高等数学作业上-1 (答案)

第一章函数 极限 连续

§1函数

1． 解：（1） 要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2].

（2）当时，且1

3≠≠x x 3

41

2+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数

的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、

（3）,1010.101110ln 110ln arccos e x e

e x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即 定义域为].10,10

[

e e

（4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,2

1 ±±=+≠

+k k x ππ

;即函数定义域为

.,2,1,0,12⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且 （5）当有意义，时有意义；又当时x

arctg

x x x 1

033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞

（6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义，

必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、

-- 2． .2)2

1(,2)21

(,2)0(,1)2(,2)3(2

1-=-====f f f f f

3． 解：3134,34)]([22≤≤-+--+-=

x x x x x x g f 有意义；必须因此要使，

即[])(x g f 的定义域为[1，3]。

4．解⎪

⎩⎪

⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧>-=<=;

0,1,0,0,0,

1,1,

1,1,

0,

1,1)]([x x x e e e x g f x x x

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<==,

1,1,1,1,1,)]([)

(x e

x x e e x f g x f 。 5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。

6．⎩⎨⎧-<++-≥+=+⎩⎨

⎧<+-≥-=-;

1,52,

1,32)1(;1,52,

1,12)1(2

2

x x x x x x f x x x x x x f

故 ⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+<≤-+-<+=++-.1,24,11,8,1,102)1()1(22x x x x x x x f x f 。

7解：设222()1()1(38)()1(,)(ax c x b x a x x f x f c bx ax x f -++++=+=-+++=由

.4)(14,3,82,2)2c x x x f b a b a a b a ax c bx +-=∴-===+=++=++，，即得

8.()()()f f x f f x f f x -=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()f f x ∴⎡⎤⎣⎦为奇函数 ()()()g f x g f

x g f x -=-=

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()g f x ∴⎡⎤⎣⎦为偶函数

9．证：当;21111;111,12424

24

2

≤+≤++<≤++≤≥x x

x x x x x x x 时，当因此时，所以对任意)(,2)(),,(x f x f x 即≤+∞-∞∈有界。

10．解：（1）由.2,2,1)2ln(1)2ln(11-==+-=+++=--y y e x e x y x x y 即得

1)2ln(++=∴x y 的反函数为.21-=-x e y

（2）由.1log ,1log ,121

2222x x

y y y x y y y x x x -=-=-=+=反函数为即得

（3）当.00;10<<≥≥y x y x 时，时反函数为：⎩⎨⎧<≥-=.

0,,

1,13

x x x x y

11．解：（1）.21,sin ,);21sin(,3

3

x v v u u y x u u y +===+== （2）;12,,10;)12(,102

2

-===-==x v v u y x u y u

u

；

（3）2

2222

,();,,();,,

x x y arctgu u tg a e y arctgu u v v tg a e y arctgu u v ⎡⎤==+⎣⎦===+==

.),(2x e w w a tg v =+=

12．设证圆锥的高为.3

1:,2

h R V V R h π=，由立体几何学知，体积为底半径为 又

利

用

两

直角三角形相似

可

得

：

),2(,)2(3,2)2(,2

22222

22+∞∈-=-=-=∴--=r h r h h r V r h h r r h h h r R h R r

h R

r π.

§2 数列极限定义及性质

1． 解：（1）（错）例如;2

3

,12)1(1=+-+=a n n x n n （2）（对） （3）（对）.

２．（１）证：n

n n n n 1

85)34(25213412<<+=-+-

.2

1

3412lim .1213412],1[0=+-<<-+->=∴∞→n n n n n N n N n 由定义：时，有当，取〉任给εεε

（２）证：

时，当取任给N n N n

n

n n n >=>∴<

-+=-+],1

[

,0,11112

εε

.0)1(lim .11=-+∴<<-+∞

→n n n

n n n ε

３．证：εε<->>>∴=∞

→a x N n N a x n n n 时，有当存在任给,0,0,lim ，又≤-a x n

.lim )(a x N n a x n n n =∴><-∞

→，时ε

４．证：n n x ∞

→lim 存在，).,2,1(,0 =≤>∴n M x M n 有存在.sin

2

n M n x n

x n n n

≤≤ 又 ∴<≤->=>∴,0sin

],[

,02εε

εn M

n

x a N n M

N n 时，有当取任给0sin lim 2=∞→n x n n n . ５．证：{}n x 有界，).,2,1(,0 =≤>∴n M x M n 使得存在又0lim =∞

→n n y ，

,0>∴ε任给 ∴=⋅

≤=<

>>.,,0εε

ε

M

M y x y x M

y N n N n n n n n 而时有当存在0lim =∞

→n n n y x .

数列极限运算法则及存在准则

１．解：（１）（对）

（２）（错）例如：.0sin 1

lim sin lim ,01lim ,sin ,1存在不存在，但====

∞→∞→∞→n n n n n y n

x n n n n n

（３）（错）例如：.01

lim 11lim ),,2,1(,1,1

122

==+=<=+=∞→∞→n n n v u n v n u n n n n n n 但 ２．证：n n n n n n n

n n n

n n n n n u u v v u v a v u u v a v u ⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∴==∴≠=∞→∞→∞→有界，而,11lim lim ,0lim 由数列极限