离散傅里叶变换性质
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
1离散傅里叶变换的定义及物理意义2离散傅里叶变换的基本
的主值序列。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数 X (k ) 确定，因此： X(k) 实质上是 x(n) 的周期延拓序列 x((n)) N 的频谱特性 观察 DFT[R4(n)]4= 4δ(k)。 根据DFT第二种物理解释可知，DFT[R4(n)]4 表示 R4(n)以4为周期的周期延拓序列R4((n))4的频谱特性，因 为R4 ((n))4是一个直流序列，只有直流成分（即零频率 成分），所以， DFT[R4(n)]4 = 4δ(k) 。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
|X(ejω)| (a)R4(n)的幅频特性图
4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
|X(k)|
(b)4点DFT的幅频特性图
5 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
|X(k)|
ω/π
ω/π
图3.1.3 例3.1.2程序运行结果
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
3.2
3.2.1 线性性质
若x1(n)、x2(n)是两个有限长序列，长度为N1、N2，且
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
a、b为常数，取N=max[N1, N2]，则 y(n) 的 N 点DFT为
Y(k) = DFT[y(n)]N = aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1 其中 X1(k) 和 X2(k) 分别为 x1(n) 和 x2(n) 的N点DFT
x(n) x((n)) N
（3）最后取 x(n m) 的主值序列 x((n+m)) NRN(n) 得到有限长序列 x(n) 的循环移位序列 y(n)。
离散傅里叶变换及其性质
离散傅⾥叶变换及其性质1 ⼀维与⼆维离散傅⾥叶变换以周期对函数 f(t) 采样可表⽰为，对采样函数进⾏傅⾥叶变换得，整理得。
由于对函数 f(t) 的采样周期为，采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期为，同样的，也是采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期，只是这个周期不是以原点对称的。
在区间中取 M 个点，则第 m 个点的频率为，带⼊公式得，其中，为连续函数 f(t) 对应的 M 个离散值，为取样函数的傅⾥叶变换对应的 M 个离散值，整理公式得（由于函数仅在 [0,M-1] 上有⾮零值，故真实求和区间为 [0,M-1]）。
因此，⼀维离散傅⾥叶变换对为，。
类似的，⼆维离散傅⾥叶变换对为，。
2 傅⾥叶变换的性质1）傅⾥叶变换平移特性，⽤指数项乘以 f(t) 使得傅⾥叶变换后原点移动到处，使⽤负指数乘以使得反傅⾥叶变换后原点移动到处，证明如下：，使⽤替换得，因此有，类似推导可得。
将平移特性扩展到⼆维离散变量上有。
2）离散傅⾥叶变换⼀定具有周期特性，因为离散傅⾥叶变换的频率取值在区间内，有限频率导致必然具有周期性，连续傅⾥叶变换频率取值为⽆穷⼤，所以连续傅⾥叶变换⼀般不具有周期性（但也有所有频率都⼀样的函数）。
离散傅⾥叶变换周期性可表⽰为。
观察公式 或，发现频率取值在之间，⽽⼀个完整的频率应该在之间，如下图：如果直接应⽤公式进⾏傅⾥叶变换，得到的频率为 [0,M-1]区间，这是两个半周期组成的⼀个周期。
在图像中则表现为低频信号分布在4个⾓落，这显然不便于观察频率信息。
结合傅⾥叶变换的平移特性，可以将原函数乘以⼀个正指数项，使得平移后傅⾥叶变换再 [0,M-1]区间正好是⼀个完整的周期。
将原函数平移 M/2 可以实现该⽬标，具体分析如下： 原函数平移 M/2 得 ，由于 x 为⾮负整数，,最终得到。
对于⼆维离散变量有相似结论 。
3）原函数（⼆维及以上）旋转⼀定⾓度，其傅⾥叶变换也旋转对应⾓度。
令 为原函数变量的列向量， 为傅⾥叶变换函数变量的列向量，对的傅⾥叶变换可表⽰为，对 旋转⼀定⾓度可表⽰为，其中 R 为旋转矩阵，对 的傅⾥叶变换可表⽰为 ，由 得 ，并将其带⼊上式得，由于，因此 ，使得傅⾥叶变换旋转相应⾓度。
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
离散傅里叶变换DFT的性质
讨论DFT的性质有何意义呢？
1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT 的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在 联系。
2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取， 降低计算的复杂性。例如后面重点学习的FFT算法 就利用了DFT的周期性和对称性。
仔细看书中的性质列表，与DTFT性质表进行对比
N1
[XR(k)cos
k0
2kn
N
Xl
(k)sin
2kn]
N
(2)实偶序列
x(n)x(Nn) 0nN1XI(k)0
N1
2kn
X(k) x(n)cos
n0
N
0kN1
XI(k)0x(n)N 1N k01X(k)cos2Nkn
0nN1
DFT: XR(k)Nn01xR(n)cos2NknxI(n)sin2Nkn XI (k)Nn01xR(n)sin2NknxI(n)cos2Nkn
x'(n)=x(nk,对N求余) x((nk))N
当 k 2和 N 4 x (n ) x ((n 2 )) 4 x (0 ) x (( 2 )) 4 x (2 ) x (1 ) x (( 1 )) 4 x (3 ) x (2 ) x ((0 )) 4 x (0 ) x (3 ) x ((1 )) 4 x (1 )
加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
1 7、序列的圆周时域移位
j
x[n] X (e )e d 这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取，降低计算的复杂性。
jn
3 DFT的隐含周期性、线性、对称性
2
2 加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
离散傅里叶变换的基本性质
x(5 )
A(6 )
W
0 N
x(3 )
A(7 )
x(7 )
W
0 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
W
0 N
A(3 )
W
2 N
A(4 )
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
N点DIT―FFT运算流图(N=8)
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
N点DIT―FFT运算流图(N=8)
A(0 ) X(0 ) X(1 ) X(2 ) X(3 ) X(4 ) X(5 ) X(6 )
A(7 ) X(7 )
m N
WN 2
WNm
2. 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法基本上分为两大类：
时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT,简称DITFFT)和频域抽取法FFT(Decimation In Frequency FFT,简 称DIF―FFT)。下面先介绍DIF―FFT算法。
设序列x(n)的长度为N，且满足
N 2M , M 为自然数
离散傅里叶变换
这个过程如下图所示。 16
从图中两虚线之 间的主值序列的 移位情况可以看 出，当主值序列 左移m个样本时， 从右边会同时移 进m个样本，而 且好像是刚向左 边移出的那些样 本又从右边循环 移了进来。因此 取名“循环移 位”。 显然，循环移位 不同于线性移位
17
18
19
b) 时域循环移位定理 对长度为N的有限长序列x(n)，其循环移位后序列y(n)的DFT为
2
傅里叶变换的各种形式
连续时间、离散频率的傅里叶变换 对于周期为T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：
连续时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换：
它在时域和频域都是连续的。
3
离散时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的序列，其傅里叶变换在频域是以2π为周 期的连续函数。
(1)周期延拓 (2)折叠 (3) 移位和取主值 (4)相乘 (5)相加
x2(m)————x2((m))N
x2((m))N————x2((-m))N
循环反转序列
x2((-m))N————x2((n-m))NRN(m)
x2((n-m))NRN(m) ————x1(m) x2((n-m))NRN(m)
summ{0,1,……,N-1}
考虑到DFT关系的对偶性，可以证明，长为N的两序列之积的DFT 等于它们的DFT的循环卷积除以N，即
频域循环卷积定理 26
27
3.2.4 复共轭序列的DFT
x n 是长度为N的序列x(n)的复共轭序列，X k DFT xn
则
DFT x n X N k , 0 k N 1
(3.2.11)
将上式中的n换成N-n， 并取复共轭， 再将式(3.2.9) 和
DFT(离散傅里叶变换).
X(k) = XR(k) + XI(k)
18
证明：
N 1
X * (k) x * (n)W nk
n0
N 1
[ x(n)W nk ]*
n0
N 1
[ x(n)W n( N k ) ]* n0
= X*(N k)
由线性性质
X(k) = XR(k) + XI(k) X*(k) = XR(k) XI(k) XR(k) = [ X(k) + X*(N k)]/2 XI(k) = [ X(k) X*(N k)]/2
W 6 X (2)
W
9
X
(3)
1 1 1 1 4 1
1 1 j 1 j 0 1 4 1 1 1 1 0 1
1 j 1
j
0
1
8
3.5.2 DFT与DTFT的关系
通常把信号的傅里叶变换称为信号的频谱，那么有 限长序列的离散傅里叶变换是否就是它的频谱呢？
有限长序列作为非周期序列，它的频谱即它的傅里 叶变换DTFT---- X(e j)，是一个连续的周期性的频谱； 而有限长序列的DFT---- X(k)却是离散的频谱，两者显然 不是等同的。但两者也不是截然无关的，相反，存在着 相当重要的联系，这就是有限长序列的离散傅里叶变换 X(k)正是此序列的傅里叶变换X(e j)的抽样值。
时移特性1圆周移位22我们看到当序列xn向右移m位时超出n1以外的m个样值又从左边依次填补了空位因此可以想象序列xn排成在一个n等分的圆周上n个样点首尾相接圆周移m个单位表示xn在圆周上旋转m位
3.5 DFT（离散傅里叶变换）
---------Discrete Fourier Transform 3.5.1 DFT定义式
第3章 离散傅立叶变换 DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数正变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换
离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)
图4.2.8 倒序规律
3.5.4 频域抽取法FFT(DIF―FFT)
在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用 的快速算法，简称DIF―FFT。
设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分
开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNk
T0
频谱特点： 离散非周期谱
2. 连续时间非周期信号
x(t) 1 X ( j) ej td
2
X ( j) x(t) e j tdt
频谱特点： 连续非周期谱
3. 离散非周期信号
x(n) FT-1[ X (ej )] 1 X (ej ) ejnd
2
X (ej ) FT[x(n)] x(n) e-jn n
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记 WN e j2 / N ，叫旋转因子．
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
数字信号处理中的离散傅里叶变换
数字信号处理中的离散傅里叶变换数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是在数字计算机或数字信号处理器上对信号进行处理和分析的一种技术。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）作为DSP中的重要方法之一，在信号处理的各个领域都发挥着重要的作用。
一、离散傅里叶变换的定义和原理离散傅里叶变换是将离散的时间域信号转换为频域信号的一种方法，它可以将信号从时域转换到频域进行分析。
DFT的定义如下：$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$其中，$x[n]$为离散时间域信号，$X[k]$为离散频域信号，$N$为信号的长度，$k$为频域的索引。
离散傅里叶变换可以看作是对信号进行一系列的乘法和求和操作，它使用复指数函数作为基函数来表示信号。
通过将信号与不同频率的正弦波进行内积操作，可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息，从而实现频谱的分析。
二、离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质对于信号处理和频域分析非常有用。
以下是几个常见的性质：1. 线性性质：DFT是线性变换，即对两个信号的和进行DFT等于分别对这两个信号进行DFT后再求和。
2. 周期性：若信号的长度为$N$，则DFT系数$X[k]$具有周期性，周期为$N$。
3. 对称性：若信号的长度为$N$，则当$k$取$N-k$时，$X[k]$与$X[N-k]$相等。
4. 移位性质：对于一个时域序列$x[n]$，将其向右移动$m$个位置得到新的序列$x[n-m]$，则对应的DFT系数$X[k]$只需将原始的$X[k]$循环右移$m$个位置得到。
三、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，以下列举几个典型的应用场景：1. 信号分析：通过DFT可以将信号从时域转换到频域，得到信号在不同频率上的能量分布情况。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散 频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk 频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域 的循环移位
(3.1.7)
注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N<M时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 N≥M时成立。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，
x (n) 如图 当延拓周期N=8时，~
3.1.2（b）所示。
DTFT:X(e )= x( n)e
M 1 n0
N (n) RN (n) xN ( n) x
(k ) x N (n)WNkn DFS : X
DFT与ZT关系：
k
z e
j k N
X (k ) X ( z )
k ,, ,..., N k ,, ,..., N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
（2）时/频域循)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
mk kn [ x ( m ) W ] W N N k 0 m 0 k ( mn ) W N k 0 N 1
3离散傅里叶变换解析
k
F (k )e
0
jk0t
4.离散、周期时域信号 f p (n) ←映射→周期、离散频域信号 F p (k ) ，它由离散傅里叶级数变 换构成映射关系，即
F p (k )
n 0
N 1
nk f p (n)WN
1 f p ( n) N
F (k )W
p n 0
N 1
Re[ x(n)] Re[ x(n)]
Im[ x(n)] Im[ x(n)]
则称为x(n)共轭反对称序列（conjugate antisymmetric sequence）， 通常表示为： x (n) x * (n)
0 o
任何序列x(n)都可以表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和：
x ( n) x e ( n) x o ( n)
其中
xe (n) 1 [ x(n) x * (n)] 2
xo (n)
1 [ x(n) x * (n)] 2
4
若
F x(n) X (e j )
则
F x* (n) X * (e j )
上式说明共轭序列的傅里叶变换等于原序列傅里叶变换的共轭函数的 反函数。
f
n 0
N 1
p
(n)e jn0 r NFr
8
f 以上分析表明，系数 F 可以严格地由
r
N 1 n 0
p (n)e
jn0 r
NFr
式求出，也就是说
f p (n) Fk e jn0k
k 0
N 1
式表述的关系是存在的。
将
f p (n) Fk e
k 0
以上二式说明复指数 e
离散傅里叶变换的特点
离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种数学变换技术，用于将时域离散信号转换为频域离散信号。
它是傅里叶变换在离散时间序列上的推广和离散信号处理中最重要的工具之一。
离散傅里叶变换具有以下几个特点：1. 离散性：离散傅里叶变换适用于离散时间序列的信号处理，它将连续时间信号转换为离散频率信号。
与连续傅里叶变换不同，离散傅里叶变换对信号进行采样和离散化处理，适用于数字信号处理领域。
2. 周期性：离散傅里叶变换是一种周期性变换，其输入信号在时域上必须是周期性的。
这是因为离散傅里叶变换假设信号是周期重复的，频域上的离散频率点也是周期性重复的。
3. 线性性：离散傅里叶变换具有线性性质，即对于输入信号的线性组合，其离散傅里叶变换等于各个信号的离散傅里叶变换的线性组合。
这使得离散傅里叶变换在信号处理中具有广泛的应用。
4. 对称性：离散傅里叶变换具有对称性质，即输入信号的离散傅里叶变换结果的实部和虚部具有对称性。
这个性质在信号处理中常常用于简化计算和减少存储空间。
5. 傅里叶变换和逆变换：离散傅里叶变换和逆变换是互逆的，即对一个信号进行离散傅里叶变换后再进行逆变换，可以恢复原始信号。
这使得离散傅里叶变换在信号压缩、滤波和频谱分析等方面具有重要应用。
离散傅里叶变换的特点使其在数字信号处理、通信系统、图像处理、音频处理等领域得到广泛应用。
在数字信号处理中，离散傅里叶变换可以用于信号的频谱分析和滤波。
通过计算信号的离散傅里叶变换，可以将信号从时域转换为频域，得到信号的频谱信息。
频谱分析可以帮助我们了解信号的频率成分和能量分布，从而对信号进行特征提取、模式识别和信号分类等任务。
同时，通过对信号的频域信息进行滤波，可以实现信号的去噪、陷波和增强等处理。
在通信系统中，离散傅里叶变换可以用于信号的调制和解调。
调制是将基带信号转换为带通信号，而解调是将带通信号转换为基带信号。
10第十讲 离散傅里叶变换的性质
第3章 离散傅里叶变换
复序列x(n) = e
j
2π n N
是圆周共轭对称序列,因x (−n) = [e
*
−j
2π n * N
] =e
j
2π n N
= x ( n)
2π 2π 2π n)是偶对称序列,因xr (−n) = cos(− n) = cos( n) = xr (n) N N N 2π 2π 2π 其虚部xi (n) = sin( n)是奇对称序列,因xi (−n) = sin(− n) = − sin( n) = − xi (n) N N N 其实部xr (n) = cos( 复序列x(n) = je
第3章 离散傅里叶变换
是圆周共轭对称序列
−j 2π n * N N
因x* ((−n)) N RN (n) = [e 其实部xr (n) = cos(
] RN ( n ) = [ e
j
2π n N
] N RN ( n ) = x ( n )
2π n)是圆周偶对称序列 N 2π 因xr ((−n)) N RN (n) = cos((− n)) N RN (n) N 2π = cos(( n)) RN (n) = xr ((n)) N RN (n) = xr (n) N ⇒ xr (n) = xr ((− n)) N RN (n) 2π n)是圆周奇对称序列 N 2π 因xi ((−n)) N RN (n) = sin((− n)) N RN (n) N 2π = − sin(( n)) N RN (n) = − xi ((n)) N RN (n) = − xi (n) N ⇒ xi (n) = − xi ((−n)) N RN (n) 其虚部xi (n) = sin(
第7章离散傅里叶变换性质与应用
{
21
X (ω ) 的幅值和相位
L = 10
DFT的幅值和相位
= L 10, = N 50
22
DFT的幅值和相位
= L 10, = N 100
= L 10, = N 100
23
3 DFT与线性变换的关系
定义 WN 则点和可表示为 N DFT = e − j 2π / N , X (k ) IDFT N −1 1 N −1 − kn kn ( ) ( ) ( ) x n W x n X k W = ∑ ∑ N N N n 0= k 0
N −1
1 2π = X k k 0,1, , N − 1 N N 1 N −1 2π j 2π kn / N = x p ( n) X k e = n 0,1, , N − 1 ∑ N k =0 N
上式给出了从谱的样本来重构周期信号 X (ω ) x p ( n) 的方法。这并不意味可从样本来重构或。 X ( ω ) x ( n)
12
DFT采样的图解说明
例: 序列长度 L 小于采样点数 N
DFT 连续
采样 周期化 L≤N
No time aliasing
DFT采样的图解说明（重叠）
例: 序列长度 L 大于采样点数 N
DFT
X ( e jω )
x ( n)
连续
周期化
X N (k ) 采样
xN ( n)
L≥N
time aliasing
0 ≤ n ≤ N −1 x ( n)
当时，由于时域存在泄漏，不能从来重构。 N<L x p ( n)
假如 N ≥ L，则有限时宽为 L 的非周期离散时间信号的谱可 以从它在频率 ω k = 2π k / N 的样本完全重构。
离散傅里叶变换及其性质
kn
N 1
f
(k )W
kn (0
n
N
1)
2N-1 k
k 0
k 0
f (k) IDFT[ F(n)]
1
N 1
j2 kn
F(n) e N
1
N 1
F(n)W kn (0 k N 1)
N n0
N n0
若将f(k)，F(n)分别理解为fN(k)，FN(n)的主值序列，那 么，DFT变换对与DFS变换对的表达式完全相同。
|F(n) |2
k 0
N n0
表明，在一个频域带限之内，功率谱之和与信号的能 量成比例。
▲
■
第 10 页
证明 ▲
■
第5页
4. 频移特性（调制）
若 f(k)←→ F(n)
则
W–l kf (k) ←→ F((n –l))NGN(n)
▲
■
第6页
5. 时域循环卷积（圆卷积）定理
• 线卷积： 有限长序列f1(k)和f2(k)的长度分别为N和M，则两 序列的卷积和f(k)(称为线卷积)仍为有限长序列序 列，长度为N+M –1。
▲
■
第4页
3. 时移特性
•圆周位移（循环位移）： 将有限长序列f(k)周期拓展成周期序列fN(k)，
再右移m位，得到时移序列fN(k –m)，最后取其主 值而得到的序列称为f(k)的圆周位移序列，记为
f ((k –m))NGN(k)
•时移特性 若 f(k)←→ F(n) 则 f ((k –m))NGN(k) ←→ WmnF(n)
■
第1页
一．离散傅里叶变换(DFT)
借助周期序列DFS的概念导出有限长序列的DFT。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
M为整数 M为整数
x (n ) =
m = −∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x (n ) ⋅ RN (n )
~
~
x(n)=x((n))N，
% X (k ) =
m =− ∞
∑ X (k + mN )
∞
% X (k ) = X (k ) RN (k )
回到本节
N k=0
k =0 N
为DFT变换 长度N≥M， ， N 为DFT变换 长度N≥M， WN = e DFT 有限长 离散序列 有限长 离散序列
−j
2π N
第三章 离散傅里叶变换DFT
例1
解：
已知 x(n) = R4 (n)，分别求N = 8和N =16 时的X (k)。
N = 8时
N−1 n=0 nk N
第三章 离散傅里叶变换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如 N = 5, x N (n) = x((n))5 则有
~
M为整数，
x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)
∑e
n=0
k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
x(n)的16点DFT为
k 1 − W168 1 − e k X (k ) = W16 n = = k 2π −j k 1 − W16 n=0 1 − e 16 π 7π sin k −j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2,L ,15 π sin k 16
[数字信号处理]离散傅里叶变换及其性质
![[数字信号处理]离散傅里叶变换及其性质](https://img.taocdn.com/s3/m/57c9df85dc88d0d233d4b14e852458fb770b3865.png)
[数字信号处理]离散傅⾥叶变换及其性质DFT定义
离散傅⾥叶变换的公式如下
X(k)=N−1
∑
n=0x(n)W nk N
其中W n是单位根,定义如下
W N=e−j 2πN
逆变换如下
x(n)=1
N
N−1
∑
k=0X(k)W−nk
N
性质
线性
如果有x1(n)和x2(n)两个有限长序列,长度分别为N1和N2,且
y(n)=ax1(n)+bx2(n),(a,b为常数)取变换区间长度N=[N1,N2]max
X1(k)=DFT[x1(n)]N;X2(k)=DFT[x2(n)]N 则y(n)的N点DFT为
Y(k)=DFT[y(n)]N=aX1(k)+bX2(k)循环移位性质
设x(n)为有限长序列,长度为M,则x(n)的循环移位定义为
y(n)=x((n+m))N R N(n)
如果⼀个序列移位之后,⼀些样值被移到了起始点前⾯,那他实际上会在后⾯再补回来,实际的顺序并没有变.
频域循环移位定理
如果X(k)=DFT[x(n)]N
Y(k)=X((k+l))N R N(k)
则y(n)=IDFT[Y(k)]N=W nl N x(n)
循环卷积定理
如果x_1(n)和x_2(n)是两个有限长序列,长度分别为M1和M2,且取循环卷积区间长度L≥max[M1,M2]
X1(k)是x1(n)的L点DFT
X2(k)是x2(n)的L点DFT
如果y(n)=x1(n)∗x2(n)=[∑L−1
m=0
x1(m)x2((n−m))L]R L(n),
那么他的的DFT为Y(k)=X1(k)X2(k)
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X [m] X [ N m]
实序列 实部周期偶对称，虚部 周期奇对称
当x[k]是实序列周期偶对称时：X [m] X [ N m]
实序列，周期偶对称 实序列，周期偶对称
当x[k]是实序列周期奇对称时： X [m] X [ N m]
实序列，周期奇对称 纯虚序列，周期奇对称
第2章 离散傅里叶变换(DFT)
问题的提出
有限长序列的傅里叶分析
离散傅里叶变换的性质 利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
2. 循环位移
3. 对称性 4. 序列的循环卷积 5. 序列DFT与z变换的关系
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
X1[m] DFTx1[k ]
k
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x[(k 2) 5 ]R N [k ]
k
0 1 2 3 4
DFT时域循环位移特性
mn ~ ~ DFS {x[k n]} WN X [m]
DFTx[( k n) N ]RN [k ]
mn WN X [m]
时域的循环位移对应频域的相移
DFT{ x [k ]} X [(m)N ]RN [m] X [ N m]
时域共轭 频域周期共轭 ~ DFT{x [(k ) N ]RN [k ]} X [m] 时域周期共轭 频域共轭
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
3. 对称性 (symmetry)
当x[k]是实序列时：
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
序列的循环卷积步骤： （1）补零
（2）周期延拓
（3）翻转，取主值序列
（4）圆周移位
（5）相乘相加
DFT性质
例：计算序列的循环卷积
定义
x1 [k ]
N
N 1 x 2 [ k ] x1[n]x2 [(k n) N ]RN [k ] n 0
x[k ] x[ N k ]
当序列x[k]为实序列时，周期奇对称序列满足
x[k ] x[ N k ]
DFT性质
离散傅里叶变换的性质周期偶源自称序列周期奇对称序列DFT性质
离散傅里叶变换的性质
判断序列x[k]的奇偶性
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
3. 对称性 (symmetry)
DFT性质
例：已知一9点实序列的DFT在偶数点的值为X[0]=3.1,
X[2]=2.5+4.6j, X[4]=1.7+5.2j, X[6]=9.3+6.3j, X[8]=5.58.0j。确定DFT在奇数点的值。
解：
根据实序列DFT的对称特性 X[m]=X *[N-m] 可得 X[1]=X*[91]= X*[8]= 5.5+8.0j; X[3]=X*[93]= X*[6]= 9.36.3j； X[5]=X*[95]= X*[4]= 1.75.2j; X[7]=X*[97]= X*[2]= 2.54.6j;
j 2 N m
x[ k ] z k
k 0
N 1
z e
j
2π N
m
x[k ]e
k 0
N 1
j
2π km N
x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样
jIm(z)
2 m N j
z 平面
2 N
-1
0
1 2 ( N 1) N
Re(z)
单位圆 -j
由序列DFT表示序列z变换
X ( z)
N 1
k 0
x[k ]z
k
X [m]
N 1
k 0
km x[k ]WN
X [m] X ( z )
z e
j
2π m N
; m 0,1,, N 1
IDFT z 变换 X ( z ) X [ m] x[k ]
(1 z X ( z) N
离散傅里叶变换的性质
4. 序列的循环卷积
定义
N 1 x1 [k ] x 2 [ k ] x1[n]x2 [(k n) N ]RN [k ] n 0
定义
x1 [k ]
N
N 1 x 2 [k ] x1[n]x2 [(k n) N ]RN [k ] n 0
DFT循环位移特性
mn DFTx[(k n) N ] X [m]WN
DFT W x[k ] X [(m l ) N ]
lk N
时域的循环位移对应频域的相移
时域的相移对应频域的循环位移
离散傅里叶变换的性质
3. 对称性 (symmetry)
周期共轭对称(Periodic conjugate symmetry)定义为
4
x[k],N=4
3 2 1 0 1 2
1 h[(n)N] 0 1 2 3
1
h[k]
3
h[(1n)N]
1 0 1 2 3
0
1
1
2
3
h[(2n)N]
x[k] 4 h[k]
4 3 2 1 0 1 2 3
0
1
2
3
h[(3n)N]
1 0 1 2 3
离散傅里叶变换的性质
循环卷积的矩阵表示
例：N=4
y[0] h[0] h[1] h[2] h[3] x[0] y[1] h[1] h[0] h[1] h[2] x[1] y[2] h[2] h[1] h[0] h[1] x[2] y [ 3 ] h [ 3 ] h [ 2 ] h [ 1 ] h [ 0 ] x [ 3 ] h[0] h[3] h[2] h[1] x[0] h[1] h[0] h[3] h[2] x[1] h[2] h[1] h[0] h[3] x[2] [2] h[1] h[0] x[3] h[3] hDFT 性质
y[k ] x[(k n) N ]RN [k ]
DFT性质
序列的循环位移过程
DFT性质
序列的循环位移过程
x[k ], N 5
x[(k ) 5 ]
k
0 1 2 3 4
k
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x[(k 2) 5 ]
5 k=4 4 k=3 k=0 k=2 3 k=1 2 1
卷积定理
时域卷积定理
DFTx1[k ] N x2 [k ] X1[m] X 2 [m]
时域的卷积对应频域的乘积 频域卷积定理
1 DFTx1[k ]x2 [k ] X1[m] N X 2 [m] N
时域的乘积对应频域的卷积
序列DFT与z变换的关系
X [ m] X ( z )
z e
X2 [m] DFT x2 [k ]
DFTax1[k ] bx2 [k ] aDFTx1[k ] bDFTx2 [k ]
aX1[m] bX2 [m]
需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
2. 循环位移 (圆周移位) 循环位移定义为
N
) N 1
m0
X [m] m 1 z 1WN
(内插公式)
x[k ] x *[(k ) N ]RN [k ] x *[ N k ]
周期共轭反对称(Periodic conjugate antisymmetry)定义为
x[k ] x *[(k ) N ]RN [k ] x *[ N k ]
当序列x[k]为实序列时，周期偶对称序列满足