两种空间插值方法的比较研究

两种空间插值方法的比较研究

摘要：距离倒数加权法算法简单，容易实现，适合分布较均匀的采样点集，但容易出现“牛眼”现象；克里金法是一种无偏最优估计法，精度较高，适合空间自相关程度高的数据，但其算法复杂，实现较难。这两种

方法各有其适用情形，本文比较了这两种方法的优劣并提出算法优化的思路。

关键字：距离倒数加权，克里金，优化

1引言

空间插值是根据一组已知的离散数据或分区数据，按照某种假设推求出其他未知点或未知区域的数据的过程，简单的说就是由已知空间特性推求未知空间特性。它是地学研究中的基本问题，也是GIS 数据处理的重要内容。在利用GIS 处理空间数据的过程中，需要进行空间插值的场合很多，如采样密度不够、采样分布不合理、采样存在空白区、等值线的自动绘制、数字高程模型的建立、区域边界分析、曲线光滑处理、空间趋势预测、采样结果的2.5维可视化等[1]。通过归纳，空间插值可以简化为以下三种情形：（1）现有离散曲面的分辨率、像元大小或方向与所要求的不符，需要重新插值。例如将一个扫描影像（航空像片、遥感影像）从一种分辨率或方向转换为另一种分辨率或方向的影像。（2）现有连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重新插值。如将一个连续曲面从一种空间切分方式变为另一种空间切分方式，从TIN 到栅格、栅格到TIN 或矢量多边形到栅格。（3）现有数据不能完全覆盖所要求的区域范围，需要插值。如将离散的采样点数据内插为连续的数据表面[2]。。 现有的空间插值方法多种多样，但每一种方法都有其适用情形和无法避免的缺陷，本文分析了距离倒数加权法和克里金法的插值结果，并提出改进的思路。 2方法

距离倒数加权法和克里金法都是建立在地理学第一定律之上的，即：空间距离越近，地理事物的相似性越大[3]。它们都是通过确定待插点周围采样点的权重来求取待插点的估计值，可统一表示。设n x x ,,1 为区域上的一系列观测点，)(,),(1n x Z x Z 为相应的观测值。待插点0x 处的值)(0x Z 可采用一个线性组合来估计：

∑==n

i i i x Z x Z 10)()(λ （1）

但距离倒数加权法只考虑采样点与待插点之间的距离，而克里金法不仅考虑距离，还要考虑采样点的空间分布及其与待插点的空间方位关系[4]。

2.1距离倒数加权法

距离倒数加权权重i λ的赋值表达式为

[][]

0;,,2,1),(),(100>==∑=--αλααm i x x d x x d m i i i i （2）

式中，幂指数α越小，权重越趋向取平均值；α越大，越近的点权重越大，越远的点权重越小[5]。当α为零时，就是等权模型，即m i /1=λ，等权虽然简单易操作，但忽略了地理学第一定律。有的文献[6]采用下列方案确定权值i λ

[]

⎩⎨⎧==else x x d x x d x x d x x d n i i ,0),(),...,,(),,(min ),(,

121λ （3）

它相当于待插点取最邻近点的值，即泰森多边形法（最近邻点插值法）。

2.2克里金法

地质统计学是以区域化变量为基础，借助变异函数，研究既具有随机性又具有结构性，或空间相关性和依赖性的自然现象的一门科学[4]。克里金插值法是地质统计学的重要组成部分，也是地质统计学的核心。

2.2.1区域化变量

能用空间分布来表征一个自然现象的变量称为区域化变量，它反映了区域内的某种特征或现象。区域化变量根据区域内位置的不同而取不同的值，可以说，它是与位置有关的随机变量。在进行采样观测以后，可以将其表示为一个空间点函数

),,()(w v u x x x Z x Z = （4）

式中， w v u x x x ,, 为三维直角坐标系中的三轴。

区域化变量具有以下几个特性：

随机性：区域化变量是一个随机变量，它具有局部的、随机的、异常的特征；结构性：区域化变量在一定范围内具有某种程度的相似性，即自相关性，当超出这一范围时，自相关性消失；空间局限性：即这种结构性的表现被限定在一定的空间内；连续性：不同的区域化变量具有不同程度的连续性，其连续性是有变异函数来表示的；异向性：区域化变量可能表现为各向同性，也可能表现为各向异性[4,7]。

2.2.2平稳假设

克里金插值法是一种无偏最优估计法[8]，其中，无偏是指偏差为0，即要服从二阶平稳或本证假设。

1.二阶平稳

当区域化变量)(x Z 满足下列两个条件时，称其为二阶平稳或弱平稳，在整个研究区内有)(x Z 的数学期望存在，且等于常数，即：

m h x Z E x Z E =+=)]([)]([ （5）

在整个研究区内，)(x Z 的协方差函数存在且平稳，即只依赖于滞后h ，而与x 无关：

)()]()([)]

([)]([)]()([)}

(),({2

h C m h x Z x Z E h x Z E x Z E h x Z x Z E h x Z x Z Cov =-+=+-+=+ （6）

特殊的，当0=h 时，上式变为)0()]([C x Z Var =，即方差存在且为常数。

2.本征假设

是比二阶平稳更弱的平稳假设，当区域化变量)(x Z 的增量)()(h x Z x Z +-满足下列两条件时，称其为满足本征假设或内蕴假设。在整个研究区内有

0)]()([=+-h x Z x Z E （7）

增量)()(h x Z x Z +-的方差函数存在且平稳（即不依赖于x ）：

)

(2)

,(2)]()([)]}()([{)]()([)]

()([22

2h h x h x Z x Z E h x Z x Z E h x Z x Z E h x Z x Z Var γγ==+-=+--+-=+- （8）

2.2.3变异函数

变异函数是地统计学特有的基本工具，它既能描述区域化变量的空间结构性变化,又能描述其随机性变化。区域化变量)(x Z 在点x 和h x +处的值)(x Z 与)(h x Z +差的方差的一半称为区域化变量)(x Z 的变异函数，记为),(h x γ。在二阶平稳假设或本征假设的条件下，有

2

22)]()([2

1)]}([)([{)]()([2

1)]()([2

1

),(h x Z x Z E h x Z E x Z E h x Z x Z E h x Z x Z Var h x +-=+--+-=+-=γ （9） 由上式可知，变异函数依赖于自变量x 和h ，当变异函数),(h x γ仅仅依赖于距离h 而与位置x 无关时，),(h x γ可改写为)(h γ，即

2)]()([2

1)(h x Z x Z E h +-=

γ （10） 具体表示为