北师大版初中数学八年级上册《第二章实数回顾与思考》优质课教学设计0.doc

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北师大版八年级上册《实数》教案与反思

北师大版八年级上册《实数》教案与反思《北师大版八年级上册《实数》教案与反思》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教材分析本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第六节。

本节课主要是建立实数的概念并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的。

在本节之前学生已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入。

中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础。

二、学情分析实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩张，在教学中注意运用类比方法，使学生明确新旧知识之间的联系，如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立，并通过例题和习题来巩固，适当加深对它们的认识。

三、教学目标1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类;了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小.2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.3.在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。

4.在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。

5.了解数系扩展对人类认识发展的必要性;四、教学重点1.了解实数意义，能对实数进行分类;2.在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律;3.明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

五、教学难点利用数轴上的点表示无理数。

六、教学策略启发猜想，引导探究，讲练结合七、技术应用PPT，电子白板八、教学过程教学过程教师活动学生活动设计意图知识回顾导学单课前准备：1、有理数的定义：和统称有理数。

北师大版八年级数学上册第二章实数第1节认识无理数优秀教学案例

将学生分成小组，让学生根据讲授的新知，讨论无理数的性质和表示方法。
2.案例分析：让学生分析一些实际问题，如测量物体长度、计算圆的面积等，运用无理数解决实际问题。
3.小组分享：各小组向全班分享自己的讨论成果和案例分析，促进学生之间的交流和合作。
（四）总结归纳
1.无理数的定义和性质：引导学生总结无理数的定义和性质，加深学生对无理数概念的理解。
北师大版八年级数学上册第二章实数第1节认识无理数优秀教学案例
一、案例背景
本节内容是北师大版八年级数学上册第二章实数的第一节——认识无理数。在学习了有理数的基础上，本节课引导学生认识无理数，理解无理数的概念和性质，体会数学的广泛应用。无理数是数学中的一个重要概念，它在生活中和学科领域中有着广泛的应用。如圆周率π就是一个无理数，它在几何学、物理学等领域有着重要应用。另外，无理数在数学分析、高等数学等领域也是基本概念。因此，本节课对于学生理解和掌握数学知识体系，培养学生的数学思维能力具有重要意义。
5.注重学生的反思与评价：在教学过程中，我注重学生的反思与评价，及时反馈，指导学生的改进方向。通过引导学生进行自我反思和相互评价，我帮助学生检查自己对无理数概念的理解和掌握程度，发现自己的不足，明确改进的方向。这种教学方式能够培养学生的评价能力和批判性思维，提高学生的自我认知和自我改进能力。
作为一名特级教师，我深知教学案例亮点的重要性。在教学过程中，我努力将教学内容与学生的生活实际和学科领域相结合，采用多种教学方法和手段，关注学生的个体差异，创设生动有趣的情境，引导学生在问题导向的过程中自主探究和合作交流，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。同时，我注重学生的反思与评价，及时反馈，调整教学策略，以达到最佳教学效果。
（二）讲授新知
1.无理数的定义：详细讲解无理数的定义，并通过实例进行说明，让学生理解和掌握无理数的概念。

2024-2025学年度北师版八上数学-第二章-实数-回顾与思考(第二课时)【课件】

变形与已知条件联系起来，再把已知条件整体代入变形后的式子求解.
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数学八年级上册 BS版
已知 x ＝
1
2+ 3
，y＝
1
2− 3
.
（1）求2 x2＋2 y2－ xy 的值；
解：因为 x ＝
1
2− 3
1
2+ 3
＝
2− 3
（2+
3)(2− 3）
＝2－ 3 ，
2+ 3
＝2＋ 3 ，
（2− 3)(2+ 3）
3 + 4 3 ÷2 3
1
2 3
.
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要点三与二次根式有关的化简求值
（ 1 ）已知 3 ，
m ， 5 为三角形的三边长，则化简代数式
2 m －10
（2 − ）2 －（ − 8）2 的结果是
⁠
.
【解析】因为3， m ，5为三角形的三边长，所以5－3＜ m ＜5＋3，即2＜ m ＜8.所以2－ m
A. + 1
2
）
B. 8
D. 2 − 0.001
C. 2 − |｜
2. 下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是（ C
A. 6
B. 9
C. 12
）
D. 18
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要点二与二次根式有关的计算
计算：
（1）（ 48 －4
1
8
）－（3
1
3
－2 0.5 ）；（2）（
最简二次根式；C. 因为被开方数含有分母，所以

北师版初中数学八年级上册精品教案第2章实数 1 认识无理数

第二章实数1 认识无理数教师备课素材示例●复习导入提问：同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们在小学阶段以及七年级阶段都学过哪些数呢？在小学我们学过自然数、小数、分数；在七年级我们还学过负数．我们在小学学了非负数，在七年级发现数不够用了，引入了负数，即把数从小学学过的正数、零扩充到了有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题．【教学与建议】教学：通过设疑让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数也不是分数的数，激发学生的求知欲．建议：学生口答完成，体会和感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．●置疑导入(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？__22＋12＝5(cm2)__．(2)设该正方形的边长为c，则c应满足什么条件？c是有理数吗？老师：请大家先回忆一下勾股定理的内容．学生：在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边长为c，则有a2＋b2＝c2.老师：在这题中，两条直角边长分别为1和2，斜边长为c.根据勾股定理得c2＝12＋22，即c2＝5，则c是有理数吗？请举手回答．学生：因为22＝4，32＝9，4<5<9，所以c不可能是整数；没有两个相同的分数相乘得5，故c不可能是分数；因为没有一个整数或分数的平方为5，所以c不是有理数．经过大家的讨论可知，在等式c2＝5中，c既不是整数，也不是分数，所以c不是有理数，今天我们来探究像这样的无理数．【教学与建议】教学：利用勾股定理的探究过程发现无理数，一来为之前学生的疑惑进行解释，二来能够进一步激发学生的求知欲和好奇心．建议：在新课引导过程中，老师一定要在每一个设问环节紧紧扣住问题的核心内容，然后汇总出学生们的结论再进行总结．无限不循环小数是无理数，理解无理数的概念来辨别无理数．【例1】(1)下列数中属于无理数的是(B)A ．1B ．πC ．45D ．－1 (2)半径是2的圆的周长的值是一个(D)A ．整数B ．分数C ．有理数D ．无理数通过动手拼图、观察、计算、思考、交流，感受线段的长度是有理数还是无理数.【例2】如图，图中是16个边长为1的小正方形拼成的一个大正方形，则图中四条线段中长度既不是整数也不是分数的线段是__AB ，AE__．明确无理数的概念，并能正确判断无理数在哪两个有理数之间．【例3】(1)a ，b 为连续正整数，且a ＜13＜b ，则a 2＋b 2的值为__25__．(2)已知直角三角形两直角边分别是9cm 和5cm ，斜边长是xcm ，则x 在整数__10__和整数__11__之间．高效课堂教学设计1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．2．通过计数器探究无理数是无限不循环小数．3．能判断出不能用有理数表示的数．▲重点了解无理数与有理数的区别，并能正确判断．▲难点把两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形的动手操作过程．◆活动1 创设情境导入新课(课件)老师：同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们在小学阶段以及七年级阶段都学过哪些数呢？学生：在小学我们学过自然数、小数、分数．学生：在七年级我们还学过负数．老师：对，我们在小学学了非负数，在七年级发现数不够用了，引入了负数，即把数从小学学过的正数、零扩充到了有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题．◆活动2 实践探究交流新知【探究】阅读课本P 21，已知两个正方形的边长均为1，将这两个正方形进行裁剪，然后重新拼接成一个大正方形，假设新拼接后的大正方形的边长为a ，则a 是多少？又是怎样一个数？(1)首先我们知道a 是正方形的边长，所以从正负性来讲，a 肯定是__正__数．(2)再来看看拼接后的正方形的面积，因为两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，所以可以计算出新拼接后的大正方形的面积为__2__．(3)结合12＝1，22＝4，那么由a 2＝2我们来猜测一下，a 的取值范围应该是__1<a<2__．【归纳】无理数无法用整数或者分数来表示，它是一个无限不循环小数．◆活动3 开放训练应用举例【例1】(教材P 23例题)下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．14，－43，0.57··，0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)．【方法指导】无限不循环小数叫做无理数．解：有理数有：3.14，－43，0.57··；无理数有：0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)．【例2】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0．351，－54，4.96··，π，－6.2323332…，0.123456789101112…(由相继的正整数组成)．【方法指导】任何一个有理数都可以化成分数，无理数不能化成分数．答案：有理数集合：0.351，－54，4.96·· 无理数集合：π，－6.2323332…，0.123456789101112…(由相继的正整数组成)◆活动4 随堂练习1．如图，正三角形ABC 的边长为2，一边上的高为h ，h 是整数吗？h 是分数吗？解：易得h 2＝22－12＝3，∴h 不是整数和分数．2．已知直角三角形的两条直角边分别是9cm 和5cm ，斜边长是xcm ，斜边x 在哪两个整数之间？解：10<x<11.3．如图，阴影部分是正方形，求出此正方形的面积．此正方形的边长是有理数吗？为什么？解：正方形的面积为122－72＝95，所以边长是无理数.4．有下列四个结论：①任何一个有理数都可以用分数或整数表示；②无理数化为小数形式后一定是无限小数；③无理数与无理数的和是无理数；④有理数与有理数的积是无理数．其中说法正确的有__①②__(填序号)．◆活动5 课堂小结与作业学生活动：1.通过拼图活动，结合实际背景，让学生感受有理数又不够用了.2．能判断一个数是不是有理数．教学说明：梳理和判断有理数和无理数．作业：课本P24随堂练习，P25习题2.2中的T1、T2、T3.本节课在无理数特征探讨过程中注意概念的引导，问题设问尽量简单，靠近学生所学知识点展开，循序渐进，让学生在老师的指导下得出结论．。

北师大版初中数学八年级上册《第二章实数回顾与思考》优质课教案_1

教学设计方案（一）、平方根、算术平方根、立方根 1、定义 2、应用：例1、①_______:16的平方根是② 如果2a-18=0,那么a 的算术平方根是__。

变式：1.已知 21a + 的平方根是±3， 522a b +- 的算术平方根是4，求 34a b - 的平方根2. 下列说法正确的是（）（A ）7是49的算术平方根，即 7)7(2=（B ）7是49的算术平方根，即749±=（C ）±7是49的平方根，即 749=±（D ）±7是49的平方根，即749±= （二）、二次根式、实数例3、在 , , , , ,中同类二次根式的是_________，最简二次根式个数为 ( )， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个变式：下列二次根式：115a- ， 21x + ，4b ，3a ，24x22ab ， 24a a +最简二次根式有几个（）A 、1B 、2C 、3D 、4例4、下列说法中：①有理数是有限小数；②有限小数是有理数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑥无理数都可以用数轴上的点来表示；⑦一个数的算术平方根一定是正数；⑧一个数的立方根一定比这个数小．其中正确的有______ 教师：那么第二站迎接我们的将是什么呢？二、无理数估算例5、若将三个数 3-711 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（）a 54352a 2a 8（A）3-（B）7（C）11（D）无法确定变式：1.下列实数中是无理数的是（）2.估算+1的值在()A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间教师：短暂的经历了无理数的检验，接下来又会是什么呢？什么将会等待着我们？三、实数混合运算辅助工具：完全平方公式，平方差公式、配方法、分母有理化例5、()2210610275231)1(---+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--π、86331212++）（）、（--变式：()()220122011)21(814322322----+四、实数的数形结合例6、已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为多少？变式：一等腰三角形的腰长与底边之比为5:6，它底边上的高为172，求这个等腰三角形的周长与面积．五、二次根式的非负教师结束语：一步一步的向上走，我们总会走上巅峰，也总会有一天微笑的回忆这一切。

八年级数学上册《实数2》教案北师大版

八年级数学上册《实数2》教案北师大版一、教学内容本节课选自北师大版八年级数学上册《实数2》章节。

详细内容包括：理解实数的概念，掌握实数的性质，了解实数与数轴的关系，以及实数的四则运算。

二、教学目标1. 理解实数的定义，知道实数包括有理数和无理数，能正确区分实数的类型。

2. 掌握实数的性质，如实数的加减乘除运算定律，了解实数的倒数、相反数等概念。

3. 能够运用实数进行实际问题求解，提高数学运算能力和解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点难点：实数的性质及实数的四则运算。

重点：实数的概念、实数与数轴的关系、实数的运算。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、实数教学挂图。

2. 学具：练习本、铅笔、直尺、橡皮。

五、教学过程1. 导入：通过数轴上点的移动，引导学生回顾数的分类，引入实数的概念。

2. 新课：讲解实数的定义，阐述实数包括有理数和无理数，结合数轴解释实数与数轴的关系。

实践情景引入：在数轴上表示出不同的实数，让学生直观感受实数与数轴的联系。

例题讲解：讲解实数的性质，如加减乘除运算定律，结合具体例题进行分析。

随堂练习：让学生练习实数的运算，巩固所学知识。

3. 巩固：对实数的四则运算进行讲解和练习，让学生掌握实数的运算方法。

4. 应用：解决实际问题，让学生运用实数进行问题求解。

六、板书设计1. 实数的概念及分类2. 实数与数轴的关系3. 实数的性质4. 实数的四则运算七、作业设计1. 作业题目：（1）判断下列各数哪些是有理数，哪些是无理数？（2）计算下列各题：a. 3 + √2b. 4 2√3c. (3 + √2)(2 √3)d. 2/√3（3）在数轴上表示出下列实数，并比较它们的大小。

a. 3/2, √2b. 1, 1/22. 答案：（1）有理数：；无理数：（2）具体答案略。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，让学生反思实数的概念、性质和运算是否掌握，分析自身在解题过程中遇到的问题。

北师大版数学八年级上册《回顾与思考》教学设计2

北师大版数学八年级上册《回顾与思考》教学设计2一. 教材分析《回顾与思考》是北师大版数学八年级上册的一章复习内容，本章主要是对前面知识点的回顾和总结，通过复习使学生对前面的知识有一个更清晰、系统的认识。

本章内容主要包括有理数的混合运算、一次函数和二次函数的图像和性质、几何图形的性质和判定等。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了有理数的混合运算、一次函数和二次函数的图像和性质、几何图形的性质和判定等知识，但学生在应用这些知识解决实际问题时，往往会因为对知识理解不深、不透而出现各种错误。

因此，在复习过程中，教师需要引导学生对知识点进行深入理解和运用。

三. 教学目标1.使学生对有理数的混合运算、一次函数和二次函数的图像和性质、几何图形的性质和判定等知识有一个深入、系统的理解。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。

四. 教学重难点1.重点：有理数的混合运算、一次函数和二次函数的图像和性质、几何图形的性质和判定等知识的深入理解和运用。

2.难点：运用这些知识解决实际问题，特别是创新思维能力的培养。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习等方式，深入理解和运用所学知识，培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。

六. 教学准备1.教师准备PPT，内容包括有理数的混合运算、一次函数和二次函数的图像和性质、几何图形的性质和判定等的知识点和实例。

2.学生准备笔记本，用于记录所学知识和思考。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生回顾和思考所学知识，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现知识点和实例，引导学生理解和运用所学知识。

3.操练（10分钟）教师提出问题，学生通过自主学习、合作学习、探究学习等方式，运用所学知识解决问题。

4.巩固（10分钟）教师通过PPT呈现巩固题目，学生独立完成，检查自己对知识的理解和运用情况。

北师大版八年级上册数学教案：第二章实数回顾与思考

二、核心素养目标
1.培养学生运用实数进行问题分析、解决的能力，提高数学抽象和逻辑推理素养；
2.通过实数的四则运算，培养学生数学运算和数学建模的核心素养；
3.引导学生运用实数知识解释生活中的现象，增强数学在实际生活中的应用意识，提升数学直观想象和数据分析素养；
4.深化学生对实数概念的理解，提高数学思维品质，培养创新意识和团队合作精神。
解决方法：设计实际情境题目，让学生将实数知识应用于实际问题的解答，提高数学应用能力。
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点内容，有针对性地进行讲解和强调，确保学生理解透彻。同时，结合实际例子和练习，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实数回顾与思考》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要使用实数的情况？”（如购物时计算总价、测量长度等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索实数的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了实数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对实数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“实数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

北师大版初二第二章实数回顾与思考教学案

第二章实数回顾与思考执笔人：小组审核：审核人：执教人：一、学习目标：1.通过复习学生能够准确掌握数开平方、开立方的有关概念和表示方法及其运算。

2.通过复习学生能充分理解实数的概念。

3.增强学生进行实数运算的能力。

4.理解有关二次根式的概念、有意义的条件、二次根式的性质，并能灵活运用.二、重点：平方根、立方根的性质和运算难点：实数的计算，二次根式的相关概念及运算。

三、学法指导：学习完平方根、立方根之后的阶段性复习，内容侧重基础，旨在把前面较凌乱的知识点做一个系统归纳，掌握二次根式的各种运算方法，并能熟练的解决问题。

四、教学过程：（一）引入：［知识结构］乘方−−−−→←互为逆运算开方⎪⎩⎪⎨⎧−−→−−−→−立方根平方根开立方开平方实数无理数有理数→⎭⎬⎫（课前让学生看书整理，形成知识系统，课上交流）（二）原理的探究：［知识回顾］（一）数的开方：算术平方根的定义：平方根的定义：平方根的性质：立方根的定义：立方根的性质：（三）例题分析：（1）算术平方根1.1的算术平方根为（）（A ）131 （B ）－131 （C ）±131 （D ）（1691）2 2.1691的算术平方根可表示为，即 = 算术平方根的表示方法：（用含a 的式子表示） 3. －1691有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？算术平方根具有性，即⑴被开方数 a 0，⑵a 本身 0，必须同时成立。

（2）平方根1. 49的平方根是，算术平方根是，它的平方根可表示为2.快速地表示并求出下列各式的平方根⑴1169⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9）2 3.判断下列各数是否有平方根，并说明理由①（-4）2 ②0 ③x 2+1 ④-a 24.用平方根定义解方程⑴16（x+2）2=81 ⑵x 2-225=0（3）立方根1. －8的立方根是，表示为立方根的定义：立方根的表示方法：（用含a 的式子表示） 2.说出下列各式表示的意义并求值：⑴3512.0-= ⑵－3729-= ⑶33)2(-= ⑷（38）3= 3.如果32-x 有意义，x 的取值范围为 4.用立方根的定义解方程⑴（x-2）3=27 ⑵［2（x+3）3］=512（4）二次根式【复习提纲】初步感知、激发兴趣一．填空1.二次根式的定义：式子叫做二次根式，其中ａ叫做被开方数．2. 二次根式有意义的条件：当a时，式有意义，只要使被开方数即可．3. 二次根式的性质一：即一个非负数的算术平方根是一个．4.性质二：2)(a=（a≥0）可把任何一个非负数写成平方的形式，即可逆用，故因式分解可在实数范围内进行．5.==(00(0)(0a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞）＜），这一性质的主要应用：①正向应用于二次根式的化简与计算；②逆向应用：可将根号外的非负因式移到根号内．6. 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：（１）被开方数的因数是整数，因式是；（２）被开方数中不含有开得尽方的．7. 二次根式的乘法：＝（a≥0，b≥0）即两个二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．8. 二次根式的除法：=（a≥0，）即两个二次根式相除，根指数不变，被开方数相除.9.同类二次根式：几个二次根式化成以后，如果，这几个二次根式叫做同类二次根式.10.二次根式的加减：先把二次根式化成最简二次根式再．11.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先，后，最后，有括号的先.算括号内的在运算过程中，有理数（式）中的运算二．化简。

八年级数学上册第二章回顾与思考教案北师大版

回顾与思考教学设计教学设计思想本节为复习课，需一课时讲授；首先让学生自己表述对本章内容的理解，教师再设置简单问题予以引导，使学生能整理所学知识，形成一定的结构体系，师生共同建立内容结构框架图.进一步弄清有理数与无理数的区别，最后通过练习进行.进一步掌握开方运算的方法，熟练进行实数的运算，灵活运用运算法则简化计算.教学目标(一)知识与技能1.本章知识的网络结构.2.重点内容归纳.(1)数怎么又不够用了，引出了无理数.(2)有理数与无理数的联系与区别.(3)算术平方根、平方根的定义，会求正数的算术平方根和平方根.(4)立方根，开立方的定义，会求一个数的立方根.(5)估算的方法.(6)用计算器开方.(7)实数的定义，实数的运算法则和运算律.(二)过程与方法1.熟练掌握本章的知识网络结构.2.叙述无理数，实数，算术平方根，平方根，立方根，开立方的定义.3.明确有理数与无理数的区别与联系.4.掌握估算的方法.5.正确运用实数的运算法则和运算律.(三)情感、态度与价值观通过本章内容的小结与复习培养学生学会归纳，整理所学知识的能力，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，并培养良好的学习品质.教学重点本章知识的网络结构，知识间的相互关系.教学难点知识的运用.教学过程一、导入本章的内容已全部学完.请同学们回忆并归纳本章所学的知识.（本章的内容有：数怎么又不够用了；平方根，算术平方根的定义及求法；立方根的定义及求法；估算的方法，用计算器开方，实数的概念，实数的运算法则和运算律.）本节课将对本章知识内容进行系统归纳，总结.二、讲授新课1.重点内容归纳(1)无理数的引入及它与有理数的联系与区别.（由a2=2得a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，是无理数，就引入了无理数）.(2)算术平方根与平方根的联系与区别.若一个正数x2=a，则x叫a的算术平方根；若一个数x2=a，则x叫a的平方根.它们的联系有：(1)平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根与算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.区别是：(1)从定义看不同.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同.正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a.(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.(3)立方根的有关知识.若x3=a，则x叫a的立方根.立方根的性质有：一个正数的立方根是一个正数.一个负数有一个负的立方根，零的立方根为零.立方根、平方根、算术平方根都是通过什么运算得到的.这种运算和乘方运算之间有什么关系呢？立方根、平方根、算术平方根都是通过开方运算得到的，开方运算和乘方运算是互为逆运算.(4)估算.是公园有多宽，也就是估算.估算就是利用乘方运算来进行的.估算的步骤大致为：(1)估计是几位数；(2)确定最高位上的数字(如百位)；(3)确定下一位上的数字(如十位)；(4)依次类推，直到确定出个位上的数或者按要求精确到小数点后的某一位.(5)实数的定义及实数的运算法则和运算律.a.有理数和无理数统称为实数.b.实数的分类有:(1)按定义分⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数实数 (2)按大小分:实数⎪⎩⎪⎨⎧负实数零正实数c.实数大小的比较在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大.d.实数和数轴上点的对应关系.实数和数轴上的点是一一对应的关系.e.实数的几个概念.(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值都和有理数范围内的概念相同.f.实数的运算法则和运算律.2.知识点的运用［例1］判断题:(1)4的算术平方根是±2；(2)4的平方根是2；(3)8的立方根是±2；(4)无理数就是“没有理由的数”；(5)不带根号的数都是有理数；(6)无理数就是开方开不尽的数；(7)两个无理数的和还是无理数.［例2］把下列各数写入相应的集合中.－1，311，0.3，2π，38,49-，0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).(1)正数集合{ …}；(2)负数集合{ …}；(3)有理数集合{ …}；(4)无理数集合{ …}.注：正、负数集合是从数的符号来考虑的；有理数、无理数集合是从实数的分类来考虑的，正、负数可能是有理数或无理数，有理数，无理数包含正、负有理数，无理数.［例3］你会估算吗？请估算下列各组数的大小，并作比较. (1)17，3.965；(2) 311，19.［例4］求下列各数的平方根与算术平方根：(1)2.25； (2)361；(3)3649；(4)10－4. 注：这个题主要是区分算术平方根与平方根的概念而设置的. ［例5］化简：.8121332)3(;7218)2();35)(35)(1(+---+ 三、课堂练习：1.1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根和立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？2.化简(1)25520-+；(2)32712+；(3)483122+；(4)7002871-+. 3．如下图所示,15只空桶(每只油桶底面的直径均为50厘米)堆在一起,要给它们盖一个遮雨棚,遮雨棚起码要多高?解:设油桶底面的直径为d.由图根据勾股定理得h=22)2()4(d d -=23d∴h+d=23d+d=(23+1)d=(23+1)×50≈223.20(厘米)答：遮雨棚起码要223.20厘米高.板书设计。

北师大版八年级上册第二章实数复习培优教案设计

个性化教学辅导教案知识点：一、无理数的概念1.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。

反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

2、无限不循环小数叫做无理数。

3、有理数和无理数统称实数。

二、平方根和算术平方根1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根，表示为±a ，也叫二次方根。

只有非负数才有平方根。

2、算数平方根：若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

记为“a ”读作“根号a ”。

算术平方根都是非负数。

三、立方根立方根：如果一个数x 的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根），即如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根。

任何数都有立方根。

四、二次根式形如a 的式子，叫做二次根式。

（0≥a ） 1．二次根式的主要性质： ①⎩⎨⎧<-≥==02a a a a a a ； ②()a a =2(),0≥a ；③()0,0≥≥⋅=b a b a ab ； ④()0,0>≥==b a b abba b a ；⑤()()b a b a ba ba b a ba --=-+-=+1； ⑥b a ba ba -+=-1．五、最简二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。

最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式；②根号内不含有分母，小数；③分母不含有根号。

被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。

七、二次根式的运算A 、乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a abB 、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba；反之：)0,0______(>≥=b a b a C 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m例题解析例1 在下列各数中：－23，0.7，4π，3.141 59，2.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加1)，无理数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例216的算术平方根是( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 例3下列计算错误的是( )A ．±0.04＝±0.2 B.25＝5 C ．－100＝－10 D.81＝±9 例4已知(x －2y ＋3)2＋2－y ＝0，则x ＋y ＝_______．例5某数有两个平方根，分别是3a ＋3与a －15，求这个数.例6（1）312)22(28++- （2）32)2145051183(÷-+随堂训练一．填空题1、()26-的算术平方根是__________；2的平方根是__________。

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初级中学导学案
年级八学科教研组长主备人李博课型复习课第_8_课时课题第二章实数（复习）
1. 复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根
学习
式及其相关概念，会求一个数的平方根、立方根，并进行相关计算；
目标
2. 灵活运用公式进行二次根式的相关运算。

学习熟练掌握无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根
式及其相关概念。

重点
学习
灵活运用公式进行二次根式的相关运算。

难点
教法教学
开放导学法班班通
学法准备
1. 下列说法：（1）有理数都是有限小数；（2）有限小数都是
达成目标有理数；（3）无理数都是无限小数；（4）无限小数都是无理
数。

其中正确的的有（）。

A．（1）（2） B.(1)(3) C.(2)(3) D.(2)(4) 2. 已知X -
3 +（4-Y）
+ 2X Y 3Z 的值为。

2
X
3. 已知Y= X 2+ 2 X -3 ，求Y
的值为。

4. 已知：5+ 11的小数部分是a，5- 11的小数部分是b。

（1）a+b的值；
（2）a-b 的值。

5. 已知a =5， b =7，且a b =a+b，则a-b 的值为（）
2
A.2 或12
B.2 或-12
C.-2 或12
D.-2 或-12
6. 下列说法正确的有（）个。

（1）零是最小的实数（2）带根号的数一定是无理数
（3）比 2 小的数只有1,0 （4）数轴上每个点都表示一
个有理数
A.3
B.2
C.1
D.0
7. 下列二次根式属于最简二次根式的是（）
评价
1 7
样题 A. 14 B. 8 C. 2 D. 4
8. 若3m 1有意义，则m能取的最小整数值是（）
A.m=0
B.m=1
C.m=2
D.m=3
评价
设计通过教师提问、学生回答完成目标一。

（目标达成率95%）通过评价样题完成目标二。

（目标达成率90%）
学习知识点复习：
知识点一：有理数、无理数概念：
1. 任何和都是有理数。

内容
2. 称为无理数。

和方
知识点二：算术平方根、平方根、立方根概念：
法指
1. 一般地，如果一个X 的平方等于a,
即，那么这个正数X 就叫做 a
补充资料教学
导的。

记作。

批注
2. 平方根：一个正数有个平方根，0 的平方根
是，负数。

求的运算，叫做开平方。

3. 立方根：正数的立方根，0 的立方根是，负数
的立方根是。

求的运算，叫做开立方。

知识点三：估算：
2
2 --- 19 熟练掌握1
3
和1 3 。

--- 9
知识点四：实数的概念及其分类：
1. 实数的分类：（按定义）（按正负）
2. 相反数：对于任意数 a 的相反数是。

倒数：对于任意非零数 a 的倒数是。

绝对值：
a =
3. 和数轴上的点。

知识点五：二次根式：（9 个公式）
（1）ab = （）
a
（2）b
= （）
（3） a · b = （）
a
（4）b
= （）
（5）（a+b）（a-b ）=
2 2
（6）
(a ) =
（7）
(a b) =
b
b c
（8）（a-b ）c= (9)
a
=
测一：
1. 以下
各
数
： 3.14，-0.2020020002
⋯
两个 2 之间0 的个数逐次加 1），- π/2 ，3.333 ⋯ ,0,22/7,5/2 中，无理数有（）个。

2. 法：（1）有理数都是有限小数；（2）有限小数都是有理数；（3）无理数都是无限小数；（4）无限小数都是无理数。

其中正确的的有（）。

A ．（ 1）（ 2） B.(1)(3) C.(2)(3) D.(2)(4) 3
. 法正确的是（） A.两个无理数的和一定是无理数 B
.两个无
理一定是无理数 C.一个有力属于一个无理数的和一定是无理数
D.两个无理数的差一定是无理数 2
4.- （-5）
，2π， 0.4 ，1/7 ，0，
3 11 中无理数的个数是（）个
A.4
B.3
C.2
D.1 课堂检测二： 1. 若（ X -1）与（ X
+7
）是一个数的平方
是。

2. 81平方根是；64 的平方根是； 3
125 的立方根是。

2
3. （-2）平方根是。

4.平方根等于它本身的数有；平方根等于它本身的数有，立方根等于它本身的数有。

2
5. 已知 X - 3 +（4-Y ） + 2X Y 3Z 的值为。

X 6. 已知 Y= X 2 + 2 X -3 ，求 Y
的值为。

7. 下列判断不正确的是（） A. 若 a = b ，则a =b B. 若 3 a =3 b ，则a =b
2
C. 若 a 2
= b ，则a=b D. 若 3 3 a =
3
3
b ，则a=b
8. 已知（a+b）＞0，（a+b+2）（a+b-2）=45, 求（a+b）
的算术平方根。

课堂检测三：
1. 估计 6 +1 的值在。

A.2 到3 之间
B.3 到4 之间
C. 4 到5 之间
D.5 和6 之间
2. 比较下列各组数的大小：
7 2.6 3 3 2 3 11 5 5
3. 已知a 是小于2+ 7 的整数，且 a 2 =a-2，那么a 的
所有可能值是。

4. 已知：5+ 11的小数部分是a，5- 11 的小数部分是b。

（1）a+b的值；
（2）a-b 的值。

课堂检测四：
1.2- 5 的相反数是，绝对值是，倒数是。

2. 实数a、b 在数轴上的位置如图所示，则下列判断正
确的是。

a 0 b
A. a ＞b
B.a ＞b
C.ab ＞0
D. a+b ＞0，
2
2 -
3 = ，（2-2）
3．= 。

4. 已知a =5，b =7，且a b =a+b，则a-b 的值为（）
2
A.2 或12
B.2 或-12
C.-2 或12
D.-2 或
-12
5. 下列说法正确的有（）个。

（1）零是最小的实数（2）带根号的数一定是无理数
（3）比 2 小的数只有1,0 （4）数轴上每个点都表。