第六章 屈服准则

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6.2 Tresca屈服准则 屈服准则
1864年，法国工程师屈雷斯加: 当材料中的最大切应力达到某一定值时，材料就屈服。即材料处于 塑性状态时，其最大切应力是一不变的定值， ——又称为最大切应力不 变条件:
τ max =
σ max − σ min
2
=C
C为材料性能常数，可通过单拉求得 :
材料单向拉伸时的应力 : K为材料屈服时的最大切应 力值，即剪切屈服强度
2
屈雷斯加屈服准则可写成：
2 σ x − σ y ) + 4τ xy = σ s2 = 4 K 2 ( 2
6.3 Mises屈服准则 屈服准则
1913年，德国力学家米塞斯： f( σ ij ) = C 与坐标的先择无关， 对于各向同性材料，屈服函数式 ' 与塑性变形与应力偏张量有关，且只与应力偏张量的第二不变量 I 有关。
2 2 2
与等效应力比较得 ：
2 1 2 2 2 2 2 σe = (σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 (τ xy + τ yz + τ zx ) = σ s 2
用主应力表示为 ：
1 2 2 2 σe = (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = σ s 2
第六章 屈服准则
本章主要内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 基本概念 屈雷斯加屈服准则 米塞斯屈服准则 屈服准则的几何描述 屈服准则的实验验证与比较 应变硬化材料的屈服准则
6.1 基本概念
金属变形：弹性 塑性 金属变形：弹性+塑性
一、屈服准则（塑性条件）： 屈服准则（塑性条件）： 在一定的变形条件下，当各应力 分量之间满足一定关系时，质点才开 始进入塑性状态，这种关系称为屈服 准则。
σ3 = σρ = p
p= 2t 3r + 6rt + 4t t p= σs r+t
2 2
1）按米塞斯屈服准则:
σs
2）按屈雷斯加屈服准则:
6.4 屈服准则的几何描述
屈服表面：屈服准则的数学表达式在主应力空间中的几何图形是一个封闭 的空间曲面称为屈服表面。 屈服轨迹：屈服准则在各种平面坐标系中的几何图形是一封闭曲线，称为 屈服轨迹。
则：
代入密赛斯屈服准则，得：
两种屈服准则的共同点： 两种屈服准则的共同点： 1. 屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变量的函数 ； 2. 三个主应力可以任意置换而不影响屈服，拉应力和压应力作用是一样的； 3. 各表达式都和应力球张量无关 。 两种屈服准则的不同点： 两种屈服准则的不同点： 1. 2. 屈雷斯加屈服准则未考虑中间应力使用不方便； 米塞斯屈服准则考虑中间应力使用方便。
N
σ
3
屈雷斯 加六角 柱面 密塞斯 圆柱面 H G F
0
I
1
J I K
L
E C D
σ
2
A
B C
1
σ
1
1、主应力空间的屈服表面
若变形体内一点的主应力为，则此点的应力状态可用主应 力坐标空间的一点Ｐ来表示：
P(σ 1 , σ 2 , σ 3 )
l=m=n=
1 3
引等倾线ON
uuur 2 1 2 PN = σ 12 + σ 2 + σ 32 − (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 2 3 1 = [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] 3 ON表示应力球张量，NP表示应力偏张量 = σ '12 + σ '2 2 + σ '32
π
平面:
1 OM = σ 1l + σ 2 m + σ 3 n = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 0 3
σ1 + σ 2 + σ 3 = 0
σ2
σ 2 ≥ σ1 ≥ σ 3
−σ 3
−σ1
σ 3 ≥ σ 2 ≥ σ1
σ 2 ≥ σ 3 ≥ σ1
o
p
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
σ3
σ 3 ≥ σ1 ≥ σ 2
σ 3 = 0 对于Mises 2 2 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = 2σ s2 = 6 K 2 σ
σ2
1 σs 2
σ2 = σs
D
' σ1
→ σ − σ 1σ 2 + σ = σ
2 1 2 2
' 1
2 s
' 2
E P F
C
σ1 = σ s
2
在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第2不 变量 I' 达到某一定值时，该点就进入塑性状态。
2
屈服函数为：
′ ′ f (σ ij )=J 2 = C
应力偏张量第二不变量为 ：
2 2 1 2 2 2 2 I 2 = (σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 (τ xy + τ yz + τ zx ) = C 6 '
2 2 2
即：
(
pr pr 2 pr pr − ) + ( )2 + ( )2 = 2σ s2 t 2t 2t t
……(c)
所以可求得： 所以可求得：
2 t p= σs 3r
……(d)
2）由屈雷斯加屈服准则
σ1 − σ 3 = σ s
所以可求得：
即
pr − 0 = σs t
t p = σs r
用同样的方法可以求出内表面开始屈服时的p值： 此时:
塑性材料试样拉伸时拉力与伸长量 之间的关系
f( σ x , σ y , σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx ) = C f( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = C f(I1 , I 2 , I 3 ) = C
' f(I 2 , I 3' ) = C
屈服准则与应力和材料有关，C是与 材料性质有关而与坐标系的常数. 屈服准则是求解塑性成形问题必要 的补充方程 。
σ1 Tresa六边形
' σ2
σ2
1 σs 2
C1
σ2 = σs
D
σ 2 = ±σ s σ 3 = ±σ s
}
σ1'
C
E P
σ1 = σ s
σ1 −σ 2 = −σ s
F
B
2 σs 3
G A
2σ s
σ1 = −σ s
H L
I J
K
σ 2 = −σ s
σ1 −σ 2Байду номын сангаас= σ s
3、π 平面上的屈服轨迹 在主应力空间中，通过坐标原点并垂直于等倾线ON的平面称为
用主应力表示 ： y 1 2 2 2 I ' 2 = (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + ( σ 3 − σ 1 ) = C 6 求C：
σ1 =τ1 σ 2 = −σ1
τ1 τ1 x τ L(0,τ1)
O
对于单向拉伸 ： Mises屈服准则：
σ1 = σ s σ 2 = σ 3 = 0
σ3 σ3
根据Mises屈服准则 σ e =σ s ，材料屈服。 P点屈服时：
P
N
2 σs 3
0
2 PN = σs 3
2 σs 3
σ1 σ1
主应力空间
σ2
且以N为圆心，以
的圆上的应力点，材料都屈服。
静水应力不影响屈服，所以，以ON为轴线，以 为半 径作一圆柱面，则此圆柱面上的点都满足米塞斯屈服准则，这个圆 柱面就称为主应力空间中的米塞斯屈服表面。
将坐标轴旋转45度:
σ1 −σ 2 = −σ s
B
σ 1 = σ cos 45 − σ sin 45
0 ' 2
' σ2 =σ2
} sin 45 + σ cos 45
0 ' 1 0
0
2 σs 3
G A
2σ s
σ1 =
1 ' (σ 1' − σ 2 ) 2
σ1 = −σ s
H L
1 ' σ2 = (σ 1' + σ 2 ) 2
σ max = σ 1 = σ s σ min = σ 2 = σ 3 = 0 σs σs τ max = = K C=
2 2
σ max − σ min = σ s = 2 K
设
σ1 > σ 2 > σ 3
σ 1 − σ 3 = 2K
如果不知主应力大小顺序，则屈雷斯加表达式为： 如果不知主应力大小顺序，则屈雷斯加表达式为：
这些特点对于各向同性理想塑性材料的屈服准则有普遍意义
例题： 例题：一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，壁厚为t，受内压力p的作用，试求 此圆筒产屈服时的内压力p。（设材料单向拉伸时的屈服应力为 ）
根据平衡条件可求得应力分量为：
2r
t
解：
σs
P z
pπ r pr σz = = >0 2π rt 2t p 2r pr σθ = = >0 2t t
2 σs 3
屈雷斯加六角柱面 N
σ3
密塞斯原柱面
I1
屈服表面的几何意义： 若主应力空间中的一 点应力状态矢量的端点 位于屈服表面，则该点 σ2 处于塑性状态； 若位于屈服表面内部， 则该点处于弹性状态。