相似三角形判定定理的证明
4.5相似三角形判定定理证明
（AA)判定定理：两角分别相等的两三角形 相似 已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A A，B B，C C，
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取 AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ A' DE ABC ∴ ABC∽ A' B'C'
如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似,
并说明理由.
D
A
C
E
B
F
热身练习：判断图中的各对三角形是否相似。
A
B
5
6
图
O
一 24
20
D
C
E 30 D
C
36
图
48 72
三F
54
A 45 B
图 二
A 12
B 8D
14
21
P
图 四
A
B 4 D 18
ABC ∽ A' B'C'
已知：在ABC和A' B'C'中，AB AC ,A A'
求证: △ ABC∽△ A' B'C' A' BA' A'C' A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
上）截取A' D AB，过点D再做
DE∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
∽ A' B'C'
∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °
相似三角形判定定理证明
如何證明相似三角形判定定理預備知識：圖1中，平行線等分線段定理 已知l 1//l 2//l 3，AB =BC ，則DE =EF由已知條件構造三角形全等，可證得平行線間距離相等，然後以此結論做條件可構造線段DE ，EF 所在三角形全等，結論獲證. 圖2中，平行線分線段成比例定理 已知l 1//l 2//l 3，則DEEFBC AB =，命題可通過添加平行線轉化成平行線等分線段定理.由比例性質還可得DF EF AC AB =，EF ED AB CB =，DF EDAC CB =相似三角形判定定理證明圖3，已知DE//BC ，求證：△AD E ∽△ABC析：欲證兩三角形相似，則需證三對角對應相等，三對邊の比 相等，本題目三對角相等，則證三邊比相等即可. 由DE//BC 得AC EA AB AD =，作EF//AB 得AC EACB BF =，依題意知四邊形DEFB 是平行四邊形，DE=BF . 則CBDEAC AE AB AD ==，命題獲證. 圖4，已知DE//BC ，求證：△AD E ∽△ABC作AG=AD ，GH//BC ，HM//AB ，可證△AD E ≌△AGH 此問題同圖3圖5，在△ABC 與△A`B`C`中，``````C A ACC B BC B A AB == 求證：△ABC ∽△A`B`C`在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴````````C A EA CB DE B A D A == ∵``````C A ACC B BC B A AB ==，AB=A`D ∴DE=BC ，A`E=AC3l3图3B图4B图5图6B∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C` 圖6，````C A ACB A AB =，∠A =∠A`，求證：△ABC ∽△A`B`C` 在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴``````C A EA B A D A =∵````C A ACB A AB =，A`D=AB ∴A`E=AC ∵∠A =∠A`∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`圖7，∠A=∠A`，∠B=∠B`求證：△ABC ∽△A`B`C`在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴∠A`DE=∠B`∵∠A=∠A`，∠B=∠B`，A`D=AB ∴∠A`DE=∠B∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`圖8，Rt △ACB 與Rt △A`C`B`中，∠C=∠C`=90°，````C A ACB A AB = 求證：△ABC ∽△A`B`C`設````C A ACB A AB ==k ，則AB=kA`B`,AC=kA`C`則 k ````k ````k ``k ````222222==-=-=C B C B C B C A B A C B AC AB C B BC則三邊成比例，∴△ABC ∽△A`B`C`图7B图8B。
相似三角形判定定理的证明 课件
截得的对应线段成比例).
过点D作DF∥AC，交BC于点F，则
AD AB
=
CF CB
(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
截得的对应线段成比例).
∴
AE AC
=
CF CB
∵DE∥BC，DF∥AC
∴四边形DFCE是平行四边形。 A
A'
∴DE=CF
∴ AE = DE AC CB
AD = AE = DE AB AC CB
作DE//BC,交AC于点E,
A
∴△ADE∽△ABC
∴ AD = DE = AE
D
AB BC AC
B
又∵ A'B' = B'C' = A'C' ，AD = A'B'
AB BC AC
∴ AD = A'B' AB AB
B'
∵ AE = A'C' AC AC
∴ AE = A'C'
E C A'
C'
同理 DE = B'C' ∴△ADE≌△A'B'C'
D
E B'
C'
BF
C
而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C,
∴△ABC∽△A'B'C'
∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’， AD=A'B',
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△ABC∽△A'B'C'.
总结:
相似三角形的判定定理1：两角分别相等的 两个三角形相似.
4.5.2相似三角形判定定理的证明
4、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？
全等三角形是相似比为1的特殊的 相似三角形。
5、相似三角形判定定理： E
D
A
平行于三角形一边的直
线和其他两边（或两边的 B
延长线）相交,所构成的
三角形与原三角形相似.
D
C A
E
DE∥BC ΔABC∽ΔADE
B
C
1、命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。
（提示：图有两种可能） A
A
D
E
D E
B
DE∥BC
B
C
C
∠ADE=∠C或∠AED=∠B
5,已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是 BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC； （2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。
答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.
已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A
A A/ , B B/
A/
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
分析:要证两个三角形相似，
目前只有两个途径。一个是
B
C B/
C/
三角形相似的定义，（显然条件不具备）；二是学过的利用平 行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备 定理的基本图形的条件。怎样创造呢？
A
A
FE
B
DC
E F
D
C
例5：找出图中所有的相似三角形。
“双垂直”三角形 C
有三对相似三角形： △ACD∽ △CBD △CBD∽ △ABC △ACD∽ △ABC
A
D
B
相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理（AAA定理）是指如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
以下是相似三角形判定定理的证明：给定两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，我们需要证明这两个三角形相似。
我们可以使用等角定理，即对于两个三角形中的对应等角，其对边之比是相等的。
根据已知条件，可以得出以下等式: ∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F
然后我们来比较三角形ABC和DEF的边长之比。
根据相似三角形的定义，两个相似三角形的对应边之比是相等的。
我们可以分别比较对应边之间的比例： AB/DE BC/EF CA/FD
由于已知∠A = ∠D，我们可以使用三角形内角和为180度的性质计算出∠B和∠C的度数: ∠B = 180 - ∠A - ∠C = 180 - ∠D - ∠F = ∠E
同理，我们可以得出∠C = ∠F。
因此，我们得出: AB/DE = BC/EF = CA/FD
根据等角定理和边长比例相等，我们可以得出结论：两个三角形ABC和DEF是相似的。
综上所述，我们可以证明相似三角形判定定理，即如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
《相似三角形判定定理的证明》知识讲解(基础)
相似三角形判定定理的证明（基础）【学习目标】1. 熟记三个判定定理的内容•2. 三个判定定理的证明过程•3. 学选会用适当的方法证明结论的成立性.【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在厶ABC和△ A B' C'中，/ A=Z A', / B=Z B'.求证：△ AB3A A B C'证明：在厶ABC的边AB （或它的延长线）上截取AD=A B',过点D作BC的平行线，交AC于点E,则/ ADE N B,Z AED2 C,AD AEAD =竺（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB AC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则AD CF型二汇（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB CB• AE CFAC CB•/ DE// BC,DF// AC,•四边形DFCE是平行四边形.•DE=CF.•AE:AC=DE:CB•AD AE DEAB AC BC .而/ ADE N B, / DAE=Z BAC,Z AED玄C,•△AD0A ABC.•••/ A=N A' , N ADE=Z B=N B' ,AD=A' B',•△AD0A A' B' C .•△ABS A A' B' C .要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明：在厶ABC 的边AB （或它的延长线）上截取 AD=A B ',过点D 作BC 的平行线, 交AC 于点E,则/ B=Z ADE,/ C=Z AED,•••△ ABC^A ADE （两角分别相等的两个三角形相似 ）..AB AC AD - AE .AB AC ,AD=A ' B ',A'B' A'C' .AB ACAD 一 A'C' .AC ACAE _ A'C'• AE=A' C' 而/ A=/ A• △ ADE^A A ' B ' C'.• △ ABC^A A ' B ' C'要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似已知：在厶ABC 和△ A ' B ' C'中, 求证：△ ABC^A A ' B' C'.证明：在厶ABC 的边AB, AC （或它们的延长线）上截取 AD=A B ' ,AE=A ' C ,连接DE.AB AC ”， ，，,AD=A B ' ,AE=A ' C ,已知，在厶 ABC^n ^ A B' C'中，/ A=Z AAB AC ABA'C',求证: △ ABC^A A ' B C 'AB _ BC _ ACA'B' 一 B'C' 一 A'C'A'B' A'C'.AB AC…_ AE而/ BAC=/ DAE,•••△AB3A ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）..AB BC_ DEp AB BC ,,又，AD= A B',A'B' B'C'.AB BC_ B'C'.BC BC"DE 一B'C'•DE=B C',•△ADE^A A ' B ' C',•△ABC^A A ' B ' C'.【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似▼ 1、在厶ABC 中，/ A=60°, BDL AC 垂足为D, CEL AB 垂足为E,求证：△ ADE^A ABC【思路点拨】由BD L AC, CEL AB得到/ AEC d ADB=90 ,利用/ EAC M DAB可判断△ AE3A ADB则塑=—，禾U用比例性质得塑型，加上/ EAD M CAB根据三角形相似的AD AB AC AB判定方法即可得到结论.【答案与解析】证明：•/ BD L AC CEL AB •••/ AEC M ADB=90 , 而/ EAC M DAB•△AEC^A ADB■^1 "-I.，•AE_AD•-1.，•••/ EAD M CAB• △AD0A ABC【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质： 有两组角对应相等的两三角形相似； 有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等. 举一反三【变式】如图，△ ABC 是等边三角形，点D , E 分别在BC 、AC 上，且/ ADE=60 求证：BD?CD=AC?CE.【答案】证明：•/ △ ABC 是等边三角形,••• / B=Z C=60 ° , AB=AC ,•/ / B+Z BAD=Z ADE+ZCDE, / B=Z ADE=60 • Z BAD=Z CDE,与DH 的延长线交于点 E ,求证：△ AH SA EBD【思路点拨】 首先利用三角形的内角和定理证明：Z A=Z E ,再有垂直得到90°的角,Z ADH Z ACB=90，从而证明：△ AH SA EBD【答案与解析】 证明：••• HDLAB 于 D,• Z ADH=90 , • Z A+Z AHD=90 ,•••Z ACB=90 ,• Z E+Z AHD=90 , • Z A=Z E , • Z ADH Z ACB=90 , • △ AH SA EBD【总结升华】 考查了垂直定义、 三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有 两组角对应相等的两个三角形相似.Rt △ ABC 中，Z ACB=90，点H 在AC 上，且线段 HDL AB 于D, BC 的延长线已知, 即 BD?CD=AC?CE ;类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ ABE^A DEF(2 )根据平行线分线段成比例定理，可得CG 的长，即可求得 BG 的长.【答案与解析】(1) 证明：T ABCD 为正方形，••• AD=AB=DC=BQ A=Z D=90 , •/ AE=ED•厂:•/ DF= DC ,4• △ ABE^A DEF(2) 解：T ABCD 为正方形，• ED// BG •工又•/ DF= DC 正方形的边长为 4,4•ED=2 CG=6 • BG=BC+CG=10【总结升华】考查了相似三角形的判定(有两边对应成比例且夹角相等三角形相似) 、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用. 解题的关键是数形结合思想的应用.举一反三【变式】(2015?随州)如图，在 △ ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不 能判断△ ABC AED 的是()如图，在正方形ABCD 中, E 、F 分别是边 AD CD 上的点,连接EF 并延长交BC 的延长线于点 G. (1) 求证：△ ABE^A DEF(2) 若正方形的边长为 4,求BG 的长.1 I,根据有两边对DFDEAEAE2DF一【思路点拨】DA ./ AED= /B B .上 ADE= /C C .丄丄AE AB【答案】D;提示：I / DAE= / CAB ,•••当/ AED= / B 或/ ADE= / C 时，△ ABC s\ AED ; 当旦='时，△ ABC s\ AED .AC AB故选D .（2014秋？揭西县校级期末）如图，F 为平行四边形ABCD 的边AD 的延长线上的 一点，BF 分别交于 CD 、AC 于 G 、E ,若 EF=32，GE=8，求 BE .【答案与解析】 解：设BE=x , •/ EF=32 , GE=8 , • FG=32 - 8=24,•/ AD // BC ,• △ AFE CBE ,•耳 F _AF•：.■:'， 则亠= •仃1 ①K BC BC•/ DG // AB , •••△ DFGCBG ,•—='代入①BC S+x 32 24 d = +ix 8+x'解得：x= ±6（负数舍去），故 BE=16.C【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△ DFG CBG是解题关键.举一反三【变式】如图，在4X3的正方形方格中，△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC= _____ ° , BC= ________ ;(2)判断△ ABC与厶DEC是否相似，并证明你的结论.下\一Z D E 【答案】解：(1)Z ABC=135 , BC=匚；(2)相似；BC=：EC=. I =.：；•阳2 _厂BC 2^2厂.•匚「* *CE DE又/ ABC M CED=135 ,• △ABC^A DEC类型三、三边成比例的两个三角形相似少、/、、5、已知：正方形的边长为1(1)如图①，可以算出正方形的对角线为 _,求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长, n个呢？(2)根据图②，求证△ BC0A BED(3)由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1.M BEC M BDE=45 ;2./ BEC M BED=45 ;3./ BEC M DFE=45【思路点拨】(1)主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；(2 )在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；(3)欲证/ BEC y DFE=45，在本题中等于45°的角有两个，即/AEB和/BEF,所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中4 / C D A f C D去，利用等腰梯形的性质求解即可.【答案与解析】解：(1)由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长=匚=| - | ,第二个图形中，对角线长=匸=一 | ,第三个图形中，对角线长 =^ '■ | ,所以第n个图形中，对角线长=^［；(2 )在厶BCE 中，BC=1, BE=& , EC=^, 在厶BED 中，BE=/^ , BD=2 ED^jj,•••△ BC0A BED(3 )选取③，•/ CD// EF,且CE=DF•四边形CEFD为等腰梯形，•••/ DFE y CEF•••/ BEC y DFE y BEC y CEF=45 .【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的•。
2相似三角形的判定定理的证明
典型例题
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'， 求证：△ABC ∽ △A'B'C'.
A A′
AB AC A' B' A' C'
D1
2E
B′
C′
B
C
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过 点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
∴ △ADE ≌ △A'B'C'. △ABC ∽ △A'B'C'.
典型例题
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， AB BC AC
A'B' B'C' A'C'
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
A A′
D
E
B′
C′
B
C
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过 点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
或等比代换。转化思想的运用。
C′
∠1=∠B，∠2 =∠C，
AD AB
AE AC
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴
AD AB
CF CB
∴
AE AC
CF CB
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.
4.5 相似三角形判定定理的证明(数学北师大版九年级上册)
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
D
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ AD DE AE .
AB BC AC
B A′
又 A' B' B'C' A' C' ，AD=A′B′，
AB BC AC
∴ DE B' C'， AE A' C' . BC BC AC AC
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
解得 AB= 3 2 ．
B
∴ 当 AB 的长为 3 或 3 2 时，这两个直
角三角形相似．
A 2
D 2 C
当堂练习
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各 组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： 相似 ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： 相似； (3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： 相似.
B
F
C
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， AB AC .
A' B' A' C'
求证：△ABC∽△A′B′C′.
A
A'
B
C
B'
C'
A'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
北师大版九年级上册
*4.5 相似三角形判定定理的证明
学习目标
相似三角形的判定条件及证明
相似三角形的判定条件及证明相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有相似的形状但可能具有不同的大小。
在实际问题中，我们经常需要确定两个三角形是否相似。
本文将介绍判定相似三角形的条件及其证明方法。
1. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等（其中一个角必须是对应角），那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠C = ∠F。
我们需要证明它们是相似的。
根据AA相似定理，我们只需证明另外一个对应角也相等。
假设∠A = ∠D，∠B = ∠E。
根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠D - ∠E = ∠F。
因此，三角形ABC和三角形DEF的对应角都相等，根据AA相似定理，它们是相似的。
2. 三边比值相等定理如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = BC/EF =AC/DF。
我们需要证明它们是相似的。
假设AB/DE = BC/EF，我们可以得到AB/BC = DE/EF。
根据三角形的角边比例定理，如果三角形的两边之间的比值相等，那么这两个三角形的对应角也相等。
因此，∠A = ∠D，而根据AA相似定理，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是相似的。
3. SAS相似定理如果两个三角形的一对对应边成比例，并且两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D。
我们需要证明它们是相似的。
我们已经得知∠A = ∠D，因此，我们只需证明另外两对对应边之间的比值相等。
设x = AB/DE = AC/DF，我们可以得到DE = AB/x，DF = AC/x。
由此可得：DE/DF = (AB/x)/(AC/x) = AB/AC。
第13讲 相似三角形判定定理的证明
第13讲 相似三角形判定定理的证明课程标准1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。
知识点01 相似三角形判定定理的证明（一）相似三角形的判定定理1的证明过程已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE ∽△A′B′C′.知识精讲目标导航∴△ABC ∽△A′B′C′.（二）相似三角形的判定定理2的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，∠A=∠A′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AB ACAD AE=. ∵''''AB ACA B A C =,AD=A′B′, ∴''AB ACAD A C =∴''AC ACAE A C =∴AE=A ′C′ 而∠A=∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（三）相似三角形的判定定理3的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，''''''AB BC ACA B B C A C ==.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A′B′,AE=A′C′,∴AB ACAD AE=而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE=又''''AB BCA B B C =，AD= A′B′, ∴''AB BCAD B C =∴''BC BCDE B C =∴DE=B′C′,∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.知识点02 证明相似三角形的一般思路（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。
三角形相似的判定条件
三角形相似的判定条件：三角形相似的条件：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；三边对应平行，两个三角形相似；斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似；全等三角形相似。
一、相似三角形的判定定理：1.平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
4.如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似。
二、相似三角形介绍三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
三、相似三角形的性质1.性质1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方2.性质：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
四、特殊情况1.凡是全等的三角形都相似。
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1。
反之，当相似比为1时，相似三角形为全等三角形。
2. 有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似。
由此，所有的等边三角形都相似。
4.5《相似三角形判定定理的证明》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指两个三角形，它们的对应角相等，对应边成比例。这个性质在几何学中非常重要，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量三角形的边长和角度，我们可以判断两个三角形是否相似，并利用这个性质来计算未知长度。
-难点三：提供实际应用题目，如测量无法直接到达的物体的高度，指导学生如何利用相似三角形的性质来建立比例关系，并解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形判定定理的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量无法直接到达的地方的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
五、教学反思
今天我们在课堂上一起探讨了相似三角形的判定定理的证明，整体上感觉同学们对这部分知识的掌握程度还是不错的。但在教学过程中，我也发现了一些值得注意的问题。
首先，对于相似三角形的定义和性质，大多数同学能够理解并记住，但在具体应用时，有些同学仍然会混淆三个判定定理。这让我意识到，在接下来的教学中，需要通过更多具体的例子和练习，帮助同学们更好地区分和运用这些定理。
-掌握三个相似三角形的判定定理，并能够准确记忆和运用。
-学会运用判定定理进行几何证明，解决实际问题。
举例：
-通过具体图形，强调相似三角形的对应角相等、对应边成比例的特点。
-通过例题，展示ห้องสมุดไป่ตู้何使用判定定理进行证明，如证明两个三角形相似。
2.教学难点
-理解并区分三个判定定理的应用场景，特别是两边对应成比例且夹角相等的定理，学生容易与其他定理混淆。
初三数学相似三角形判定定理证明
初三数学相似三角形判定定理证明说到相似，首先得有个比较。
你看，如果两个三角形的角度一个接一个相等，那它们就是相似的。
就像咱们在看电影，看到两个演员穿一样的衣服，没法分开，咱们就知道他们有点关系。
角相等就是这个意思。
要是你有个三角形，A角是60度，B角是70度，那另一个三角形只要也是60度和70度，就算它的C角不一样，只要剩下的角都对得上，咱们就可以说这两个三角形是相似的。
是不是简单？就像在大街上碰到的双胞胎，长得很像，但每个人都有自己的特点。
接着再说一个方法，就是边成比例。
你想想，如果两个三角形的对应边长的比率都相等，那它们也是相似的。
就像咱们在逛街，看到一条漂亮的裙子，可能你穿的S码和你闺蜜穿的M码，都是一样的设计，只是大小不同，感觉特别美。
这种情况就是边成比例。
只要找到一对边，测量一下，看看比值，如果它们都一致，其他的边也会跟着相等，完美。
然后，咱们还有一种判定方式，就是一个角相等，两条边成比例。
这就好比你和你的好朋友，虽然不完全一样，但你们的某些特点特别相似，像身高差不多，爱好一样。
一个角对上了，另外两边的比例也是相同的，那就是相似三角形。
这就像是人生中的伙伴关系，虽然每个人都不同，但相互之间又有很多共同点。
在这儿，咱们还得提一提一个很有趣的事儿。
大家可能觉得这些定理好像有点抽象，其实在生活中到处都是相似三角形。
比如，搭个棚子，画个框，甚至在建筑设计里，都能用上这些原理。
只要你认真去观察，发现其实这些定理就藏在你身边。
是不是觉得数学突然变得有趣了许多？再说说相似三角形的应用。
假如你在测量一个大建筑物的高度，没法直接量，那怎么办？简单啊，找个小杆子，测量这个小杆子的影子和建筑物的影子。
利用相似三角形的原理，你可以算出建筑物的高度。
想象一下，站在街边，手里拿着卷尺，心里美滋滋地用上了数学，真是太酷了！我想说，相似三角形不仅仅是数学中的一部分，它更像是我们生活中的一种智慧。
它教会我们去比较，去分析，不管是在学习中还是在生活中，总是要有个对比，才能找到事物之间的关系。
相似三角形判定定理的证明
AD =A'B'，过点D作BC的平
A D1 2
行线，交 AC 于点E，则
B′
C′ B
F
∠1=∠B，∠2 =∠C， A D A E .
AB AC
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴ AD CF ， ∴ AE CF .
AB CB
AC CB
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.
''
AB BC AC ∴证A明E相=似A'C三'.角形的判定定理
求证：△ABC ∽ △A'B'C' . △∴ △ABACD∽E ∽△△A'BA'BCC'..
''
''
已求知证：如△图AB，C在∽ △AB'BC'C和'. △A'B'C' 中，
A ∴证A明E：=在A'C△'.ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
∴又四边形 DFCE 是平行四边，形A．D∴=DAE'B='，CF.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， AB BC AC 证∴ △明A：D在E△∽A△BACB的C边. AB,AC（或它的延长线）上分别截取 AD = A'B'，AE= A'C'，连接DE，则
∴ △DEAD= EB'∽C'.△ABC.
证明：在△ABC 的边 又∵ DE∥BC, DF∥AC,
3.5 相似三角形判定定理的证明
第三章图形的相似5．相似三角形判定定理的证明一、学生知识状况分析“相似三角形判定定理的证明”是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有一定的认识，并且在前一节课的学习中，以充分经历了猜想，动手操作，得出结论的过程。
本节主要进行相似三角形判定定理的证明，证明过程中需添加辅助线，对学生来说具有挑战性，需要通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程。
二、教学任务分析本节共一个课时，本节是从证明相似三角形判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似入手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论三、教学过程分析本节课设计了个教学环节：第一环节：复习回顾,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：动手实践，推理证明；第四环节：方法选择，合理应用；第五环节：课堂小结，布置作业。
第一环节：复习回顾，导入课题内容：在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，我们得出的结论是怎样的？您能证明它们一定成立吗？目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣。
效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。
第二环节：动手操作，探求新知内容：目的：通过学生回顾证明文字第一步：引导学生根据文字第二步：根据图形和文字已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。
求证: △ABC∽△A’B’C’。
第三步：写出证明过程。
（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。
根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A’B’C’全等的三角形。
）教师可以以填空的形式进行引导。
相似三角形判定定理的证明核心知识
相似三角形判定定理的证明核心知识相似三角形是几何学中一个重要的概念，涉及到角度、比率以及几何图形的比例关系。
掌握相似三角形的判定定理及其证明，是深入学习几何学和解决几何问题的基础。
本文将从相似三角形判定定理的基本理论出发，探讨其证明过程中的核心知识和技巧。
一、相似三角形的定义在几何学中，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比率相等，那么这两个三角形被称为相似三角形。
用数学语言表述，即：三角形ABC与三角形DEF相似（记作△ABC ∼ △DEF），当且仅当角A = 角D，角B = 角E，角C = 角F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、相似三角形的判定定理角角（AA）判定定理如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
证明核心知识：角相等性：两角相等是三角形相似的充要条件之一。
利用角的和为180度的性质，如果两角分别相等，那么第三个角也必然相等。
相似三角形的边比性质：通过角角判定定理可以直接推导出对应边的比率相等。
边角边（SAS）判定定理如果两个三角形的两边的比率相等，并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
证明核心知识：边比与夹角：利用相似三角形中夹角的性质，可以证明两三角形的边比相等是它们相似的充分条件。
三角形的全等性：通过证明三角形的两边比率相等并且夹角相等，进一步确定了三角形的相似关系。
边边边（SSS）判定定理如果两个三角形的三边的比率分别相等，那么这两个三角形是相似的。
证明核心知识：边比的相等性：边边边定理通过对比三角形的三边比率的相等性，利用相似三角形的比例性质进行证明。
比率恒等性：三边比率相等可以导出三角形的角度关系，继而说明两个三角形的相似性。
三、证明相似三角形的基本方法角相等的证明方法角角判定定理的证明一般包括两个步骤：证明两个角相等，然后利用三角形内角和为180度的性质推导出第三个角的相等性。
证明过程中常用的方法包括：角对角对比：利用已知条件或外部角定理证明两个角相等。
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BC=4，AC=5，CD= 7 1 ，求AD的长. 2 解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD = 7 1 . 2 AB CD ∴ . BC AC
又∠B =∠ACD, ∴△ABC∽△DCA，
BC AC ∴ . AC AD 25 ∴AD= . 4
A
D
B
C
课堂小结
相似三角形判定定理的证明
第四章 图形的相似
*4.5
相似三角形判定定理的证明
讲授新课 当堂练习 课堂小结
导入新课
学习目标 1.会证明相似三角形判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
导入新课
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
AD AE DE AE DE ∴ ， ∴ AB AC BC . AC CB
A
A′ D B′ ห้องสมุดไป่ตู้′ B
1 2
E C
F
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴ △ABC ∽△A'B'C.
A′
B′ A
C′
又
∴
AB BC ' ' ' ' ，AD = A'B'， AB BC BC BC AB BC ' '. ' '.∴ DE BC AD B C
∴ DE = B'C'.
D B
E
∴ △ADE ≌ △A'B'C' .
∴ △ABC ∽△A'B'C' .
C
二 相似三角形判定定理的运用
证明：在 △ABC 的边 AB
（或它的延长线）上截取 AD =A'B'，过点D作BC的平 行线，交 AC 于点E，则
A A′ D B′ C′
1 2
E C
∠1=∠B，∠2 =∠C， AD AE .
AB AC
B
F
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则 AD CF AE CF ， . ∴ ∴ AB CB AC CB ∵ DE∥BC, DF∥AC, ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
讲授新课
一 证明相似三角形的判定定理
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对
它们进行证明．
定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，∠A = ∠A'， A′ A
∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'． B′ C′ B C
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'，
AB AC ' ' ' ' AB AC
求证：△ABC ∽ △A'B'C'.
A A′ D B′ C′ B
1 2
E C
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'， 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
B
证明：在△ABC 的边 AB,AC（或它的延长线）上分别截取 AD = A'B'，AE= A'C'，连接DE，则
AB AC ∵ ' ' ，AD = A'B'，AE = A'C'， AB A' C ' ∴ AB AC ， 而 ∠ BAC =∠ DAE， AD AE AB BC . ∴ △ABC ∽△ADE.∴ AD DE
A
A′ D
1 2
E
C
B′
C′
B
则∠ B = ∠ 1 ， ∠ C = ∠ 2 ，
AB AC . ∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AD AE AB AC ∵ ' ' ，AD = A'B'， AB A' C ' AC AC AB AC . ' ' .∴ ∴ ' ' AE A C AD A C
1.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. 解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC = AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC. C D A B
∵ AD = 2 , AC = 8, ∴ AB = 4.
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理 证明
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似.
定理的运用
∴ AE =A'C'. 而 ∠ A=∠ A'， ∴ △ADE ≌ △A'B'C'. △ABC ∽ △A'B'C'.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A A′ D B′ C′ E C
AB BC AC A ' B ' B 'C ' A ' C '