数学必修三《用样本估计总体》
高二数学必修三《用样本估计总体》优秀教案
（封面）高二数学必修三《用样本估计总体》优秀教案授课学科：授课年级：授课教师：授课时间：XX学校高中数学必修三《用样本估计总体》教案教学目标:【知识与技能】(1)了解通过抽样调查收集数据的方法；会设计简单的方案收集数据。
(2)通过抽样调查，初步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想。
(3)了解实验也是获得数据的有效方法。
【过程与方法】（1）通过生活实例的引入，使学生学会以数学的角度提出和理解问题，应用统计思想解决实际问题。
（2）让学生通过动手实验来体验一种在生产和科研中经常用到的“捉——放——捉”的方法。
【情感〃态度〃价值观】（1）通过简单的方案设计和师生双边的教学活动，让学生在运用统计的知识解决实际问题时，体验互动交流精神。
（2）通过实际参与收集整理.描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。
教学重难点：让学生通过动手实验来体验一种在生产和科研中经常用到的“捉--放--捉”的方法。
教学过程：（一）创设情境导入新课【问题1】瓶子中有多少豆子？先让学生初步探讨问题，交流方案；【学生实验参考方案】（一）(全面调查) 直接数瓶子中的豆子；（二）（抽样调查）先将豆子若干等份，数出其中一份豆子的数量，以此估计总量。
用称重的方法，先称出所有豆子的重量m，再称出一杯豆子的重量n，并数清这杯豆子的粒数p，则这一杯豆子平均每粒重m/p,以此就可以估计出瓶子中豆子的粒数q:q ≈p／n ×m采用“捉--放--捉”的方法；（本节课的主要实验方法）【课堂实验】实验步骤：（1）从瓶子中取出一些豆子，记录这些豆子的粒数m；（2）给这些豆子做上记号；（3）把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀；（4）从瓶子中再取出一些豆子，记录这些豆子的粒数p和其中带有记号的豆子的粒数n；（5）利用得到的数据m,p,n,估计原来瓶子中豆子的粒数q，q ≈p／n ×m（6）数出瓶子中豆子的总数，验证你的估计。
人教版高中数学必修三 第二章 统计用样本估计总体反思总结
用样本估计总体，有两个方面：
一方面，估计总体的整体分布规律，我们可以用样本频率分布表、频率分布直方图、折线图、茎叶图等方法。用样本估计总体是统计的基本思想，而频率分布表和频率分布直方图就是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法。分布表在数量表示上比较确切，直方图比较直观。频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积和等于1；
众数、平均数、中位数的“几何意义”：在频率分布直方图中，最高矩形的中点对应值是众数；而中位数的左右两边的直ห้องสมุดไป่ตู้图的面积相等；平均数是直方图的“重心”。
另一方面，如果只估计总体的一些特征（特征数字），我们可以用样本的特征数字去估计总体的特征数字。描述一组数据的集中趋势的量是众数、中位数和平均数，描述一组数据的波动程度的量昰方差和标准差。所以，我们可以用样本的这些特征数字估计总体的集中趋势、波动（或分散）程度。
中位数不受少数几个极端的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值不敏感有时也会成为缺点，而平均数与每一个样本数据都有关系，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数和中位数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众数和中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但有限的几个极端值对平均数影响较大，因此用平均数估计总体有时不可靠，这就是在电视大奖赛中，计算评委的打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分的原因。
最新人教版高中数学必修3第二章用样本估计总体1
用样本估计总体一、教学目标1．通过实例进一步体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图，并体会它们各自的特点．2．能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释．3．在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性．二、设计思路与教学建议在实际应用中，总体可以指研究对象的某一指标的全体．在抽象意义下，总体可以看作是一个分布，但不要求学生追究总体的定义．6.1估计总体的分布在统计分析中，首先要将统计对象中的某些数量或与数量有关的量用比较直观的图表表示出来．当然，最理想的办法就是将总体的分布情况用图表表示出来，通常情况下，我们对总体情况的了解是通过对样本的信息进行分析得到的，因此，我们通常要将样本的分布情况用图表表示出来．在义务教育阶段，学生已经通过实例，了解了频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题．在这个基础上，高中阶段还将进一步通过一些统计案例的学习，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图．例 P38通过这个例子体会分布的意义和作用，并体会用样本估计总体的思想．在表示样本数据（此例中即为挖掘出土得到的头盖骨的宽度）的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图，体会它们各自的特点，并会用它们分别来估计总体的分布．思考交流 P40（1）头盖骨的宽度位于140～145 mm的数据最多；（2）头盖骨的宽度位于140～145 mm的频率约是43.4%；（3）头盖骨的宽度小于140 mm的频率约是28.3%；（4）头盖骨的宽度位于137～142 mm的频率约是：0.208×3/5+0.434×2/5=0.298 4,即29.84%．抽象概括 P41在现实生活中，人们通常需要了解某些总体的详细情况．例如，某个工厂中所有工人的工资情况，北京市所有在校的高一年级学生的身高情况，以及教科书中提到的1665年～1666年之间英国男性头盖骨的宽度情况．以上几个例子中，需要了解的都是总体取值的全部数据的概率分布状况，也就是总体的分布情况，简单地说，即“总体中个体的取值的分布”．当然，由于总体分布是一个比较复杂的概念，此处只需要通过简单的例子让学生初步感受即可，切勿追求严格的形式化的定义．例如，总体中包含1 000名工人，我们关注的是其工资，那么这1 000名工人工资的分布可以告诉我们：有多少工人其工资是多少，或工资处于一定界限之内的工人有多少，所占比例如何，等等．而当总体的分布未知时，我们只能通过样本的情况来估计它．假如，为了估计上面总体中工人工资的分布情况，其中要估计工资在300～500元之间的工人在全体中所占比例，我们只需用其频率，即样本中工资在此范围内人数所占比率就可以．但因为总体分布是一个全面的概念，为了提供充分的信息，我们必须对许多区间段的比率做出估计，为此，我们引入频率分布直方图来估计总体的分布．在频率折线图中，我们不难证明：折线与横轴所围成的面积也是1．因此，当样本量较大时，我们还可以用频率折线图来估计总体的分布情况．实际上，当总体是连续分布时，频率折线图往往用来估计总体的分布密度．思考交流 P41前面我们已经知道：当样本量较大时，可以用样本的频率分布（频率分布表、频率分布直方图、频率折线图）来估计总体的分布．在此基础上，教科书又设计了两个问题，让学生思考当样本量发生变化时，估计的结果会有哪些变化．教师可以鼓励学生实际动手完成（1），然后再与同学交流．抽象概括 P42在学生思考交流的基础上，教科书给出了一般的结论：样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确．另外，当样本量增大时，为使所得的频率分布直方图更好地反映总体的分布情况，我们往往将划分的区间数相应增多，每个区间的长度则会相应减小，这样得到的频率折线图也就会越来越接近于一条光滑曲线．练习 P42（1）（2）频率分布直方图如下所示：频率折线图如下所示：鼓励学生用自己的语言来描述此类植物生长1年之后的高度分布情况,如，超过50%的此类植物在生长1年之后的高度在60～80 cm之间，50 cm以下及90 cm以上所占的比例相对较小．。
必修三2.2.用样本估计总体(教案)
必修三2.2.用样本估计总体(教案)必修三2.2.用样本估计总体（教案）导语：本文为必修三2.2.用样本估计总体（教案）的教学指南，旨在引导学生了解和应用样本估计总体的方法。
通过学习本课，学生将能够理解抽样和样本的基本概念，并能够运用点估计和区间估计的方法进行总体参数的估计。
为了达到良好的教学效果，本教案采用了多样的教学方法，例如引导讨论、示例演示和小组合作等。
一、教学目标：1. 理解样本与总体的概念和关系；2. 掌握点估计的方法；3. 了解区间估计的原理和应用；4. 能够进行样本估计总体的实际问题分析。
二、教学过程：1. 导入（5分钟）引导学生思考以下问题：什么是样本？什么是总体？样本和总体之间有什么关系？为什么需要用样本来估计总体？2. 点估计的方法（15分钟）a. 讲解点估计的基本原理，即通过样本数据来估计总体参数的值。
b. 示例演示：设计一个问题，如某班级数学考试成绩的平均分。
用班级中的五位同学的成绩作为样本，通过计算样本的平均分来估计全班的平均分。
c. 引导学生讨论点估计的优点和缺点。
3. 区间估计的方法（15分钟）a. 讲解区间估计的概念和原理，即通过样本数据构造一个置信区间来估计总体参数的范围。
b. 示例演示：使用同样的例子，构造一个置信水平为95%的置信区间，来估计全班的平均分。
c. 引导学生讨论区间估计的优点和缺点。
4. 实际问题分析（25分钟）a. 设计一个实际问题，例如某个城市的人均收入。
要求学生提出估计该城市人均收入的方法和步骤，并结合点估计和区间估计的方法进行分析。
b. 小组合作：分组讨论，每个小组根据实际问题设计一个解决方案，并准备向全班汇报。
c. 汇报与讨论：每个小组轮流汇报他们的解决方案，并进行讨论。
5. 总结与延伸（10分钟）a. 概括本课内容，强调样本估计总体的方法和应用。
b. 提出延伸问题，鼓励学生进一步探索样本估计总体的其他应用领域。
三、教学反思：本节课通过引导讨论、示例演示和小组合作等多种教学方法，促使学生自主思考和应用样本估计总体的方法。
必修三用样本估计总体
五、画出频率分布直方图（纵轴表示频率／组距）
频率/组距
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量/t
如果当地政府希望85%以上的居民每月的用水量不超出 标准,根据频率分布表和频率分布直方图,你能对制定 月用水量提出建议吗?
按数据多少常分5-12组。
组距：指每个小组的两个端点的距离，
组数=
极差 组距
=
4.1 0.5
=
8.2
3.将数据分组
［0，0.5 )，［0.5，1 )，…，［4，4.5］
4.列频率分布表100位居民月平均用水量的频率分布表
5.画频率分布直方图
注意：
频率/组距
① 这里的纵坐标不是频率，
而是频率/组距；
茎叶图
甲
80 463 1 368 2 389 3
4 15
乙
25 54 161679 49 0
1．茎叶图的概念：
一般地：当数据是一位和两位有效数字时，用中 间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数 字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像 植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此 通常把这样的图叫做茎叶图。茎按从小到大的顺序从 上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大 ）的顺序同行列出。
人教A版 数学必修3
2.2.1 用样本的频率分布
估计总体分布
本节知识点
1.画频率分布直方图 2.总体密度曲线 3.茎叶图
探究思考1
例1. 某市政府为了节约生活用水，计划在本市 试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月 用水量标准a ,用水量不超过a的部分按平价收费， 超过a的部分按议价收费。
必修三2.2.用样本估计总体(教案)
2.2 用样本估计总体教案 A第1课时教学内容§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布教学目标一、知识及技能1. 通过实例体会分布的意义和作用.2. 在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.二、过程及方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.教学设想一、创设情境在ＮＢＡ的2004赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布.二、探究新知探究1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式，第 1 页为我们提供解释数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.（一）频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：1.计算一组数据中最大值及最小值的差，即求极差；2.决定组距及组数；3.将数据分组；4.列频率分布表；5.画频率分布直方图.以教材P65制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图.（让学生自己动手作图）频率分布直方图的特征：1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.探究2：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图的不同看法进行交流……）接下来请同学们思考下面这个问题：思考：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见教材P67）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）（二）频率分布折线图、总体密度曲线1．频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.思考：1．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？2．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但一般很难像函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．（三）茎叶图１．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把第 3 页这样的图叫做茎叶图.（见教材P70例子）2．茎叶图的特征：（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录及表示.（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.三、例题精析例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位cm ）：（1）列出样本频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图如下：（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134cm 的人数占总人数的19%.cm ）例2 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高及频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为：40.0824171593=+++++， 又因为频率＝.第二小组频数样本容量所以，12150.0.08===第二小组频数样本容量第二小组频率 （2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.四、课堂小结1. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2. 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.五、评价设计1．P81习题2.2 A组1、2.第2课时教学内容§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标一、知识及技能1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4. 形成对数据处理过程进行初步评价的意识.二、过程及方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数及标准差.教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.教学设想一、创设情境在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）.二、探究新知（一）众数、中位数、平均数探究（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供第 5 页关于样本数据的特征信息.例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t （最高的矩形的中点）（图见教材第72页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.提问：请大家翻回到教材第66页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.（图略见教材73页图2.2-6）思考：2.02这个中位数的估计值，及样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）图2.2-6显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t 左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）（二）标准差、方差１．标准差平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为176cm ，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高.但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态.例如，在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？ 我们知道，77x x ==乙甲，.两个人射击的平均成绩是一样的.那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ74图2.2-7）直观上看，还是有差异的.很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据.考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.样本数据1,2,,n x x x 的标准差的算法：第 7 页（１） 算出样本数据的平均数x .（２） 算出每个样本数据及样本数据平均数的差：(1,2,)i x x i n -= （３） 算出（２）中(1,2,)i x x i n -=的平方.（４） 算出（３）中n 个平方数的平均数，即为样本方差.（５） 算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差.其计算公式为：显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小.提问：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？从标准差的定义和计算公式都可以得出：s ≥0.当0s =时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数.2．方差从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2s （即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.三、例题精析例1 画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点.（1）５，５，５，５，５，５，５，５，５（2）４，４，４，５，５，５，６，６，６（3）３，３，４，４，５，６，６，７，７（４）２，２，２，２，５，８，８，８，８分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：（图见教材Ｐ76）四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３.他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm 的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm ）：甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.3825.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.4225.45 25.35 25.41 25.39乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.3625.34 25.49 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.3125.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？分析：比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数及标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值.解：四、课堂小结1. 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：（1）用样本平均数估计总体平均数.（2）用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大，估计就越精确.2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度.五、评价设计P81 习题 2.2 A组 3、4.教案 B第1课时教学内容§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布教学目标一、知识及技能1.通过实例体会分布的意义和作用.2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.二、过程及方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.教学设想一、创设情境，导入新课我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.二、新课探知（一）频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：1. 计算一组数据中最大值及最小值的差，即求极差；2. 决定组距及组数；第 9 页cm ） 3. 将数据分组；4. 列频率分布表；5. 画频率分布直方图.以教材P65制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图.（让学生自己动手作图）例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位cm ）：（1）列出样本频率分布表；（2）一画出频率分布直方图；（3）估计身高小于134C ｍ的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图：（3134cm 的男孩出现的，所以我们估计身高小 （1趋势. （2把数据抹掉了.曲线 1．频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.（见教材P69）（三）茎叶图１．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.（见教材P70例子）2．茎叶图的特征：（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录及表示.（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.例2某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.用茎叶图表示，你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗？解：“茎”指的是中间的一列数，表示得分的十位数；“叶”指的是从茎的旁边生长出来的数，分别表示两人得分的个位数.画这组数据的茎叶图的步骤如下第一步，将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分；第二步，茎是中间的一列数，按从小到大的顺序排列；第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧.甲乙8 04 6 3 1 2 53 6 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 94 4 91 5 0从图中可以看出，乙运动员的得分基本上是对称的，页的分布是“单峰”的，有的叶集中在茎2，3，4上，中位数为36；甲运动员的得分除一个特殊得分（51分）外，也大致对称，叶的分布也是“单峰”的，有的叶主要集中在茎1，2，3上，中位数是26.由此可以看出，乙运动员的成绩更好. 另外i，从叶在茎上的分布情况看，乙运动员的得分更集中于峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定.练习：在ＮＢＡ的2010赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33学生画出茎叶图（略）三、巩固练习为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（见下页图示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.第 11 页（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高及频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：40.08 24171593=+++++，又因为频率＝第二小组频数样本容量，所以，121500.08===第二小组频数样本容量第二小组频率.（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.四、小结1. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2. 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.五、布置作业P71练习1、2、3.第2课时教学内容§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标一、知识及技能1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4. 形成对数据处理过程进行初步评价的意识.二、过程及方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数及标准差.教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.教学设想一、创设情境导入新课在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征.二、新课探究（一）众数、中位数、平均数初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见教材第72页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.提问：请大家翻回到教材第66页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，第 13 页。
人教版高中数学必修三 第二章 统计用样本估计总体活动与探究
用样本估计总体活动与探究一、这样抽样调查合适吗例1老师布置给每个小组一个任务，用抽样调查的方法估计全班同学的平均身高．坐在教室最后面的小胖为了争速度，立即就近向他周围的三个同学作调查，计算出他们四个人的平均身高后就举手向老师示意已经完成任务了．分析因为小胖他们四个坐在教室最后面，所以他们的身高平均数就会大于整个班级的身高平均数，这样的样本就不具有代表性了．现实生活中，用简单的随机抽样方法选中的样本可能不愿意参加或者没空配合你作调查，所以，在不太影响样本代表性的前提下，人们也经常采取调查周围人的抽样方法．但是，要注意这些调查对象在总体中是否有代表性．例2甲同学说：“6， 6， 6…啊！真的是6！你只要一直想某个数，就会掷出那个数．”乙同学说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．”分析这两位同学的说法都不正确．因为几次经验说明不了什么问题。
你可以掷骰子，来验证上述两位同学的说法不正确。
例3小强的自行车失窃了，他想知道所在地区每个家庭平均发生过几次自行车失窃事件．为此，他和同学们一起，调查了全校每个同学所在家庭发生过几次自行车失窃事件．分析这样抽样调查是不合适的．虽然他们调查的人数很多，但是因为排除了所在地区那些没有中学生的家庭，所以他们的调查结果不能推广到所在地区的所有家庭。
想一想：小强和他的同学们的调查反映哪些家庭失窃自行车的情况？这个例子告诉我们，开展调查之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为调查对象。
例41936年，美国《文学文摘》杂志：根据1000万电话和从该杂志订户所收回的意见，断言兰登将以370︰161的优势在总统竞选中击败罗斯福，但结果是，罗斯福当选了，《文学文摘》大丢面子，原因何在呢？分析原来，1936年能装电话和订阅《文学文摘》杂志的人，在经济上相对富裕，而引入不太高的大多数选民选择了罗斯福。
《文学文摘》的教训表明，抽样调查时，既要关注样本的大小，又要关注样本的代表性。
人教版高二数学必修三《用样本估计总体》说课稿
人教版高二数学必修三《用样本估计总体》说课稿一、引言本说课稿将围绕人教版高二数学必修三教材中的《用样本估计总体》这一章节展开。
本章主要介绍了用样本数据对总体参数进行估计的方法，涉及到点估计和区间估计两个方面的内容。
二、教学目标1.掌握点估计的概念和基本思想；2.理解点估计的性质和评价标准；3.学会利用样本数据构建置信区间。
三、教学重点和难点1.理解点估计的概念和基本思想，掌握常用的点估计方法；2.掌握置信区间的构造方法，能够运用统计推断的思想进行问题求解。
四、教学过程1. 点估计a.点估计的概念：点估计是根据样本数据来估计总体参数的一个估计值，例如通过样本均值估计总体均值。
b.点估计的基本思想：点估计的基本思想是利用样本数据推断总体的特征，通过一个点来估计总体的某个参数。
c.常用的点估计方法：•极大似然估计：根据已知的样本数据，寻找使样本出现的概率最大的参数值作为估计值；•矩估计：利用样本矩与总体矩之间的关系来估计参数值；•最小二乘法估计：在回归分析中，通过最小化误差平方和来估计回归系数。
2. 点估计的性质和评价标准a.点估计的性质：•无偏性：当样本容量趋于无穷大时，点估计的期望值等于总体参数的真实值；•有效性：在所有无偏估计中，方差最小的估计被称为有效估计；•一致性：当样本容量趋于无穷大时，点估计的值趋于总体参数的真实值。
b.评价标准：•均方误差：衡量点估计与总体参数之间的平均误差；•置信区间：通过对于估计值加减一个合理的范围，得到总体参数的一个区间估计。
3. 置信区间a.置信区间的概念：置信区间是用样本数据得到的估计值加减一个合理的范围，得到总体参数的一个区间估计。
b.构造置信区间的方法：•正态分布下的置信区间：当总体服从正态分布时，根据样本均值和标准差构造置信区间；•大样本情况下的置信区间：当样本容量很大时，可以使用中心极限定理来构造置信区间；•小样本情况下的置信区间：当样本容量较小时，可以使用t分布来构造置信区间。
高中数学必修三-用样本估计总体
用样本估计总体知识集结知识元用样本的频率分布估计总体分布知识讲解1．收集数据的方法【知识点的知识】数据收集的基本方法：（1）做试验：通过设计一些合适的试验，能够直接地获得样本数据，如统计一颗骰子各点出现的频率，就可做抛掷骰子试验．（2）查阅资料：有些数据不易直接调查到，可通过查阅图书馆文献或通过搜索因特网上的相关资料等办法获得所需数据或相关数据．（3）设计调查问卷：问卷一般由一组有目的、有系统、有顺序的题目组成．2．分布和频率分布表【知识点的认识】1．频数与频率①频数：指一组数据中，某范围内的数据出现的次数．②频率：把频数除以数据的总个数，就得到频率．2、频率分布表当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布．我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．【解题方法点拨】绘制频率分布表的步骤：1．求全距：决定组数和组距，组距＝；（全距指整个取值区间的长度，组距指分成的区间的长度）2．分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；3．登记频数，计算频率，频率＝，列出频率分布表．【命题方向】能根据频率分布表读取信息，进行简单计算，多以选择、填空题形式出现，作为大题时，比较常见和概率统计问题结合进行考查，但难度不大．在计算频率的时候，熟悉使用公式频率＝求出频率是解题关键．例：容量为20的样本数据，分组后的频数如下表分组[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）频数234542则样本数据落在区间[10，40]的频率为（）A．0.35B．0.45C．0.55D．0.65分析：先求出样本数据落在区间[10，40]频数，然后利用频率等于频数除以样本容量求出频率即可．解答：由频率分布表知样本在[10，40]上的频数为2+3+4＝9故样本在[10，40]上的频率为9÷20＝0.45故选B．点评：本题主要考查了频率分布表，解题的关键是频率的计算公式是频率＝，属于基础题．3．频率分布直方图【知识点的认识】1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．2．频率分布直方图的特征①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．3．频率分布直方图求数据①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．【解题方法点拨】绘制频率分布直方图的步骤：3．茎叶图【知识点的认识】1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50得分表示成茎叶图如下：2．茎叶图的优缺点：优点：（1）所有信息都可以从茎叶图上得到（2）茎叶图便于记录和表示缺点：分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．【解题方法点拨】茎叶图的制作步骤：（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧第1步中，①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．例题精讲用样本的频率分布估计总体分布例1.如图为某公司10个销售店某月售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的频率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6例2.如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长C．2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D．2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个用样本的数字特征估计总体特征知识讲解1．用样本的数字特征估计总体的数字特征【知识点的知识】1．样本的数字特征：众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．2、三种数字特征的优缺点：：（1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，但是它只能表示样本数据中的很少一部分信息．（2）中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据排在中间的数据的信息．（3）样本平均数与每个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数，众数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众数，中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．（4）如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．（5）使用者根据自己的利益去选择使用中位数或平均数来描述数据的中心，从而产生一些误导作用．3、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字．（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．4、样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道（或不可求）的．如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．如要考查一批灯泡的质量，我们可从中随机抽取一部分作为样本，要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目的钢筋作为样本，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断．但需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的．如一个总体包含6个个体，现在要从中抽取3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异．这就会影响到我们对总体情况的估计．例题精讲用样本的数字特征估计总体特征例1.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生的成绩（均为整数），其成绩的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数，众数和平均数分别是（）A．73.3，75，72B．73.3，80，73C．70，70，76D．70，75，75例2.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为（）A．B．C．D．例3.一组数据1，3，2的方差为__当堂练习单选题练习1.以下茎叶图记录了甲、乙两人期末考试中的5门成绩（单位：分）．已知甲数据的中位数与乙数据的平均数均为90，则x+y=（）A．5B．6C．7D．8练习2.如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长C．2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D．2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个练习3.如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A．甲所得分数的极差为22B．乙所得分数的中位数为18C．两人所得分数的众数相等D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数练习4.某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策，随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为，二居室住户占，如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是（）A．样本容量为70B．样本中三居室住户共抽取了25户C．根据样本可估计对四居室满意的住户有70户D．样本中对三居室满意的有15户练习5.比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B．.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C．.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D．.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值练习6.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差填空题练习1.如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96_（结果用分数表示）．颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为__练习2.已知一组数据x1，x2，x3，…，x n的方差是s，那么另一组数据x1-3，x2-3，x3-3，…，x n-3的方差是___．练习3.已知样本x1，x2，x3，…，x n的方差是2，则样本3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的标准差为___．定义：函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值与最小值之差为函数f（x）的极差，若定义在区间[-2b，3b-1]上的函数f（x）=x3-ax2-（b+2）x是奇函数，则a+b=___，函数f（x）的极差为___．练习5.已知由小到大排列的一组数据7，8，a，12，13的平均数为10，则方差为__．练习6.某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是___；该班的平均成绩是____．练习1.'某乡镇为了打赢脱贫攻坚战，决定盘活贫困村的各项经济发展要素，实施了产业、创业、就业“三业并举”工程．在实施过程中，引导某贫困村农户因地制宜开展种植某经济作物．该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，其质量指标的等级划分如表：为了解该类经济作物在当地的种植效益，当地引种了甲、乙两个品种．并随机抽取了甲、乙两不品种的各10000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到下面产品质量指标值频率分布直方图（图甲和图乙）。
用样本估计总体(优质课16：9)
5
4
2
则样本在[10,50)上的频率为 答案 解析
A.0.5
B.0.24
C.0.6
√D.0.7
因为样本在[10,50)上的频数为 2＋3＋4＋5＝14，样本容量为 20，所以
在[10,50)上的频率为1240＝0.7.
1234 5
5.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50 至350度之间，频率分布直方图如图所示.
√A.10
B.2
C.5
D.15
频率 由图可知频率＝组距×组距，知频率＝0.02×5＝0.1.
∴0.1×100＝10 人.
1234 5
4.一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：
组距 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)
频数 2
3
4
当堂训练
1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是
A.总体容量越大，估计越精确
答案 解析
B.总体容量越小，估计越精确
√C.样本容量越大，估计越精确
D.样本容量越小，估计越精确
由用样本估计总体的性质可得.
1234 5
2.下列说法不正确的是 答案 解析
√A.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率
思考
如果把我国初生婴儿的性别作为总体，那么它的分布是指 什么？ 答案 是指男女性别的比例.
梳理
一般地，总体分布是指总体中个体所占的比例.
知识点二 用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布
思考1
要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？ 答案 分组，频数累计，计算频数和频率.
高中数学必修3用样本估计总体(高三第一轮复习)PPT
● [规律方法] ● (1)众数体现了样本数据的最大集中点，但无法客观地反映总体特征． ● (2)中位数是样本数据居中的数． ● (3)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据越分散，
标准差、方差越小，数据越集中．
●
[跟踪训练]
●
3．(2012·山东高考)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，
样本的数字特征 [典题导入]
(1)(2012·江西高考)样本(x1，x2，…，xn)的平均数为－x ，
样本(y1，y2，…，ym)的平均数为－y (－x ≠－y )．若样本(x1，x2，…， xn，y1，y2，…，ym)的平均数－z ＝α－x ＋(1－α)－y ，其中 0<α<12，则
n，m 的大小关系为
(2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70.
答案 (1)0.004 4 (2)70
茎叶图的应用
● [典题导入]
●
(2012·陕西高考)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台
自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图
所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙，中位数分别 为m甲、m乙，则
● [跟踪训练]
● 1．(2013·湖北高考)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至 350度之间，频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的 户数为________．
解析 (1)根据频率和为1，得(0.002 4＋0.003 6＋ 0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝ 0.004 4；
必修3用样本估计总体
二.题型分析
题型1. 绘制统计图表，用样本分布估计总体分布
【例1】 某中学同年级40名男生的体重数据如 下（单位：kg）： 61 60 59 59 58 58 58 57 57 57 57 56 56 56 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54 54 54 53 53 52 52 52 52 52 51 51 51 50 50 49 48 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图．
3.5 4
月均用水量 /t 4.5
8.总体密度曲线：如果样本容量不断增大，分组 的组距不断缩小，则频率分布折线图越来越接近 于总体在各小值内所取值的个数与总数比值的大 小，它可以用一光滑曲线来描绘，这条光滑曲线 就叫做总体密度曲线. 总体密度曲线
频率 组距
月均用 水量/t
a
b
（图中阴影部分的面积，表示总体在 某个区间 (a, b) 内取值的百分比）。
2（08 山东卷文 9）从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩，统计如表，则这 100 人成绩的标准差为 分 数 人 数 A． 3 5 4 3 2 1
20 10 30 30 10 C．3
8 D． 5
2 10 B． 5
3（08 广东卷文 11）为了调查某厂工人生产某种产品的能 力， 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量.产品数 量的分组区间为 45, 55 ， 55, 65 , 65, 75 , ，75, 85 85, 95 由 此得到频率分布直方图如图 3，则这 20 名工人中一天生 产该产品数量在 55, 75 的人数是 .
3.用样本的有关情况去估计总体的相应情况,这种 估计大体分为两类，一类是用样本频率分布估计 总体分布，另一类是用样本的某种数字特征（例 如平均数、方差等）去估计总体的相应数字特征。
人教版数学必修三 3.2.2用样本估计总体
点评：(1)如果注意观察两组数据可以发现，前两个数 据相同，后三个数据，甲班更接近，故方差较小，可不必 计算乙班的方差．
(2)注意样本方差的两个计算公式
s2＝n1
n i＝1
(xi－－x )2
和
s2＝n1
n x2i －－x 2
i＝1
各自的适用条件，灵活选用公式以减少计
算量．
(理)(2010·瑞安中学)已知数据 x1、x2、x3、x4、x5 是 互．不．相．等．的．正．整．数．，且－x ＝3，中位数是 3，则这组数据 的方差是________．
为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图；由 于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列， 后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到 5.0之间的学生数为b，则a、b的值分别为( )
A．0.27,78 C．2.7,78
茎叶图
[例 2] (2010·湖南省湘潭市)下图是 2009 年央视挑战主 持人大赛中，7 位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图， 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ()
A.83
B．84
C．85
D．86
分析：由茎叶图知，这组数据为两位数，茎为十位数，叶 为个位数，去掉最高分和最低分后，剩下数据的十位数字 都是8，故计算平均分只需计算个位数的平均数即可．
16[6.75－6.7552＋6.9－6.7552＋…＋6.9－6.7552] ≈0.179. x 乙＝16(6.68＋6.68＋…＋6.45)＝6.755.
s 乙＝ 16[6.68－6.7552＋6.68－6.7552＋…＋6.45－6.7552]
≈0.310. ∵ x 甲＝ x 乙，∴两种产品的平均售价相同． 而 s 甲<s 乙，因此可以作出估计，甲种产品的售价比较稳定．
人教版高中数学必修3-2.2《用样本估计总体(第1课时)》名师课件
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 ●活动三 如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计 算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出 来吗？
分析：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该 市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居 民月用水量标准提供参考依据，这里体现了用样本的频率 分布估计总体分布统计思想.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
问题探究一 频率分布表（★）
【问题】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问 题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试 行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准 a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议 价收费. 通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水 量如下表（单位：t）：
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 随堂检测 问题探究三 频率分布折线图和总体密度曲线
人教版高二数学上册必修3《用样本估计总体》教案
人教版高二数学上册必修3《用样本估计总体》教案人教版高二数学上册必修3《用样本估计总体》教案一. 学习目标(1)通过实例体会分布的意义与作用; (2)在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图，频率折线图; (3)通过实例体会频率分布直方图，频率折线图，茎叶图的各自特点，从而恰当的选择上述方法分析样本的分布，准确的作出总体估计。
二. 学习重点三.学习难点能通过样本的频率分布估计总体的分布。
四.学习过程 (一)复习引入(1 )统计的核心问题是什么?(2 )随机抽样的几种常用方法有哪些?(3)通过抽样方法收集数据的目的是什么?(二)自学提纲1.我们学习了哪些统计图?不同的统计图适合描述什么样的数据?2.如何列频率分布表?3.如何画频率分布直方图?基本步骤是什么?4.频率分布直方图的纵坐标是什么?5.频率分布直方图中小长方形的面积表示什么?6.频率分布直方图中小长方形的面积之和是多少?(三)课前自测1.从一堆苹果中任取了20只，并得到了它们的质量(单位：g)数据分布表如下：分组[90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 频数 1 2 3 10 1 则这堆苹果中，质量不小于120g的苹果数约占苹果总数的__________%. 2.关于频率分布直方图，下列说法正确的是( ) A.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率B.直方图的高表示取某数的频率C.直方图的高表示该组上的样本中出现的频率与组距的比值D.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值3.已知样本：10，8，6，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，11，12，那么频率为0.2的范围是( ) A、5.5-7.5 B、7.5-9.5 C、9.5-11.5 D、11.5-13.5 (四)探究教学典例：城市缺水问题(自学教材65页~68页)问题1.你认为为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作?2.如何分析数据?根据这些数据你能得出用水量其他信息吗? 知识整理：1.频率分布的概念：频率分布：频数: 频率：2.画频率分布直方图的步骤： (1).求极差: (2).决定组距与组数组距: 组数: (3).将数据分组 (4).列频率分布表 (5).画频率分布直方图问题： .1.月平均用水量在2.5—3之间的频率是多少?2.月均用水量最多的在哪个区间?3.月均用水量小于4.5 的频率是多少?4.小长方形的面积=?5.小长方形的面积总和=?6.如果希望85%以上居民不超出标准,如何制定标准?7.直方图有那些优点和缺点?例题讲解：例1有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下：[12.5, 15.5) 3 [15.5, 18.5) 8 [18.5, 21.5) 9 [21.5, 24.5) 11 [24.5, 27.5) 10 [27.5, 30.5) 5 [30.5, 33.5) 4 (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图估计,数据落在[15.5, 24.5)的百分比是多少? (4)数据小于21.5的百分比是多少?3.频率分布折线图、总体密度曲线问题1：如何得到频率分布折线图 ? 频率分布折线图的概念：问题2：在城市缺水问题中将样本容量为100，增至1000，其频率分布直方图的情况会有什么变化?假如增至10000呢?总体密度曲线的概念：注：用样本分布直方图去估计相应的总体分布时，一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。
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极差、方差、标准差
极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差. 方差：是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即
s2 1 n
2
x1 x Leabharlann x2 x 2 xn x 2 ,
组距
0.5 0.4
0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它 对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映 总体特征.
2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不 受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优 点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。
成绩(单 位： 米)
人数
1．50 1．60 1．65
2
3
2
1．70 3
1．75 4
1．80 1
1．85 1
1．90 1
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点 的横坐标。 2、在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应 该相等，由此可以估计中位数的值。下图中蓝色实线代表居民月 均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.03t. 3、平均数是频率分布直方图的“重心”.是直方图的平衡点.如 黄色实线频率
【思考】为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我 们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
频率分布直方图中小长方形的高？ 频率/组距 小长方形的面积表示什么？ 小长方形的面积表示该组的频率． 所有小长方形的面积和＝？ 所有小长方形的面积和＝1．
频率分布直方图
【思考】样本数据的频率分布直方图是根据频率 分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作 图步骤如何？
第一步：画平面直角坐标系.
第二步：在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴 上标出单位长度.
第三步: 以组距为宽，各组的频率与组距的商 为高，分别画出各组对应的小长方形.
例1：有一个容量为50的样本数据的分组 及各组的频数如下： [12.5, 15.5) 3 [24.5, 27.5) 10 [15.5, 18.5) 8 [27.5, 30.5) 5 [18.5, 21.5) 9 [30.5, 33.5) 4 [21.5, 24.5) 11 ⑴列出样本的频率分布表和画出频率 分布直方图； ⑵根据样本的频率分布估计，小于30.5 的数据约占多少？
众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组 数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个 数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
平均数: 一组数据的算术平均数,即
x=
1 n
(x1
x2
xn )
例2: 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员 的成绩如下表所示，求这些运动员成绩众数，中位数与平均数 ？
因为甲的方差<乙的方差
湖南省长沙市一中卫星远程学校
用样本估计总体
提出问题
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺 水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划 在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民 月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费， 超出a的部分按议价收费. 那么标准a定为多少比较合 理呢?
通过抽样调查，获得100位居民2007年的 月均用水量如下表（单位：t）：
(4.3－0.2)÷0.5=8.2
【思考】以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9 组，各组数据的取值范围可以如何设定？
[0，0.5)，[0.5，1)，[1，1.5)，…，[4，4.5].
【思考】如何统计上述100个数据在各组中的频数？
如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些
数据用表格反映出来吗？
湖南省长沙市一中卫星远程学校
例4：从甲、乙两人手工制作的圆形产品中，各自
随机抽取6件，测得其直径（单位：cm）如下：
甲：9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20
乙：8.90,9.60,9.50,8.50,8.60,8.90
由以上数据估计两人的技术稳定性，结论是（ ）
A.甲优于乙
B.乙优于甲
分组
频数
频率
[0，0.5)
4
0.04
[0.5，1)
8
0.08
[1，1.5)
15
0.15
[1.5，2)
22
0.22
[2，2.5)
25
0.25
[2.5，3)
14
0.14
[3，3.5)
6
0.06
[3.5，4)
4
0.04
[4，4.5]
2
0.02
合计
100
1.00
【思考】上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测 该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定 居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种什么统 计思想？
【思考】上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？ 由此说明样本数据的变化范围是什么？
【思考】上述100个数据中的最大值和最小值分别 是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？
0.2～4.3
【思考】样本数据中的最大值和最小值的差称为极差. 如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些 数据共分为多少组？
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
用样本的频率分布估计总体分布.
思考6：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不 超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水 量标准（即a的取值）有何建议？
88%的居民月用水量在3t以下，可建议取a=3.
频率分布表
【思考】一般地，列出一组样本数据的频 率分布表可以分哪几个步骤进行？
第一步：求极差; 第二步：决定组距与组数; 第三步：确定分点，将数据分组(区间通 常为左闭右开，最后为闭区间); 第四步：列频率分布表.
C.两人没有区别
D.无法判断
答案：A
【说明】
1、甲的平均数是（9.00+9.20+9.00+8.50+9.10+9.20）/6=9.00
乙的平均数是（8.90+9.60+9.50+8.50+8.60+8.90）/6=9.00
2.甲的方差是（0+0.04+……+0.04）/6=0.057
乙的方差是（0.01+0.36+……+0.01）/6=0.173