一次不定方程的解法

一次不定方程的解法

一次不定方程的解法

我们现在就这个问题，先给出一个定理．

定理 如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程

ax by c

+= ① 有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可

以表示为

00x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩

其中0,1,2,3,t =±±±…

证 因为00

,x y 是方程①的整数解，当然满足 00ax by c += ②

因此 0000()()a x bt b y at ax by c

-++=+=． 这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解．

设,x y ''是方程①的任一整数解，则有

ax by c ''+= ③

③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④

由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将

0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示

方程①的一切整数解，命题得证．

例2

求方程62290x y +=的非负整数解．

解 因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得 31145x y += ①

由观察知，114,1x y ==-是方程

3111x y += ②

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 0045418045(1)45

x y =⨯=⎧⎨=⨯-=-⎩ 由定理，可得方程①的一切整数解为

18011453x t y t =-⎧⎨=-+⎩

因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

1801104530t t -≥⎧⎨-+≥⎩ ③

由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．

当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是

150x y =⎧⎨=⎩ ，43x y =⎧⎨=⎩

例3 求方程719213x y +=的所有正整数解．

分析 这个方程的系数较大，用观察法去求

其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．

解 用方程

719213x y += ①

的最小系数7除方程①的各项，并移项得 213193530277

y y x y --==-+ ② 因为,x y 是整数，故357y u -

=也是整数，于是

573y u +=．化简得到

573y u += ③ 令325u v -

=（整数），由此得

253u v += ④

由观察知11u v =-⎧⎨=⎩

是方程④的一组解．将11u v =-⎧⎨=⎩代入③得2y =，再将2y =代入②得25x =．于是方程①有一组解

00252x y =⎧⎨=⎩，所以它的一切解为251927x t y t =-⎧⎨=+⎩ t 为整数

由于要求方程的正整数解，所以

25190270

t t ->⎧⎨+>⎩

解不等式，得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为

252x y =⎧⎨=⎩ ，69x y =⎧⎨=⎩

当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．

例4 求方程3710725x y +=的整数解．

解 10723733

371334

33841=⨯+=⨯+=⨯+

为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得

13384=-⨯ 37484=--⨯ 3794=-⨯

379(3733)=-⨯-

933837=⨯-⨯

9(107237)837=⨯-⨯-⨯

91072637=⨯-⨯

37(26)1079=⨯-+⨯

由此可知1126,9x

y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是

025(26)650x =⨯-=-，0259225

y =⨯= 是方程3710725x y +=的一组整数解．

所以原方程的一切整数解为

65010722537x t y t =--⎧⎨=+⎩ t 为整数

例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？

解 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是

75142x y += ①

所以 142722222828555

x x x y x x ---==-+=-- 由于7142x ≤，所以20x ≤，并且由上式知52(1)x -．因

为(5,2)1=，所以51x -，从而1,6,11,16x =，所以①的非负整数解为

127x y =⎧⎨=⎩ ，620x y =⎧⎨=⎩ ，1113x y =⎧⎨=⎩ ，166x y =⎧⎨=⎩

所以，共有4种不同的支付方式．

说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．

多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程． 例6 求方程92451000x y z +-=的整数解．

解 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．于