2016年专项练习题集-定积分的计算

2016年专项练习题集-定积分的计算

一、选择题

1.dx x )5(1

22-⎰=（ ） A.233

B.

31 C.3

4 D ．83

【分值】5分

【答案】D

【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。

【考查方向】求定积分

【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。

【解析】dx x )5(122-⎰=123153x x -＝83

． 2.直线9y x =与曲线3

y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）

A 、

B 、

C 、2

D 、4

【分值】5分

【答案】D

【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函

数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数.

【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积

【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积.

【解析】由⎩

⎨⎧==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4

81034129942303

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰x x dx x x S ，故选D. 3.2

2-⎰2412x x -+dx =（ ） A.π

4 B.π

2

C.π

D.π3

【分值】5分

【答案】A

【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型.

【考查方向】求定积分

【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。

【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2

2-⎰2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2

2-⎰2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v

＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后赛车A 追上赛车B 所用的时间t (s)为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【分值】5分

【答案】A

【易错点】将问题转化为定积分的理解

【考查方向】本题主要考查了变速直线运动的路程问题。

【解题思路】先表示出变速直线运动物体的速率v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，然后应用“物体从时刻t ＝a 到t ＝b (a

【解析】因为赛车A 在t 秒内行驶的路程为⎰0t (3t 2＋1)d t ，赛车B 在t 秒内行驶的路程为

⎰

0t 10t d t ，所以⎰0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪

⎪⎪⎪ t 0＝t 3＋t

－5t 2＝5⇒(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5.

5.如图，阴影部分的面积为( )

A ．9

B ．

136

C ．92

D ．73 【分值】5分

【答案】C

【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。

【考查方向】本题主要考查了曲线围成面积的求法。

【解题思路】首先应该根据图形的面积所表达的条件找出被积函数,写出积分形式，以x 为变量设定，被积函数即为y=－x 2－x ＋2,然后求定积分。

【解析】由22,y x y x

=-⎧⎨=-⎩求得两曲线交点为A(－2，－4)，B(1，－1)．结合图形可知阴影部分的面积为S ＝1

2-⎰[－x 2－(x －2)]d x ＝

12-⎰(－x 2－x ＋2) d x ＝ 321

21192322x x x -⎛⎫--+= ⎪⎝⎭

．所以选C.

二、填空题

6.=+⎰-dx x x 1

13)sin (___________．

【分值】5分

【答案】0

【易错点】微积分基本定理即导数的逆运算的应用。

【考查方向】本题主要考查了定积分的求解。

【解题思路】先将被积函数进行求导的逆运算，然后计算函数值的增量。 【解析】0)cos 41()sin (1141

13=-=+--⎰x x dx x x 7.设f (x )＝[][]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈e x

x e x ,111,0,(e 为自然对数的底数)，则＝________． 【分值】5分

【答案】e

【易错点】应用微积分定理求积分的关键是求被积函数的原函数,注意求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算;当被积函数是分段函数时，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和．

【考查方向】本题主要考查了分段函数定积分的求解。

【解题思路】先将被积函数的各段进行求导的逆运算，然后分别计算函数值的增量。 dx x f e

)(0⎰

【解析】1

ln 011101)(0e x e dx x e dx e dx x f e x x +=+=⎰⎰⎰=e-1＋lne ＝e. 8.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______. 【分值】5分

【答案】0

【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。

【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义。

【解题思路】先分清是求曲边图形面积，还是利用曲边图形面积解决其他问题，再正确作出图形，确定积分区间和被积函数，然后根据条件，建立等量关系或方程，进行求解．

【解析】由已知得，所以，所以. 三、解答题

9.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎰01(x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．

【分值】10分

【答案】a ＝6，b ＝0，c ＝－4

【易错点】定积分与导数逆运算的关系

【考查方向】本题主要考查了定积分的运算。

【解题思路】 根据题设条件，列出方程组，求出a ，b ，c .

【解析】由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.①

因为f ′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＝0.②

又因为⎰01f (x )d x ＝⎰01(ax 2＋bx ＋c )d x

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx |10＝13a ＋12b ＋c ， 所以13a ＋12

b ＋

c ＝－2.③ 0a

>y =

,0x a y ==2a a =223023032|32a a x x S a a ====⎰3221=a 94=a