高中数学必修一习题答案

1.3.1.1 单调性

9．(09·天津文)设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )

A ．(－3,1)∪(3，＋∞)

B ．(－3,1)∪(2，＋∞)

C ．(－1,1)∪(3，＋∞)

D ．(－∞，－3)∪(1,3)

[答案] A [解析] ∵f (1)＝3，∴当x ≥0时，由f (x )＞f (1) 得x 2－4x ＋6>3， ∴x ＞3或x ＜1.又x ≥0，∴x ∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x ＜0时，由f (x )＞f (1)得x ＋6＞3∴x ＞－3，∴x ∈(－3,0)．综上可得x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.

10．设(c ，d )、(a ，b )都是函数y ＝f (x )的单调减区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1

A ．f (x 1)

B ．f (x 1)>f (x 2)

C ．f (x 1)＝f (x 2)

D ．不能确定

[答案] D [解析] 函数f (x )在区间D 和E 上都是减函数(或都是增函数)，但在D ∪E 上不一定单调减(或增)． 如图，f (x )在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调． 16．讨论函数y ＝1－x 2在[－1,1]上的单调性．

[解析] 设x 1、x 2∈[－1,1]且x 1

2 ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)1－x 21＋1－x 2

2

当1>x 1≥0,1≥x 2>0，x 1f (x 2)，∴f (x )在[0,1]上为减函数， 当－1≤x 1<0，－1

17．求证：函数f (x )＝x ＋a 2

x

(a ＞0)，在区间(0，a ]上是减函数．

[解析] 设0＜x 1＜x 2≤a ，f (x 2)－f (x 1)＝(x 2＋a 2x 2)－(x 1＋a 2

x 1)＝(x 2－x 1)＋a 2(x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x 2

.

∵0＜x 1＜x 2≤a ，∴0＜x 1x 2＜a 2

，∴(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x 2＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )＝x ＋a 2

x

(a >0)在(0，a ]上是减函数．

1.3.1.2 最值

2．函数y ＝x |x |的图象大致是( )

[答案] A [解析] y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2 x ≥0

－x 2 x <0，故选A.

4．已知f (x )在R 上是增函数，对实数a 、b 若a ＋b ＞0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b ) D ．f (a )－f (b )＜f (－a )＋f (－b )

[答案] A [解析] ∵a ＋b ＞0 ∴a ＞－b 且b ＞－a ，又y ＝f (x )是增函数 ∴f (a )＞f (－b ) 且f (b )＞f (－a )故选A. 8．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有( )

A ．最大值4，最小值0

B ．最大值0，最小值－4

C ．最大值4，最小值－4

D ．最大值、最小值都不存在

[答案] C [解析] y ＝|x －3|－|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－4 (x ≥3)2－2x (－1＜x ＜3)

4 (x ≤－1)

，因此y ∈[－4,4]，故选C.

10．(08·重庆理)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m

M

的值为( )

A.14

B.12

C.22

D.32

[答案] C [解析] ∵y ≥0，∴y ＝1－x ＋x ＋3 ＝4＋2(x ＋3)(1－x ) (－3≤x ≤1)，

∴当x ＝－3或1时，y min ＝2，当x ＝－1时，y max ＝22，即m ＝2，M ＝22，∴m M ＝2

2

.

12．已知函数f (x )在R 上单调递增，经过A(0，－1)和B(3,1)两点，那么使不等式|f (x ＋1)|<1成立的x 的集合为________． [答案] {x |－1

13．如果函数f (x )＝－x 2＋2x 的定义域为[m ，n ]，值域为[－3,1]，则|m －n |的最小值为________． [答案] 2 [解析] ∵f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，当m ≤x ≤n 时，－3≤y ≤1，∴1∈[m ，n ]， 又令－x 2＋2x ＝－3得，x ＝－1或x ＝3，∴－1∈[m ，n ]或3∈[m ，n ]， 要使|m －n |最小，应取[m ，n ]为[－1,1]或[1,3]，此时|m －n |＝2.

14．求函数f (x )＝－x 2＋|x |的单调区间．并求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大、小值．

[解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．