ββα；截断误差主项为)(833n x y h '''. 六、（1）,16.0)(,6.0)(<==G S J B B ρρ因此两种迭代法均收敛.（2）当06.011>>+a 时，该迭代公式收敛.参考答案2 ⼀、1．22．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n3．1, 0 4．7,725 5．)43,21(),1,21( 6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1??-=-=+++k k k k x x x x 7. 32,3210=-=x x ; 18. 是, 1⼆、(1)---=---=100431000321000211,4510003410002310002U L (2))(;)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=三、)2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(--=---=x x x f x R x x x x x H ξ四、(1) ??-=+=+++)1(12)1(2)(21)1(12k k k k x b x x b x ρρ, 1<ρ时收敛(2) ??-+=++=+++)1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212k k k k k k x x b x x x b x , 收敛五、收敛七、（1）)43(32)21(31)41(32f f f +- （2）2 (3)31 ⼋、110时为时为+=≤n ，p n p参考答案3 ⼀、1．42．发散3．0)(*=''x f4．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n ,),1,0()()(31 ='-=+n x f x f x x n n n n5．2608+, 49 6.1lg2-x x7. 3x 8.37 ⼆、(2) 先交换2、3两⾏，交换1、2两⾏，===010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001P U L(3) )5.4,1,5.1('-三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(-=-+-+-=x x f x R x x x x x x H ξ五、10512p p +六、1=n ，2π版权申明本⽂部分内容，包括⽂字、图⽚、以及设计等在⽹上搜集整理.版权为个⼈所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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A 一、填空题（每题5分，共30分）
1． 设向量场),,(222xyz z xy yz x A =，求=divA
=rotA 2．求=+⎰→x
x dx ααcos 12100lim 3．设),(y x f 在原点领域连续， 求极限=⎰⎰≤+→dxdy y x f y x ),(12222
0lim ρρπρ
4．设为自然数，n z y x z y x D },10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=
求=+++⎰⎰⎰dxdydz z
y x y x n n n n n D 5．设,)(2)1(cos sin dt e
x f t x x +⎰= 求=)('x f 6．)为右半单位圆 设L (,sin cos :⎩⎨⎧==θ
θy x L 求=⎰ds y L || 二、（本题满分１0分）
设Ω为椭球体,1222222≤++c z b y a x 计算dxdydz xy z I )2(2+=⎰⎰⎰Ω
三（本题满分１0分）
计算曲面积分,)(dS z y x ++⎰⎰∑
其中∑是平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所
截得的部分。
四（本题满分3０分，每题10分）
1． 计算曲线积分
⎰-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I ,)()()(02222=++=++z y x a z y x L 与平面是球面其中取逆时针方向。
轴正向看去的交线，从L z
2．计算曲面积分.zdxdy ydzdx xdydz ++⎰⎰∑
其中)0(:22h y z x y ≤≤+=∑，方
向取左侧。
3．计算,4)4()(.22y
x dy y x dx y x L +++-⎰其中L 为单位圆周,.122=+y x 方向为逆时针方向。
五、（本题10分）
A ．叙述在平面单连通区域D 上的曲线积分与路径无关的等价命题。
B 验证曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，且
,0)0(,=f f 有一阶连续导数求).(x f
六、证明题（本题10分）
.d )(2d )( ,]1,0[)(1
010⎰⎰≤x x f x x x f x f 式利用二重积分证明不等上连续且单调增加在设一元函数。