2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案

全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案
答案速查： 一、选择题
二、填空题
三、解答题
（17）曲线()y y x =在点（1，1）附近是凸的. （18）
1
1)3
+ （19）略
（20）11011(1)()()(1),(1,3)532
n n
n n n f x x x ∞++=-=-+-∈-∑
（21）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]T
x k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]T
x =-
（22）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,k k 为不全为零的任意常数）
（Ⅱ）011101110B -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
（23）（Ⅰ）{}7224P X Y >=；（Ⅱ）2
(2),01,
()(2),12,0,Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩
其他
（24）（Ⅰ）1ˆ=22
X θ
-;（Ⅱ）24()X 不是2
θ的无偏估计量 一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1）【答案】（B ） 【解析】利用当0x →时的等价无穷小关系ln(1)x x +:，即知当0x +
→时
ln(1:故选B..
（2）【答案】 (D)
【解析】方法1:论证法，由0()
lim
x f x x
→存在及()f x 在0x =处连续，所以
00()
(0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x
→→===（A ）正确；
由于00()(0)()
lim lim
0x x f x f f x x x
→→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处
连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）.
方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有
00()()
lim lim 00x x x x f x f x x x
→→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （3）【答案】（C ）
【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而
323
2
2
3(3)()()(),2
8
8
(2)(),
2
F f t dt f t dt f t dt F f t dt π
π
π
π
==+=
-
=
==
⎰⎰⎰⎰
所以(3)F - 3
(2)4
F =
，选择C （4）【答案】（B ）
【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D ，交换为先x 后y
1
1sin 0
sin 2
(,)(,)x
arc y
dx f x y dy dy f x y dx ππ
ππ-=⎰⎰
⎰⎰
， 所以选择(B).
（5）【答案】（D ） 【解析】'()22.()16021602Q P P
P P Q P P P
-=
==--需求弹性 由题知，它等于1，解之，40.P =所以选(D)
（6）【答案】（D ） 【解析】0
01lim lim ln(1),x x x y e x →→⎛⎫
=++=∞
⎪⎝⎭
所以0x =是一条垂直渐近线；
1lim lim ln(1)0,x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫
=++= ⎪⎝⎭
所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线； 又 21ln(1)ln(1)1lim lim lim lim 1,x
x x x x x x x e y e e e x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+++=+== ⎪⎝⎭
洛 ()()1lim lim ln(1)lim ln(1)x x x x x y x e x e x x →+∞→+∞→+∞
⎛⎫
-=++-=+- ⎪⎝⎭ 1lim ln()lim ln(1)0,x
x x x x e e e
-→+∞→+∞+=+== 所以y x =也是一条渐近线，所以共有3条，选择（D ） （7）【答案】(A)
【解析】根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立.则称123,,ααα线性相关.因1223310αααααα-+-+-=， 故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. （8）【答案】（B ）
【解析】2
1111111112
1
121
03
1
1
21
1
20
3
E A λλλλλλλλλλ--=
-=-=----
()2
30λλ=-=
因为A 的特征值是3，3，0，B 的特征值1，1，0，因为特征值不等，故不相似. A 与
B 有相同的正惯性指数2，秩都等于2，所以A 与B 合同，应选（B ）.
（9）【答案】(C)
【解析】根据独立重复的贝努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为
123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p .根据独立性，第4次射击为第二次命中
目标的概率为
12223(1)3(1).C p p p p p -=-g 所以应选（C ）.
（10）【答案】(A)
【解析】由于二维正态的(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且
(,)()()X Y f x y f x f y =.根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则
(,)
()()
X Y Y f x y f x y f y =
()()
()()
X Y X Y f x f y f x f y =
=.现()Y f y 显然不为0，因此()().X X Y f x y f x = 应选(A).
二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）【答案】 0
【解析】方法1：由洛必达法则，
()32223213262
lim lim lim 22ln 232ln 26x x x
x x x x x x x x x x x
→+∞→+∞→+∞++++==+++ ()3
6lim
0,2ln 26
x
x →+∞
==+
而(sin cos )x x +是有界变量，所以
323
1lim (sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+ 方法2：3213
3311lim
(sin cos )lim (sin cos )221x x x x x x x x x x x x x x ---→+∞→+∞+++++=+++ 而 2
3
3222ln 22(ln 2)lim 2lim lim lim 36x x x x
x x x x x x x x
-→+∞→+∞→+∞→+∞===
3
2(ln 2)lim 6
x x →+∞==+∞， 所以 323
1
lim
(sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+
（12）【答案】1
(1)2!
3n n n n +-
【解析】()()()123
2123,'(1)223,''(1)(2)223,,23
y x y x y x x ---=
=+=-+=--++L
由数学归纳法知()
1
()
(1)2!23,n n n
n
y
n x --=-+()
1
(1)2!
(0)3
n n n n n y +-= （13）【答案】''
122()y x f f x y
-
+
【解析】
12122211
'';'',z y z x f f f f x x y y x y ⎛⎫∂∂⎛⎫
=⋅-+⋅=⋅+⋅- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭
⎝⎭
''122()z z y x
x
y f f x y x y
∂∂-=-+∂∂ （14）
【解析】典型类型按标准解法.命,y ux =有
,dy du
u x dx dx
=+原方程化为 31,2du u x u u dx +=- 即 32,du dx u x =-
积分，得 21
ln x C u
=+
化为y ，得 2
2
ln x y x C
=+
解出
y =
再以(1,1)代入，1,C =
所以得特解y =.
（15）【答案】 1 【解析】
2
01000
1000
010*********
00100010
0010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3200100
1000
001000100100
00000000
0010
0000
00000000
000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
=⋅==
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
显然()3
1.r A
=
(16) 【答案】
34
【解析】所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，1
2
X Y -<。

在坐标轴上画出
图形，所求概率为2
11132.214D P X Y ⎛⎫- ⎪
⎛
⎫⎝⎭-<=== ⎪⎝⎭的面积单位正方形面积其中D 是由
1
2
y x -=±，1x =，1y =以及x 、y 轴围成的图形.
三、解答题：17－24小题，共86分。

请将解答写在答题纸指定的位置上。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）【解析】对方程两边求导得'
'
'
1
ln 2102ln y y y y y
+-=⇒=
+
再两边求导得'2''
'
'''
1()(2ln )0(2ln )
y y y y y y y y y ++=⇒=-+ 求在（1，1）点的值'21
''1()101(2ln1)8
x x y y ===-=-<+
所以()y y x =在点（1，1）处是凸的.
（18）【解析】由区域对称性和被积函数的奇偶性有
(,)D
f x y d σ
⎰⎰1
4(,)D f x y d σ=⎰⎰
其中1D 为D 在第一象限的部分，而
1
11
12
(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
其中
{}{}
1112(,)01,01(,)12,0,0D x y y x x D x y x y x y =≤≤-≤≤=≤+≤≤≥
因为
11
11
21
(,)12
D D f x y d x d σσ==
⎰⎰
⎰⎰
12
12
(,)3)D D f x y d σσ==
⎰⎰
所以原式1
1)3
=+.
（19）【解析】（Ⅰ）因()f x 与()g x 在(,)a b 内存在相等的最大值，若两个函数能够在同一点(,)c a b ∈取得最大值，则()()f c g c =，取c 作为η即可.否则两个函数必在两个不同的点
x c =与x d =处分别取得最大值.为确定起见，设()f c 是()f x 在[,]a b 上的最大值，()
g d
是()g x 在[,]a b 上的最大值，且a c d b <<<，不难得出()()f c g c >且()()f d g d <.
设()()()F x f x g x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()0()F c F d >>成立.由闭区间上连续函数取中间值性质知存在(,)(,)c d a b η∈⊂，使()0F η=，即()()f g ηη=
当()f d 是()f x 在[,]a b 上的最大值且()g c 是()g x 在[,]a b 上的最大值时可类似证明存在(,)(,)c d a b η∈⊂使得()0F η=，即()()f g ηη=
（Ⅱ）设()()()F x f x g x =-.由题设与（Ⅰ）的结论知，()F x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内二次可导，且存在(,)a b η∈使()()()0F a F F b η===.分别在[,]a η与[,]b η上对
()F x 应用罗尔定理可得，存在(,)a αη∈，(,)b βη∈使()()0F F αβ''==.由于()
F x '在[,]αβ上满足罗尔定理的全部条件，按罗尔定理知存在(,)(,)a b ξαβ∈⊂，使
()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=
（20）【解析】1111
()()(4)(1)51312
f x x x x x =
=--+---+
记 10111111()()(),131********()3
n
n x f x x x x ∞=-=
=-=--<---∑
20111111()()(1)(),
1215110102
1()2
n n
n x f x x x x ∞=-===--<-++∑
则
11000111111(1)()()(1)()()(1),(1,3)153102532
n n n n
n n n n n n x x f x x x ∞∞∞++===---=---=-+-∈-∑∑∑
（21）【解析】方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立
12312321
231
230
20(3)4021
x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩
并对联立方程组的增广矩阵作初等行变换
22
111011101
1
10
12001100
101()0
01114003100
00(1)(2)12110101a a a A b a a
a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎡⎤
⎪ ⎪
⎢⎥--
⎪ ⎪⎢⎥=→→ ⎪ ⎪⎢⎥--- ⎪ ⎪⎢
⎥
⎪ ⎪----⎣⎦
⎝⎭⎝⎭ 当1a =时，联立方程组（3）的同解方程组为1232
0x x x x ++=⎧⎨=⎩
解得两方程组的公共解为[1,0,1]T
k -，其中k 是任意常数.
当2a =时, 联立方程组（3）的同解方程组为12323
011x x x x x ++=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
解得两方程的公共解为[0,1,1]T
-.
方法2：将方程组（1）的系数矩阵A 作初等行变换
221111111111201101103100(1)(2)14A a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 当1a =时，方程组（1）的同解方程组为12320
x x x x ++=⎧⎨
=⎩
解得（1）的通解为[1,0,1]T
k -，其中k 是任意常数.将通解[1,0,1]T
k -代入方程（2） 0()0k k ++-=.对任意的k 成立，故当1a =时，[1,0,1]T k -是（1）
、（2）的公共解. 当2a =时，方程组（1）的同解方程组为1232300
x x x x x ++=⎧⎨
+=⎩
解得（1）的通解为[0,1,1]T
μ-,其中μ是任意常数. 将通解[0,1,1]T
μ-代入方程（2）
21μμ-=.得1μ=，故当2a =时，
（1）和（2）的公共解为[0,1,1]T
-.
（22）【解析】（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n n
A n αλα==，于是 5353
111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-
于是1α是矩阵B 的特征向量.
B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，5
3
()()4()1B A A λλλ=-+所
以B 的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，
于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T
x x x ，所以有方程如下：
1230x x x -+=
于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T T
αα=-=
（Ⅱ）令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则1
(2,1,1)P BP diag -=-，所以
11
11333111112(2,1,1)101(2,1,1)33
31101
213
33B P diag P diag -⎡⎤
-⎢⎥-⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=---⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
011101110-⎡⎤⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
（23）（本题满分11分） 【解析】（Ⅰ）{}2(2)D
P X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的
那部分区域；
求此二重积分可得{}1
1
200
2(2)x P X Y dx x y dy >=
--⎰⎰1205()8x x dx =-⎰7
24
= （Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤ 当0z ≤时，()0Z F z =； 当2z ≥时，()1Z F z =；
当01z <<时，32
00
1()(2)3
z
z x
Z F z dx x y dy z z -=
--=-+⎰⎰
当12z <<时，1132
115()1(2)2433
Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰
所以 22
2,01()44,
120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩
其他
（24）（本题满分11分） 【解析】（Ⅰ）记EX μ=，则
10
22(1)x x EX dx dx θ
θμθθ==+-⎰
⎰11
42
θ=+
解出122θμ=-
，因此参数θ的矩估计量为$122
X θ
=-； （Ⅱ）只须验证2
(4)E X 是否为2
θ即可，而
2
2
2
2
1
(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n
==+=+，而 1142EX θ=
+，221
(12)6
EX θθ=++， 22251
()481212
DX EX EX θθ=-=-+，
于是22
2533131(4)1233n n n E X n n n
θθθ+-+=++≠
因此2
4X 不是为2
θ的无偏估计量.。