胡海岩+机械振动基础课后习题解答 习题
机械振动课后习题和答案第二章习题和答案
弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m，弹簧刚度为k，贝mg k，即：n -k/m.g/取系统静平; 衡位f置为原点X0，糸统运动方程为m X&kx0X。
2（参考教材P14)X0解得：x(t)2COS n t弹簧不受力时长度为65cm下端挂上1kg物体后弹簧长85cm设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长V 0.85 0.65 0.2(m)所以：n器觴7(rad/s)取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：X& n2x 0其中，初始条件：x(°)0.2(参考教材P14)X(0) 0所以系统的响应为：x(t) 0.2cos n t(m)弹簧力为：F k kx(t) mg x(t) cos n t(N)2因此：振幅为、周期为争(s)、弹簧力最大值为12重物m i悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m2从高度为h处自由落到m i上而无弹跳，如图所示，求其后的运动当m有x位移时，系统有:E T(m1m2)>&?U扣2由d(E T U) 0可知：(m1 m2)X& kx 0即：n .k/(m i m2)系统的初始条件为: x mg0 kx o m2 ,2ghm1 m2(能量守恒得：m2gh 1(m1 m2)x&2)因此系统的响应为：x(t) A0 cos n t A1 sin n tA。
其中：A1 x°Anm?gkm?g 2ghkk : m1m2解：取系统的上下运动x为坐标, 向上为正，静平衡位置为原点x 0,则2g j n t) m2即：x(t)m1一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图所示，求系统的固有频率。
解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0,则当m有转角时，系统有：E T丄1 & 咕(&)2Bl mr2)&2 2 21 2U k( r)22由d(E T U) 0 可知：(I mr2)險kr20即：n\kr2/ (I mr2) (rad/s)均质杆长L、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。
机械振动-课后习题和答案--第二章-习题和答案
弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=、 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===- 因此：振幅为、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
<解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k "一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
胡海岩+机械振动基础课后习题解答_第2章习题
P89,2-13: 图示刚杆质量不计，并求系统的固有频率和固有振型。如果将杆向下平移0.1l , 求 突然释放后的自由振动。
2mu (t ) ku (t ) k (u (t ) l (t )) 2ml 2 (t ) kl (u (t ) l (t ))
0 u 2k kl u 0 2m 运动方程： 0 2ml 2 kl kl 2 0
g g 1 0.7654 , 2 1.8478 l l
(t ) 0.707 0.707 g g (t ) 1 0.707 cos(0.7654 ) t 0.707 cos(1.8478 )t 0 0 1 ( t ) 1 l l 2
m 0 u1 4k 0 2m u 3k 2 3k u1 0 u 0 5k 2
( K 2 M )φ 0
1 k / m , 2 11k / 2m
1 1 φ1 , φ2 1 0.5
1
2
0 1 0 0 m2bg 2
J1 m1a 2 m2l 2 m2lb
1 (m1a m2l ) g 0 J 2 m2b 2 2 m2lb
P88,2-3: 求图示系统的固有频率和固有振型。
5 2
8l 3 d 22 = 3EI
l3 1 柔度矩阵：D 3EI 2.5
2.5 8
刚度矩阵：K
6EI 16 7l 3 5
m1 0 u1 6 EI 运动方程： 0 m u 7l 3 2 2
(完整版)机械振动课后习题和答案第二章习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩&&&00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V所以：7(/)n rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=&& 其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x=-⎧⎨=⎩& （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=- 弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-V因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+& 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&& 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩&2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+&） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩&200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
机械振动学习题解答(一).PPT24页
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
机械振动 课后习题和答案 第二章 习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-= 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
机械振动课后习题和答案第二章习题和答案
弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω== 取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为：δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-= 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩（参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===- 因此：振幅为、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有：2121()2T E m m x =+212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
机械振动 课后习题和答案 第四章 习题和答案
4.1 按定义求如图所示三自由度弹簧质量系统的刚度矩阵，并用能量法检验。
求系统的固有频率和振型。
（设132142356;2;;2;3;m m m m m k k k k k k k k k =========）解：1)以静平衡位置为原点，设123,,m m m 的位移123,,x x x 为广义坐标，画出123,,m m m 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：11112122222132352623333243()0()()0()0m x k x k x x m x k x x k x x k x k x m x k x x k x ++-=⎧⎪+-+-++=⎨⎪+-+=⎩所以：[][]1231222235633340010000020;01032021020023m M m m m k k k K k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+++-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦系统运动微分方程可写为：[][]11220x x M K x x ⎧⎫⎧⎫+=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭…… (a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为=++ 222112233111222T E m xm xm x=+-+-+++22222112123234356211111()()()22222U k x k x x k x x k x k k x=+++++++--22212123562343212323111()()()222U k k x k k k k x k k x k x x k x x求偏导也可以得到[][],M K2)设系统固有振动的解为： 112233cos x u x u t x u ω⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，代入（a ）得：[][]1223()0u K M u u ω⎧⎫⎪⎪-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭…… (b)得到频率方程：2222320()21022023k mk k k mk kk mωωωω--=---=--即：222422()(3)(21622)0k m m km k ωωωω=--+=解得：2(4k mω=±和23k mω=所以：123ωωω=<=<=………… (c)将（c）代入（b）可得：1233(4202102(420023(4kk m km ukk k m k umukk k mm⎡⎤-±-⎢⎥⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥--±-=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎢⎥--±⎢⎥⎣⎦和123332021023200233kk m km ukk k m k umukk k mm⎡⎤--⎢⎥⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥---=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎢⎥--⎢⎥⎣⎦解得：112131::1:2u u u≈；122232::1:0:1u u u≈-；132333::1:2u u u≈；令31u=，得到系统的振型为：0 1-1 0.618 111.6181 14.2 按定义求如图T—4.2所示三自由度扭转系统的刚度矩阵和质量矩阵。
胡海岩主编机械振动基础课后习题解答第2章习题
胡海岩主编---机械振动基础课后习题解答_第2章习题第2章习题含答案习题2-1 定常力作用下的单自由度系统1. 一个单自由度系统的质量m=2kg，刚度k=1000N/m，阻尼系数c=10N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(1000/2) ≈ 22.36 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 10/(2√(2×1000)) ≈ 0.158振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
2. 一个单自由度系统的质量m=5kg，刚度k=500N/m，阻尼系数c=20N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(500/5) = 10 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 20/(2√(5×500)) ≈ 0.141振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
习题2-2 强迫振动的幅值和相位1. 一个单自由度系统的质量m=3kg，刚度k=2000N/m，阻尼系数c=30N·s/m。
给定的外力F(t) = 10sin(5t)N。
试求该系统在稳态时的振动幅值和相位。
解：首先求解系统的强迫响应，即对外力F(t)进行拉氏变换：F(s) = L{F(t)} = L{10sin(5t)} = 10L{sin(5t)} = 10×(5/(s^2+25))根据公式，系统的强迫响应可计算为：X(s) = F(s)/((s^2+ωn^2)+2ξωns)其中，ωn=√(k/m)为系统的固有频率，ξ=c/(2√(mk))为系统的阻尼比。
胡海岩+机械振动基础课后习题解答__第1章习题
u(t)asin(t) 两 边 平 方 ， 相 加
代入已知条件
u ( t) a c o s ( t )
[a 2 u 2(t)]2 u 2(t)
[a2 0.052]2 0.22 [a2 0.12]2 0.082
解出
振 动 周 期 ： T 2 / 2 / 2 . 1 1 6 7 2 . 9 ／ 2
x
任 意 截 面 处 的 弯 矩 ：
M(x)FxFxl
2
2
挠 曲 线 微 分 方 程 ：
x
l 2
x 0
l 2
当x l 2
当x l 2
ddx2w 2 ME(Ix)F 2xFEIx2l 积分：
w(x)E F I1 x2 31 6x2 l3CxD
# 如 果 u 0 0 , u 0 0 ， 系 统 静 止 在 平 衡 位 置 上 。
#如 果 u 0 0 ,u 0 0
u(t) 0
t1 0
u(t1)u00
经 过 平 衡 位 置 一 次
#如 果 u 0 0 ,u 0 0
u(t) 0 t 1 为 负 值 ， 无 意 义 ， 即 无 解 ， 表 明 系 统 不 经 过 平 衡 位 置
边界条件： w(0)w(l)0
w(x)E FI1 x2 31 6x2 l 33 4l82x
w
F F／ 2
F／ 2
x
w(x)E FI1 x2 31 6x2 l 33 4l82x (a )
kbeam
F w(l /2)
F l3F
48EI l3
(ml22ml2)kl2mgl
4
胡海岩版机械振动基础课后题答案第3章习题
1
φ2
0
1
1
φ3
2
1
P140,3-5: 图示系统中各质量只能沿ui，i 1, 4方向运动，试分析其固有模态。
M 0 0 0
M
0
m
0
0
0 0 m 0
0
0
0 m
3k k k k
K k k
0
0
k 0 k 0
k 0M )φ 0
3k 2M 系统固有频率满足的方程： k
q1 (t )
2 n n
qn (t)
0
0]T
n r 1
2 r r
φr qr (t)
u(t)
K
1
f
(t)
n r 1
2 r r
φr qr
(t)
n r 1
1 r2 φr qr
(t)
感谢下 载
qn (t) / n2 0
0]T
n1
2
r 1 r
φr qr (t)
n
n
K 1C
φr
qr
(t
)
Φ
diag[
K
1 r
]ΦT
C
φr
qr
(t )
Φ
diag[
K
1 r
][C1q1
(t
)
Cnqn (t) 0
0]T
r 1
1r N
r 1
1r N
Φ[
C1 K1
q1 (t )
Cn Kn
qn (t)
0
0]T
Φ[ 21 1
r 1
n
n
u(t) K 1 f (t) K 1M φr qr (t) K 1C φr qr (t)
胡海岩+机械振动基础课后习题解答-第3章习题
m1l 2 3 M 0
0 7m2l 2 48
9l 2 k1 16 K 9l 2 k1 16
9l 2 k1 16 9l 2 k1 l 2 k2 16 4
ml 2 M 3
0 1 0 7 /16
1 0
2
3EI 3EI ml Ml 3EI (2m M ) 3EI (2 1) Mml Ml
1 φ2 0 1
3
1 φ1 1 1
1 φ3 2 1
P139, 3-1: 求图示摆的柔度系数。
d11 d 21 d 31
1
d11 d21 d31
l1 (m1 m2 m3 ) g
d 22
d 32
1
d 22 d32
l1 l2 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g
d33
1
d 22 d32
l l1 l2 3 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g m3 g
P139,3-2: 求图示系统的的刚度矩阵和柔度矩阵， 并求m1 m2 m, k1 k2 k时系统的固有频率。
1 m1l 2 l 2 2 1 m2l 2 l T ( m1 ( ) )1 ( m2 ( ) 2 ) 2 2 2 12 2 2 12 4
1 3l 3l 1 l U k1 ( 1 2 )2 k2 ( 2 )2 2 4 4 2 2
r r
n
Kφr r2 Mφr , (r 1...N ) M 1 Kφr r2φr , (r 1...N )
M 1 KΦ Φ diag[i2 ]
机械振动习题解答
第十五章 机械振动一 选择题1. 对一个作简谐振动的物体,下面哪种说法是正确的?（ ）A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；B 。
物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零.解:根据简谐振动的速度和加速度公式分析。
答案选C.2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动?( ）A 。
小球在地面上作完全弹性的上下跳动；B 。
竖直悬挂的弹簧振子的运动；C 。
放在光滑斜面上弹簧振子的运动;D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。
解：A 中小球没有受到回复力的作用.答案选A.3。
一个轻质弹簧竖直悬挂,当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l 而平衡。
则此系统作简谐振动时振动的角频率为( ）A 。
l gB 。
l gC 。
g l D. gl 解 由kl =mg 可得k =mg /l ,系统作简谐振动时振动的固有角频率为l g m k ==ω。
故本题答案为B 。
4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达)，若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t =0，则振动初相ϕ为（ ）A 。
2π-B 。
0 C. 2π D 。
π解 由 ) cos(ϕω+=t A x 可得振动速度为 ) sin(d d ϕωω+-==t A tx v .速度正最大时有0) cos(=+ϕωt ，1) sin(-=+ϕωt ，若t =0,则 2π-=ϕ. 故本题答案为A 。
5。
如图所示，质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接,在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 ( ）A 。
mk k 21π2=ν B. m k k 21π2+=ν C. 2121π21.k mk k k +=ν D 。
)k m(k .k k 2121π21+=ν 解：设当m 离开平衡位置的位移为x ,时，劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧的伸长量分别为x 1和x 2,显然有关系x x x =+21此时两个弹簧之间、第二个弹簧与和物体之间的作用力相等。
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振动周期：T 2 / 2 / 2.1167 2.9684 振幅：a 0.1069 最大速度=a 0.1069 2.1167 0.2263
[a2 0.052 ]2 0.22
[a
2
0.12 ]2
0.082
解出
a 0.1069, =2.1167
P57.1-2: 一物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，
由以上各式得到：keq
(a b)2 a2 b2
k2 k1
k1x1 x1
a
bx1 ax2 ab
k2x2
o
x2
b f
P57.1-7: 图中简支梁长l 4m, 抗弯刚度EI 1.96106 Nm2, 且k 4.9105 N/m, m 400kg。 分别求图示两种系统的固有频率。
w
F F／2
u (t) cos(39t (t))
u (t) (5cost 3)2 (5sin t)2 34 30cos t (t) arctan( 5sin t )
5cos t 3
umax 34 30 8 umin 34 30 2
拍频 | 2 1 || 40 39 | 1 rad/s 拍周期 2 2 2 (s)
mg
2 sin(t ) 2 (2 5)2
P57.1-3: 求简谐位移u1(t) 5e j(t300 )与u2 (t) 7e j(t900 )的合成运动u(t), 并求u(t)与u1(t)的相位差。
u(t) u1(t) u2 (t) 5e j(t300 ) 7e j(t900 ) (5e j300 7e j900 )e jt (5cos 300 j(5sin 300 7))e jt 10.44e j(t65.50 )
(ml2 2ml2 ) k l2 mgl 4
n
kl 4mg 12ml
P58.1-12: 图示摆，其转轴与铅垂方向成角，摆长l，质量不计。求摆动固有频率。 ml2 mg sin()l sin
ml2 mg sin()l sin 0
很小，sin
ml2 mg sin()l 0
n
mg sin( )l ml 2
F／2
x
任意截面处的弯矩：
M (x) F x F x l
2
2
挠曲线微分方程：
x
l 2
x 0
l 2
当x l 2
当x l 2
d 2w dx2
M (x) EI
F 2
xF EI
x
l 2
积分：
w(x)
F EI
x3
12
1 6
x
l 2
3
Cx
D
边界条件： w(0) w(l) 0
w(x)
F EI
x3
12
1 6
x
l 2
3
3l 2 48
x
w
F F／2
F／2 x
w(x)
F EI
x3
12
1 6
x
l 2
3
3l 2 48
x
(a)
F
F 48EI
kbeam w(l / 2) l3F l3
48EI
keq
k
kbeam
k
48EI l3
4.9 105
48 1.96 106 43
1.96106 (N
u(t)与u1(t)的相位差：65.50 300 35.50
P57.1-4: 求两简谐运动u1(t) 5cos 40t, u2 (t) 3cos 39t的合成运动的最大振幅和最小振幅， 并求其拍频和周期。
u(t) u1(t) u2 (t) Re[5e j40t 3e j39t ] Re[(5e jt 3)e j39t ] Re[((5cos t 3) j5sin t)e j39t ] Re[u (t)e e j (t) j39t ]
对台面的振幅有何限制？ 质量m运动方程：N mg mu(t)
N mu(t) mg
不跳离条件: N 0
m
u
a
sin(t
)
g
2
g u(t) 2
mu(t) mg 0
u(t) 2u(t)
() 如果sin(t ) 0, 则上式恒成立
N
m
() 如果sin(t ) 0, 则上式变为a
g
g 9.8 9.9mm
系统固有频率：n
k m
初始条件：u(0) 0, u(0) v0
振幅：a
u02
( u0 )2 n
v0 n
v0
m k
最大张力：T mg ka mg v0 mk 1000 9.8 0.5 1000 4105 1.98104 (N)
P58.1-11: 系统在图示平面内作微摆动，不计刚杆质量，求其固有频率。
/ m)
n
keq m
1.96106 70(rad / s) 400
(b)
keq
k kbeam k kbeam
3.675105
n
keq 30.3(rad / s) m
P58.1-8: 钢索的刚度为4105 N/m, 绕过定滑轮吊着质量为100kg的物体以匀速0.5m/s下降， 若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。
g sin( ) l
mg sin
P58.1-13: 证明对临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。
(1) 对临界阻尼情形
u(t) [u0 (u0 nu0 )t]ent
u(t) [u0 n (u0 nu0 )t]ent
| 2 1 | | 40 39 |
P57.1-5: 写出图示系统的等效刚度的表达式。当m 2.5kg, k1 k2 2105 N/m, k3 3105 N/m时， 求系统的固有频率。
分析表明：k1和k2并联，之后与k3串联 k1和k2并联后的等效刚度：keq k1 k2
整个系统的等效刚度：keq
第一章习题
P57.1-1: 一物体作简谐振动, 当它通过距平衡位置为0.05m, 0.1m处时的速度分别为0.2m/s和0.08m/s。 求其振动周期、振幅和最大速度。
u(t) a sin(t ) u(t) a cos(t )
两边平方，相加
代入已知条件
[a2 u2 (t)]2 u2 (t)
keq k3 keq k3
(k1 k2 )k3 k1 k2 k3
系统的固有频率：n
keq 261.86 rad/s m
P57.1-6: 写出图示系统的等效刚度的表达式。
垂直方向力平衡：f k1x1 k2x2
对o力矩平衡：k1x1a k2x2b
设等效刚度系数为keq，则：f
keq
bx1 ax2 ab