一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项

一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注

意事项

一、一元二次方程跟的判别式的常见题型

题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况

.6232)3(;0123)2(;

0345)1(222x x x x x x =+=++=--

题型2：证明一元二次方程根的情况

求证：无论取何实数，关于的一元二次方程：总有两个不等实根。

题型3：已知一元二次方程根的情况，求方程中未知系数的取值范围

1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程(a －1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( )

A.a<2 B,a>2 C.a<2且a≠1

D.a<－2·

变式1：（2010·安徽芜湖）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

注意：要特别注意二次项系数是否为0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。

变式2：（2010 ·成都）若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值.

变式3：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围

二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型

题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数的值

已知是方程的一根，则方程的另一根是，= 。

题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；

1. 已知是方程的两根，计算：（1）；⑵ ；⑶

变式：已知是方程的两实根，求的值

题型3：已知一元二次方程两根的关系，求方程中未知系数的取值1．关于的一元二次方程的两个实根的平方和等于9，求的值

变式1：（2011·荆州）关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是（）

A．1 B．－1 C．1或－1 D． 2

注意：要特别注意应用韦达定理的前提条件是原方程有实根，即原方程：△≥0。故最后需验根

变式2：（2010·中山）已知一元二次方程．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为，，且+3=3，求m的值。

三、综合练习

1．（2010·贵州毕节）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．

（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．

2. （2011·四川南充市）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。

（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值。

3．（2010·绵阳）已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

4．（2010·孝感）关于x的一元二次方程、

（1）求p的取值范围；（2）若的值.

5．（2011·四川乐山）已知关于x的方程的两根为、，且满足.求的值。

6. （2010·孝感）已知关于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有两个

实数根x1，x2.

（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值.