数学研究性学习课题成果报告

数学研究性学习课题成果报告——推翻悖论
高2014级15班冯靖翔
悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。

悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。

悖论的成因极为复杂且深刻，对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。

其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托悖论等等。

首先我举“说谎者悖论”来让大家多多少少了解一下“悖论”的感觉——
古希腊的“说谎者悖论”被认为是最早的悖论。

传说公元前6世纪，古希腊的克里特岛上住着一位名叫伊匹门尼德的人。

他年幼时，有一天跑到一座荒凉的小山丘上玩耍。

玩累了以后，就跑去一个常去的山洞里休息。

不料，他在山洞里竟一下子睡着了。

这一觉竟然睡了57年。

醒来后，他发现自己已经成为一位大学者，谙熟哲学和医学，并能预知将来要发生的种种事情。

于是，道上的人就称他为“先知”。

他喜欢和人讨论一些难以解答的事情，借以显示自己具有非凡的智慧。

一天，他在和别人讨论关于克里特岛人是否诚实的问题时，伊匹门尼德断言：“所有的克里特岛上的人都是说谎者。

”
“先知”的这句话极大地困惑着那里的居民。

这句话究竟是真是假呢？
结果，克里特岛上的居民对此大伤脑筋。

如果“先知”说的这句话是真的，那么“所有的克里特岛上的人都是说谎者”
就成了一个事实，可是伊匹门尼德本身就是克里特岛上的居民，这样一来他说的也就变成了谎话。

前后矛盾。

而如果“先知”说的是谎话，那么只是一个克里特岛人在说谎，没有办法验证“所有的克里特岛上的人都是说谎者”是真的。

所以伊匹门尼德的这句话要构成悖论还存在着一定的缺陷。

毕竟“所有的克里特岛上的人都是说谎者”，这句话的反面是“并非所有的克里特岛上的人都是说谎者”而不是“所有的克里特岛上的人都是说真话的”。

后来，公元前4世纪时，麦加拉学派的欧布里德把这一“悖论”作了一个小小的更改——我现在说的是假话。

如果这句话是真的，那么可以知道说话者说的是假话啊，矛盾。

如果这句话是假的，也就是说“我现在说的是假话”是假的，所以说话者现在说的应该是真话，又出现矛盾。

这一说法，由真推出假，由假又能推出真。

看似普通的一句话至今让人深陷困惑之中。

在实际生活中，如果你仔细观察、仔细思考，还真是会带来一定的困惑。

比如为了制止不文明行为，在墙上写“不准在墙上写字”。

到底能不能写呢？
……
看完了这个故事，我想你一定对“悖论”有了一定的了解或兴趣。

那下面我就来举几个“悖论”的例子并来推翻它们吧。

模块一找错
例1
如图1，ABCD是矩形，G是外一点，且CG=CD.试证明：∠DCG=0°
图1 图2
证明：如图2，连接AG,AG的中垂线FH与AD的中垂线EH交于点H.连接AH,BH,CH,GH,则：
由中垂线定理以及矩形性质易证△ABH全等于△GCH (SSS)
∴∠ABH=∠GCH,又∵∠ABH=∠DCH
∴∠GCH=∠DCH,∴∠DCG=∠GCH-∠DCH=0°
上述证明看一眼就知道：∠DCG不可能为0°，可作辅助线和证明却又似乎找不出漏洞，这就是“悖论”最精彩的地方，明知道是一个不可能的事却用魔术一般的方式将其做到，要仔细思考一下也许才能找出其中的漏洞。

推翻：再画另一幅图的时候，发现疑点——
图3 图4 此图虽未画标准，但已经可以知道GH应位于矩形ABCD外侧，此时△ABH也与△
GUH全等，但却证不到∠DCG=0°.
所以说，图2其实是出题人为了迷惑我们而可以说是“胡乱”画的图，然后再以错答错，完全就是混淆我们的常识，其实这种悖论，最好先画一个标准图，然后就差不多知道问题出在哪了。

同样，下面的例2也是如此——
例2
试证明：任意一个三角形都是等腰三角形
证明：如上图4，任意一个△ABC,作∠BAC的角平分线AD与BC的中垂线ED交于点D,作DF⊥AB，DG⊥AC，连接BD，CD.则：
用HL可以证到△DFB全等于△DGC，得到BF=CG
又易证△ADF全等于△ADG，得到AF=AG
∴AB=AC
∴△ABC是等腰△
推翻：同例1，作出标准图（这里不作），发现BC的中垂线和∠BAC的角平分线在△ABC中是没有交点的！这样作辅助线证不出来。

所以上述证明不成立.
模块二“魔毯”
例3
一个爱抽烟的老头，不小心把烟头掉在了地毯上，结果把地毯烧出一个洞。

老头很心疼，请教一位数学家。

数学家看了看地毯，说：“你这地毯重新拼合一下就可以了。

”接着，数学家提出了一个拼接方案（原地毯裁成图5状，重拼成图6）。

老头一听，地毯可以整旧如新，而且面积还不减少，欣喜若狂，但转而一想，感到奇怪，只是剪剪拼拼，烧掉的那部分面积怎么会补足了呢？
图5图6图7
（图5注解：其中ABLG 为正方形，AB=12，AC=5，KH=JL=2，HF=IJ=1，GF=EK=7,中间黑色为烧坏部分，是边长为1的正方形，整块地毯被分为五块，4、5两部分全等）
图6看似把图5拼的是“天衣无缝”，但想想也知道，这个方案如空中楼阁，根本不可能实现。

这只是数学家给老头开的一个玩笑。

推翻：如图7，显然△ABC~△BDE 。

而AB=12，AC=5，BD=5，所以，
121
2125
5=⨯=∙=AB BD
AC DE 。

而从图7中所注尺寸，DE 应等于
12-7-2-1=2，
相差1／12.可见，这个裁剪法是根本不可能实现的。

但是，由于相差不多，颇有迷惑性。

同上例3一题的还有下边的例4，这里我就不再详述了——
例4 （64=65？）（原地毯裁成图8状，重拼成图9）
图8 图9
推翻：同上例3一样，64不可能等于65，仔细分析一下，就会发现其中的秘密。

原来，拼成长方形时，它们的斜缝并不是完全密合的，中间有一条微细的缝隙，而这个空隙的面积正好等于一个小方格。

从图9中仔细观察不难发现，斜缝上的四个红点并不在一条直线上，而是由它们组成了一个面积为一个小方格的微细的狭长的四边形。

这就是“眼见未必为实”的体现，所以细心观察，认真分析是很重要的。

模块三 难道π=2 吗？
大家都知道，π=3.1415926…，但下面两个例子却证实了π=2.这究竟是怎么回事呢？我们一起来探个究竟——
例5
将一个半径为r 的球放在半径为r 、长为2πr 的半圆柱面状的槽内，槽的内部涂满红色油漆，将球在槽内滚一圈，球表面积全部被沾上红色油漆，这说明球的表面积等于槽的侧面积。

我们知道，球的表面积等于4πr ²，而该槽的侧面积等于πr ·2πr ，即2π²r ²。

于是有4πr ²=2π²r ²，所以，π=2.
例6
已知线段AB=2r 。

以AB 为直径作半圆，记为AB ⌒ 。

设AB 重点为O ，作半圆AO ⌒ 、BO ⌒ ，可证
AB
⌒ =AO ⌒ +BO ⌒ 。

再设AO 中点为C ，BO 中点为D,作半圆AC ⌒ 、OC ⌒、OD ⌒ 、BD ⌒ ,可证
AB
⌒ =AC ⌒ +OC ⌒+OD ⌒ +BD ⌒ 。

继续取以上各线段的中点，作出更小的一组圆……最后，很密很密的半圆组成的波形曲线的长应等于直线段AB 。

于是AB ⌒ =AB ，即πr=2r 。

所以，π=2.
推翻：其实认真想一想就不难明白，上述两例都存在明显漏洞。

第一例的错误在于当球在槽内滚动的同时也有滑动，也就是说，槽面上的点与球面上的点不是一对一地滚过去的。

最明显的是，开始滚动时与槽边缘接触的两点在球滚动时与槽边缘上的每一点都接触。

可见，球面上的点与槽面上的点不“一样多”，所以球表面积不等于槽侧面积。

第二例的错误在于“很密很密”的半圆组成的波形曲线并不等于直线段AB 。

AB ⌒ 长为2πr ；分成两道弧后波形曲线长为πr+πr=2πr ；再分一次后波形曲线长仍为为π⎪⎭⎫ ⎝⎛2r +π⎪⎭⎫ ⎝⎛2r +π⎪⎭⎫ ⎝⎛2r +π⎪⎭
⎫ ⎝⎛2r =2πr ；……可以看出，不管这样作出的波形曲线怎样密，其总长都是2πr ，当然不可能等于直线段AB 。

……
所以说，生活中很多事都可能不是你表面看起来的那样。

数学也是如此。

有的时候也需要你仔细观察、认真思考，你才有可能得到真相。

这也便是悖论的有趣性了。

注：（成果选自部分整理材料，总体收集以网络书籍为主） 2012-7-17。