六、MATLAB在计算方法中的应用(插值拟合)讲解
Matlab中的插值拟合方法在数据分析中的应用
Matlab中的插值拟合方法在数据分析中的应用数据分析已经成为当今社会的一个重要应用领域。
随着科技的发展，海量的数据被不断地产生和收集，但是如何从这些数据中提取有价值的信息并进行分析成为了一个亟待解决的问题。
在数据分析领域，插值拟合方法是一种常用的技术。
在Matlab中，有丰富的插值拟合函数可以帮助我们处理各种应用场景。
一、插值拟合方法的概念和原理插值拟合方法是基于已知数据点，通过构建一个拟合函数来估计在未知点上的函数值。
基本原理是通过已知数据点之间的关系来推断出未知数据点的值。
常用的插值拟合方法有线性插值、多项式插值、样条插值等。
1. 线性插值线性插值是一种简单而直接的插值方法。
它假设函数在两个相邻数据点之间是线性变化的，并根据两个已知数据点的位置以及函数值来推断未知点的值。
在Matlab中，线性插值可以通过interp1函数实现。
该函数会根据给定的已知数据点和未知点的位置，利用线性插值法计算未知点的值。
2. 多项式插值多项式插值方法是利用一个多项式函数来逼近已知数据点。
这种方法假设函数可以用多项式表示，并且通过已知数据点来确定多项式的系数。
多项式插值方法在Matlab中可以通过polyfit函数实现。
polyfit函数可以根据给定的数据点和多项式的阶数，返回一个多项式的系数向量。
3. 样条插值样条插值是一种更高级的插值方法，它通过利用局部插值多项式来逼近已知数据点。
样条插值在相邻数据点之间构造多项式，并确保这些多项式在数据点处连续、光滑。
Matlab中的spline函数可以实现样条插值方法。
spline函数会根据给定的数据点，生成一个样条插值函数。
二、插值拟合方法的应用插值拟合方法在数据分析中有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 数据平滑在实际的数据分析中，数据常常存在噪声和波动。
为了提取数据中的趋势信息，可以利用插值拟合方法对数据进行平滑处理。
通过建立拟合函数，可以将噪声和波动的影响降低，提取出数据中的主要趋势。
Matlab中的插值与拟合技术
Matlab中的插值与拟合技术在科学研究和工程领域中，数据的插值和拟合技术在数值计算和数据处理中具有重要意义。
Matlab作为一款强大的科学计算软件，提供了丰富的插值和拟合函数和工具箱，能够满足不同场景下的需求。
插值是一种通过已知数据点构建新数据点的技术。
在实际问题中，我们经常会遇到仅有少量已知数据点，但需要了解未知数据点的情况。
插值技术就可以帮助我们填补数据之间的空缺，以便更好地分析和理解数据。
Matlab中提供了多种插值函数，包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
这些函数能够根据已知数据点的特征，推测出未知数据点的可能取值。
通过合理选择插值方法和参数，我们可以得到较为准确的结果。
以线性插值为例，其原理是根据已知数据点的直线特征，推测出未知数据点的取值。
在Matlab中，我们可以使用interp1函数实现线性插值。
该函数的基本用法是给定一组x和对应的y值，以及待插值的点xq，函数将计算出对应的插值点yq。
通过指定xq的形式，我们可以实现不仅仅是单个点的插值，还可以实现多点插值和插值曲线绘制。
这种灵活性使得插值操作更加方便快捷。
拟合技术则是通过一定数学函数的近似表示，来描述已知数据的特征。
它可以帮助我们找到数据背后的规律和趋势，从而更好地预测未知数据。
在Matlab中，拟合问题可以通过polyfit和polyval函数来解决。
polyfit函数可以根据一组已知数据点，拟合出最优的多项式曲线。
该函数的输入参数包括x和y，代表已知数据的横纵坐标值；以及n，代表拟合的多项式次数。
polyfit函数将返回拟合得到的多项式系数。
通过polyval函数，我们可以使用这些系数来求解拟合曲线的纵坐标值。
这样，我们就能够利用拟合曲线来预测未知数据点。
插值和拟合技术在实际问题中都有广泛的应用，尤其在数据处理和信号处理方面。
例如，当我们在实验中测量一组数据时，可能会存在测量误差或者数据缺失的情况。
此时，通过插值技术我们可以填补数据之间的空白，并得到一个更加完整的数据集。
matlab 插值拟合
MATLAB 插值拟合介绍MATLAB是一种用于科学计算和工程应用的高级编程语言和环境。
它提供了许多功能强大的工具箱，可以用于各种数学计算、数据分析和图形绘制任务。
其中之一是插值拟合，它可以通过已知数据点之间的数学插值来估计未知数据点的值。
在本文中，我们将深入探讨MATLAB中的插值拟合方法以及如何使用它们来解决实际问题。
一、插值的概念插值是一种通过已知数据点之间的数学插值来估计未知数据点的值的方法。
它在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、图像处理、数据分析等。
插值的目标是在已知数据点之间建立一个连续的函数，以便可以在这些点之外对函数进行求值。
二、MATLAB中的插值方法MATLAB提供了多种插值方法，可以根据需要选择合适的方法。
下面介绍几种常用的插值方法：1. 线性插值线性插值是一种简单而直观的插值方法。
它假设在两个已知数据点之间的值是线性变化的，并使用直线来连接这些点。
MATLAB中的interp1函数可以实现线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是一种更高阶的插值方法，它通过在已知数据点上构造一个多项式函数来逼近未知数据点。
MATLAB中的polyfit函数可以用于拟合多项式，并使用polyval函数进行插值。
3. 三次样条插值三次样条插值是一种更加平滑的插值方法，它通过在每个已知数据点附近构造一个三次多项式函数来逼近未知数据点。
MATLAB中的spline函数可以实现三次样条插值。
4. 二维插值除了在一维数据上进行插值外，MATLAB还提供了在二维数据上进行插值的方法。
例如，interp2函数可以用于二维线性插值，griddata函数可以用于二维三次插值。
三、插值拟合的实际应用插值拟合在许多实际问题中都有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景：1. 曲线拟合插值拟合可以用于拟合实验数据或观测数据的曲线。
通过选择适当的插值方法，可以找到最佳拟合曲线，从而更好地理解数据的趋势和规律。
2. 图像处理图像处理中经常需要对像素之间的值进行插值，以便进行放大、缩小或平滑处理。
Matlab中的曲线拟合与插值技巧
Matlab中的曲线拟合与插值技巧在数据科学和工程领域中，曲线拟合和插值技术是常用的数学方法。
在Matlab 中，有许多工具和函数可用于处理这些技术。
本文将讨论Matlab中的曲线拟合和插值技巧，并介绍一些实际应用案例。
一、曲线拟合技术曲线拟合是根据已知数据点来构造一个与这些点最匹配的曲线模型。
在Matlab 中，常用的曲线拟合函数包括polyfit和lsqcurvefit。
1. polyfit函数polyfit函数是Matlab中一个功能强大的多项式拟合函数。
它可以拟合多项式曲线模型，并通过最小二乘法找到最佳拟合系数。
例如，我们有一组数据点(x,y)，我们想要拟合一个二次多项式曲线来描述这些数据。
可以使用polyfit函数：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];degree = 2;coefficients = polyfit(x, y, degree);```在上述例子中，degree参数设置为2，表示拟合一个二次多项式曲线。
polyfit 函数将返回一个包含拟合系数的向量，可以用来构造拟合曲线。
2. lsqcurvefit函数lsqcurvefit函数是Matlab中一个用于非线性最小二乘拟合的函数。
与polyfit函数不同，lsqcurvefit函数可以用于拟合任意曲线模型，不局限于多项式。
例如，我们想要拟合一个指数函数曲线来拟合数据：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [1.1, 2.2, 3.7, 6.5, 12.3];model = @(params, x) params(1)*exp(params(2)*x);params0 = [1, 0];estimated_params = lsqcurvefit(model, params0, x, y);```在上述例子中，model是一个函数句柄，表示要拟合的曲线模型。
插值与拟合(matlab用法)
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x)
（1）
其中 a1,a2, …am 为待定系数。
第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi,yi) 与曲线 y = f(x) 的距离i 的平方和最小 。
n
n
记 J (a1, a2 ,am )
2 i
[ f (xi ) yi ]2
i 1
i 1
nm
[ ak rk (xi ) yi ]2
(2)
i1 k 1
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
函数选择
1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)； 2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判
断确定 f(x)。
多项式拟合的Matlab解决
所有的插值方法 都要求x是单调的， 并且xi不能够超过 x的范围。
二维插值
构造一个二元函数通过所有已知节点，再利用该函数求出插 值点的函数值。 m×n个节点，顺序排列且各不相同
n个节点，无序排列且各不相同
二维插值的Matlab解决
z = interp2(x0, y0, z0, x, y, 'method')
一维插值的Matlab解决
yi = interp1(x, y, xi, 'method')
◦ x, y：节点
◦ xi：插值点
◦ method
nearest：最邻近插值 linear： 双线性插值； spline： 三次样条插值； cubic或pchip ： 立方插值。 缺省时： 双线性插值。
◦ x0：迭代初值 ◦ xdata,ydata：已知数据点 lsqcurvefit用以求含参量x(向量) 的向量值函数 F(x,xdata)=(F(x,xdata1),…,F(x,xdataN))T 中的参变量x(向量),使得
第六讲 高等应用数学问题的MATLAB求解(拟合与插值)
x=[];y=[]; h=[];axis([0 1 0 1]); for k=1:pn [x0,y0]=ginput(1); x=[x,x0];y=[y,y0]; % 接受由鼠标确定的点 h=line(x0,y0);set(h, 'Marker', 'o'); % 绘出点 end step=(x(end)-x(1))/100; % 以起终点间距离的 以起终点间距离的1/100作为步长 作为步长 xx=x(1):step:x(end); % 以上述步长来得到插值点 yy=interp1(x,y,xx, 'spline'); % 求得插值。可改为其他方法再试。 求得插值。可改为其他方法再试。 hold on plot(xx,yy, 'b')
图示
1、一元函数的插值 、
一元函数的插值，从几何角度理解， 一元函数的插值，从几何角度理解，就是找到穿过平 面上的样本点的一条曲线。 面上的样本点的一条曲线。由于样本点就是未知函数上的 所以插值的数学提法是： 点，所以插值的数学提法是： 设给定连续函数y=f(x)（未知）在若干点上的函数值： 设给定连续函数 （未知）在若干点上的函数值： xi yi=f (xi) x1 y1 x2 y2 … … xn yn
指数拟合
y=f (x)
插值
线性拟合 观测值 多项式拟合
x01
观测点
x02
x03
x04
x05
x
实用中样本数据多为时间序列数据。 实用中样本数据多为时间序列数据。一般都等距 取样。即以相同的时间间隔取样观测， 取样。即以相同的时间间隔取样观测，再根据这些观 测值来求一些非取样点上的数据。 测值来求一些非取样点上的数据。 如果利用插值或拟合曲线对x 如果利用插值或拟合曲线对 n点以后的数据进行 估计，从时间概念上来理解，就是预测问题。 估计，从时间概念上来理解，就是预测问题。从图中 要对取样点范围内的数据进行逼近， 看，要对取样点范围内的数据进行逼近，误差比较容 易控制；而对预测问题， 易控制；而对预测问题，不同的模型得出的结果会有 很大的差别寻求一个次数不大于 次的多项式Pn(x)，使满足 次的多项式 ，
插值与拟合的MATLAB实现
插值与拟合的MATLAB实现插值和拟合是MATLAB中常用的数据处理方法。
插值是通过已知数据点之间的数值来估计未知位置的数值。
而拟合则是通过已知数据点来拟合一个曲线或者函数，以便于进行预测和分析。
插值方法：1.线性插值：使用MATLAB中的interp1函数可以进行线性插值。
interp1函数的基本语法为：yinterp = interp1(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点的线性关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
2.拉格朗日插值：MATLAB中的lagrangepoly函数可以使用拉格朗日插值方法。
lagrangepoly的基本语法为：yinterp = lagrangepoly(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据拉格朗日插值公式，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
3.三次样条插值：使用MATLAB中的spline函数可以进行三次样条插值。
spline函数的基本语法为：yinterp = spline(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点之间的曲线关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
拟合方法：1.多项式拟合：MATLAB中的polyfit函数可以进行多项式拟合。
polyfit的基本语法为：p = polyfit(x, y, n)，其中x和y为已知数据点的向量，n为要拟合的多项式的次数。
函数返回一个多项式的系数向量p，从高次到低次排列。
通过使用polyval函数，我们可以将系数向量p应用于其他数据点，得到拟合曲线的y值。
2.曲线拟合：MATLAB中的fit函数可以进行曲线拟合。
fit函数的基本语法为：[f, goodness] = fit(x, y, 'poly2')，其中x和y为已知数据点的向量，'poly2'表示要拟合的曲线类型为二次多项式。
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍概述数据处理是科学研究和工程实践中的重要环节之一。
对于实验或观测数据，我们常常需要通过插值和拟合方法来获取更加精确和连续的函数或曲线。
在MATLAB中，有多种方法和函数可以用于实现数据插值和拟合，本文将介绍其中的一些常用方法。
一、数据插值数据插值是指利用有限个数据点，通过某种方法构建一个连续的函数，以实现在这些点之间任意位置的数值估计。
在MATLAB中，常用的数据插值方法有线性插值、多项式插值、三次样条插值等。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，假设我们有两个数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，要在这两个点之间插值一个新的点 (x, y)，线性插值即为连接 (x1, y1) 和 (x2, y2) 这两个点的直线上的点(x, y)。
在MATLAB中，可以通过interp1函数进行线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是使用一个低次数的多项式函数来拟合数据的方法。
在MATLAB 中，可以通过polyfit函数进行多项式拟合，然后利用polyval函数来进行插值。
具体的插值效果与所选用的多项式阶数有关。
3. 三次样条插值三次样条插值算法利用相邻数据点之间的三次多项式来拟合数据，从而构成一条光滑的曲线。
在MATLAB中，可以通过spline函数进行三次样条插值。
二、数据拟合除了插值方法外，数据拟合也是处理实验或观测数据的常见方法之一。
数据拟合是指通过选择一个特定的数学模型，使该模型与给定的数据点集最好地拟合。
在MATLAB中，常用的数据拟合方法有多项式拟合、指数拟合、非线性最小二乘拟合等。
1. 多项式拟合在MATLAB中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合。
该函数通过最小二乘法来拟合给定数据点集，并得到一个多项式函数。
根据所选用的多项式阶数，拟合效果也会有所不同。
2. 指数拟合指数拟合常用于具有指数关系的数据。
在MATLAB中，可以通过拟合幂函数的对数来实现指数拟合。
Matlab中的插值与拟合方法介绍
Matlab中的插值与拟合方法介绍在数据分析与处理的过程中，插值与拟合是非常重要的工具。
Matlab作为一种常用的数据处理与分析工具，提供了许多插值与拟合函数，方便用户进行数据处理和分析。
本文将介绍Matlab中的插值和拟合方法，并提供相应的示例和应用场景。
一、插值方法1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，通过连接已知数据点的直线进行插值。
在Matlab中，可以使用interp1函数进行一维线性插值。
下面以一个简单的例子来说明线性插值的应用：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi)```在这个例子中，已知一组数据点(x, y)，要求在x=2.5处的插值结果。
通过interp1函数，可以得到插值结果yi=5。
线性插值适用于数据点较少且近邻点的变化趋势比较明显的情况。
2. 三次样条插值三次样条插值是一种更精确的插值方法，它利用多个小区间的三次多项式进行插值。
在Matlab中，可以使用interp1函数的'spline'选项进行三次样条插值。
以下是一个示例：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi, 'spline')```通过设置'spline'选项，可以得到插值结果yi=5.125。
三次样条插值适用于数据点较多且变化较为复杂的情况。
3. 二维插值除了一维插值，Matlab还提供了二维插值函数interp2，用于处理二维数据的插值问题。
以下是一个简单的二维插值示例：```x = 1:4;y = 1:4;[X, Y] = meshgrid(x, y);Z = X.^2 + Y.^2;xi = 2.5;yi = 2.5;zi = interp2(X, Y, Z, xi, yi)```在这个例子中，首先生成一个二维数据矩阵Z，然后利用interp2函数在给定的坐标(xi, yi)处进行插值，得到插值结果zi=12.25。
matlab 插值法拟合
matlab 插值法拟合Matlab是一款强大的数学软件，拥有丰富的函数库，可以进行各种数学计算和数据处理。
其中，插值法是一种常用的数值计算方法，可以通过已知数据点的信息，来估计在数据点之间的数值。
本文将介绍Matlab中的插值法及其应用。
插值法在科学计算和工程领域中有着广泛的应用。
它可以用来估计任意点的函数值，基于已知数据点之间的关系。
在Matlab中，插值法可以通过interp1函数实现。
该函数可以采用不同的插值方法，例如线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
线性插值是最简单的插值方法之一。
它假设函数在两个数据点之间的变化是线性的，并根据这个假设进行插值计算。
在Matlab中，可以使用interp1函数的默认设置来进行线性插值。
例如，给定一组已知数据点的横坐标和纵坐标，我们可以使用interp1函数来估计在两个数据点之间的任意点的函数值。
拉格朗日插值是一种更高阶的插值方法，它通过已知数据点来构造一个多项式函数，并使用这个函数来进行插值计算。
在Matlab中，可以使用interp1函数的'Lagrange'选项来进行拉格朗日插值。
该方法可以得到更精确的插值结果，特别是在数据点较密集的情况下。
样条插值是一种更加平滑的插值方法，它通过拟合一组分段函数来进行插值计算。
在Matlab中，可以使用interp1函数的'spline'选项来进行样条插值。
样条插值可以得到光滑的插值曲线，适用于需要光滑过渡的情况。
除了interp1函数之外，Matlab还提供了其他一些插值函数，例如interp2、interp3和interpn等。
这些函数可以用于二维或多维数据的插值计算。
它们可以根据给定的数据点，在不同的维度上进行插值，得到更加准确的插值结果。
在实际应用中，插值法常常用于数据处理和函数逼近。
例如，在图像处理中，可以使用插值法来放大或缩小图像。
在信号处理中，可以使用插值法来重建缺失的信号。
MATLAB中的插值与拟合方法详解
MATLAB中的插值与拟合方法详解篇一：介绍插值与拟合的概念及应用领域在科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要通过有限个已知数据点来推算出其它位置或数值的问题。
这种问题的解决方法通常可以分为两种：插值和拟合。
插值是指根据已知的离散数据点，在未知位置或数值上推算出一个函数值；而拟合则是根据已知的离散数据点，寻找一个函数模型来近似表示这些数据。
插值方法适用于数据点之间具有明显的数值关系的情况，如各种物理现象的测量数据、曲线绘制等。
拟合方法则适用于数据点之间存在较大离散度或复杂的关联关系的情况，例如统计分析、数据回归、信号处理等。
MATLAB作为一种强大的数值计算和可视化工具，提供了丰富的插值和拟合方法函数，使得我们能够更加高效地进行数据处理和分析。
接下来我们将详细介绍MATLAB中常用的插值和拟合方法。
篇二：插值方法详解插值方法在MATLAB中有多种实现方式，常用的有线性插值、多项式插值和样条插值。
1.线性插值线性插值是一种简单直接的插值方法，在已知的数据点间通过直线的插值来估计未知点的数值。
在MATLAB中，可以使用interp1函数来进行线性插值的计算。
该函数利用输入的数据点和未知点的坐标，返回未知点的插值结果。
2.多项式插值多项式插值是一种通过多项式函数来拟合数据点的插值方法。
MATLAB中的polyfit函数可以用来进行多项式的拟合计算。
这个函数通过最小二乘法来寻找一个多项式函数，使得该函数与给定的数据点最为接近。
3.样条插值样条插值是一种更加精确的插值方法，在MATLAB中可以使用interp1函数的'spline'选项来进行样条插值的计算。
样条插值通过分段函数形式来拟合数据，可以得到更加平滑和连续的插值结果。
篇三：拟合方法详解拟合方法主要有线性拟合、非线性拟合以及多项式拟合等。
1.线性拟合线性拟合是一种基于线性模型的拟合方法，它适用于数据点之间存在明确线性关系的情况。
在MATLAB中，可以使用polyfit函数来进行线性拟合计算。
06Matlab插值与拟合实验
460
750 1500 1050 1000 900 380 750 550 300 100 4800
370
550 1550 1150 1050 930 780 650 480 350 150 5200
350
500 1500 1200 1100 950 750 550 350 320 250 5600
f=a1+a2/x + + +
f=aebx +
+
-bx f=ae + +
+ +
+ + +
+
+ +
课堂上机3：化学反应拟合实验
在某化学反应里，测得生成物的质量浓度y(10^(-3)g/cm^3)与时 间t的关系如下表。为了研究该化学反应的性质，如反应速度等， 欲求y与t之间的连续函数关系式y=f(t)。 分别用 ①线性函数 ②y=a*exp(b/t) ③y=t/(a*t+b) 来拟合下表数据，哪个函数拟合效果最好。
Method的方法
nearest：最近点插值法 linear：线性插值，用直线连接数据点 spline：样条插值，用三次样条曲线 cubic：立方插值，用三次曲线
比较不同方法插值效果
x=0:10;y=sin(x);xi=0:.25:10; yi1 = interp1(x,y,xi,'nearest'); yi2 = interp1(x,y,xi,'linear'); yi3 = interp1(x,y,xi,'spline'); yi4 = interp1(x,y,xi,'cubic'); plot(x,y,'o',xi,yi1,':',xi,yi2,'-',xi,yi3,'k.',xi,yi4,'--') legend(‘原始数据’,‘最近点插值’,‘线性插值’,‘样条插 值’,‘立方插值’)
Matlab插值与拟合教程
也可由函数给出数据。 例 3：x=1:20,y=x+3*sin(x) 程序： x=1:20; y=x+3*sin(x); p=polyfit(x,y,6) xi=1inspace(1,20,100); z=poyval(p,xi); %多项式求值函数 plot(x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’) legend(‘原始数据’,’6 阶曲线’) 结果： p= 0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304
分析：稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。最小二乘拟合(点线)则
受到异常值的影响，向异常值偏移。 6. 6. 向自定义函数拟合 对于给定的数据，根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。 所用函数：nlinfit( ) 调用格式： [beta,r,J]=nlinfit(X,y,’fun’,betao) 说明：beta 返回函数’fun’中的待定常数；r 表示残差；J 表示雅可比矩阵。X,y 为数据； ‘fun’自定义函数；beta0 待定常数初值。 例 6：在化工生产中获得的氯气的级分 y 随生产时间 x 下降，假定在 x≥8 时，y 与 x 之间有如下形式的非线性模型：
MATLAB插值与拟合
§1 曲线拟合
实例：温度曲线问题 气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为： t 0 1 2 3 4 5 6
7
8
9
10
T 13 15 17 14 16 19 26 24 26 27 29 试描绘出温度变化曲线。 曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系， 由此可描绘其变化曲线及估计非采 集数据对应的变量信息。 曲线拟合有多种方式，下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟 合，最后给出拟合的多项式系数。 1. 1. 线性拟合函数：regress() 调用格式： b=regress(y,X) [b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X) [b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X,alpha) 说明：b=regress(y,X)返回 X 处 y 的最小二乘拟合值。该函数求解线性模型： y=Xβ+ε β是 p1 的参数向量；ε是服从标准正态分布的随机干扰的 n1 的向量；y 为 n1 的向 量；X 为 np 矩阵。 bint返回β的 95%的置信区间。 r中为形状残差， rint中返回每一个残差的 95%置信区间。 2 Stats向量包含R 统计量、回归的F值和p值。 例 1：设 y 的值为给定的 x 的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。即 y=10+x+ε ；求线性拟合方程系数。 程序： x=[ones(10,1) (1:10)’] y=x*[10;1]+normrnd(0,0.1,10,1) [b,bint]=regress(y,x,0.05) 结果： x = 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 y = 10.9567 11.8334
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合⽬录插值与拟合插值和拟合的区别图⽚取⾃知乎⽤户yang元祐的回答插值：函数⼀定经过原始数据点。
假设f(x)在某区间[a,b]上⼀系列点上的值y_i=f(x_i),i=0,1,\dots,n。
插值就是⽤较简单、满⾜⼀定条件的函数\varphi(x)去代替f(x)。
插值函数满⾜条件\varphi(x_i)=y_i,i=0,1,\dots,n拟合：⽤⼀个函数去近似原函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最⼩。
插值⽅法分段线段插值分线段插值就是将每两个相邻的节点⽤直线连起来，如此形成的⼀条折线就是就是分段线性插值函数，记作I_n(x),它满⾜I_n(x_i)=y_i,且I_n(x)在每个⼩区间[x_i,x_{i+1}]上是线性函数(i=0,1\dots,n-1)。
I_n(x)可以表⽰为I_n(x)=\sum_{i=0}^n y_il_i(x)，其中l_i(x)= \begin{cases} \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}},&x\in [x_{i-1},x_i],i \neq 0,\\ \frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}},&x\in [x_i,x_{i+1}],i \neq n,\\ 0,&其他 \end{cases}I_n(x)有良好的收敛性，即对x\in [a,b],有\lim _{n \rightarrow \infin}I_n(x)=f(x)⽤I_n(x)计算x点的插值的时候，只⽤到x左右的两个点，计算量与节点个数n⽆关。
但是n越⼤，分段越多，插值误差越⼩。
拉格朗⽇插值多项式朗格朗⽇(Lagrange)插值的基函数为\begin{aligned} l_i(x)&=\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}\\ &= \prod_{j=0\\j\neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i -x_j},i=0,1,\cdots,n。
matlab 插值拟合
matlab 插值拟合插值拟合是一种数值分析方法，用于找到一条通过给定数据点的曲线或曲面。
这个曲线或曲面可以通过插值拟合来近似描述数据点之间的关系。
MATLAB是一个强大的数值计算工具，它提供了一些内置的函数和工具箱来进行插值拟合。
在MATLAB中，可以使用interp1函数进行一维插值拟合，使用interp2函数进行二维插值拟合，使用interp3函数进行三维插值拟合。
这些函数的基本用法如下：1. 一维插值拟合：```x = 0:0.1:1; % 自变量 x 的取值范围y = sin(x); % 因变量 y 的取值xq = 0:0.01:1; % 插值点的取值范围yq = interp1(x, y, xq, 'spline'); % 三次样条插值拟合plot(x,y,'o',xq,yq) % 绘制原始数据点和拟合曲线```2. 二维插值拟合：```[X,Y] = meshgrid(-2:0.25:2); % 自变量 x 和 y 的取值范围Z = X.*exp(-X.^2-Y.^2); % 因变量 z 的取值[Xq,Yq] = meshgrid(-2:0.1:2); % 插值点的取值范围 Zq = interp2(X,Y,Z,Xq,Yq,'cubic'); % 立方插值拟合surf(X,Y,Z); % 绘制原始数据点的三维图像hold on;surf(Xq,Yq,Zq) % 绘制插值拟合的三维图像```3. 三维插值拟合：```[X,Y,Z,V] = flow; % 通过内置的流动数据生成示例数据Xq = -2:0.1:2; % 插值点的取值范围Yq = -2:0.1:2;Zq = -2:0.1:2;Vq = interp3(X,Y,Z,V,Xq,Yq,Zq,'spline'); % 三次样条插值拟合slice(X,Y,Z,V,[-2,0,2], [-2,0,2],[-2,0,2]); % 绘制原始数据点的切片图hold on;slice(Xq,Yq,Zq,Vq,[-2,0,2], [-2,0,2],[-2,0,2]) % 绘制插值拟合的切片图```除了上述基本的插值函数，MATLAB还提供了一些其他的插值拟合函数和工具箱，如scatteredInterpolant、griddedInterpolant和Curve Fitting Toolbox等，用于处理更复杂的插值拟合问题。
matlab 插值拟合
matlab 插值拟合摘要：一、插值与拟合的基本概念二、MATLAB 中的插值函数1.线性插值2.最邻近插值3.三次样条插值4.多项式插值三、MATLAB 中的拟合函数四、MATLAB 插值与拟合的应用实例五、总结正文：一、插值与拟合的基本概念插值是一种通过已知的数据点来预测未知数据点的方法。
它是基于已知数据点的函数值，通过一定的算法来预测未知数据点上的函数值。
拟合则是一种更广义的概念，它不仅包括插值，还包括了通过已知数据点来确定函数的形式，如多项式、指数、对数等。
在实际应用中，拟合常常用来解决数据点的预测和预测模型的选择问题。
二、MATLAB 中的插值函数MATLAB 提供了多种插值函数，包括线性插值、最邻近插值、三次样条插值和多项式插值等。
下面我们逐一介绍这些函数。
1.线性插值线性插值是最简单的插值方法，它通过计算已知数据点之间的直线来预测未知数据点上的函数值。
在MATLAB 中，线性插值的函数是`yinterp1`，其用法如下：```matlabyinterp1(x0,y0,xq,method,extrapolation)```其中，`x0`和`y0`分别是已知数据点的横纵坐标，`xq`是要预测的数据点的横坐标，`method`指定插值的方法，默认为线性插值（"linear"），`extrapolation`指定是否进行外推，默认为关闭（"off"）。
2.最邻近插值最邻近插值是一种基于距离的插值方法，它通过找到距离未知数据点最近的已知数据点来预测未知数据点上的函数值。
在MATLAB 中，最邻近插值的函数是`yinterp2`，其用法如下：```matlabyinterp2(x0,y0,xq,method)```其中，`x0`和`y0`分别是已知数据点的横纵坐标，`xq`是要预测的数据点的横坐标，`method`指定插值的方法，默认为最邻近插值（"nearest"）。
曲线的插值与拟合matlab
在数学和统计学领域中，曲线的插值与拟合是一项重要的技术，它在数据分析、图像处理、工程计算等领域都有着广泛的应用。
曲线的插值与拟合可以帮助我们从有限的数据点中还原出连续的曲线，以便更好地理解数据的规律和特性。
1. 插值与拟合的概念在开始深入探讨曲线的插值与拟合之前，让我们先来了解一下这两个概念的含义。
插值是指通过已知数据点之间的连续函数，以得到介于已知数据点之间的数据点的值。
而拟合则是指通过已知数据点，找到拟合曲线以最好地逼近这些数据点。
2. 曲线插值的方法在实际操作中，我们可以使用不同的方法进行曲线的插值。
常见的方法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
在Matlab中，有丰富的函数库可以用来进行不同类型的曲线插值，例如interp1, interp2, interpn等，这些函数可以很方便地实现曲线的插值操作。
（1）线性插值线性插值是一种简单直接的插值方法，它通过已知的两个数据点之间的直线来逼近新的数据点。
虽然线性插值操作简单，但在一些情况下并不能很好地逼近数据的真实规律。
（2）多项式插值多项式插值是一种常用的插值方法，它通过已知数据点构造一个多项式函数来逼近数据。
在Matlab中，可以使用polyfit和polyval函数来实现多项式插值操作，通过调整多项式的阶数可以得到不同精度的逼近结果。
（3）样条插值样条插值是一种更加复杂但精确度更高的插值方法，它通过已知的数据点构造出一系列的局部插值函数来逼近数据。
在Matlab中，可以使用spline函数来进行样条插值操作，通过调整插值节点的数量和类型可以得到不同精度的逼近结果。
3. 曲线拟合的方法除了插值方法之外，曲线的拟合也是一种常用的数据处理方法。
在实际操作中，我们可以使用不同的方法来进行曲线的拟合。
常见的方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
在Matlab中，有丰富的函数库可以用来进行不同类型的曲线拟合，例如polyfit, lsqcurvefit, nlinfit等，这些函数可以很方便地实现曲线拟合操作。
六、MATLAB在计算方法中的应用(插值拟合)讲解共35页
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26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
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28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
值拟合)讲解
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
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样条（11节点）
x=linspace(-6,6,11); y=1./(1+x.^2); xi=linspace(-6,6,50); yi = interp1(x, y, xi,'spline'); yii=1./(1+xi.^2); plot(xi,yi,'r') hold on plot(xi,yii)
分析下边的程序
x = -4:4; y = [0 .15 1.12 2.36 2.36 1.46 .49 .06 0]; cs = spline(x,y); xx = linspace(-4,4,101); plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-')
ppval(cs,xx)表示由样条函数cs上对应于横坐标xx的 纵坐标的值
Matlab在计算方法中的应用(1)
一 插值
1,插值问题的提法
已知n 1个节点(x j , y j ), j 0,1,, n，其中 x j互不 相同，不妨设a x0 x1 xn b，求任一插 值点 x( x j ) 处的插值 y，(x j , y j ) 可以看成由某 个函数 y g(x)产生的，g 的解析表达式可能十分
样条
x=linspace(-6,6,11); y=1./(1+x.^2); xi=linspace(-6,6,50); yi = interp1(x, y, xi,'spline'); yii=1./(1+xi.^2); plot(xi,yi,'r') hold on plot(xi,yii)
7，其他的插值方法命令
一维插值: yi = interp1(x, y, xi, ‘method ’)
method
nearest linear spline cubic
最近点插值
线性插值 样条插值 立方插值
二维插值 zi=interp2(x, y, z, xi, yi, ‘method’) 三维插值vi = interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi, ‘method’)
yi = interp1(x, y, xi,‘linear’); ％由节点计算插值函数在xi处的函数值
yii=1./(1+xi.^2); ％计算出xi对应的精确函数值
plot(xi,yi,‘r’) ％绘出插值函数的图形
hold on ％保持图形窗口
plot(xi,yii) ％绘出原函数的精确图形 x=linspace(-6,6,11);
立方插值
x=linspace(-6,6,5); y=1./(1+x.^2); xi=linspace(-6,6,50); yi = interp1(x, y, xi,'cubic'); yii=1./(1+xi.^2); plot(xi,yi,'r') hold on plot(xi,yii)
8，各种一维插值的比较
最邻近 x=linspace(-6,6,5); y=1./(1+x.^2); xi=linspace(-6,6,50); yi = interp1(x, y, xi,'nearst'); yii=1./(1+xi.^2); plot(xi,yi,'r') hold on plot(xi,yii)
例 对下面一组数据作二次多项式拟合
xi 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 yi 1.978 3.28 6.16 7.34 7.66 9.58 9.48 9.30 11.2
12
10
8
6
4
2
0
-2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1）输入以下命令： x=0:0.1:1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,'k+',x,z,'r') %作出数据点和拟合曲线的图形 2）计算结果： Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317
yi = interp1(x, y, xi, ‘linear ’)
命令解释： interp1（一维插值函数） x, y,（用于存放已知节点的坐标） ‘linear ’（可选参数，linear表示用分段线性插值的方法做一维值） xi ，yi（得到插值函数后并不是返回具体的函数而是对于给定的xi返 回他所对应的插值函数的函数值yi）
Ln (x) anxn an1xn1 a1x a0 对于节点 (x j , y j )
应有 Ln (x j ) y j j 0,1,, n
4,拉格朗日多项式插值的matlab实现
拉格朗日多项式插值没有现成的matlab命令 可用，如果要求拉格朗日插值多项式则必须自己 编制matlab函数。
复杂，或不存在封闭形式，也可以未知。
2,求解的基本思路
构造一个相对简单的函数y f (x) ，使 f 通过全部节点， 即 f (x j ) y j ( j 0,1,, n)，再用 f (x) 计算插值，即 y f (x)
f
3,拉格朗日多项式插值
从理论和计算角度看，多项式是最简单的函数，设f(x) 是n次多项式，记作
线性插值 较快，有足够精度
linear
立方插值 较慢，精度高，平滑性好。 cubic
样条插值 最慢，精度高，平滑性最好 spline
最邻近插值 最快，精度低，不平滑
arst
9，样条插值（spline）
x = 0:10; y = sin(x); xx = 0:0.25:10; yy = spline(x,y,xx); ％直接用样条插值命令求插值 plot(x,y,'o',xx,yy)
x = lsqcurvefit(@(x,xdata) x(1)*sin(xdata)+x(2),[2 7],xdata,ydata);
xdd=4:0.1:6;
ydd= x(1)*sin(xdd)+x(2);
plot(xdd,ydd)
hold on
plot(xdata,ydata,'ro')
xdd=4:0.1:6; ydd= x(1)*sin(xdd)+x(2); plot(xdd,ydd) hold on plot(xdata,ydata,'ro')
或写为
xdata = [5;4;6];
% example xdata
ydata = 3*sin([5;4;6])+6; % example ydata
例
g (x)
1 1 x2
,
5 x 5
采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值 节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n 分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.
5，分段线性插值
插值函数为分段的线性函数，即用线段把相 邻的两个节点连接起来而得的函数
6，分段线性插值的matlab命令
二 拟合
1，离散数据的多项式拟合
已知数据表 x f(x)
x1 x2 ·········· xm y1 y2 ·········· ym
求拟合函数: (x) = a0 + a1x + ······+ anxn
使得
m
[(a0 a1xk an xkn ) yk ]2
k 1
例题
建立myfun.m内容为
function F = myfun(x,xdata) F = x(1)*sin(xdata)+x(2)
运行下列命令
xdata = [5;4;6]; xdata
% example
ydata = 3*sin([5;4;6])+6; % example ydata
x = lsqcurvefit(@myfun,[1 6],xdata, ydata);
达到最小
2，多项式拟合命令
1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序: a=polyfit(x,y,m)
输出拟合多项式系数
输入同长度
a=[a1, …am , am+1] (数组)） 的数组X，Y
拟合多项 式次数
2.多项式在x处的值y可用以下命令计算： y=polyval（a，x）
f (x) 9.8108x2 20.1293x 0.0317
4，可转换为多项式拟合
例题：数据为x=[-70 -50 -30 -10 20] y=[0.182 0.219 0.077 0.332 1]
拟合方程为： y=exp（ax+b）
将拟合方程两边取对数则得 lny＝ax＋b 令lny＝z 得 Z＝ax＋b 由y值算出z的值对z与x用一次多项式拟合。
x1=[-70 -50 -30 -10 20]; y1=[-1.704 -1.519 -2.564 -1.103 0]; subplot(1,2,1); plot(x1,y1,'o'); hold on;
％将y中的数据取对数y1=lny
p1=polyfit(x1,y1,1); yy1=polyval(p1,-70:20); plot(-70:20,yy1,'r');
y=1./(1+x.^2);
xi=linspace(-6,6,50);
yi = interp1(x, y, xi,'linear');