平面体系自由度附约束
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结构力学第二章-平面体系的几何组成分析
14
2.4 实铰和虚铰
Ⅰ1
Ⅰ A
Ⅱ(参照刚片) (a) 实铰的相对位置固定
Ⅰ Ⅰ1
虚铰O O1
Ⅱ(参照刚片) (b) 虚铰的相对位置变化
图2.8 实铰和虚铰示例
15
Ⅰ
A Ⅱ
(a) 两刚片用铰结在一起的 两链杆相连
Ⅰ
A Ⅱ
(b) 两刚片用铰直接相连
图2.9实铰的常见情形
16
才从微小运动看，两根链杆所起的作 用相当于在链杆交点处的一个铰所起 的约束作用，此铰可称虚铰。
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
形状可任意替换
7
2. 2 自由度
体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为 该体系的自由度。平面上的一个点的自由度为2（或称 作有2个自由度），平面上一个刚片的自由度为3。
平面内一刚片
平面内一点 n=2 n=3
x
y
8
2.3 约束
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
2.4 实铰和虚铰
Ⅰ1
Ⅰ A
Ⅱ(参照刚片) (a) 实铰的相对位置固定
Ⅰ Ⅰ1
虚铰O O1
Ⅱ(参照刚片) (b) 虚铰的相对位置变化
图2.8 实铰和虚铰示例
15
Ⅰ
A Ⅱ
(a) 两刚片用铰结在一起的 两链杆相连
Ⅰ
A Ⅱ
(b) 两刚片用铰直接相连
图2.9实铰的常见情形
16
才从微小运动看，两根链杆所起的作 用相当于在链杆交点处的一个铰所起 的约束作用，此铰可称虚铰。
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
形状可任意替换
7
2. 2 自由度
体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为 该体系的自由度。平面上的一个点的自由度为2（或称 作有2个自由度），平面上一个刚片的自由度为3。
平面内一刚片
平面内一点 n=2 n=3
x
y
8
2.3 约束
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
§4-2平面体系的自由度和约束
黄河水利职业技术学院
重庆水利水电职业技术学院
工程力学
/
§4-2 平面体系的自由度和约束
3.多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少， 则此约束称为多余约束。
工程力学
/
主持单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
参建单位: 杨凌职业技术学院
与别的物体相联的刚性杆。
工程力学
/
§4-2 平面体系的自由度和约束
（2）单铰——联结两个刚片的铰。 （3）复铰——联结三个或三个以上刚片的铰。
工程力学
/
§4-2 平面体系的自由度和约束
（4）刚性连结。
（5）虚铰。
工程力学
平面体系的自由度和约束
主 讲 人：袁 芙 蓉
杨凌职业技术学院
2014.09
工程力学
/
第四章 平面体系的几何组成分析
§4-2Байду номын сангаас平面体系的自由度和约束
工程力学
/
§4-2 平面体系的自由度和约束
1．自由度
平面体系的自由度是指该体系运动时可以独立变化的几何参数
的数目，即确定体系的位置所需的独立坐标的数目。
工程力学
/
§4-2 平面体系的自由度和约束
2．约束
凡是能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个
自由度，就说它相当于一个约束。
（1）链杆——是两端以铰
7-1 平面体系的计算自由度
平面内的一点的自由度
平面内的刚体的自由度
图3-2
约束
实际结构体系中各构件之间及体系与基础之间，是通过一些装置互相联结在一起的。这些联结装置使ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ系内各构件（刚片）之间相对运动受到限制，使体系减少自由度的装置称为约束（联系）。
凡减少一个自由度的装置称为一个约束或一个联系，如果一个装置能使体系减少N个自由度，则称它为N个约束。
几何可变体系
尚不能确定体系是否几何不变
尚不能确定体系是否几何不变
结构组成分析－－判断体系是否几何可变；对于结构，区分静定与超静定的组成
联结两个以上刚片的铰称为复铰。
例如刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ共用一个铰A联结（图3-3c)，若刚片I的位置已固定，则刚片Ⅱ和Ⅲ都只能绕铰A转，从而各减少了两个自由度，两刚片共减少了四个自由度，故此联结三个刚片的铰实际相当于两个单铰的作用。
联结n个刚片的复铰，其作用相当于（n—l）个单铰。
两刚片之间经刚性联结后使体系自由度减少三个，所以一个刚结相当于三个约束。如图3-4a中刚片Ⅰ和Ⅱ经刚性连接后两刚片之间不能发生任何相对运动，因此可视为一个刚片，其自由度为3。
联结两刚片以上的刚结称为复刚结（图3-4b）。
联结n个刚片的复刚结，相当于（n—1）个单刚结。
图3-3
图3-4
三、平面体系计算自由度
把体系看作由许多刚片受刚结、铰结和链杆的约束而成的。因此，在计算它的自由度时，可按如下步骤进行：
首先按照各刚片都具有自由度的情况计算其自由度的数目，然后计算所加入的约束数，最后将两者相减，便得到该体系的计算自由度W。
W=3m-（3g＋2h＋r）
式中m—一体系中无多余约束的刚片数（基础不作为刚片数计入）；
g—一单刚结数（复刚结换算成等效的单刚结数计入）；
平面内的刚体的自由度
图3-2
约束
实际结构体系中各构件之间及体系与基础之间，是通过一些装置互相联结在一起的。这些联结装置使ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ系内各构件（刚片）之间相对运动受到限制，使体系减少自由度的装置称为约束（联系）。
凡减少一个自由度的装置称为一个约束或一个联系，如果一个装置能使体系减少N个自由度，则称它为N个约束。
几何可变体系
尚不能确定体系是否几何不变
尚不能确定体系是否几何不变
结构组成分析－－判断体系是否几何可变；对于结构，区分静定与超静定的组成
联结两个以上刚片的铰称为复铰。
例如刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ共用一个铰A联结（图3-3c)，若刚片I的位置已固定，则刚片Ⅱ和Ⅲ都只能绕铰A转，从而各减少了两个自由度，两刚片共减少了四个自由度，故此联结三个刚片的铰实际相当于两个单铰的作用。
联结n个刚片的复铰，其作用相当于（n—l）个单铰。
两刚片之间经刚性联结后使体系自由度减少三个，所以一个刚结相当于三个约束。如图3-4a中刚片Ⅰ和Ⅱ经刚性连接后两刚片之间不能发生任何相对运动，因此可视为一个刚片，其自由度为3。
联结两刚片以上的刚结称为复刚结（图3-4b）。
联结n个刚片的复刚结，相当于（n—1）个单刚结。
图3-3
图3-4
三、平面体系计算自由度
把体系看作由许多刚片受刚结、铰结和链杆的约束而成的。因此，在计算它的自由度时，可按如下步骤进行：
首先按照各刚片都具有自由度的情况计算其自由度的数目，然后计算所加入的约束数，最后将两者相减，便得到该体系的计算自由度W。
W=3m-（3g＋2h＋r）
式中m—一体系中无多余约束的刚片数（基础不作为刚片数计入）；
g—一单刚结数（复刚结换算成等效的单刚结数计入）；
第二章第二节平面体系的自由度和约束
§2—2 平面体系的自由度和约束
一、刚片：本身几何不变的构件。 二、自由度： 确定一物体或体系的位置所需的独立几何参数的数目， 称为这一物体或体系的运动自由度，简称自由度。
平面内一点自由度为2 (有2个自由度)
y x A x y O x O A y
一个刚片在平面内有3个自由度
y B A'
q
q'
B' x
= 3×11 —3×7 —2×5 —5 =—3
体系具有3个“多余约束”
能否把支杆也看成刚片？
√
例：试计算体系的内部可变度
各杆都 看成1个刚片 M =9 R =2 H =9
V =3M —3R —2H —3
= 3×9 —3×2 —2×9 —3 =0
体系内部可变度=0
把AC、CB分别 看成1个刚片
M =7
链杆数： B=23 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —23 —3 = —2
看成6根杆件 M =6 R =6
H =0
V =3M —3R —2H —3 = 3×6 —3×6 —2×0 —3 = —3 体系具有3个“多余约束”
√
整体看成1个刚片 M =1 R =0 H =0 V =3M —3R —2H —3 = 3×1 —3×0 —2×0 —3 =0 体系没有“多余约束”
×
体系内部 3个“多余约束”没有反映出来
例：试计算图示体系的自由度
结点数： 链杆数：
J=14 B=25
支杆总数： S=3 自由度数： W=2J —B —S = 2×14 —25 —3 =0
例：试计算图示体系的内部可变度
结点数：
J=12
结点数：
J=12
链杆数： B=21 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —21 —3 =0
一、刚片：本身几何不变的构件。 二、自由度： 确定一物体或体系的位置所需的独立几何参数的数目， 称为这一物体或体系的运动自由度，简称自由度。
平面内一点自由度为2 (有2个自由度)
y x A x y O x O A y
一个刚片在平面内有3个自由度
y B A'
q
q'
B' x
= 3×11 —3×7 —2×5 —5 =—3
体系具有3个“多余约束”
能否把支杆也看成刚片？
√
例：试计算体系的内部可变度
各杆都 看成1个刚片 M =9 R =2 H =9
V =3M —3R —2H —3
= 3×9 —3×2 —2×9 —3 =0
体系内部可变度=0
把AC、CB分别 看成1个刚片
M =7
链杆数： B=23 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —23 —3 = —2
看成6根杆件 M =6 R =6
H =0
V =3M —3R —2H —3 = 3×6 —3×6 —2×0 —3 = —3 体系具有3个“多余约束”
√
整体看成1个刚片 M =1 R =0 H =0 V =3M —3R —2H —3 = 3×1 —3×0 —2×0 —3 =0 体系没有“多余约束”
×
体系内部 3个“多余约束”没有反映出来
例：试计算图示体系的自由度
结点数： 链杆数：
J=14 B=25
支杆总数： S=3 自由度数： W=2J —B —S = 2×14 —25 —3 =0
例：试计算图示体系的内部可变度
结点数：
J=12
结点数：
J=12
链杆数： B=21 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —21 —3 =0
2.3_平面体系的计算自由度
W (3m 2 j ) (3g 2h b)
m、j、g、h、b意义同前。
6
Tankertanker Design
定性结论
(1) 一个体系若求得W >0，一定是几何可变体 系；
(2) W=0，则S=n，如无多余约束，则为几何不 变。如有多余约束，则为几何可变；
(3) 若W<0，则可能是几何不变体系，也可能 是几何可变体系，取决于具体的几何组成。体 系有多余约束；
m—刚片数； g—简单刚结数；
h—简单铰数；b—简单链杆数
在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。
5
Tankertanker Design
2. 将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中 结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度 为： W 2 j b
j—结点数；
b—简单链杆数。
3. 混合公式——约束对象为刚片和结点，约束 为铰、刚结和链杆。则计算自由度为：
例2-4
解：
(1)
按式 W=3m-(3g+2h+b)
m=7，h=9，b=3 W=3×m-2×h-b =3×7-2×9-3=0
(2)
按式 W=2j-b j=7，b=14 W=2j-b=2×7-14 =0
例2-5
解： 按式 W=3m-(3g+2h+b) m=1，g=3, b=4，h=0 ， 则： W=3m-(3g+2h+b) =3×2-(3×3+2×0+4) ＝ -10
作业：
2-1(a); 2-2(c)
2-4(d); 2-6(d) 2-12(b) 注：必须用铅笔画图，有“解”字。全部统一 用稿纸写，作业只需左上角只写学号后两位， 学习委员排好顺序，在最上面加一张姓名、学 号、成绩表格。 讲第一次作业
平面体系几何组成分析的方法(静定的概念)(建筑力学)
当使用判定规则进行判定时，可以使用如下技巧，使问题简化： ①去二元体； ②地基可以当作特殊的刚片； ③扩大刚片法：将整个体系的几何不变部分看作刚片，并考察其与周 围部分的连接方式，逐步扩大刚片，减少杆件数目； ④刚片与链杆灵活转换：根据需要可以将链杆当作刚片使用，也可以 将刚片（包括地基）或几何不变部分当作链杆使用； ⑤巧用虚铰：链杆数目较多时，使用虚铰可以使体系简化。
例题分析
例1.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 4244 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 进一步判断，依次去掉二元体DFE、BDC、BEC、BCA后，整个体系只剩下 地基了，为几何不变体系。由于去掉二元体并不改变原体系的几何构造性，因此 原体系也是几何不变体系。
二元体规则是非常好用的规则，特别是去二元体，可以大大简化体系 构件数目，使判断简化，其主要有以下几个技巧：
（1）根据需要进行链杆与刚片之间的转化，巧妙使用二元体； （2）当体系比较复杂时，可以先考虑其中的一个它部分之间的连接关系， 判定整个体系的几何构造性。
例题分析
例2.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 72 113 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 体系没有二元体，但体系本身是有二元体的，去掉所有二元体，只剩下一个 杆件，所以体系本身几何不变，再考虑其与地基的连接方式，判定体系几何不变。
总结与技巧
示例
例1.分析图示体系的几何构造性。
解析：（1）计算自由度
W 7277 0
体系具有成为几何不变体系的最少约束数目，需进一步判断。 （2）依次去掉二元体FAB、IED、FBJ、IDC如图所示。 （3）三角形GCH看作刚片Ⅰ，地基看作特殊刚片Ⅱ。 （4）刚片Ⅰ、Ⅱ之间通过三根链杆相连，三链杆汇交
例题分析
例1.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 4244 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 进一步判断，依次去掉二元体DFE、BDC、BEC、BCA后，整个体系只剩下 地基了，为几何不变体系。由于去掉二元体并不改变原体系的几何构造性，因此 原体系也是几何不变体系。
二元体规则是非常好用的规则，特别是去二元体，可以大大简化体系 构件数目，使判断简化，其主要有以下几个技巧：
（1）根据需要进行链杆与刚片之间的转化，巧妙使用二元体； （2）当体系比较复杂时，可以先考虑其中的一个它部分之间的连接关系， 判定整个体系的几何构造性。
例题分析
例2.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 72 113 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 体系没有二元体，但体系本身是有二元体的，去掉所有二元体，只剩下一个 杆件，所以体系本身几何不变，再考虑其与地基的连接方式，判定体系几何不变。
总结与技巧
示例
例1.分析图示体系的几何构造性。
解析：（1）计算自由度
W 7277 0
体系具有成为几何不变体系的最少约束数目，需进一步判断。 （2）依次去掉二元体FAB、IED、FBJ、IDC如图所示。 （3）三角形GCH看作刚片Ⅰ，地基看作特殊刚片Ⅱ。 （4）刚片Ⅰ、Ⅱ之间通过三根链杆相连，三链杆汇交
第十二章 平面结构体系的几何组成分析
若原体系几何不变(或可变)，则新增加一个 二元体后，新体系仍为几何不变(或可变)； 同样，在一个已知体系上拿掉二元体，也不
会影响原体系的几何不变性或几何可变性。
因此可将二元体规则叙述如下：在一个体系
上依次增加或减少二元体，原体系的几何可 变性保持不变。
第四节 几何组成分析举例
第四节 几何组成分析举例
=-3
应用此方法解本题时须注意：此时结点B为混合结点， 对于此类结点，计算单刚结点数时，可把铰接杆当作不存 在；而在计算铰结点数时，则把刚接各杆看作一个刚片。
所以，应用式(12-1)计算可得 W=3×m-3×g-2×h-b-r =3×9-3×6 -2×4-9 =-8
表明此体系具有8个多余约束。
三、瞬变体系
在对结构进行分析计算时，必须先分析体系的几 何组成，以确定体系的几何不变性。
几何组成分析的目的是：
（1）判别给定体系是否是几何不变体系，从而确 定它能否作为结构使用；
（2）研究几何不变体系的组成规则，以保证设计 出安全合理的结构；
（3）正确区分静定结构和超静定结构，为结构的 内力计算打下必要的基础
（二）自由度
体系的自由度是指确定体系空间位置所需的独立坐标 数，或者体系运动时可以独立改变的几何参数的数目，通 常记作S。
一个点在平面内自由运动时，它的位置用坐标X，Y完全 可以确定，则平面内一点的自由度等于2，如图12-3(a)所 示。
一个刚片在平面内自由运动时，它的位置
用其上任一点A的坐标x，y和过A点的任一 直线AB的倾角φ完全可以确定，则一个平面 刚片的自由度等于3，如图12-3(b)所示。
解法二：把体系内部看成是由7个刚片AB、BC、CD、DE、 EF、FA、EB，3个单铰F、B、D，3个单刚结点A、B、
平面体系自由度和约束
平面体系自由度和约束自由度：所谓体系的自由度，是指该体系运动时，用来确定其位置所需的独立坐标（或参变量）的个数。
如果一个体系的自由度大于零，则该体系就是几何可变体系。
（1）点的自由度：平面内一动点A，其位置需用两个坐标x和y来确定，所以一个点在平面内有两个自由度。
1.swf（2）刚片的自由度：一个刚片在平面内运动时，其位置将由其上任一点A的坐标x、y 和过点A的任一直线AB的倾角φ来确定，因此，一个刚片在平面内有三个自由度。
2.swf约束：约束是指能够减少自由度的装置（又称联系）。
减少一个自由度的装置，就称为一个约束（或联系）。
约束有两大类：支座约束和刚片间的约束。
1. 支座约束（1）滚轴支座：能限制刚片A点在垂直方向移动，但不能限制其水平方向移动和绕A 点的转动，减少了一个自由度，相当于一个约束。
3.swf（2）铰支座：能限制刚片A点在水平方向和竖直方向移动，但不能限制其绕A点的转动，减少了两个自由度，相当于两个约束。
4.swf（3）固定支座：能限制刚片在水平、竖直方向的移动和转动，使刚片的自由度减少为零，相当于三个约束。
5.swf2. 刚片间的联结约束（1）单铰约束：联结两个刚片的铰称为单铰。
两刚片在平面内独立的自由度个数为六个，用一个铰将刚片Ⅰ、Ⅱ联结起来，对刚片Ⅰ而言，其位置可由A点的坐标x、y和AB 线的倾角φ1来确定，因此其有三个自由度，刚片Ⅱ相对刚片Ⅰ只能绕A点转动，即两刚片间只保留了相对转角φ2，则由刚片Ⅰ、Ⅱ所组成的体系在平面内有四个自由度，则一个单铰约束减少了二个自由度。
一个单铰相当于两个约束。
6.swf（2）复铰约束：用一个铰同时联结三个或三个以上的刚片，则这种铰称为复铰。
设其中一刚片可沿x、y向移动和绕某点转动，则其余两刚片都只能绕其转动，因此各减少两个自由度。
象这种联结三刚片的复铰相当于两个单铰的作用，由此可见，联结n个刚片的复铰，相当于（n－1）个单铰的作用。
7.swf。
结构力学前半部分重点复习
M F Q F N — 单位力作用下结构产生的弯矩
剪力、轴力
(1)梁和刚架，轴向变形和剪切变形的影响甚小，主要
考虑弯曲变形的影响，位移公式： MMP dx EI (2)桁架，只考虑轴向变形的影响，且每根杆件的内力 及截面都沿杆长不变，故位移公式： F N FNP F N FNP l dx EA EA
结点法和截面法联合运用： 有的杆件用结点法求，有的杆件用截
面法求。
判断零杆：桁架中的某些杆件可能是零杆，计算前 应先进行零杆的判断，这样可以简化计算。零杆判 断的方法：
FN1
不共线的两杆结点，当无 ▲ 两杆节点：
荷载作用时，则两杆内力为FN1=FN2=0。 由三杆构成的结点，有两杆 ▲ 三杆节点：
平面体系的几何组成分析
1. 基本概念： 几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、自由度、 约束 2. 几何不变体系的组成规律 3.灵活运用组成规律分析体系的几何不变性
几何不变体系：不考虑材料的应变，在任意荷
载作用下，几何形状和位置保持不变的体系。 几何可变体系： 不考虑材料的应变，在微小荷 载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体 系。
规律 2
三刚片的组成规则：
将链杆看 成刚片
规律 3
三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联， 则组成的体系是几何不变体系且无多余约束。
两根链杆组成 的虚铰替换铰
二元体规则：
二元体的概念：由两根不共线的链杆联结一 个新结点的装置称为二元体。
二元体
去掉二元体 增加二元体
规律 4
在一个体系上，增加或去掉二元体，体系的 几何组成不变。
FP3
f
B
xk
L1 L
平面体系的计算自由度
束的刚片，它们可以看作 在图a的刚片内部分别附加
了一根链杆或一个铰结或 c)
一个刚结。
All Rights Reserved
可编辑ppt
b)
d)
3
在应用公式时，应注意以下几点：
(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和h。
(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h， 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。
可编辑ppt
11
= 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
可编辑ppt
5
【例2-2】试求图2-11所示体系的计算自由度。
m1
(1)g (1)h
m4
(1)h (1)g
m2
m6
(2)g (1)h
(2)g
m5
m8
m3
m7
(3)r
(3)r
m=9，g=6，r=9
(1)h
m9 (3)r
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×6+2×4+9) = -8
可编辑ppt
2
在应用公式时，应注意以下几点：
（1）地基是参照物，不计入m中。
（2）计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内 部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的 刚片，而把它的附加约束在计算体系的“全部约束数”d 时考虑进去。
图a是内部没有多余约束的 刚片，而图b、c、d则是内
部分别有1、2、3个多余约 a)
All Rights Reserved
可编辑ppt
7
【例2-3】试求图2-12所示体系的计算自由度。
1
了一根链杆或一个铰结或 c)
一个刚结。
All Rights Reserved
可编辑ppt
b)
d)
3
在应用公式时，应注意以下几点：
(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和h。
(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h， 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。
可编辑ppt
11
= 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
可编辑ppt
5
【例2-2】试求图2-11所示体系的计算自由度。
m1
(1)g (1)h
m4
(1)h (1)g
m2
m6
(2)g (1)h
(2)g
m5
m8
m3
m7
(3)r
(3)r
m=9，g=6，r=9
(1)h
m9 (3)r
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×6+2×4+9) = -8
可编辑ppt
2
在应用公式时，应注意以下几点：
（1）地基是参照物，不计入m中。
（2）计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内 部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的 刚片，而把它的附加约束在计算体系的“全部约束数”d 时考虑进去。
图a是内部没有多余约束的 刚片，而图b、c、d则是内
部分别有1、2、3个多余约 a)
All Rights Reserved
可编辑ppt
7
【例2-3】试求图2-12所示体系的计算自由度。
1
结构力学复习整理的公式
平面体系的计算自由度 W 的求法
（1）刚片法：体系看作由刚片组成，铰结、刚结、链杆为约束。
刚片数 m ；
约束数：单铰数 h ，简单刚结数 g ，单链杆数 b 。
W = 3m - 2h - 3g -b
（2）节点法：体系由结点组成，链杆为约束。
结点数 j ；
约束数：链杆（含支杆）数 b 。
W = 2j – b
（3）组合算法
约束对象：刚片数 m ，结点数 j
约束条件：单铰数 h ，简单刚结数 g ，单链杆（含支杆）数 b
W = （3m + 2j）-（3+2h+ b）
比较可得：三铰拱与简支梁的竖向支反力完全相同。
注意到水平支反
力式中的分子就是简支梁上截面C的弯矩，则水平支反力可写作：
综上所述，三铰拱在竖向荷载作用下，任一截面上的弯矩、剪力荷轴力的计算公式如下：
4.4.1 各种结构位移计算公式
：虚设单位荷载P=1作用下的结构的内力；
：实际荷载作用下的结构的内力
图乘法
位移公式：
4.5.2 常见图形的面积和形心
常见图形的形心和面积（图4.10）。
图4.10
以上图形的抛物线均为标准抛物线：抛物线的顶点处的切线都是与基线平行
4.5.3 应用图乘法时的几个具体问题
(2) 如果有一个图形为折线，则应分段考虑（图4.12）
图4.12
(3) 如果图形比较复杂，应根据弯矩图的叠加原理将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加图4.13
图4.13
（图4.13b中A1与y1的乘积为负值；图4.13c中抛物线为非标准曲线）。
例5：试求出图4.16刚架结点B 的水平位移和转角，EI 为常数。
结构力学总结
虚功方程 FΔ FNdu FS ds Md
虚功原理的应用
• 给定力状态，虚设位移状态，利用虚功方程
符号规定：
N
Q
N
M 不规定符号
Q
作图规定：N图、Q图—绘在杆件的任一侧，但要注明符号 M图—绘在杆件的受拉侧
刚架弯矩图的绘制
做法:拆成单个杆,求出杆两端的弯矩,按与单跨 梁相同的方法画弯矩图.
分段 定点 连线 迭加原理
结点规律 m2
m2
0
m m2
m1
m1 m1=m2
m1
m1=m2
m2 - m1 + m = 0m1 - m2 =
N2
N1=N2
N1 N4
N1=N2
N3 N2
N3=N4
N3 α 2 N2
α 1 N1 N4
N N1 α 1 α 2
2
N3
若 1 2 ，则 N1 N2 ， N3 N4
若 1 2 ，则 N1 N2 ， 但 N1和 N2 反号
若 N1=0，则 N2 0；若 N2 =0，则 N1 0
若
1
，则
2
N1
N2
若
1
，则
2
N1
N2,
但
N1和N2
同号
例：
P
例：
P
例：
P
例：
P
+
-+
--
5 三铰拱
• 支座反力的计算
VA H
VA0
M
0 C
f
VB VB0
a2
b2
a1
虚功原理的应用
• 给定力状态，虚设位移状态，利用虚功方程
符号规定：
N
Q
N
M 不规定符号
Q
作图规定：N图、Q图—绘在杆件的任一侧，但要注明符号 M图—绘在杆件的受拉侧
刚架弯矩图的绘制
做法:拆成单个杆,求出杆两端的弯矩,按与单跨 梁相同的方法画弯矩图.
分段 定点 连线 迭加原理
结点规律 m2
m2
0
m m2
m1
m1 m1=m2
m1
m1=m2
m2 - m1 + m = 0m1 - m2 =
N2
N1=N2
N1 N4
N1=N2
N3 N2
N3=N4
N3 α 2 N2
α 1 N1 N4
N N1 α 1 α 2
2
N3
若 1 2 ，则 N1 N2 ， N3 N4
若 1 2 ，则 N1 N2 ， 但 N1和 N2 反号
若 N1=0，则 N2 0；若 N2 =0，则 N1 0
若
1
，则
2
N1
N2
若
1
，则
2
N1
N2,
但
N1和N2
同号
例：
P
例：
P
例：
P
例：
P
+
-+
--
5 三铰拱
• 支座反力的计算
VA H
VA0
M
0 C
f
VB VB0
a2
b2
a1
瞬变体系、刚片、自由度、约束
第二章平面体系几何构造分析——组成分析 学习要点
教学目的、要求： 理解几何可变体系与几何不变体系、瞬变
体系、刚片、自由பைடு நூலகம்、约束、瞬铰的概念。 熟练掌握几何不变体系的三条基本组成规
律，熟练运用规则分析常见体系的几何组 成。 了解体系的几何特性与静力特性的关系， 能够正确判断超静定结构的次数。
第二章平面体系几何构造分析——组成分析 学习要点
重点内容：几何组成的分析方法，超静定 次数的确定。
难点内容：如何利用三刚片规则以及判定 具有无穷远虚铰情况的几何组成。
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第二章平面体系几何构造分析——计算自由度 学习要点
教学目的、要求: 掌握实际自由度和计算自由度的计算方法,
能计算一般平面体系的自由度。
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
本章重点与难点
重点内容： 几何组成的分析方法，超静定次数的确定。 实际自由度和计算自由度的计算方法。 难点内容： 如何利用三刚片规则以及判定具有无穷远虚
铰情况的几何组成。 掌握实际自由度和计算自由度的计算方法。
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对象的自由度数 S > n ；
体系为几何可变，不能用作结构。
对象的自由度数 S = n ；
如体系为几何不变，则无多余约束，体 系为静定结构；
如体系为几何可变，则有多余约束。
对象的自由度数 S < n ；
体系有多余约束； 如体系为几何不变，则为超静定结构。
5 平面体系的分类
几何不变体系 可作为结构
体系
重点内容：掌握实际自由度和计算自由度 的计算方法。
难点内容：掌握实际自由度和计算自由度 的计算方法。
教学目的、要求： 理解几何可变体系与几何不变体系、瞬变
体系、刚片、自由பைடு நூலகம்、约束、瞬铰的概念。 熟练掌握几何不变体系的三条基本组成规
律，熟练运用规则分析常见体系的几何组 成。 了解体系的几何特性与静力特性的关系， 能够正确判断超静定结构的次数。
第二章平面体系几何构造分析——组成分析 学习要点
重点内容：几何组成的分析方法，超静定 次数的确定。
难点内容：如何利用三刚片规则以及判定 具有无穷远虚铰情况的几何组成。
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第二章平面体系几何构造分析——计算自由度 学习要点
教学目的、要求: 掌握实际自由度和计算自由度的计算方法,
能计算一般平面体系的自由度。
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
本章重点与难点
重点内容： 几何组成的分析方法，超静定次数的确定。 实际自由度和计算自由度的计算方法。 难点内容： 如何利用三刚片规则以及判定具有无穷远虚
铰情况的几何组成。 掌握实际自由度和计算自由度的计算方法。
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对象的自由度数 S > n ；
体系为几何可变，不能用作结构。
对象的自由度数 S = n ；
如体系为几何不变，则无多余约束，体 系为静定结构；
如体系为几何可变，则有多余约束。
对象的自由度数 S < n ；
体系有多余约束； 如体系为几何不变，则为超静定结构。
5 平面体系的分类
几何不变体系 可作为结构
体系
重点内容：掌握实际自由度和计算自由度 的计算方法。
难点内容：掌握实际自由度和计算自由度 的计算方法。
结构力学必考知识点
KP
yc
EI
图乘法几点说明
• 必须符合以上三个条件
• 与 yc分别取自不同M图，且 yc 只能是直线
M图的竖标 • 图乘法范围必须一致，且每一段图乘范围内，
y c 所在M图只有一条直线
• 若 与 yc 受拉侧相同， yc为正，反之为负
要熟练应用图乘法计算结构的位移，必须牢记一些常用 标准图形的面积和形心位置（如三角形，标准二次抛物 线等），对于非标准图形，可利用迭加原理进行分解。
mBB
mA
mB
P
+
mB Pl/4
M图的迭加不是图形的简单拼凑,而是竖标迭加
2 多跨静定梁 多跨静定梁的组成 基本部分--能独立
附属部分--不能独 承载的部分。 立承载的部分。
多跨静定梁的内力计算：先附后基
3 静定平面刚架
▪ 刚架:若干不共线杆件通过若干刚结点连接，组成的结构
▪ 平面刚架：刚架中的所有杆件和荷载均位于同一平面内
n W
式中，n为结构的超静定次数, W为体系的计算自由度。 （2）去约束法 将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构，则所去联系总数， 即为原结构的超静定次数。 （3）框格法 框格法计算超静定次数的公式
n 3m h
式中，m为封闭框格数,h为单铰数
n=3×5-7=8 n=3×7-13=8
3. 力法的基本概念 基本未知量：多余约束力。 基本结构：去掉多余联系后的结构。 基本方程：利用基本结构与原结构变形一致的条件建立的求解 多余约束力的方程，又称为力法的典型方程或简称力法方程。 4. 力法的思路 力法的思路是搭桥法。即：综合考虑结构的平衡条件、物理条 件和位移条件，将超静定结构的计算转化为静定结构的计算。 可见，力法计算实际上是对静定结构进行计算。
第4章_平面体系的几何组成分析
C E
A
B D F
无多余约束的几何不变体系。
【例4.8】分析图示体系的几何组成。
A
B
C
D
无多余约束的几何不变体系。
【例4.9】分析图示体系的几何组成。
D G E H B F A D C F G B
D
C
E
A
C
无多余约束的几何不变体系。
E
F
G
B
A
无多余约束的几何不变体系。
4.5
结构的几何组成和静定性的关系
几何组成分析
例题3
试对图示体系进行几何组成分析：
解：1）
m= 3
h= 2
r=5
A
B 1 2
C 3
D
分析：地基作为刚片，首先考虑两刚片规则，基础与体系以及体系内部连 2） 结都没有符合两刚片规则的几何不变部分，故而尝试用三刚片规则，寻找 另外的两个刚片，
思路:寻找几何 不变的部分 逐步形成扩大 地基—刚片Ⅰ，AB—刚片Ⅱ，BC—刚片Ⅲ 的刚片,灵活选 Ⅰ、Ⅱ——铰A 三铰不共线,AC部分 择分析顺序。 Ⅰ、Ⅲ——链杆1、2(虚铰）
几何组成分析
几何组成分析的几个概念
一、自由度 指该体系运动时，确定其位置所需的独立坐标的数目。 二、刚片 体系几何形状和尺寸不会改变，可视为刚体的物体。
三、点、刚片的自由度 1、一个点在平面上有两个自由度（图1）。 2、一个刚片在平面上有三个自由度（图2）。
y x
形状可任意替换
y
A(x,y)
y
x
y
地基—刚片Ⅰ，AB—刚片Ⅱ，CD—刚片Ⅲ Ⅰ、Ⅱ——链杆1、2（虚铰） Ⅰ、Ⅲ——链杆3、4（虚铰） Ⅱ、Ⅲ——链杆AD、BC（虚铰） 结论：该体系为几何瞬变体系。 三铰共线
A
B D F
无多余约束的几何不变体系。
【例4.8】分析图示体系的几何组成。
A
B
C
D
无多余约束的几何不变体系。
【例4.9】分析图示体系的几何组成。
D G E H B F A D C F G B
D
C
E
A
C
无多余约束的几何不变体系。
E
F
G
B
A
无多余约束的几何不变体系。
4.5
结构的几何组成和静定性的关系
几何组成分析
例题3
试对图示体系进行几何组成分析：
解：1）
m= 3
h= 2
r=5
A
B 1 2
C 3
D
分析：地基作为刚片，首先考虑两刚片规则，基础与体系以及体系内部连 2） 结都没有符合两刚片规则的几何不变部分，故而尝试用三刚片规则，寻找 另外的两个刚片，
思路:寻找几何 不变的部分 逐步形成扩大 地基—刚片Ⅰ，AB—刚片Ⅱ，BC—刚片Ⅲ 的刚片,灵活选 Ⅰ、Ⅱ——铰A 三铰不共线,AC部分 择分析顺序。 Ⅰ、Ⅲ——链杆1、2(虚铰）
几何组成分析
几何组成分析的几个概念
一、自由度 指该体系运动时，确定其位置所需的独立坐标的数目。 二、刚片 体系几何形状和尺寸不会改变，可视为刚体的物体。
三、点、刚片的自由度 1、一个点在平面上有两个自由度（图1）。 2、一个刚片在平面上有三个自由度（图2）。
y x
形状可任意替换
y
A(x,y)
y
x
y
地基—刚片Ⅰ，AB—刚片Ⅱ，CD—刚片Ⅲ Ⅰ、Ⅱ——链杆1、2（虚铰） Ⅰ、Ⅲ——链杆3、4（虚铰） Ⅱ、Ⅲ——链杆AD、BC（虚铰） 结论：该体系为几何瞬变体系。 三铰共线
3-1-2平面体系的自由度及约束
国家共享型教学资源库
A
(b)
体系运动的一种条件。显然，体系由于加入约束而
使自由度减少。以后我们把能减少一个自由度的装
置称为一个约束。
(1) 一根链杆相当于一个约束
国家共享型教学资源库
江苏建筑职业技术学院
如果用一根链杆将刚片与基础
相联结，则刚片在链杆方向的运动
将被限制。但此时刚片仍可进行两
y
I
种独立的运动，即链杆 AC 绕C 点的
共线的链杆将点 A 与基础相联结［图 (a) ］，则点 A
减少两个自由度，即被固定。
A
(a)
国家共享型教学资源库
江苏建筑职业技术学院
如果用三根不共线的链杆将点 A与基础相联结 ［图(b)］，实际上仍只减少两个自由度。 如果在一个体系中增加一个约束，
而体系的自由度并不因此而减少，则
此约束称为多余约束。图(b)三根链杆 中有一根是多余约束。 多余约束对体系的自由度没有影 响。
国家共享型教学资源库
y
IHale Waihona Puke A x江苏建筑职业技术学院
(3)一个固定端支座相当于三个约束 如果在点 A 处再加一个阻止刚片转动的约束， 则点 A 处成为一个固定端支座，刚片的自由度等于 零。可见一个固定端支座相当于三个约束。
y
I
A o
国家共享型教学资源库
x
江苏建筑职业技术学院
(4) 一个单铰相当于两个约束 如果用一个铰 A将刚片Ⅰ与刚 片Ⅱ相联结，设刚片Ⅰ的位置可 以由点 A的坐标x、y和倾角1确定， 由于点A是两刚片的共同点，则刚 片Ⅱ的位置只需用倾角 2 就可以 确定。
y
x y o 国家共享型教学资源库 x
江苏建筑职业技术学院
A
(b)
体系运动的一种条件。显然，体系由于加入约束而
使自由度减少。以后我们把能减少一个自由度的装
置称为一个约束。
(1) 一根链杆相当于一个约束
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江苏建筑职业技术学院
如果用一根链杆将刚片与基础
相联结，则刚片在链杆方向的运动
将被限制。但此时刚片仍可进行两
y
I
种独立的运动，即链杆 AC 绕C 点的
共线的链杆将点 A 与基础相联结［图 (a) ］，则点 A
减少两个自由度，即被固定。
A
(a)
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江苏建筑职业技术学院
如果用三根不共线的链杆将点 A与基础相联结 ［图(b)］，实际上仍只减少两个自由度。 如果在一个体系中增加一个约束，
而体系的自由度并不因此而减少，则
此约束称为多余约束。图(b)三根链杆 中有一根是多余约束。 多余约束对体系的自由度没有影 响。
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y
IHale Waihona Puke A x江苏建筑职业技术学院
(3)一个固定端支座相当于三个约束 如果在点 A 处再加一个阻止刚片转动的约束， 则点 A 处成为一个固定端支座，刚片的自由度等于 零。可见一个固定端支座相当于三个约束。
y
I
A o
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x
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(4) 一个单铰相当于两个约束 如果用一个铰 A将刚片Ⅰ与刚 片Ⅱ相联结，设刚片Ⅰ的位置可 以由点 A的坐标x、y和倾角1确定， 由于点A是两刚片的共同点，则刚 片Ⅱ的位置只需用倾角 2 就可以 确定。
y
x y o 国家共享型教学资源库 x
江苏建筑职业技术学院
2-2平面体系的计算自由度
§2 体系计算自由度
一、体系计算自由度公式
根据自由度和约束的概念，一个体系的计 算自由度在数值上等于组成体系的刚片或点具 有的总自由度与体系总约束的差。
计算自由度=组成体系的刚片或点具有的 总自由度-体系总约束数
yluo@
§2 体系计算自由度
一、体系计算自由度公式
1.一般体系的计算自由度公式
⑴ W>0,表明体系缺少足够的约束， 因此是几何可变的。
W=1
yluo@
W=1
§2 体系计算自由度
三、计算自由度与体系可变性
计算自由度W可用于判断体系所具有 的约束在数量上是否足够维持体系为几何 不变。
⑵ W=0,表明体系具有成为几何不变 所必需的最少约束数目。
几何 不变
yluo@
§2 体系计算自由度
例题2.7 试求图示体系的计算自由度。
体系为一般体系 刚片＋约束
刚片数 m=7 单铰数 h=9 支座约束数 r=3 yluo@
W 3m (2h r )
3 7 (2 9 3) 0
§2 体系计算自由度
例题2.8 试求图示体系的计算自由度。 比较
例题2.5 试求图示体系的计算自由度。
把体系视为一般体系 刚片＋约束
刚片数 m=17 单铰数 h=24 支座约束数 r=3 yluo@W 3m Fra bibliotek(2h r )
3 17 (2 24 3) 0
§2 体系计算自由度
例题2.5 试求图示体系的计算自由度。
按铰接链杆体系计算 点＋约束
若不考虑体系与地基之间的支承关系， 而只研究体系自身的几何不变性时：
•W>3,表明体系缺少足够的约束，因此 是几何可变的。 •W=3,表明体系具有成为几何不变所必 需的最少约束数目。 •W<3,表明体系具有成为几何不变所必 需的约束外，尚有多余联系。
建筑工程技术 教材 平面体系的自由度和约束
由此可见，两根链杆的约束作用相当于一个单 铰，不过，这个铰的位置是在链杆轴线的延长线 上，且其位置随链杆的转动而变化，该铰与一般 的铰不同，称为虚铰。
第三页，共六页。
平面体系的几何组成分析
三、虚铰
当连接两个刚片的两根链杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链 杆方向的无穷远处。
连接两个刚片的两根链杆相交，那么是虚铰的另一种形式 。
第四页，共六页。
平面体系的几何组成分析
四、多余约束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而 减少，那么此约束称为多余约束。
分清必要约束和非必要约束。
第五页，共六页。
内容总结
但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说它相当于一个约束。单 铰是连接两个刚片的铰。平面体系的几何组成分析。复铰是连接三个或三个以上刚片的铰。两刚片用 两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚 片Ⅰ的运动情况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。当连接两个刚片的两根链 杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链杆方向的无穷远处
连接n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，也就相当于2n-1个约束。
４刚性连接 一个刚性连接相当于三个约束。
第二页，共六页。
平面体系的几何组成分析
三、虚铰 两刚片用两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么 刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚片Ⅰ的运动情 况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。
第六页，共六页。
平面体系的几何组成分析
二、约束 但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说 它相当于一个约束。
１链杆
链杆是两端以铰与别的物体相连的刚性杆。 一根链杆相当于一个约束。
第三页，共六页。
平面体系的几何组成分析
三、虚铰
当连接两个刚片的两根链杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链 杆方向的无穷远处。
连接两个刚片的两根链杆相交，那么是虚铰的另一种形式 。
第四页，共六页。
平面体系的几何组成分析
四、多余约束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而 减少，那么此约束称为多余约束。
分清必要约束和非必要约束。
第五页，共六页。
内容总结
但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说它相当于一个约束。单 铰是连接两个刚片的铰。平面体系的几何组成分析。复铰是连接三个或三个以上刚片的铰。两刚片用 两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚 片Ⅰ的运动情况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。当连接两个刚片的两根链 杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链杆方向的无穷远处
连接n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，也就相当于2n-1个约束。
４刚性连接 一个刚性连接相当于三个约束。
第二页，共六页。
平面体系的几何组成分析
三、虚铰 两刚片用两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么 刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚片Ⅰ的运动情 况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。
第六页，共六页。
平面体系的几何组成分析
二、约束 但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说 它相当于一个约束。
１链杆
链杆是两端以铰与别的物体相连的刚性杆。 一根链杆相当于一个约束。
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6-6=0 即：6-3×2=0
或：6-3×（3-1）=0
板书设计:
平面体系的自由度及约束
教学 课题
教学 目的
教学 重点
主要教学方 法
教 具
平面体系的自由度及约束
（《建筑力学》下册、第16.2平面体系的自由度及约束）
1.了解自由度、约束的概念
2.掌握几种约束的作用
3.通过教学使学生树立起“世上无难事，只要肯登攀”的学习信心
几种约束的作用
举例、演示、推导、总结
粉笔、教鞭、实物、幻灯
=（3-1）（刚片）×0（自由度）
总结：一个复杂的刚性连接相当于（n-1）个简单的刚性连接。
举例
举例、推导
教学过程
时间分配
教 学 内 容
教学方法的运用
总结
（5分钟）
作业
（1分钟）
1、自由度
2、约束
3、几种常见的约束作用
1）链杆
2）铰
3）刚性连接
1、阅读本节课文
2、预习 16.3 几何不变体系的简单组成规则
3-2=1
2）.复铰：一个复铰减少2（n-1）个自由度。
一个复铰相当于（n-1）个单铰。
9-6=3 即：9-2×3=3
或：9-2×（4-1）=3
3.刚性连接
简单的刚性连接：一个简单的刚性连接减少三个自由度。
3-3=0
复杂的刚性连接：一个复杂的刚性连接减少3（n-1）个自由度。
一个复杂的刚性连接相当于（n-1）个简单的刚性连接。
教学过程
时间分配
教 学 内 容
教学方法的运用
复习
（5分钟）
新课导入
（34分钟）
1、几何可变体系、几何不变体系的概念
2、平面体系几何组成分析的目的
1、自由度的概念
结论1：平面内的一个点有二种独立的运动方式，确定平面内的一个点的位置需要二个独立的坐标。
结论2：平面内的一个刚片有三种独立的运动方式，确定平面内的一个刚片的位置需要三个独立的坐标。
幻灯、提问
16、2平面体系的自பைடு நூலகம்度和约束
16.2.1自由度
概念： 所谓自由度是指确定体系位置所必须的独立的坐标数。
所谓自由度是指体系独立的运动方式。
16.2.2约束
概念： 能使体系减少自由度的装置称为约束（或称为联系）
几种约束的作用：
1.链杆：一个链杆可以减少一个自由度。
2.铰
1）.单铰：一个单铰减少两个自由度。
几种常见的约束作用
1）.链杆：一个链杆可减少一个自由度。
2）.铰：
单铰：
3（自由度）-2（约束）=1（自由度）
总结：一个单铰可减少两个自由度。
复铰：
9（自由度）-6（约束）=3（自由度）
或：9（自由度）-2（约束）×3（刚片）
=3（自由度）
即：9（自由度）-2（约束）×[4-1]（刚片）
=3（自由度）
总结：一个简单的刚性连接可减少三个自由度。
复杂的刚性连接：
6（自由度）-6（约束）=0（自由度）
或：6（自由度）-3（约束）×2（刚片）
=0（自由度）
即：6（自由度）-3（约束）×[3-1]（刚片）
=0（自由度）
总结：一个复杂的刚性连接可减少3（n-1）自由度。
（3-1）（刚片）×3（自由度）
-（3-1）（刚片）×3（约束）
总结自由度的概念
1）.所谓自由度是指确定体系位置所必须的独立坐标数。
2）.所谓自由度是指体系独立的运动方式。
2、约束的概念
能使体系减少自由度的装置称为约束（或称为联系）
幻灯
幻灯
举例：
1、平面内的一个点
（粉笔头作演示）
2、平面内的一个刚片
(黑板擦作演示)
幻灯
举例
教学过程
时间分配
教 学 内 容
教学方法的运用
总结：一个复铰可减少2（n-1）自由度。
（4-1）（刚片）×3（自由度）
-（4-1）（刚片）×2（约束）
=（4-1）（刚片）×1（自由度）
总结：一个复铰相当于（n-1）个单铰。
举例
举例
举例、推导
教学过程
时间分配
教 学 内 容
教学方法的运用
3). 刚性连接：
简单的刚性连接：
3（自由度）-3（约束）=0（自由度）
或：6-3×（3-1）=0
板书设计:
平面体系的自由度及约束
教学 课题
教学 目的
教学 重点
主要教学方 法
教 具
平面体系的自由度及约束
（《建筑力学》下册、第16.2平面体系的自由度及约束）
1.了解自由度、约束的概念
2.掌握几种约束的作用
3.通过教学使学生树立起“世上无难事，只要肯登攀”的学习信心
几种约束的作用
举例、演示、推导、总结
粉笔、教鞭、实物、幻灯
=（3-1）（刚片）×0（自由度）
总结：一个复杂的刚性连接相当于（n-1）个简单的刚性连接。
举例
举例、推导
教学过程
时间分配
教 学 内 容
教学方法的运用
总结
（5分钟）
作业
（1分钟）
1、自由度
2、约束
3、几种常见的约束作用
1）链杆
2）铰
3）刚性连接
1、阅读本节课文
2、预习 16.3 几何不变体系的简单组成规则
3-2=1
2）.复铰：一个复铰减少2（n-1）个自由度。
一个复铰相当于（n-1）个单铰。
9-6=3 即：9-2×3=3
或：9-2×（4-1）=3
3.刚性连接
简单的刚性连接：一个简单的刚性连接减少三个自由度。
3-3=0
复杂的刚性连接：一个复杂的刚性连接减少3（n-1）个自由度。
一个复杂的刚性连接相当于（n-1）个简单的刚性连接。
教学过程
时间分配
教 学 内 容
教学方法的运用
复习
（5分钟）
新课导入
（34分钟）
1、几何可变体系、几何不变体系的概念
2、平面体系几何组成分析的目的
1、自由度的概念
结论1：平面内的一个点有二种独立的运动方式，确定平面内的一个点的位置需要二个独立的坐标。
结论2：平面内的一个刚片有三种独立的运动方式，确定平面内的一个刚片的位置需要三个独立的坐标。
幻灯、提问
16、2平面体系的自பைடு நூலகம்度和约束
16.2.1自由度
概念： 所谓自由度是指确定体系位置所必须的独立的坐标数。
所谓自由度是指体系独立的运动方式。
16.2.2约束
概念： 能使体系减少自由度的装置称为约束（或称为联系）
几种约束的作用：
1.链杆：一个链杆可以减少一个自由度。
2.铰
1）.单铰：一个单铰减少两个自由度。
几种常见的约束作用
1）.链杆：一个链杆可减少一个自由度。
2）.铰：
单铰：
3（自由度）-2（约束）=1（自由度）
总结：一个单铰可减少两个自由度。
复铰：
9（自由度）-6（约束）=3（自由度）
或：9（自由度）-2（约束）×3（刚片）
=3（自由度）
即：9（自由度）-2（约束）×[4-1]（刚片）
=3（自由度）
总结：一个简单的刚性连接可减少三个自由度。
复杂的刚性连接：
6（自由度）-6（约束）=0（自由度）
或：6（自由度）-3（约束）×2（刚片）
=0（自由度）
即：6（自由度）-3（约束）×[3-1]（刚片）
=0（自由度）
总结：一个复杂的刚性连接可减少3（n-1）自由度。
（3-1）（刚片）×3（自由度）
-（3-1）（刚片）×3（约束）
总结自由度的概念
1）.所谓自由度是指确定体系位置所必须的独立坐标数。
2）.所谓自由度是指体系独立的运动方式。
2、约束的概念
能使体系减少自由度的装置称为约束（或称为联系）
幻灯
幻灯
举例：
1、平面内的一个点
（粉笔头作演示）
2、平面内的一个刚片
(黑板擦作演示)
幻灯
举例
教学过程
时间分配
教 学 内 容
教学方法的运用
总结：一个复铰可减少2（n-1）自由度。
（4-1）（刚片）×3（自由度）
-（4-1）（刚片）×2（约束）
=（4-1）（刚片）×1（自由度）
总结：一个复铰相当于（n-1）个单铰。
举例
举例
举例、推导
教学过程
时间分配
教 学 内 容
教学方法的运用
3). 刚性连接：
简单的刚性连接：
3（自由度）-3（约束）=0（自由度）