1.2函数及其表示法(复习课)
人教A版高中数学必修1 .2函数的表示法课件
且 有 fx2f 1 x x1， 求 fx.
解 :因
为f
x
2
f
1 x
x 1，(1)用 x替 换 1 ，1 xx
替换
x，
又得f
1 x
2
f
x
1 1，( 2 ) x
将
( 2 ) 代 入 (1)消 去 f
1 x
，
得
f
x
4
f
x
2
f x 2 x 1 ， 又 因 为 x 1， ,
3、配凑法：已 知 f g x 的 解 析 式 ， 求 fx 的 解 析 式 .
例 5 、 f 已 x 1 x 知 2 x ， fx 的 求 .解
解:f
2
x1 x2 x x 2 x11
x12 1，
f xx2 1x1.
技巧：拆项、添项
人教A版高中数学必修1第一章1.2.2函 数的表 示法课 件
1.2.2函数的表示法
1、函数的常用表示方法:
（1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系。（1.2.1 实例1 P15）
（2）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对 应关系。（1.2.1 实例2 P15）
（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的 对应关系。（1.2.1 实例 P16）
叫 做 A到 B的 函 数 ， 记 作 yfx.
判 A 求 正 弦 B 断
那 些
30 0
是
45 0
1 2
2 2
映
60 0
3
射
90 0
2 1
:
A 求 平 方 B
3
9
－324源自－211－1
A 开 平 方 B
1.2 函数及其表示
1 0.5 -2 -1 O -1 -2
1
2
x
练习: (课本23页) 1. 如图, 把截面半径为 25 cm 的 圆形木头据成矩形木料, 如果矩形的 一边长为 x cm, 面积为 y cm2, 把 y 表示为 x 的函数. 解: 由勾股定理得矩形的宽为 502 - x 2 , 则矩形面积的函数为 y = x 502 - x 2 , (0<x<50)
5 公里的分段. 设里程为 x, 票价为 y, 则解析式为:
2, 0<x≤5, y= 3, 5<x≤10, 4, 10<x≤15, 5, 15<x≤20. 其图象为:
y 5 4 3 2 1 o
5
10 15 20
x
练习: (补充题) 画出下列函数的图象, 根据图象写出定义域和值域:
1 (0 x 1) ; (1) y = x x ( x 1)
笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 10
y 25 20 15 10 5
3 15
4 20
(直接反 25 映函数值)
5
(3) 图象表示: 问: 三种表示 方法各有什么优点?
(直观反映 出定义域, 值域及大 O 1 2 3 4 5 x小关系)
· · · · ·
例4. 下表是某校高一 (1) 班三名同学在高一学 年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
1.2.2 函数的表示法
第一课时
函数的表示
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1. 函数有哪三种表示方法? 2. 函数的各种表示方法各自最能反映函数的 哪些特性? 3. 函数的各种表示方法怎样互相联系, 互相 转化?
问题1. 初中我们学了一次函数, 二次函数, 反 比例函数等, 这些函数可以用哪些方法进行表示? 函数的表示一般有三种方法: 解析法、图象法和 列表法. 解析法, 就是用数学表达式表示两个变量之间的 对应关系, 这个表达式又称解析式. 图象法, 就是用图象表示两个变量之间的对应关 系. 列表法, 就是列出表格来表示两个变量之间的对 应关系.
1.2.2-函数的表示法(要用)
0 x ≤5 5 x ≤10 10 x ≤15 15 x ≤20
票价 y(元)
2
3
4
5
此分段函数的定义域为 (0,20]
此分段函数的值域为 {2,3,4,5}
①自变量的范围是怎样得到的？ ②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点
是怎样确定的？ ③每段上的函数解析式是怎样求出的？
作函数图象：
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一次 98 90 68 88.2
第二次 87 76 65
78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
请你表对格这能三否直位观同地学分在析高出一三学位年同度学成的绩数高学低学? 如习何情才况能做更一好的个比分较析三。个人的成绩高低?
分段函数
2. 化简函数 y | x 5 | x2 2x 1
解：由题意知 y = | x + 5 | + | x －1 |
y
当 x ≤－5 时，
y = －( x + 5 ) －( x －1 )=－2x－4
当 －5 ＜ x ≤ 1 时，
6
y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6
一函次数函解数析：式y=一kx定+b是（方k≠程0）；
可看成关于x、y的方程。
二方次程函不数一：定y=是ax函2+数bx+解c 析（式a≠。0） 例如：x2+y2=1
复习回顾
(1)炮弹发射
（解析法）
h=130t-5t2 （0≤t≤26）
(2)南极臭氧层空洞 （图象法）
高中数学复习提升-1.2.2函数的表示法
1.2.2函数的表示法（一）【学习目标】（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；【学习重难点】重点：(1)会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
(2)求函数的解析式。
难点：对函数解析式方法的掌握。
【预习自测】1、已知(3)f x x -=，则(1)f = （ ）A.4B.3C.2D.12、已知2()2f x x x =+，则(21)f x +的解析式为 。
3、已知21(),()2f x g x x x ==+，求()()f g x 的解析式。
4、已知2(1)f x x -=，求函数()f x 的解析式。
【新课讲授】引例：1.某种笔记本的单价是5元,买x(x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元,试用三种表示法表示函数y=f(x).解：①解析法：{}5,1,2,3,4,5y x x =∈②列表法③图象法知识点归纳：1.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
2.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
3.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
辨析：优点缺点联系解析法①简明、全面地概括了变量间的关系②通过解析式可以求出在定义域内的任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情景时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示出自变量取较少的有限值时的对应关系图象法能形象、直观地反映出函数的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大求函数的解析式例1、求下列函数的解析式：已知f(x)为一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求函数()f x的解析式。
【练习】1.1、若一次函数()y f x=满足(())94f f x x=+，求函数()f x的解析式。
1.2函数及其表示3课时
例3、f(x+1)=4x2+8x+7,求f(x)的解析式
解：[另解]令x+1=t
则x=t-1 (t属于R) 注意：换元时紧
f(t)=4(t-1)2 +8(t-1) +7
=4t2-8t+4+8t-8+7 =4t2+3
∴f(x)=4x2+3
跟定义域
习惯用x作为自变量
说明：这一方法是将x+1看作一个变量t，称代 换法或换元法.
8
★作业
1.已知 f(x) 是一次函数, 且 f[f(x)]=4x-1, 求 f(x) 的解析式. 4x+6 2.已知 f(4x+1)= , 求 f(x) 的解析式. 2+1 16x
3.已知 f( x +1)=x+2 x , 求 f(x). 4.任意x都有 2f(x)+f(-x)=10x , 求 f(x). 5.任意X都有 3f(x-1)+2f(1-x)=2x, 求 f(x). 1 x , x∈(-∞, 0),求 f(x+1) . x2, x∈[0, +∞),
1 解得：a 3
法五 ：待定系数法
1 2 所求的解析式为：y (x 2) 1 3
1
x 1(1 x 0) f ( x) 1 2 x(0 x 2)
2 －1 －1
例6．把长为a的铁丝折成矩形，设矩形的一边长 为x ，面积为专题：函数解析式的一般求法
？函数表示法的三种方法是什么？最常用的方法是什么？
答：函数表示方法有解析式法、列表法、图象法三 种。解析式法是最常用的表示方法。（精确） [内容提要]函数解析式一般如何求呢？
必修1课件：1.2.2函数的表示法
云在漫步
§1.2.2 函数的表示方法
学习目标
第一课时
1、掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法， 、掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法， 体会三种表示方法的特点。 体会三种表示方法的特点。 2、能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。 、能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。 3、体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用， 、体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用， 在图形的变化中感受数学的直观美。 在图形的变化中感受数学的直观美。
2010年12月26日星期日5 48分16秒 2010年12月26日星期日5时48分16秒 日星期日 云在漫步
图象法
列表法
二、由实际问题引入分段函数的概念 某市空调公交车的票价按下列规则制定： 例6 某市空调公交车的票价按下列规则制定： 公里以内(含 公里），票价 公里），票价2元 （1）5公里以内 含5公里），票价 元； ） 公里以内 公里以上， 公里， （2）5公里以上，每增加 公里，票价增加 元（不足 ） 公里以上 每增加5公里 票价增加1元 5公里的按 公里计算）。 公里的按5公里计算 公里的按 公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里 请根据题意， 公里， 如果某条线路的总里程为 公里，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
1、正比例函数、反比例函数的一般式是怎样的？ 正比例函数、反比例函数的一般式是怎样的？
y = kx( k ≠ 0)
k y = (k ≠ 0) x
S = 100t
C = 2πr
高一数学1.2函数及其表示巩固提升课
数学
函数及其表示法 复习巩固课
知识回顾
(传统概念 传统概念) 传统概念
函数的概念
(现代概念 现代概念) 现代概念
函数
定义： 定义： f：A→B 定义域 三要素 对应关系 值域 解析法 列表法 图像法
区间 三种表示法 函数的表示法 分段函数 映射
请同学们看下面的例子: 请同学们看下面的例子
下面的表格表示的是某射击队员在比赛中的射击情况: 例(1).下面的表格表示的是某射击队员在比赛中的射击情况 下面的表格表示的是某射击队员在比赛中的射击情况
X (次) 次 Y(环数) 1 9 2 8 3 5 4 7 5 8 6 9
请同学们描述3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7
区间 三种表示法 函数的表示法 分段函数 映射
y(环数 环数) 环数
走到一半发现课本没有带,匀速 例2：老师从家道去学校 走到一半发现课本没有带 匀速 ：老师从家道去学校,走到一半发现课本没有带 返回家去拿,为了赶时间 再一路小跑(比走路快两倍 为了赶时间,再一路小跑 比走路快两倍)赶 返回家去拿 为了赶时间 再一路小跑 比走路快两倍 赶到 学校.( 设老师家到学校240m,平时走路 平时走路1m/s) S=360(m), 学校 附:设老师家到学校 设老师家到学校 平时走路 1.老师这次到学校用了多少时间?路程是多少? t=360(s) 2.老师的运动情况能否以路程S和时间t建立函数关系? 3.请同学们借助图像描述老师的变化情况. 4.写出老师运动情况的函数解析式.
S(m)
240
120
0
60 120 180 240 300 360 t(s)
例1 已知函数
(1)求 (1)求
1.2函数及其表示4课时
2 2 而1。 x 1 x 1
2
（直接法——用不等式性质、非负数性质）
即函数的值域为 1,1)。 [
例题2
求下列函数的值域：
1) y 2 x 4 1 x；
方法四
换元法
通过换元把求已知函数的值域转化为求关于新元 的函数值域，从而求得原函数值域的方法叫换元法。 ——常用于部分根式函数。
一次函数 函 数 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) a＞0 a＜0 反比例函数
y＝ax＋b (a≠0)
k y (k 0) x k x→ x
对应关系 定义域
值 域
x→ax＋b R
R
x→ R
ax2＋bx＋c
R
{x|x≠0} {y|y≠0}
b 2a
4ac - b 2 4ac - b 2 {y|y≥ } {y|y≤ } 4a 4a
方法一
直接法
根据基本函数的值域及不等式性质、非负数性质，通过观 察分析直接得出函数值域的方法叫直接法。也叫观察分析法。 ——常用于一些解析式结构比较简单的函数。
题组1：求下列函数的值域：（抢答）
1) y x 1;
1)1,
3)0,
2) y 2 x ;
2
2) , 2
5 故所求函数的值域为 y y R且y 。 4
解析：
ax b y 的定义域和值域 cx d
d a x ,,,y 其实就是两条渐进线 c c
例题1
求下列函数的值域：
5x 1 1) y ; 方法二 4x 2
分离常数法
把已知函数分离成一个常数与另一个函数 的和，从而求得函数值域的方法叫分离常数法。 ——常用于分子分母都是一次式的分式函数。
1.2.函数及其表示(教案)A,B
人教版新课标普通高中◎数学①必修1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念教案 A教学目标一、知识与技能1. 了解构成函数的要素；2. 会求一些简单函数的定义域和值域；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域.二、过程与方法通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.三、情感、态度与价值观函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识.使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性.教学重点、难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f（x）”的含义，函数定义域和值域的区间表示.教法与学法导航教学方法：启发，引导学习方法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，完成本节课的教学目标.教学过程一、创设情境，导入新课1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.3. 分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点.4. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5. 根据初中所学函数的概念，判断各实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.二、主题探究，合作交流1. 函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）与它对应，那么就称f：A→B为从集合1教师备课系统──多媒体教案2A 到集合B 的一个函数（Function ）.记作：y =f （x ），x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（Domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域（Range ）.注意：①“y = f （x ）”是函数符号，可用任意的字母表示，如“y =g （x ）”②函数符号“y = f （x ）”中的f （x ）表示与x 对应的函数值，是一个数，不是f 乘x .2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域.3.（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间；（2）区间的数轴表示.4.初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y =ax +b （a ≠0）y =ax 2+bx +c （a ≠0）y =xk （k ≠0） 比较描述性定义和集合与对应语言刻画的定义，谈谈体会. 三、拓展创新，应用提高 1. 如何求函数的定义域例 1 已知函数f （x ） = 3+x +21+x . （1）求函数的定义域；（2）求f （－3），f （32）的值； （3）当a ＞0时，求f （a ）,f （a －1）的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y =f （x ），而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.解：答案见教材第17页例1.例2 设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数解析式，并写出定义域. 解：由题意知，另一边长为2280x -，且边长为正数，所以0＜x ＜40. 所以S =8022x x -⋅ =(40－x )x （0＜x ＜40）. 说明：（1） 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如课前三个实例；（2）如果只给出解析式y =f （x ），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；（3）函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.巩固练习：教材第23页第1题人教版新课标普通高中◎数学① 必修 3引导学生小结几类函数的定义域：（1）如果f （x ）是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f （x ）是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f （x ）是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.巩固练习：教材第19页第1题.2. 如何判断两个函数是否为同一函数？例 3 下列函数中哪个与函数y =x 相等？（1）y = （x ）2； （2）y = （33x ） ； （3）y =2x ；（4）y =xx 2. 注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.巩固练习：1. 教材第19页第3题.2. 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，并说明理由？（1）f (x )=(x －1)0；g （x ）= 1 ；（2）f （x ）=x ； g （x ）=2x ；（3）f （x ）= x 2；f （x ）=(x +1)2 ； （4）f （x ）= |x | ；g （x ）=2x .四、小结1.从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；2.初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，引出了区间的概念. 课堂作业教师备课系统──多媒体教案4 求下列函数的定义域：（1）1()||f xx x=-；（2）1()11f xx=+；（3）f（x） = 1+x+12x-；（4）24()1xf xx-=-；（5）()131f x x x=-++-；（6）2()610f x x x=-+.教案 B教学目标一、知识与技能通过本节知识的学习，感悟函数概念的产生背景和产生过程，从而激发探索问题的兴趣，掌握函数概念的实质.二、过程与方法通过具体问题的分析，在体会两个变量相互依赖的基础上，引导我们用集合的语言刻画函数概念，然后通过具体例题，思考、探究、练习中的问题，从三个层次理解函数的概念：函数定义，函数符号，函数三要素.三、情感、态度与价值观通过本节知识的学习，将培养观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣.教学重点、难点教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念.教学难点：函数概念及符号y=f（x）的理解.教学过程一、创设情境，引入新课我们生活在世界上，时刻能感受其变化，但万事万物间定存在某种依赖关系，把这些关系抽象出来便可得到我们数学中的一个重要模型.先看下面问题：设计1：金华某车间4月份签下了生产1000个零件的订单，工人小甲是一般车工，生产一个零件需1.5个小时,每个小时12元.问题：1. 小甲生产100个、200个、300个零件的报酬.（确定一一对应关系）2. 用工作天数x表示小甲本月工资G.（目标：函数概念、对应关系）3. 确定x的取值范围.（目标：函数的定义域）人教版新课标普通高中◎数学① 必修54. 确定小甲本月工资范围.（目标：函数的值域）5. 若想提高月工资应采取何种方法.（组织讨论）设计2：在初中，我们就学习了函数的概念，怎么定义的？熟悉了哪些简单的函数？ 进一步：上述是否存在函数关系，自变量和因变量分别是什么？它们各自的范围是什么？设计3：既然我们已经学习了函数，那么今天为什么还要学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：问题1：由初中定义你能判断“y =1”是否表示一个函数？问题2：函数y =x 与函数y =2x x表示同一个函数吗？ 点拨：仅用初中函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念.这就是今天我们要学习的课题：函数的概念.二、共同探究建构知识请翻开教材第P15、16页，查看三个实例，思考下列问题：问题1 对实例1，你能得出炮弹飞行1秒、5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中t 的变化范围是多少？（教师用《几何画板》动态地显示炮弹高度h 关于炮弹发射时间t 的函数.）问题2 对实例2，你能从图中看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞面积大约为1500万平方公里？其中t 的取值范围是什么？问题3 在实例3中，恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？思考：以上都反映了哪几个变量之间的关系？对于给定的一个量的值，相应另一个量的值确定吗？有几个值与它对应？归纳出共性，尝试用集合与对应语言描述变量之间依赖关系.交流归纳：上述问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量都有唯一值与之对应，确定三个实例中都包含一个函数.每一个问题均涉及两个非空数集A 、B 的关系.存在某种对应法则f ，对于A 中的任意一个数x ，B 中总有唯一确定数y 与之对应.记作y =f （x ），x ∈A .自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.三、观察分析引导探究探究1：对初中学过的几种函数，分别指出它们的对应法则、定义域、值域.并填写下表：归纳小结函数三要素：对应法则、定义域和值域.（教师在屏幕上动态画出这三种函数的图象）函数 一次函数 反比例函数 二次函数 a ＞0 a ＜0对应关系定义域值域教师备课系统──多媒体教案6探究2：y = f （x ）一定就是函数的解析式吗？分析：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法.强调：数学符号“y =f （x ）”就表示y 是x 的函数，而不是表示“y 等于f 与x 的乘积”.在有些问题中，对应关系f 可用一个解析式表示，但在不少问题中，对应关系f 不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如图象、列表）来表示.探究3：反思课前引入中的两个问题，重新思考，谈谈自己的认识.画图：反思：1()R y x =∈是函数；x y =与y =2x x不是同一个函数. 探究4：如何判断两个函数是否相同？总结：当两个函数的定义域、对应关系完全一致时，我们就称这两个函数相等.四、例题分析，推广应用例1 已知函数213)(+++=x x x f . （1）求函数f （x ）的定义域；（2）求f （-3）,f （32）的值； （3）当a >0时，求f （a ）,f （a -1）的值.解：答案见教材第17页例1.思考：怎样求函数的定义域？f （x ）与f （a ）有何区别与联系？课后反思：f （a ）表示当自变量a x =时函数f （x ）的值，是一个常量，而f （x ）是自变量x 的函数，它是一个变量，f （a ）是f （x ）的一个特殊值.在求函数值时，可把f （x ）中的变量x 看成○,如上述函数看成 213)(+O ++O =O f , 求f （4）时，只要把4填入○中，求f （x +1）时，相当于把x +1填入了○. 甚至可以想象213)(+++=猫猫猫f （可惜猫不属于数集）. 例2 下列函数中哪个与函数x y =相等？（1）2)(x y =； （2）33x y =； （3）2x y =； （4）xx y 2=. 分析：①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等. x y o 1=y 22-x y o x y =22-x y ox x y 2=22-人教版新课标普通高中◎数学① 必修 7②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.解：答案见教材第18页例2五、知识应用巩固理解1.教材第19页练习1.2.3.2.变式：若把例2中的33x y =改33y t =为，如何？思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗？六、回顾总结形成体系归纳总结：1. 函数是非空数集到非空数集的一种特殊对应；2. 函数的核心是对应法则，通常用记号f 表示函数的对应法则，在不同的函数中，f 的具体含义不同.3. 函数符号y =f （x ）的说明：（1）符号y =f （x ）表示y 是x 的函数，而不是f 乘以x ；（2）y =f （x ）不一定能用解析式表示；（3）f （x ）与f （a ）是不同的，通常，f （a ）表示函数f （x ）当x =a 时的函数值；（4）y =f （x ）是函数符号，可用任意字母表示，如g （x ）、F （x ）、φ（x ）.4. 函数定义域和函数值的求法.七、作业：1. 书面作业：教材第24页习题1、2、3、4、5.2. 弹性作业：比较函数初中和高中定义的异同点，你对函数有什么新的认识？请举出几个具体函数例子，用初中定义不好解释，而用高中定义容易理解.八、教学后记基于学生的认知水平和学习特点，本节课以学生为主体，创设情景，首先突破对“对应关系”的理解，在教学时采用问题探究式的教学方法，逐层深入，并借助计算机辅助教学.使学生准确理解函数的概念.教师备课系统──多媒体教案81.2.2 函数的表示法教案 A教学目标一、知识与技能1. 明确函数的三种表示方法；2. 会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；3. 通过具体实例，了解简单的分段函数及应用.二、过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程.三、情感、态度与价值观学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法.教学重点、难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象. 教学过程一、创设情境，导入新课我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题.二、主题探究，合作交流1.函数有哪些表示方法呢？（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）2.明确三种方法各自的特点？（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域.列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值； 图象法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况.三、拓展创新，应用提高：例1 某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =.分析：注意本例的设问，此处“()y f x =”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表.解：答案见教材第19页例3.巩固练习：教材第23页练习第1题.人教版新课标普通高中◎数学① 必修 9例2 某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表.沙漠面积增加数y 与年份数x 之间的关系图象近似地为一次函数y =kx +b 的图象.根据此表所给的信息进行预测：如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷？观测时间1996年底 1997年底 1998年底 1999年底 2000年底 该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷） 0.2000 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001解析：因为沙漠面积增加数y 与年份数x 之间的关系图象近似地为一次函数y =kx +b 的图象.将x =1，y =0.2与x =2，y =0.4，代入y =kx +b ，求得k =0.2，b =0，所以y =0.2x （x ∈N ）.因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为95+0.5×15=98（万公顷）.巩固练习：教材第23页练习第2题.例3 一辆中型客车的营运总利润y （单位：万元）与营运年数x （x ∈N ）的变化关系如表所示，求y （单位：万元）与营运年数x （x ∈N ）的关系表达式x 年 46 8 … c bx ax y ++=2（万元）7 11 7 …解析：表中已给出了二次函数模型c bx ax y ++=2，由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则 ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅=.887,6611,447222c b a c b a c b a解得a =-1，b =12，c =-25，即25122-+-=x x y . 点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题.例4 某市公共汽车的票价按下列规则制定：（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）. 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能教师备课系统──多媒体教案10停车，所以行车里程只能取整数值.解：设票价为y 元，里程为x 公里，根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}.由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：2345y ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，，，0551010151519x x x x <≤<≤<≤<≤，，，. （*N x ∈） 根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：O x y543215101519注意：（1） 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；（2） 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？（3） 例4中的函数，称为分段函数.（4）分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式.用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值范围.小结：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域；③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价.（可以实地考查一下某公交车线路）课堂作业：1. 国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g ，付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，一封x g （0＜x ≤100＝的信函应付邮资为（单位：分）2. 如右图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为x ，面积为y ，把y 表示成x 的函数.四、小结理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法.人教版新课标普通高中◎数学①必修教案 B教学目标一、知识与技能1. 明确函数的三种表示方法；2. 会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；3. 通过具体实例，了解简单的分段函数及应用.二、过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程.三、情感、态度与价值观让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法.教学重点、难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象. 学法及教学用具1.学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2.教学用具：圆规、三角板、投影仪.教学过程一、引入课题学生在初中已经学习了函数的基本概念和函数的两种表示方法――解析法和图象法（建立在一次函数和二次函数基础上）.进入高中之后，又学习了函数的定义.本节课在此基础上进一步学习函数的三种表示法.鉴于学生的应用能力不强，缺乏从生活实际抽象出数学问题的意识，在教学中以日常生活为背景抽象出函数的三种表示法，并应用于生活实际，将实际生活中的函数表示法互相转换，使问题具体化、数学化.二、新课教学（一）典型例题例1一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？分析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析.解法：设每天从报社买进x份（250≤x≤400）.数量（份）价格（元）金额（元）买进30 0.20 6x卖出20x＋10×250 0.30 6x＋750退回10（x－250）0.08 0.8x－200 则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）.11教师备课系统──多媒体教案12 y在x ［250，400］上是一次函数.∴x＝400元时，y取得最大值870元.答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元.评注：当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等.这里自变量x的取值范围为［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘.巩固练习：教材第23页练习第1题.例2下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：答案见教材第20页例4.注意：1. 本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点.2. 本例能否用解析法？为什么？巩固练习：教材第23页练习第2题例3画出函数y = | x |的图象.解：答案见教材第20页例5巩固练习：教材第23页练习第3题拓展练习：任意画一个函数y=f（x）的图象，然后作出y=|f（x）| 和y=f（|x|）的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系.例4某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：一期2000年投入1亿元兴建垃圾堆肥厂年处理有机肥十多万吨年综合收益2千万元二期2002年投入4亿元兴建垃圾焚烧发电一厂年发电量1.3亿kw/h 年综合收益4千万元三期2004年投入2亿元兴建垃圾焚烧发电二厂年发电量1.3亿kw/h 年综合收益4千万元如果每期的投资从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f（x）（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部人教版新课标普通高中◎数学① 必修13投资款.解析：由表中的数据知，本题需用分段函数进行处理.由表中的数据易得，x =1，2时，f （x ）=2xx =3，4时，f （x ）=2x +4(x -2)=6x -8x =5，6,7时，f （x ）=2x +4(x -2)+4(x -4)=10x -24所以{}{}{}21,2()683,410245,6,7.x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩，，，，，显然，当n ≤4时，不能收回投资款.当n ≥5时，由f （n ）=10n -24>70，得n >9.4，取n =10. 所以到2010年可以收回全部投资款.点评：分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的处理结果.①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ②本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？小结：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；②解析法：必须注明函数的定义域； ③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征. （二）实践与拓展请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价.（可以实地考查一下某公交车线路）说明：像上面两例中的函数，称为分段函数.注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，再分别注明各部分的自变量的取值范围.（三）归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法.（四）作业布置教材第24页习题1.2（A 组） 第8-10题 ； 第25页（B 组）第2、3题.教师备课系统──多媒体教案14 1.2.3 映射教案 A教学目标一、知识与技能1. 了解映射的概念及表示方法；2.了解象、原象的概念；二、过程与方法1. 函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；2. 通过实例进一步理解映射的概念；3. 会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射.三、情感、态度与价值观映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础.教学重点、难点教学重点：映射的概念.教学难点：映射的概念.教法与学法导航教学方法：启发引导.学习方法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.教学过程一、创设情境，导入新课复习初中常见的对应关系1. 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；2. 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（,x y）和它对应；3. 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4. 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5. 函数的概念.二、主题探究，合作交流1.我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）2.先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：（1）开立方；（2）求正切；（3）找自己的身份证号；（4）乘以3加2.归纳引出映射概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f ：A→B为从集合A到集合B的一个映射. 记作“f ：A→B”。
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||
2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
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探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
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3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
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反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
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变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
高中数学人教A版必修1课件：1.2函数及其表示
1．函数的概念
(1)函数的定义 设A，B是非空的_数__集__，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的_任__意__一__个__数__x_，在集
合B中都有_唯__一__确__定__的__数__f_(x_)__和它对应，那么就 称_f：__A__→__B___为从集合A到集合B的一个函数，记 作_y_＝__f(_x_)_，__x_∈__A. 函数y＝f(x)中，x叫自变量，_x_的__取__值__范__围___叫函 数的定义域，与x的值相对应的y值叫做_函__数__值__， 函数值的集合_{_f(_A_)_|x_∈__A__}_叫做函数的值域．显 然，值域是集合B的_子__集__．
①明确求的量，如本例求的是x的范围，而不是m 的范围； ②明确是对哪个量进行的分类讨论，如本例是对 m进行分类，而不是对x分类； ③如果求的量与分类的量是同一个量，则结果取 并集，如在解|x－1|＋|2x＋1|≤5时，求的是x范围, 也是对x进行分类，因此最后是将各种分类结果取 并集； ④如果求的量与分类的量不是同一个量，如本例, 则最后既不取交集也不取并集． [注意] 分类讨论的问题最后需进行总的概括．
，即
x≤5
x≠2 x≠－1
∴原函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,2)∪
(2,5]
[题后感悟] 定义域的求法： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数 集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分 母不为0的实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
2．区间与无穷的概念 (1)区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且a＜b.
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
高中数学复习课件-高中数学必修1 1.2.2 函数的表示法(一)
THANK YOU
∴ f (x) x2 1(x 1)
例 3.作出下列各函数的图像；
(1)y＝－x＋1，x∈ Z ；
解：(1)定义域为 Z，所以 图像为离散的点， 如图
y
5 4 3 2 1
–3 –2 –1
1 23 4x
–1
–2
(2) y 2x2 4x 3,0 x 3;
解：定义域不是R，因此图 像不是完整的抛物线， 而是抛物线的一部分， –3 –2 –1 如图
(3)已知一次函数 y＝f(x)满足 f(f(x)) ＝9x＋4，求函数 f(x)的解析式；
解：（待定系数法） 设 f(x)＝kx＋b (k≠0)， (或叫消元法) 则，f(f(x))＝k[f(x)]＋b
＝k 2 x＋kb＋b＝9x＋4，
∴
k k
2
b
9 b
4
解的：bk
13或bk
3 2
∴
f (x) 3x 1 f (x) 3x 2
解： 法一:(配凑法) ∵ f (x 1) x2 (x 1)2 2(x 1) 1 ∴ f (x) x2 2x 1
法二:(换元法) 设 x－1＝t ，则 x＝t＋1，
∴ f (t) (t 1)2
∴ f (x) x2 2x 1
练：已知函数 f (x 1) x2 2x, 求 f (x) 的解析式
练：已知二次函数 f (x)满足 f (0) 1, f (1) 2, f (2) 5, 求f (x)的解析式。
(4)已知 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求f(x)，
解：（解方程组法）由题意得
2 f (x) f (x) 3x 2
2 f (x) f (x) 3(x) 2
把 f(x)和f(－x)看成未知数，×2-
高中数学 第一章 集合与函数概念 12 函数及其表示 121 函数的概念学案(含解析)新人教版必修1
§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点).知识点1 函数的概念(1)函数的概念概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值X围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )提示(1)×函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1；(2)×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应；(3)×在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.知识点2 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间 (a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )【预习评价】已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________. 解析 ∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞). 答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)题型一 函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1；②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .(1)解析 任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系. 答案 D(2)解 ①是实数集R 上的一个函数.它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任意x ∈R ，3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应. 同理，②也是实数集R 上的一个函数. ③不是实数集R x ＝0时，1x的值不存在.④不是实数集R x <0时，x 的值不存在.(1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练1】 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )解析 ①错，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性.④错，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性. 答案 B题型二 相等函数【例2】(1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x；③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否相等，并说明理由. (1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；②f (x )与g (x )的解析式不同，不是相等函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的解析式不同，不是相等函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；⑤f (t )与g (x )的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数. 答案 ⑤y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数. 规律方法 判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】 判断以下各组函数是否表示相等函数： (1)f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.(2)f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.解 (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示相等函数. 题型三 求函数值【例3】 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法 求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义. 【训练3】 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f (f (1)). 解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34. (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.【例4－1】 求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}.(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}. 规律方法 求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全.(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式. 方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 解 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞).(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞).【例4－3】 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1，2]”是指谁的取值X 围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？解 这里的“[1，2]”是自变量xx ∈[1，2]，所以x ＋1∈[2，3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是[2，3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2，3].【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.解 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，即x ∈[－2，3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的X 围与函数y ＝f (x )中x 的X 围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2，3]，所以2x －3∈[－7，3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7，3]. 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9，1]. 规律方法 两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值X 围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )解析 根据函数的定义，对定义域中任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都存在一对多，只有C 满足函数的定义.故选C. 答案 C2.下列各组函数中表示相等函数的是( ) A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *)D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)解析 选项A ，B ，C 中两个函数的定义域均不相同，故选D. 答案 Df (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.解析 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5.∴函数f (x )的定义域是[4，5)∪(5，＋∞). 答案 [4，5)∪(5，＋∞)f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.解析 由题意知0<x －1<2，解得1<x <3，故f (x －1)的定义域为(1，3). 答案 (1，3)f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2或x ＝－3.课堂小结1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2.f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与xff (x )表示外，还可用g (x )，F (x )等表示.基础过关1.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2B.y ＝x 2C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0－x ，x <0D.y ＝3x 3解析 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.答案 D2.下列四个图象中，是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④解析 由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象. 答案 By ＝1－x ＋x 的定义域为( )A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.答案 Df (x )＝2x －1，g (x )＝x 2，则g (f (2)－1)＝________.解析 f (2)－1＝2×2－1－1＝2，所以g (f (2)－1)＝g (2)＝22＝4. 答案 45.用区间表示下列集合： (1){x |－12≤x <5}＝________；(2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析 (1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5. (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2，3]f (x )＝x ＋5＋1x －2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值. 解 (1)使根式x ＋5有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥－5}，使分式1x －2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－5}∩{x |x ≠2}＝{x |x ≥－5且x ≠2}. (2)f (－4)＝－4＋5＋1－4－2＝1－16＝56. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋5＋123－2＝173－34＝513－34.f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值.(1)解 ∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. 能力提升f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )A.1B.0解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f (f (－1))＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去). 答案 Af (x )＝x －4mx 2＋4x ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( )A.(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，43 解析 (1)当m ＝0时，分母为4x ＋3，此时定义域不为R ，故m ＝0不符合题意.(2)当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16－4×3m <0，解得m >43. 由(1)(2)知，实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 Cf (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________. 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.从而0<x <2， 于是函数g (x )的定义域为(0，2).答案 (0，2)f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，则f (175)＝________.解析 ∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把x ＝5，y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .答案 2m ＋n数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）0x ＋2； (2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 解 (1)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝（x ＋1）0x ＋2的定义域为{x |x >－2，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2，且x ≠0. 13.(选做题)已知甲地到乙地的高速公路长1 500 km ，现有一辆汽车以100 km/h 的速度从甲地驶往乙地，写出汽车离开甲地的距离s (单位：km)与时间t (单位：h)的函数解析式，并求出函数的定义域.解 ∵汽车在甲、乙两地之间匀速行驶，∴s ＝100 t .∵汽车行驶速度为100 km/h ，两地之间的距离为1 500 km ，∴从甲地到乙地所用时间为15小时.∴所求函数解析式为s ＝100t ，0≤t ≤15.。
高中数学 1.2函数及其表示1.2.2第9课时函数的表示法
的值为( B )
A．1
B．－1
C．1或－1 D．1或－2
解析：因为g(x)＝
1 4
(x2＋3)，所以g(f(x))＝
1 4
[(2x＋a)2＋3]＝
1 4
(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故选B.
二、填空题(每小题5分，共15分) 9．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点O，A，B，C的坐
——基础巩固—— 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则该一次函数的解 析式为( D ) A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1 解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有ab＋ ＝b1＝ ，0， 所以a＝－1，b＝1，即f(x)＝－x＋1.
7．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝
( A) A．x＋1
B．x－1
C．2x＋1 D．3x＋3
解析：因为3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，所以3f(－x)－2f(x)＝－5x ＋1，解得f(x)＝x＋1.
8．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝
1 4
(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0) C．y＝5x0(x>0) D．y＝10x0(x>0)
解析：依题意，得100＝
x＋3x 2
·y，即y＝
50 x
.又x>0，则所求函
数解析式为y＝5x0(x>0)．故选C.
5．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了a km，到达 目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了b km(b<a)，再 折回匀速前进c km，则此人距起点的距离s与时间t的关系示意图 正确的是( C )
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一、请完成下列问题：
1、下列图象中表示函数y f ( x) 关系的关系的是（）
y y y y x ③ x
O
x
O ②xΒιβλιοθήκη OO ④①
A.① B. ①③
C. ①②④ D. ③④
设A，B是非空的数集, 如果按照某种确定的对应关系f , 使对于A中的任意一个数x, 在集合B中都有惟一确定的
④y=x其中表示同一个函数的是（ A. ①②③ B. ①② C. ③④
） D. ①②④
函数三要素: 定义域、对应关系、值域
判定两个函数是否相同的依据:
定义域和对应关系是否完全一致
3.已知函数f(x),g(x)分别由下 表给出:
x f(x) 1 1 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1
数 f (x) 与之对应, 那么就称f：A→B为从集合A到集合
B的一个函数（function）.
记作: y= f (x) x∈A.
x叫做自变量, 与x的值相对应的y值叫做函数值, x的取值范围A叫做定义域, 函数值的集合C={f(x) x∈A}叫做值域.
值域集合C是集合B的子集
2 x 2 2.有下列函数,① y x ; ② y | x | ; ③y | x|
1 (1)求 f (2), f ( ) 的值; 2
(2)若f(a)=3,求a的值.
1 例1已知函数f ( x) x 4 2 , x 3x 2 (1)求函数的定义域 (2)作出函数y f ( x)(x (4 , 1)且x Z )的图象， 并求出它值域 .
小结：1、确定函数哪几方面，才能确定函数？ 2、求函数定义域的注意方面。 3、作图的步骤。
例2： 已知f ( x)关系式如下表
x f ( x) 1 x 0 1 0 2 0 x 1 3 1 4
则函数f ( x)的定义域为
引申：作出上述函数的图象。
， 值域为
。
例3：根据图象求出函数定义域，值域，和解析式。 小结：观察函数的图象 应注意什么？
范例分析
x 2 ( x 1) 2 (1 x 2) 例1 已知函数 f ( x) x 2 x ( x 2)
求满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值.
函数的表示方法
解析法 图像法 列表法 简明全面,任意代求. 形象直观,便于研究. 不需计算,直接取值.
4.已知集合A={a,b},B={0,1},试问从A到B的 所有映射有 几个？并表示出来。
1 例1已知函数f ( x) x 4 2 , x 3x 2 (1)求函数的定义域 (2)作出函数y f ( x)(x (4 , 1)且x Z )的图象， 并求出它值域 .