数学必修三《用样本估计总体》

【思考】为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我 们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
频率分布直方图中小长方形的高？ 频率/组距 小长方形的面积表示什么？ 小长方形的面积表示该组的频率． 所有小长方形的面积和＝？ 所有小长方形的面积和＝1．
组距
0.5 0.4
0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它 对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映 总体特征.
2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不 受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优 点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。
C.两人没有区别
D.无法判断
答案：A
【说明】
1、甲的平均数是（9.00+9.20+9.00+8.50+9.10+9.20）/6=9.00
乙的平均数是（8.90+9.60+9.50+8.50+8.60+8.90）/6=9.00
2.甲的方差是（0+0.04+……+0.04）/6=0.057
乙的方差是（0.01+0.36+……+0.01）/6=0.173
分组
频数
频率
[0，0.5)
4
0.04
[0.5，1)
8
0.08
[1，1.5)
15
0.15
[1.5，2)
22
0.22
[2，2.5)
25
0.25
[2.5，3)
14
0.14
[3，3.5)
6
0.06
[3.5，4)
4
来自百度文库
0.04
[4，4.5]
2
0.02
合计
100
1.00
【思考】上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测 该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定 居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种什么统 计思想？
【思考】上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？ 由此说明样本数据的变化范围是什么？
【思考】上述100个数据中的最大值和最小值分别 是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？
0.2～4.3
【思考】样本数据中的最大值和最小值的差称为极差. 如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些 数据共分为多少组？
用样本的频率分布估计总体分布.
思考6：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不 超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水 量标准（即a的取值）有何建议？
88%的居民月用水量在3t以下，可建议取a=3.
频率分布表
【思考】一般地，列出一组样本数据的频 率分布表可以分哪几个步骤进行？
第一步：求极差; 第二步：决定组距与组数; 第三步：确定分点，将数据分组(区间通 常为左闭右开，最后为闭区间); 第四步：列频率分布表.
频率分布直方图
【思考】样本数据的频率分布直方图是根据频率 分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作 图步骤如何？
第一步：画平面直角坐标系.
第二步：在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴 上标出单位长度.
第三步: 以组距为宽，各组的频率与组距的商 为高，分别画出各组对应的小长方形.
例1：有一个容量为50的样本数据的分组 及各组的频数如下： [12.5, 15.5) 3 [24.5, 27.5) 10 [15.5, 18.5) 8 [27.5, 30.5) 5 [18.5, 21.5) 9 [30.5, 33.5) 4 [21.5, 24.5) 11 ⑴列出样本的频率分布表和画出频率 分布直方图； ⑵根据样本的频率分布估计，小于30.5 的数据约占多少？
用样本估计总体
提出问题
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺 水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划 在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民 月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费， 超出a的部分按议价收费. 那么标准a定为多少比较合 理呢?
通过抽样调查，获得100位居民2007年的 月均用水量如下表（单位：t）：
因为甲的方差<乙的方差
湖南省长沙市一中卫星远程学校
成绩(单 位： 米)
人数
1．50 1．60 1．65
2
3
2
1．70 3
1．75 4
1．80 1
1．85 1
1．90 1
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点 的横坐标。 2、在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应 该相等，由此可以估计中位数的值。下图中蓝色实线代表居民月 均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.03t. 3、平均数是频率分布直方图的“重心”.是直方图的平衡点.如 黄色实线频率
湖南省长沙市一中卫星远程学校
例4：从甲、乙两人手工制作的圆形产品中，各自
随机抽取6件，测得其直径（单位：cm）如下：
甲：9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20
乙：8.90,9.60,9.50,8.50,8.60,8.90
由以上数据估计两人的技术稳定性，结论是（ ）
A.甲优于乙
B.乙优于甲
(4.3－0.2)÷0.5=8.2
【思考】以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9 组，各组数据的取值范围可以如何设定？
[0，0.5)，[0.5，1)，[1，1.5)，…，[4，4.5].
【思考】如何统计上述100个数据在各组中的频数？
如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些
数据用表格反映出来吗？
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组 数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个 数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
平均数: 一组数据的算术平均数,即
x=
1 n
(x1
x2
xn )
例2: 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员 的成绩如下表所示，求这些运动员成绩众数，中位数与平均数 ？
3、平均数可以反映出更多的关于样本数据全体 的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大， 使平均数在估计时可靠性降低。
极差、方差、标准差
极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差. 方差：是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即
s2 1 n
2
x1 x
x2 x 2 xn x 2 ,