2019年高考数学二轮复习试题：专题六 第4讲 用数学归纳法证明数列问题(带解析)

第4讲用数学归纳法证明数列问题

选题明细表

知识点·方法巩固提高A 巩固提高B

数学归纳法的理解1,2,5 1

数学归纳法的第一步3,7 2,7

3,4,5,6,8, 数学归纳法的第二步4,6,10,12

9,12

类比归纳8,9,11 10,11

数学归纳法的应用13,14,15 13,14,15

巩固提高A

一、选择题

1.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立,若P(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是( B )

(A)P(n)对所有正整数n都成立

(B)P(n)对所有正偶数n都成立

(C)P(n)对所有正奇数n都成立

(D)P(n)对所有正整数n都成立

解析:由题意n=k时成立,则n=k+2时也成立,又n=2时成立,则P(n)对所有正偶数都成立.故选B.

2.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立.”那么,下列命题总成立的是( D )

(A)若f(2)≤4成立,则当k≥1时,均有f(k)≤k2成立

(B)若f(4)≤16成立,则当k≤4时,均有f(k)≤k2成立

(C)若f(6)>36成立,则当k≥7时,均有f(k)>k2成立

(D)若f(7)=50成立,则当k≤7时,均有f(k)>k2成立

解析:若f(2)≤4成立,依题意则应有当k≥2时,均有f(k)≤k2成立,故A不成立; 若f(4)≤16成立,依题意则应有当k≥4时,均有f(k)≤k2成立,故B不成立;

因命题“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立”⇔“当f(k+1)>(k+1)2成立时,总可推出f(k)>k2成立”;因而若f(6)>36成立,则当k≤6时,均有f(k)>k2成立 ,故C也不成立;

对于D,事实上f(7)=50>49,依题意知当k≤7时,均有f(k)>k2成立,故D成立.

3.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则f(1)为( C )

(A)1 (B)

(C)1++++(D)非以上答案

解析:注意f(n)的项的构成规律,各项分子都是1,分母是从1到6n-1的正整数, 故f(1)=1++++.故选C.

4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从k到k+1时,左端需增乘的代数式为( B )

(A)2k+1 (B)2(2k+1)

(C)(D)

解析:n=k时左边为(k+1)(k+2)…(k+k),n=k+1时左边为(k+2)(k+3)…(k+k+2),

所以增加的项为=2(2k+1).故选B.

5.利用数学归纳法证明不等式“

(A)=<=k+2

(B)==

(C)===k+2

(D)==<=<= k+2

解析:由数学归纳法的理解可知D正确.

6.用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+”时,由n=k的假设证明n=k+1时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( D )

(A)+…++

(B)+…+++

(C)+…++

(D)+…++

解析:由n=k时,1-+-+…+-=++…+,

则n=k+1时,1-+-+…+-=++…++.故选D.

二、填空题

7.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的

起始值n0应取.

解析:令n0分别取1,2,3,4,5,6,依次验证即得.

答案:5

8.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),经计算f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,推测当n≥2时,有.

解析:括号中的通项公式是2n,右边通分成分母为2,则分子的通项公式是n+2.

答案:f(2n)>

9.观察下列等式:

(1+x+x2)1=1+x+x2,

(1+x+x2)2=1+2x+3x2+2x3+x4,

(1+x+x2)3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6,

(1+x+x2)4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8, …

由以上等式推测:对于n∈N*,若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n,则a2= .

解析:由已知中的式子,我们观察后分析:

等式右边展开式中的第三项分别为1,3,6,10,…,即1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…

根据已知可以推断:第n个等式中a2为1+2+…+n=.

答案:

10.平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+ .

解析:当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在

区域一分为二,故增加了k+1个区域.

答案:k+1

11.已知a1=,a n+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为,由此猜想

a n= .

解析:a2====,

同理,a3===,a4==,a5==,

猜想a n=.

答案:,,,

12.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)= .

解析:n=k时,f(2k)=1+++…+,

当n=k+1时,f(2k+1)=1+++…++

+…+,

所以f(2k+1)-f(2k)=1+++…+++…+-(1+++…+)

=++…+.

答案:++…+