第26讲平面向量的数量积及应用

第26讲平面向量的数量积及应用

高三新数学第一轮复习教案〔讲座26〕一平面向量的数量积及应

用

一•课标要求：

1•平面向量的数量积

①通过物理中"功"等实例，明白得平面向量数量积的含义及其物理意义；

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③把握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两个平面向量的垂直关系。

2.向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何咨询题、力学咨询题与其他一些实际咨询题的过程，体会向量是一种处理几何咨询题、物理咨询题等的工具，进展运算能力和解决实际咨询题的能力。

二.命题走向

本讲以选择题、填空题考察本章的差不多概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合咨询题是”新热点〃题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等咨询题，以解答题为主。

推测07年高考：

〔1〕一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度咨询题；属于中档题目。

〔2〕一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三•要点精讲

1 .向量的数量积

〔1〕两个非零向量的夹角

非零向量a与a，作OA = a , OB = b，那么/ A O A= B〔0 we

角；

讲明：〔1〕当B=0时，a与b同向;

〔2〕当9= n时，a与b反向;

〔3〕当9= 一时，a与b垂直，记a丄b ；

2

〔4〕注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范畴

a ^0= O B ~ e =跻 —

〔2〕数量积的概念

对实数的结合律成立:

当且仅当两个非零向量 a 与b 同方向时，B =o o ，当且仅当a 与b 反方向时B =180°, 同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一咨询题。

两个非零向量a 与b ，它们的夹角为 b i cos 叫做a 与 称为向量b 在a 方向上的投影。投影的绝对

值称为射影;

〔3〕数量积的几何意义: b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。

〔4〕向量数量积的性质

I

①向量的模与平方的关系： aa 2

向2。

②乘法公式成立

I

'2

b 2 ；

2 a 2 2

b b 2

2a b

③平面向量数量积的运算律 交换律成立：a b

分配律成立：a b ④向量的夹角：cos = cos a,b d?b, ?b

X 1X 2

y i y 2

2

2

2

2。

X i y i 、、X 2 y 2

c

B

C

C

，那么

=i a i •

的数量积〔或内积〕。规定 0;

向量的投影：| b I cos €

解析：〔1〕错；〔2〕对；〔3〕错；〔4〕错；〔5〕错；〔6〕对。 点评：通过该题我们清晰了向量的数乘与数量积之间的区不于联系, 零向量，而0 a 为零。

例2.〔 1〕〔2002上海春，13〕假设a 、b 、C 为任意向量，m € R ,

〔5〕两个向量的数量积的坐标运算

两个向量 (X i , y i ),b (X 2,y 2)，那么 a ・b =X !X 2 y 』2。

〔6〕垂直：假如a 与b 的夹角为90°那么称a 与b 垂直，记作 两个非零向量垂直的充要条件： a 丄b a ■ b = O X 1X 2 y°2 0，平面向

量数量积的性质。 〔7〕平面内两点间的距离公式 设 a (X , y)，那么 |a|2 X 2 y 2或 |a | X 2 假如表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分不为 （x 「yj 、 （X 2, y 2），

那么

| a | （X 1 X 2）2 （y 1 y 2）

2 （平面内两点间的距离公式）。 2 .向量的应用 〔1〕向量在几何中的应用； 〔2〕向量在物理中的应用。 四.典例解析 题型1 :数量积的概念

例1.判定以下各命题正确与否: 〔1〕

假设a 0,a b

那么b C ；

〔4〕

假设a

那么b

当且仅当

时成立;

〔6〕 (a b)

（b C ）对任意a,b,C 向量都成

立;

对任意向量a ，有

重点清晰0 a 为

那么以下等式不

B . (a b) c a c be

F —F

—► —F —F

D . (a b) c a (b c)

4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不

②|a |— |b |<|a — b | b • c 〕a —〔 c • a 〕

b 不与

c 垂直

3a +2b 〕〔3a — 2b 〕=9|a |2 — 4|b |2 中，是真命题的有〔 〕

A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

解析：〔1〕答案：D ；因为(a b) c | a | | b| cos c,而 a (b c) | b | |c | cos a ； 而c 方向与a 方向不一定同向。

〔2〕答案：D ①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可 知|a |、|b |、|a — b I 恰为一个三角形的三条边长，由”两边之差小于第三边"，故②真； ③ 因为［〔b • c 〕a —〔 c • a 〕b : • c =〔 b • c 〕a • c —〔 c • a 〕b • c =0，因 此垂直•故③假；3 a +2b 〕〔3a — 2b 〕=9 • a • a — 4b • b =9| a |2 — 4|b |2成立。故 ④ 真。

点评：此题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。 题型2 :向量的夹角

例3.〔 1〕〔06全国1文，1〕向量a 、b 满足| a| 1、|b| 4，且a b 2，那么a 与b 的夹角为〔

〕

A . 一

B . —

C . 一

D . 一

6

4

3

2

—si

—n

—«

—fc-

〔2〕〔 06

北京文，12 丨向量 a

=(cos ,sin ), b =(cos

,sin ),且 a

b ，那

么a b 与a b 的夹角的大小是 _____________________________

—定成立的是〔

A . (a b) c a (b c)

f

*

C . m 〔 a b 〕=m a +m b

〔2〕(2000江西、山西、天津理， 共线，那么

◎〔 a • b 〕c —〔 c • a 〕b = 0