利用椭圆的对称性解题

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巧用椭圆的对称性解题

巧用椭圆的对称性解题作者：卜以军来源：《高中生·高考指导》2015年第12期一、求弦长例1 已知直线y =3x+2 被椭圆+=1（a>b>0）截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8 的有______（填上直线的序号）.①y =3x-2；②y =3x+1；③y =-3x-2；④y =-3x+2；⑤y =-3x.分析若用弦长公式解决这个问题，则没有认清问题的本质，费时费力.利用椭圆的对称性就可以轻松求解.解作出椭圆和有关直线（图略）.由于椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称，直线①③④与直线y =3x+2是关于坐标轴或原点对称，所以直线①③④与直线y =3x+2被椭圆截得的弦长相等.又由图知，直线②⑤被椭圆截得的弦长都大于8.故应选①③④.二、求最值例2 过原点的直线与椭圆+ y2=1交于A，B两点，F 是椭圆的右焦点，求△ABF 面积的最大值.分析由椭圆的对称性，可知A，B 两点关于原点对称.解如图1，由椭圆的对称性知，A，B 两点关于原点对称，所以|OA|= |OB|，S△AOF=S△BOF .由于焦点F 的坐标为（，0），点A到x轴距离的最大值为1，所以S△ABF=2S△AOF =2××|yA|≤.所以，△ABF 面积的最大值为.三、解答直线过定点问题例3 M，N是椭圆+ y2=1上不同的两个动点，P 是椭圆上不同于M，N 的一个动点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为-，求证：直线MN 必过定点.分析可以在椭圆上先取一些关于坐标轴对称的特殊点进行观察、分析，初步确定定点的位置后，再进行一般性论证.取M为椭圆的上顶点（0，1），P为左顶点（-2，0），则直线PM的斜率为.由椭圆的对称性知，若取N 为椭圆的下顶点（0，-1），则此时直线PN的斜率为 -.直线PM与直线PN的斜率之积为-，从而所求的定点应该在y 轴上.再取M为椭圆的左顶点（-2，0），N为右顶点（2，0），P为上顶点（0，1），也满足条件，则所求的定点应该在x 轴上.综上可知，所求定点必为原点.证明设点M，N，P的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x0，y0），可得+y21=1，+ y22=1，+ y20=1，且kPM·kPN =·=-.又·=== -，所以=对椭圆上任意满足条件的点P（ x0，y0）都成立，可得x2=-x1，y2=-y1.所以，点M与点N关于原点对称，即直线MN 必过原点.例4 如图2，已知椭圆的焦点是F1（-4，0），F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F1B +F2B=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1），C（x2，y2）满足条件：|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列.（1）求该椭圆的方程.（2）求证：线段AC的垂直平分线过定点.分析对于本题的第（2）问，不难求得x1+x2=8，在x轴上方取满足条件的两点A和C，再在x轴下方取A′和C′，使A′和C′分别与A和C关于x轴对称，则A′点与C′点的横坐标之和也为8.由于椭圆关于x 轴对称，线段AC的垂直平分线与线段A′C′的垂直平分线也关于x轴对称，所以线段AC的垂直平分线必过x轴上的一个定点.（1）解：椭圆的方程为+ =1.（解答过程省略）（2）证明：由（1）可知e=，右准线为l：x=，点B的横坐标为4.设点A，C在l上的射影分别为M，N，则=，所以|AF2|=|AM|=（-x1）=5- x1.同理，|BF2|= 5-× 4，|CF2|=5-x2.由|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列，可知2|F2B|= |F2A|+|F2C|，即2（ 5-× 4）=（5- x1）+（5-x2），解得x1 + x2 =8.所以，线段AC 的垂直平分线的方程为y -=-（x-4）.令y =0 ，得x= 4+= 4-（x1+x2）= 4-× 8=.所以，线段AC 的垂直平分线过定点（，0）.四、解决与焦半径有关的问题例5 如图3，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0）.已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程.（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，若|AF1|-|BF2|=，求直线AF1的斜率.分析对于本题的第（2）问，可以先求出A，B两点的坐标，再求出AF1和BF2的长度，然后由已知条件求出直线AF1的斜率，但是这种方法非常繁琐.若延长AF1交椭圆于点C，则由椭圆的对称性可知，线段CF1和线段BF2的长度相等，从而可将线段BF2对称地转移到线段CF1，使原本陌生的问题转化为熟悉的椭圆焦点弦问题.这是运用转化与化归的数学思想解决问题的一个典型案例.解（1）椭圆的方程为+ y2=1.（解答过程省略）（2）由（1）可知，F1，F2的坐标分别为（-1，0），（1，0），e=.延长AF1交椭圆于点C，由AF1∥BF2及椭圆的对称性，可知 B，C 关于原点对称，可得|BF2|= |CF1|.设点A的坐标为（x1，y1），点C的坐标为（x2，y2），其中y1>0，y2由已知条件，可知AF1>BF2，从而AF1不垂直于x轴.设AC：y =k（x+1）（k>0），将其代入椭圆的方程中，得x2+2k2（x+1）2=2，即（1+2k2）x2+4k2x +2（k2-1）=0.于是可知x1+x2=-，x1x2=.由|AF1|-|BF2|=（+x1）-（+x2）=（x1-x2）=，可知x1-x2=，则（x1+x2）2-4x1x2=3，即-=3，解得k2=.由k>0，可知k=.故AF1的斜率为.（责任编校？筑冯琪）。

圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率

圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率在圆锥曲线解题中，对称性是一种常用的技巧，可以用来简化计算和证明过程，提高解题效率。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都具有不同的对称性质，可以通过利用这些对称性质来解题。

1. 椭圆的对称性利用椭圆是一种闭合曲线，具有中心对称性质。

利用椭圆的对称性，可以简化计算和证明过程。

例如，在求解椭圆的焦点坐标时，可以利用对称性质来减少计算量。

假设椭圆的中心为原点，主轴在x轴上，次轴在y轴上。

设椭圆上一点的坐标为(x, y)，则椭圆上对称的另一点的坐标为(-x, -y)。

通过利用对称性，可以避免重复计算，简化求解过程。

2. 双曲线的对称性利用双曲线是一种开口曲线，具有轴对称性质。

在利用双曲线的对称性解题时，可以根据曲线的性质进行推导。

例如，在求解双曲线的渐近线方程时，可以利用双曲线的轴对称性质来简化证明过程。

双曲线的轴对称性可以使得我们只需要证明其中一条渐近线的方程，然后通过对称性得到另一条渐近线的方程。

3. 抛物线的对称性利用抛物线是一种开口方向确定的曲线，具有顶点对称性质。

在利用抛物线的对称性解题时，可以利用顶点对称性来简化计算和证明过程。

例如，在求解抛物线的焦点坐标时，可以利用抛物线的顶点对称性质简化计算，将问题转化为求解顶点的坐标。

通过利用对称性，可以减少计算量，提高解题效率。

综上所述，对称性是解决圆锥曲线问题的重要技巧之一。

通过利用椭圆的中心对称性、双曲线的轴对称性和抛物线的顶点对称性，可以简化计算和证明过程，提高解题效率。

在解题过程中，我们应当充分利用圆锥曲线的对称性质，并善于将问题转化为利用对称性质求解对应的简化问题，从而更加高效地解决圆锥曲线问题。

数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)_知识点总结

数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）_知识点总结
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。

椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。

2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。

3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。

4、焦距：。

5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。

利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。

椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。

(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围．。

优化椭圆运算的十种方法与技巧

优化椭圆运算的十种方法与技巧
1.用椭圆方程y^2=4ax或x^2=4ay来表示椭圆，这样可以减少计算量。

2.使用极坐标系来表示椭圆，这样可以使用极角来计算椭圆上的点。

3.使用参数方程来表示椭圆，即x=acos(t)，y=bsin(t)，这样可以使用参数t来计算椭圆上的点。

4.使用椭圆的对称性来减少计算量，比如对称轴、中心对称、旋转对称等。

5.利用椭圆的性质，比如对称轴的长度是相等的、离心率的平方等于1、椭圆的周长可以用椭圆积分公式计算等。

6.利用椭圆的性质，比如椭圆的纵横比、长短轴、极点等。

7.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中一个象限的点。

8.利用椭圆的性质，比如椭圆的长短轴、焦点、极角等。

9.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中两个象限的点。

10.使用计算机软件来进行椭圆运算，这样可以大大减少人工计算的错误率。

此外，还有一些常用的椭圆运算方法和技巧，如使用椭圆变换、使用椭圆矩阵运算、使用椭圆积分公式、使用椭圆曲线密码等。

这些方法和技巧可以帮助我们更快捷、更精确地进行椭圆运算。

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椭圆常见题型与典型方法归纳

椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。

另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。

这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。

需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。

椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。

这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。

需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。

如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。

如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。

在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。

例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。

又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。

椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。

椭圆的顶点分别为(a,0)。

(-a,0)。

(0,b)。

(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。

椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。

椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。

椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。

2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。

椭圆经典解题思路

椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ．又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．（2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积．解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ．故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：()2222212221=+++y y x x ， ⑦，将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ，即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ．点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ．例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．例11 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例12 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα．因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =．因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系，从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程，化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ，从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．23说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122y x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。

课后巩固作业(二十) 4.3.1

课后巩固作业（二十）(30分钟 50分)一、选择题(每题4分，共16分)1.(2011·湖南高考)由直线x ,x 33ππ=-=,y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( )(A)12(B)1 (C)22.求由y=e x ,x=2,y=1围成的曲边图形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )(A)［0,e 2］ (B)［0,2］ (C)［1,2］ (D)［0,1］ 3.由曲线y=x 2,y=x 3围成的封闭图形面积为( ) (A)112(B)14 (C)13 (D)7124.若两曲线y=x 2与y=cx 3(c>0)围成图形的面积是23，则c 等于( ) (A)13 (B)12 (C)1 (D)23二、填空题(每题4分，共8分)5.(2011·郑州高二检测)由曲线y=x 2与直线y=2x 所围成的平面图形的面积为________.6.椭圆22x y 143+=的面积为________.三、解答题(每题8分，共16分) 7.求由抛物线y=-x 2+4x-3及其在点 M(0,-3)和点N(3，0)处两条切线所围成的图形的面积.8.如图，直线y=kx 分抛物线y=x-x 2 与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值. 【挑战能力】(10分)在曲线y=x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.试求切点A 的坐标以及切线方程. 答案解析1.【解析】选D.根据定积分的几何意义知，所求图形的面积是3333cosxdx sinx |ππππ--⎰==2.【解析】选B.如图，作出y=e x ,x=2,y=1 三个函数的图像，由三者围成的曲边图形如图阴影部分，若选择x 为积分变量，则积分区间应为［0，2］，故选B.3.【解析】选A.由题意知()1233410011111S x x dx x x |343412⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭. 4.独具【解题提示】解答本题可先用定积分表示两曲线所围成的面积,然后根据题意列出关于c 的方程,解出c 即可.【解析】选B.23y x1,x 0x (c 0).c y cx⎧=⎪==⎨=⎪⎩由得或＞则围成图形的面积()123c 02S x cx dx ,31c .2=⎰-==可求得5.【解析】解方程组12212y 2x,x 0,x 2,,y 0,y 4.y x ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩得 ∴曲线y=x 2与直线y=2x 的交点为(2，4)，(0，0).()2223200184S 2x x dx x x |40.333⎛⎫⎛⎫∴=⎰-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：436.独具【解题提示】作出图形.利用椭圆的对称性及定积分的几何意义可解.【解析】由22x y 1y 43+==得又由椭圆的对称性得椭圆的面积220S 4=⎰= 由定积分的几何意义得2014,4S .⎰=⨯⨯π=π∴=答案：独具【方法技巧】椭圆的面积公式设椭圆方程为()222222222222x y x b 1(a b 0),y b (1)a x a b a a+==-=-＞＞则由椭圆的对称性得椭圆的面积为：a aaa 2b S 2a--=⎰=⎰a 2a22222,a 22b S a ab a 2x y 1(a b 0)ab ,a b-π⎰=π∴==π+=π 由定积分的几何意义得即椭圆＞＞的面积为利用公式得本题椭圆的面积为2=. 7.【解析】由y=-x 2+4x-3，得y ′=-2x+4,∴当x=0时，y ′=4,过M 点的切线方程为y=4x-3; 当x=3时，y ′=-2,过N 点的切线方程为y=-2x+6. 又可求得两切线交点的横坐标为3x 2=,()()()()32203232S 4x 3x 4x 3dx 92x 6x 4x 3dx .4=⎰---+-+⎰-+--+-=故所求面积［］［］8.【解析】抛物线y=x-x 2与x 轴两交点横坐标x 1=0,x 2=1,所以，抛物线与x 轴所围图形的面积()2312100x x 111S x x dx |.23236⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭2y kx,,y x x=⎧⎨=-⎩由得x 2+(k-1)x=0,所以抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的图像的两交点的横坐标为x 1′=0，x 2′=1-k,()()()31k 221k 0033S 1k x x x kx dx x |22311k .611S ,1k .62k 11--⎛⎫-=⎰--=- ⎪⎝⎭=-=-==-=-所以又所以于是【挑战能力】独具【解题提示】先设出切点坐标，求出切线方程，再利用定积分求所围图形的面积，列式求出参数. 【解析】由题意可设切点A 的坐标为()200x ,x ，则切线方程为()200y x 2x x x -=-,即 200y 2x x x =-,可得切线与x 轴的交点坐标为0x ,02⎛⎫⎪⎝⎭.画出草图，得曲线y=x 2，直线200y 2x x x =-与x 轴所围图形如图中阴影所示，故()()0000000000x x x 2222120x x 0022x 3x x 332220x 00x 22S S S x dx x dx 2x x x dx x 111x x x x x x ,331212=+=⎰+⎰-⎰-=+--==［］解得x 0=1,所以切点坐标为A(1，1)，所求切线方程为y=2x-1.。

椭圆中三角形

椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。

分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。

点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。

二利用基本不等式或参数方程例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。

解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知，点B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则120420=+y x ，即442020=+y x 。

椭圆的标准方程的推导方法

椭圆的标准方程的推导方法
1.回顾坐标法推导动点轨迹方程的步骤：建系设点，写出几何约束条件，坐标化，化简，证明等价性。

2.推导焦点在轴上的椭圆的标准方程：
①建系设点：利用椭圆的对称性特征，以直线距离之和为轴，以线段为动点。

②几何约束条件：垂直平分线为轴，设焦距为2c，建立平面直角坐标系，任意一点为(x,y)。

③坐标化：移项后两次平方法，得到方程。

④化简：引导学生思考如何去根号分析的几何含义，得到焦点在轴上的椭圆的标准方程。

另外，还可以用等差数列法或三角换元法化简。

3.化归思想：借助图1和图2的联系，将焦点在轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在轴上的椭圆的标准方程，只需将图1沿直线翻折或绕着原点按逆时针方向旋转轴、轴或轴、轴。

4.异同点分析：焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程都是二元二次方程，共同形式为。

区别在于项分母的大小，判断焦点在哪个轴上只需比较与项分母的大小即可。

若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上。

数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)

数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。

椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。

2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。

3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。

4、焦距：。

5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b 就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。

椭圆经典八道例题

椭圆经典例题例题精讲【例题1】设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|P F 1|：|P F 2|＝4：3，求∆P F 1F 2的面积．【解题思路】：由椭圆方程可求出2a 与2c ，且由|P F 1|：|P F 2|＝4：3知可求出|P F 1|，|P F 2|的长度，从而可求三角形的面积．【解法与答案】：由于|P F 1|＋|P F 2|＝7，且|P F 1|：|P F 2|＝4：3，得|P F 1|＝4，|P F 2|＝3，又| F 1F 2|＝2c ＝564492=-，显然|P F 1|2 ＋|P F 2|2＝| F 1F 2|2，所以∆P F 1F 2是以P F 1，P F 2为直角边的直角三角形，从而∆P F 1F 2的面积为S ＝⨯21|P F 1|⨯|P F 2|＝⨯214⨯3＝6．【解析】：本题运用了椭圆的定义来解题．椭圆定义是用椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和来描述的，定义中|P F 1|＋|P F 2|＝2a ＞| F 1F 2|．定义能够对一些距离进行相关的转化，简化解题过程．因此在解题过程中，遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够用椭圆的定义来解决．【例题2】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过点P 作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．【解题思路】：由题设条件设出椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键．因椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上，故应有两种情况．【解法与答案】：设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，|P F 1|=354，|P F 2|=352 由椭圆的定义知2a =|P F 1|+|P F 2|=52，即5=a ，由|P F 1|＞|P F 2|知P F 2垂直于长轴．所以在12F PF Rt ∆中，4c 2=|P F 1|2 －|P F 2|2=960，所以c 2=35，于是222103b ac =-=又由于所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．【解析】：求椭圆的标准方程，需要一个定位条件和两个定形条件，通常采用待定系数法解决．椭圆中有“六点”（即两个交点与四个顶点）“两线”（即两条对称轴），因此在解题时要注意它们对椭圆方程的影响，如在求椭圆的标准方程时，当遇到焦点位置不确定时，应注意有两种结果．【例题3】【题目】：如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则12PF P F +34567PF P F P F P F P F +++++= ．【解题思路】：认真研究图形的特征，把椭圆的长轴AB 分成8等份，椭圆具有对称性，因此可利用椭圆的定义及图形的对称性求解．【解法与答案】：设2,F F 分别是椭圆的左、右焦点，由椭圆图形的对称性，得1271272PF P F P F PF P F ++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+，根据椭圆第一定义，得:127...PF P F P F +++[]272171 (2)1F P F P F P F P +++++=3572721==⨯⨯=a a ．【解析】：巧妙利用了椭圆的对称性和第一定义，进行整体突破．【例题4】椭圆14922=+y x 的焦点为1F ，2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是．【解题思路】：欲求点P 横坐标0x 的取值范围，需要建立关于0x 的不等式．【解法与答案】：（与向量知识结合）因为21PF F ∠为钝角，所以120PF PF ⋅<．设00(,)P x y ，由分析可知，100(5,)PF x y =---，200(5,)PF x y =--，所以 0000(5,).(5,)x y x y -----052020<-+=y x ， ①又00(,)P x y 在椭圆上，所以 2200194x y +=，②①、②两式联立，消去0y ，即得 0353555x -<<．【解析】：本题考查椭圆的定义及向量、不等式等知识综合，因此应注意提高综合解决问题的能力．【例题5】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ，若直线2y x =与椭圆一个交点P 的横坐标恰好为c ，则椭圆的离心率为（）A222-． B ．2212- C ．21- D ．31-【解题思路】：求离心率关键是根据已知条件得到a 、b 、c 的等量关系．若能充分利用图形的几何特征及曲线的定义，可简化运算过程达到求解的目的．【解法与答案】：解法1：由题知点(,2)P c c ，因为点P 在椭圆 22221x y a b +=上，所以 222241c c a b+=，化简得 2222224b c a c a b +=，又因为 222b a c =-，所以 22222222()4()a c c a c a a c -+=-，化简得 422460c a c a -+=，同除以4a 得 42610e e -+=，解得 22322(21)e =±=±，因为 01e <<，所以 21e =-，故选C ．解法2：由题知点P 在椭圆上且横坐标为c ，纵坐标为正数，所以点P 的坐标为2(,)b c a，又因为点P 在直线2y x =上，所以22b c a =，即22b ac =，又因为 222b a c =-，所以 2220c ac a +-=，同除以2a 得 2210e e +-=，解得 12e =-±，因为 01e <<，所以 21e =-，故选C ．解法3：由题意可知点P 坐标为(,2)c c ，即2||2PF c =．所以12PF F ∆为等腰直角三角形，所以1||22PF c=．由椭圆定义 12||||2PF PF a +=，即 2222c c a +=，所以12121c e a ===-+，故选C ．【解析】：本题三种解法各有特点，解法2、解法3充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解法更简捷，因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识．【例题6】【题目】：如图，已知圆O 方程为10022=+y x ，点A 的坐标为），（06-，M 为圆O 上任意一点，线段AM 的垂直平分线交OM 于点P ，则点P 的轨迹方程为（）A ．2212516x y +=B ．22(3)12516x y ++=C ．2212516x y -=D ．22(3)12516x y +-=【解法与答案】：由于PO PA +PO PM +=106=>，所以，点P 的轨迹是以O A 、为焦点、以10为长轴长的椭圆．因此选B ．【解析】：应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等烦琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感．定义法是解析几何中求动点轨迹及其方程的重要方法之一．【例题7】已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（1）设P 点的坐标为00(,)x y ，证明：2200132x y +<；（2）求四边形ABCD 的面积的最小值．【解题思路】：因为AC BD ⊥于点P ，又1F 、2F 是两个定点，所以，点P 在以线段12F F 为直径的圆上，即P 点的坐标为00(,)x y 满足22001x y +=，这样问题就转化为在此代数条件下求代数式220032x y +的取值范围的问题了．方法显然不唯一．由条件知ABCD 是对角线互相垂直的四边形，那么，这样的四边形的面积怎样计算呢？由平面几何易知，1||||2ABCD S AC BD =⋅⋅．这就将问题转化为求椭圆的弦长问题了，显然||AC ，||BD 的长由它们的斜率决定，这已是常规的解析几何问题了．【解法与答案】：（1）方法1：椭圆的半焦距321c =-=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y +≤+=<．方法2：由方法1知，22001x y +=，即22001y x =-，所以 222220000011113232262x y x x x -+=+=-≤<．（2）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得 2222(32)6360k x k x k +++-=．显然0∆>．设11()B x y ，，22()D x y ，，则 2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+．2222212122212243(1)()()(1)[()4]32k BD x x y y k x x x x k +=-+-=+⋅+-=+；又由于直线AC 与BD 过同一点P ，且相互垂直，同理可得，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+．四边形ABCD 的面积为111||||||||222ABC ADC S S S AC BP AC DP BD AC ∆∆=+=⋅+⋅=⋅⋅ 222224(1)(32)(23)k k k +=++22222(1)9625(32)(23)2k k k 24+≥=⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．【解析】：第一问实际上是证明点P 在椭圆的内部，这只需利用不等式进行放缩即得到结论，或者，由点P 满足的关系，消去变量0y ，得到关于0x 的函数，求其取值范围即可；第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题，这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的具体体现．【例题8】椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点是(1,0)F ，O 为坐标原点．（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点．若直线l 绕点F 任意转动，恒有222OA OB AB +<，求a 的取值范围．【解题思路】：将几何条件“椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形”转化为代数等式，解之即得3b ＝，继而由椭圆参数之间的关系便可求出a ；对于第（2）问，容易知道，当三点,,A O B 不共线时，222OA OB AB +<⇔cos 0AOB <⇔0OA OB ⋅<⇔12120x x y y +<（设1122(,),(,)A x y B x y ）．由此可得关于,a b 的不等式，再由221b a =-消去b ，就得到关于a 的不等式，解之即可．【解法与答案】：(1)设,M N 为短轴的两个三等分点，因为MNF ∆为正三角形，所以32OF MN =，32123b=⋅，解得3b ＝． 2214,a b =+=因此，椭圆方程为22143x y +=．(2) 设1122(,),(,)A x y B x y ． (ⅰ)当直线AB 与x 重合时，2222222,4(1)OA OB a AB a a +==>，因此，恒有222OA OB AB +<．(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为1()x my m =+∈R ，代入22221x y a b+=，整理得 22222222()20a b m y b my b a b +++-=，所以 2122222b m y y a b m+=-+，22212222b a b y y a b m -=+．因为恒有 222OA OB AB +<，所以AOB ∠恒为钝角．即 11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+<恒成立．2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++222222222222(1)()21m b a b b m a b m a b m +-=-+++22222222220m a b b a b a a b m-+-+=<+．又 2220a b m +>，所以 22222220m a b b a b a -+-+<对m ∈R 恒成立，即 2222222m a b a b a b >+-对m ∈R 恒成立，当m ∈R 时，222m a b 最小值为0，所以 22220a b a b +-<， 2224(1)a b a b <-=，因为 0,0a b >>∵，221a b a <=-∴，即210a a -->，解得152a +>或152a -<(舍去)，即152a +>，综合（i ）(ii)，a 的取值范围为15(,)2++∞．【解析】：主要考查直线、椭圆和不等式等基本知识，侧重考查椭圆与不等式交汇问题，是对多个知识点的综合考查．本题的亮点在第2问，实质是探究“椭圆中心恒在以焦点弦为直径的圆内”的充分必要条件．当三点,,A O B 不共线时，222OA OB AB +<⇔cos 0AOB <12120x x y y ⇔+<．为了得到1212x x y y +，需要将过点F 的直线l 与椭圆的方程联立，通过消元，得到一个一元二次方程，再利用韦达定理整体变形，得到1212x x y y +用m 表示解析式，应用不等式性质使问题获得解决．如果选择“点斜式”的方法给出直线l 的方程，则需要按直线l 与x 轴是否垂直分类讨论．。

高二数学椭圆试题答案及解析

高二数学椭圆试题答案及解析1.设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列．(1)求； (2)若直线的斜率为1，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】本试题主要考查了椭圆的定义，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用.（1）因为椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于两点，且成等差数列，结合定义得到的值；（2）联立方程组，然后结合韦达定理，得到根与系数的关系，然后利用直线的斜率为，得到弦长公式的表达式，从而得到参数的值.试题解析：(1)由椭圆定义知，又(2)的方程为，其中.设，则两点坐标满足方程组,消去得则，，因为直线的斜率为所以，即则解得.【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的综合问题.2.若是椭圆与轴的两个交点，是该椭圆的两个焦点，则以为顶点的四边形的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】椭圆16x2+25y2=400可变为=1，故a=5，b=4，由a2=b2+c2，可解得c=3，故焦距为6，短轴长为8又以A，B，C，D为顶点的四边形是一个菱形，且两对角线CD=6，AB=8故它的面积为×6×8=24，故选D。

【考点】本题考查椭圆的几何性质。

点评：简单题，解题的关键是利用椭圆的对称性，明确以A，B，C，D为顶点的四边形是一个菱形，并根据题设条件得出a，b，c三个量之间的关系，由此关系求出椭圆的焦距与短轴的长度。

3.椭圆（）的左右顶点分别为、，左右焦点分别为、，若，,成等差数列，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】易知=a-c，="2c," =a+c,又因为，,成等差数列，所以4c=a-c+a+c,即a=2c，所以e=.【考点】离心率的求法；等差数列的性质；椭圆的简单性质。

点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法：①直接利用公式；②利用变形公式：（椭圆）和（双曲线）③根据条件列出关于a、b、c的关系式，两边同除以a,利用方程的思想，解出。

圆锥曲线解题技巧利用对称性简化计算

圆锥曲线解题技巧利用对称性简化计算圆锥曲线是高中数学中一个重要的内容，涉及到的知识点较多，计算过程也较为繁琐。

然而，通过利用对称性，我们可以简化计算过程，提高解题效率。

本文将介绍圆锥曲线解题技巧，并探讨如何充分利用对称性简化计算。

1. 椭圆的对称性椭圆具有两个对称轴：长轴和短轴。

当我们解题时，可以首先观察椭圆图像，判断出椭圆的长轴和短轴的位置。

利用椭圆的对称性，我们可以将椭圆坐标系沿着对称轴进行平移、旋转，从而简化计算。

举例说明：设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为长轴的长度，$b$为短轴的长度。

如果我们需要求椭圆上某一点的坐标$(x_0,y_0)$，可以观察椭圆的对称性，将该点的坐标$(x_0,y_0)$变换为$(x_0,-y_0)$或$(-x_0,y_0)$的坐标。

由于椭圆的性质，在这两种情况下，点$(x_0,y_0)$仍然位于椭圆上。

因此，我们可以根据对称性进行计算，减少计算量。

2. 双曲线的对称性双曲线也具有对称性，分为两种：关于$x$轴对称和关于$y$轴对称。

我们可以利用双曲线的对称性，简化计算过程。

举例说明：设双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为双曲线的参数。

如果我们需要求双曲线上某一点的坐标$(x_0,y_0)$，可以观察双曲线的对称性，将该点的坐标$(x_0,y_0)$变换为$(x_0,-y_0)$或$(-x_0,y_0)$的坐标。

同样地，由于双曲线的性质，在这两种情况下，点$(x_0,y_0)$仍然位于双曲线上。

因此，我们可以利用对称性进行计算，简化求解过程。

3. 抛物线的对称性抛物线具有关于$y$轴对称或关于$x$轴对称的特点。

我们可以通过观察抛物线的对称性，简化计算过程。

举例说明：设抛物线的标准方程为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为抛物线的参数。

312 椭圆的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

3.1.2椭圆的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一椭圆的范围以椭圆22221(0)x y a b a b +=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||x a y b ≤≤．这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内（如图2．2-8）．拓展（1）确定了曲线的范围后，用描点法作图时，就可以不取范围之外的点了，在解析几何中，讨论曲线的范围就是确定方程中变量的取值范围．（2）如果将椭圆的标准方程22221(0)x y a b a b+=>>变形为y =，那么这个椭圆的方程可以分成y =，y =两个函数式，研究椭圆的范围，就是讨论这两个函数的定义域和值域，这也是讨论椭圆范围的一种方法．知识点二椭圆的对称性以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．1．椭圆的对称轴：坐标轴．2．椭圆的对称中心：原点(0,0)O ，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．提示：（1）在方程22221(0)x y a b a b+=>>中，将x 换成x -，方程显然不变，这就是说椭圆上的点(,)x y 关于y 轴的对称点(,)x y -也在椭圆上，故椭圆关于y 轴对称；将方程中的y 换成y -，方程也不变，故椭圆关于x 轴对称；同理，将,x y 分别换成,x y --时，方程也不变，故椭圆关于原点对称．（2）椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及它的垂直平分线．（3）椭圆关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，原点为椭圆的中心．知识点三椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．1．椭圆的顶点令0x =，得y b =±，令0y =，得x a =±．这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 的两个交点，因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点．这四个交点叫做椭圆的顶点．2．椭圆的长轴、短轴线段12A A 叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段12B B 叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．提示明确,a b 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，由222c a b =-，得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法，只要以短轴的端点1B （或2B ）为圆心，以a 为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点．知识点四椭圆的离心率1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作22c c e a a==．2．范围：因为0a c >>，所以01ca<<，即(0,1)e ∈．拓展对椭圆离心率的理解（1）01e <<，越趋近于1，椭圆越扁；越趋近于0，椭圆越接近于圆．（2）当趋近于0时，c 趋近于0，椭圆变圆，直至成为圆，此时也可认为圆在椭圆在0e =时的特例．（3）当趋近于1时，c 趋近于a ，椭圆变扁，直至成为线段12F F ，此时也可认为12F F 为椭圆在1e =时的特例．（4）2221b e a=-．知识点五直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆的三种位置关系：（1）相交；（2）相切；（3）相离．2．直线与椭圆的位置关系的判断；直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x （或y ）的一元二次方程的判别式∆来判定；0∆>⇔直线与椭圆相交；0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆<⇔直线与椭圆相离．3．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦，若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线被椭圆所截得的弦长公式为12|||AB x x =-或12|||AB y y =-．考点一由方程求椭圆的几何性质例1．求椭圆22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．解：将椭圆的方程化为标准形式为221259x y +=，得5,3a b ==，则4c ==因此，长轴长210a =，短轴长26b =，离心率40.85c e a ===．焦点坐标为1(4,0)F -和2(4,0)F ，顶点坐标为1212(5,0),(5,0),(0,3),(0,3)A A B B --．将方程变形为55)y x =-≤≤，根据5)y x =≤≤可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(,)x y ，列表如下：x 012345y32．942．752．41．8先描点画出第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．将椭圆的方程化成标准方程易得5,3a b ==，则椭圆位于四条直线5x =±，3y =±所围成的矩形框内，又因为椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出椭圆在第一象限内的图形，就可以利用对称性画出整个椭圆．考点二由椭圆的几何性质求方程例2．已知椭圆C 以坐标轴为对轴称、长轴长是短轴长的5倍，且经过点(5,0)A ，求此椭圆的标准方程．解：方法1：若椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>由题意，得22252,2501,a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5,1.a b =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22125x y +=，若椭圆的焦点在y 轴上，设其标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，由题意，得22252,0251,a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩解得25,5.a b =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22162525y x +=．综上所述，所求椭圆的标准方程为22125x y +=或22162525y x +=．方法2：设椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠．由题意，得2501,5m n ⎧+=⎪⎨⎪=⨯⎩或2501,5m n⎧+=⎪⎨⎪=⨯⎩解得25,1m n =⎧⎨=⎩或25,625.m n =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22125x y +=或22162525y x +=．（1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常利用待定系数法．（2）根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，其一般步骤：①确定焦点所在的坐标轴；②求出22,a b 的值；③写出标准方程．考点三求椭圆的离心率例3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．分析：解答本题的关键是先由椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，列出,,a b c 的关系式，再转化成,a c 间的关系式，从而求出．解：因为椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2b a c =+，①所以224()b a c =+，即22242b a ac c =++．②又因为222a b c =+，所以22224()2a c a ac c -=++，③即225230c ac a +-=．两边同除以2a ，得25230e e +-=．④解得35e =或1e =-（舍去）．故该椭圆的离心率为35．求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地，（1）若已知,a c ，则直接代入ce a=求解；（2）若已知,a b，则由e =（3）若已知,,a b c 的关系，则可先转化为,a c 的齐次式，再转化为含的方程，求解即可．例4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点M ，使1290F MF ∠=︒（12,F F 为椭圆的两焦点），求椭圆的离心率的取值范围．解：设点M 的坐标是00(,)x y ，则220022222001,.x y a b x y c ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，得222202()a cb xc -=．因为2200x a ≤≤②所以222222222()0,().a c b c a c b a c ⎧-≥⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩①②由①，得22c b ≥，即222c a c ≥+，所以222a c ≤，所以22212c e a =≥．又因为01e <<，所以2[2e ∈，由②，得222c b c -≤，此式恒成立．综上所述，所求椭圆的离心率的取值范围是2[2．（1）解析几何中求参数的取值范围是一类常见而又较困难的题型，其基本的解题思路有：①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解．（2）本题在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围(||,||)x a y b ≤≤建立了一个关于基本量的不等式组．考点四点与椭圆的位置关系例5．直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2215x y m+=总有公共点，求m 的取值范围．解：方法1，直线1y kx =+恒过定点(0,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点(0,1)在椭圆内或椭圆上，所以20115m+≤，即1m ≥．又由于5m <，故[1,5)m ∈，方法2：由221,15y kx x y m=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(5)105(1)0m k x kx m +++-=，则2210020(1)(5)0k m m k ∆=--+≥对k R ∈恒成立，即2250mk m m +-≥对k R ∈恒成立．因为0m >，所以251k m ≥-对k R ∈恒成立，故10m -≤，即1m ≥．又因为5m <，所以[1,5)m ∈．点与椭圆的位置关系（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上2200221x y a b ⇔+=；（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外⇔2200221x y a b +>；（3）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>内2200221x y a b⇔+<．考点五直线与椭圆的位置关系例6．已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）求直线被椭圆截得的最长弦的长度．解：由方程组2241,x y y x m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理，得225210x mx m ++-=．（1）因为直线与椭圆有公共点，所以222420(1)20160m m m ∆=--=-≥．解得m ≤故实数m 的取值范围是55[]22．（2）由根与系数的关系，得1225m x x +=-，21215m x x -⋅=，则弦长12||d x x =-===故当0m =时，d．（1）利用方程讨论直线与椭圆的位置关系设直线方程为y kx m =+，椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，联立方程，得2222,1.y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，写出判别式∆，则0∆>⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；0∆=⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；0∆<⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．（2）弦长问题设直线：y kx m =+交椭圆22221(0)x y a b a b+=>>于111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，则1212||||PP x x =-=或1212||||PP y y =-=考点六椭圆中弦的中点问题例7焦点分别为和的椭圆截直线32y x =-所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．分析：设椭圆的方程→联立椭圆的方程与直线的方程→利用根与系数的关系设而不求→由中点列出方程→已知焦点→求出方程．解析：设22221(0)y x a b a b+=>>依题意，有22250a b -==．①由22221,32y x a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 并整理，得2222222(9)1240a b x b x b a b +-+-=．因为12122x x +=，所以2226192b a b =+．所以223a b =．②由①②，得275a =，225b =．经检验，此时0∆>．所以椭圆方程为2217525y x +=．弦的中点问题的解决方法关于中点的问题，我们一般可以采用两种方法解决：(1)联立方程、消元，利用根与系数进行设而不求，从而简化运算过程；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．不管应用何种方法，我们都必须要注意判别式∆的限制．考点七椭圆中的最值问题例8设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e =3(0,2P 到这个椭圆P的点的坐标．分析:本题是解析几何与代数中的最大值的综合题．解题关键是怎样运用“最远距离是”这个条件，可尝试用两点间的距离公式，转化为函数的最大值问题来解．解析:设所求椭圆方程为22221x y a b +=(a >b >0)．由c e a ==，得a =2b ．①设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则22222a y x a b =-，且2222222233()()22a d x y a y yb =+-=-+-2222913343()4342y y b y b =--++=-+++，其中b y b -≤≤．若12b <，则当y =-b 时，2d 取得最大值223()2b =+．解得3122b =>，与12b <矛盾．若12b ≥，则当12y =-时，2d 取得最大值2243b =+．②由①②，得b =1，a =2．故所求椭圆方程为2214x y +=．由12y =-，得椭圆上到点P 的点为1()2-，12-．本题是一道考查椭圆知识和函数最值的综合性问题，需要全面的掌握基础知识和基本方法，在建立二次函数求最值时，要特别注意通过椭圆的范围来确定自变量的取值范围．考点八与椭圆相关的实际问题例9在大西北的荒漠上，A ，B 两地相距2km ，正在准备在荒漠上围成一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园．按照规划，围墙总长度为8km ．(1)农艺园的最大面积能达到多少?(2)该荒漠上有一条直线型水沟刚好过点A ，且与AB 成45︒角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此该水沟可能被农艺园围住的部分暂不加固，那么暂不加固的部分有多长?分析:(1)如图2．2-12所示，求农艺园的最大面积，实际就是求平行四边形ADBC 的面积的最大值．结合图形和椭圆的几何性质，易知当点C 位于短轴端点时，ACB ∆的面积最大，即平行四边形ADBC 的面积最大；(2)实质就是求弦长．解析:(1)如图2．2-12所示，由题意，知平行四边形相邻两边长之和为4km ，另两个端点C ，D 在以A ，B 为焦点的椭圆上．以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为22143x y +=(0y ≠)．因为max ()ABC S ∆=(点C 在短轴端点)，所以农艺园的最大面积为2km ．(2)由题可知，直线型水沟的方程是y =x +1，暂时不加固的部分的长度即直线被椭圆所截得的弦长．把直线方程代入椭圆方程，得27880x x +-=．1224|7x x -=．所以暂时不加固的部分长为247km ．椭圆是天文学和日常生产、生活中常见的一个模型，因此，我们必须熟练掌握利用代数方法解决与椭圆有关的问题的技巧．。

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析1.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0【答案】B【解析】由题意知：>2，即<2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2．故选B．2.椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝()A．B．C．D．4【答案】A【解析】a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝．3.椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知△ABF为直角三角形，其中|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由勾股定理，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2即(a＋c)2＝a2＋b2＋a2＝2a2＋a2－c2，整理得c2＋ac－a2＝0，同除a2得e2＋e－1＝0，∴e＝，∵e∈(0,1)，∴e＝．4.设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上焦点是F1，过点P(3,4)和F1作直线PF1交椭圆于A，B两点，已知A(，)．(1)求椭圆E的方程；(2)设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点，求C点的坐标．【答案】（1）＋x2＝1 （2）(，－)【解析】(1)由A(，)和P(3,4)可求直线PF1的方程为y＝x＋1．令x＝0，得y＝1，即c＝1．椭圆E的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，由椭圆的定义可知．2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝2．∴a＝，b＝1，所以椭圆E的方程为＋x2＝1．(2)设与直线PF1平行的直线l：y＝x＋m．，消去y得3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝(2m)2－4×3×(m2－2)＝0，即m2＝3，∴m＝±．要使点C到直线PF1的距离最远，则直线l要在直线PF1的下方，所以m＝－．此时直线l与椭圆E的切点坐标为(，－)，故C(，－)即为所求．5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.【答案】（1）；（2），或..【解析】（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得，即可求出的方程；（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由得，因由题意知，所以，将韦达定理得到的结果代入式整理得，解得或，即可求出直线l的方程.（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得，故方程为.（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由得，又是方程的根，因此，由得因由题意知，所以，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.6.已知椭圆的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）圆上存在两个不同点，满足..【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、点到直线的距离公式、垂径定理、圆的标准方程、两个圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力，考查学生的数形结合思想.第一问，利用直线方程得到椭圆的左焦点坐标，再结合离心率，得到椭圆的标准方程；第二问，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由已知弦长为，则由垂径定理得到圆的半径，从而得到圆的标准方程，利用两点间的距离公式得到和，代入已知中，得到P点的轨迹方程为圆，利用两个圆的位置关系判断两个圆相交，所以存在点P.因为直线的方程为，令，得，即 1分∴，又∵，∴，∴椭圆的方程为. ４分（2）∵圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，∴由垂径定理得，故圆的方程为. ８分设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则，整理得，它表示圆心在，半径是的圆。

专题5：椭圆的对称性问题22页

专题5：椭圆的对称性一、单选题1．椭圆22198x y 的左右焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1F 关于P 的对称点为M ，关于2F 的对称点为N ，则1MF N ∆的周长为（） A ．8B ．10C ．16D ．222．如图，椭圆C 的方程为22143x y +=，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，点P 、Q 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且12//PF QF ，则12PF QF +的取值范围为（）.A ．[)2,4B ．[)3,4C ．[)1,4D ．()1.5,43．椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，过P 与原点o 的直线交椭圆于另一点Q ，则△1F PQ 的周长为（） A．4B ．8C ．4D ．24．已知A B 、分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点，M N 、是椭圆C 上两点关于x 轴对称，若AM BN 、的斜率之积为49，则椭圆C 的离心率是（）A ．B C D5．已知椭圆22+1169x y =及以下3个函数：①()f x x =；②()sin f x x =；③()cos f x x =，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个6．设椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，若四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，3(1,)2P -，4P 中恰有三点在椭圆Γ上，则不在Γ上的点为（）． A ．1P B ．2PC ．3PD ．4P7．设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点.设()2,0A 、()0,1B .命题甲：若AP AQ =，则P 与Q 关于x 轴对称；命题乙：若BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（） A ．甲和乙都是真命题 B ．甲是真命题，乙是假命题 C ．甲是假命题，乙是真命题D ．甲和乙都是假命题8．若点A ，B 是椭圆2214x y +=上关于原点对称的两点，F 是椭圆的右焦点，则ABF ∆面积的最大值是（） A．4B ．C D 9．已知椭圆C ：22143x y +=，其左右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一动点，则满足12F PF ∠为45︒的点P 有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个10．椭圆的离心率为2，F 为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与F 关于直线4y x =+对称，则椭圆的方程为（）A ．221189x y +=B ．221918x y +=C ．221189x y +=或221918x y +=D ．22184x y +=或22148x y +=二、填空题11．已知椭圆2212x y +=上存在相异两点关于直线y x t =+对称，请写出两个符合条件的实数t 的值______．12．如图，两个椭圆22221,1259925x y x y +=+=内部重叠区域的边界记为曲线C,P 是曲线C 上任意一点，给出下列三个判断：①P 到1212(4,0),(4,0),(0,4),(0,4)F F E E --四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线,y x y x ==-均对称； ③曲线C 所围成区域面积必小于36. 上述判断中所有正确命题的序号为_______.13．已知椭圆2214x y P +=，是椭圆的上顶点，过点P 作直线l ，交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ，则 PAB S 的最大值为________．14．如图，已知F 1,F 2分别是椭圆x 24+y 23=1的左，右焦点，A ，B ，C 是椭圆上x 轴上方的三点，且AF 1∥BO ∥CF 2（O 为坐标原点），则|AF 1+CF 2||OB |的取值范围是_______．15．已知椭圆2221x y a+=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x=-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F ∆的周长为__________． 16．椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点F （c ，0）关于直线y=x的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是____．三、双空题17．已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B两点，2F 是椭圆右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为__________，2ABF ∆的面积的最大值为__________．四、解答题18．已知椭圆22143x y +=，试确定的m 取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.19．已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A 、B 关于直线()102y mx m =+≠对称．（1）若已知10,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 为椭圆上动点，证明：MC ≤；（2）求实数m 的取值范围；（3）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点()00,P x y （00y ≠）在椭圆C 上，求证；直线2PF 与直线1PF 关于直线l ：00143x x y y+=对称.参考答案1．C【分析】根据对称关系可知2PF 为△1F MN 的中位线,再利用椭圆定义可得26,22a c ==,从而可得1MF N ∆的周长.【解析】因为1F 关于P 的对称点为M ，关于2F 的对称点为N , 所以2PF 为△1F MN 的中位线,所以11212222()2212MF MN PF PF PF PF a +=+=+=⨯=,11224F N F F c ===4=,所以1MF N ∆的周长为12+4=16. 故选:C.【点评】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题. 2．B【分析】延长射线1PF 、2QF 分别与椭圆C 相交于M 、N 两点，由椭圆的对称性，则1211=PF QF PF MF ++，若直线1PF 的斜率不存在易得；若直线1PF 的斜率存在，设直线1PF 的方程为()()10y k x k =+≠，与椭圆方程联立，利用两点间的距离公式结合韦达定理建立12PF QF +23343k =++求解. 【解析】如图，延长射线1PF 、2QF 分别与椭圆C 相交于M 、N 两点，由椭圆的对称性可知12PF NF =，12MF QF =，设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，则点Q 的坐标为()22,x y --.①若直线1PF 的斜率不存在，则点P 、Q 的坐标分别为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2⎛⎫⎪⎝⎭，有123PF QF +=②若直线1PF 的斜率存在，设直线1PF 的方程为()()10y k x k =+≠，联立方程()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 后整理为()22224384120k x k x k +++-=，有2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+，111112222PF x x ====+=+，12122MF x =+， ()()()2221212222121343314442434343k k k PF QF x x k k k ++++=++=-==+++， ()2333,443k =+∈+，则12PF QF +的取值范围为[)3,4. 故选：B【点评】本题主要考查椭圆的对称性以及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题. 3．C【解析】由椭圆对称性得21PF QF = ,因为2PF x ⊥轴，所以23,2P PF y OP =====，因此△1F PQ 的周长为11122224PF QF PQ PF PF OP a OP ++=++=+= C.4．B【分析】设出椭圆的左右顶点，以及利用椭圆的对称性设出,M N 的坐标，运用椭圆方程和直线的斜率公式，化简变形，即可求解. 【解析】,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点，()(),0,,0A a B a ∴-又,M N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，设()00,,M x y 则()00,,N x y -且2200221x y a b+=，即()2222002b y a x a =-. 故,AM BN 的斜率之积为()200012222200002222022,49b a y y y k k x a x a a x a x x b a a -=⋅===--=+-- 所以椭圆C离心率是3c e a ===故选：B【点评】本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 5．B【分析】对于①()f x x =；②()sin f x x =都是奇函数，而椭圆图像关于原点成中心对称，①②满足要求；对于③()cos f x x =是偶函数，图像关于y 轴对称，若要满足条件，当0x >时函数()cos f x x =的图像要把椭圆在y 轴右侧部分平分，分析其图像不满足要求，即可得出结论.QQ群333528558【解析】∵①()f x x =为奇函数，作出其图象，由图可知()f x x =能等分该椭圆面积；同理，②()sin f x x =为奇函数，能等分该椭圆面积；③()cos f x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，在y 轴右侧0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >， ,42x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x <，故不能等分该椭圆面积. 故选：B【点评】关键点点睛：根据椭圆的对称性，函数图象的对称性，结合数形结合的思想，判定能否平分椭圆的面积，考查了函数的奇偶性，属于中档题.6．A【分析】由3(P -，4P 关于y 轴对称，利用椭圆的对称性，椭圆必经过3P ，4P ，得到221314a b +=，再根据2222111314a b a b +>+=，得到椭圆不经过1P 的结论.【解析】因为3(1,2P -，4(1,2P 关于y 轴对称，所以椭圆经过3P ，4P ，所以221314a b+=，当2P 在椭圆上时，211b =，解得221,4b a ==，椭圆方程为：2214x y +=成立.因为2222111314a b a b +>+=，所以椭圆不经过1P ，故选：A【点评】本题主要考查椭圆的方程以及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．A【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则12x x ≠或12y y ≠，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.【解析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则2214i i x y +=，可得2244i i x y =-，()2211,24i ix y i =-=.对于命题甲：AP ==，同理可得AQ =AP AQ =，则22121233454544x x x x -+=-+，整理得()()12123160x x x x ⎡⎤-+-=⎣⎦， 122x -≤≤，222x -≤≤，所以，1244x x -≤+≤，则()123160x x +-≠，必有12x x =，所以，则P 与Q 关于x 轴对称，命题甲正确；同理可知命题乙也正确. 故选：A.【点评】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 8．D【分析】利用ABF ∆中线段OF 是定值，然后把问题转化为求A 到直线OF的距离的最大值，由椭圆性质即得．【解析】O 是坐标原点，由对称性得2ABF OFA S S ∆∆=，当A 是短轴端点时，A 到OF 的距离最大，即OFA ∆面积最大，又由题意2,1a b ==，则c =∴ABF S ∆的最大值为122cb ⨯=．故选：D ．【点评】本题考查椭圆的对称性，掌握椭圆的几何性质是解题基础． 9．D【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a 、b 的值，计算可得c 的值，设M 为椭圆的上顶点，求出M 的坐标，据此分析可得12MF F ∆中，1260F MF ∠=︒，结合椭圆的几何性质分析可得答案．【解析】解：根据题意，椭圆C ：22143x y +=中，2a =，b =则1c ==，则()11,0F -，()21,0F ，设M 为椭圆的上顶点，其坐标为(，在12MF F ∆中，122MF MF a ===，1222F F c ==，则1260F MF ∠=︒，P 为椭圆上任意一点，则121260F PF F MF ∠≤∠=︒，则满足12F PF ∠为45︒的点P 有4个，点P 可以在四个象限. 故选D ．【点评】本题考查椭圆的性质，涉及椭圆的对称性，注意分析椭圆的焦点三角形的性质，属于基础题． 10．C 【解析】由题意知ca=22222a b c ==，不妨设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆上任取点()00,P x y ，取焦点(),0F c -，则PF 中点00,22x c y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据条件可得00422y x c -=+，001PF y k x c ==-+，联立两式解得004,4x y c =-=-，代入椭圆方程解得a =3b =，由此可得椭圆的方程为221189x y +=或221189y x +=.故选C ．11．0或12（答案不唯一在33t -<<内任取两个实数）【分析】由对称性可知，线段AB 被直线y x t =+垂直平分，则AB 的中点M 在直线y x t =+上，且1AB k =-，设直线AB 的方程y x b =-+，联立直线AB 的方程和椭圆方程，由韦达定理表示中点M 的坐标，由相交于相异两点，可由判别式得到b 的取值范围，由M 在直线y x t =+上，用b 表示t ，则任取范围内两个实数即可.【解析】设2212x y +=上存在关于直线y x t =+对称的两点()()1122,,,A x y B x y由对称性可知，线段AB 被直线y x t =+垂直平分，则AB 的中点()00,M x y 在直线y x t =+上，且1AB k =- 故可设直线AB 的方程为：y x b =-+联立方程：22223422012y x b x bx b x y =-+⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩ 由韦达定理可知：()12121243223b x x b y y b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-+=⎪⎩，即中点M 的坐标为2,33b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由()221612220b b =-->，得b <因为M 在直线y x t =+上，所以2333b t t b b t =+⇒=-⇒<<任取0t =或12（答案不唯一，在33t -<<内的任意两个实数均可）【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，涉及对称性的性质，属于难题. 12．②③【分析】当P 在221259x y +=上时，12PE PE +不为定值，①错误；根据对称性得到②正确；图形在边长为6的正方形内部，③正确，得到答案.【解析】①不考虑交点的情况，当P 在221259x y +=上时，1210PF PF +=，12PE PE +不为定值，错误；②两个椭圆均关于,y x y x ==-对称，故曲线C 关于直线,y x y x ==-均对称，正确；③曲线C 在边长为6的正方形内部，故面积小于36，正确；故答案为②③【点评】本题考查了椭圆的相关知识，判断命题的正误，意在考查学生的计算能力和推断能力. 13．2【分析】由题意设直线PA 的方程代入椭圆中，求出点A 的坐标，进而由题意得点B 的坐标，PABS1||||2A B OP x x =-，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值.【解析】由题意可知直线的斜率一定存在，因此设直线l 的方程为1y kx =+，代入椭圆方程整理得22(14)80k x kx ++=，所以2814kx k -=+，所以221414k y k -=+所以A 28(14kk -+，2214)14k k -+，由题意得B 28(14k k +，2241)14k k -+，所以三角形PAB 的面积21116||||||2214A B kS OP x x k =-=+因为0k ≠，所以118||821244PABSk k==+.故答案为：2.【点评】关键点睛：一是要构建三角形面积的方案，采用了割补思想，二是在求最值时转化为基本不等式问题，这些都是解决本问题的关键.14．[√3 ， 2) 【解析】【分析】延长CF 2交椭圆于D,有对称性可知当CD 垂直于x 轴时，比值最小，当倾斜角为0时比值最大，但取不到．【解析】延长CF 2交椭圆于D,有对称性可知|AF 1+CF 2|=|CD |，当CD 垂直于x 轴时，|CD ||OB |最小，此时|CD ||OB |=√3=√3，当倾斜角为0时比值最大，此时|CD ||OB |=42=2，但取不到．故答案为[√3 ， 2).【点评】本题考查椭圆的对称性的运用，考查小题小做的技巧，是中档题． 15．2 【解析】【分析】由题意首先求得点P 的坐标，然后结合椭圆的定义求解焦点三角形的周长即可.【解析】设()()()12,0,,00F c F c c ->，F 1关于直线y x =-的对称点P 坐标为（0，c ），点P 在椭圆上，则：2201c a+=，则c =b =1,2222a b c =+=，则a =故12PF F △的周长为：1212222PF PF F F a c ++=+=.【点评】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系． 16．．【解析】试题分析：设出Q 的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．解：设Q （m ，n ），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，解得e 2（4e 4﹣4e 2+1）+4e 2=1，可得，4e 6+e 2﹣1=0．即4e 6﹣2e 4+2e 4﹣e 2+2e 2﹣1=0，可得（2e 2﹣1）（2e 4+e 2+1）=0 解得e=．故答案为．考点：椭圆的简单性质． 17．10【解析】连接11,AF BF ，则由椭圆的中心对称性可得2221266410ABF C AF BF AB AF AF AB AB ∆=++=++=+≥+=212122ABF AF F S S ∆∆=≤⋅=18．m取值范围为⎛ ⎝⎭【分析】根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分，从而可得直线AB 的斜率14k =-，直线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点M 在直线4y x m =+，可设直线AB 的方程为14y x n =-+，联立方程组22341214x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，整理可得2213816(3)0x nx n -+-=可求中点M ，由226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->可求n 的范围，由中点M在直线4y x m =+可得m ，n 的关系，从而可求m 的范围．【解析】设椭圆上关于直线4y x m =+对称的点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分，故直线AB 的斜率14k =-，直线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点()00,M x y 在直线4y x m =+，故可设直线AB 的方程为14y x n =-+，联立方程组22341214x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，整理可得2213816(3)0x nx n -+-=12813n x x ∴+=，1212124()2413ny y x x n +=-++=， 226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->，解得：n <<，0413n x ∴=，01213ny =，代入4y x m =+，解得：413n m =-，∴m <<m ∴的取值范围是1313⎛- ⎝⎭．【点评】本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题，涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．属于中档题．19．（1）证明见解析；（2）6,,3⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2. 【分析】（1）设点(),M x y ，则有11y -≤≤，代入椭圆的方程得出2212x y =-，然后利用两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求出MC 的最大MC ≤；（2）由A 、B 关于直线()102y mx m =+≠对称，可得出直线AB 与直线12y mx =+，从而可得出直线AB 的斜率为1m -，设直线AB 的方程为1y x b m=-+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆方程联立，得出>0∆，并列出韦达定理，求出线段AB 的中点M ，再由点M 在直线上列出不等式，结合>0∆可求出m 的取值范围；（3）令1t m-=，可得出直线AB 的方程为y tx b =+，利用韦达定理结合弦长公式计算出AB ，利用点到直线的距离公式计算出AOB ∆的高d 的表达式，然后利用三角形的面积公式得出AOB ∆面积的表达式，利用基本不等式可求出AOB ∆面积的最大值.【解析】（1）设(),M x y ，则2212x y +=，得2222x y =-，于是MC ===因11y -≤≤，所以当12y时，max MC =，即MC ≤（2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+．由22121x y y x bm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222222102m b x x b m m +-+-=．因为直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，所以，224220b m ∆=-++>，即2221b m <+，①由韦达定理得12242bm x x m +=+，()22122212b m x x m -=+，2122212222y y bm bm b m m m +=-⋅+=++，所以，线段AB 的中点2222,22mb bm M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+，解得2222m b m +=-②，将②代入①得22222222m mm m ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭，化简得223>m .解得m <或m >m 的取值范围是6,,3⎛⎛⎫-∞+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）令160,2t m ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即230,2t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2212t b +=-. 则122421tb x x t +=-+，21222221b x xt -=+，则12AB xx =-=====，且O 到直线AB 的距离为2d =设AOB ∆的面积为()S t ，所以()124S t AB d =⋅=()()222132422t t ++-≤=，当且仅当212t =时，等号成立，故AOB ∆【点评】本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交所得弦长问题、直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的三角形面积的计算，考查计算能力，属于难题.20．（1）22143x y +=（2）见解析【分析】（1）将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程，由离心率得到,a c 关系，结合222a b c =+，即可求解；（2）若00x =，根据椭圆的对称性即可得证，若00x ≠，只需证明1F 关于直线l 的对称点Q 在直线2PF 上，根据点关于直线对称关系求出Q 点坐标，而后证明2,,P F Q 三点共线，即可证明结论.【解析】（1）解：由题意知22222129141c a a b c a b ⎧⎪=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩可得2a =，b = 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）证明：若00x =，则(0,P ，此时直线2PF 与直线1PF 关于直线l 对称.设1F 关于直线l 的对称点为(),Q m n ，若00x ≠，则00001221433114m n x y x n m y -⎧⋅⎪+=⎪⎨⎪⎛⎫-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎩则22000220091672916x y x m x y -+=+，()00413y m n x +=，要证直线2PF 与直线1PF 关于直线l 对称，只需证Q ，P ，2F 三点共线，即证22OF PF k k =，即证0011y n m x =--，因为()()22000220000220000022009167214149169167213131916x y x y m y x y n x y x m x m x x y -++++==⋅-+---+ 000000222000000624624481834383184x x x y y y y x x x x x +++=⋅=⋅=⋅-++-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭()()0000004411x y y x x x +=⋅=+--，综上，直线2PF 与直线1PF 关于直线l 对称.【点评】本题考查椭圆标准方程及方程的应用、点关于直线对称问题，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.。

高考数学专题06 椭圆解题技法(解析版)

专题06椭圆解题技法一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用．二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)为例(1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【题型总结】（一）椭圆的定义应用（二）焦点三角形的应用（三）椭圆的几何意义与离心率（四）椭圆与圆的综合（五）向量的几何意义与椭圆（六）向量的数量积与椭圆综合（七）椭圆中的反射（八）椭圆的应用问题（九）轨迹的求法四．【题型方法】（一）椭圆的定义应用例110=的化简结果为（）A.2212516x y += B.2212516y x += C.221259x y += D.221259y x +=【答案】D【解析】曲线方程()()2222+4+410x y x y ++-=，所以其几何意义是动点(),x y 到点()0,4-和点()0,4的距离之和等于10，符合椭圆的定义. 点()0,4-和点()0,4是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程()222210y x a b a b+=>>，其中210a =，所以5a =4c =，所以223b a c =-=，所以曲线方程的化简结果为221259y x+=.故选D 项.练习1．已知椭圆221259x y +=，1F 、2F 是其左右焦点，过1F 作一条斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（） A.5 B.10C.20D.40【答案】C【解析】由椭圆221259x y +=，得5a =，如图：由椭圆定义可得，12||||210AF AF a +==，12||||210BF BF a +==；2ABF ∴∆的周长为：2122C ||||||ABF AB AF BF ∆=++1212||||||||420AF AF BF BF a =+++==．故选：C ．（二）焦点三角形的应用例2．设1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点.椭圆上存在一点P 使得123PF PF b -=，1294PF PF ab ⋅=.则该椭圆的离心率为（） A.23 B.223C.13D.24【答案】B【解析】椭圆定义可得122PF PF a +=，又123PF PF b -=，解得11|(23)2|a b PF =+，21(23)2PF a b =-，1294PF PF ab ⋅=，可得()22194944a b ab -=，即为224990a ab b --=，化为(3)(34)0b a b a -+=，可得3a b =，2222922c a b b b b =-=-=，则该椭圆的离心率为22c e a ==．故选：B ．练习1．已知椭圆24x ＋23y ＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】B【解析】由题可知121214MF MF MF MF ⎧⎪⎨+⎪⎩－＝＝，解得125232MF MF ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，又因122F F =，2221221F F MF MF +=，所以△MF 1F 2为直角三角形答案选B（三）椭圆的几何意义与离心率例3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为（） A.12 B.23 32 【答案】D 【解析】设|F 1B |=k （k ＞0），则|AF 1|=3k ，|AB |=4k ，∴|AF 2|=2a -3k ，|BF 2|=2a -k∵cos ∠AF 2B =35，在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB |2=|AF 2|2+|BF 2|2-2|AF 2|•|BF 2|cos ∠AF 2B ， ∴（4k ）2=（2a -3k ）2+（2a -k ）2-65（2a -3k ）（2a -k ），化简可得（a +k ）（a -3k ）=0，而a +k ＞0，故a =3k ，∴|AF 2|=|AF 1|=3k ，|BF 2|=5k ， ∴|BF 2|2=|AF 2|2+|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形， ∴c =22a ，∴椭圆的离心率e =22c a =，故选：D ．练习1．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【解析】如下图所示，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=o所以2260,30PF A F PA ∠=∠=o o，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C. （四）椭圆与圆的综合例4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（）3B.122 6 【答案】D【解析】如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-，所以，2223a c =，因此，椭圆的离心率为222633c c e a a ====，故选：D. 练习1. ．如图，已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．53C ．63D ．255【答案】B【解析】如图：连接OQ ，1PF ，Q 点Q 为线段2PF 的中点，1//OQ PF ∴，112OQ PF =，122PF OQ b ∴==，由椭圆定义，122PF PF a +=，222PF a b ∴=-Q 线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，2OQ PF ∴⊥，12PF PF ∴⊥，且122F F c =，222(2)(22)(2)b a b c ∴+-=即32b a =，2259a c =，5c e a ∴==故选：B ．（五）向量的几何意义与椭圆例5. 设F ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直线b y x a =与椭圆在第一象限内的交点，若()FO FC BO BC λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r，则椭圆的离心率是( )A 221+B ．2217C ．213D 21【答案】A【解析】根据()FO FC BO BC λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r，由平面向量加法法则，则BF 与OC 交点为OC 的中点，故BFOBFC S S ∆∆= ，由22221x y a b b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22C ，BFO BFC S S ∆∆=Q ，则2BOFC BOF S S bc ∆==112222BOFC BOC OFC S S S b c bc ∆∆=+=+= 可得(221)a c = 2217221c e a ∴===- 故选：A ．方法2，设BF 与OC 交于点M ，由条件知M 是OC 的中点，则)22,22(baM又B （0，b ），F （c ，0），B ，M ，F 三点共线,所以MF BF k k =,即c abcb-=-2222可得(221)a c =2217221c e a ∴===-练习1．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=u u u r u u u r，2FB FA FB ≤≤，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（） A ．25,23⎣⎦ B ．)5⎣ C ．2312⎤⎢⎥⎣⎦D ．)31,1⎡⎣ 【答案】A【解析】设椭圆左焦点为F '，连接,AF BF ''由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形0FA FB ⋅=u u u r u u u rQ FA FB ∴⊥ ∴四边形AFBF '为矩形设AF m =，AF n '=，则2m n a +=()222222424m n m n mn a mn c ∴+=+-=-=，解得：22mn b =22222m n m n c mn n m b+∴=+= ※(关键步骤)2FB FA FB ≤≤Q []1,2AF AF m FB AF n ∴==∈' 52,2m n n m ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦即222522c b ≤≤ 2222522c a c ∴≤≤-，即2225212e e ≤≤-，解得：21529e ≤≤25e ∴∈⎣⎦本题正确选项：A方法2,设∠AF’F =α,直角∆F’AF 中，AF’=2ccosα，AF=2csin α，AF+AF’=2a 即2ccosα+2csin α=2a)4sin(21cos sin 1πααα+=+==a c e 直角∆F’AF 中tan α=AF AF' =AF BF ∈[1,2],则],4[0απα∈其中2tan 0=α，51cos ,52sin 00==αα )4sin(21cos sin 1πααα+=+==a c e 在],4[0απα∈上单调递增，当4πα=是e 最小值为22当0αα=时，e 最大值为3551521=+（六）向量的数量积与椭圆综合例6. ．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u u r u u u r ，222AF F B =u u u u v u u u u v，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34CD．4【答案】C【解析】222AF F B =u u u u r u u u u rQ 设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-，120AF AF ⋅=u u u r u u u u rQ ,12AF AF ∴⊥ 在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3ax =，2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得225=9c a，c e a ∴==故选C 项.练习1. 已知椭圆C ：2222x y 1(a b 0)a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，且12AF AF 0⋅=u u u r u u u r，直线2AF 交y 轴于点M ，若12FF 6OM =，则该椭圆的离心率为( ) A.13C.58【答案】D【解析】结合题意，可知122,3c F F c OM ==则，故21tan 3MF C ∠=，结合120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，可知01290F AF ∠= 故1213AF AF =，设12,3AF x AF x ==，所以234a x x x =+=，()22224310c x x x =+=，所以c e a ==D 。