《欧拉公式的应用》PPT课件

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4、求积分
例1： /
4
eit
dt
iei/4 i i
1

i
i
1
i1
1

0
2 2
2 2
例2：
1 dx
x4 1

2iRzec0s
f
z
Re s z c1
f
z

2i
1 4
3i
2、求方根
例： 4 1 i 4
i
2n i4
2e 4 8 2e 4 n 来自 0,1,2,33、初等函数求值
例： Log 1
3i ln 2 i 2 2n ln 2 2n 1 in 0,1,2,
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欧拉公式的应用
目录
1、什么是欧拉公式 2、认识欧拉 3、 “上帝创造的公式” 4、欧拉公式的应用
欧拉公式
• 欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其 中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公 式---将复数、指数函数与三角函数联系起 来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数 论中的欧拉函数公式。
《初等数论》中的欧拉公式：
z 1 z2 2iaz 1
z z1
a2 1
5、 倍角和半角的三角变换
例：证明：
sin 2 1 cos 2
cot
证：左
e2i e2i i e2i e2i
e2i e2i
sin 2 1 cos 2

1

2i e2i
e2i
i sin 3
i
2
2
e2ki cos 2k i sin 2k 1k 0, 1, 2
由欧拉公式可以看出，在复数域内，指数函数是周
期函数，具有基本周期 2 i 。
2、在欧拉公式中用 代替 ，则ei cos isin
由 ei cos i sin
得到 ei 1 0
欧拉公式成为人们公认的最优美公式，被视为数学 美的一个象征，数学家们评价它是“上帝创造的公 式” 。
欧拉公式的两个基本性质
1、ei cos1 i sin1
i
e2
cos
i sin
i
2
2
ei cos i sin 1
3 i
e2
cos 3
e4

1 4
1 i
e4


2
例3：
2

0
a
d a
sin
1
Sol:Let z ei 0 2 sin z z 1 2i
d dz
iz
2 d a 1
2i dz 2 Re s f z 2 1
0 a sin
2
1 ei ei ei ei i ei ei

i ei ei 2
ei ei
cot =右
所以原式成立
谢谢
去世后还留下100多篇待发表；
欧拉---首先使用f(x)表示函数，用e表示自然对数的底，用a、
b、c 表示△ABC，用∑表示求和，用i表示虚数单位等。
欧拉---目前数学中有欧拉公式、欧拉常数、欧拉猜想、欧拉
方法、欧拉方程、欧拉定理。
“上帝创造的公式”
将欧拉公式 ei cos i sin 中的 换为

f (xn , yn ),
即
yn1 yn hf (xn , yn )
《离散数学》中的欧拉公式：
若G为连通平面图，则n-m+r=2,其中，n,m,r分别 为G的结点数，边数和面数。
另外，我们在《常微分方程》中还学了欧拉折
线；在《离散数学》中 学过欧拉图。
认识欧拉
欧拉---瑞士人（Euler,L. 1707---1783）； 欧拉---16 岁获得硕士学位； 欧拉---数学史上“高产”的数学家。在世发表论文700多篇，
ei cos i sin ，
得到
cos ei ei , sin ei ei
2
2i
由上式容易看出正弦函数是奇函数，余弦函
数是偶函数．
欧拉公式的应用
欧拉公式在计算中的应用：
1、幂乘
例： 3 i 7 (2ei / 6 )7 27 ei7 / 6 26 ei 2ei / 6 64 3 i
设m是大于1的整数，（a,m）=1，则 am 1mod m
《复变函数论》中的欧拉函数：
ei cos i sin (Eulersformula )
《数值分析》中的欧拉函数：
一般的，设已作出该折线的极点,过依方向场的方 向再推进到，显然两个极点的坐标有以下关系
yn1 yn xn1 xn