北航数学分析期末考试卷

A 一、填空题（每题5分，共30分）

1． 设向量场),,(222xyz z xy yz x A =，求=divA

=rotA 2．求=+⎰→x

x dx ααcos 12100lim 3．设),(y x f 在原点领域连续， 求极限=⎰⎰≤+→dxdy y x f y x ),(12222

0lim ρρπρ

4．设为自然数，n z y x z y x D },10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=

求=+++⎰⎰⎰dxdydz z

y x y x n n n n n D 5．设,)(2)1(cos sin dt e

x f t x x +⎰= 求=)('x f 6．)为右半单位圆 设L (,sin cos :⎩⎨⎧==θ

θy x L 求=⎰ds y L || 二、（本题满分１0分）

设Ω为椭球体,1222222≤++c z b y a x 计算dxdydz xy z I )2(2+=⎰⎰⎰Ω

三（本题满分１0分）

计算曲面积分,)(dS z y x ++⎰⎰∑

其中∑是平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所

截得的部分。

四（本题满分3０分，每题10分）

1． 计算曲线积分

⎰-+-+-=L

dz y x dy x z dx z y I ,)()()(02222=++=++z y x a z y x L 与平面是球面其中取逆时针方向。轴正向看去的交线，从L z

2．计算曲面积分.zdxdy ydzdx xdydz ++⎰⎰∑

其中)0(:22h y z x y ≤≤+=∑，方

向取左侧。

3．计算,4)4()(.22y

x dy y x dx y x L +++-⎰其中L 为单位圆周,.122=+y x 方向为逆时针方向。

五、（本题10分）

A ．叙述在平面单连通区域D 上的曲线积分与路径无关的等价命题。

B 验证曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，且

,0)0(,=f f 有一阶连续导数求).(x f

六、证明题（本题10分）

.d )(2d )( ,]1,0[)(1

010⎰⎰≤x x f x x x f x f 式利用二重积分证明不等上连续且单调增加在设一元函数