矩阵理论第一二章典型例题

《矩阵理论》第一二章 典型例题
一、 判断题
1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量，
||x |A
x =定义, ||x||x 则为向量 的范数. ( )
提示：因为非负性不成立，故结论错误。

2．设A n 为阶Hermite 矩阵，
12,,,n λλλ是矩阵A 的特征值，则2
2
21
||||n
m i i A λ==∑.
( )
提示：A n 为阶Hermite 矩阵⇒22
2
212||||||(,,
,)||H m n m A Udiag U λλλ= 2
212||(,,
,)||n m diag λλλ=21
n
i i λ==∑.
3. 如果m n A C ⨯∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||AA n -=. ( )
提示：AA -为幂等矩阵⇒AA -
的特征值为0或1。

又0A ≠,⇒A AA -
≥秩()=秩()1⇒
0AA -≠⇒1是AA -的特征值
⇒2||||AA -=max ()i AA λ-=
=1
4. 若设n
x R ∈
，则212||||||||||x x x ≤≤. ( ) 提示： 2
2
2
2
2
2
1221
||||||||||||||x x x x x =++
+≤， 11||||||n i i x x ==∑1
||1n
i i x ==⋅∑
21/21
||)n
i i x =≤
∑2||x =
5. 设m n
A R
⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥
≥，则2
22
1
||||n
i i A σ==∑. ( )
6. 设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11
||()||1||||
E A A -->
-,
其中E 为n 阶单位矩阵. ( )
提示：
111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒ 11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒
1||||1
||()||1||||1||||
E E A A A --≤
=--
7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =
( )
提示：(2)H H H A E uu =- (2)H H E uu =-2H E uu =-A =
(2)(2)H H H A A E u u E
u u =--224H H H
H E u u u u u u u u E
=--+=
2||||m
A n
∴8. 设n n A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( )
9.设n
n C
A ⨯∈可逆，n
n C
B ⨯∈，若对算子范数有1
||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.
( ∨ )
10. 设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n n
A C
⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( )
12. 如果12(,,
,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n
x x ≤≤=是向量范数. ( )
13. 设,n n A C ⨯∈则矩阵范数m
A ∞
与向量的1-范数相容. ( )
14、设n n
A C
⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数
有1I A -≥, 其中I 为单位矩
阵. ( )
二、 设m n
A C
⨯∈，,||
||||ij i j
A a =，证明:
(1)||||A 为矩阵范数; (2)||||A 为与向量2-范数相容.
三、 试证：如果A 为n 阶正规矩阵，且Ax x λ=和Ay y μ=，其中，λμ≠，那么x 与y
正交.
证： A 为n 阶正规矩阵⇒H
A U U =Λ⇒
Ax x λ=⇒H
U Ux x λΛ=⇒Ux Ux λΛ='
''x Ux
x x λ=Λ=
'''1(,,)T n x x x =设⇒',0i i x λλ≠=时
Ay y λ=⇒H U Uy y μΛ=⇒Uy Uy μΛ=⇒'''y Uy y y λ=Λ=
⇒'
,0i i y μμ≠=时
λμ≠⇒''
(,)0x y =
()
''0,()H x y Ux Uy ==H
H
x U Uy =H
x y =(),x y =
四、 (1) 设(1)n n
A C
n ⨯∈>为严格对角占优矩阵，1122(,,
,)nn D diag a a a =，其中
(1,2,
,)ii a i n =为A 的对角元，E 为n 阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数||||⋅使得
1()1r E D A --<.
(2) 设n n
A C ⨯∈, ε为任意给定的正数，()r A 为矩阵的谱半径。

证明：至少存在一
个矩阵范数||||A 使得||||().A r A ε≤+
五．设矩阵U 是酉矩阵, 12diag(,,
,)n A a a a =, 证明: UA 的所有特征值λ满足不等式
{||}||{||}max min i i i
i
a a λ≤≤.
六. 设||||a ⋅是n n
C
⨯上的相容的矩阵范数, 矩阵,B C 都是n 阶可逆矩阵, 且1
||||a B
-及
1||||a C -都小于或等于1, 证明: 对任意矩阵n n A C ⨯∈
||||||||b a A BAC =
定义了n n
C
⨯上的一个相容的矩阵范数.
七．设A 是可逆矩阵,
λ是A 的一个特征值, 对于任意的算子范数||||⋅, 证明1
1
||||||
A λ-≥
. 八. 设A 是Hermite 矩阵()H
A A =，且A 的特征值12n λλλ===，证明矩阵A 的
Rayleigh 商恒等于1λ.
九．已知n n C ⨯中的两种矩阵算子范数|| ||a 与|| ||b , 对于任意矩阵n n A C ⨯∈, 验证
||||||||||a b A A A =
+ 是n n C ⨯中的相容矩阵范数.
十．设矩阵m n
r
A C ⨯∈的非零奇异值为12,,
,r σσσ(0r >), 求证
1
22
1
||||().r
F i i A σ==∑
十一. 设矩阵n n
A C
⨯∈可逆, 矩阵范数||||⋅是n
C 上的向量范数||||v ⋅诱导出的算子范数, 令
()L x Ax =, 证明:
||||11||||1
max ||()||||||||||min ||()||v v v
x v
y L x A A L y =-==⋅.
证明: 根据算子范数的定义, 有||||1
max ||()||||||x L x A ==,
1
11
00||||1||||1
0||||||||111
||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||
y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,
结论成立.
十二. 设矩阵n n
A C ⨯∈为单纯矩阵, 证明: A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定
矩阵n n
H C
⨯∈, 使得HA 为Hermite 矩阵.
证明: (充分性) (0)Ax x x λ=≠, ,(0,)H
H
H
H
x HAx x Hx R x Hx x HAx R λ=∈>∈,
R λ∈.
(必要性) A 为单纯矩阵, 所以1
1, (,
,),n i A P DP D diag R λλλ-==∈,
令H H P P =, 则1H H
HA P PP DP P DP -==为Hermite 矩阵. 十三. (1) 设矩阵()ij n n A a ⨯=, 则
,||||max ||a ij i j
A n a =⋅
是矩阵范数.
(2) 设,,,n x y p q C ∈, 矩阵H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥其中，求2||||m A .。