数学实验第三讲 微分方程建模 (2)
微分方程的建模与解析解法
微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。
本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。
二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。
具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。
2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。
3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。
4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。
三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。
以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。
3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。
5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。
四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。
假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。
使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。
通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。
微分方程建模方法
返 回
对 于 已 给 的 精 确 度 0 ，当 满 足 y i 1 然 后 继 续 下 一 步 yi 2 的 计 算 ．
( k 1)
y i 1 时 ， y i 1 y i 1 ， 取
(k )
（ k 1）
此即改进的欧拉法．
3．使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方 法． 4．数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）（其 中k为正整数，h为步长）时，称它是一个k阶公式． k越大，则数值公式的精度越高．
例1 求
解
du dt
d y dx
2
2
0 应表达为：D2y=0.
2
1 u
的通解.
输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结 果：u = tg(tc)
To MATLAB（ff1）
例 2 求微分方程的特解.
d2 y dy 4 29 y 0 2 dx dx y (0 ) 0 , y '(0 ) 1 5 解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式．
•龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式． •线性多步法有四阶亚当斯外插公式和内插公式． 返 回
（三）用MATLAB软件求常微分方程,ts,x0,options)
自变 量值 函数 值
ode45 ode23 ode11 3ode1 5sode 23s
注意:
1．在解含n个未知数的方程组时，x0和x均为n维向量， M文件中的待解方程组应以x的分量形式写出． 2．使用MATLAB软件求数值解时，高阶微分方程必须 等价地变换成一阶微分方程组．
微分方程方法建模概述及举例
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
微分方程方法建模
微分方程方法建模微分方程方法是数学中一种重要的建模方法，通过将实际问题抽象为微分方程，再进行求解，可以得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法建模的过程通常包括问题的建立、方程的确定、初值条件的确定、求解方程、结果的分析和验证等步骤。
首先，问题的建立是微分方程方法建模的首要步骤。
在问题建立过程中，我们需要仔细分析问题，确定出其中的关键因素和变量，并找出它们之间的关系。
例如，可以考虑一个简单的生长模型，假设一个细菌种群的数量随时间的变化。
在这个问题中，关键因素是细菌的增长速率和死亡速率，变量是时间和细菌数量。
我们可以用微分方程来描述这个模型，令N(t)表示时间t时刻的细菌种群数量，则细菌种群数量随时间的变化满足微分方程dN/dt = rN - cN，其中r是细菌增长速率，c是细菌死亡速率。
确定微分方程是建立模型的核心工作。
通常情况下，微分方程可以由物理定律或经验公式导出，也可以根据问题的特点进行假设推导。
在确定微分方程的过程中，需要考虑到问题的实际情况，确定问题的边界条件和约束条件。
例如，在考虑一个容器中的流体流动问题时，可以利用质量守恒和动量守恒定律导出流体的运动方程，然后根据容器的几何形状和边界条件确定相应的边界条件。
确定微分方程后，还需要确定初值条件。
初值条件是微分方程问题的额外信息，通过初值条件我们可以确定方程的特定解。
初值条件可以是方程在一些特定时刻的解，也可以是方程在一些特定点的解。
例如，在考虑细菌生长模型时，我们可以通过实验测得初始时刻的细菌数量N0，则细菌生长模型的初值条件为N(0)=N0。
求解微分方程是微分方程方法建模的核心内容。
微分方程的求解可以分为解析解和数值解两种方法。
解析解是指能够用解析表达式表示出的方程解，它们可以通过分离变量、常数变易和变量替换等方法求解。
数值解则是通过数值计算方法得到的逼近解，常见的数值方法有欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
在实际建模中，求解微分方程时往往会根据问题的复杂程度和需求选择合适的求解方法。
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实际问题的转化
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数学建模实例
弹性材料的振动问题
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微分方程数学建模简介
微分方程简述
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微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
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建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
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城市汽车拥堵问题的建模
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总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
微分方程建模方法
微分方程建模方法微分方程建模是数学建模中的一个重要分支。
它通过建立描述现象的微分方程模型，利用数学工具和方法来研究和解决与该现象相关的问题。
微分方程建模的步骤包括确定问题、建立模型、求解模型和验证模型。
本文将详细介绍微分方程建模的方法。
经验模型法是一种基于已有经验和实验数据的建模方法。
它根据实验数据的分析和总结，通过适当的函数拟合和参数调整，建立与实际问题相吻合的微分方程模型。
经验模型法的优点是简单直观，适用于较为简单和复杂程度较低的问题。
例如，考虑一个物体在空气中的自由下落问题。
经验发现，物体受到的空气阻力与速度成正比，可以建立微分方程模型：$$\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=g-\frac{{kv^2}}{{m}}$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$v$为物体的速度，$k$为与物体形状和空气性质有关的常数，$g$为重力加速度。
这个模型可以进一步求解，得到物体的速度和位移随时间的变化规律。
理论模型法是一种基于物理规律和数学原理的建模方法。
它通过对问题的深入理解，运用物理学原理、工程学原理和其他学科的知识，建立与实际问题相对应的微分方程模型。
理论模型法的优点是准确性高，适用于复杂和精密度较高的问题。
例如，考虑一个物体在弹簧中的振动问题。
根据胡克定律，在弹簧恢复力和物体质量、加速度之间建立微分方程模型：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=-kx$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$k$为弹簧的劲度系数。
这个模型可以求解得到物体的振动规律。
解析解法是指通过数学方法求解微分方程模型的解。
对于一些简单和常见的微分方程，可以通过积分、分离变量、变量替换等方法求得其解析解。
解析解法的优点是求解结果准确、精确，可以提供深入理解问题的信息。
但对于复杂和非线性的微分方程，往往难以求得解析解，需要借助数值方法。
数值解法是指通过数学计算机计算求解微分方程模型的解。
数学建模竞赛课件---微分方程模型
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问 题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作 用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、 一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数 和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分 方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分 方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为 常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对 于建模竞赛至关重要。
3.1 微分方程模型的建模步骤
第3章微分方程模型3.1 微分方程模型的建模步骤在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。
我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。
例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。
在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。
假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。
试研究此人的体重随时间变化的规律。
模型分析在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W ）关于时间t 的函数。
如果我们把体重W 看作是时间t 的连续可微函数，我们就能找到一个含有的dt dW微分方程。
模型假设1.以)(t W 表示t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为0W 。
2．体重的变化是一个渐变的过程。
因此可认为)(t W 是关于t 连续而且充分光滑的。
3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。
模型建立问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天”体重的变化=输入-输出。
由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得体重的变化/天=输入/天—输出/天。
代入具体的数值，得输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天），输出/天 = 69（焦/公斤•天）×W （公斤）= 69W （焦/天）。
体重的变化/天=t W ∆∆（公斤/天）dt dW t =→∆0考虑单位的匹配，利用 “公斤/天=公斤焦天焦/41868/”, 可建立如下微分方程模型⎪⎩⎪⎨⎧=-≈-==001000016129641868695429W W W W dtdW t 。
微分方程模型
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分 布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密 度）的变化率与外部环境有关，这种关系被 称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本 节中，我们将用房室系统的方法来研究药物 在体内的分布。在下一节中，我们将用多房 室系统的方法来研究另一问题。
单房室系统
交换 环境
内部
均匀分布
，i(t)单 s0 增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当 s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小，直 至此疾病在该地区消失。
(2)如果
则： s(t ) s
r (t )
1
o
e
di ，则开始时 dt 0
五．稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并 非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展 趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了 解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最 终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之 免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分 方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将 研究几个与稳定性有关的问题。
容器损失的水量为:
[ R ( R r ) ]dh
2 2
由质量守恒
[ R ( R r ) ]dh sv(t )dt
2 2
其中
v(t ) 0.6 2gh(t)
从而建立方程:
0.6s 2 gh dh 2 2 dt [R (R r) ]
解得
0.6s 2 gh 14 R T dh 2 2 R [R (R r) ] 9s 2 g
微分方程 模型
• 微分方程建模
对于某种现象或提出的问题,通过建立微分方程 来解释或解决.通常可分为两大类:
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
微分方程建模
r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r s xm
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
指数增 dx rx 长模型 dt
dx/dt
yc 0
要继续求 y 是 x 的怎样一个函数，必须进一步确定 k （1）若 a b ，从而 k 1 ，积分上式得
c 1 x y 2 1 k c
1 k 1 k
1 x 1 k c
ck 1 k 2
位置发现走私船在 0 ,0 处。 设在缉私舰发现走私船时算起的时间为 t ，走私 船到达 R 0 , at 点，缉私舰到 D x , y 因直线
DR 与路线相切，由几何关系得 dy y at tan , dx x
或
dy x y at dx
为消去
代入
A x(t0 ) I L T v0
其中 T 是驾驶员的反应时间，于是
v0 I L A T 2 g v0
假设 ，T 1s L 4.5m ，
I 9m
另外，我们选取具有代表性的
0.2 。当 v0 45km / h 65km / h 以及 80km / h
时，黄灯时间如 8-1所示。表中给出了经验法的值。
，
v0
45
65 80
km / h
A( s)
5.27
6.35 7.28
经验法
s
3
4 5
我们注意到，经验法的结果一律比我们预测 的黄灯状态短些。这使人想起，许多交叉 路口红绿灯的设计可能使车辆在绿灯转红 灯时正处于交叉路口。
微分方程模型
图示
y 敌艇 R=(0,at)
D(x,y)
x (c,0)
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： b ds
dt
dt
3、分解 dx 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅 匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试 建立容器中浓度与时间关系的数学模型。
模型的建立
参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t＝0时溶液的体 积为v0。
在△t的时间间隔内，容器内溶质的改变量：
其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度
2gy
（2）弧微分公式： ds 1 (y/ )2 dx
（3）下降的时间： dt ds ds 1 ( y/ )2 dx
v 2gy
2gy
模型：
2、追线问题
我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私 船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大 的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬 时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐 路线和追上的时间。
令t 0,得 dp rp(N p), r 0, dt
p(0) 1
解
p(t)
N
为
1 (N 1)erNt
当t无穷大时，p(t)的趋向及范围？ 还有当？时变化率最大？
如果考虑广告的效应呢？
考虑单位时间内使用该技术的企业数增量 时应把示范效应和广告效应一起考虑。而 广告只对没采用该技术的企业起作用。假 设其引起的增量与（N-p）成正比
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。
其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。
很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。
因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。
一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。
在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。
对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。
例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。
此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。
在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。
对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。
例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。
二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。
微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。
对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。
这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。
三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。
实验三 微分方程模型
微分方程模型一、实验目的及意义1.掌握常微分方程解析解和数值解的求解方法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；2.熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；3.通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；二、实验内容1.直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；2.利用图形对解的特征作定性分析；3.建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。
三、实验步骤1.开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2.根据微分方程求解步骤编写M文件3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果和体会写出实验报告。
四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）1、求微分方程的解析解, 并画出它们的图形。
（1）y '= y + 2 x , y (0) = 1, 0< x <1;程序：>> y=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')y =-2*x-2+3*exp(x)>> x=0:pi/100:1;>> y=-2*x-2+3*exp(x);画出该微分方程的解析解的图形：>>plot(x,y,'r-')图见：（2）y ''+ y cos( x ) = 0, y (0)=1, y '(0)=0;程序一：>> y=dsolve('D2y+y*cos(x)=0','y(0)=1','Dy(0)=0','x')??? Error using ==> dsolveError, (in dsolve/IC) The 'implicit' option is not available when giving Initial Conditions.程序二：选择状态变量y1=y’,y2=y,则可写出题中的方程的状态方程形式为：y1’=-y2*cos(x);y2’=y1;建立函数文件vdpol.m,程序如下：function ydot=vdpol(x,y)ydot(1)=-y(2)*cos(x);ydot(2)=y(1);ydot=ydot';求解微分方程：>> [x,y]=ode45(@vdpol,[0,5],[0;1]); >> [x,y]ans =0 0 1.00000.0001 -0.0001 1.00000.0001 -0.0001 1.00000.0002 -0.0002 1.00000.0002 -0.0002 1.00000.0005 -0.0005 1.00000.0007 -0.0007 1.00000.0010 -0.0010 1.00000.0025 -0.0025 1.0000 0.0037 -0.0037 1.0000 0.0050 -0.0050 1.0000 0.0062 -0.0062 1.0000 0.0125 -0.0125 0.9999 0.0188 -0.0188 0.9998 0.0251 -0.0251 0.9997 0.0313 -0.0313 0.9995 0.0627 -0.0627 0.9980 0.0941 -0.0939 0.9956 0.1255 -0.1249 0.9921 0.1569 -0.1557 0.9877 0.2819 -0.2746 0.9608 0.4069 -0.3853 0.91940.6569 -0.5711 0.79880.7819 -0.6427 0.72270.9069 -0.6993 0.63871.0319 -0.7414 0.54851.1569 -0.7702 0.45391.2819 -0.7878 0.35651.4069 -0.7965 0.25741.5319 -0.7993 0.15761.6569 -0.7991 0.05771.7819 -0.7990 -0.04221.9069 -0.8023 -0.14222.0319 -0.8117 -0.2430结果第一列为x的采样点，第二列和第三列分别为y’和y与x对应点的值（只列出部分结果）。
微分方程的建模与求解方法
微分方程的建模与求解方法微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。
微分方程的建模与求解方法是应用数学的重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的建模过程以及常见的求解方法。
一、微分方程的建模过程微分方程的建模过程是将实际问题转化为数学模型的过程。
它包括以下几个步骤：1. 确定问题的变量和参数：在建模过程中，首先需要确定问题中涉及的变量和参数。
变量是问题中需要研究的物理量，参数是与变量相关的常数。
2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型。
常见的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等。
3. 建立微分方程：根据问题的物理规律和数学模型，建立微分方程。
微分方程描述了变量之间的关系，它可以是一阶、二阶或更高阶的。
4. 添加初始条件和边界条件：为了求解微分方程，需要添加初始条件和边界条件。
初始条件是在某一时刻变量的已知值，边界条件是在空间范围内变量的已知值。
5. 求解微分方程：通过数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
常见的求解方法包括分离变量法、变换法、级数法、数值方法等。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。
通过将变量分离到方程两边，再进行积分，得到方程的解。
2. 变换法：适用于具有特殊形式的微分方程。
通过进行变换，将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。
3. 级数法：适用于无法直接求解的微分方程。
通过将解表示为级数形式，再逐项求解，得到方程的解。
4. 数值方法：适用于无法求得解析解的微分方程。
通过数值计算的方法，近似求解微分方程，得到数值解。
5. 特殊函数法：适用于具有特殊函数解的微分方程。
通过利用特殊函数的性质，求解微分方程。
以上是常见的微分方程求解方法，不同的方法适用于不同类型的微分方程。
在实际问题中，常常需要结合多种方法进行求解，以获得更精确的结果。
微分方程(2)
1) 向前欧拉公式: （y’= f (x, y) ） y (xn+1) y(xn) + h f(xn, y(xn)) (迭代式) yn+1 yn + h f(xn, yn) (近似式) 特点：f(x,y)取值于区间[xn, xn+1]的左端点.
2) 向后欧拉公式 yn+1 yn + h f(xn +1, yn +1)
= yn + (h/2)* [(-yn + xn+ 1) -(yn+ h*(-yn + xn+ 1) )+xn +1+1] = yn + (h/2)* [ (1-h)*xn + xn+1 + 2-h + (h-2)*yn] died1.m
结果
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
变量组
注意：① y '
‘t’。
② 自变量名可以省略，默认变量名
例①
dy 1 y2, dx
y ( 0) 1
输入：y=dsolve ('Dy=1+y^2') y1=dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x') 输出：y= tan(t-C1) （通解，一簇曲线） y1= tan(x+1/4*pi)（特解，一条曲线）
① 分离变量法；如 dy/dx = x*y； ② 齐次方程的变换法； 如 dy/dx = f (y/x) ③ 线性方程的常数变易法或公式法. ……
MATLAB软件实现
解析解
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11
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
2
N/ 人
几何级数的增长
1.5
1
0.5
0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
Malthus模型曲线形状与大陆人口增长曲线差异较大
世界人口连线图 60
中国人口增长 14
50
12
40
10
x(亿 )
30
8
20
6
10
4
0 1600
1650
Matlab非线性拟合函数
[B,SSE] = lsqcurvefit(FUN,B0,XDATA,YDATA) 原理：基于Trust-Region-Reflective算法和LevenbergMarquardt 算法，通过最小化残差平方和求解模型中的参 数。 rt 对于Malthus人口增长模型： x ( t ) ce 求这样的c,r, 使得
R2 =
0.9754
t=[1625
x=[5 10
1830
20
1930
30 40
1960
50
1974
60]';
1987
1999]';
scatter(t,x,'r','filled'),hold on Malthus=inline('b(1)*exp(b(2)*t)','b','t'); b=[0.01 0.01];
则t时刻人口的变化速度为：
dx rx 于是x（t）满足如下微分方程： dt x(0) c
应用Matlab解微分方程
微分方程的求解 Dsolve（’eqn1’,’eqn2’,…,’x’) equi表示第i个微分方程，或者初始条件等 式 ‘x’是自变量，默认自变量为t Dy表示因变量y的一阶导数，D2y表示因变 量y的二阶导数 初始条件的写法：y(a)=b,表示x=a时，y=b Dy(a)=b,表示x=a时，y’=b
世界人口
年 人口（亿） 1625 5
回顾人口发展的历史
1830 10 1930 20 1960 30 1974 40 1987 50 1999 60
中国大陆人口
年 人口（亿） 1908 1933 3 4.7 1953 6 1964 7.2 1982 10.3 1990 2000 11.3 2010 2014
12.95 13.39 13.67
世界人口连线图 60
中国人口增长 14
50
12
40
10
x(亿 )
30
8
20
6
10
4
0 1600
1650
1700
1750
1800 t(年 )
1850
1900
1950
2000
2 1900
1920
1940
1960
1980
2000
2020
2.微分方程建模
主要的人口模型： • 马尔萨斯（Malthus）模型 • Logistic模型
t=t-1625;%以1625年为时间起点 x=[5 10 20 30 40 50 60]';
%内联函数法建立Malthus模型函数
%注意：模型函数里向量一定用点乘除幂运算 Malthus=inline(‘b(1)*exp(b(2)*t) ’, ‘b’, ‘t) b=[0.01 0.01];%确定参数初始值 [b SSE]=lsqcurvefit(Malthus,b,t,x) %拟合 注意： • 程序里b为参数向量，b(1)为Malthus模型里参数c, b(2)为参 数r; • 内联函数建立模型函数时，凡涉及到向量乘、除、幂运算的， 必须用点运算。
[b SSE]=lsqcurvefit(Malthus,b,t-1625,x)
SST=sum((x-mean(x)).^2); R2=(SST-SSE)/SST t=1625:5:2005; y=Malthus(b,t-1625);
plot(t,y)
模型预测
假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将 以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个， 即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围， Malthus 而到2670年，人口达 36模型实际上只有在群体总数 ×1015个，只好一个人站在另一人的 不太大时才合理，到总数增大时， 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 所以 Malthus模型假设的人口净 生物群体的各成员之间由于有限的 增长率不可能始终保持常数， 生存存空间，有限的自然资源及食 它应当与人口数量有关。 物等原因，就可能发生生存竞争等 现象。
1700
1750
Malthus模型的假设：人口净增长率为常数？ 资源是有限的，任何生物的种群数量不可能无限增 长，种群的增长速度也受到自然资源的约束。
1800 t(Βιβλιοθήκη )18501900
1950
2000
2 1900
1920
1940
1960
1980
2000
2020
应用数学模型时应注意该模型的假设。
2.2 Logistic模型
2.1 马尔萨斯（Malthus）模型 ：马尔萨斯在分析人口出生 与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数。 假设：人口净增长率r是一常数 符号：x( t ) t时 刻 时 的 人 口 ， 可 微 函 数 x0 t 0 时 的 人 口
v t rx ( t ) x (t t ) x (t ) t时刻人口的变化速度还可表示为： v t t x (t t ) x (t ) dx (t ) rx (t ) rx (t ) t dt
人口模型：Malthus模型与Logistic模型 1.问题来源和背景： 1.1俄罗斯国土面积辽阔，但是人口却不断减少， 尽管政府不断鼓励生育，但是依然没有改变人 口萎缩态势，因人口减少，一些城市不得不撤 销。 1.2世界第三大经济体日本，人口老龄化严重， 年轻人的负担加重，养老金的支出可能会让日 本面临经济崩溃。 1.3中国已经放开单独二胎，是否要全面放开二 胎？中国人口未来如何增长，将影响国家的命 运。
t=[1625 x=[5 10
1830 20
1930 30 40
1960 50
1974 60]';
1987
1999]';
Malthus=inline('b(1)*exp(b(2)*t)','b','t');
b=[0.01 0.01];
[b SSE]=lsqcurvefit(Malthus,b,t-1625,x) SST=sum((x-mean(x)).^2); R2=(SST-SSE)/SST
2 ˆ ( x (t ) x )
达到最小
Fun为要拟合模型的函数形式 B0为模型参数初始值或初始值向量 XDATA为自变量观测数据 yDATA为因变量观测数据 2 ˆ ( x ( t ) x ) B为模型参数的解 SSE为残差平方和
t=[1625
1830
1930 1960 1974 1987 1999]';
Malthus 模型：x ( t )
ce
c*exp(r*t)
rt
x ( t ) ce Malthus 人口增长模型：
rt
当r>0时，表明人口将按指数规律无限增长，因此又称为人 口指数模型。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时 间是固定的。 rt
2 c ce
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有： 故
1.分析实际问题，建立微分方程模型 通常要建立y与x的关系，但是常常在实际问题中，y与x的关系不 能直接写出来，而是知道y关于x的导数，或者是dy/dx，因而建立 微分方程 2.求出方程的解
求出未知函数的解析表达式，利用MATLAB微分方程的解，无解 解析解时，利用MATLAB的数值解
3.对存在解析解的微分方程，写出未知函数的表达式，写出因变 量关于因变量的模型。 4.对上述模型进行验证和评价 应用Matlab软件，采用lsqcurvefit函数，用真实数据区拟合 模型，计算模型中的参数值，并计算决定系数的值，来评估模型。
假设：人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x) 从而有： dx r( x) x dt x ( 0 ) x0 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(x)=r-ax 此时得到微分方程：
最简单的形式是常数，此 dx r(x)为了得出一个有实际意义 ( r(的模型，我们不妨采用一 ax ) x 时得到的就是马尔萨斯模型。 r x)是未知函数，但根 dt 对马尔萨斯模型的最简单的改 下工程师原则。工程师们 据实际背景，它无法用 进就是引进一次项（竞争项） 在建立实际问题的数学模 拟合方法来求 。 型时，总是采用尽可能简 单的方法。
Kx x r ( x) ( )r r (1 ) K K
x dx r (1 ) x dt K x(0) x0
红点为世界人口的真实观测值 曲线为模型的预测值
60
50
40
30
20
10
0 1600
1650
1700
1750
1800
1850
1900
1950
2000
2050
D.模型的拟合优度检验
SS T SS E 2. 计算决定系数 R SS T
2 2 ( x x )
2 2 ˆ ( x x ) ( x x )