[理学]青岛大学概率论课件概率第二章
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概率论第二章(课件2)
条件概率具有非负性、规范性、乘法 法则和全概率公式等性质。
贝叶斯定理
贝叶斯定理的表述
对于任意两个事件A和B,有 P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)。
贝叶斯定理的应用
贝叶斯定理常用于在已知某些条件 下,对其他条件的发生概率进行推 断和更新。
贝叶斯定理的意义
贝叶斯定理是概率论中的一个重要 定理,它提供了在已知某些信息的 情况下,对其他信息的可信度进行 评估的方法。
期望的计算
期望的计算公式为E(X)=∑xp(x),其中x为随机变量X的所有可能取值, p(x)为对应的概率。
方差与协方差
方差的定义
方差是随机变量与其期望之间的差的平方的期望,表示随机变量 取值与期望的偏离程度。
方差的性质
方差具有非负性,即对于任何随机变量X,D(X)≥0。
协方差的定义
协方差是两个随机变量的线性相关程度的度量,表示两个随机变量 同时偏离各自期望的程度。
自的概率分布相乘得到。
THANKS
感谢观看
02
随机变量及其分布
离散随机变量
离散随机变量定义
离散随机变量是在可数样本空间上的概率函数。
离散随机变量的概率分布
离散随机变量的概率分布由一个非负整数序列给出,表示在每个样 本点上随机变量取值的概率。
离散随机变量的期望值
离散随机变量的期望值是所有可能取值的概率加权和。
连续随机变量
连续随机变量念 • 随机变量及其分布 • 随机向量及其分布 • 随机变量的函数及其分布 • 随机变量的数字特征
01
概率论的基本概念
概率的定义与性质
01
02
03
概率的定义
概率是描述随机事件发生 可能性大小的数值,通常 用P表示。
概率论与数理统计课件第二章
P( X 1) 1 P( X 0) 1 C 0.1 0.9
0 n 0 n 0
1 0.9 0.9
n
n 22.
例4. 某车间有5台车床,由于种种原因(由
于装、卸工作等),时常需要停车.设各 台车床的停车或开车是相互独立的. 若车床在任一时刻处于停车状态的 概率是1/3,求车间中恰有一台车床处 于停车状态的概率。 解:X:处于停车状态的车床数 X~B(5,1/3)
当0 x 1时,F ( x) P( X x) P( X 0) 0.3
当1 x 2时,F ( x) P( X x) P( X 0) P( X 1) 0.9
当x 2时,F ( x) P( X 0) P( X 1) P( X 2) 1
k nk CM CN M P( X k ) , n CN
k 0,1,..., l ,
其中n≤N,M<N,l=min{n,M},n,N,M均为正 整数,则称X服从参数为N,M,n的超几何分 布,记作X~H(N,M,n).
例8. 某班有学生20名,其中有5名女生, 今从班上任选4名学生去参观展览, 求被选到的女同学人数X的分布律。 X~H(20,5,4)
Ω X R X(w)
w
随机变量的分类
离散型随机变量
有限个或可列个 可能值
随 机 多,而且还不能 一一列举,而是充满 一个区间.
许多随机事件都可以通过形如{X≤x}的 事件来表示:
1 { X x} X x k k 1
(5) F ( x)是连续函数, 若f ( x)在x0连续, 有 F ( x0 ) f ( x0 ) .
例1. 设连续型随机变量X的概率密度为
高中数学第二章概率本章知识体系课件选修23高二选修23数学课件
(1)由题意知 P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A∪B, 则 P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8. (2)D= C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2. 由题意知,X~B(100,0.2). 所以均值 EX=100×0.2=20,方差 DX=100×0.2×(1-0.2) =16.
12/9/2021ຫໍສະໝຸດ 第十七页,共二十五页。专题四 超几何分布与二项分布 [例 5] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况,随机抽取该流水线上 40 件产品作为样本称出它们的重量(单 位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515], 由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
12/9/2021
第八页,共二十五页。
[解] (1)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且
P(X=0)=C184=710, P(X=1)=CC41C84 34=385, P(X=2)=CC42C84 24=1385, P(X=3)=CC43C84 14=385, P(X=4)=C184=710.
12/9/2021
第十三页,共二十五页。
[解] 设事件 A 表示“该地的 1 位车主购买甲种保险”,事 件 B 表示“该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”, 事件 C 表示“该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种”,事件 D 表示“该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买”.
12/9/2021
第十九页,共二十五页。
[解] (1)重量超过 505 克的产品数量是
40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12(件).
(2)依题意 Y 的可能取值为 0,1,2, P(Y=0)=CC222480=16330, P(Y=1)=CC128C240112=2685, P(Y=2)=CC212420=11310,
12/9/2021ຫໍສະໝຸດ 第十七页,共二十五页。专题四 超几何分布与二项分布 [例 5] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况,随机抽取该流水线上 40 件产品作为样本称出它们的重量(单 位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515], 由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
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第八页,共二十五页。
[解] (1)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且
P(X=0)=C184=710, P(X=1)=CC41C84 34=385, P(X=2)=CC42C84 24=1385, P(X=3)=CC43C84 14=385, P(X=4)=C184=710.
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第十三页,共二十五页。
[解] 设事件 A 表示“该地的 1 位车主购买甲种保险”,事 件 B 表示“该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”, 事件 C 表示“该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种”,事件 D 表示“该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买”.
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第十九页,共二十五页。
[解] (1)重量超过 505 克的产品数量是
40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12(件).
(2)依题意 Y 的可能取值为 0,1,2, P(Y=0)=CC222480=16330, P(Y=1)=CC128C240112=2685, P(Y=2)=CC212420=11310,
《概率统计2章》课件
应用场景
非线性回归在许多领域都有应用,例如化学、物理学和生物学等,用于探索非线性关系和预测。
详细描述
非线性回归分析通过建立非线性方程来描述因变量与自变量之间的关系。这种关系不是线性的,而是以其他形式存在,例如二次方、指数、对数等。
贝叶斯统计
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理,它提供了在给定一些新的信息下,更新我们对某个事件发生的概率的估计的方法。
单侧检验与双侧检验
假设检验的步骤
根据假设方向的不同,分为单侧检验和双侧检验。
显著性水平是判断假设是否成立的依据,临界值是判断数据是否显著的依据。
通过提出假设并检验假设是否成立来判断总体参数是否显著。
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出决策。
回归分析
总结词
详细描述
公式解释
应用场景
一元线性回归是回归分析中最基础的形式,它探Leabharlann 一个因变量与一个自变量之间的关系。
总结词
条件概率是指在某个已知条件下,随机事件发生的概率。独立性是指两个随机事件的发生互不影响。
详细描述
条件概率表示为P(A|B),即在事件B发生的条件下,事件A发生的概率。独立性则是指两个随机事件A和B,如果P(A|B) = P(A),则称A与B独立。条件概率与独立性是概率论中的重要概念,它们在概率模型建立和推断中有着广泛的应用。
在统计学中的应用
在金融领域的应用
在社会学中的应用
THANK YOU
感谢聆听
随机变量是用来描述随机实验结果的变量,其取值具有随机性。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律。
总结词
随机变量是定义在样本空间上的函数,其取值具有随机性。常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量可以取有限或可数无穷多个值,而连续型随机变量则可以取实数域上的任意值。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律,常见的分布有二项分布、泊松分布、正态分布等。理解随机变量的分布对于进行统计推断和决策具有重要的意义。
非线性回归在许多领域都有应用,例如化学、物理学和生物学等,用于探索非线性关系和预测。
详细描述
非线性回归分析通过建立非线性方程来描述因变量与自变量之间的关系。这种关系不是线性的,而是以其他形式存在,例如二次方、指数、对数等。
贝叶斯统计
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理,它提供了在给定一些新的信息下,更新我们对某个事件发生的概率的估计的方法。
单侧检验与双侧检验
假设检验的步骤
根据假设方向的不同,分为单侧检验和双侧检验。
显著性水平是判断假设是否成立的依据,临界值是判断数据是否显著的依据。
通过提出假设并检验假设是否成立来判断总体参数是否显著。
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出决策。
回归分析
总结词
详细描述
公式解释
应用场景
一元线性回归是回归分析中最基础的形式,它探Leabharlann 一个因变量与一个自变量之间的关系。
总结词
条件概率是指在某个已知条件下,随机事件发生的概率。独立性是指两个随机事件的发生互不影响。
详细描述
条件概率表示为P(A|B),即在事件B发生的条件下,事件A发生的概率。独立性则是指两个随机事件A和B,如果P(A|B) = P(A),则称A与B独立。条件概率与独立性是概率论中的重要概念,它们在概率模型建立和推断中有着广泛的应用。
在统计学中的应用
在金融领域的应用
在社会学中的应用
THANK YOU
感谢聆听
随机变量是用来描述随机实验结果的变量,其取值具有随机性。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律。
总结词
随机变量是定义在样本空间上的函数,其取值具有随机性。常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量可以取有限或可数无穷多个值,而连续型随机变量则可以取实数域上的任意值。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律,常见的分布有二项分布、泊松分布、正态分布等。理解随机变量的分布对于进行统计推断和决策具有重要的意义。
大学概率与统计第2节概率PPT课件
P (B A) B P (B ) P (A), B
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A ).B
推论: 一般地, P (A B ) P (A ) P (B ).
21
推广:三个事件的加法公式
P (A B C )P (A )P (B )P (C )
P (A) B P (B)C P (A)C P (AB ) C
28
若随机试验满足下述两个条件: (1) 它的样本空间只有有限多个样本点; (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为古典概型.
定义(概率的古典定义) 在古典概型下,若所有基 本事件总数为n,而事件A包含了其中的m个(称为 有利场合数),那么事件A的概率定义为
P(A) m A的有利场合数
n
O
A
N
I
RS
0.2 0.105 0.072 0.0654 0.063 0.059 0.055 0.054 0.052
H
D
L
C
F
U
MPY
0.047 0.035 0,029 0.023 0.0225 0.0225 0.021 0.0175 0.012
W
G
B
V
K
X
JQZ
0.012 0.011 0.0105 0.008 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001
P(BA)P(B)P(A)B P(B) 1 ; 2
(2 ) 因 为 A B , 所 以
P (B A )P (B )P (A )111 23 6
(3 ) P (B A ) P (B ) P (A) B 1 1 3 . 288
25
四、古典概型
假定某个试验有有限个可能的结果
概率论与数理统计第二章课件PPT
例2 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2,求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .
X ~ B (3, 0.8),
P( X k)C (0.8) (0.2) , k 0,1,2,3
k 3 k
3k
P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} =(0.2)3+3(0.8)(0.2)2
X
p
1
0
1
2
3 0.1
a b 0.2 0.3
求a,b满足什么条件。
a b 0.4, a 0, b 0
一旦知道一个离散型随机变量X的分布律后,我们便可求得X
所生成的任何事件的概率。特别地,对任意 a ,有 b
P a X b P X x P X x i i a x b a x b 1 1 pk
解
用泊松定理 取 =np=(400)(0.02)=8, 故 近似地有 P{X2}=1- P{X=0}-P {X=1}
=1-(1+8)e-8=0.996981.
泊松分布(Poisson distribution)
定义2 设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,…,而X 的分布律为
pk P X k
路口1
路口2
路口3
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
路口1
路口2
路口3
1 1 1 P(X=3)= P( A1 A2 A3 ) =1/8 2 2 2
即
X
p
0
1
2
3
1 2
1 4
概率论第二章共34页
1 4
(x
1)
1
x5
1
1 x 5
01
5
已知连续型随机变量X的概率密度为
f (x) Aex
(1)求P(1X1)(2) 求 X 的分布函数
随机变量 X 的分布函数为
1 ex 2
F
(x)
1 2
x0 0 x1
1
1 2
e (x1)
x 1
(1)求 P(1X2) (2)求X 的密度函数
均匀分布 Uniform Distribution
解
X的概率密度
3 e3x x 0 f (x)
0 x 0
P(x1Xx2)xx12 f(x)dx
P (X 1 ) f(x )d x 3 e 3 x d x e 3
均匀分布
X~U(0,5)
2
21 2
P (X 2 ) F (2 ) 0f(x )d x 05 d x 5
几何概型(一维)
设ξ在[-1,5]上服从均匀分布,求方程
x22x10
有实根的概率。
解 方程有实数根
42 4 0
即 1
而
1 的密度函数为 f (x) 6
(1 x 5)
0 其它
所求概率为 P { 1 } 1f(x)d x f(x)d x2
F(x)P{Xx} f (x)dx
导数关系
若 f( x ) 在 x 处 连 续 , 则 F ( x ) f( x )
连续型随机变量的分布函数的性质
连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续 因此,连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0
P(X=a)=0
P(a X< b)= P(a<Xb)=P(a X b)=P(a<X<b)
概率论与数理统计第二章_PPT课件
3,4,5
1.随机变量的定义
设E是一个随机试验,S是其样本空间.我们称样本空
间上的函数 X X e e S
为一个随机变量,如果对于任意的实数 x,集合
e : X e x X x
X (e)
e
都是随机事件.
随机变量的特点:
R
S
1). X的全部可能取值是互斥且完备的
2). X的部分可能取值描述随机事件
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
1 , 2 , 3 , . 实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”,则 X 的所有可能取值为:
0 ,1 ,2 ,3 , ,3 . 0
( 5 ) 对 于 随 机 变 量 , 我 们 常 常 关 心 的 是 它 的 取 值 .
( 6 )我 们 设 立 随 机 变 量 ,是 要 用 随 机 变 量 的 取 值 来 描 述 随 机 事 件 .
实例2 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 结果: e1(反面朝 ), 上
e2 (正面朝 ), 上 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
1 ,2 ,3 , . 注意 X(e) 的取值是可列无穷个!
实例7 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则
X(e) 此人的等车,时间
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可 能取值为: [0,5].
实例8 设某射手对目标进行射击,如果我们以目标 中心为坐标原点,考查射击点的平面位置(坐标), 为了便于研究,我们引入两个变量X,Y,其中
若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有
概率论2ppt课件
17
引言:数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道,由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性,因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察,各种结果的规律性一定能清楚 地呈现,但是实际上所允许的观察永远是有限 的,甚至是 少量的。 例如:若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品,如何确定次品率?由于灯泡寿命试验是 破坏性试验,不可能把整批灯泡逐一检测,只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验,以样本 的信 息来推断总体的信息,这是数理统计学研 究的问题之一。
第十二章 平稳随机过程
• 12.1 平稳随机过程的概念 • 12.2 各态历经性 • 12.3 相关函数的性质 • 12.4 平稳过程的功率谱密度
5
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词: 契比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理
6
§1 大数定律
背景 本章的大数定律,对第一章中提出的 “频率稳定性”,给出理论上的论证
3. 用正态分布近似计算
npq 400 0.02 0.98 2.8
PZ
2
1
P0
Z
2
1
P
0
np npq
Z
np npq
2
np npq
16
1 P
8 2.8
Z 8 2.8
6 2.8
1
6 2.8
8 2.8
0.9859
第六章 数理统计的基本概念
关键词: 样本 总体 个体 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
解:记16只电器元件的寿命分别为Z1, Z2, , Z16, 16 则16只电器元件的寿命总和为Z Zi, 由题设E Zi 100, DZi 1002 i1
引言:数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道,由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性,因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察,各种结果的规律性一定能清楚 地呈现,但是实际上所允许的观察永远是有限 的,甚至是 少量的。 例如:若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品,如何确定次品率?由于灯泡寿命试验是 破坏性试验,不可能把整批灯泡逐一检测,只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验,以样本 的信 息来推断总体的信息,这是数理统计学研 究的问题之一。
第十二章 平稳随机过程
• 12.1 平稳随机过程的概念 • 12.2 各态历经性 • 12.3 相关函数的性质 • 12.4 平稳过程的功率谱密度
5
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词: 契比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理
6
§1 大数定律
背景 本章的大数定律,对第一章中提出的 “频率稳定性”,给出理论上的论证
3. 用正态分布近似计算
npq 400 0.02 0.98 2.8
PZ
2
1
P0
Z
2
1
P
0
np npq
Z
np npq
2
np npq
16
1 P
8 2.8
Z 8 2.8
6 2.8
1
6 2.8
8 2.8
0.9859
第六章 数理统计的基本概念
关键词: 样本 总体 个体 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
解:记16只电器元件的寿命分别为Z1, Z2, , Z16, 16 则16只电器元件的寿命总和为Z Zi, 由题设E Zi 100, DZi 1002 i1
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i 1
i 1
随机变量的数学期望。
(i 1,2,)
(1)
29
例3 设 为离散型随机变量,其分布列为
P{
(1)k
2k } k
1 2k
k 1,2,
试问: 的数学期望是否存在?
30
二、常用分布的数学期望
1) 单点分布
E c
2)两点分布
E p
3)二项分布 ~ B(n, p) E np
4)普阿松分布 ~ P( ) 5)几何分布 ~ G( p)
2)几何分布的无记忆性
定理:设 服从几何分布 G( p) ,m为任意整数,则
P( m k m) P( k) pqk1
6. 超几何分布
P(
k)
C
k M
C
nk N -M
CnN
注:背景
, k 0,1,,min( n, M )
9
§2.2 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布
1. 定义
0, 1, 2,3 1
定义1:设(, F, P)是概率空间, =()是 定义在上的实值函数, 如果x R, 有
{ () x} F
则称为随机变量。
定义2(离散型随机变量)
随机变量
离散型 非离散型奇连异续型型
2
二、离散型随机变量的分布列
1. 定义
定义3: 设离散型随机变量的可能取值为 xi (i 1,2,)
例5 已知随机变量和的分布列为:
~
1 1
0 1
11
4 2 4
~
0 1
1 1
2 2
且P{ =0}=1 (1)求和的联合分布列 (2)问和是否独立?为什么?
19
§2.3 随机变量函数的分布列
一、随机变量的函数
问题:已知随机变量的分布,令=f(), 求的分布。 定理1 设是(,F,P)的一个随机变量,f(x)是一个 可测函数,则=f()也是(,F,P)上的的一个随机量.
方法: Ci {(a j , bk ) : f (a j , b) ci }
P( ci ) P{( ,) Ci }
P{ a j , bk }
(a j ,bk )Ci
24
例3(,)的分布列如下表:
1 1 2
526
1 20 20 20
2
331
20 20 20
求 , ,max( ,)的概率分布
表格形式:
y1 y2 y j
x1
p11 p12 p1 j
x2
p21 p22 p2 j
xi
pi1 pi2 pij
11
3. 二维联合分布列的性质
10 非负性 pij 0 (i, j 1,2,) 20 正则性 pij 1
ij
4. 二维随机变量的边际分布
基本性质
称一维随机变量 ,的概率分布为( ,)关于 ,的边际分布。
定义1 设 1,2是,样,本n 空间上的n个离散型随 机变量,则称n维向量(1,2,是,n上) 的一个n维离散型随
机变量或n维随机向量。
二维随机向量( ,)
2. 联合分布
10
定义2 设 ( ,是)一个二维离散型随机变量, 称 P( xi , y j ) pij i, j 1,2,
( ,)的联合分布(列)。
(3)
i 1
Eg( , ) g( xi , y j ) pij (4)
i1 j1
40
3.数学期望的性质
1) Ec c
2) E(k ) kE
n
n
3)E( i ) E(i )
i 1
i 1
4)E(12n ) E1 E2En
1, , n独 立
41
例10 某人有一笔资金,可投入两个项目:房产 和商业,其收益都与市场状态有关. 若把未来市场 划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为0.2、 0.7、0.1.通过调查,该投资者认为投资于房产的收益X (万元)和投资于商业的收益Y (万元)的分布分别为:
P( xi ) pi
(i 1,2,)
称为随机变量的分布列(分布律)
表示为:
x1 x2
P p1 p2
xi pi
或:
x1 p1
x2 p2
xi pi
3
例5 假设有10种同种电器元件,其中有2只废品,
装配仪器时,从这批元件任取一只,如果是废品,
扔掉再取,直到取出正品,令表示取出正品之前
34
问题2:已知(,)的联合分布:
P( xi , y j ) pij i, j 1,2,
求: g( , ) 的数学期望
公式:Eg( , )
g( xi , y j ) pij
(3)
i 1 j1
35
例6 设 ( ,)服从二维两点分布,分布列为:
0
1
0
p
0
10
q
求:E() E( )
36
四、二维随机变量的数学期望
32
三、随机变量函数的数学期望
问题1:已知随机变量的分布列
p{ xi } pi , i 1,2,
求: g( ) 的期望
公式: E Eg( ) g( xi ) pi
(2)
i 1
33
例5 设的分布列为:
2 1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求 E E( 2) E 2
P( xi ) pij pi
j1
P( y j ) pij p j
i 1
i 1,2, j 1,2,
12
求边际分布的方法:
y1 y2 y j
pi .
x1
p11 p12 p1 j
p1
x2
p21 p22 p2 j
p2
xi
pi1 pi2 pij
pi
p. j
p.1 p.2 p.j
求证: ~ B(m n, p)
例5 设随机变量 ,相互独立,且 ~ P(1), ~ P(2)
求证: ~ P(1 2 ) 注: 以上两个体的结论都可以当成定理使用。
27
§2.4 数学期望的定义及性质
一、数学期望的定义
引例1 (分赌本问题)17世纪中叶,一位赌徒向法国数 学家帕斯卡提出了一个是他苦恼已久的分赌本问题 :甲, 乙两赌徒赌技相同,各出赌资50法郎,每局中无平局,他 们约定谁先赢三局,则得全部赌资100法郎,当甲赢了二 局,乙赢了一局时,因故要中止赌博。现问这100法郎如 何分才算公平?
5
p. j
2 5
3
51
例3 教材 例2.7
例4 教材 例2.8
17
二、随机变量的独立性
定义4 设 ( ,的 )联合分布为
P( xi , y j ) pij i, j 1,2, 若: P( xi , y j ) P( xi )P( y j ) i, j
则称随机变量,是相互独立的。
18
13
例1 设随机变量X在1,2,3,4 四个数中等可能 地取值,另一个随机变量 Y 在1至X中等可能地取一 整数值。试求( X , Y) 的联合分布律。
Y X
1
2
3
4
1
1/4
0
0
0
2
1/8
1/8
0
0
3
1/12 1/12
1/12
0
4
1/16 1/16
1/16
1/16
14
例2 袋中装有2只白球与3只黑球,现分别进行有放 回和不放回地摸球,每次摸一球,设,分别表示 第一,二次摸出的白球数,求(,)的联合分布 和边际分布。 解:可能的取值为(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)
22
例1 已知的分布列为:
2 1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求
2
sin(
)
1
的分布列
2
例2 教材例2.11
23
三、二维离散型随机变量函数的分布
问题2:已知随机变量(,)的分布列为:
P( xi , y j ) pij i, j 1,2,
求 f (,)的概率分布
例9 一次掷10枚骰子,求所得总点数的数学期望。
39
【数学期望】
1.定义
一维: E ˆ xi pi
(1)
i 1
二维: E( , ) ˆ(E , E )
E xi pij xi pi
ij
i
E y j pij y j p j(2)
ij
j
2.函数的期望
Eg( ) g( xi ) pi
25
P
5/ 20 2/ 20 6/ 20 3/ 20 3/ 20 1/ 20
( , ) (1,1) (1,1) (1,2) (2,1) (2,1) (2,2)
2 0 1 1 3 4 0 2 3 3 1 0
max( ,) 1 1 2 2 2 2
26
例4 设随机变量,相互独立,且 ~ B(n, p), ~ B(m, p)
试证明服从Poisson分布。 例9 (P70,例2.6)由该商店过去的销售记录知道某种商
品每月的销售数可以用参数=10的Poisson分布来描述,
为了以95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少
应进某种商品多少件?
8
5. 几何分布 ~ G( p)
P( k) pqk1,k 1,2,
注:1)背景
0
1
P 1 p p
c
P1
5
3 二项分布 ~ B(n, p)
P( k ) Cnk pk qnk k 0,1,2,, n
注:1)二项分布的背景 注:2)二项分布的最可能值问题 结论:1)当 (n 1) p 不是整数时,最可能只是 [(n 1) p] 结论:2)当 (n 1) p m是整数时,最可能只是