江苏省宿迁市高中数学 第1章 计数原理 第9课时 排列组合综合应用(1)导学案(无答案)苏教版选修2-3
(新)高中数学第一章计数原理1_3组合课堂导学苏教版选修2-3
高中数学 第一章 计数原理 1.3 组合课堂导学 苏教版选修2-3三点剖析一、组合数的运算 【例1】已知mm m C C C 76510711•=-,求mC 8. 解析:m 的范围为{m |0≤m ≤5,m ∈Z}, 由已知,!710!)!7(7!6)!6(!!5)!5(!⨯-⨯=---m m m m m m , 即60-10(6-m )=(7-m )(6-m ),得m =21或m =2,又m ∈［0,5］,则有m =2.∴28288==C C m .温馨提示用m mm n mnA A C =计算具体的组合数,用)!(!!m n m n C mn -=证明有关组合数的代数式.有时还用到组合数的性质化简组合数.二、有限制条件的组合问题【例2】 某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要选派5名参加赈灾医疗队. (1)某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有多少种选法? (2)至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加，有几种选法? 解析:(1)某内科医生参加，某外科医生不参加，只需从剩下的18名医生中选4名即可.故有418C =3 060(种).(2)解法一:依据组合问题分类讨论原则,至少有一名内科医生和至少有一名外科医生可分为四类:一内四外；二内三外；三内二外；四内一外.共有18412283123821248112C C C C C C C C •+•+•+•=14 656(种).解法二:依据组合问题不符合条件的用剔除原则，事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的对立面是“全部为内科医生或外科医生”，共有58512C C +种选法，则)(58512520C C C +-=14 656(种).温馨提示题目中有“含”与“不含”，“最多”与“至少”等词语,“含有”一般是先将这些元素取出，不足部分由另外元素补充， “不含”，可将这些元素剔除，再从剩下的元素中取；解“最多”与“最少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解.三、分组、分配问题【例3】 有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种不同的分法?(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本;(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本; (3)甲、乙、丙各得3本.解析:(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本这件事分三步完成: 第一步:从9本不同的书中,任取4本分给甲,有49C 种方法; 第二步:从余下的5本书中,任取3本分给乙,有35C 种方法; 第三步:把剩下的2本书给丙,有22C 种方法. 根据分步乘法计数原理,共有不同的分法2549223549C C C C C •=••=1 260(种).所以甲得4本,乙得3本,丙得2本的分法共有1 260种.(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本这件事,分两步完成: 第一步:按4本、3本、2本分成三组,有223549C C C 种方法. 第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有33C 种方法. 根据分步乘法计数原理,共有不同的分法33223549CA C C C =7560(种).所以一人得4本,一人得3本,一人得2本的分法共有7 560种.(3)用与(1)相同的方法求解,得333639C C C ••=1 680(种).所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1 680种. 各个击破类题演练 1 计算:n n nnC C 321383+-+的值。
高中数学第一章计数原理1.4计数应用题排列组合难题二十一种方法素材苏教版选修2-3
轻松搞定摆列组合难题二十一种方法摆列合系生风趣，但型多，思路灵巧，所以解决摆列合，第一要真，弄清楚是摆列、合是摆列与合合；其次要抓住的本特色，采纳合理适合的方法来理。
复稳固1.分数原理 ( 加法原理 )达成一件事，有n 法，在第1法中有 m1种不一样的方法，在第 2 法中有m2种不一样的方法，⋯，在第n 法中有 m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2L m n种不一样的方法．2.分步数原理（乘法原理）达成一件事，需要分红n 个步，做第1步有 m1种不一样的方法，做第 2 步有m2种不一样的方法，⋯，做第n 步有 m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2L m n种不一样的方法．3.分数原理分步数原理区分数原理方法互相独立，任何一种方法都能够独立地达成件事。
分步数原理各步互相依存，每步中的方法达成事件的一个段，不可以达成整个事件．解决摆列合合性的一般程以下:1.真弄清要做什么事2.怎做才能达成所要做的事 , 即采纳分步是分 , 或是分步与分同行 , 确立分多少步及多少。
3.确立每一步或每一是摆列 ( 有序 ) 是合 ( 无序 ) , 元素数是多少及拿出多少个元素 .4.解决摆列合合性，常常与步交错，所以必掌握一些常用的解策略一 . 特别元素和特别地点先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5能够构成多少个没有重复数字五位奇数.解 : 因为末位和首位有特别要求 , 应当优先安排 , 免得不合要求的元素占了这两个地点 . 先排末位共有 C13而后排首位共有 C14C14A34C13最后排其余地点共有A43由分步计数原理得 C41C31 A43288地点剖析法和元素剖析法是解决摆列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素剖析为主 , 需先安排特别元素 , 再办理其余元素 . 若以地点剖析为主 , 需先知足特别地点的要求, 再办理其余位置。
如有多个拘束条件，常常是考虑一个拘束条件的同时还要兼备其余条件练习题 :7 种不一样的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两头的花盆里，问有多少不一样的种法？二 . 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排,此中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不一样的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一个复合元素，同时丙丁也当作一个复合元素，再与其余元素进行摆列，同时对相邻元素内部进行自排。
高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
的两位数的方法．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]
2．若C2n＝28，则n＝( A．9 C．7
) B．8 D．6
B [C2n＝n×n2－1＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相 等，则车票票价的种数是________．
思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样， “组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个 不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具 体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素 a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫 一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借 助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直 观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交 换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层 及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
[解] (1)原式＝140××39××28××17－73× ×62× ×51·(3×2×1)＝210－210＝0.
n≥5－n， n＋1≥9－n， (2)由9－n≥0， 5－n≥0， n∈N*，
得n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5， 当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.
高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列 第1课时 排列与排列数公式学案 苏教版选修2-3-苏教版高
第1课时排列与排列数公式1.了解排列及排列数的意义．2.理解排列数公式的推导并应用．3.掌握排列数公式并会运用．1．排列的定义一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．3．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.4．全排列与n的阶乘(1)n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，在排列数公式中，当m＝n时，即有A n n＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1．(2)正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，即有A n n＝n！.5．排列数公式的阶乘形式A m n＝n！（n－m）！(n≥m)，规定0！＝1．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ) 答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下面问题中，是排列问题的是( )A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数B．从60人中选11人组成足球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合答案：A3．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．答案：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙4．A24＝________，A33＝________．答案：12 6排列的有关概念判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．【解】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．判断一个具体问题是否为排列问题的方法1.判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．“树形图”解决排列问题四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．【解】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步计数原理，有4×3×2×1＝24种．画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.1．若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法．2．若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA共12种．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．2.将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙三人，每人一本，共有多少种不同的分法？请将它们列举出来．解：按分步计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法． 故共有3×2×1＝6种不同的分法． 列出树形图，如下：所以，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英，语英数，数语英，数英语，英语数，英数语．排列数公式及其应用(1)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)解方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x . 【解】 (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1.(2)由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ，得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)． 因为x ≥3，且x ∈N *，所以3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)， 即3x 2－17x ＋10＝0. 解得x ＝5，x ＝23(舍去)．所以x ＝5.利用排列数公式①A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)或②A mn ＝n ！（n －m ）！解题时，要注意题目特点，当m 较小时，用公式①较方便，第②个公式常用在化简或证明问题中．3.已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于________．解析：由已知3×8！（9－n ）！＝4×9！（11－n ）！，即4×3（11－n ）（10－n ）＝1，因为n ≤9，所以解得n ＝7. 答案：71．排列定义的两个要素一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”，这是排列的两个要素． 2．对排列数公式的说明(1)这个公式是在m ，n ∈N *，m ≤n 的情况下成立的，m ＞n 时不成立．(2)公式右边是m 个数的连乘积，形式较复杂，其特点是：从n 开始，依次递减1，连乘m 个．3．排列与排列数的区别排列与排列数是两个不同的概念，一个排列就是完成一件事的一种方法，不是数；排列数是指所有排列的个数，它是一个数．符号A m n 中，m ，n 均为正整数，且m ≤n ，A mn 是一个整体．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？【解】 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A 610＝151 200(种)坐法．(1)本题易出现以下错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法．该错解是没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一个，是从10个人中取出6个人的一个排列问题．(2)在用排列数公式求解时需先对问题是否是排列问题做出判断．1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：选D.4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3n .2．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( ) A ．9个 B ．12个 C ．15个D ．18个解析：选B.用树形图表示为：由此可知共有12个． 3．5A 35＋4A 24＝________．解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 答案：3484．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________． 解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6. 答案：6[A 基础达标]1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题． 2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选D.A 67－A 56A 45＝7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×25×4×3×2＝7×6－6＝36.3．若α∈N *，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于( ) A ．A 827－α B ．A 27－α34－α C ．A 734－αD ．A 834－α解析：选D.从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数．所以(27－α)(28－α)…(34－α)＝A 834－α.4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8 D ．10解析：选B.列树形图如下：5．不等式A 2n －1－n ＜7的解集为( ) A ．{n |－1＜n ＜5} B ．{1，2，3，4} C ．{3，4}D ．{4}解析：选C.由不等式A 2n －1－n ＜7， 得(n －1)(n －2)－n ＜7， 整理得n 2－4n －5＜0， 解得－1＜n ＜5.又因为n －1≥2且n ∈N *， 即n ≥3且n ∈N *， 所以n ＝3或n ＝4，故不等式A 2n －1－n ＜7的解集为{3，4}． 6．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3，所以A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7447．给出的下列四个关系式中，其中正确的个数是________．①A mn ＝（n －m ）！n ！；②A m －1n －1＝n －1！（m －n ）！；③A m n ＝n A m －1n －1；④n ！＝（n ＋1）！n ＋1.解析：①②不成立，③④成立． 答案：28．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列，它们分别是____________________．解析：画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 9．求证：12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！<1.证明：因为n －1n ！＝n n ！－1n ！＝1（n －1）！－1n ！， 所以12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！＝11！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1（n －1）！－1n ！ ＝1－1n ！<1. 所以原式得证． 10．计算下列各题． (1)A 215； (2)A 66； (3)A m －1n －1·A n －mn －m A n －1n －1；(4)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n ！. 解：(1)A 215＝15×14＝210.(2)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(3)原式＝（n －1）！[n －1－（m －1）]！·(n －m )！·1（n －1）！＝（n －1）！（n －m ）！·(n －m )！·1（n －1）！＝1.(4)因为n ·n ！＝[(n ＋1)－1]·n! ＝(n ＋1)n ！－n! ＝(n ＋1)！－n ！，所以原式＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n ＋1)！－n ！]＝(n ＋1)！－1.[B 能力提升]1．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数字是( ) A ．8 B ．5 C ．3D ．0解析：选C.因为当n ≥5时，A nn 的个位数字是0，故S 的个位数取决于前四个排列数．又A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝33，故选C.2．若2<（m ＋1）！A m －1m －1≤42，则满足条件的m 的集合是________． 解析：原不等式可化为2<（m ＋1）！（m －1）！≤42.即2<m 2＋m ≤42.所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0m 2＋m －42≤0，解不等式组得，－7≤m <－2或1<m ≤6，又m ∈N *，所以满足题意的m 的集合为{2，3，4，5，6}． 答案：{2，3，4，5，6}3．一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解：由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，所以A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62，所以m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，因为m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31， 解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．4．(选做题)A ，B ，C ，D 四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．解：假设A ，B ，C ，D 四名同学原来的位子分别为1，2，3，4号，树形图如下：换位后，原来1，2，3，4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA .。
第1章 计数原理
第1章计数原理江苏省宿迁市马陵中学范金泉本章是组合数学的最基础的知识，共包含1. 1两个基本计数原理、1. 2排列、1. 3组合、1. 4计数应用题和1. 5二项式定理五节内容，其中分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．一、《课程标准》关于《计数原理》的表述及教学要求1．表述：计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题．2．教学要求：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理．通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．（2）排列与组合．通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题．（3）二项式定理．能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二、《课程标准》与《教学大纲》在要求上的主要变化1．2002年4月由教育部颁布实施的《教学大纲》，将这一部分的教学内容的标题定为《排列、组合、二项式定理》，教学目标规定为：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．2．对比2003年4月由教育部颁布的《课程标准》，一是章节名称变为《计数原理》，突显了计数原理的基础地位，同时在教学要求上，发生了明显的变化，主要变化有：（1）“计数原理”的要求由“掌握”变为“通过实例，总结出加法计数原理、分步乘法计数原理”；（2）“排列、组合”的要求也由“理解排列、组合的意义”变为“通过实例，理解排列、组合的概念”，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）关于“排列数、组合数”，则由“掌握排列数计算公式，掌握组合数计算公式和组合数的性质”变为“能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式”．（4）“二项式定理”由“掌握二项式定理和二项展开式的性质”变为“能用计数原理证明二项式定理”，省去了“二项展开式的性质”，并给出了参考例题1．以上变化，主要是为了防止教学过程中“人为地加深难度，对知识点进行深挖”．（5）教学课时也有所变化，《教学大纲》规定为18课时，而《课程标准》规定为14课时，减少了学时数．三、《江苏省普通高考数学学科考试说明》中“计数原理”部分的考试范围与要求层次四、江苏高考考题《计数原理》作为选修内容，只能出现在江苏省普通高考数学试卷的附加题部分，由于这一部分内容的考点较多，故涉及排列、组合、二项式定理的考题仅在2008年江苏省普通高考数学试卷中出现，为第23题（真题如下）：请先阅读：在等式cos2x ＝2cos 2x －1（x ∈R ）的两边求导，得：（cos2x ）'＝（2cos 2x －1）'，由求导法则，得（－sin2x ）·2＝4cos x ·（－sin x ），化简得等式：sin2x ＝2cos x ·sin x ．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1＋x ）n ＝122C C C C n n n n n n x x x ++++ （x ∈R ，整数n ≥2），证明：n [（1＋x ）n -1－1]＝12C nk k n k k x-=∑． （2）对于正整数n ≥3，求证：（i ）1(1)C n k k n k k =-∑＝0；（ii ）21(1)C n k k n k k =-∑＝0；（iii ）10121C 11n nk n k k n +=-=++∑． 本题重在考查二项式定理，并融入了导数的内容！（1）证明：在等式（1＋x ）n ＝0122C C C C n n n n n n x x x ++++两边求导得：n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++＝n ＋12C nk k n k k x -=∑， 故n [（1＋x ）n -1－1]＝12C n k k n k k x-=∑． （2） （i ）在等式n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++中，令x＝－1，则有0＝12321C 2C (1)3C (1)C (1)n n n n n n n -+⋅-+⋅-++⋅-两边同乘以－1得，0＝12233C (1)2C (1)3C (1)C (1)n n n n n n n ⋅-+⋅-+⋅-++⋅-＝1(1)C n k k n k k =-∑．即1(1)C n k k n k k =-∑＝0． （ii ）对等式n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++再求导，得n （n －1）（1＋x ）n -2＝23221C 32C (1)C n n n n n x n n x -⨯⋅+⨯⋅++⋅-⋅． 令x ＝－1，则有0＝23221C 32C (1)(1)C (1)n n n n n n n -⨯⋅+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅-．两边乘以(－1)2，得0＝223321C (1)32C (1)(1)C (1)n n n n n n n ⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅- ＝1223310C (1)21C (1)32C (1)(1)C (1)nn n n n n n n ⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅-＝1(1)C (1)n kk n k k k =--∑＝21(1)C n k k nk k =-∑－1(1)C nk kn k k =-∑． 由（i ）得21(1)C nk kn k k =-∑＝0．（iii ）因为11!!C 11!()!(1)!()!k n n n k k k n k k n k =⋅=++⋅-+⋅- ＝111(1)!1(1)!1C 1(1)!()!1(1)
题型二 排列、组合的综合应用 例3 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3， 4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位 数，共可组成多少个不同的三位数？
第22页
【解析】 方法一(直接法) 从0与1两个特殊值着眼，可分 三类：
(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C41种 选法；0可在后两位，有C21种方法；最后剩下的三张中任取一 张，有C31种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面 两种可能，故此时可得不同的三位数有C41C21C3122(个)．
第35页
3．(2015·北京海淀区期末)某校在高二年级开设选修课，其
中数学选修课开三个班，选课结束后，有4名同学要求改修数
学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有
() A．72种
B．54种
C．36种
D．18种
第36页
答案 B 解析 依题意，按要求改修数学的4名同学分配到三个班的 具体人数分类：第一类，其中一个班接收2名，另两个班各接收 1名，分配方案共有C31·C42·A22＝36(种)；第二类，其中一个 班不接收，另两个班各接收2名，分配方案共有C31·C42＝ 18(种)．因此，满足题意的不同的分配方案有36＋18＝54(种)．
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探究1 本例采取先特殊(特殊元素、特殊位置)，再一般的 解题思路．
第10页
◎思考题1 用0，1，2，3，4，5这六个数字， (1)可以组成多少个无重复数字的五位数； (2)可以组成多少个无重复数字的五位奇数； (3)可以组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数．
第11页
【解析】 (1)方法一：(直接法) 从1，2，3，4，5这五个数字中任取一个作首位，有C51种； 余下的5个数字可排在后四位中的任何一个位置，有A54种，由分 步计数原理，共有C51A54＝600个．
2020学年高中数学第1章计数原理1.2.3排列与组合的综合应用课件新人教A版选修2_3
(2)在(1)的基础上，这个过程可以分两步完成： 第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；
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第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A33种 方法．
由分步乘法计数原理可得 C26C24C22＝xA33， 所以 x＝C26AC2433C22＝15. 因此分为三份，每份两本一共有 15 种方法．
(4)平均分成两组，让一组参加科研活动，另一组参 加文娱活动，此时对应的是有序均匀分组，方法数由CA36C22 33 A22＝C36C33计算．
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思考：如何处理局部均匀分组问题？ 提示 局部均匀分组问题，可分步处理，如第一步 利用均匀分组模型计算均匀分组数，再对余下部分利用 不均匀分组模型处理．如：将 7 人分成 2,2,3 人的三个组， 其对应的分组方法种数是CA27C22 25C33＝105 或 C37CA24C22 22＝105.
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解析 (1)四个不同的小球放入四个不同的盒子，没 有特殊要求，即每个球都可以放入任何一个盒子中，所 以每个球放入盒子中时都有4种选择，所有的放法种数 为4×4×4×4＝256.
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(2)恰有 1 个盒子内放有 2 个球，则先将 4 个球分为 2,1,1 三组，有分法C24AC1222C11种；再放入四个盒子中的三个， 有放法 A34种，由分步乘法计数原理得，共有C24AC1222C11A34＝ C24A34＝144 种放法．
考点二 相同元素分配问题
相同元素分配问题的解题策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放 置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔 板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的 方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板 法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
江苏省宿迁市高中数学第1章计数原理第9课时排列组合综合应用1导学案无答案苏教版选修2_32
第 9 课时计数应用题【教课目的】1.加强综合运用两个计数原理解决心数问题的能力。
2.能运用摆列组合知识剖析实质问题，提高剖析问题和解决问题的能力。
【基础练习】1.将 3名同学安排到2 个工厂去实习 , 共有 ______________种不一样的分派方案 .2.用 0到 9 这 10 个数字 , 可构成 ______________ 个没有重复数字的四位偶数 .3.一个小组共有组长 2 人 , 组员 7 人 , 此刻要求选出 5 人参加一项活动 , 要求这 5 人中起码一名组长 , 共有 _________________种不一样的选法.【合作研究】例 1．高二（ 1）班有 30 名男生， 20 名女生。
从 50 名学生中选 3 名男生、 2 名女生疏别担当班长、副班长、学习委员、娱乐委员、体育委员，共有多少种不一样的选法？例 2． 2 名女生、 4 名男生排成一排，问：（1）2 名女生相邻的不一样排法共有多少种？（2）2 名女生不相邻的不一样排法共有多少种？（3）女生甲一定排在女生乙的左侧（不必定相邻）的不一样排法共有多少种？变式：七个家庭一同出门旅行，若此中四家分别是一个男孩，三家分别是一个女孩，现将这七个儿童站成一排照相纪念。
（1）一共用多少种站法？（2）甲站在正中间的排法有几种？（3）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？（4）甲只好排头或排尾，共有几种排法？（5）甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种排法？（6) 若三个女孩要站在一同，有多少种不一样的排法？（7）若三个女孩要站在一同，四个男孩也要站在一同，有多少种不一样的排法？（8) 若三个女孩互不相邻，有多少种不一样的排法？（9）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不一样的排法？（10）若此中的 A 儿童一定站在 B 儿童的左侧，有多少种不一样的排法？例 3．从 0,1,2 ，...,9这10个数字中选出 5 个不一样的数字构成五位数，此中大于13000 的共有多少个？例 4六本不一样的书 , 按以下条件 , 各有多少种不一样的分法 ?(1)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(2)分红三份，每份 2 本；(3)分红三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；(4)分给甲、乙、丙三人 , 一人 1 本, 一人 2 本, 一人 3 本；(5) 分给甲、乙、丙三人，每人起码 1 本 .【学致使用】1. 用数字 0、 1、 2、3、 4、 5 构成没有重复数字的数(1)有多少个五位数(2)有多少个五位数的奇数(3)有多少个大于 31250 的五位数？2.从 6 双不一样的颜色的鞋子中任取4 只，此中恰有两只好够配成一双鞋子的取法有多少种？3.按以下条件 , 各有多少种不一样的送书方法 ?(1)5本不一样的书送给6个人 .(2)5本不一样的书送给6个人 , 每人最多 1 本.(3)6本不一样的书送给5人 .(4)6本不一样的书送给5人 , 每人最少 1 本 .(5)3真同样的书送给5人 , 每人最多 1 本 .(6)3真同样的书送给5人 .4. 有一张节目表上原有 6 个节目，假如保持这些节目的相对地点不变，再添入3个节目，那么共有多少种不一样的安排方法？5. 有一张节目表上原有 6 个节目 , 假如保持这些节目的相对地点不变, 再添入 3 个节目 , 共有多少种不一样的安排方法？第 9 课时摆列组合应用问题（1）【基础训练】1. 假如有20 个代表列席一次会议，每位代表与其余代表握一次手，那么一共握手_______次.2.200 件产品中有 3 件是不合格品，现从中随意抽取 5 件，此中起码有 2 件是不合格品的抽法的种数为 ___________________________ （列出算式） .3. 若从一个小组中选出正、副组长各 1 人与选出 4 名学生代表的选法种数之比为2:13 ，则这个小组的人数是_________.4.以正六边形的极点为极点的直角三角形共有_______个 .5. 若不一样的 5 种商品在货架上排成一排，此中a,b两种必修排在一同，而c, d两种不可以排在一同，则不一样的排法种数共有______种 .6.6 个男生和 4 个女生排成一排，若女生既不相邻又不可以在两头，则有_____种不一样的排法.【思虑应用】7.7 人站成一排，以下状况中各有多少种不一样的站法？（1）甲站在正中间，乙站在排头，丙站在排尾；（2）甲站在乙得右侧（不必定相邻）；（3）甲、乙、丙三人中任何两人均不相邻.8. 用数字 0,1,2,3,4,5能够构成多少个比4032 大且没有重复数字的四位数？9. 要举办一台文艺晚会，现从高一年级的4 个文艺节目中选出 2 个，高二年级的 5 个文艺节目中选出 3 个，高三年级的 3 个文艺节目中选出 2 个编制节目，问：有多少种不一样的演出顺序？10.在 D AOB 的 OA 边上有4个异于 O 点的点，以这10个点（含 O 点）为极点，能获得多少个不一样的三角形？【拓展提高】11. 有 8 名师范大学毕业生被分派到A, B,C , D 这4所中学任教，每校 2 人，此中甲、乙两人不得分派到 A 中学去，问：不一样的分派方法有多少种？12.空间 7 个点最多能确立多少对异面直线？。
(江苏)高中数学 第一章 计数原理 1.3 组合 第一课时 组合与组合数公式课件 苏教版选修2-3
[解] (1)C512＝792 种不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中选 2 人， 共有 C29＝36 种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中选 5 人， 共有 C59＝126 种不同的选法． (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加．分两步，先从甲、乙、 丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法，再从另外的 9 人中选 4 人有 C49 种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
[类题通法] 组合数公式的乘积形式体现了组合数与相应排列数的关 系，一般在计算具体的组合数时会用到． 组合数公式阶乘形式的主要作用有： (1)计算 m，n 较大时的组合数； (2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明． 特别地，当 m>n2时计算 Cmn ，用性质 Cmn ＝Cnn－m转化，减少 计算量．
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
[针对训练] 1．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A．从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从 100 位幸运观众中选出 2 名 幸运之星 D．从 13 位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地
解析：选 C 选项 A 是排列问题，因为 2 个小球有顺序； 选项 B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式； 选项 C 是组合问题，因为 2 位观众无顺序；选项 D 是排列问题， 因为两位司机开哪一辆车是不同的．选 C.
(2)原方程可变形为CC53nn－－13＋1＝345，C5n－1＝154C3n－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5， 化简整理，得 n2－3n－54＝0. 解此二次方程得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)， 故 n＝9 为所求．
高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列的综合应用a23a高二23数学
合 元素相邻
作
他元素一起排列
提 素 养
探
究 元素不相 通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排
释
课
疑
时
难
邻 列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中
分
层
作
业
返 首 页
第二十九页，共三十六页。
· ·
课
堂
小
结
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( ) 提
合
素
作 探
A．36
B．120
1 4
A
1 3
A
4 4
＝
分 层
作
288(个)．
业
返 首 页
第二十页，共三十六页。
· ·
法三：(排除法)
课
从整体上排除：6个数字的全排列数为A66，0,2,4在个位上的排列
堂 小
结
数为3A
5 5
，而1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数为3A
4 4
，故符合
提
合
素
作 探
题意的六位数奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．
业
返 首 页
第二十二页，共三十六页。
· ·
课
堂
1．本例(2)条件不变，能组成多少个能被5整除的五位数？
小 结
提
合 作
[解]
个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有A
4 5
个；若
素 养
探
究
个位上是5，若不含0，则有A
4 4
个；若含0，但0不作首位，则0的位
释
课
疑 难
置有A
1 3
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第9课时计数应用题
【教学目标】
1.强化综合运用两个计数原理解决计数问题的能力。
2.能运用排列组合知识分析实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
【基础练习】
1.将3名同学安排到2个工厂去实习,共有______________种不同的分配方案.
2.用0到9这10个数字,可组成______________个没有重复数字的四位偶数.
3.一个小组共有组长2人,组员7人,现在要求选出5人参加一项活动,要求这5人中至少一名组长,共有_________________种不同的选法.
【合作探究】
例1．高二（1）班有30名男生，20名女生。
从50名学生中选3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？
例2．2名女生、4名男生排成一排，问：
（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？
（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？
变式：七个家庭一起外出旅游，若其中四家分别是一个男孩，三家分别是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
（1）一共用多少种站法？
（2）甲站在正中间的排法有几种？
（3）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
（4）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
（5）甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种排法？
（6) 若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
（7）若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？
（8) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
（9）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？
（10）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？
例3．从0,1,2，...,9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有多少个？
例4 六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?
(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)分成三份，每份2本；
(3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本.
【学以致用】
1.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数
(1)有多少个五位数
(2)有多少个五位数的奇数
(3)有多少个大于31250的五位数？
2.从6双不同的颜色的鞋子中任取4只，其中恰有两只可以配成一双鞋子的取法有多少种？
3.按下列条件,各有多少种不同的送书方法?
(1)5本不同的书送给6个人.
(2)5本不同的书送给6个人,每人最多1本.
(3)6本不同的书送给5人.
(4)6本不同的书送给5人,每人最少1本.
(5)3本相同的书送给5人,每人最多1本.
(6)3本相同的书送给5人.
4.有一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对位置不变，再添入3个节目，那么共有多少种不同的安排方法？
5.有一张节目表上原有6个节目,如果保持这些节目的相对位置不变,再添入3个节目,共有多少种不同的安排方法？
第9课时排列组合应用问题（1）
【基础训练】
1.如果有20个代表出席一次会议，每位代表与其他代表握一次手，那么一共握手_______次.
2.200件产品中有3件是不合格品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件是不合格品的抽法的种数为___________________________（列出算式）.
3.若从一个小组中选出正、副组长各1人与选出4名学生代表的选法种数之比为2:13，则这个小组的人数是_________.
4.以正六边形的顶点为顶点的直角三角形共有_______个.
5.若不同的5种商品在货架上排成一排，其中,a b两种必修排在一起，而,c d两种不能排在一起，则不同的排法种数共有______种.
6.6个男生和4个女生排成一排，若女生既不相邻又不能在两端，则有_____种不同的排法. 【思考应用】
7.7人站成一排，下列情况中各有多少种不同的站法？
（1）甲站在正中间，乙站在排头，丙站在排尾；
（2）甲站在乙得右边（不一定相邻）；
（3）甲、乙、丙三人中任何两人均不相邻.
8.用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个比4032大且没有重复数字的四位数？
9.要举办一台文艺晚会，现从高一年级的4个文艺节目中选出2个，高二年级的5个文艺节
目中选出3个，高三年级的3个文艺节目中选出2个编制节目，问：有多少种不同的演出顺序？
Ð的OA边上有4个异于O点的点，以这10个点（含O点）为顶点，能得到多10.在AOB
少个不同的三角形？
【拓展提升】
A B C D这4所中学任教，每校2人，其中甲、乙两
11.有8名师范大学毕业生被分配到,,,
人不得分配到A中学去，问：不同的分配方法有多少种？
12.空间7个点最多能确定多少对异面直线？。