2011初三数学竞赛试题答案

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2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析

2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析一、选择题 1．A 解：因为1a =，1a += 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2. B3. D 4．C解：由已知得2310x x ++=，于是 2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-5．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．6．D解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，，可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125x y z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411．7．C解：由题设可知1y y x -=，于是341yy x yxx-==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．8．C解：两式相加，得2358t t +=，解得1t =，或83t =-（舍去）．当1t =时，4530A B =︒=︒，满足等式，故1t =．所以，实数t 的所有可能值的和为1. 9．C解：如图，连接D E ，设1D E F S S ∆'=，则1423S S EF S BFS '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．10．A解：当2 3 2011k = ，，，，因为 ()()()32111112111kk k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭ ，于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 11．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m=．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m∆=-≥0，即2，164m∆=-≥0，所以2， 164m∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.12．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.13．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2B D A C =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.14．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．15．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A F C BA C=，即1212b a b-=，故12()a b ab +=． ②由①②得2222122524a b a b a b a b+=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题16．解：设方程20x a x b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.17．证明：如图，延长A P 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为A B 为⊙1O 的直径，所以∠A D B =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以A H ∥CQ ，A C ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形.所以点P 为C H 的中点.18．解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由 223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Qx x t=-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Q x t y tBCBD y tx t++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---又因为P Qx PC Q Dx =-，所以BC PC BDQD=.因为∠B C P =∠90BDQ =︒，所以△B C P ∽△BDQ ，故∠A B P =∠ABQ .（2）解法一设P C a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠A B P =∠30ABQ =︒，B C，B D，所以 A C=2-，A D=2-.因为P C ∥DQ ，所以△AC P ∽△ADQ . 于是PC AC D QAD=，即a b=所以a b +=．由（1）中32P Qx x t=-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b ==将2b =代入223y x=，得到点Q 2，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解析式为13y =-+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠A B P =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Qy x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32PQ x x k+=.若2Q x =代入上式得 P x = 从而 2()33P Q k x x =+=.同理，若Q x = 可得2P x =-从而 2()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.19．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2A B A C =，所以相似比为2. 于是224A Q A P B Q C P ====．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是3PQ ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()28AB PQ AP BQ =++=+.故 213s i n 60282ABC S AB AC AB ∆=⋅︒==．不同见解，敬请海涵。

数学周报杯2011年全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题（每小题7分，共35分，每小题只有一个正确选项）1、设17-=a ，则代数式12612323--+a a a 的值为（）（A ）24 （B ）25 （C ）1074+ （D ）1274+2、对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“△”为：（a ，b ）△（c ，d ）=（ac+bd ，ad+bc ）。

如果对于任意实数u ，v ，都有（u ，v ）△（x ，y ）=（u ，v ），那么（x ，y ）为（）（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（-1，0）（D ）（0，-1）3、若x>1，y>0，且满足xy=x y ，y x yx 3=，则x+y 的值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）29 （D ）211 4、点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设S 四边形EADF =S 1，S △BDF =S 2， S △BCF =S 3，S △CEF =S 4，则S 1S 3与S 2S 4的大小关系为（）（A ）S 1S 3< S 2S 4 （B ）S 1S 3=S 2S 4 （C ）S 1S 3>S 2S 4 （D ）不能确定5、设3333991312111+⋅⋅⋅+++=S ，则4S 的整数部分等于（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（每小题7分，共35分）6、若关于x 的方程（x-2）（x 2-4x+m ）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是___________。

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。

2011年全国初中数学联赛试题

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为【】 A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.【答】B.由4)1()1(22-=-+-ab b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-，即04)(2)(3322=++++-+ab b a b a b a ，即222222()2()40a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1-=ab ． 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为【】A ．5.B ．6.C ．7.D ．8. 【答】B.设△ABC 的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为hSS S 2,202,52．显然20252S S >，于是由三边关系，得⎪⎩⎪⎨⎧>+>+,252202,522202h S S S S h S S 解得3204<<h ．所以h 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6. 3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为【】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答】C.当1||≥x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0349)324(2=+---x x ，解得1x24x =-1||≥x ．当1||<x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0347)324(2=-+-+x x ，解得32x ，满足1||<x ．综上，原方程有3个解．4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有【】 A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组. 【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为45921=+++ ，所以正方形的边长不大于45[]114=．由于 4352617+=+=+=；5362718+=+=+=；546372819+=+=+=+=；64738291+=+=+=+； 65748392+=+=+=+．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。

2011年全国初中数学竞赛预赛试题含答案

2011年全国初中数学竞赛预赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．如果2121≤≤-x ，则=+-+++14414422x x x x （ B ）（A ）x 4 （B ）2 （C ）2- （D ）x 42-2．如果多项式201142222++++=b a b a p ，则p 的最小值是（ A ）（A ） 2008 （B ） 2009 （C ） 2010 （D ） 20113．已知四边形ABCD 中，∠A ＝60 ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1.则AB 的长为（ C ）（A ） 3 （B ） 34（C ）334 （D ） 3434．在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。

开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（ D ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）15．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。

设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ A ）个（A ）8个（B ）9个（C ）7个（D ）6个二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分. ）BACD6．从分数组{}111111,,,,,24681012中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去的两个数是．解：11810与7．如果我们把y x *定义为)1)(1(++=*y x y x ，2*x 定义为x x x *=*2，那么多项式12)(32+*-**x x ，当2=x 时的值为 .解：328．将54321，，，，这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有种。

2011年全国初中数学竞赛试题和答案1212-推荐下载

于是有 4 4S 5 ，故 4S 的整数部分等于 4．
1 20113
993
1 k3
1
（C）6

1 2
k
1
k 2 1
1 2

（D） 4 7 12
（D） 11 2
（C）S1S3>S2S4

1 2011 2012
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2011年全国初中数学竞赛解答题汇编(含答案)

O ABC DEM 第17题图H y 九年级实验班数学竞赛试卷15．已知关于x 的方程x 3－ax 2－2ax +a 2－1=0有且只有一个实数根. 求实数a 的取值范围.16．如图所示，在平面直角坐标系中有点A （-1，0）、点B （4，0），以AB 为直径的半圆交y 轴正半轴于点C 。

（1）求点C 的坐标；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D ，使四边形BOCD 为直角梯形，求直线BD的解析式。

17．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，在BD 上取点M ，使BM=CH 。

（1）求证：∠BOC=∠BHC ；（2）求证：△BOM ≌△COH ；（3）求MHOH 的值.18．一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为1, 2, ⋅⋅⋅, 17；第二行依次为18, 19, ⋅⋅⋅, 34; ⋅⋅⋅，一直写到最后一行，现将此棋盘里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1, 2, ⋅⋅⋅ , 13；第二列从上到下依次为14, 15, ⋅⋅⋅, 26；⋅⋅⋅，一直写到最后一列，这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，求所有这些小方格里（有相同数的）的数之和是多少？15、将原方程视为a 的一元二次方程，即a 2－( x 2+2x )a +x 3－1=0. 分解因式得[a －(x －1)][a－(x 2+x +1)]=0. 则x =a +1或x 2+x +1－a =0①.（6分）因x =a +1不是方程①的根，所以，当方程①无实根时，原方程有且只有一个实根. 于是△=1－4 ( 1－a )<0. 解得a <34.（6分） 16、（1）解：如图，连结AC ，CB 。

依相交弦定理的推论可得OC 2=OA ·OB ，解得OC=2。

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2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为（ B ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21. 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ B ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（ C ） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组. 5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ D ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+. 6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为（ C ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A 15︒．2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 2 ．3．能使2562+n是完全平方数的正整数n 的值为 11 ． 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ 24 ．CEFBA第二试（A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得b a c x --=11．设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准 •第一试，选择题和填空题只设 7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分•如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)2 2(—a) (1 _b)b a=_4，则ab 的值为A . 1.B . -1 .【答】B.(1- a)b.(1 -b)2-4可得 a(1「a)2 b(1-b)2 =-4ab ,即(a b) -2(a 2 b 2) a 3 b 3 4ab 二 0,即 2-2(a 22 .已知△ ABC 的两条高线的长分别为 5和20,若第三条高线的长也是整数, 大值为则第三条高线长的最( )A . 5.【答】B.B. 6.C. 7.D. 8.设厶ABC的面积为2S 2SS,所求的第三条高线的长为h,则三边长分别为仝,仝5 202S.显然空2S20，2S 22S十>—20 h 5 2S 2S 2S ——十——> —.20 5 h20 解得4 ： h :::3所以h的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为 6.3.方程| x2 -11= (4 _2.3)(x 2)的解的个数为A . 1个【答】C.当|x|_1 时，方程为x2 -1 =(4-2.3)(x • 2)，即x2 -(4-2^3)x-9 • 4、、3 =0，解得％x2=4 -3、、3，均满足| x|_1.当| X| ：：：x3 =二3 - 2，满足| x |”： 1 .综上，原方程有3个解.•4 .今有长度分别为1 , 2,,, 组线段恰好可以拼接成一个正方形，工： ---- 9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”则这样的“线段组”的组数有，由这一( )于是由三边关系，得3显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条.当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它 3条边中每两条线段的长度之和. 当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等.又因为1•…・9=45，所以正方形的边长不大于7=16 = 2 5=3 4；8 = 17=26 = 3 5；9 =18=2 7 =3 6=4 5 ；1 9=2 8=3 7=46 ；2 9=3 8=47=5 6.所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为 9的正方形，有5种方法。

2011年全国初中数学联赛(含答案)

12011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2a b +=，()()22114a b ba--+=-，则ab 的值为（）A ．1B ．-1C ．12-D ．12【解析】 B由22(1)(1)4a b b a--+=-可得22(1)(1)4a a b b ab -+-=-，即()2233()240a b a b a b ab +-++++=，即()()222222240a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1ab =-．2．已知ABC △的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 B设ABC △的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为222520S S Sh，，．显然222520S S >，于是由三边关系，得222205222205S S Sh S S S h ⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得2043h <<．所以h 的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．3．方程()21423(2)x x -=-+的解的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C如图，利用函数图像，发现主要是讨论在11x -≤≤时的交点情况，可用判别式判断(21423(2)x x -=--有两个相同的实数根，所以函数图象上中间部分应该是相切的，所以共有三个交点．4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A ．5组B ．7组C ．9组D ．11组【解析】 C显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条，当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．yxOy=4-23((x +2)y=x 2-13又因为12945+++=L ，所以正方形的边长不大于45114⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由于7=1+了=2+5=3+4； 8=1+7=2+6=3+5； 9=1+8=2+7=3+6=4+5；1+9=2+8=3+7=4+6 2+9=3+8=4+7=5+6．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法．故满足条件的“线段组”的组数为1459⨯+=．5．如图，菱形ABCD 中，3AB =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，则AE =（）A ．12+B 6C ．231D ．13【解析】 D过F 作AB 的垂线，垂足为H ．60DAB ∠=︒Q ，2AF AD FD =-=，30EFG ∴∠=︒，1AH =，3FH =，又15EFG ∠=︒Q90301545EFH AFG AFH EFG ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒，从而FHE △是等腰直角三角形，所以3HE FH ==DCABE HFG413AE AH HE ∴=+=．6．已知111111111234x y z y z x z x y +=+=+=+++，，，则234x y z++的值为（）A ．1B ．32C ．2D ．52【解析】 C111122x x x y z y z +=∴+=++，，即22x y z x y zy z x x y z+++=∴=+++，同理可得：34x z x yy x y z z x y z++==++++，则()22342x y z x y z x y z++++==++ 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在ABC △中，已知2B A ∠=∠，223BC AB ==+，，则A ∠=______________．【解析】 15︒方法一：延长AB 到D ，使BD BC =，连线段CD ，则12D BCD ABC A ∠=∠=∠=∠，所以CA Cd =．作CD AB ⊥于点E ，则E 为AD 的中点，故()()111223223222AE DE AD AB BD ===+=+=+，((223233BE AB AE =-=+-．在Rt BCE △中，3cos EB EBC BC ∠==，所以30EBC ∠=︒，故1152A ABC ∠=∠=︒． CD5方法二：过点C 点AB 的平行线交B ∠的角平分线与D 点，分别过C 点和D 点作AB 的垂线，垂足分别为E 、F ，易知梯形ABCD 为等腰梯形易知22CD CB EF ==∴=，3Rt AF BE BCE ∴==∴中，3cos EBC ∠=，30CBE ∴∠=︒ 15A ∴∠=︒2．二次函2y x bx c =++的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A B ，两点，与y 轴正方向交于C 点，若ABD △和OBC △均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则2b c +=____________．【解析】 2．方法一：由已知，得24(0)0b b c C c A ⎫---⎪⎪⎝⎭，，，240b b c B ⎫-+-⎪⎪⎝⎭，2424b b c D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，．过D 作DE AB ⊥于点E ，则2DE AB =，即224244b c b c -⨯-22424b c b c -=-240b c -242b c -．又240b c ->242b c -=．又OC OB =，即24b b cc -+-=，得2242b c b c +-=．方法二：OBC △为等腰直角三角形，OB OC ∴=，B ∴点坐标为()0c ，20c bc c ∴++=，又0c ≠，10c b ∴++=，24AB b c -D 点纵坐标为24b c -，BE F A CD6ABD △为等腰直角三角形，221442b c b c ∴-=-22424b c b c ∴-=-240b c -≠，所以244b c -=2444b c b ∴=+=-，0b ≠，4b ∴=-，3c ∴=3．能使2''256+是完全平方数的正整数n 的值为______________．【解析】 11．当8n <时，()82''2562''12n -+=+，若它是完全平方数，则n 必为偶数．若2n =，则2''2562652+=⨯；若4n =，则42''256217+=⨯；若6n =，则62''25625+=⨯；若8n =，则82''25622+=⨯，所以，当8n ≤时，2''256+都不是完全平方数．当8n >时，()882''256221n -+=+，若它是完全平方数，则821n -+为一奇数的平方．设()282121n k -+=+（k 为自然数），则10(1)n n k k -=+．由于k 和1k +一奇一偶，所以1k =，于是1022n -=，故11n =．4．如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果34DE CE =，85AC =，D 为EF 的中点，则AB =______________．【解析】 24．设4CE x AE y ==，，则36DF DE x EF x ===，连AD BC ，．因为AB 为O e 的直径，AF 为O e 的切线，所以90EAF ∠=︒，ACD DAF ∠=∠．7又因为D 为Rt AEF △的斜边EF 的中点，DA DE DF DAF AFD ∴==∴∠=∠，，85ACD AFD AF AC ∴∠=∠∴==，在Rt AEF △中，由勾股定理得222EF AE AF =+，即2236320x y =+．设BE z =，由相交弦定理得CE DE AE BE =g g ，即24312yz x x x ==g， 23203y yz ∴+= ①又AD DE =Q ，DAE AED ∴∠=∠．又DAE BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，BCE BEC ∴∠=∠，从而BC BE z ==．在Rt ACB △中，由勾股定理得222AB AC BC =+，即22()320y z z +=+，22320y yz ∴+=． ②联立①②，解得816y z ==，．所以24AB AE BE =+=．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数a b c ，，满足3a b c -+=，方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实根，方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实根．求a b c，，的值．解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．CAE OFDB8设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则221211100x ax x bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得11c x a b -=-．设1x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则22211200x x a x cx b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得21a b x c -=-．所以121x x =．2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准又方程①的两根之积等于1，于是2x 也是方程①的根，则22210x ax ++=．又2220x x a ++=，两式相减，得2(1)1a x a -=-．若1a =，则方程①无实根，所以1a ≠，故21x =．于是21a b c =-+=-，．又3a b c -+=，解得32b c =-=，．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =，P 为AC 的中点．求证：（1）30PBD ∠=︒；（2）AD DC =．直径，P 为该圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒．（2）作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，DAPM SNB C931222MS DS DM SB SB SB SN ∴=-=-==，Rt PMS Rt PNS ∴≅△△，30MPS NPS ∴∠=∠=︒，又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，故45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．⑴证明：3m n p +=+；⑵求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解 ⑴因为90ACB ∠=︒，OC ab ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=2()2()()()m n p p m n p m n p m n p ++-++=+++-，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．（2）由2mn p =，3m n p +=+知m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而[]22(3)40p p =-+->△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．10当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．设图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =-．所以，图象经过.A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=++．第二试（B ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =．求证：AD DC =．证明由已知得90ADC ∠=︒，从而A B C D ，，，四点共圆，AC 为直径．设P 为AC 的中点，则P 为四边形ABCD 的外接圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，则M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，CBNSM PAD11∴31222MS DS DM SB SB SB SN =-=-==,∴Rt PMS Rt PNS ≅△△,∴30MPS NPS ∠=∠=︒,又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，所以45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解因为90ACB ∠=︒，OC AB ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=222()2()()2()m n p p m n p m n p p np mp ++-++=++-++，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．又2mn p =，故m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而()22340p p =-+->⎡⎤⎣⎦△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．12当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．试图象经过A B C ，，三点的二次涵数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =．所以，图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++．第二试（C ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，已知P 为锐角ABC △内一点，过P 分别作BC AC AB ，，的垂线，垂足分别为D E F ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ，如果PD PE PF =+，求证：CN 是ACB ∠的平分线．证明如图1，作1MM BC ⊥于点1M ，2MM AB ⊥于点2M ，1MN BC ⊥于点1N ，2MN AC ⊥于点2N ．MAB CD EPF M 1N 1M 2N 2NP NDHMN 1M 1H 1设NP NM λ=⊥，∵11NN PD MM ∥∥，∴111N D N M λ=．13若11NN MM <，如图2，作1NH MM ⊥，分别交1MM ，于点1H H ，，则1NPH NMH :△△，∴1PH NPMH NMλ==，∴1PH MH λ=， ∴()()111111111PD PH H H MH NN MM NN NN MM NN λλλλ=+=+=-+=+-．若11NN MM =，则()11111PD NN MM MM NN λλ===+-．若11NN MM >，同理可证11(1)PD MM NN λλ=+-．∵2PE NN ∥，∴21PE PMNN NMλ==-，∴2(1)PE NN λ=-． ∵2PF MM ∥，∴2PF NPMM NMλ==，∴2PE MM λ=．又PD PE PF =+，∴1122(1)(1)MM NN MM NN λλλλ+-=+-．又因为BM 是ABC ∠的平分线，所以12MM MM =，∴()()1211NN NN λλ-=-．显然1λ≠，即10λ-≠，∴12NN NN =，∴CN 是ACB ∠的平分线．三、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第三题相同．。

2010-2011年九年级数学竞赛题(含答案)

2010-2011学年九年级数学竞赛考试时间：120分钟满分100分一、单项选择题(请将正确答案的序号填入答题卡内，每小题3分，共30分) 1.下列各式中，最简二次根式为( )A.B.C.D.2.方程(x-1)x=x 的根是( )A. x 1=1，x 2=0B. x 1=0，x 2=2C. x 1=-1，x 2=0D. x 1=x 2=03.如图，分别切⊙于，点为优弧上一点，，则的度数是( )A.60°B.120°C.30°或120°D.30° 4.在下面四种边长相等的正多边形的组合中，能作平面镶嵌的组合是( )5.已知的半径分别为2和，圆心距为，且2和都是方程的两根，则两圆的位置关系是( )A. 相交B. 外离C. 内切D. 外切6、如果多项式，则的最小值是（）A. 2005B. 2006C. 2007D. 2008 7.已知动点在边长为的正方形的边上沿着运动，表示点由点出发所经过的路程，表示的面积，则函数关系的图像大致为（）A.B.C.D.8.已知，则有（）A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. a<c<b 9. 如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，下列结论中：；ADBE第9题图正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410.古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为60cm ，每人离圆桌的距离均为10cm ，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为x ，根据题意，可列方程（）A ．2π(6010)2π(6010)68x +++=B ．2π(60)2π6086x +⨯=C ．2π(6010)62π(60)8x +⨯=+⨯D ．2π(60)82π(60)6x x -⨯=+⨯二、填空题（请将正确答案填入答题卡内,每小题3分，共21分）1.已知为正整数,,若关于方程有正整数解,则的最小值是2.化简：3.规定两数a b 、通过""*运算得到4ab ，即4a b ab *=。

2011年全国初中数学竞赛试题+参考答案

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为(A ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+（D ）4712+解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，，都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为(B ).（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（﹣1，0）（D ）（0，-1）解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y，）=（1，0）． 3．若1x >，0y >，且满足3y yx xy x xy==，，则x y +的值为(C ).（A ）1 （B ）2 （C ）92（D ）112解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．点D E ，分别在△ABC 的边A B A C ，上，B E C D ，相交于点F ，设1234BD F BC F C EF EAD F S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为(C ).解：如图，连接D E ，设1D E F S S ∆'=，则1423S S EF S BFS '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于(A ).（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7解：当2 3 99k = ，，，时，因为()()()32111112111kk k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭ . 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是3＜m ≤4.解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m=．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m∆=-≥0，所以1642m -<， 164m∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是19.解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（第4题）（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2B D A C =，则224OC OD - 的值为6.解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2B D A C =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6. 9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为32.解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+．由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=．10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于 △ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为84.解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A F C BA C=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ②（第8题）（第10题）由①②得 2222122524a b a b a b a b+=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以A B 为直径的⊙1O 和△B C H 的外接圆⊙2O 相交于点D，延长A D 交C H 于点P ，求证：点P 为C H 的中点.证明：如图，延长A P 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为A B 为⊙1O 的直径，所以∠A D B =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以A H ∥CQ ，A C ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为C H 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x=于P ，Q 两点.（1）求证：∠A B P =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）.设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Qx x t=-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Q x t y tBCBD y tx t++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---又因为P Qx PC Q Dx =-，所以BC PC BDQD=.因为∠B C P =∠90BDQ =︒，所以△B C P ∽△BDQ ，故∠A B P =∠ABQ .（2）解法一设P C a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠A B P =∠30ABQ =︒，B C =3a，B D =3b，所以 A C =32a -，A D =23b-.因为P C ∥DQ ，所以△AC P ∽△ADQ . 于是PC AC D QAD=，即3223a a bb-=-，所以3a b ab+=．由（1）中32P Qx x t=-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b ==将32b =代入223y x=，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =-所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+.解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠A B P =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =. 故 222(1)Q Q Q x x y =++.将223Q Qy x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3.又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32PQ x x k+=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =，可得32P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+.14．如图，△ABC 中，60B A C ∠=︒，2A B A C =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC的面积．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2A B A C =，所以相似比为2. 于是22324A Q A P B Q C P ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ . 故 213673s i n 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．。

2011年全国初中数学联赛一试二试试题、答案及评分标准

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为（） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.【答】B.由4)1()1(22-=-+-ab b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-，即04)(2)(3322=++++-+ab b a b a b a ，即222222()2()40a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1-=ab ．2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8. 【答】B.设△ABC 的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为h S S S 2,202,52．显然20252SS >，于是由三边关系，得⎪⎩⎪⎨⎧>+>+,252202,522202h S S S Sh S S 解得3204<<h ．所以h 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答】C.当1||≥x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0349)324(2=+---x x ，解得1x24x =-1||≥x ．当1||<x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0347)324(2=-+-+x x ，解得32x ，满足1||<x ．综上，原方程有3个解．.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为45921=+++ ，所以正方形的边长不大于45[]114=．由于 4352617+=+=+=； 5362718+=+=+=； 546372819+=+=+=+=； 64738291+=+=+=+； 65748392+=+=+=+．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。

2011年全国初中数学竞赛试题答案

2011年广东数学竞赛试题1.A解：3a3+12a2-6a-12=3a3+3a2+9a2-6a+1-13=3a2（a+1）+（3a-1）2-13原式=37-13=24．2.B解：由定义，知（a，b）△（x，y）=（ax+by，ay+bx）=（a，b），则ax+by=a，①ay+bx=b，②由①+②，得（a+b）x+（a+b）y=a+b，∵a，b是任意实数，∴x+y=1，③由①-②，得（a-b）x-（a-b）y=a-b，∴x-y=1，④由③④解得，x=1，y=0，∴（x，y）为（1，0）；3.C解：由题设可知y=x y-1，∴x=yx3y=x4y-1，∴4y-1=1．故y=2/1从而x=4．于是x+y=9/2 4. C解：如图，连接DE，设S△DEF=S′1，则S’₁/S₂=EF/BF=S₃/S₄从而有S1′S3=S2S4．因为S1＞S1′，所以S1S3＞S2S4．5. AS=1+1/2³+1/3³+1/4³+……+1/2011³<1+(1/2³+1/3³)+(1/4³+…+1/7³)+(1/8³+…+1/15³)+……<1+(1/2³+1/3³)+[4*(1/4³)+8*(1/8³)+……]=1+1/8+1/27+[1/16+1/64+1/256……]=1+1/8+1/27+(1/16)/(1-1/4)=1+1/8+1/27+1/124S=4+1/2+4/27+1/3<4+(1/2+1/6+1/3)=5S>1,4S>4所以4<4S<54S的整数部分为4.6. (3,4)解：（X-2）（X^2-4X+M）＝0x1=2x2=2+√(4-M)x3＝2-√(4-M)M<=4三角形特征任意两边和大于第三边即x1+x2>x3①x1+x3>x2②x2+x3>x1③解①M<=4解②3<M<=4解③M<=47.1/98.6解：设A（a，a）则C（a，1/a），又设B（b，b）则D（b，1/b），所以AC=a-1/a，BD=b-1/b因为BD=2AC，所以b-1/b=2(a-1/a)即(b-1/b)²=4(a-1/a)²b²+1/b²-2=4(a²+1/a²-2）即4(a²+1/a²)-(b²+1/b²)=6所以4OC²-OD²=4(a²+1/a²）-(b²+1/b²)=6.9.3/2由1-x≥0，且x-1/2≥0，得1/2≤x≤1由于1/2＜3/4＜1，所以当x=时，y2取到最大值1，故a=1．当x=3/4时，y2取到最大值1，故a=1当x=1/2或1时，y2取到最小值1/2，故b=√2/2所以：a2+b2=3/210.84如图，设BC=a，AC=b，则a2+b2=352=1225．①又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以FE/CB=AF/AC即12/a=（b-12）/b故12（a+b）=ab．②由①②得（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b），解得a+b=49（另一个解-25舍去），所以a+b+c=49+35=84．11.29设方程x2+ax+b=0 的两个根是x1,x2x1+x2=-a，x1x2=b方程x2+cx+a=0 的两个根是x1+1,x2+1x1+1+x2+1=-c，x1x2+x1+x2+1=a-a+2=-c，b-a+1=aa-c=2，b-2a=-1二次方程x2+cx+a=0 的两个根为整数所以△=c²-4a是个正数的平方△=c²-4a=(a-4)²-12满足条件的只有(a-4)²-12=4时成立这时a=0或者a=8当a=0时,b=-1,c=-2这时x2+cx+a=0 的两个整数根为2和0x2+ax+b=0 的两个整数根为1和1不合题意当a=8时,b=15,c=11这时x2+cx+a=0 的两个整数根为-2和-4x2+ax+b=0 的两个整数根为-3和-5符合题意a+b+c=8+15+6=29所以a+b+c 的值2912. 证明：延长AP交⊙O2于E点，连接BE、CE,证明AH∥=CE。

2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

G A B CDE F2011年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知a ＋b ＝2，(1－a )2b ＋(1－b )2a ＝-4,则ab 的值为( )(A) 1 (B) -1 (C) -1 2(D)1 22. 已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为( )(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 83. 方程│x 2－1│＝(4－23) (x ＋2)的解的个数为( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个4. 今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有( ) (A) 5组 (B) 7组 (C) 9组 (D) 11组5. 如图，菱形ABCD 中，AB ＝3， DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE ＝( )(A) 1＋2 (B) 6 (C) 23－1 (D) 1＋36. 已知1x ＋1y ＋z ＝12, 1y ＋1x ＋z ＝13,1z ＋1x ＋y ＝14，则 2x ＋3y ＋4z 的值为( )(A) 1 (B)3 2(C) 2 (D)52二．填空题1. 在△ABC 中，已知∠B ＝2∠A ，BC ＝2，AB ＝2＋23，则∠A ＝．2. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则 b ＋2c ＝．3. 能使2n ＋256是完全平方数的正整数n 的值为．OA BCDEF4. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果DE ＝34CE ，AC ＝85，D 为EF 的中点，则AB ＝．第二试1. 已知三个不同的实数a ,b ,c 满足a －b ＋c ＝3，方程x 2＋ax ＋1＝0和x 2＋bx ＋c ＝0有一个相同的实根，方程x 2＋x ＋a ＝0和x 2＋cx ＋b ＝0也有一个相同的实根．求a ,b ,c 的值．PABCDS2. 如图，在四边形ABCD 中，已知∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝120°，对角线AC ,BD 交于点S ，且DS ＝2SB ，P 为AC 的中点．求证：（1）∠PBD ＝30°；（2）AD ＝DC ．3. 已知m ,n ,p 为正整数，m ＜n ．设A (－m ,0)，B (n ,0)，C (0,p )，O 为坐标原点．若∠ACB ＝90°，且OA 2＋OB 2＋OC 2＝3(OA ＋OB ＋OC ) （1）证明： m ＋n ＝p ＋3；（2）求图象经过A ,B ,C 三点的二次函数的解析式．参考答案一．选择题1.B2.B3.C4.C5.D6.C二．填空题1. 15°2. 23.114. 24第二试1.解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得ba c x --=11．设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。

2011年全国初中数学联赛决赛试卷及其答案

2011年全国初中数学联赛决赛试卷（4月10日本试卷共三大题（13个小题），用圆珠笔、签字笔或钢笔作答. 解题书写不要超出装订线. 不能使用计算器.4. 若不等式2卜一1| + 3卜一3|S“有解，贝IJ 实数"的最小值是（）A. 1 B ・2 C ・4 D ・65. 若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”.用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（）A. 18B ・ 24C ・ 30D ・ 366. 不宦方程X 2-2/=5的正整数解（x, y ）的组数是（）A. 0组B. 2组 C ・4组 D.无穷多组.二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上.1. _____________________________________________________________________ 二次函数y = ?-t/x+2的图象关于直线x=l 对称，则y 的最小值是 ________________________________________ ・2. 已知“=妇-1,贝忖^+加汕一加⑹。

的值为 ____________________3. 已知AABC 中，AB=y/39 , BC=6, CA= $ 点M 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D,则线段BD 的长度是 _________________ .4. 一次棋赛，有"个女选手和％个男选手参赛，每位选手都与其余10“一 1个选手各对局一次.计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分•比赛结束后统汁发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍.则“的所有可能值是 _____________ • 三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1. （本题满分20分）已知XI ,卫是关于X 的一元二次方程++（3“_1）久+加_1=：0的两个实数根，使得一、选择题（本题满分42分，每小题7分）一个凸多边形的每一个内角都等于150。

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2011年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准•第一试，选择题和填空题只设 7分和0分两档;第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分•如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数•第一试2.已知△ ABC 的两条高线的长分别为 5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为()A .5.B . 6.C . 7.D . 8.【答】B.2S 2S 2S设厶ABC 的面积为S,所求的第三条高线的长为 h ,则三边长分别为竺仝仝.显5 '20' h2S 2S然，于是由三边关系，得5 202S 2S 2S20h J520 解得4 h 202S 2S 2S 3205h ，所以h 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为程 |x 21| (4 2 3)(x 2)) A . 1个【答】C.解得为 3, X 2 4 3亦，均满足| x | 1 .选择题: (本题满分每小题7分)(1 a)2 b2(1 b) a则 ab1. 1.C .【答】B. 由(1 a)2 b(1 b)2 a4可得 a(1 a)2 b(1 b)24ab ,即(a b) 2(a 2 b 2) a 3 b 3 4ab 即 2 2(a 2b 2) 2(a 22ab b ) 4ab0，即 2 2ab 4ab0，所以 ab 1.6.C . 3个当|x| 1时，方程为x 21 (4 23)(x 2)，即 x 2(4 2、3)x 9 4、3当 |X| 1 时，方程为 1 x 2 （42、,3）（X 2），即 x 2 （42, 3）x 74、.. 3 0 ,解得x 3 .3 2，满足| x| 1 .综上，原方程有3个解.2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准•4.今有长度分别为1,2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成 “线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有A . 5 组. 【答】C.条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它 3条边中每两等.又因为 1 294545，所以正方形的边长不大于［竺］11.由于7 1 6 2 5 3 4 ; 81 72 63 59 1 8 2 7 3 6 4 5 ;1 92 83 74 6 ；2 93 84 75 6 .所以，组成边长为 7、 & 10、11的正方形，各有种方法；组成边长为 9的止方形,有5种方法。

2011年全国初中数学竞赛试题及参考答案

2011 年全国初中数学竞赛试题及参考答案
一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号为 A，B， C， D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得 0 分）一、选择题（每小题 7 分，共 35 分，每小题只有一个正确选项） 1、设 a 7 1 ，则代数式 3a 3 12a 2 6a 12 的值为（（A）24 （B）25 （C） 4 7 10 ）
1 的最大值为 a，最小值为 b，则 a2+b2 的值为___________。 2
10、如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 35，正方形 CDEF 内接于△ABC，且其边长为 12，则△ABC 的周长为__________。
三、解答题（每题 20 分，共 80 分） 11、已知关于 x 的一元二次方程 x2+cx+a=0 的两个整数根恰好比方程 x2+ax+b=0 的两个根都大 1，求 a+b+c 的值。
12、如图，点 H 为△ABC 的垂心，以 AB 为直径的⊙O1 和△BCH 的外接圆⊙O2 相交于点 D，延长 AD 交 CH 于点 P，求证：点 P 为 CH 的中点。
13、如图，点 A 为 y 轴正半轴上一点， A， B 两点关于 x 轴对称，过点 A 任作直线交抛物线 y
2 2 x 3
于 P，Q 两点。（1）求证：∠ABP=∠ABQ （2）若点 A 的坐标为（0，1），且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的直线 PQ 的函数解析式。
14、如图，△ABC 中，∠BAC=60o，AB=2AC，点 P 在△ABC 内，且 PA= 3 ，PB=5，PC=2，求△ ABC 的面积。

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